MATEMÁTICA FORMULÁRIO 30o 45o 60o sen cos tg 1 1) an = a1+

MATEMÁTICA
FORMULÁRIO
sen
cos
tg
30o
45o
60o
1
2
2
2
3
2
3
3
2
2
3
2
1
2
1
3
1) an = a1+ (n-1) . r
10) Vparalelepípedo = a.b.c
⎛ a + an ⎞
2) Sn = ⎜ 1
⎟. n
⎝ 2 ⎠
11) Vcubo = a 3
3) an = a1 . qn –1
12) Vcone =
n
a1 .(q − 1)
4) Sn =
5) S =
q −1
a1
1− q
6) Anp =
n!
(n − p)!
13) dA,B=
AB . h
3
( xB − x A )2 + ( yB − y A )2
14) (x – a)2 + (y – b)2 = r2
15) Aesfera = 4.π.r2
7) Pn = n!
16) Alateral cone = π.r.g
n!
α! β!
n!
9) Cnp =
p! (n − p)!
17) Atrapézio = (B + b) ⋅ h
α ,β
8) P n
=
2
Questão 21
Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S).
2
3
01. Dividindo-se 2 3 por 2 2 obtém-se 1.
02. Os astrônomos usam o termo ano-luz para representar a distância percorrida pela luz em
um ano. Se a velocidade da luz é de 3,0 × 105 km/s e um ano tem aproximadamente
3,2 × 107 segundos, então a distância em quilômetros da estrela Próxima Centauri, que está
aproximadamente a 4 anos-luz de distância da Terra, é 3,84 × 1013.
04. Para Pitágoras e seus discípulos um número é perfeito se a soma dos divisores desse
número, com exceção dele mesmo, é igual ao próprio número. Portanto, segundo o critério
dos pitagóricos, o número 28 não é perfeito.
08. Uma grandeza x (x>0) varia de forma inversamente proporcional ao quadrado da grandeza
y (y>0). Se para x = 16 temos y = 3, então para x = 4 temos y = 12.
2
do preço do quilo do pão doce. Se para
3
comprar 4 quilos de pão salgado e 6 quilos de pão doce você vai gastar R$ 26,00, então o
16. Numa padaria, o quilo do pão salgado custa
quilo do pão salgado custa R$ 6,00.
32. Ana tem ao todo 15 notas, sendo essas notas de 1 real, 5 reais e 10 reais, totalizando
100 reais. Se Ana tem pelo menos uma nota de cada tipo, então Ana possui 5 notas de
1 real.
64. Se Lucas pesa 70 kg e senta a 1,1 m do centro de apoio de uma gangorra, então Sofia,
que pesa 55 kg, deverá sentar a 1,4 m do centro para que a gangorra fique em equilíbrio.
Gabarito: 98 (02+32+64)
Número de acertos: 603 (8,78%)
Grau de dificuldade previsto: fácil
Grau de dificuldade obtido: difícil
A questão compreende sete proposições, que envolvem conhecimentos básicos e
fundamentais de alguns dos principais tópicos do Ensino Fundamental e sua aplicação em
situações-problema, como potências e suas propriedades, notação científica, divisores de um
número natural, grandezas diretamente e inversamente proporcionais e sistemas de equações
do primeiro grau. A porcentagem de candidatos que obtiveram acerto total foi muito baixa
(apenas 8,78%), com um espalhamento correlato distribuído entre várias respostas. Esta foi a
segunda questão da prova a ter o menor índice de acerto e, portanto, a segunda mais difícil. É
surpreendente o fato de que mais de 90% dos candidatos tiveram dificuldades de trabalhar
com conhecimentos básicos e fundamentais de temas que, além de bastante explorados no
Ensino Fundamental, são também utilizados ao longo do Ensino Médio e aplicados em
situações reais, como comprar pão e brincar de gangorra. Além da resposta correta - 98
(02+32+64) -, outras respostas predominaram no quadro de freqüência, que são, em ordem
decrescente de preferência: 32 – 6,66%; 33 (01+32) – 4,60%; 36 (04+32) – 4,50%; 96 –
(32+64) 4,38%; 34 (02+32) – 4,28%; 66 (02+64) – 3,51%; 37 (01+04+32) – 3,42%. Como podese observar mais uma vez, na dúvida os candidatos optam pelo acerto parcial, como pode-se
verificar através dos índices das respostas 32, 34, 66 e 96. A proposição correta, 32, obteve
58,62% da preferência dos candidatos e foi responsável também pelos índices alcançados por
outras respostas das quais fazia parte, como pode-se observar acima. Talvez o bom índice
obtido por esta proposição se deva ao fato de que o tópico envolvido, ou seja, sistemas de
equações do primeiro grau, é explorado desde a sexta série do Ensino Fundamental, além do
fato de que o candidato poderia resolver a situação-problema proposta pelo método da
tentativa e erro. Esperava-se ainda, um índice superior aos 41,16% obtidos pela proposição
64, já que ela envolve um dos mais básicos e fundamentais temas que é a proporcionalidade,
em particular a aplicação da regra de três em situações de proporcionalidade inversa. A
situação-problema desta proposição poderia também ser resolvida aplicando-se os
conhecimentos de Física do Ensino Médio, mais especificamente aqueles relativos ao equilíbrio
estático dos corpos. Outra forma, ainda, de o candidato intuir a veracidade ou não da
proposição é o fato de que a gangorra está presente em praticamente todos os parques de
diversão e qualquer criança que já brincou em uma gangorra com seus colegas de diferentes
pesos sabe que a criança mais pesada deve aproximar-se (sentar mais próxima) do pivô para
que a gangorra esteja em equilíbrio. As grandes responsáveis pelo erro e pelo espalhamento
nesta questão foram a consideração das proposições 01 e 04 como corretas, com 37,59% e
32,59% da preferência dos candidatos, respectivamente. Provavelmente, a maioria dos
( )
2
candidatos que assinalou a proposição 01 como correta considerou que: 23 = 23 = 26 e que
2
( )
3
22 = 22 = 26 , o que implica 23 : 22 = 1. Mas os resultados são diferentes: 23 = 29 e 22 = 28 , o
3
2
2
3
3
2
3
que leva a 23 : 22 = 2. Talvez a maioria dos candidatos que assinalou a proposição 04 como
correta não tenha dado a devida atenção ao fato de que um número é perfeito se a soma dos
divisores desse número, com exceção dele mesmo, é igual ao próprio número, o que se
verificava para o número 28 (28 = 1+2+4+7+14). Ou, talvez ao determinar os divisores de 28,
tenham esquecido de considerar o número 1, que é divisor de todos os números, e assim
julgaram equivocadamente a proposição como correta, isto é, o número 28 não é perfeito.
Questão 22
Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S).
01. Um vendedor recebe, ao final de cada mês, além do salário-base de R$ 400,00, uma
comissão percentual sobre o total de vendas que realizou no mês. No gráfico abaixo estão
registrados o total de vendas realizadas pelo vendedor e o salário total recebido por ele.
Total de salários
em reais
2200
2000
1800
1600 •
1400
1200
1000 •
800
600
400 •
200
•
•
0
•
•
6000
12000
18000
Total de vendas
em reais
Com base nos dados fornecidos pelo gráfico, pode-se afirmar que a comissão do vendedor
é de 20% sobre o total de vendas que realizou no mês.
02. Observe o quadrado de lado 10 cm da figura abaixo. A área da parte colorida será sempre
a metade da área do quadrado, independentemente do valor escolhido para x.
x
x
⎛
⎞
04. Em Química, o pH é definido por: pH = log ⎜ 1+ ⎟ , onde [H+] é a concentração de
⎜[H ] ⎟
⎝
⎠
hidrogênio em mol por litro de solução. Para uma solução de ácido clorídrico cuja
-4
-1
concentração hidrogeniônica é 2 × 10 molL , o pH é igual a 4,3.
Considere: log 2 = 0,30.
08. Uma decoradora comprou 240 rosas para colocar nas mesas de um salão. Na hora da
festa, havia 4 mesas a mais do que o planejado. Por isso, ela precisou tirar 2 rosas de
cada mesa para que todas ficassem com a mesma quantidade. O número de mesas que a
decoradora havia planejado decorar era 12.
16. Bento vai para a escola. Depois de algum tempo caminhando, lembra-se da sua carteira de
estudante e pára para procurá-la nos bolsos e na mochila. Percebe que esqueceu a
carteira em casa e corre de volta para pegá-la. O gráfico abaixo corresponde a essa
situação vivenciada por Bento.
Tempo
Posição
Gabarito: 18 (02+16)
Número de acertos: 2276 (33,25%)
Grau de dificuldade previsto: fácil
Grau de dificuldade obtido: médio
A questão envolve a aplicação de conhecimentos básicos e fundamentais de alguns dos
principais tópicos do Ensino Fundamental e Médio: interpretação gráfica e aplicação da função
polinomial do primeiro grau, áreas de figuras planas, aplicação dos logaritmos decimais e suas
propriedades na área de Química para a determinação do pH, aplicação da equação do
segundo grau, interpretação de gráficos de movimento. Esta foi a terceira questão da prova a
ter o maior índice de acerto. A proposição 02 foi a proposição correta que teve o segundo
maior índice de preferência dos candidatos: 75,12%. Ela foi responsável pelos índices das
respostas: 02 – 10,94%; 06 (02+04) – 5,40%; 10 (02+08) – 4,24%; 18 (02+16) – 33,25% e 22
(02+04+16) – 9,93%. Talvez o alto índice de preferência dos candidatos por esta proposição
deva-se à facilidade com que o seu resultado pode ser verificado com o auxílio do formulário
( B + b).h
(10 − x + x).10
fazendo: Atrapézio =
⇒ Atrapézio =
⇒ Atrapézio = 50cm2 . Portanto, a área da parte
2
2
colorida será sempre a metade da área do quadrado, independentemente do valor escolhido
para x . Nesta questão também fica evidente, no quadro de freqüência de respostas da prova,
a preferência dos candidatos por não arriscar e tirar proveito do acerto parcial, como se pode
observar através dos índices das respostas 02 – 10,94% e 16 – 6,16%. A proposição incorreta
04 obteve 29,68% da preferência dos candidatos e foi responsável pelos índices de 2,56%,
5,40%, 3,05% e 9,93% para as respostas 04, 06 (02+04), 20 (04+16) e 22 (02+04+16),
respectivamente. Provavelmente a maioria dos candidatos que assinalou tal proposição como
correta até tenha substituído, na expressão dada, a concentração hidrogênica H + por 2 × 10−4
e
aplicado
as
propriedades
dos
logaritmos,
obtendo
1
⎛
⎞
pH = log⎜
⇒ pH = log 2−1.104 ⇒ pH = log(2−1 ) + log(104 ) , mas não deu a devida atenção
−4 ⎟
⎝ 2.10 ⎠
aos
sinais
e
fez
pH = log(2) + 4 log(10) ⇒ pH = 0,30 + 4 = 4,30
ao
invés
de
pH = − log(2) + 4 log(10) ⇒ pH = −0,30 + 4 = 3,70 . A proposição incorreta 08 obteve 19,94% da
preferência dos candidatos e foi responsável pelos índices de 2,47%, 4,24% e 2,86% para as
respostas 08, 10 (02+08) e 26 (02+08+16), respectivamente. É surpreendente o fato de que
quase 20% dos candidatos consideraram esta proposição como correta, já que a sua
veracidade, ou não, podia ser facilmente verificada utilizando-se os próprios dados fornecidos
no enunciado da proposição.
( )
(
)
Questão 23
Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S).
01. A tabela abaixo mostra a relação entre a posição de uma figura e a quantidade de
elementos que ela possui:
Posição
Número de elementos
1
4
2
7
3
10
4
13
5
16
Com base nos dados fornecidos pela tabela, pode-se afirmar que na centésima posição
haverá uma figura com 301 elementos.
02. Os lados de um triângulo estão em progressão aritmética de razão dois. Se o perímetro do
triângulo é de 57 cm, então o comprimento do maior lado é 19 cm.
04. Certa substância radioativa tem tempo de meia-vida de 20 minutos, isto é, o tempo gasto
para consumo de metade da massa radioativa dessa substância. Se após 2 horas a massa
desta substância radioativa é de 2 g, então a massa inicial da amostra era de 64 g.
08. Um relógio anuncia as horas batendo de uma a doze badaladas e a cada meia hora bate
uma badalada. O número de badaladas que esse relógio dá em um dia é 179.
16. Na seqüência de triângulos eqüiláteros, representada nas figuras a seguir, cada novo
triângulo eqüilátero tem seus vértices nos pontos médios dos lados do triângulo eqüilátero
que o antecede. Se a área do primeiro triângulo eqüilátero é A e supondo que essa
seqüência continue indefinidamente, então a soma de todas as áreas dos triângulos assim
5A
obtidas é
.
4
32. A soma das raízes da equação x3 – 12x2 + 44x – 48 = 0, sabendo-se que estão em
progressão aritmética, é 12.
Gabarito: 33 (01 + 32)
Número de acertos: 1159 (16,89%)
Grau de dificuldade previsto: médio
Grau de dificuldade obtido: médio
Nesta questão, esperava-se que o candidato aplicasse seus conhecimentos sobre progressões
aritméticas e progressões geométricas na resolução de situações-problema e na determinação
das raízes de uma equação polinomial. A proposição 01 trata de um tema muito explorado no
Ensino Médio e nos vestibulares, que é a identificação de regularidades e a aplicação do termo
geral de uma progressão aritmética. A proposição 32 poderia ser resolvida calculando-se as
raízes através do dispositivo prático de Briot-Ruffini e a seguir fazendo-se a soma entre elas,
ou aplicando as relações de Girard e verificando diretamente que a soma das raízes é 12.
Estas duas proposições obtiveram 65,55% e 46,70% da preferência dos candidatos,
respectivamente, e foram responsáveis pelos índices das respostas 01 – 16,99%; 32 – 5,17% e
33 (01+32) – 16,89%. O fato de os candidatos concentrarem suas respostas em 01 e 32 vem,
novamente, reforçar a tese de que eles, na dúvida, optam pelo acerto parcial. A proposição
incorreta 04 obteve 27,54% da preferência dos candidatos e foi responsável pelos índices
obtidos pelas respostas: 04 – 2,97%; 05 (01+04) – 5,87% e 37 (01+04+32) – 3,85%. Talvez os
candidatos que consideraram esta proposição como correta tenham feito equivocadamente o
cálculo a seguir: 2h = 120 min = 6 × 20 min ⇒ (2 g ) 6 = 64 g .
Questão 24
Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S).
01. Observe a figura abaixo. Girando a flecha, a probabilidade de ela parar na cor branca
1
é
. Para o cálculo da probabilidade suponha que a flecha não pare sobre as linhas que
12
são fronteiras comuns.
02. Uma moeda e um dado são lançados ao mesmo tempo. A probabilidade de se obter uma
“cara” e um número menor que 4 é de 25%.
04. Para acessar um site da internet, o internauta deve realizar duas operações: digitar uma
senha composta por quatro algarismos distintos e, se a senha digitada for aceita, digitar
uma segunda senha, composta por duas letras distintas, escolhidas num alfabeto de
26 letras. O número máximo de tentativas necessárias para acessar o site é 5960.
08. Uma Comissão Parlamentar de Inquérito (CPI) será formada por cinco parlamentares
indicados pelos três partidos A, B e C, de acordo com o tamanho de sua representação no
Congresso Nacional. O partido A tem 10 parlamentares e deve indicar 2 membros, o
partido B tem 8 parlamentares e deve indicar 2 membros, e o partido C tem 4
parlamentares e deve indicar 1 membro. O número de CPIs diferentes que podem ser
formadas é 5040.
16. O número de maneiras diferentes de colorir os quatro estados identificados no mapa abaixo
usando as cores verde, vermelho, amarelo e azul, de modo que cada estado tenha uma cor
diferente e que Santa Catarina só possa ser pintada de verde ou vermelho, é 24.
SP
PR
SC
RS
Gabarito: 10 (02 + 08)
Número de acertos: 1005 (14,68%)
Grau de dificuldade previsto: difícil
Grau de dificuldade obtido: difícil
A questão compreende cinco proposições, que envolvem alguns dos principais objetivos do
estudo de Probabilidade e Análise Combinatória, como: determinar a probabilidade de um
evento e aplicar na resolução de situações-problema os conceitos de arranjo simples e
combinação simples. Além da resposta correta 10 (02+08), com 14,68%, outras três respostas
predominaram no quadro de freqüência, que são: 02 – 21,51%; 08 – 8,96%; 16 – 8,04% e 18
(02+16) – 6,44%. Como pode-se observar, a resposta 02 superou inclusive o índice da
resposta correta da questão. Este fato vem a reforçar a tese de que os candidatos, na dúvida,
optam pelo acerto parcial assinalando apenas aquela(s) proposição(ões) que têm certeza que
estão corretas, neste caso 02 e 08. A proposição incorreta 16 obteve 34,83% da preferência
dos candidatos e foi responsável pelos índices das respostas 16 e 18 (02+16), destacados
acima. É provável que os candidatos que consideraram esta proposição como correta tenham
feito, simplesmente, P4 = 4!⇒ P4 = 24 sem, no entanto, levar em consideração o fato de que
Santa Catarina só pode ser pintada de verde ou vermelho.
Questão 25
A figura a seguir mostra os cartazes da loja de eletrodomésticos “PREÇO BOM”, que está
fazendo uma promoção de venda “casada” para vender dois eletrodomésticos. Com base nos
dados fornecidos pelos cartazes, determine o valor, em reais, da décima parte do preço do
forno de microondas.
PREÇO BOM – ELETRODOMÉSTICOS
Se comprar um Forno de Microondas e
um Refrigerador, você só pagará
R$ 1.490,00
Se comprar um Refrigerador e
um Fogão, você só pagará
R$ 1.750,00
Se comprar um Fogão e
um Forno de Microondas, você só pagará
R$ 840,00
Assinale o resultado encontrado no cartão-resposta.
Gabarito: 29 (questão aberta)
Número de acertos: 3406 (50,34%)
Grau de dificuldade previsto: fácil
Grau de dificuldade obtido: fácil
A questão envolve a aplicação de conhecimentos básicos e fundamentais de alguns dos
principais tópicos do Ensino Fundamental e Médio: equações e sistemas de equações lineares.
Esta foi a questão mais fácil da prova toda, obtendo o maior índice de acerto entre as
respostas corretas: 50,34%. Cabe registrar, também, que não houve outras respostas com
porcentagens de freqüência em destaque para esta questão. Por outro lado, sobressai o fato
de que os outros quase 50% dos candidatos tiveram dificuldades de trabalhar com esses
tópicos que são introduzidos no Ensino Fundamental e aprofundados no Ensino Médio. Tratase de uma situação-problema que faz parte do cotidiano dos candidatos, ou seja, analisar
ofertas e promoções das lojas e supermercados.
Questão 26
As marés são fenômenos periódicos que podem ser descritos, simplificadamente, pela função
seno. Suponhamos que, para uma determinada maré, a altura h, medida em metros, acima do
⎛π ⎞
nível médio, seja dada, aproximadamente, pela fórmula h(t) = 8 + 4sen ⎜ t ⎟ , em que t é o
⎝ 12 ⎠
tempo medido em horas.
Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S).
01. O valor mínimo atingido pela maré baixa é 8 m.
02. O momento do dia em que ocorre a maré baixa é às 12 h.
04. O período de variação da altura da maré é de 24 h.
08. O período do dia em que um navio de 10 m de calado (altura necessária de água para que
o navio flutue livremente) pode permanecer nesta região é entre 2 e 10 horas.
Gabarito: 12 (04+08)
Número de acertos: 786 (11,52%)
Grau de dificuldade previsto: difícil
Grau de dificuldade obtido: difícil
A questão envolve conhecimentos de trigonometria, em particular o estudo da função seno.
Apenas 11,52% dos candidatos responderam corretamente, com um espalhamento correlato,
distribuído entre várias respostas. Listando-se as respostas pela ordem decrescente das
preferências, têm-se: 04 – 9,16%; 10 (02+08) – 8,94%; 08 – 8,35%; 11 (01+02+08) – 7,81%; 09
(01+08) – 6,92%; 06 (02+04) – 6,90%; 02 – 6,80%; 05 (01+04) – 6,70%; 03 (01+02) – 6,52%;
01 – 5,20%; 15 (01+02+04+08) – 4,13%; 07 (01+02+04) – 3,81%; 14 (02+04+08) – 3,34% e 13
(01+04+08) – 3,00%. Como pode-se observar, a grande responsável pelo erro e pelo
espalhamento nesta questão foi a consideração das proposições 01 e 02 como corretas, as
quais obtiveram, respectivamente, 43,86% e 48,06% da preferência dos candidatos. As
proposições 01 e 02 foram as duas proposições incorretas da prova com o maior índice de
preferência dos candidatos. Talvez, da mesma forma como os índices foram tão próximos,
também o raciocínio feito pelos candidatos para verificar a veracidade ou não das duas
proposições tenha sido muito próximo, já que ambas estavam relacionadas. É provável que a
maioria dos candidatos que assinalou a proposição 01 como correta tenha considerado,
equivocadamente, o conjunto imagem da função seno como sendo de [0,1] ao invés de [− 1,1] e
⎛π ⎞
assim fizeram h(t ) = 8 + 4sen⎜ ⋅ t ⎟ ⇒ h(t ) = 8 + 4(0) ⇒ h(t ) = 8 . Isto talvez tenha contribuído para
⎝ 12 ⎠
que os candidatos assinalassem também como correta a proposição 02 ao fazer, de forma
⎛π ⎞
equivocada, sem prestar a devida atenção ao estudo da função seno: sen⎜ ⋅ t ⎟ = 0 ⇒ t = 12 .
⎝ 12 ⎠
As proposições corretas 04 e 08 obtiveram 48,33% e 53,83% da preferência dos candidatos,
respectivamente. Como pode-se observar, cada uma das proposições corretas da questão,
separadamente, obteve um bom índice da preferência dos candidatos, mas o problema foi a
combinação de ambas, realizada por um número muito reduzido de candidatos, o que implicou
um baixo índice de acerto total da questão.
Questão 27
⎡ 0 x 1⎤
⎢
⎥
Considere as matrizes: A = ⎢ y − 1 0 ⎥ , B =
⎢1 z 0⎥
⎣
⎦
no conjunto dos números reais.
⎡− 1 1⎤
⎢
⎥
⎢ y 0⎥ e C =
⎢ 1 x⎥
⎣
⎦
⎡7
⎢
⎢− 6
⎢2
⎣
2⎤
⎥
3⎥ , onde x, y e z variam
z ⎥⎦
Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S).
⎡ 64 ⎤
⎢ ⎥
01. Para z = 0 existe uma matriz X, cuja soma dos elementos é 7, tal que C . X = ⎢- 69 ⎥ .
⎢ 20 ⎥
⎣ ⎦
02. A matriz A admite inversa se e somente se yz ≠ −1.
⎡1
t
04. A matriz transposta de B é B = ⎢
⎣x
y − 1⎤
⎥.
0 1⎦
08. Se A.B = C, então x + y + z = 5.
Gabarito: 03 (01+02)
Número de acertos: 582 (8,54%)
Grau de dificuldade previsto: médio
Grau de dificuldade obtido: difícil
A questão trata do estudo de matrizes, seus tipos mais freqüentes, suas operações e a
aplicação das propriedades dessas operações. Somente 8,54% dos candidatos apontaram
como corretas apenas as proposições 01 e 02, que obtiveram 34,31% e 49,11% da preferência
dos candidatos, respectivamente. Como pode-se observar foi muito baixo o índice de acerto
nesta questão, tendo em vista que o tópico de matrizes além de ser bastante explorado no
Ensino Médio, é considerado muito fácil pelos alunos. Essa foi a questão da prova que teve o
menor índice de acerto e, portanto, a mais difícil. Ao analisar o quadro de freqüência de
respostas observa-se, além da resposta correta, um espalhamento correlato, distribuído entre
várias respostas que são, em ordem decrescente de preferência: 02 – 17,74%; 04 – 15,25%;
08 – 9,14%; 01 – 8,88%; 10 (02+08) – 7,81%; 06 (02+04) – 7,50%; 09 (01+08) – 5,68%; 12
(04+08) – 4,65%; 05 (01+04) – 3,83% e 11 (01+02+08) – 3,01%. Novamente, percebe-se que,
na dúvida, os candidatos optam pelo acerto parcial, assinalando apenas aquela(s)
proposição(ões) que têm certeza que estão corretas, neste caso 01 e 02. A grande responsável
pelo erro e pelo espalhamento nesta questão foi a consideração das proposições 04 e 08 como
corretas, as quais obtiveram 37,82% e 35,29% da preferência dos candidatos,
respectivamente. Talvez os candidatos que consideraram a proposição 04 como verdadeira
não tenham refletido a respeito do significado da palavra ordenadamente na definição da matriz
transposta de uma matriz dada: seja A uma matriz m × n . Denomina-se matriz transposta de A
(indica-se por At ) a matriz n × m cujas linhas são, ordenadamente, as colunas de A . No caso
da proposição 08, bastaria o candidato realizar o produto das matrizes A e B , a seguir igualar
a matriz C para obter diretamente os valores de x, y e z e, finalmente, verificar que
x + y + z ≠ 5.
Questão 28
Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S).
01. A lenda do altar de Apolo, que tinha a forma de um cubo, conta a história da duplicação do
volume desse altar, exigida pelo oráculo da cidade de Delfos para acabar com a peste
que assolava Atenas. Para cumprir a ordem, basta fazer como os habitantes de Atenas:
dobrar as medidas dos lados do altar.
02. Um cone, cuja superfície lateral é construída com um semicírculo de raio r, é semelhante a
outro cone cuja superfície lateral é formada por um quarto de círculo de mesmo raio r.
04. Se uma esfera está inscrita num cubo de 4 cm de aresta, então a área da superfície esférica
é igual a 16π cm2.
08. Um paralelepípedo reto, de base retangular, tem uma de suas arestas da base medindo
3 cm a mais do que a altura do sólido, e a outra aresta da base mede 5 cm a mais do que
essa altura. Se o volume do sólido é de 144 cm3, então sua altura mede 2 cm.
16. Se um poliedro convexo tem 4 faces triangulares e 3 faces quadrangulares, então esse
poliedro tem 7 vértices.
Gabarito: 20 (04+16)
Número de acertos: 807 (11,78%)
Grau de dificuldade previsto: médio
Grau de dificuldade obtido: difícil
A questão compreende cinco proposições, que envolvem conhecimentos de geometria espacial
e equações algébricas, tendo como objetivo avaliar a capacidade dos candidatos de relacionar
os dois temas. O resultado obtido ficou muito aquém do esperado, pois apenas 11,78% dos
candidatos responderam corretamente à questão. Além da resposta correta, outras respostas
predominaram no quadro de freqüência, a saber: 02 – 5,05%; 04 – 18,53%; 05 (01+04) –
5,33%; 06 (02+04) – 9,56%; 16 – 4,57% e 22 (02+04+16) – 4,96%. Esses resultados reforçam
a tese de que os candidatos, na dúvida, optam pelo acerto parcial, assinalando apenas
aquela(s) proposição(ões) que têm certeza que estão corretas, 04 e 16, que obtiveram,
respectivamente, 67,51% e 38,83% da preferência dos candidatos. A proposição 04 era, talvez,
uma das mais fáceis da prova toda, podendo ser resolvida, simplesmente, por verificação dos
dados do enunciado na fórmula da área da esfera, como a seguir:
2
Aesfera = 4 ⋅ π ⋅ (2) ⇒ Aesfera = 16π . A grande responsável pela concentração nas respostas 02, 06
(02+04) e 22 (02+04+16), foi a consideração da proposição 02 como correta, que obteve
37,67% da preferência dos candidatos. Talvez a maioria dos candidatos que assinalou tal
proposição como correta tenha sido impulsionada por suas concepções espontâneas de
semelhança geométrica, considerando que todos os cones são semelhantes, assim não
percebendo que tanto a altura como a base dos dois cones considerados na proposição são
diferentes.
Questão 29
Os praguicidas, também denominados pesticidas, defensivos agrícolas ou agrotóxicos, são
substâncias que, aplicadas à lavoura, permitem matar seres que podem prejudicá-la. No
entanto, esses produtos apresentam desvantagens pois, devido a sua grande estabilidade no
meio ambiente, sua velocidade de decomposição natural é muito lenta. Muitos insetos se
tornaram resistentes a esses produtos e grandes quantidades foram utilizadas para combater
um número cada vez maior de espécies.
Suponha que em um laboratório foi pesquisada a eficiência do DDT (dicloro-difeniltricloroetano) no combate a uma determinada população de insetos.
O gráfico abaixo representa a população de insetos em função do tempo t, em dias, durante o
período da experiência.
f(t)
1500
1400
1300
•
1200
1100
1000
•
900
800
700
600
500
400
300
200
100
•
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
t
Com base nos dados fornecidos pelo gráfico, assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S).
01. A função que descreve a relação entre a população de insetos e o tempo é
f(t) = − t 2 + 30t + 1000 .
02. O número inicial da população de insetos é de 1200 insetos.
04. A população de insetos cresce somente até o décimo dia.
08. No vigésimo dia de experiência a população de insetos é igual à população inicial.
16. A população de insetos foi exterminada em 50 dias.
Gabarito: 17 (01+16)
Número de acertos: 2603 (37,98%)
Grau de dificuldade previsto: médio
Grau de dificuldade obtido: médio
A questão tinha como objetivo avaliar a capacidade dos candidatos de analisar e interpretar
gráficos de funções polinomiais do segundo grau. Nesta questão, além da resposta correta,
destaca-se apenas a resposta 16, com índice de 39,15%. O fato de o índice da resposta 16 ser
superior ao da resposta correta vem, novamente, reforçar a tese de que os candidatos
preferem não arriscar: na dúvida, optam pelo acerto parcial. A proposição 16 foi a proposição
correta da prova que teve o maior índice de preferência dos candidatos, 91,79%, pois tratavase de uma leitura direta no gráfico indicado. Esta foi a segunda questão mais fácil da prova
toda, obtendo o segundo maior índice de acerto entre as respostas corretas: 37,98%. Por outro
lado, cabe destacar o fato de que quase 54% dos candidatos tiveram dificuldades de verificar a
veracidade ou não da proposição 01, isto é, de fazer a passagem da representação gráfica
para a representação analítica, o que significa que não se apropriaram de forma efetiva do
estudo da função polinomial do segundo grau.
Questão 30
O artista holandês Mauritius Cornelis Escher, que dedicou toda a sua vida às artes
gráficas, criou uma grande série de litografias impregnadas de geometrismo, figurativismo e
ornamentalidade. Traduziu visualmente e de modo sugestivo problemas matemáticos e
geométricos em seus edifícios inacabados ou em suas fabulações caracterizadas por uma
relação impressionante entre superfície e espaço. Na figura dada, Verbum (Terra, Céu e
Águia), julho de 1942, litografia de autoria de M. C. Escher, tem-se o hexágono regular
ABCDEF com lado medindo 6 unidades de comprimento.
y
12
11
D
E
10
9
8
7
3 3
6 F
5
•
C
4
3
2
1
B
A
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12
x
Com base na figura acima, assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S).
01. A equação da reta que contém o segmento AF é
3x + y − 3 3 = 0 .
02. A área do hexágono da figura, em unidades de área, é 9 3 .
04. A equação da mediatriz do segmento AF é 2 3x − 2y = 0 .
08. A equação da circunferência circunscrita ao hexágono da figura é x 2 + y 2 − 12x − 6 3 y + 27 = 0 .
16. O apótema do hexágono da figura mede
Gabarito: 09 (01+08)
Número de acertos: 769 (11,28%)
Grau de dificuldade previsto: difícil
3 3
unidades de comprimento.
2
Grau de dificuldade obtido: difícil
A questão compreende cinco proposições, que envolvem alguns dos principais objetivos do
estudo da geometria plana e da geometria analítica, como: determinar a equação da reta que
passa por dois pontos; calcular a área de figuras planas; determinar as coordenadas do ponto
médio de um segmento de reta; determinar a equação da reta quando são conhecidos um
ponto e a declividade da reta; aplicar as condições de paralelismo e perpendicularismo;
determinar a equação da circunferência conhecidos o centro e o raio e determinar o apótema
de polígonos regulares. A porcentagem de candidatos que obtiveram acerto total foi baixo,
apenas 11,28% apontaram como corretas apenas as proposições 01 e 08, que obtiveram,
respectivamente, 43,97% e 46,45% da preferência dos candidatos. Além da resposta correta
09 (01+08), outras respostas predominaram no quadro de freqüência, que são, em ordem
decrescente de preferência: 08 – 9,30%; 01 – 8,07%; 16 – 7,93%; 18 (02+16) – 6,72%; 02 –
5,81%; 17 (01+16) – 3,61%; 24 (08+16) – 3,49% e 25 (01+08+16) – 3,12%. Como pode-se
observar, mais uma vez, na dúvida, os candidatos optaram pelo acerto parcial. Esperava-se um
índice superior aos 43,97% obtidos pela proposição 01, já que ela envolve um dos mais
básicos e fundamentais temas da geometria analítica, que é determinar a equação da reta que
passa por dois pontos. Para resolver a proposição, isto é, determinar corretamente a equação
da reta que liga os pontos A e F, bastava ao candidato aplicar a condição de alinhamento de
três pontos. Mas se ele quisesse apenas verificar a sua veracidade ou não, era só substituir as
coordenadas do ponto A e do ponto F na equação da reta dada para ver que elas satisfazem à
equação dada. Da mesma forma, espera-se um índice superior ao obtido pela proposição 08,
por tratar-se também de um dos tópicos muito explorados no Ensino Médio, que é determinar a
equação da circunferência, conhecidos o centro e o raio. Para resolver a proposição bastava o
candidato identificar o centro ( C 6,3 3 ) e o raio da circunferência ( r = 6 ) a partir da figura
dada, e substituir na fórmula da equação da circunferência fornecida no formulário ficando com:
(
(x − 6)2 + (y − 3
)
)
3 = (6 ) ⇒ x 2 + y 2 − 12 x − 6 3 y + 27 = 0 . A grande responsável pelo erro e pelo
espalhamento nesta questão foi a consideração das proposições 02 e 16 como corretas, com
32,36% e 42,42% da preferência dos candidatos, respectivamente. Em ambos os casos, é
surpreendente o fato de os candidatos tomarem estas proposições como corretas. No caso da
proposição 02 era só o candidato utilizar a informação de que o lado do hexágono regular
media 6 unidades de comprimento, calcular a área do triângulo eqüilátero ABO e multiplicar por
⎛ l2 ⋅ 3 ⎞
⎛ (6 )2 . 3 ⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
6, obtendo: Ahexágono = 6 ⋅ ⎜
⎟ ⇒ Ahexágono = 6 ⋅ ⎜ 4 ⎟ ⇒ Ahexágono = 54 3 . Finalmente, no caso
4
⎝
⎠
⎝
⎠
da proposição 16, bastava o candidato observar a figura dada e aplicar a definição de apótema
para identificá-lo diretamente na figura ( a = 3 3 ) ou calculá-lo a partir da relação
a=
2
2
l⋅ 3
6⋅ 3
⇒a=
⇒a=3 3.
2
2