Aula 1

Primeiro Semestre de
Engenharia
Profª. Sarah Tanus
Cálculo Diferencial e Integral
FASP – Faculdades Associadas de São Paulo
2006
Este material é uma referência de aula empregada pela professora, baseia-se em
livros texto consagrados de autores nacionais e internacionais. Seu emprego é
restrito às aulas de Cálculo I. Contém resumos de aula e exercícios propostos.
Não visa substituir a consulta dos livros recomendados nas referências
bibliográficas. Ao contrário espera-se com a sua consulta encorajar os alunos a
adquirirem ou consultarem seu material de aprendizado de preferência.
Prof. Sarah Tanus.
2
ÍNDICE
AULA 1: FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL REAL A VALORES REAIS4
As Variáveis e a Notação Funcional ( y = f(x))............................................................ 5
COMPOSIÇÃO DE FUNÇÕES ......................................................................................... 7
FUNÇÃO INVERSA ............................................................................................................ 7
Primeira Lista de Exercícios ............................................................................................. 8
AULA 2: REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DA FUNÇÃO ............................. 10
AULA 3: TIPOS DE FUNÇÃO E APLICAÇÕES ............................................ 13
3.1 Função Linear ....................................................................................................... 13
Função Quadrática...................................................................................................... 15
Segunda Lista de Exercícios ........................................................................................... 17
Função exponencial .................................................................................................... 19
3.4 Função Logaritmo................................................................................................. 19
Terceira Lista de Exercícios ............................................................................................ 21
AULA 4: LIMITES E CONTINUIDADE ................................................ 23
LIMITE INFINITO ................................................................................................................ 25
LIMITE NO INFINITO ........................................................................................................... 25
Lista de Exercícios IV ..................................................................................................... 26
AULA 5: DERIVADAS...................................................................................................... 29
DEFINIÇÃO ........................................................................................................................ 30
TÉCNICAS DE DIFERENCIAÇÃO .......................................................................................... 30
DERIVADA DA FUNÇÃO EXPONENCIAL .............................................................................. 31
DERIVADA DA FUNÇÃO LOGARÍTMICA .............................................................................. 31
REGRA DA CADEIA ............................................................................................................ 33
DERIVADA DAS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS ................................................................... 33
NO CASO DA FUNÇÃO COMPOSTA: ..................................................................................... 33
Lista de Exercícios V ...................................................................................................... 35
AULA 6: INTRODUÇÃO ÀS APLICAÇÕES DA DERIVADA .................... 37
PONTOS CRÍTICOS.............................................................................................................. 37
Problemas Práticos ...................................................................................................... 38
3
Aula 1: Funções de uma variável real a valores reais
Aplicações das funções no cotidiano
Ao relacionarmos espaço em função do tempo, número do sapato em função do
tamanho dos pés, intensidade da fotossíntese realizada por uma planta em função
da intensidade de luz a que ela é exposta ou pessoa em função da impressão
digital, percebemos quão importantes são os conceitos de funções para
compreendermos as relações entre os fenômenos físicos, biológicos, sociais etc.
Quando duas grandezas x e y estão relacionadas de tal modo que para cada valor
de x fica determinado um único valor de y, dizemos y é função de x. Uma função
de uma variável real define-se a partir da terna (X, Y, x ⇒ y), onde:
• X e Y são subconjuntos de ℜ ;
• x ⇒ y representa uma regra que nos permite associar a cada elemento do
conjunto X a um único elemento de y.
Notar que:
1) Todo elemento de X deve ser associado a algum elemento de Y.
2)Para um dado elemento de X associamos um único elemento em Y
Exemplos de função utilizando diagramas:
a)
c)
b)
d)
Podemos observar, pelos exemplos acima, que um diagrama de relação X em Y
apresenta uma função se:
• de cada elemento de X parte apenas uma flecha;
• não “sobra elemento em X.
A lei de formação de uma função, representada por y = f(x), é o critério utilizado
para a obtenção dos pares ordenados (x, y); a lei de formação é uma sentença
matemática.
4
Exemplos:
a) São dados X = {0,1,2}, Y = {0,1,2,3,4, 5} e f: X ⇒ Y, definida por:
f(x) =2x + 1.
Para se obter os pares ordenados de f, substituímos cada elemento x de X na lei
de formação y = 2x + 1, obtendo as imagens y.
x ∈X
y = 2x + 1
0
f(0) = 2.0 + 1 = 1
1
f(1) = 2.1 + 1 = 3
2
f(2) = 2.2 + 1 = 5
b) Considerando X = {x ∈ Z⏐-1 ≤ x ≤1}, Y = {y ∈ Z⏐-2 ≤ y ≤2} e f: X ⇒ Y, definida por:
f(x) = x2}. Para se obter os pares ordenados de f substituiremos todos elementos de X em
f(x):
f(-1) = (-1)2 = 1
f(0) = 02 = 0
f(1) = 12 = 1
c)Considerando X e Y = ℜ e f: X ⇒ Y, definida por f(x) = x2 + 4. Isto significa que o
valor y da função num ponto x qualquer é x2 + 4.
Toda função f: ℜ ⇒ ℜ é denominada função de variável real.
Domínio, Contradomínio e Imagem:
O conjunto X é o domínio de f e indica-se por Df; assim X = Df.
O conjunto Y é o contradomínio de f.
O conjunto formado pelos elementos de Y que são correspondentes dos
elementos do domínio é o conjunto imagem da função (Im).
Im = {y ∈ Y ⏐y = f(x)}
Considerações sobre o domínio de uma função
Vimos que, ao definir uma função, começamos por mencionar
explicitamente o seu domínio Df, pois este procedimento faz parte da definição da
função. Há funções com domínios restritos por razões algébricas, ou seja, nem
sempre conseguimos para qualquer elemento do domínio um par em y. Exemplos:
1
a) f(x) = ,
x
Df =
b) f(x) =
1
x−3
Df =
c) f(x) =
Df =
x−2
As Variáveis e a Notação Funcional ( y = f(x))
Há uma notação alternativa para as funções. Usa-se uma letra qualquer como f,
por exemplo, para representar a função e o valor que a função associa a x (“o
5
novo valor”) é denotado por f(x) em vez de y. O símbolo f(x) é lido como “f de x”.
Usando a notação funcional, podemos reescrever o exemplo anterior da seguinte
forma:
Encontre f(2) se f(x) = x2 + 3.
f(2) = 22 + 3 = 7
Portanto, a notação y = f(x) nos diz que y é uma função de x. As letras x e y que
aparecem numa equação são chamadas variáveis. O valor numérico de uma
variável y é determinado por aquele da variável x. Por essa razão, y é denominado
de variável dependente e x de variável independente
O exemplo seguinte mostra como é usada a notação funcional:
Nas montanhas dos Andes, no Peru, o número de espécies de morcegos
decresce quando a elevação aumenta. Zoólogos relatam que o número N de
espécies de morcegos a uma dada elevação é uma função da elevação h, em
metros, de modo que N = f(h).
Interprete a afirmação f(150) = 100 em termos do número de espécies de
morcegos.
Aplicações: Descobrindo a altura
Os arqueólogos podem utilizar a função definida por H(x) = 2,75x + 71,48
para estimar a altura, em centímetros, de uma mulher cujo comprimento do úmero
(osso do braço do ombro ao cotovelo) é x centímetros.
Foi encontrado o fóssil de uma mulher cujo comprimento do úmero é 32 cm. Qual
era a altura aproximada, em centímetros, dessa mulher?
Úmero
(osso do braço do
ombro ao
cotovelo)
As variáveis da função apresentada nesse exercício são H e x. Como x representa
uma medida (comprimento do úmero), ele não pode assumir valores negativos. A
6
função H(x) é do 1.º grau porque sua lei é do tipo y = a x + b, sendo a e b
números reais e a ≠ 0.
Composição de Funções
A função composta g(h(x)) é a função formada pelas duas funções
g(u) e h(x), substituindo-se u por h(x) na fórmula de g(u).
Exemplos:
1) A função f: ℜ⇒ℜ definida por f(x) x2 e a função g: ℜ⇒ℜ definida por g(x) = 3x .
Determinar gof e fog
2) Determinar gof e fog
f(x) =
3) Determinar vou:
u(x) = x3 +1
x
v(x) = x5
g(x) = 2x – 3
Função Inversa
Seja y = f(x) uma função de A em B ou f : A → B. Se, para cada y B, existir
exatamente um valor x ∈ A tal que y = f(x), então podemos definir uma função g:
B → A tal que x = g(y). A função g definida desta maneira é chamada função
inversa de f e denotada por f –1 .
Exemplos:
1) A função f: R → R definida por y = 2x – 5 tem como função inversa:
f –1 :R → R, definida por x =
1
( y + 5)
2
x −1
admite a função
3− x
1+ 3y
inversa f –1 : R – {-1} → R – {-3} definida por x =
y +1
2) A função f: R – {3} → R – {1} definida por y =
Observação: graficamente, podemos determinar se uma função admite
inversa. Passando uma reta paralela ao eixo dos x, esta deve cortar o
gráfico em apenas um ponto.
7
Primeira Lista de Exercícios
Funções: definição, aplicação, composição de funções e função inversa
1) Seja f uma relação de A={-1,0,1,2} em B={0,2,4,6,8}, expressa pela fórmula y = 2x. Faça um
diagrama e verifique se f é uma função de A em B.
2) Dados A={-2,-1,1,2} e B={-8,-4,-1,0,1,4,8} e uma relação f de A em B dada por y = x3, com
x∈A e y∈B, faça o diagrama e mostre que f é função de A em B. Em seguida, determine o
domínio, o contra-domínio e o conjunto imagem desta função.
3) A tabela a seguir representa o consumo em km/l de um carro em movimento.
Velocidade (km/h)
Consumo (l)
40
8
60
10
80
13
90
10
100
9
120
8
Faça um diagrama de flechas e mostre que a tabela representa uma função. Em seguida, determine o
domínio, o contra-domínio e o conjunto imagem desta função.
4) Determine o domínio das seguintes funções:
a)
f ( x) =
1
b) f ( x ) = 1 − x
x
c) f ( x) =
1
1− x
5) Seja a função definida por f(x) = mx + n, com m e n reais. Se f(2) = 3 e f(-1) = -3, calcule m e n.
1
1
+
, determine:
x−2 x−3
f (1) + f (0)
b) m de modo que m =
;
f (−1) − f (−2)
6) Dada a função f(x) =
a) f(-1);
c) x para que f(x)=
3
2
7) Sejam as funções definidas por f(x) = 2x+a e g(x) = 5x-b. Calcule o valor de a e o valor de b
para que se tenha f(3) = 9 e g(1) = 3.
⎧ 1
⎪ x − 1 se x < 1
1
⎪
8) Determine f(- ), f(1) e f(2), sabendo que f(x) = ⎨
2
⎪3x 2 + 1 se x ≥ 1
⎪
⎩
9) Calcule os valores indicados da função dada:
a)f(t) = (2t -1)
−3
2
;
f(1), f(5), f(13); b)f(x) = x - x − 2 ;
f(1), f(2), f(3)
t < −5
⎧ 3 se
⎪
c)f(t) = ⎨t + 1 se − 5 ≤ t ≤ 5
⎪ t
t >5
⎩
f(-6), f(-5), f(16)
10) Estabeleça uma fórmula que forneça a soma de um número, diferente de zero, com seu inverso.
11) Com a fórmula do exemplo anterior, calcule o valor da soma para:
8
a) x = 5;
b) x=
1
3
c) x = −
3
4
12) Para estudar a taxa do nível de aprendizagem dos animais, um grupo de estudantes de
psicologia fez uma experiência na qual um rato branco era colocado, repetidamente, em um
labirinto. Os estudantes notaram que o tempo requerido para o rato percorrer o labirinto, na nésima tentativa, era de, aproximadamente, f(n) = 3 +
12
minutos.
n
a) Para que valores de n, no contexto do problema, f(n) possui significado?
b) Quanto tempo o rato gastou para percorrer o labirinto na terceira tentativa?
c) Em que tentativa o rato percorreu o labirinto em 4 minutos?
d)De acordo com a função f, aumentando-se o número de tentativas, o que acontecerá com o tempo
requerido para o rato percorrer o labirinto? O rato conseguirá percorrer o labirinto em menos de 3
minutos?
13) Suponha que o custo total para se fabricar q quantidades de um certo produto seja dado pela
função: c(q) = q3 - 30q2 + 400q + 500.
a) Calcule o custo de fabricação de 20 unidades.
b) Calcule o custo de fabricação da vigésima unidade.
14) A população de uma cidade daqui a t anos é estimada em p(t) = 30 -
4
milhares de pessoas.
t
Qual o crescimento da população durante o 5º ano?
15) Calcule a função composta g(h(x))
a) g(u) = 3u2 + 2u - 6
, h(x) = x + 2
b) g(u) = (2u + 0)2
c) g(u) = (u-1)3 + 2u2
,h(x) = x -5
,h(x) = x + 1
16) Determine as funções h(x) e g(x) tais que f(x) = g(h(x))
a) f(x) = (x5 -3x2 + 12)3
b) f(x) =
3x − 5
c) f(x) =(x -1)2 +2(x-1) + 3
d) f(x) =
x+4 -
1
(x + 4)3
17) Dados f(x)=3x+5 e g(x)=2x-3, determine x para que se tenha f(g(x))=0.
18) Sabendo que f(x)=2x-5 e g(x)=3x+m, determine m de modo que fog(x)=gof(x)
19) Determine a função inversa das seguintes funções:
a)y = x + 5 ;
b)y =
3x − 2
3
com x ≠ 4x + 3
4
2x −1
, com x ≠ 3 é inversível. Determine f-1(x) e o domínio de f-1(x)
x −3
2x −1
, com x ≠ 0, determine f-1(2).
21) Dada a função f(x) =
3x
20) A função f(x)=
9
Aula 2: Representação Gráfica da Função
Ao lermos um jornal ou uma revista, diariamente nos deparamos com gráficos,
tabelas e ilustrações. Estes são instrumentos muito utilizados nos meios de
comunicação. Um texto com ilustrações, é muito mais interessante, chamativo,
agradável e de fácil compreensão. Não é só nos jornais ou revistas que
encontramos gráficos. Os gráficos estão presentes nos exames laboratoriais, nos
rótulos de produtos alimentícios, nas informações de composição química de
cosméticos, nas bulas de remédios, enfim em todos os lugares.
dias
Valores assumidos por uma ação numa Bolsa de Valores
O Plano Cartesiano
Referência
Histórica
Os nomes Plano Cartesiano e Produto Cartesiano são homenagens ao seu
criador René Descartes (1596-1650), filósofo e matemático francês. O
nome de Descartes em Latim, era Cartesius, daí o nome cartesiano.
O plano cartesiano ortogonal é constituído por dois eixos x e y perpendiculares
entre si que se cruzam na origem. O eixo horizontal é o eixo das abscissas (eixo
OX) e o eixo vertical é o eixo das ordenadas (eixo OY). Associando a cada um dos
eixos o conjunto de todos os números reais, obtém-se o plano cartesiano
ortogonal. Cada ponto P=(a,b) do plano cartesiano é formado por um par
ordenado de números, indicados entre parênteses, a abscissa e a ordenada
respectivamente. Este par ordenado representa as coordenadas de um ponto.
10
O primeiro número indica o deslocamento a partir da origem para a direita (se for
positivo) ou para a esquerda (se for negativo). O segundo número indica o
deslocamento a partir da origem para cima (se for positivo) ou para baixo (se for
negativo).
Observe no desenho, abaixo, que: (a , b) ≠ (b , a)
Para obtermos o gráfico de funções definidas por leis y = f(x), iniciamos
calculando f(x) para vários valores convenientes de x, determinando deste modo
um conjunto de pontos (x,y) onde x ∈ Df e y = f(x). A cada par associamos um
ponto no plano cartesiano.
y
(x1, y1)
y1
x1
x
Gráficos revelam informações a respeito de uma função que podem não estar
evidentes em descrições algébricas ou verbais. Enquanto o domínio de uma
função normalmente torna-se evidente a partir da definição da função, a imagem é
determinada freqüentemente pelo gráfico da função.
Exemplo prático: Utilizando novamente o exemplo das montanhas dos Andes, no
Peru, o número de espécies de morcegos decresce quando a elevação aumenta.
Zoólogos relatam que o número N de espécies de morcegos a uma dada elevação
é uma função da elevação h, em metros, de modo que N = f(h). Quais são os
significados do valor k no intercepto vertical e c no horizontal da figura abaixo.
11
Exercícios:
A) Representar graficamente as funções. E determine o domínio e a imagem.
1
1)y = 2x
x ∈ [0,3]
5)y =
x>0
x
6)y = x
x≥0
2)y = 2 + x x ∈ [0,2]
3)y = 4 - x
4)y = x2
x ∈ [0,4]
x∈ℜ
1
se x ≤ 0
x
se x >. 0
7)y =
-1
8)y = 1
2
se x < 0
se 0 ≤ x ≤ 2
se x > 2
⎧⎪x ... se...... x ≠.2
⎧2x − 1......... se... x.. ≠..2
10) f(x) = ⎨
9) f(x) = ⎨
⎪⎩7.... se..... x = 2.
⎩0.......... se..... x = 2
B) Determine o valor de p de modo que o gráfico da função f(x) = 3x+p-2
intercepte o eixo y no ponto de ordenada 4.
1
C) Determine a raiz da função f(x) = 2x - . O que este valor de x corresponde
9
no gráfico desta função?
2
12
Aula 3: Tipos de Função e Aplicações
3.1 Função Linear
Em muitos casos práticos, a taxa segundo a qual uma quantidade varia em
relação a outra é constante. Exemplo:
O custo total de um fabricante consiste em uma quantia fixa de R$200,00
somada ao custo de produção, que é de R$50,00 por unidade. Expresse o custo
total como função do número de unidades produzidas e construa o gráfico.
Custo total = (Custo por unidades). (Nº. de unidades produzidas) + quantia fixa
Definição
Denomina-se função linear aquela cujo valor se modifica a uma taxa constante em
relação a sua variável independente. Seu gráfico é sempre uma reta do plano
cartesiano; por essa razão. a lei da função linear é também denominada equação
da reta.
Em termos algébricos, a função linear é da forma y = ax + b onde a e b ∈ℜ, e
estes coeficientes numéricos recebem nomes particulares. Cada um deles nos dá
uma característica do gráfico da função linear:
a: coeficiente angular ⇒inclinação da reta.
B: coeficiente linear ⇒ indica em que ponto a reta intercepta o eixo das ordenadas
oy.
Coeficiente Angular de uma Reta.
Coeficiente angular de uma reta é a modificação sofrida pela ordenada y de um
ponto pertencente à reta, quando a abscissa x sofre o acréscimo de uma unidade.
Podemos calcular o coeficiente angular (a) de uma reta não vertical, quando
são conhecidos dois dos seus pontos. Suponha que (x1, y1) e (x2, y2) sejam pontos
da reta.
∆y y 2 − y1
a=
=
∆x x 2 − x1
Exemplo: Calcule o coeficiente angular da reta que liga os pontos (-2,5) e (3,-1).
O sinal e a magnitude do coeficiente angular indicam respectivamente, a
direção e a inclinação da reta. O coeficiente angular é positivo quando a função é
crescente. Caso contrário, o coeficiente angular é negativo. O valor absoluto do
coeficiente angular é grande a reta está próxima à posição vertical e é pequeno
quando está próxima à posição horizontal.
y
m=2
m=1
m=
1
2
x
13
Retas verticais
Retas horizontais
Equações da reta:
Exemplos:
a) Calcule a equação da reta que passa pelo ponto (1,8) e cujo coeficiente
angular é 3.
b) Calcule a equação da reta que passa pelos pontos (3,-2) e (1,6).
Aplicações Práticas:
Se a taxa de variação de uma quantidade com respeito a outra for
constante, a função que relaciona tais quantidades é linear. A taxa de
variação constante é o coeficiente angular da reta correspondente. Os dois
exemplos seguintes ilustram técnicas que poderemos utilizar a fim de
encontrar as funções lineares adequadas em situações dessa natureza.
Exemplo 1: Desde o início do ano, o preço de um determinado medicamento,
vem sofrendo aumento mensal de R$0,20. No primeiro dia de novembro, o
medicamento custava R$6,40. Exprima o preço cobrado no início do ano.
Exemplo 2: A média de pontos obtidos em um teste psicotécnico aplicado em
determinada empresa vem decrescendo constantemente nos últimos anos.
Em 2000, a média foi de 582, enquanto em 2003, foi apenas 552 pontos.
a) Exprima a média relativa ao teste, em função do tempo.
14
b) Se a tendência atual se mantiver qual será a média de pontos obtidos em
tal teste em 2010?
c) Daqui a quantos anos a média de pontos será de 534 pontos?
Função Quadrática
Sejam a, b e c números reais, com a não nulo. Uma função quadrática é uma
função f: ℜ → ℜ que para cada x em ℜ associa f(x)=ax2+bx+c.
Exemplos: As funções f:R ⇒ R definidas por:
•
•
•
•
f(x)
f(x)
f(x)
f(x)
=
=
=
=
x2
-4 x2
x2 -4 x + +3
-x2 + 2 x + 7
O gráfico de uma função quadrática é uma curva denominada parábola e pode ser
obtida por pontos como mostra o exemplo seguinte.
y = x2 – 4
Y
. .
. .
-3
-2
-1
0
1
2
3
..
Pontos Importantes do gráfico da parábola
O estudo prévio destes elementos facilita a representação gráfica da parábola.
15
- Cruzamento com eixo 0x .
No ponto em que a parábola de equação y = Ax2 + Bx + C cruza o eixo 0x
devemos ter y = 0.
Temos, então, três casos a considerar:
1) ∆ > o
Se ∆ > o , a equação y = Ax2 + Bx + C tem duas raízes reais e distintas x1 e x2 .
Para x = x1 e x = x2 temos y = 0. Logo neste caso a parábola cruza o eixo 0x nos
pontos (x1, 0) e (x2, 0).
2) ∆ = o
Se ∆ = o existe um único ponto x para o qual y = 0. Logo, a parábola tem um só
B
ponto comum com o eixo 0x , precisamente, o ponto (x, 0) em que x = −
.
2A
3) ∆ < o
Se ∆ < o, não existe x∈ℜ tal que y = 0. Logo, neste caso, a parábola não cruza o
eixo 0x .
Cruzamento com eixo 0y
Se x = 0 temos y = Ax2 + Bx + C = C e, portanto, a parábola cruza o eixo 0y no
ponto (0,C).
Vértice da parábola
O ponto (x,y) do gráfico da parábola, onde x = −
B
∆
ey= −
, recebe o nome
4A
2A
de vértice da parábola.
Eixo de simetria
B
denomina-se eixo de simetria
2A
da parábola. Isto significa que dados dois pontos x1 e x2 simétricos em relação ao
B
ponto x = −
, os correspondentes valores de y em x1 e x2 são iguais.
2A
A reta paralela ao eixo 0y e de equação x = −
Aplicações Práticas:
Exemplo 1: Um fabricante produz canetas ao custo de R$10,00 por unidade.
Estima-se que, se cada caneta for vendida por x, os consumidores comprarão,
aproximadamente, 80 - x canetas por mês. Expresse o lucro mensal do fabricante
como função do preço de vendas das canetas, construa o gráfico desta função e
calcule o preço com o qual o lucro do fabricante será maior.
Exemplo 2: A receita R de uma empresa que produz um certo bem de consumo é
produto do preço de venda y pela quantidade vendida x daquele bem de consumo.
Suponha que o preço y varie de acordo com x, segundo a equação y = 100 - 2x;
Determine
a)Qual a quantidade a ser vendida para que a receita seja máxima?
b)Qual o valor da receita máxima?
16
Segunda Lista de Exercícios
Funções Lineares e Quadráticas
1) Dada a função f(x) = ax+b, sabe-se que f(-1)=4 e f(-2)=10. Determinar f(x) e
f(10).
2) Um vendedor recebe mensalmente um salário composto de duas partes: uma
parte fixa, no valor de R$2.000,00 reais e uma parte variável que corresponde
a uma comissão de 8% do total de vendas que ele fez durante o mês.
a) expressar a função que representa seu salário mensal
b) calcular o salário de um vendedor que vendeu durante um mês
R$100.000,00.
3) O custo total de produção consiste em uma sobretaxa de R$5.000,00 somada
ao custo de produção, que é de R$60,00 por unidade. Expresse o custo total
de produção como função do número de unidades produzidas e construa o
gráfico correspondente.
4) Suponha que a quantidade q de um determinado produto, demandada
mensalmente pelos consumidores, dependa linearmente do preço unitário p
em reais. Sabe-se que ao preço p = 5 são consumidas 300 unidades e ao
preço p = 8, 180 unidades. Expresse a quantidade em função do preço. Que
quantidade será consumida ao preço de 10 reais?
5) Suponha que entre as velocidades de 80km/h e 140km/h o consumo de
combustível de um automóvel cresça linearmente com a velocidade. Sabe-se
que a 80km/h o consumo é de 0,1 litro/km e a 140 km/h o consumo é de 0,8
l/km. Expresse o consumo C, entre as velocidades de 80 e 140 km/h, em
função da velocidade V. Qual o consumo na velocidade de 90km/h.
6) Um fabricante adquiriu uma máquina por R$20.000,00 valor que após 10 anos
sofre depreciação linear de R$15.000,00.
a)Expresse o valor da máquina em função do tempo de compra transcorrido e
construa o gráfico correspondente.
b)Calcule o valor da máquina após 4 anos.
7) Uma companhia de turismo tomou conhecimento de que quando o preço de
uma visita a pontos turísticos é R$6,00 a média do número de passagens
vendidas por viagem é 30, e quando o preço passa a R$10,00 o número médio
de passagens vendidas é somente 18. Supondo linear a equação de demanda,
encontre-a e trace seu gráfico.
8) Duas locadoras de automóveis A e B alugam carros populares nas seguintes
condições:
A – uma taxa fixa de R$200,00 mais R$0,40 por Km rodado.
B – uma taxa fixa de R$140,00 mais R$0,65 por km rodado.
a) Expresse o custo de locação em A em função dos quilômetros rodados.
b) Expresse o custo de locação em B em função dos quilômetros rodados.
c) Em que locadora é mais vantajosa a locação?
9) Dadas as funções abaixo, determine as raízes, o vértice, o gráfico e o estudo
de sinal das mesmas:
a) f(x) = x2-7x+12 b) f(x) = -x2+2x+3 c) f(x) = x2+4x+4 d) f(x) = x2+3x+10
17
10) Um corpo é lançado do solo verticalmente para cima tem posição em função
do tempo dada pela função h(t) = 40t-5t2, onde a altura h é dada em metros e o
tempo t em segundos. Determine:
a) a altura em que o corpo se encontra em relação ao solo no instante t=3s
b) os instantes em que o corpo está a uma altura de 60m do solo.
11) Um fabricante produz objetos pelo preço de R$20,00 cada. Calcula-se que, se
cada objeto for vendido por x reais, os consumidores comprarão, por mês 120 x unidades. Expresse o lucro mensal do fabricante em função do preço e
construa o gráfico dessa função, utilizando-o para avaliar o preço ótimo de
venda.
12) Se um objeto é lançado verticalmente do solo com uma velocidade inicial de 50
m/s, a altura atingida (em metros) t segundos após é dada pela função:
H(t) = -16t2 + 160t
a) Construa o gráfico da função h(t).
b)Use o gráfico do item anterior para determinar quando o objeto atingirá o solo.
c)Use o mesmo gráfico para determinar a altura atingida pelo objeto.
13) A Receita R de uma empresa que produz um certo bem de consumo é produto
do preço de venda y pela quantidade vendida x daquele bem de consumo.
Suponha que o preço y varie de acordo com x, segundo a equação y=200 - 5x;
a)Expresse a receita da empresa em função da quantidade vendida. Esboce
o gráfico
b)Qual a quantidade a ser vendida para que a receita seja máxima?
c)Qual o valor da receita máxima?
18
Função exponencial
É a função f: ℜ⇒ℜ, definida pela lei y = ax , com a ∈ ℜ, a > 0 e a ≠1.
Exemplo : Esboce o gráfico de:
⎛1⎞
b) f(x) = ⎜ ⎟
⎝2⎠
a) f(x) = 2x
x
obs: Quando temos a > 1 a função é crescente ;
E quando 0 < a < 1a função é decrescente.
Exemplos de Aplicação:
1) Suponhamos $ 5000 investidos em uma conta que paga 8%
anualmente. Significa isto que a quantia na conta é multiplicada por 1,08
ao fim de cada ano. Denotemos por A(t) o total (montante) na conta ao
cabo de t anos. Então:
A(1) = 5000 . 1,08 1 = $ 5.400 após 1 ano
A(2) = 5000 . 1,08 2 = $ 5.832 após 2 anos,
A(3) = 5000 . 1,08 3 = 6.298,56 após 3 anos,
Etc. Assim, após t anos, o total na conta é dado pela função exponencial:
A(t) = 5000 . 1,08 t
2) O valor das vendas nas lojas Borders Books and Music aumentou de
$78 milhões em 1991 para $412 milhões em 1994. Supondo que as
vendas tenham crescido exponencialmente, ache uma equação na
forma P = P0 a t , onde P dá as vendas da Borders em milhões e t é o
número de anos desde 1991.
3) Quais das Seguintes tabelas de valores corresponderiam a uma função
exponencial, uma função linear ou nenhuma dessas coisas? Para as
que corresponderiam a uma função exponencial ou uma função linear,
ache uma fórmula para a função.
a)
b)
c)
X
f(x)
X
g(x)
X
h(x)
0
16
0
14
0
5,3
1
24
1
20
1
6,5
2
36
2
24
2
7,7
3
54
3
29
3
8,9
4
81
4
35
4
10,1
3.4 Função Logaritmo
(Revisão de logaritmos)
19
Logaritmo de n na base a é o expoente c que se deve atribuir à base a para
se obter o número n.
Loga n = c ⇔ ac = n , n e a > 0 e a ≠ 1
Propriedades:
l) loga 1 = 0
lll) loga am = m
ll) loga a = 1
lV) aloga b = b
logaritmos decimais:
log 1 = 0;
log 10 = 1;
log 10m = m;
10log b = b
ln em = m
eln b = b
logaritmos naturais ou neperianos:
ln 1 = o;
ln e = 1
Propriedades Operatórias:
Sejam a,b, e c positivos e a ≠ 1
Logaritmo do Produto: loga(b.c) = loga b + loga c,
b
Logaritmo do Quociente: loga ( ) = loga b - loga c
c
Logaritmo da Potência: loga bn = n loga b n ∈ R
Função logaritmo é a função f: ℜ *+→ ℜ , definida pela lei:
y = loga x,
com a ∈ ℜ , a>o e a ≠ 1;
f(x) = loga x
Exemplos: Esboce o gráfico:
a) f(x) = log2 x
b)f(x) = log
x
1
2
20
Terceira Lista de Exercícios
Funções Exponencial e Logaritmo
1) Construa o gráfico, dê o domínio e a imagem de cada função e diga se ela é
crescente ou decrescente.
a) f(x) = ln x
b) f(x) = ex
c) f(x) = log3 x
d) f(x) = 3x
2) Calcular o valor da expressão:
a) log5125 + log0,01 - log√10 – log1/39 + log39√3
3) Resolver as equações logarítmicas:
a)log2(3x-2) = 5
b)log3(x2-2x) = log3(5x-10)
c)log3 x – 12log3x + 27 = 0
d)log5[log4(log3x)]=0
e)log2(x+3) + log2(x-4) = 3
f)log2(x2+2x-7) – log2(x-1) = 2
g) log3(x-1) + log3(2x+1) – log3(x-3) = 3
4) Calcular os logaritmos utilizando o processo de mudança de base e a calculadora:
a) log57 b) log1310
5) Resolver as equações utilizando o processo de mudança de base e a calculadora:
a) 2x = 5
b) 32x = 4
6) Projeta-se que, daqui a t anos, a população de um certo país será de
0 , 02 t
P(t) = 50 l
milhões .
a) Qual é a população atual?
b) Qual será a população daqui a 30 anos?
7) Daqui a t anos, o valor de um automóvel será V(t) = 18000.(0,65)t dólares.
Determine:
a) o valor do carro daqui a 3 anos. (utilize a calculadora).
b) Após quantos anos aproximadamente o carro terá o valor de 12000 reais?
c) Após quantos anos o carro valerá a metade de seu valor atual?
8) Em certa região, uma determinada doença cresce a uma taxa de 12% ao mês.
Considerando-se que hoje há 200 infectados e que a função matemática que
representa a quantidade de infectados em relação ao tempo em meses é dada por f(x)
= 200.(1,12)x, determine:
a) o número de infectados após 5 meses, considerando que a doença não foi
controlada
b) após quantos meses aproximadamente o número de infectados será de 350
pessoas.
9) João investiu R$1.000,00 em uma aplicação que rende 5,25% de juros compostos
ao ano. Qual será o valor do montante depois de seis meses? E depois de dezoito
meses? Quanto tempo será necessário para que o saldo atinja R$ 2500,00?
10) Estima-se que a população de um certo país cresça exponencialmente. Se a
população era de 60 milhões em 1986 e de 90 milhões em 1991, qual será a população
em 2001?
11) Os seguintes dados foram compilados por um pesquisador durante os primeiros 10
minutos de um experimento projetado para estudar o crescimento de bactérias:
21
Número de minutos
0
10
Número de bactérias
5000
8000
Supondo que o número de bactérias cresça exponencialmente, quantas bactérias
haverá após 30 minutos. Quantos minutos levará para que o número de bactérias atinja
50% do valor atingido em 30 minutos?
12) Um automóvel vale hoje R$ 20.000,00. Estima-se que seu valor (y) daqui a x anos
seja dado pela função exponencial y = a . bx. Sabendo-se que o valor estimado para
daqui a três anos será R$ 15.000,00, Qual é o valor estimado para daqui a 6 anos?
13) Suponha que o total de sapatos produzidos por uma pequena indústria é dado,
aproximadamente, pela função S(t) = 1000 . log2(1 + t), onde t é o número de anos e S
é o número de sapatos produzidos, contados a partir do início de atividade da indústria.
Determine tempo necessário e suficiente para que a produção total seja o triplo da
produção do primeiro ano.
22
Aula 4: Limites e Continuidade
Com estudo dos limites e derivadas, teremos ainda mais recursos para a
análise do comportamento de uma função, e também para a elaboração mais
minuciosa de seu gráfico.
O gráfico de uma função f: R ⇒ R nos mostra visualmente como variam os
valores de f(x) à medida que variamos x em R. É um instrumento importante, que
nos ajuda a reconhecer as propriedades de f. Considerando a função f(x) = 2x + 1,
vamos analisar seu comportamento nas proximidades do ponto x = 2.
Atribuindo a x valores menores que 2, cada vez mais próximos de 2,
dizemos que estamos fazendo x tender a 2 pela esquerda, ou por valores menores
que 2, e escrevemos: x ⇒ 2 - ( leia: x tende a dois pela esquerda). Estamos
tomando valores de x cada vez mais próximos de 2, porém menores do que 2. A
tabela seguinte nos mostra o que ocorre, neste caso, com f(x) = 2x + 1:
x
1,8
1,9
1,95
1,99
1,995
1,999
X ⇒ 2-
f(x)
Atribuindo a x valores maiores que 2, cada vez mais próximos de 2,
dizemos que estamos fazendo x tender a 2 pela direita ou por valores maiores
que 2, e escrevemos x ⇒ 2+ (leia: x tende a dois pela direita). Estamos tomando
valores de x cada vez mais próximos de 2, porém maiores que dois:
x
2,2
2,1
2,05
2,01
2,005
2,001
X ⇒ 2+
f(x)
Em ambos os casos notamos que, quando x tende a 2, f(x) tende a 5,
quanto mais próximo x está de 2 tanto mais próxima f(x) está de 5.
Definição:
Seja f a função definida à direita e à esquerda de b, conforme demonstra o
gráfico.
L1
L2
b
23
Para descrever este comportamento dizemos que o limite lateral direito de f
no ponto b e o número L1 e escrevemos: limx ⇒ b+ f(x) = L1 . E que o limite lateral
esquerdo é o número L2 e escrevemos lim x ⇒ b - f(x) = L2 . Neste caso os limites
laterais não são iguais.
Considerando, agora, a função g:
L
b
Observando o gráfico podemos afirmar que lim x ⇒ b- g(x) = L e lim x ⇒ b+
g(x) = L isto é, que os limites laterais de g no ponto b são iguais.
Neste caso, dizemos que a função g tem limite L no ponto b. Lim x ⇒ b g(x)
=L
No exemplo anterior os limites laterais são distintos, e por isso dizemos que
a função f não tem limite no ponto b.
Continuidade
Se lim x ⇒ b g(x) = g(b), isto é se g tem limite no ponto b e tal limite coincide
com valor de g no ponto b, dizemos que g é uma função contínua no ponto b.
Exemplos: Verificar se as funções a seguir possuem limite no ponto b
1) f(x) = x2
⎧ x 2 sex ≤ 0
⎨
2)f(x) = ⎩1 + x 2 sex > 0
b=2
b=0
x +1
;x ≠ -2
x+2
b=4
x2 − 4
4)f(x) =
;x ≠ 2
x−2
b=2
3)f(x) =
5)f(x) =
1
x ≠ 0
x
b=4
6) f(x) =
x x ≥ 0
b=9
7) f(x) =
x x ≥ 0
b=0
24
Limite Infinito
Seja f uma função definida à direita de um ponto b . Dizemos que f tem limite
lateral direito + ∞ (mais infinito) no ponto b e escrevemos lim x→b − f ( x) = +∞ ,
quando qualquer que seja o número k > b , existe x > b , tal que f ( x) > k .
De modo análogo, se f está definida à esquerda de b , dizemos que f tem limite
lateral esquerdo + ∞ no ponto b e escrevemos lim x →b + f (x) = +∞ , quando para
k > 0 existe x < b tal que f ( x) > k .
Se b , dizemos que f tem limite + ∞ no ponto b e escrevemos lim x→b f ( x) = +∞ .
Exemplos: Verifique se existe o limite da função no ponto b :
1
b=0
a) f ( x) =
|x|
1
b=0
b) f ( x) = 2
x
Outros exemplos
1
c) f ( x) =
b=0
x
1
b=2
d) f ( x) =
x−2
1
e) f ( x) =
b=0
x
Exercícios
Verificar se as funções a seguir possuem limite no ponto b.
1
b=5
f ( x) =
x−5
1
f ( x) = 2
b=0
x
x+2
b=2
f ( x) =
2−x
3− x
b=0
f ( x) = 2
x
Limite no Infinito
Seja f uma função definida num intervalo (a,+∞) . Se à medida que x assume
valores cada vez maiores no intervalo (a,+∞) os correspondentes valores de f (x)
se aproximam de um número L, dizemos que o limite de f para x tendendo a
+ ∞ é L.
Exemplos: Determine os limites:
1
a) lim x →+∞ ; x > 0
x
25
2x + 1
=
x−2
De modo análogo podemos definir os limites para a função definida no intervalo
(+∞,0) . Exemplos:
a) lim x →−∞ − x =
b) lim x →+∞
lim x →−∞ x 2 =
lim x →−∞ x 3 =
Lista de Exercícios IV
Limites
1. Explique o significado da equação lim f ( x ) = 5
x →2
2. Explique o que significa lim f ( x ) = 3 e lim f ( x ) = 7 . Nessa situação é possível que lim f ( x )
x →1−
x →1+
x→1
exista?
3. Explique o significado de cada uma das notações a seguir:
a) lim f ( x ) = ∞
b) lim f ( x ) = −∞
x → −3
x → +4
4. Para a função f cujo gráfico é dado, determine o valor da
quantidade indicada, se ela existir. Se não existir, explique por
que.
b) lim f ( x )
c) lim f ( x ) d) lim f ( x ) e) f(3)
a) lim f ( x )
x→0
x →3 −
x →3 +
x→3
5. Determine, se existir, o valor do limite a partir do gráfico dado.
Se não existir, explique por que.
a) lim f ( x ) b) lim f ( x )
c) lim f ( x )
d) lim f ( x )
x→3
e) lim f ( x )
x →2 +
x→1
x → −3
x →2 −
f) lim f ( x )
x→2
26
6. Para a função g cujo gráfico é dado, determine: a) lim g( x )
x → −6
b) lim g( x ) c) lim g( x ) d)
x →0 −
x →0 +
lim g( x )
x→ 4
7. Calcule os limites:
(
a) lim x 2 − 4 x + 3)
x →5
)
5x3 + 4
x →2 x − 3
b) lim
8. Calcular os limites indeterminados (caso 0/0) utilizando algum processo de fatoração:
(x 3 + 2x 2 - 5x + 2)
a) lim x→2
(x - 1)
b) lim x→-7
(x 2 - 49)
(x + 7)
c) lim (x3-8)/(x-2)
x→2
d) lim (x2+8x+16)/(x+4)
x→-4
e) lim (8x4+x3-5x2+7x)/(x2-x)
x→0
⎧ x + 2 se x ≥ 2
⎪
9) Dada a função f(x) = ⎨
⎪ 2 x se x < 2
⎩
a)
b)
c)
d)
esboçar o gráfico
calcular os limites laterais para x = 2
verificar se existe o limite de f(x) para x→2
verificar se f é contínua em x = 2. Justifique
⎧ x 2 + 3 se x ≥ 3
⎪
10) Dada a função f(x) = ⎨
⎪ 4x
x<3
⎩
a)esboçar o gráfico
b) calcular os limites laterais para x=3
c)verificar se existe o limite de f(x) para x→3
d) verificar se f é contínua em x=3. Justifique
27
⎧ x 2 se x ≥ 2
⎪
11) Dada a função f(x) = ⎨
⎪ x + 1 se x < 2
⎩
a) esboçar o gráfico
b) calcular os limites laterais para x = 2
c) verificar se existe o limite de f(x) para x→2
d) verificar se f é contínua em x = 2. Justifique
⎧3 x + 1 se x ≠ 1
⎪
12) Dada a função f(x) = ⎨
⎪ 0
se x = 1
⎩
a) esboçar o gráfico
b) calcular os limites laterais para x = 1
c) verificar se existe o limite de f(x) para x→1
d) verificar se f é contínua em x = 1. Justifique
13) Calcular os limites:
a) lim (3x2+2x-1)
x→∞
b) lim (4x3+2x2-10x +1)
x→-∞
c) lim (3x2+2x-1)/(7x3+3x-2)
x→∞
d) lim (5x2+3x-1)/(7x2+6x-2)
x→∞
e) lim (9x5+2x-1)/(3x4+3x-2)
x→∞
15) Calcular os limites:
a)lim (sen(x)/x)
b) lim (1+1/x)x
x→0
x→∞
28
Aula 5: DERIVADAS
A diferenciação é um dos conceitos básicos do ramo da Matemática conhecido
como cálculo e possui grande variedade de aplicação como o traçado de curvas, a
otimização de funções e a análise de taxas de variação.
Geometricamente falando a derivada nos dá a inclinação de uma curva em um
ponto.
- Inclinação da Curva.
Vimos que conhecendo a inclinação e um ponto de uma reta, podemos determinar
sua equação.
Imaginemos que o gráfico cartesiano de uma função y = f(x) admita uma reta
tangente t num ponto P.
A inclinação da curva no ponto P é dada através da inclinação da reta tangente;
para definir a inclinação da curva em P, não devemos considerar o que acontece
em um ponto Q muito afastado de P.
Exemplo 1: Dada f(x) = x2, determinar a inclinação da curva no ponto em que x =
1.
De modo geral, a abscissa de um ponto próximo de (1,1) pode ser escrita 1+h,
onde h é um número muito pequeno, positivo ou negativo, mas diferente de zero.
Logo (1+h, 1+2h+h2) pertence à curva. A inclinação da reta que passa entre os
dois pontos (1,1) , (1 + 2h + h2) é:
m=
Quando o ponto cuja abscissa é 1+h se aproxima do ponto (1,1), o número h se
aproxima do zero. Quando h se aproxima de 0, a inclinação da reta que passa
pelos dois pontos se aproxima de 2 , que é, portanto a inclinação da curva no
ponto (1,1) .A inclinação de uma curva em um determinado ponto é o valor para o
qual tende o quociente das diferenças quando h tende a zero. Lembrando que
limite é o valor para o qual uma função tende quando sua variável tende para um
número específico, obtemos: "inclinação da curva é igual ao limite, quando h tende
f (x + h) − f (x )
h
a zero, de
f (x + h) − f (x )
h
M = limh → 0
Exemplo 2: Achar a inclinação da curva f(x) = x2 no ponto (-2,4).
Exemplo 3: Achar a inclinação da curva f(x) = x2 em um ponto arbitrário.
29
Definição
A derivada de uma função f é aquela função, denotada por f', tal que seu valor em
f (x + h) − f (x )
h
se
todo número x do domínio de f seja dado por f'(x) = limh → 0
este limite existe. Notação de Derivada.
Além de f'(x), outros símbolos são usados para representar a derivada. Por
dy
dy
exemplo:
Então se y = x2 ,
= 2x
dx
dx
2
Exemplo 4 : Calcular a derivada de f(x) = 3x + 12.
Técnicas de Diferenciação
1 - Se c é uma constante e se f(x) = c para todo x, f'(x) = 0. A derivada de uma
constante é zero. Exemplos: f(x) = 5 ⇒ f'(x) =
⇒ g'(x) = ---g(x) = -20
2 – Se n é qualquer número real, e se g(x) = xn, então g'(x) = nxn-1. Exemplos:
8
⇒ f'(x) = ---f(x) = x
⇒ h'(x) = ---h(x) = x
1
⇒ g(x) = x 2 ⇒ g'(x) = ---g(x) = x
3 – Se f é uma função, e c é uma constante, e g é a função definida por g(x) =
cf(x), então se f'(x) existe, g'(x) = cf'(x). Exemplos:
g(x) = 5x7
⇒ g'(x) = ---f(x) = 9 x
2
3
⇒ f'(x) = ----
4 – Se f e g são funções e h é a função definida por h(x) = f(x) + g(x), então h'(x) =
f'(x) + g'(x). Exemplos:
h'(x) =
h(x) = x2 + x ⇒
h(x) = 7x4 – 2x3 + 8x + 5 ⇒ h'(x) =
5 – Se f e g são funções e se h é a função definida por h(x) = f(x) . g(x), então h'(x)
= f(x). g'(x) + f'(x). g(x). Exemplos:
h(x) = (2x3 – 4x2) . (3x5 + x2)
⇒ h'(x) =
h(x) = (3x2 + 2x) . (x – 1) ⇒ h'(x) =
6 – Se f e g são funções, e se h é a função definida por h(x) =
então, se f'(x) e g'(x) existem, h'(x) =
f ( x)
, g(x) ≠ 0
g ( x)
g ( x) f ' ( x) − g ' ( x) f ( x)
.
( g ( x )) 2
Exemplo:
30
h(x) =
2x3 + 4
x2 − 4x + 1
Exercícios
1) Determine a derivada das seguintes funções:
a) f(x) = x3 – 3x2 + 5x – 2
1
b) f(x) = x 8 − x 4
5
1 4 1 3
c) f(t) = t − t
4
2
1
d) f(x) = x2 + 3x + 2
x
3
5
e) f(x) = 2 + 4
x
x
1
f) f(x) = x 3 +
x3
2
2
1
x2
x+2
3
+
+ 5+
g) f(x) = - 2 + x +
3
x
2 x 4
h) f(x) = 10 (3x + 1) (1 - 5x)
i) f(x) = (2x4 – 1) . (5x3 + 6x)
x
j) f(x) = 2
x +1
2x +1
l) f(t) =
(3 x − 1)
x+5
Derivada da função Exponencial
f(x) = ax ⇒ f’(x) = ax ln a
Exemplos: f(x) = 2x ⇒ f’(x) =
f(x) = ex ⇒ f’(x) =
Derivada da função Logarítmica
f: ℜ + ⇒ ℜ
1
f(x) = loga x ⇒ f’(x) =
x ln a
Exemplos: f(x) = ln x ⇒ f’(x) =
f(x) = 3ln x ⇒ f’(x) =
f(x) = log5 x ⇒ f’(x) =
Exercícios
Nos exercícios de 1 a 12 obtenha a função derivada da função dada.
1) f(x) = 10 . ex
2) f(x) = 2. 3x
3) f(x) = log2 x
4) f(x) = 1 + 2lnx
31
5) f(x) = x2 + 2x + 1
6) f(x) = ln x + 2ex
7) f(x) = x2 . ex
8) f(x) = 4 + 5x2. lnx
ln x
9) f(x) =
x
1+ ex
10) f(x) =
1− ex
x +1
11) f(x) =
x ln x
ex
12) f(x) = 2
x +1
32
Regra da Cadeia
Regra de derivação de uma função composta:
Regra da Cadeia
Sejam u e v duas funções deriváveis e f = u o v; Portanto f(x) = (u o v ) (x)= u(v(x))
f’(x) = u’(v(x)) . v’(x)
Exemplos: derivar f(x) = (x3 + x2 + 5x)10
Exercícios
Derivar:
1) f(x) = (x2 + 3x + 20)6
2) f(x) = (x + 2)7
⎛ 3x + 3 ⎞
3) f(x) = ⎜
⎟
⎝ 2x − 5 ⎠
4) f(x) = (4x2 + 5)3 . (x2 – 5)
5) f(x) = ln (x3 + 3x2- 2x)
6) f(x) = ln (x2 + 5)
7) f(x) = x3 + e2x
8) f(x) = x . e-2x
9) f(x) = (1 + 3 x )4
3
10) f(x) =
11) f(x) =
3x + 1
2x −1
1
4 x 2 + 5x
x3 − 2
5
−
+x
12) f(x) =
3
2− x
13) f(x) = (1 – x) . 1− 2 x
14) f(x) =
x + ex
Derivada das Funções trigonométricas
f(x) = sen x ⇒ f’(x) = cos x
f(x) = cos x ⇒ f’(x) = - sen x
1
f(x) = tg x ⇒ f’(x) = cos 2 x
No caso da função composta:
f(x) = sen (u(x)) ⇒ f’(x) = cos (u(x)) . u’(x)
f(x) = cos (u(x)) ⇒ f’(x) = - sen (u(x)) . u’(x)
Exemplos:
a) f(x) = sen 3x
b) f(x) = -4 sen x2
c) f(x) = sen3 x
33
d) f(x) = cos 5x
e) f(x) = cos 5x
Exercícios
Determine a derivada
1) f(x) = sen t3
2) f(x) = (sen x + cos x )5
3) f(x) = cos (x3 –2x)
4) f(x) = cos ex
5) f(x) = sen (cos x)
x +1
6) f(x) =
x. sen x
cos x
7) f(x) = 2
x +1
8) f(x) = x2 . tg x
9) f(x) = cos x + (x2 + 1) . sen x
x + sen x
10) f(x) =
x − cos x
11) f(x) = x2 sen x + cos x
1) f(x) = ex . cos x
34
Lista de Exercícios V
Derivadas
1) Determinar a derivada da função f(x) = x2 no ponto x=3 utilizando a definição
de derivada.
2) Determine a primeira derivada de:
a) f(x) = 10x3-5x2+3x+9
b) f(x) = 5senx + 23cosx -4
c) f(x) = ex – lnx + 3x – 1
d) f(t) = sent – t3/2
e) f(u) = cosu+ 9lnu- 1/u2
f) f(x) = 2x + 3x – 4
g) f(x) = tan x + x
4
6
h) f(x) = 5 x 2 − 6 + x − 6
x
x
3) Determine a primeira derivada de:
a) f(x) = senx . x2
b) f(t) = cost. (t3+2t-1)
c) f(m) = 3m. (2m8+5m)
d) f(x) = x . ln x
3x − 1
e) f(x) =
senx
ln x
f) f(x) =
cos x
4x2 − 8x + 1
g) f(x) =
3 x8 − 1
4)
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
m)
n)
o)
Calcular a primeira derivada de cada função abaixo:
f(x) = (x5+2x-4)7
f(x) = (3x2+2x-6)3
f(x) = (6x-1)8
f(x) = ln(x2+4x)
f(x) = ln(3x7+2)
f(x) = ln (5x9+3)
f(x) = ln(senx)
f(x) = ln (cosx)
f(x) = sen (3x-1)
f(x) = sen(x2+4x-2)
f(x) = cos(2x-7)
f(x) = cos (3x6)
f(x) = e2x
f(x) = e5x+1
f(x) = sen5x
35
p) f(x) = cos2x
q) f(x) =
r)
s)
t)
u)
x 2 − 3x + 4
3
f(x) = e z
f(t) = cos(wt+3)
f(t) = sen(wt3+2t)
f(t) = e9t+2
5) Calcular a primeira derivada de:
a) f(x) = sen(3x+4). e2x+5
b) f(t) = cos(5t+2).ln(t2-7t+1)
( x 3 − 8 x + 2) 4
c) f(x) =
ln( x 5 + 3x)
cos(3 x − 2)
d) f(x) =
3
e4 x
6) Calcular a primeira derivada de:
( x 3 − 9 x + 2) 4
a) f(x) =
sen( x 5 + 3x)
b) f(x) = ln(x3+5x2-1)
1
c) f(x) = x 3 + 9 x 7 − 9
x
d) f(x) = senx + 9x4-8cosx + ex
e) f(t) = (9t3-1)5. (24x+1)
f) f(x) = ex. lnx
g) f(x) = 3 x + 2 . tan x
7) Calcular até a derivada de ordem 3:
a) f(x) = x4-2x3+9x-7
b) f(x) = sen(3x)
8) Determinar a equação da reta tangente:
a) ao gráfico de f(x) = x no ponto (1,1).
b)
b) ao gráfico de f(x) =x2+3x+7 no ponto (0,7).
c) ao gráfico de f(x) =x3+2x-4 no ponto de abscissa igual a 2.
d) ao gráfico de f(x) =6x5+2x-1 no ponto de abscissa igual a –5.
e) ao gráfico de f(x) = senx no ponto (π/6, ½)
9)Um ponto em movimento obedece à equação horária S(t) = t2+ t . (t em
segundos e S em metros). Determine a sua velocidade no instante t=1s.
10)Um ponto em movimento tem velocidade variável segundo a expressão
v(t)=t3+lnt . Determinar a sua aceleração no instante t=2s
36
11)Determinar a velocidade e a aceleração no instante t=3s de um móvel que tem
π
π
equação horária S (t ) = 3 cos( .t + )
2
2
Aula 6: Introdução às Aplicações da Derivada
O tópico sobre aplicações de derivadas será dado no próximo semestre.
Estudaremos, aqui, apenas um exemplo para ilustrar esse tema.
O máximo local e o mínimo local de uma função está relacionado com o valor em
que a primeira derivada desta função se anula. Se a segunda derivada no ponto
encontrado é positiva, então esse ponto é de mínimo local. Se a segunda derivada
no ponto encontrado é negativa, então esse ponto é de máximo local.
Derivadas de ordem mais elevada.
Derivada Segunda
A derivada Segunda fornece a taxa de variação da taxa de variação da função
original.
A derivada Segunda de uma função é a derivada de sua derivada. Se f’ é a função
derivada de uma f e se f’ é derivável sua derivada é chamada de derivada
segunda de f, e pode ser representada por f’(x). Do mesmo modo podemos definir
as derivadas terceira, quarta, quinta, etc., de f.
Exemplos:
a) f(x) = x2
f’(x) = 2x (derivada primeira)
f’’(x) = 2 (derivada segunda)
f’’’(x) = 0 (derivada terceira)
f4(x) = 0 (derivada quarta
b) Ache todas as derivadas da função f definida por:
f(x) = 8x5 + 6x3 – x2 + 6
Os sinais da derivada primeira.
Os sinais da função derivada f’ estão relacionados ao crescimento ou
decrescimento de f. Valem as seguintes propriedades:
a)
Se f’(x) é positiva para todo x de um intervalo I, então f é crescente em I; f’(x) >
0, ∀ x ∈ I ⇒ f é crescente em I.
b)
Se f’(x) é negativa para todo x de um intervalo I, então f é decrescente em I;
f’(x) < 0, ∀ x ∈ I ⇒ f é decrescente em I.
Pontos Críticos
São os pontos onde f’(x) = 0 podem ser de máximo ou de mínimo ou de inflexão.
Exemplos.
(no caderno)
Exercícios
Determinar os pontos críticos e estudar a variação de cada função. E faça um
esboço do gráfico.
37
a) f(x) = x3 – 3x
x4
b) f(x) =
− x +1
4
∀ x ∈ℜ
-2 ≤ x ≤ 2
Problemas Práticos
1) Um fabricante de caixas de papelão deseja fazer caixas se tampa de pedaços
quadrados de papelão com 12 cm de lado, cortando quadrados iguais dos quatro
cantos e virando para cima os lados. Ache o comprimento do lado do quadrado a
ser cortado para se obter uma caixa com o maior volume possível.
2) Um terreno retangular as margens de um rio deve ser cercado, menos ao longo
do rio, onde não há necessidade de cerca. O material para a cerca custa R$12,00
por metro no lado paralelo ao rio e R$8,00 por metro nos outros dois lados. Dispõe
de R$3600,00 para gastar com a cerca. Ache as dimensões do terreno de maior
área que pode ser cercada com R$3600,00
Exercícios
1) Um refrigerante é vendido em latas cilíndricas de volume 400 ml. Calcular o raio
da base de modo que o material gasto na embalagem seja o mínimo possível (isto
é, de modo que a área total do cilindro seja mínima).
2) Deseja-se construir uma piscina retangular de 24 m de perímetro e
profundidade 1,50 m. Se o metro cúbico de água necessária para encher a
piscina?
3) Se uma lata de zinco de volume 16 π cm3 deve ter a forma de um cilindro
circular reto, ache a altura e o raio para que o material usado na sua fabricação
seja mínimo.
38
Bibliografia Básica:
BOULOS, P. Cálculo diferencial e integral. 10. ed, São Paulo: Makron Books, 1999, vol.
1.
CHAPMAN, S.J. Programação em Matlab para Engenheiros. São Paulo: Pioneira
Thomson Learning, 2003.
STEWART, J. Cálculo. 4 ed., São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2001, vol.1.
Bibliografia Complementar:
ANTON, H. Cálculo: um novo horizonte. 6 ed. Porto Alegre: Bookman, 2000,
vol1.
EDWARDS JR, C.H. Cálculo com geometria analítica. 4ed., Rio de Janeiro:
Tebel, 1994, vol.1.
GUIDORIZZI, H.L. Um curso de cálculo. 3ed., São Paulo: Cia Nacional, 2001, vol
1.
FLEMMING, D.M.; GONÇALVES, M.B. Cálculo A: funções, limite, derivação,
integração. 5 ed., São Paulo: Makron Books, 1992.
HOFFMANN, L.D.; BRADLEY,G.L. Cálculo: um curso moderno e suas
aplicações. 6 ed., Rio de Janeiro: LTC, 2002.
39