´Algebra Linear I - Aula 22 1 Potência de uma matriz

´Algebra Linear I - Aula 22 1 Potência de uma matriz

Álgebra Linear I - Aula 22
1. Potência de uma matriz.
1
Potência de uma matriz
Nesta seção, explicaremos como calcular a potência
diagonalizável. Primeiro observe que

k 
a1 0 . . . 0
ak1 0
 0 a2 . . . 0 
 0 ak
2



D =  .. .. . .
=
 ..

.
..
 . .
 .
. .. 
.
0 0
0 0 . . . an
n-ésima de uma matriz
...
...
..
.
0
0
..
.
. . . akn



.

Portanto, se A é diagonalizável e D é sua forma diagonal, temos
A2 = AA = (P DP −1 )(P DP −1 ) = P D2 P −1 .
Onde calcular D2 é muito simples.
Em geral, e indutivamente,
An = P Dn P −1 .
Exemplo 1. Calcular A10 onde


0 0 −2
A =  1 2 1 .
1 0 3
Resposta: Observe que A é diagonalizável e que sua forma diagonal é


2 0 0
D =  0 2 0 .
0 0 1
Também,


−1 0 −2
P =  0 1 1 ,
1 0 1
P −1
1


1 0 −2
=  1 1 1 .
−1 0 −1
Portanto,
A10


210 0 0
= P  0 210 0  P −1 .
0
0 1
Exercı́cio 1. Considere as matrizes
0 1
E=
−1 0
A=
1 3
3 1
0 1
−1 0
Defina a matriz C = E A E.
• Calcule E 2 .
• Encontre a forma diagonal de A.
• Calcule C 15 .
Resposta: Temos
2
E =EE =
0 1
−1 0
=
−1 0
0 −1
.
Como a matriz A é simétrica, é diagonalizável. Escreveremos
A = B D B −1 ,
onde D é diagonal e B ortogonal. Calculemos agora D e B.
O polinômio caraterı́stico de A é
p(λ) = λ2 − 2λ − 8
e seus autovalores são 4 e −2.
A forma diagonal de A é
D=
4 0
0 −2
.
A matriz B terá por colunas autovetores (unitários) de A l.i.. O autovetor
u = (x, y) associado a 3 verifica −3x + 3y = 0, x = y, u = (1, 1) ou v =
2
√
√
(1/ 2, 1/
normalizado. O outro autovetor será perpendicular, ou seja
√ 2) já √
w = (1/ 2, −1/ 2). A matriz B é
√ √
1/√2 1/ √2
B=
.
1/ 2 −1/ 2
Finalmente, para calcular C 15 observamos que B = B t = B −1 e escrevemos
C 2 = (E B D B −1 E) (E B D B E) = E B D B −1 (−I) B D B E =
= −E B D2 B E.
Também temos
C 3 = −(E B D2 B −1 E) (E B D B E) = −E B D2 B −1 (−I) B D B E =
= E B D3 B E.
Finalmente,
C 4 = (E B D3 B −1 E) (E B D B E = E B D3 B −1 (−I) B D B E =
= −(E B D4 B E).
Portanto, temos que
C 2k = −E B D2k B −1 E,
C 2k+1 = E B D2k+1 B −1 E
Logo,
C 15 = E B D15 B −1 E.
Portanto,
√
√
√ 15
√ 1/ √2 −1/√2
4
0
−1/√ 2 1/√2
15
C =
,
0 (−2)15
−1/ 2 −1/ 2
1/ 2 1/ 2
onde a primera e a última matriz correspondem aos produtos E B e B E. 3