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1 EDITORIAL Esta é a primeira edição do Jornal Soluções Matemáticas, que pretende trazer informação, conteúdo e, claro, soluções de problemas de Matemática. Gráficos apontam as principais dificuldades matemáticas de alunos ingressantes em cursos ligados às Ciências Exatas e Engenharia. Página 7 Por que Pi = 3,14...? VEJA NESTA EDIÇÃO: Apresentação da solução de alguns problemas, a maioria envolvendo conceitos de Cálculo Diferencial, os quais foram selecionados tendo em vista as dúvidas observadas no projeto PréCálculo, realizado no Campus de Santo Antônio da Patrulha da Universidade Federal do Rio Grande – FURG no início de 2015. Esperamos que os artigos de divulgação e apresentação de soluções aqui apresentados possam, pelo menos, lhe fornecer um fragmento de informação interessante, que faça você perceber que a Matemática pode ser muito mais do que números, símbolos e formas. Os editores. 08-09-2015. Página 3 DESTAQUES lógico. Limites, derivadas e integrais xx-08-2015. Para estudos acadêmicos, trazemos em primeira mão exemplos e resoluções de conceitos da Matemática Universitária, utilizando heurística, interpretação e propriedades fundamentais, para melhor entendimento na resolução de problemas. Aprendizagem Matemática Página 2 Torre de Hanói Material pedagógico desenvolvimento do que estimula o raciocínio lógico. Confira algumas curiosidades sobre ele na página 5. História matemática Manifold Destiny Na página 6 o leitor poderá acompanhar a primeira parte da história do cientista russo que em 2006 recusou o maior prêmio em Matemática: a medalha Fields. Saiba um pouco mais a respeito deste divertido jogo na página 5. Ábaco Este é outro material pedagógico que estimula o aprendizado e desenvolvimento do raciocínio Desafios Você gosta de desafios? Então dê uma olhada na página 8. 1 Matemática divertida Veja como aprender Matemática brincando. Passatempo, palavras cruzadas e muito mais. Conheça as ferramentas mais divertidas para praticar a Matemática acadêmica de uma forma divertida. Página 8 Jornal Soluções Matemáticas, FURG-SAP, Santo Antônio da Patrulha, RS, Ano 1, n. 1, setembro de 2015 Taxas de Variação: Um Exemplo Propriedades dos Limites: Um Exemplo Jorge Mauro da Silva Junior (FURG-SAP) Vinicius Carvalho Beck (FURG-SAP) Vinicius Carvalho Beck (FURG-SAP) Problema: Calcule a tendência de 𝑓 quando 𝑥 tende a zero, sendo 𝑓 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛ℎ 𝑥 4 cos 𝑥 − 𝑒 𝑥 𝑥 3 − 𝑥 2 + 3 + 3 . Problema: Qual a taxa de variação da posição, ao longo do tempo, de um objeto no instante 𝑡 = 2 segundos, sabendo que a equação que descreve a posição (em metros) em função do tempo é 𝑓 𝑡 = 𝑡 4 − 5 ? 𝑥 −1 Técnica: Propriedades Aritméticas dos Limites. Solução: (verificada no software WxMaxima) Técnica: Derivação de Polinômios. lim cos 𝑥 = 1 Solução: aplicando t=2 na função derivada têm-se a taxa de variação nesse instante. 𝑓′ 𝑡 = 4𝑡 3 ⇒ 𝑓′ 2 = 4. 2 3 ⇒ 𝑓′ 2 = 32. Isto significa que no instante 𝑡 = 2 segundos a taxa de variação é 32 metros por segundo. 𝑥→0 lim 𝑒 𝑥 = 1 𝑥→0 lim 𝑥 3 − 𝑥 2 + 3 = 0 − 0 + 3 = 3 𝑥→0 Heurística no Cálculo de Limites lim 𝑠𝑒𝑛ℎ 𝑥 = 0 Jorge Mauro da Silva Junior (FURG-SAP) 𝑥→0 lim 𝑥 3 − 1 = 0 − 1 = −1 𝑥→0 Problema: Calcule a tendência de 𝑓 quando 𝑥 tende a infinito, sendo 1 𝑓 𝑥 = 2? Logo, como o limite da soma é a soma dos limites, o limite do produto é o produto dos limites e o limite do quociente é o quociente dos limites: 𝑥 Heurística: (que pode ser executada apenas mentalmente). lim 𝑓 𝑥 = 4.1 − 1.3 + 𝑥→0 0 −1 ⇒ lim 𝑓 𝑥 = 4 − 3 𝑥→0 ⇒ lim 𝑓 𝑥 = 1 𝑥→0 Uma Derivada Complexa Vinicius Carvalho Beck (FURG-SAP) 𝑠𝑒𝑛 Figura 1: Gráfico da Função no Geogebra. Fonte: Os autores. Técnica: Regra da Cadeia. (é importante destacar que as regras básicas de derivação, como derivadas trigonométricas e polinomiais, assim como a Regra da Cadeia, continuam válidas para funções complexas). 1 Quando 𝑥 = 1 tem-se 𝑓 𝑥 = = 1 Solução: (verificada no software WxMaxima) 1 Quando 𝑥 = 10 tem-se 𝑓 𝑥 = 1 10 Quando 𝑥 = 100 tem-se 𝑓 𝑥 = 𝑓 ′ 𝑧 = 𝑐𝑜𝑠 = 0,1 1 100 Quando 𝑥 = 1000 tem-se 𝑓 𝑥 = = 0,01 1 1000 ⇒ 𝑓 ′ 𝑧 = 𝑐𝑜𝑠 = 0,001 Quando 𝑥 = 1000000000 tem-se 𝑓 𝑥 = 1 1000000000 ⇒ 𝑓 ′ 𝑧 = 𝑐𝑜𝑠 1 𝑥2 ⇒ 𝑓 ′ 𝑧 = 𝑐𝑜𝑠 = 0. 5𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑥 . 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑧 2 − 𝑧 + 3𝑖 . 𝑧 2 − 𝑧 + 3𝑖 1 2 ′ 2𝑧 − 1 . 𝑐𝑜𝑠 2. 𝑧2 𝑧 2 − 𝑧 + 3𝑖 − 𝑧 + 3𝑖 Um Exemplo Envolvendo Integrais Indefinidas Vinicius Carvalho Beck (FURG-SAP) Jorge Mauro da Silva Junior (FURG-SAP) ln 𝑥 𝑧 2 − 𝑧 + 3𝑖 ′ 1 1 2 . 𝑧 − 𝑧 + 3𝑖 −2 . 𝑧 2 − 𝑧 + 3𝑖 ′ 2 1 𝑧 2 − 𝑧 + 3𝑖 . . 2𝑧 − 1 2. 𝑧 2 − 𝑧 + 3𝑖 ⇒ 𝑓′ 𝑧 = Um Exemplo de Uso das Propriedades da Derivação Problema: Calcule a derivada de 𝑓, sendo 𝑓 𝑥 = 𝑧 2 − 𝑧 + 3𝑖 . 𝑧 2 − 𝑧 + 3𝑖 . = 0,000000001 Técnica: Cálculo do Limite. Solução: lim𝑥→∞ Problema: Calcule a derivada da função complexa 𝑓, sendo 𝑓 𝑧 = 𝑧 2 − 𝑧 + 3𝑖 ? Problema: Calcule a integral indefinida de 𝑓, sendo 𝑓 𝑥 = + 𝑥2 + 1 𝑒𝑥 − 𝑥+2 𝑥4 . Técnica: Integração de funções. Solução: (verificada no software WxMaxima) Técnica: Propriedades aritméticas de derivação. Solução: (verificada no software WxMaxima) 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 1 . 𝑠𝑒𝑛 𝑥 − ln 𝑥 . cos 𝑥 5 𝑓′ 𝑥 = 𝑥 + 2𝑥 . 𝑒 𝑥 + 𝑥 2 + 1 . 𝑒 𝑥 − 𝑠𝑒𝑛2 𝑥 1 + 𝑥2 ⇒ 2 𝑥+2 𝑑𝑥 = 𝑥4 𝑥 −3 𝑑𝑥 + 2 𝑥 −4 = 𝑥 2 + 𝑑𝑥 = 𝑥4 𝑥4 𝑥 −3 + 2𝑥 −4 𝑑𝑥 𝑥 −2 2𝑥 −3 1 2 + +𝑐 =− 2− 3+𝑐 −2 −3 2𝑥 3𝑥 2 Jornal Soluções Matemáticas, FURG-SAP, Santo Antônio da Patrulha, RS, Ano 1, n. 1, setembro de 2015 Por que Pi = 3,14 ... ? Vinicius Carvalho Beck (FURG-SAP) Rene Carlos Cardoso Baltazar Junior (FURG-SAP) Quando dividimos o comprimento 𝐶 de uma circunferência por seu diâmetro 𝐷, o resultado é sempre 𝜋. Este número é irracional e transcendente. Isto significa que ele não pode ser escrito em forma de fração com números inteiros no numerador e denominador, e ainda, que não existe uma equação algébrica com coeficientes inteiros, para a qual 𝜋 seja solução. Como Arquimedes chegou nesse resultado? Ele utilizou o Método da Exaustão, que consiste em tomar polígonos inscritos e circunscritos muito próximos do contorno da circunferência (CARVALHO, 2011). A Figura 1 a seguir apresenta a circunferência de diâmetro unitário com um hexágono inscrito. Esta figura foi produzida pelos autores no software Geogebra (2015), apenas para fins de ilustração da ideia principal do método utilizado por Arquimedes. Devido aos recursos computacionais atuais, sabe-se que 𝜋 = 3,141592653589793 …. Na verdade, pesquisadores da Universidade de Santa Clara, nos Estados Unidos, já conseguiram estimar 𝜋 com cerca de oito quatrilhões de casas decimais, e são detentores do recorde mundial de número de casas decimais utilizadas em aproximações de 𝜋 até o momento (14:08 horas do dia 23/04/2015). Você deve estar se perguntando: para que tanta precisão? E tem razão, afinal, não há tecnologia no mundo com tamanha exigência. Contudo, o processo de cálculo dos dígitos de 𝜋 pode ser um importante parâmetro para testar a capacidade de novos computadores, já que em termos conceituais, a discussão sobre 𝜋 como problema matemático de pesquisa já está obsoleta. Em 2005, o engenheiro aposentado japonês Akira Haragushi memorizou e recitou durante 16 horas 100000 casas de 𝜋! Por que ele fez isso? Sinceramente, não sabemos. Ou foi puro deleite pessoal, ou possivelmente tenha sido de alguma forma patrocinado para entrar no livro dos recordes. O fato é que o número 𝜋 tem intrigado muitos matemáticos ao longo dos séculos. Vários cientistas conhecidos já tentaram estimar 𝜋. Euler foi o primeiro a suspeitar da sua irracionalidade, provada mais tarde por Lambert. Euler, mais tarde, também conjecturou sobre o fato de 𝜋 ser um número transcendental, mas se passou mais de um século até Lindemann demonstrar este fato. E ainda assim, muitos continuaram (e talvez até continuem!) tentando resolver o problema da quadratura do círculo, o que só poderia ser possível caso 𝜋 não fosse transcendente (LIMA, 1991). Figura 1: Método da Exaustão no Geogebra. Fonte: Os autores. Evidentemente, a área e o perímetro destes polígonos não são iguais a da circunferência, mas são bem próximas. E se pudesse haver limitantes inferiores e superiores suficientemente próximos da área da circunferência, a média destes limitantes seria uma boa estimativa. Esta foi a ideia de Arquimedes. E também é a base intuitiva e histórica do Cálculo Integral, que é uma importante ferramenta para a Física, a Economia, a Engenharia e várias outras áreas do conhecimento. O problema da quadratura do círculo é um antigo desafio dos geômetras da Grécia, que consistia em “construir, com o auxílio de régua e compasso, um quadrado cuja área fosse igual a de um círculo dado”. A relação entre o comprimento e o diâmetro de circunferências é conhecida há mais de 4000 anos. Segundo registros históricos (BECKMAN, 1982), os mesopotâmicos e também os egípcios já conjecturavam, devido à experiência técnica, que havia alguma relação entre comprimento e diâmetro de circunferências, e até mesmo buscavam algumas aproximações para áreas circulares. Não sabiam exatamente quanto valia 𝜋, mas intuitivamente usavam uma constante que o aproximava (BORTOLETTO, 2008). Em princípio, qualquer polígono poderia ser utilizado. Arquimedes escolheu hexágonos porque sabia que cada lado de um hexágono regular inscrito numa circunferência é igual ao raio da circunferência. Em uma circunferência com diâmetro unitário, isto significa que a primeira aproximação inferior para 𝜋 seria o número 3 exato, o que facilitaria um pouco os cálculos iniciais. Arquimedes também inscreveu e circunscreveu polígonos de 12, 24, 48 e 96 lados, duplicando os polígonos com régua e compasso para obter maior precisão (DELLAJUSTINA e MARTINS, 2014). A aproximação publicada no livro A Medida do Círculo foi obtida com polígonos de 96 lados. O matemático grego Arquimedes foi o primeiro a tentar estimar de forma sistemática o número 𝜋, baseando-se no livro Elementos, de autoria de Euclides, matemático e diretor da Biblioteca de Alexandria. Um dos trabalhos de Arquimedes mais conhecidos é A Medida do Círculo (PEDROSO, 2013). Neste trabalho Arquimedes prova a seguinte proposição: “Se 𝐶 é o comprimento da circunferência e 𝐷 é o diâmetro, então tem-se a desigualdade 10 10 10 1 3+ 𝐷 <𝐶 < 3+ 𝐷, isto é, 3 + < 𝜋 < 3 + , com 𝐷 = 1”. É 71 70 71 7 importante ressaltar que 𝜋 era considerado o comprimento da circunferência com diâmetro unitário. Bughay (2012), em seu trabalho de conclusão do Curso de Licenciatura em Matemática, apresenta algumas ferramentas computacionais do software Geogebra (2015) que reproduzem várias construções matemática feitas por Arquimedes, inclusive o Método da Exaustão para estimar 𝜋. A facilidade de operar com a inscrição e a circunscrição de figuras nestes softwares permite que o usuário reconstrua rapidamente os longos processos realizados por Arquimedes com régua e Compasso. A partir do resultado acima, Arquimedes passou a utilizar a média aritmética entre os limitantes inferior e superior, isto é, ele utilizava a 141 aproximação 𝜋 = 3 + quando precisava utilizar este valor em cálculos de 994 área ou volume. A notação decimal surgiu apenas com François Viète no século XVI. Se Arquimedes a tivesse conhecido, ele teria estimado, por meio de desigualdades, que 3,140845 < 𝜋 < 3,142857, com seis casas decimais após a vírgula. Tendo em vista os recursos dos quais dispunha na época, esta é uma boa aproximação para 𝜋, na verdade a mais precisa até então. E também a primeira obtida via métodos dedutivos. Em representação decimal, a média utilizada por Arquimedes seria 𝜋 = 3,141851 …, que é exata até a terceira casa decimal após a vírgula. O Método da Exaustão não possui importância didática, mas é a forma dedutiva mais simples de aproximar o número 𝜋, ou seja, é uma técnica de construção que não envolve o uso de conhecimento teórico avançado. A importância deste método hoje reside no fato de que ainda é uma justificativa formal para a questão “Por que 𝜋 é aproximadamente 3,14 …?”, e mais do que isso, talvez seja a mais simples e direta. Por isso vale a pena tentar reexplicá-la e aprimorá-la, tendo em vista os novos métodos computacionais, não acessíveis para muitos matemáticos que tentaram respondê-la no passado. Embora a questão já esteja encerrada em termos conceituais, a forma computacional sempre pode ser aperfeiçoada, e na verdade isto já está sendo feito largamente em muitas instituições de ensino e pesquisa pelo mundo. 3 3 Jornal Soluções Matemáticas, FURG-SAP, Santo Antônio da Patrulha, RS, Ano 1, n. 1, setembro de 2015 CARVALHO, Sônia Pinto de. A Área e o Perímetro de um Círculo. Publicações do 1º Colóquio Regional Sudeste de Matemática, Universidade Federal de Minas Gerais, 2011. 52p. REFERÊNCIAS BBC. 2005. BBC NEWS. Disponível em: <http://news.bbc.co.uk/2/hi/asiapacific/4644103.stm>. Acesso em: 24 Abr. 2015 . DELLAJUSTINA, Fernanda J.; MARTINS, Luciano C. Poderia Arquimedes ter calculado π com areia e um bastão? Revista Brasileira de Ensino de Física, v.36, n.3, 2014. BECKMANN, Petr. A Hystory Of π (pi). The Golem Press, Colorado, 1982. BORTOLETTO, Anésia Regina Schiavolin. Reflexões Relativas às Definições do Número π (Pi) e à Presença da sua História em Livros Didáticos de Matemática do Ensino Fundamental. 2008. Dissertação (Mestrado em Educação) – Universidade Metodista de Piracicaba, Piracicaba, SP. 139p. GEOGEBRA. Site Oficial do Software Geogebra. Disponível em: <http://www.geogebra.org>. Acesso em: 30 Abr. 2015. LIMA, Elon Lages. Medida e Forma em Geometria. Sociedade Brasileira de Matemática, 1991. 93p. BUGHAY, Joaide de Fátima Colaço Silveira. Uma Proposta de Ensino para Introduzir Conceitos do Cálculo Utilizando as Contribuições de Arquimedes através do Uso do Geogebra. 2012. Trabalho de Conclusão de Curso (Licenciatura em Matemática) – Faculdade Estadual de Filosofia, Ciências e Letras, União da Vitória, PR. 45p. NVIDIA. 2013. NVIDIA Blog. Disponível em: <http://blogs.nvidia.com/blog/2013/03/14/pi/>. Acesso em: 24 Abr. 2015 . PEDROSO, Hermes Antônio. Arquimedes: Um Ponto de Apoio para o Método Científico. Revista Eletrônica de Matemática, n.3, 2013. Uma Inequação com Expressões Modulares Cálculo de Limites com Diferença de Quadrados Jorge Mauro da Silva Junior (FURG-SAP) Vinicius Carvalho Beck (FURG-SAP) Jorge Mauro da Silva Junior (FURG-SAP) Vinicius Carvalho Beck (FURG-SAP) Problema: Resolva a inequação 𝑥 + 1 − 𝑥 ≥ 2. Problema: Calcule o limite lim𝑥→6 Técnica: Uso da definição de módulo. . Heurística: 𝑥+1 − 𝑥 ≥2 lim ⇒ 𝑥+1 − 𝑥 −2 ≥0 𝑥→6 Por definição, 1º caso 𝑥 < −1 : −𝑥 − 1 − 𝑥 − 2 ≥ 0 ⇒ −2𝑥 − 3 ≥ 0 ⇒ −2𝑥 ≥ 3 3 3 → 2𝑥 ≤ −3 ⇒ 𝑥 ≤ − . Neste caso, as desigualdades 𝑥 < −1 e 𝑥 ≤ − 2 2 devem ser simultaneamente satisfeitas. Assim, a solução para este primeiro 3 caso é 𝑥 ≤ − . Solução: (verificada no software WxMaxima) 2 lim 𝑥→6 2º caso −1 ≤ 𝑥 < 0 : 𝑥 + 1 − 𝑥 − 2 ≥ 0 ⇒ −1 ≥ 0 ⇒ ∄. Neste caso, não há possibilidade da inequação ser satisfeita, pois qualquer tentativa de isolar a incógnita resulta na contradição −1 ≥ 0. 𝑥−2−2 = lim 𝑥→6 𝑥−6 = lim 𝑥→6 3º caso 𝑥 ≥ 0 : 𝑥 + 1 + 𝑥 − 2 ≥ 0 ⇒ 2𝑥 − 1 ≥ 0 ⇒ 2𝑥 ≥ 1 ⇒ 𝑥 ≥ 1 . Neste caso, as desigualdades 𝑥 ≥ 0 e 𝑥 ≥ devem ser simultaneamente 2 𝑥−2−2 6−2−2 4−2 2−2 0 = = = = 𝑥−6 6−6 0 0 0 Isto é uma indeterminação. É preciso tentar transformar a expressão operada pelo limite para talvez eliminar esta indeterminação. No caso deste problema, aparentemente a diferença de quadrados pode funcionar, já que 𝑥 − 2 − 2 . 𝑥 − 2 + 2 = 𝑥 − 6, que é exatamente uma das expressões do denominador. 𝑥 + 1, 𝑠𝑒 𝑥 ≥ −1 𝑥, 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 0 𝑥+1 = ,e 𝑥 = . −𝑥 − 1, 𝑠𝑒 𝑥 < −1 −𝑥, 𝑠𝑒 𝑥 < 0 2 𝑥−6 Técnica: Uso da diferença de quadrados. Solução: 1 𝑥−2−2 = lim 𝑥→6 1 satisfeitas. Assim, a solução para o terceiro caso é 𝑥 ≥ . 1 𝑥−2+2 𝑥−2+2 𝑥−6 𝑥−6 . = 𝑥−2+2 𝑥−2−2 . 𝑥−6 𝑥−2+2 1 6−2+2 = = = 1 4+2 = 1 1 = 2+2 4 2 Um Exemplo Envolvendo Integrais Definidas Logo, reunindo as soluções de cada intervalo em um mesmo conjunto, 3 1 tem-se que 𝑥 ∈ ℝ: 𝑥 ≤ − 𝑜𝑢 𝑥 ≥ é o conjunto solução da inequação 2 2 modular. Vinicius Carvalho Beck (FURG-SAP) Problema: Calcule a integral definida de 𝑓, sendo 𝑓 𝑥 = 𝑥 4 + 2, no intervalo real entre 1 e 3. Um Problema de Proporção Técnica: Aplicação do Teorema Fundamental do Cálculo. Vinicius Carvalho Beck (FURG-SAP) Solução: (verificada no software WxMaxima) 3 3 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = Problema: Três pedreiros trabalhando juntos conseguem construir um muro em quatro horas de trabalho. Se ao invés de três, fossem seis pedreiros, em quantas horas tal muro poderia ser construído? 1 𝑥 4 + 2 𝑑𝑥 = 1 𝑥5 + 2𝑥 5 3 1 3 ⇒ Técnica: Regra de Três Simples Inversa. 1 35 15 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = + 2.3 − + 2.1 5 5 3 Solução: ⇒ 6 4 12 = ⇒ 6𝑥 = 3 × 4 ⇒ 6𝑥 = 12 ⇒ 𝑥 = ⇒𝑥=2 3 𝑥 6 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 1 3 ⇒ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 1 4 243 1 +6− −2 5 5 242 242 20 262 +4 = + = 5 5 5 5 4 Jornal Soluções Matemáticas, FURG-SAP, Santo Antônio da Patrulha, RS, Ano 1, n. 1, setembro de 2015 Torre de Hanói Ábaco Vinicius Carvalho Beck (FURG-SAP) João Alberto da Silva (FURG) Vinicius Carvalho Beck (FURG-SAP) O ábaco é um instrumento utilizado para realizar cálculos aritméticos. Antes da invenção do computador, e mais recentemente, da calculadora eletrônica pessoal, era o dispositivo de cálculo mais utilizado para resolver mecanicamente cálculos matemáticos. A Torre de Hanói é um jogo lançado pela primeira vez em 1883 pelo matemático francês Édouard Lucas. Sabe-se que ele já era bastante popular na China, no Japão e no Vietnã antes de ser comercializado. O nome é inspirado nas características arquitetônicas de prédios muito conhecidos do Vietnã. Têm-se registros de uso de variados tipos de ábaco pelos povos antigos. Na mesopotâmia, no Egito, na Grécia, em Roma, na América, na Índia, na China, no Japão, na Rússia, enfim, em vários lugares do mundo o ábaco foi utilizado (BOYER, 2003). Os tipos de ábaco mais populares, nos quais são baseados muitos dos ábacos pedagógicos produzidos nos dias de hoje, são: o japonês, o chinês e o russo. O ábaco da Figura 1 é bastante similar ao russo. Na União Soviética, este tipo de ábaco foi utilizado nas escolas, lojas e restaurantes até a década de 1990 (ALMEIDA, 1990), quando foi largamente substituído pela calculadora eletrônica. Outro matemático chamado Henri De Parville, na mesma época em que o jogo foi lançado na França, ajudou a popularizar uma antiga lenda da cultura hindu sobre a Torre de Hanói. Segundo esta lenda, debaixo do centro do mundo, existe uma placa de bronze muito fina na qual estão fixados três longos bastões de diamante. Quando Deus criou o mundo, ele deixou 64 discos de ouro em um dos bastões, de tal maneira que o tamanho de cada disco decrescia de baixo para cima. Monges seriam encarregados de transferir os discos de um bastão para o outro, de acordo com duas leis: 1) não poderiam mover mais do que dois discos por vez; 2) não poderia haver um disco maior sobre um menor. Segundo a lenda, no momento em que os 64 discos fossem completamente transferidos pelos monges para outro bastão, tudo seria transformado em pó e o mundo desapareceria. Édouard Lucas ofereceu um milhão de francos para quem resolvesse o problema das torres com 64 anéis. Ninguém recebeu o prêmio, pois ainda que uma pessoa levasse um segundo para realizar cada movimento, levaria cerca de 600 bilhões de anos. Mais detalhes sobre a lenda da Torre de Hanói podem ser encontrados em Manoel (2015). Apesar de ter sido lançada há mais de um século, a Torre de Hanói é um jogo muito eficaz para o desenvolvimento de raciocínios associados com recursividade e inclusão hierárquica de classes. Bairral (2001) apresenta algumas atividades didáticas utilizando a Torre de Hanói. Na Figura 1 tem-se um exemplo de Torre de Hanói para uso escolar. Figura 1: Ábaco. Fonte: Laboratório de Matemática FURG-SAP. Atualmente, devido aos avanços tecnológicos, o ábaco não tem mais sido utilizado como o principal instrumento de cálculo, mas o contato com ele na infância pode auxiliar na construção do conceito de número e na compreensão do funcionamento do sistema de numeração decimal. Também destaca-se o uso do ábaco no ensino de Matemática para estudantes deficientes visuais. Gerhardt (2007) descreve algumas atividades que podem ser realizadas com o ábaco na construção do conceito de número e no aprendizado das operações aritméticas elementares. Na internet também é possível encontrar réplicas digitais do ábaco. O website Nosso Clubinho (2015), por exemplo, disponibiliza um ábaco virtual. Figura 1: Torre de Hanói. Fonte: Laboratório de Matemática FURG-SAP. O número de movimentos necessários para resolver a Torre de Hanói depende do número de anéis a serem transferidos. Com 2 anéis o número mínimo de movimentos é 3, com 3 anéis o número mínimo é 7, com 4 anéis o número mínimo é 15, e generalizando, com 𝑛 anéis o número mínimo de movimentos é 𝑀 = 2𝑛 − 1. Hefez (2009) apresenta uma demonstração desta fórmula. É importante frisar que nesta relação entre as grandezas anéis e número de movimentos, estamos nos referindo ao número mínimo de movimentos, pois um jogador pode levar uma quantidade maior para mover os anéis de um bastão à outro. Uma Torre de Hanói virtual pode ser encontrada no website Gameson (2015). Figura 2: Ábaco Virtual. Fonte: NOSSO CUBINHO, 2015. Referências BAIRRAL, M. A. Movendo discos, construindo torres e matematizando com futuros professores. Boletim GEPEM, n.38, p.95-110, Rio de Janeiro, 2001. Referências GAMESON. Torre de Hanói. Disponível em: <http://www.gameson.com.br/Jogos-Online/ClassicoPuzzle/Torre-deHanoi.html>. Acesso em: 28 mai. 2015. ALMEIDA, Maria Hermínia Tavares de. Kautsky na praça vermelha?. Revista Novos Estudos CEBRAP, n.26, p.159-163, 1990. HEFEZ, Abramo. Elementos de Aritmética. Sociedade Brasileira de Matemática, Rio de Janeiro, 2005. BOYER, Carl B. História da Matemática. 2.ed. Revisão de Uta C. Merzbach. Tradução de Elza F. Gomide. Editora Edgar Blücher, São Paulo, 2003. MANOEL, Luís Ricardo da Silva. Torre de Hanói. Disponível em: <http://www.ibilce.unesp.br/Home/Departamentos/Matematica/labmat/torre_d e_hanoi.pdf>. Acesso em: 28 mai. 2015. GERHARDT, Eliane. Ábaco - Construindo a noção de número inteiro e realizando adição e subtração. Revista do Professor, Ano 23, n.92, out./dez., p.30-35, Porto Alegre, 2007. NOSSO CLUBINHO. Ábaco Virtual. Disponível em: <http://www.nossoclubinho.com.br/abaco-virtual/>. Acesso em: 19 jun. 2015. 5 5 Jornal Soluções Matemáticas, FURG-SAP, Santo Antônio da Patrulha, RS, Ano 1, n. 1, setembro de 2015 Manifold Destiny (Parte 1) Sylvia Nasar e David Gruber Traduzido por Vinicius Carvalho Beck (FURG-SAP) e Andrei Bourchtein (UFPEL) Texto Original em Inglês (completo): http://www.newyorker.com/archive/2006/08/28/060828fa_fact2 Na noite de 20 de junho, várias centenas de fisicos, entre eles o laureado com o Prêmio Nobel, reuniram-se no auditório do Hotel Friendship em Pequim para uma palestra do matemático Chinês Shing-Tung Yau. No final dos anos 1970, quando Yau tinha cerca de 20 anos de idade, ele realizou uma série de avanços que ajudaram a inaugurar a Teoria das Cordas, revolucionou a física e ganhou merecidamente, além da medalha Fields (a maior premiação em matemática) uma reputação em ambas as áreas de pensador de incomparável força técnica. No entanto, a Medalha Fields, que é concedida a cada 4 anos, a um número que varia de 2 a 4 matemáticos, não é apenas uma premiação para conquistas do passado, mas também um estímulo para pesquisas futuras; por esta razão, ela é dada apenas a matemáticos de 40 anos ou mais jovens. Nas décadas recentes, como o número de profissionais da matemática cresceu, a Medalha Fields tornou-se um aumento do prestígio. Somente 44 medalhas foram dadas nos últimos (aproximadamente) 70 anos (incluindo 3 trabalhos que dizem respeito à conclusão da conjectura de Poincaré) e nenhum matemático recusou o prêmio. Todavia, Perelman disse a Ball que não intencionava aceitá-la. “Eu recuso”, ele disse simplesmente. Desde que Yau se tornou professor de matemática da Universidade de Harvard e diretor do Instituto de Matemática em Pequim e Hong Kong, ele divide seu tempo entre os Estados Unidos e a China. Sua palestra no Hotel Friendship foi parte de uma conferência internacional sobre Teoria das Cordas, organizada por ele e patrocinada pelo governo chinês, em parte para promover recentes avanços do país na física teórica. (mais de 6 mil estudantes assistiram o discurso de abertura, feito pelo amigo íntimo deYau, Stephen Hawking, no Grande Salão do Povo.) O tópico de Yau falava sobre algo que poucos na conferência conheciam a fundo: a conjectura de Poincaré, um secular enigma sobre as características das esferas tridimensionais, o qual, por ter implicações importantes na matemática e na cosmologia e por escapar de todas as tentativas de solução, é visto pelos matemáticos como um Santo Graal. Em um período de 8 meses, começando de novembro de 2002, Perelman publicou uma demonstração do problema de Poincaré na Internet em três capítulos. Assim como um soneto ou uma ária, uma demonstração matemática tem uma forma distinta e um conjunto de convenções. Ela começa com os axiomas, ou verdades aceitas, e emprega uma série de proposições lógicas para chegar até a conclusão. Se a lógica em consideração é segura, então o resultado é um teorema. Diferentemente das provas de julgamentos ou provas científicas, as quais baseiam-se em evidências e por isso são submetidas à averiguação e revisão, uma demonstração de teorema é definitiva. A exatidão das demonstrações é julgada por peritos-revisores de revistas especializadas; para um resultado satisfatório, a escolha dos revisores pelos editores da revista deve ser minuciosa, e a identidade de um estudante cujo trabalho é de baixa relevância é mantida em segredo. A publicação de uma demonstração implica que esta é completa, correta, e original. Yau, um robusto homem de 57 anos, deu sua palestra com uma camisa de mangas e um óculos de aros negros, e com suas mãos nos bolsos, descreveu como dois de seus estudantes, Xi-Ping Zhu e Huai-Dong Cao, completaram uma demonstração da Conjectura de Poincaré precocemente em poucas semanas. “Eu estou muito otimista com relação ao trabalho de Zhu e Cao”, Yau disse. “Os matemáticos chineses têm razão para estarem orgulhosos do grande sucesso obtido na solução completa do enigma”. Ele disse que Zhu e Cao ficaram em débito com seu colaborador americano de longa data Richard Hamilton, que merecia a maior parte dos créditos da solução do problema de Poincaré. Ele também mencionou Grigory Perelman, um matemático russo que ele conhecia, que deu uma importante contribuição. Não obstante, Yau disse, “no trabalho de Perelman, apesar de ser espetacular, muitas idéias principais das demonstrações estão esboçadas e resumidas, e os detalhes completos estão omitidos”. Ele adicionou, “Nós gostariamos que Perelman fizesse comentários. Mas Perelman mora em São Petersburgo e se recusa a se comunicar com outras pessoas”. De acordo com estes padrões, a demonstração de Perelman era fora do comum. Ela foi uma surpreendente síntese de uma ambiciosa parte do trabalho; seqüências lógicas que poderiam ser elaboradas ao longo de muitas páginas foram com frequência resumidas de maneira fragmentada. Mais ainda, a demonstração não fez menção direta de Poincaré e incluiu vários resultados elegantes que eram irrelevantes para o problema central. Mas, 4 anos mais tarde, pelo menos 2 equipes de especialistas vetaram a demonstração e encontraram lacunas insignificantes ou erros no trabalho. Um consenso que emergiu na comunidade matemática: Perelman esclareceu o problema de Poincaré. Ainda assim, a complexidade da demonstração (e uso por Perelman de pouca escrita na produção de algumas das mais importantes afirmações) fez de sua demonstração um vulnerável desafio. Poucos matemáticos tiveram esperteza necessária para avaliá-la e defendê-la. Por 90 minutos, Yau apresentou alguns dos detalhes técnicos da demonstração dos estudantes. Quando ele acabou, ninguém fez nenhuma pergunta. À noite, entretanto, um físico brasileiro publicou um relatório da conferência no seu blog. “Vejam como a China logo será também uma potência na matemática”, ele escreveu. Logo após dar uma série de palestras sobre sua demonstração nos Estados Unidos em 2003, Perelman voltou para São Petersburgo. Desde então, apesar de continuar respondendo perguntas por e-mail, ele tem muito pouco contato com seus colegas e, por razões que ninguém entende, não tenta publicar sua demonstração. Ainda assim, há poucas dúvidas de que Perelman, que fará 40 anos em 13 de Junho, mereça uma Medalha Fields. Assim que Ball começou a planejar o congresso da I.M.U. em 2006, ele o concebeu como um evento histórico. Mais de 3 mil matemáticos assistiriam, e o rei Juan Carlos da Espanha concordou em presidir a cerimônia de entrega dos prêmios. O boletim da I.M.U. predisse que o congresso seria lembrado como “a ocasião em que a conjectura se tornou teorema”. Ball, determinado a fazer com que Perelman estivesse lá com certeza, decidiu ir até São Petersburgo. Grigory Perelman é realmente recluso. Ele deixou seu trabalho como pesquisador do Instituto de Matemática de Steklov, em São Petersburgo, no último dezembro; ele tem poucos amigos; e vive com sua mãe em um apartamento nas redondezas da cidade. Embora ele nunca tenha concedido uma entrevista antes, ele foi cordial e franco quando nós o visitamos, no último junho, logo depois da conferência de Yau em Pequim, nos levando para uma longa caminhada pela cidade. “Eu estou procurando por amigos, e eles não tem que ser matemáticos”, ele disse. Na semana anterior a da conferência, Perelman passou horas discutindo a conjectura de Poincaré com Sir John M. Ball, o presidente de 57 anos da International Mathematical Union (União Internacional de Matemática), a influente associação profissional da área. O encontro, que teve como lugar central de discussão uma grandiosa mansão com vista para o Rio Neva, foi altamente informal. No final de maio, uma comissão de 9 proeminentes matemáticos decidiu premiar Perelman com a Medalha Fields por seu trabalho sobre o problema de Poincaré, e Ball foi a São Petersburgo para persuadi-lo a aceitar o prêmio em uma cerimônia pública realizada no 25º congresso da I.M.U., em Madrid, no dia 22 de agosto. Ball queria manter sua visita em segredo (os nomes dos laureados com a Medalha Fields são anunciados oficialmente na cerimônia de entrega do prêmio) e o local da conferência onde ele encontraria Perelman ficou vazio. Durante 2 dias, 10 horas por dia, ele tentou persuadir Perelman a concordar em aceitar o prêmio. Perelman, um homem magro, quase calvo, de barba crespa, sobrancelhas espessas, e olhos verde-azuis, escutava educadamente. Ele não falava inglês havia 3 anos, mas ficava eloqüentemente entretido com as papagaiadas de Ball, até a hora em que levava Ball a um longo passeio (uma das atividades favoritas de Perelman). Assim ele resumiu essa conversa 2 semanas mais tarde: “Ele propôs a mim 3 alternativas: „aceitar e vir; aceitar e não vir, e nós a enviaremos para você depois; ou eu não aceitar o prêmio‟. Desde o início, eu disse a ele que ficaria com a terceira alternativa”. A Medalha Fields não interessava a ele, Perelman explicou. “Este prêmio é completamente irrelevante para mim”, ele disse. “Todos entenderam que se a demonstração está correta, não é necessário haver um outro reconhecimento”. A Medalha Fields, assim como o Prêmio Nobel, cresceu, em parte, do desejo de colocar a ciência acima das animosidades nacionais. Matemáticos alemães foram excluídos do primeiro congresso da I.M.U. em 1924, e, embora tenha sido revogada antes do congresso seguinte, essa expulsão causou um trauma, o que prejudicou o estabelecimento da Medalha Fields em 1936, que planejava ser um prêmio “tão puramente internacional e impessoal quanto possível”. 6 6 Jornal Soluções Matemáticas, FURG-SAP, Santo Antônio da Patrulha, RS, Ano 1, n. 1, setembro de 2015 Limites Utilizando a Distributividade Limites Utilizando Fatoração por Divisão de Polinômios Jorge Mauro da Silva Junior (FURG-SAP) Jorge Mauro da Silva Junior (FURG-SAP) Problema: Calcule o limite de 𝑓, sendo 𝑓 𝑥 = número 3. 𝑥²−3𝑥 𝑥−3 , quando 𝑥 tende ao Problema: Calcule o limite de 𝑓, sendo 𝑓 𝑥 = 𝑥³+𝑥²−𝑥−1 a 1. Técnica: Uso da distributividade dos números reais. 𝑥−1 , quando 𝑥 tende Técnica: Divisão de polinômios. Heurística: Heurística: lim 𝑥→3 𝑥² − 3𝑥 3² − 3.3 9 − 9 0 = = = 𝑥−3 3−3 3−3 0 lim 𝑥→1 Isto é uma indeterminação. É preciso tentar transformar a expressão operada pelo limite para talvez eliminar esta indeterminação. No caso deste problema pode-se remover a indeterminação colocando-se 𝑥 em evidência, e em seguida cortar 𝑥 − 3 do numerador com a mesma expressão do denominador. 𝑥³ + 𝑥² − 𝑥 − 1 1 + 1 − 1 − 1 0 = = 𝑥−1 1−1 0 Isto é uma indeterminação. É preciso tentar transformar a expressão operada pelo limite para talvez eliminar esta indeterminação. No caso deste problema pode-se remover a indeterminação dividindo os polinômios. Solução: (verificada no software WxMaxima) Solução: 𝑥² − 3𝑥 𝑥−3 𝑥 𝑥−3 ⇒ lim 𝑓 𝑥 = lim 𝑥→3 𝑥→3 𝑥 − 3 lim 𝑓 𝑥 = lim 𝑥→3 lim 𝑓 𝑥 = lim 𝑥→3 𝑥→1 𝑥→1 𝑥³ + 𝑥² − 𝑥 − 1 𝑥−1 ⇒ lim 𝑓 𝑥 = lim 𝑥 = 3 𝑥→3 𝑥→3 ⇒ lim 𝑓 𝑥 = lim 𝑥² + 2𝑥 + 1 𝑥→1 𝑥→1 ⇒ lim 𝑓 𝑥 = 1 + 2 + 1 = 4 𝑥→1 No que os alunos têm mais dificuldade? Jorge Mauro da Silva Junior (FURG-SAP) Vinicius Carvalho Beck (FURG-SAP) Os dois gráficos abaixo são resultados de um levantamento realizado no final do semestre 2015/01 com alunos do Campus Santo Antônio da Patrulha da Universidade Federal do Rio Grande - FURG. Todos estavam cursando ou já haviam cursado a disciplina que aborda conceitos de Cálculo Diferencial. Cada estudante poderia escolher dois assuntos. Em qual assunto do Ensino Médio você tem mais dificuldade? Em qual assunto do Cálculo Diferencial você tem mais dificuldade? 7 7 Jornal Soluções Matemáticas, FURG-SAP, Santo Antônio da Patrulha, RS, Ano 1, n. 1, setembro de 2015 Alguns Desafios Propostos originalmente por Vladimir I. Arnold (Números 2, 8 e 20) Traduzidos e selecionados por Rene Carlos Cardoso Baltazar Junior (FURG-SAP) e Vinicius Carvalho Beck (FURG-SAP) Original em Inglês (completo): http://imaginary.org/sites/default/files/taskbook_arnold_en_0.pdf 2 - Uma garrafa tampada custa 10 kopecks (moeda russa), enquanto a garrafa sozinha é 9 kopecks mais cara do que a tampa. Quanto custa a garrafa sem a tampa? 8 - Há um lago circular na América do Sul. Todo ano, no dia primeiro de junho, a flor Vitória Régia aparece no centro (ela emerge do fundo do mar, a suas pétalas deitam-se na água como lírios aquáticos). Todo dia a área da flor dobra, e no dia primeiro de julho, finalmente cobre o lago inteiro, com a queda das pétalas, e as sementes são jogadas para as profundezas. Em qual dia a área da flor é equivalente à metade da área do lago? EQUIPE EDITORIAL 20 - Você tem dois vasos de volumes 5 e 3 litros. Meça um litro (obtenha-o de um dos vasos). Vinicius Carvalho Beck Jorge Mauro da Silva Junior REVISÃO Alessandro da Silva Saadi Rene Carlos Cardoso Baltazar Junior ENDEREÇO ELETRÔNICO jornaljsm.wordpress.com Horizontal 1. 4. 6. 8. 10. 12. 13. 14. Retas imaginárias de uma função com limites infinitos. Adjetivo que dá nome para funções do mesmo tipo que 𝑓 𝑥 = 𝑥 4 + 𝑥 3 − 3𝑥 2 + 1. Função trigonométrica cujo nome lembra sino. Que palavra completa a expressão "pode até sair pela..."? 3,141516... Complete a frase: a função sen−1 𝑥 é “...” de sen 𝑥. Taxa de variação. Significado da sigla “cos”. Vertical 2. 3. 5. 6. 7. 9. 11. Com isso calculamos áreas e/ou volumes. Relação entre grandezas. Torre de "..."? Dica: jogo matemático. Um sobre cosseno. Toda a Matemática só é possível por eles. Já diz o ditado: "tudo tem...". Ponto que pode ser máximo ou mínimo. 8 8
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