Física Estatística - OER@AVU

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Física Estatística
African Virtual university
Université Virtuelle Africaine
Universidade Virtual Africana
Universidade Virtual Africana 1
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http://creativecommons.org/licenses/by/2.5/ License (abbreviated “ccby”), Version 2.5.
TABELA DE CONTEÚDOS
I.
Física Estatística _______________________________________________ 5
II.
Pré-requisitos do curso ou Conhecimento ____________________________ 5
III.
Tempo _______________________________________________________ 5
IV.
Materiais_____________________________________________________ 5
V.
Fundamentação do Módulo_______________________________________ 5
VI.
Conteúdos_____________________________________________________ 5
6.1.
6.2
6.3
Visão global____________________________________________________ 5
Contorno_______________________________________________________ 6
Organização Gráfica______________________________________________ 7
VII.
Objectivos Gerais ______________________________________________ 8
VIII.
Objectivo(s) Específicos da Aprendizagem____________________________ 9
IX.
Pré-avaliação_________________________________________________ 11
X.
Activitidades de Ensino e Aprendizagem___________________________ 18
XI.
Glossário de Conceitos-Chave___________________________________ 111
XII.
Lista de leituras obrigatórias_____________________________________ 112
XIII.
Lista Compilada de Recursos Multimédia (Opcional) ________________ 113
XIV.
Lista Compilada de Hiperligações úteis ____________________________ 116
XV.
Síntese do Módulo_____________________________________________ 117
XVI.
Avaliação Sumativa___________________________________________ 118
XVII. Referências__________________________________________________ 124
XVIII. Principal autor do módulo______________________________________ 125
XIX.
Estrutura de Arquivos__________________________________________ 125
Prefácio
Este módulo tem quatro secções principais
A primeira é a secção introdutória, composta por cinco partes, a saber:
Título: - O título do módulo é claramente descrito;
Conhecimento ou Pré-requisitos: Nesta secção são fornecidas informações
sobre os conhecimentos específicos ou pré-requisitos e habilidades que você precisa
para iniciar o módulo. Olhe cuidadosamente para os requisitos, uma vez que estes
vão-lhe ajudar a decidir se precisará de algum trabalho de revisão ou não.
Tempo Necessário: Dá-lhe o tempo total (em horas) que você precisa para
completar o módulo. Todos os auto-testes, actividades e avaliações devem ser
finalizados no período de tempo especificado.
Material Necessário: Aqui você vai encontrar a lista de materiais que
necessita para completar o módulo. Alguns dos materiais são parte do pacote do curso
que você receberá num CD-Rom ou acessando à internet. Os materiais recomendados
para orientar alguns exercícios de aplicação/experiências podem ser obtidos a partir da
sua instituição de acolhimento (Sócio da instituição AVU), como também poderá
pedir emprestado em outros meios.
Fundamentação do Módulo: Nesta secção, você terá respostas à perguntas
como: “Por que eu devo estudar este módulo, enquanto professora estagiária? Qual é a
sua relevância para a minha carreira?”
A segunda é a secção dos “CONTEÚDOS”, que se divide em três partes:
Resumo: O conteúdo do módulo é apresentado de uma forma breve. Nesta
secção, é anexado um arquivo de vídeo (“Tempo – Rápido”, cinema), onde o autor do
módulo é entrevistado sobre o mesmo. A visão geral do módulo é seguida por um
esboço dos conteúdos, incluindo o tempo aproximado necessário para completar cada
secção. A organização gráfica dos conteúdos é apresentada ao lado do esboço. Todos
estes três pontos irão ajudar-lhe a ter uma imagem da organização deste módulo.
Objectivos Gerai(s): Informação clara, concisa e compreensível dos
objectivos são fornecidos para dar-lhe conhecimentos habilidades e atitudes que se
espera alcançar depois de estudar o módulo.
Objectivos Específicos de Aprendizagem (Objectivos Instrucionais): Cada
um dos objectivos específicos anunciados nesta secção está no cerne de uma
actividade de ensino e aprendizagem. As unidades, os elementos e os temas do
módulo são destinados a atingir objectivos específicos, por isso, qualquer tipo de
avaliação tem por base os objectivos pretendidos. Para tal, você é convidado a prestar
a máxima atenção para os objectivos específicos que são vitais para organizar o seu
esforço no estudo do módulo.
A terceira secção é a maior parte do módulo. É a secção onde você irá gastar
mais tempo e é referido como “Actividades de Ensino e Aprendizagem”. A
essência dos nove componentes é listado abaixo:
Pré – Avaliação: Nesta secção, é apresentado um conjunto de questões, que
vão avaliar quantitativamente o nível de preparação para os objectivos específicos
deste módulo. As questões de pré-avaliação ajudar-lhe-ão a identificar o que sabe e o
que precisa saber, de modo que o seu nível de preocupação seja gerado e você possa
avaliar o seu nível de mestria/competência. Para o conjunto de questões,
são
fornecidas respostas-chave e, alguns comentários pedagógicos, são feitos no final.
Conceitos-Chave (Glossário): Esta secção contém o resumo e as definições
concisas dos termos utilizados no módulo. Neste ponto dão-lhe uma ajuda sobre os
termos que você pode não estar familiarizado para melhor compreender o módulo.
Leituras Obrigatórias: O módulo fonece-lhe, por tema, um mínimo de três
materiais de leitura obrigatória. É de realçar que a leitura dos documentos é de
carácter obrigatória.
Recursos Obrigatórios: Um mínimo de dois áudios e vídeos, com um resumo
em texto formulário é disponibilizado nesta secção.
Hiperligações Úteis: Uma lista de, pelo menos, dez sites é lhe fornecida nesta
secção. Ela irá ajudá-lhe a lidar com os conteúdos, com maior profundidade.
Actividades de Ensino e Aprendizagem: Esta é a essência/o cerne do
módulo. Nesta secção, você precisa seguir todas as orientações de aprendizagem.
Aqui, são previstos vários tipos de actividades. Realize cada uma das actividades. Por
vezes, você não precisa seguir a ordem em que as actividades são apresentadas. É
muito importante observar o seguinte:
• A avaliação formativa e sumativa devem ser realizadas exaustivamente;
• Faça todas as leituras obrigatórias e use todos os recursos;
• Visite o maior número possível de ligações à Internet úteis;
• Deve dar o feedback ao autor e apresentar-lhe os relatórios.
Aproveite o seu trabalho neste módulo!
I. Física Estatística
Por Sisay Shewamare Gebremichael Etiópia Universidade Jimma
II. Conhecimentos ou Pré-requisitos do Curso
Para estudar este módulo, é recomendado que você tenha concluídos ou faça em
simultâneo, o estudo da AVU sobre a Física Térmica, Física Matemática e Mecânica
Quântica, leccionados nos Cursos Modulares de Formação dos Professores.
III. Tempo
Este módulo pode ser concluído em 120 horas.
IV. Materiais
Os materiais neste novo módulo compreendem vários livros e cópia
electrónicas disponíveis na Internet.
V. Fundamentação do Módulo
Neste módulo, vamos nos concentrar no sistema de partículas macroscópicas e
vamos estudar a descrição estatística de sistemas em termos de probabilidade e do
comportamento da densidade de estados que ajudam a medir os parâmetros macroscópicos,
como o calor, a temperatura absoluta e a entropia. Como resultado dessa discussão, vamos
adquirir algumas ferramentas muito poderosas para o cálculo das propriedades
macroscópicas de um sistema em equilíbrio a partir do conhecimento da sua constituição
microscópica. A seguir, vamos ilustrar a sua utilidade, discutindo a aplicação da
termodinâmica macroscópica e a distribuição de sistemas de partículas.
VI. Conteúdos
6.1 Visão Global
Os conceitos centrais deste módulo são os sistemas de partículas macroscópicas e
medição macroscópica. O módulo começa com o estudo da descrição estatística de sistemas
com termodinâmica estatística e medição de parâmetros macroscópicos e sua aplicação.
As actividades são relacionadas com a interacção dos sistemas de partículas
macroscópicas e a análise da distribuição dos sistemas macroscópicos em termos de energia
média, entropia e pressão. Também discutiremos sobre a inter-relação entre os parâmetros
macroscópicos e a sua aplicação na termodinâmica macroscópica, em função da partição.
6.2 Esboço
1
Unidade 1: Descrição estatística dos sistemas de partículas (25 horas)
•
•
•
•
Especificação do estado do sistema;
“Ensemble” Estatístico;
Probabilidade;
O problema da caminhada aleatória simples em uma dimensão;
Distribuição Binomial;
•
•
•
Distribuição de Gauss;
Princípios de equi-probabilidade a prior;
•
Tempo de relaxamento
•
A probabilidade da densidade dos estados;
2
Medições Macroscópicas (25 horas)
•
•
•
Trabalho e Energia Interna;
Temperatura Absoluta;
Capacidade calorífica e calor específico;
3
Entropia.
Termodinâmica Estatística (30 horas)
•
Condições de equilíbrio e suas limitações;
•
Entropia do sistema combinado;
•
•
Reservatório de calor.
•
4
Dependência da densidade de estados nos parâmetros externos.
Algumas aplicações da termodinâmica macroscópica e estatística (40 horas)
•
Potenciais Termodinâmicos e sua relação com variáveis termodinâmicas;
•
Sistemas de conjuntos;
•
•
Conexão da distribuição canónica com a Termodinâmica;
Função de partição e suas propriedades;
•
•
O paradoxo de Gibs;
Validade da aproximação clássica;
•
•
•
O teorema de equi-partição;
Teoria cinética dos gases diluídos em equilíbrio
Distribuição dos sistemas de partículas
VII. Objectivo(s) Generais
Findo o módulo, o aluno deverá ser capa de:
•
Reconhecer a distribuição estatística dos sistemas de partículas e de sua solução de
equilíbrio;
•
Compreender o conceito de temperatura, de calor e de energia interna;
•
Entender o fundamento e as leis da termodinâmica estatística;
•
Entender os parâmetros macroscópicos e suas medidas;
•
Compreender a força básica generalizada e a entropia;
•
Entender a aplicação da termodinâmica estatística e macroscópica;
•
Entender a função de partição;
•
Integrar as medidas macroscópicas utilizando a função de partição;
•
Integrar a distribuição dos sistemas de partículas.
VIII. Objectivos específicos
(objetivos instrucionais)
•
Especificação do estado do
sistema;
•
Estatística enesemble;
Depois de concluir esta secção você
deve ser capaz:
•
Derivar a equação estatística;
•
Discutir sobre dois sistemas de estado e
aplicar no problema do passeio aleatório;
•
Probabilisade;
•
•
O problema de passeio aleatório •
simples em uma dimensão;
•
•
Distribução Binominal;
•
aprendizagem
Objectivos de aprendizagem
Conteúdo
1.
Unidade 1: Descrição
estatística dos sistemas de
partículas (25 horas)
de
Definir o tempo de relaxamento;
Derivar a distribuição binomial;
Derivar a equação de Gauss
Distribuição de Gauss.
•
Princípios da equiprobabilidade a priori
•
Tempo de relaxamento
•
A probabilidade de a densidade
de estados.
2.
Medições
macroscópicas (25 horas)
•
Trabalho e energia
interna;
•
A temperatura absoluta;
•
Capacidade térmica e
calor específico;
•
Entropia.
•
Definir o trabalho e a energia interna;
•
Descrever a entropia absoluta e relativa;
•
Descrever o estado da capacidade
calorífica a V,P constantes;
 •
Definir e calcular a entropia
3.
Termodinâmica
estatística (30 horas)
•
Condições de equilíbrio e as
suas limitações;
•
Entropia do sistema
combinado;
•
A abordagem para o equilíbrio
térmico;
•
Reservatório de calor;
•
Dependência da densidade de
estados aos parâmetros externos
•
Escrever as condições de equilíbrio;
•
Derivar a equação da entropia para os
dois sistemas;
• Resolver problemas relacionados com a
entropia;
• Calcular a densidade de estado na condição de
equilíbrio.
4.
Algumas aplicações da
termodinâmica macroscópica e
estatística (40 horas)
•
Termodinâmica potencial e sua
relação com variáveis termodinâmicas;
•
•
•
Sistemas Enesembles;
Estabalecer uma relacionação das
diferentes equações termodinâmicas;
Encontrar
relações
quantitativas
•
Conexão entre a distribuição
canónica com a termodinâmica;
•
Função, partição e suas propriedades
termodinâmica
usando
•
Definir o “ensemble” de sistemas;
•
Paradoxo de Gibs;
•
Derivar a função de partição;
•
Validade da aproximação clássica
•
Mostrar
potenciais
termodinâmicos;
as
quantidades
termodinâmica usando a função partição;
•
O teorema da equi-partição;
•
Teoria cinética dos gases diluídos no
equilíbrio.
da
•
Mostrar o paradoxo de Gibbs;
•
Derivar diferentes distribuições.
IX. Pré-avaliação
Você está pronto para este módulo?
Figura 5: Ludwig Boltzmann (1844–1906)
Querido aluno
Nesta secção, você encontrará questões de auto-avaliação que lhe irá ajudar a testar
a sua prontidão para completar este módulo. Você deve autoavaliar-se com sinceridade e
não limitar-se somente às medidas recomendadas após a conclusão do auto-teste. Nós
encorajamos-lhe a reservar algum tempo para responder às perguntas.
Caros Instrutores
As questões de pré-avaliação aqui colocadas orientam os alunos para decidirem se
estão dispostos a tomar o conteúdo apresentado neste módulo. Sugere-se fortemente a
cumprir as recomendações feitas em função da nota obtida pelo aluno. Como seu instrutor,
deve incentivar os alunos a avaliarem-se de modo a responderem à todas as perguntas
abaixo. Pesquisas em educação mostram que isso vai ajudar os alunos a estarem mais
preparados e ajudá-lhes a articular o conhecimento prévio.
9.1. Auto-avaliação associados com a Física Estatística
Avalie a sua preparação para assumir o módulo sobre física térmica. Se tiver uma
pontuação igual ou superior a 60 fora de 75, você está pronto para usar este módulo. Se
você marcar algo entre 40 e 60, poderá ser necessário rever a física de sua escola sobre
temas relacionados com o calor. Uma pontuação inferior a 40 fora de 75 indica que você
precisa se esforçar paraperceber a física.
1) Quantas calorias de calor são necessárias para elevar a temperatura de 3 kg de alumínio a partir de 200C a 550C? É dada a capacidade de calor específico do alumínio C 910J
e
4.2J=1 caloria. a.
13000
b.
22750
c.
35750
2) d.
Se 200g de água contida em um recipiente de alumínio de 300g a 95550
e um adicional de 100g de água a C C é derramado no recipiente, qual é o equilíbrio a.da final do sistema em
77 graus Celsius? b.
45
c.
35
3)
Dois moles de um gás ideal (γ = 1,4) expandem-se quase-estática e
d.
20
adiabaticamente da pressão de 5 atm. e um volume de 12 litros para um volume final de 30
litros. Qual é a pressão final do gás?
a.
1.4
b.
3.4
c.
3
a.
10
b.
20
c.
16
d.
12
4)
Um gás ideal ( γ =1.4) expande-se quase-estática adiabaticamente. Se a temperatura final
é um terço da temperatura inicial qual é factor de variação do volume?
5)
Tendo em atenção a pergunta 4 acima colocada, qual é o factor da mudança da
pressão?
a.
1
b.
1.2
6)
Um mole de um gás ideal cujo trabalho a meio ambiente é de 3000J se expande
isotermicamente até uma pressão final de 1atm. e volume de 25l. Determine a temperatura
do gás?
7)
a.
200K
b.
100K
c.
400K
Tendo em atenção a questão 6 acima colocada, calcule o volume inicial do gás.
a.d.
20l
300K
b.
30l
c.
22l
8)
Cinco moles de um gás ideal se expandem isotermicamente a 127 C até
quatro vezes do seu volume inicial. Encontre o trabalho realizado pelo gás.
0
a.
30,000J
b.
40,000J
c.
9)
Um gás é50,000J
comprimido a uma pressão constante de 0,8 atm a partir de um volume de 9
litros para um volume de 2 litros. Se neste processo 400J de energia térmica fluirem para fora do
d. qual é o trabalho
32,012J
gás,
realizado pelo gás?
a.
57J
b.
37J
c.
50J
10) Usando a questão 9, qual é a energia interna perdida pelo sistema?
a.
500J
b.
600J
c.
456J
d.
400J
11) Há dois termómetros com base em diferentes propriedades termométricas de
dois materiais diferentes. Os dois termómetros mostram leituras idênticas porque:
a)
Cada mudança de propriedade está uniformemente ligada com a
temperatura;
b)
A relação entre a propriedade e a temperatura é idêntica nos dois
casos;
c)
A propriedade de um dos aumentos da temperatura e com a
propriedade do outro, diminui a uma taxa uniforme;
d)
Os dois termómetros foram calibrados com referência a uma norma
comum.
12) Em um ciclo de Carnot
a)
O trabalho realizado durante a expansão adiabática é menor do que o trabalho
realizado durante a compressão adiabática;
b)
O trabalho realizado pela substância durante a expansão adiabática é maior do
que o trabalho realizado durante a compressão adiabática.
c)
O trabalho realizado durante a expansão adiabática é igual ao trabalho
realizado durante a compressão adiabática.
d)
O trabalho realizado durante a expansão adiabática é igual ao calor absorvido
da fonte.
13) Sobre um gás ideal, qual das afirmações abaixo está errada?
a)
O número total de moléculas é grande;
b)
As moléculas estão em movimento aleatório;
c)
As moléculas não exercem nenhuma força significativa entre si ou nas
paredes;
d)
O volume da molécula é insignificante pequeno comparado com o volume
ocupado pelo gás.
14) O percurso livre médio de um gás é:
a)
b)
c)
d)
A distância percorrida por uma molécula antes de bater numa parede;
A distância média percorrida por uma molécula em um segundo;
A raiz quadrada da velocidade média;
A distância média percorrida pelas moléculas entre duas colisões sucessivas.
15) No processo adiabático:
a)
O trabalho realizado pela substância durante a expansão adiabática é maior
do que o trabalho realizado durante a compressão adiabática;
b)
O trabalho realizado durante a expansão adiabática é igual ao trabalho
realizado durante a compressão adiabática
c)
O trabalho realizado durante a expansão adiabática é igual ao calor absorvido
da fonte;
d)
O trabalho realizado pela substância durante a expansão adiabática é igual ao
calor que entra.
16) Sobre um gás real, qual das seguintes afirmações é errada?
a)
O número total de moléculas é grande;
b)
As moléculas estão em movimento aleatório;
c)
As moléculas exercem uma força insignificante em si ou nas paredes;
d)
O volume da molécula é sensível em comparação com o volume ocupado
pelo gás.
17) A raiz quadrada da velocidade média de um gás:
a)
Não depende da temperatura, mas sim da pressão do gás;
b)
Aumenta com a densidade do gás;
c)
Diminui com o volume do gás;
d)
Depende da pressão e da temperatura do gás.
18) A energia cinética média molecular a uma temperatura T K é:
a. KT b. KT c. KT d. KT Universidade Virtual Africana 16
9.2 Chave de Respostas:
1. b
2. c
3. a
4. c
5. c
6. d
7. c
8. d
9. a
10. c
11. a
12. c
13. c
14. d
15. .b
16. c
17. d
18. b
9.3. Comentário pedagógica para o aluno:
A Física, como uma disciplina que tenta descrever os fenómenos e processos na
natureza, foi bem sucedida no desenvolvimento de modelos teóricos que descrevem os
processos e fenómenos que vão desde as partículas subatómicas aos corpos celestes em
galáxias. Como referencial teórico, ainda está faltando o suficiente para descrever os
sistemas não-lineares, tais como as propriedades dos meios granulares, terramotos, atrito e
muitos outros sistemas.
A Física Estatística dá uma compreensão racional à Termodinâmica em termos de
partículas microscópicas e suas interacções. Permite o cálculo das propriedades
macroscópicas a partir das considerações microscópicas. As ferramentas e métodos
desenvolvidos em Física Estatística são usados extensivamente em áreas de investigação de
fronteira para compreender os sistemas não-lineares.
O material apresentado neste módulo é altamente sequencial. Você precisa
acompanhar as actividades na ordem em que estão apresentadas no módulo. Se você não
entender alguma coisa relacionada com as matérias obrigatórias, deverá visitar as
hiperligações úteis disponíveis no presente módulo e não apenas escrevê-la e esperar
descobri-las mais tarde.
Extensas pesquisas nos últimos anos têm mostrado que os estudantes que fazem
melhor em física (e outras disciplinas) são aqueles que se envolvem activamente no
processo de aprendizagem. Esta participação pode assumir várias formas: por escrito a
muitas perguntas nas margens do módulo; fazendo perguntas por e-mail; discutir física nos
fóruns da AVU fazendo exercícios e auto-avaliações sobre programação, etc.
XII.
Lista de leituras obrigatórias_____________________________________ 112
XIII.
Lista Compilada de Recursos Multimédia (Opcional) ________________ 113
XV.
Síntese do Módulo_____________________________________________ 117
XVI. Avaliação Sumativa___________________________________________ 118
XVII. Referências __________________________________________________124
X. Actividades de Ensino e Aprendizagem
ACTIVIDADE 1: Descrição Estatística do Sistema de Partículas
Você precisará de 25 horas para concluir esta actividade. Nesta actividade, você é
guiado por uma série de leituras, vídeos multimédia, exemplos trabalhados e questões de
auto-avaliação e resolução de problemas. Está fortemente aconselhado, através das
actividades propostas, a ir consultar todas as matérias obrigatórias e o maior número
possível de hiperligações úteis e referências.
Objectivos Específicos de Ensino e Aprendizagem
•
Derivar a equação estatística
•
Discutir sobre dois sistemas de estado e aplicá-lo na resolução de problema do
passeio aleatório;
•
Definir o tempo de relaxamento;
•
Derivar a distribuição binominal e de Gauss.
Universidade Virtual Africana 18 Síntese das actividades de aprendizagem
A descrição de um sistema de partículas é um esforço que a teoria aplica à um
grande número de partículas. Não estamos interessados em todos os detalhes
microscópicos subjacentes à dinâmica de partículas individuais, que constituem um
grande número de partículas como um dado da massa de gás.
Porém, é nosso interesse, estudar as propriedades dos sistemas macroscópicos
entre os quais, as funções termodinâmicas que queremos compreender ou deduzir, e
estas constituem médias brutas sobre os estados de execução dinâmica. Essa é a razão
para a palavra "estatística", para denominar o tema do nosso Módulo. Característica
marcante na paisagem da mecânica estatística é a lei de distribuição de Boltzmann, que
nos diz com que frequência individual os estados microscópicos de um sistema à uma
determinada temperatura podem ocorrer. Uma declaração informal de que a lei é dada na
próxima secção, onde ela é vista como uma generalização óbvia de duas outras leis de
distribuição bem conhecidas: a distribuição de velocidades de Maxwell e distribuição
“barométrica”. Nós também precisamos notar aqui que a forma exponencial da lei de
distribuição de Boltzmann é consistente com a verdade, é exigido pela regra de que a
probabilidade de ocorrência de eventos independentes é o produto das probabilidades em
separado.
Lista de leituras exigidas
Leitura #1:.
Referência Completa : Mecânica Estatística da Universidade de Cornell
URL : http://pages.physics.cornell.edu/sethna/StatMech Accessado em 23 de Setembro
de 2007
Resumo: Conteúdos: Random Walks e propriedades emergentes; Temperatura e
Equilíbrio; Entropia; Energia Livre e Ensembles; Mecânica Estatística Quântica;
Computacional Estado da Mecânica: : Ising e Markov; Parâmetros de ordem,
simetria quebrada, e Topologia; Derivando novas leis; correlações, Resposta e
dissipação; Transições de Fase abrupta; Transições de Fase Contínua
Justificativa: Este capítulo cobre a maior parte dos temas das actividades no segundo e
terceiro módulos.
Lista dos Recursos t MM Relevantes
Referência: http://jersey.uoregon.edu/vlab/Piston/index.html
Data da Consulta: Novembro de 2006
Referência:-: http://lectureonline.cl.msu.edu/~mmp/kap10/cd283.htm.
Data da Consulta: Agosto de 2006 .
Referência http://en.wikipedia.org/wiki/Binomial_distribution
Data Consulta: Novembro de 2006
Referência:-: http://www.stat.yale.edu/Courses/1997-98/101/binom.htm.
Data Consulta: Agosto de 2006
Universidade Virtual Africana 19 Referência: http://en.wikipedia.org/wiki/Normal_distribution
Data Consulta: Novembro de 2006
Referência Completa:- Cálculo de diagramas de Fases no Computador.
Lista Relevante de Hiperligações Úteis
Universidade Virtual Africana 20 1ª Hiperligação Útil
Título: Modelos Exactamente resolvido em Mecânica Estatística
URL: http://tpsrv.anu.edu.au/Members/baxter/book
Captação da Tela:
Descrição: O livro clássico de Rodney Baxter está oficialmente fora de catálogo.
Conteúdo: mecânica estatística básica , o modelo de Ising bidimensional; a teoria de
campo médio; Modelo de Ising na rede de Bethe; O modelo esférico; Dualidade e
transformações da Estrela Triangular do Modelo de Ising Planar; Praça de Malhas e o
Modelo de Ising. Modelos de Ice-Type; Maneira alternativa de resolver os modelos de
Type Ice; Modelo de Praça de Malha de oito vértices; Modelo de Oito Vértices de
Kagomé Lattice; Potts e Modelos de Ashkin-Teller; Canto de Transferência de
Matrizes; Hexágono Rígido e Modelos Relacionados; Funções Elípticas.
Justificativa: Este livro pode ser baixado e utilizado para uso pessoal e não é
comercializável
Data da Consulta: Agosto de 2007
2ª Hiperligação Útil
Título: Uma Introdução ao Curso de FÍSICA ESTATÍSITCA
URL: http://www.worldscibooks.com/physics/3526.html
Captação da Tela:
Captação da Tela:
Por Daniel J Amit (Da Universita di Roma “La Sapienza” & The Hebrew University) e
Yosef Verbin (da The Open University of Israel)
Descrição: Este livro é uma valiosa introdução à física estatística que foi escrito
principalmente para auto-estudo. Ele oferece uma abordagem abrangente para as
principais idéias da Física Estatística ao nível de um curso introdutório começando da
teoria cinética dos gases até à estatística de Bose-Einstein e a de Fermi-Dirac. Cada ideia
é trazida para fora com a motivação suficiente e clara, passo-a-passo, com a exposição
dedutiva. Os pontos-chave e os métodos são apresentados e discutidos com base nos
sistemas representativos concretos, tais como o paramagnético, sólido de Einstein, o gás
diatômico, a radiação do corpo negro, a condutividade eléctrica em metais e a
superfluidez. O livro é escrito num estilo estimulante e é acompanhado por um grande
número de exercícios devidamente inseridos no texto e, no final de cada capítulo,
constam os problemas de auto-avaliaçã. Também são fornecidas soluções detalhadas de
todos os exercícios.
Universidade Virtual Africana 21 Introdução à Actividade
Descrição detalhada da actividade (Principais elementos teóricos)
Descrição estatística dos sistemas de partículas
Apreciação de sistemas não interactivos de partículas para analisar a probabilidade de
distribuição binomial e Gaussiana tendo em conta a abordagem estatística e com a
densidade dos sistemas de partículas.
Descrição estatística de Sistemas de Partículas
•
•
•
•
•
Teorias de Estatística,
Conjuntos Canónicos
Estado Acessível
Cálculo de Probabilidade
Espaços de Fase
Universidade Virtual Africana 22 Especificação do estado do sistema
Como podemos determinar o estado de um sistema de muitas partículas? Bem, vamos, em
primeiro lugar, considerar o sistema de muitas partículas o mais simples possível, que
consiste em uma única partícula se movendo classicamente rotacional em uma dimensão.
Assumindo que sabemos que a equação do movimento de partículas, o estado do sistema
é totalmente especificado uma vez que a partícula é simultaneamente medida na posição q
e no momento p. Em princípio, se conhecemos q e p, então podemos calcular o estado do
sistema em todos os momentos posteriores usando a equação do movimento
Conjunto Estatístico
Se formos informados sobre qualquer uma das condições iniciais de uma moeda jogada
para cima como a sua posição, a altura do lançamento e da velocidade correspondente da
moeda, nós podemos prever a saída para uma experiência de aplicação da lei da mecânica
clássica. Em uma experiência que descreve o resultado em termos de probabilidade de
uma moeda única, nós consideramos um conjunto composto de muitas dessas
experiências individuais.
Probabilidade
Nesta secção vamos discutir alguns dos aspectos elementares da teoria da probabilidade. É
importante ter em mente que, sempre que se deseja descrever uma situação do ponto de
vista estatístico (isto é, em termos de probabilidades), é sempre necessário considerar um
conjunto (ensemble) que consiste em um grande número de sistemas semelhantes
preparado.
Discussão em grupo
Dê alguns exemplos que podem ser descritos por dois estados de sistemas de partículas
Resposta
a)
No arremesso de um par de dados, dá uma descrição estatística, considerando um
número muito grande.
b)
No conceito de probabilidade de base, será útil ter em mente um simples, mas
importante exemplo ilustrativo do problema chamado caminho aleatório
c) Magnetismo: Um átomo tem um spin e momento magnético ; de acordo com a mecânica quântica, seu spin pode ir, portanto, a qualquer ponto, ou para “ cima” ou para “baixo” com relação a uma determinada direcção. Se estas duas possibilidades são igualmente prováveis, qual é o momento magnético total líquido de N átomos? d) Difusão de uma molécula de gás: Uma dada molécula viaja em três dimensões de uma distância média L entre colisões com outras moléculas. Qual é a distância de ida após N colisões? O problema de passeio aleatório simples em uma dimensão
Por razões de simplicidade, vamos discutir o problema do passeio aleatório em uma
dimensão. Uma partícula executando etapas sucessivas, ou deslocamentos, em uma
dimensão após um total de N passos, cada um de comprimento L, a partícula está
localizada na posição x mL, m onde é um número inteiro compreendido entre N≤m≥N
A probabilidade PN (m) de encontrar a partícula na posição x mL após as N etapas tais
que:
WN (n1 ) 
Grupos de Discussão
Derive a probabilidade WN (n1) para encontrar a partícula na posição x=ml após N
etapas.
Você pode ver como segue a derivação;
O número total de N passos N é simplesmente:
N = n1 − n2
O deslocamento do líquido onde,
m=n−n
1
2
m = n1 − n2 = n1 − (N − n1) = 2n1 − N
Nossa suposição fundamental era que as etapas sucessivas são estatisticamente
independentes umas das outras. Assim, pode-se afirmar simplesmente que,
independentemente da história, cada passo é caracterizado pelas respectivas probabilidades:
P = Probabilidade de que o passo é para a direita
q =1 – p = Probabilidade de que o passo é para a esquerda
Agora, a probabilidade de qualquer uma dada seqüência de n1 passos para a direita e n2
passos para a esquerda é dada simplesmente multiplicando as probabilidades respectivas,
ou seja, por:
… … = O número de possibilidades distintas é dado por:
A probabilidade W N (n1 ) de tomar n1 passos para a direita e n2 = N - n1 passos para a
esquerda em qualquer ordem, é obtida multiplicando a probabilidade dessa seqüência pelo
número de sequências possíveis de tais medidas. Isso dá:
WN (n1 ) 
Distribuição Binomial
Na verdade, lembramos que a expansão binomial é dada pela formula:
Leia a distribuição binomial no livro sobre os fundamentos da termodinâmica (Federick
Reif) pp.7-23
Grupo de Discussão
Tendo em conta que
 m  m

Mostre que pN (m) =
Nesta discussão você pode considerar que a probabilidade P N (m) da partícula se encontrar na
posição m após as N etapas de é a mesma que WN (n1 ) e é dada por:
PN (m) =WN (n1 )
Valor médio
Se f(u) é uma função de u, então o valor médio de f(u) é definido por:
≡
Esta expressão pode ser simplificada. Uma vez que P(ui) é definida como uma
probabilidade, a quantidade
P( ) + P( ) + … + P(
) ≡
= 1. Esta é chamada “condição de normalização” e,
≡
f( )
Actividade
Derive a soma e o produto do valor médio de diferentes funções
Solução
Se
f(u)
e
g(u)
são duas quaisquer funções
=
=
de u, então:
]
+
+
=
ou,
+
Se c é uma constante qualquer, é evidente que
=
Desvio padrão e desvio de dispersão
Δu = u − , desvio
≡
≥ 0, segundo momento de u sobre sua média ou mais
simplesmente a dispersão de u, desde
≥ 0 pode-se ver que este valor nunca pode ser
negativo.
A variação de u é proporcional ao quadrado da dispersão de u em torno do seu
valor médio. A medida mais útil do espalhamento é dada pela raiz quadrada da
variância,
Δ *u = [(
, que usualmente é chamado por desvio padrão de u.
A distribuição de Gauss
P(n)
exp
Esta é a famosa função de distribuição de Gauss. A distribuição de Gauss é válida apenas
>> 1.
nos limites N >> 1 e
Activitidade
Obtenha a distribuição de Gauss usando a expansão de Taylor
Solução
Vamos expandir lnP em torno de n = . Note que vamos expandir a função lnP(n), uma
vez que varia lentamente, ao invés da função P(n), já que esta varia rapidamente, isto
porque a expansão de Taylor P(n) não converge com rapidez nas proximidades de n = .
Deste modo, podemos escrever,
ln p (
+ n) = ln p( ) +
Onde
= P (n)
P
( )exp
1
… Universidade Virtual Africana 28
É mais conveniente fixar a constante P ( 1) usando a condição de normalização em que
para o caso discreto é igual à:
E, para o caso contínuo é:
Expressão que é válida para uma função de distribuição contínua, na condição de
esperarmos P(n) a ser significativo quando n está na faixa relativamente estreita de
e os limites de integração na expressão acima podem ser substituídos por ∞
com erro desprezível. Assim,
P(
dn = P (
O princípio da igualdade de probabilidades a priori
Actividades
Considere uma garrafa de gás que está isolada com o ambiente externo.
Solução
Nesta situação, podemos esperar que a probabilidade de o sistema ser
encontrado em um dos seus estados acessíveis seja independente do tempo.
Isto implica que o conjunto estatístico não evolua com o tempo.
Os sistemas individuais no conjunto mudam constantemente de estado, mas
o número médio de sistemas em qualquer estado deve permanecer constante.
Assim, todos os parâmetros macroscópicos que descrevem o sistema, tais
como a energia e o volume, também devem permanecer constantes.
Não há nada nas leis da mecânica que nos levaria a supor que o sistema será
mais frequentemente encontrado em um dos seus estados acessíveis do que em
outro. Assumimos, portanto, que o sistema tem a mesma probabilidade de ser
encontrado em qualquer dos seus estados acessíveis. Este é o chamado princípio da
igualdade de probabilidades a priori, e constitui o cerne da Mecânica Estatística.
O tempo de relaxamento
Actividades
Tome isoladamente muitos sistemas de partículas até atingirem o estado de equilíbrio
independentemente do seu estado inicial.
Solução
A escala típica de tempo para esse processo é chamado de tempo de
relaxamento, e depende da natureza das interacções entre as partículas.
O princípio da igualdade de probabilidades a priori só é válido para os
estados de equilíbrio. O tempo de relaxamento para o ar em uma sala de aula típica
é muito inferior a um segundo. Isto sugere que o ar seja provavelmente em
equilíbrio maior parte do tempo, devendo, portanto, ser regida pelo princípio da
igualdade de probabilidades a priori.
O comportamento da densidade dos estados
Um sistema macroscópico é aquele que tem muitos graus de liberdade denotados
de uma energia do sistema E. Denotamos por (E o número de estados cuja energia
situa-se entre E e E + dE num dado sistema. Seja (E) o número total de possíveis
estados quânticos do sistema, que são caracterizados por energias inferiores à E. É óbvio
que (E) aumenta quando aumenta E. O número dos estados (E no intervalo entre E e
E + dE é então dado por:
Actividades
(E (Eδ E) + (E) =
Considere o caso de um gás de N moléculas idênticas fechado num recipiente de
volume V. A energia do sistema pode ser dada por:
Onde, E=K+U+Eint
Onde,
K=K(p1,p2,….pN)=
, U = U( , ,…. Solução: O número dos estados (E, V situados entre as energias E E é simplesmente igual ao número de células no espaço de fase constante entre estas ener. energias.
Em outras palavras, Ω (E, V) é proporcional ao volume do espaço de fase entre estas duas
energias:
( )
Ω E ,V Aqui, o integrando é o elemento de volume do espaço de fase, com
=
=
, o número de estados Ω(E ) entre os intervalos esféricos de energia E + dE, é dado como sendo, Ω = Em outras palavras, a densidade dos estados varia com os parâmetros macroscópicos
do sistema elevado à potência do número de graus de liberdade. Um parâmetro extensivo é
uma escala com o tamanho do sistema (por exemplo, o volume). Geralmente, processos
termodinâmicos possuem um grande número de graus de liberdade. Daí que a densidade de
estados aumenta excepcionalmente duma forma rápida
Universidade Virtual Africana 32 em função da energia e do volume. Este resultado, que acaba por ser muito geral,
é muito útil em Termodinâmica Estatística.
Problema
1.
Um centavo é lançado 400 vezes. Encontre a probabilidade de obter 215 cabeças.
(Sugestão: use a aproximação de Gauss)
Solução
Um centavo é lançado 400 vezes. A probabilidade de obter 215 cabeças, é dada pela
aproximação gaussiana,
P(n) exp
Onde
N = 400,
= 251, p=
100 ,
,q=
200 Substituindo na equação de Gauss temos:
e‐
P(251,400) 
P(251,400) 
1.3x
Problema
2.
Uma partícula de massa m está livre para se mover em uma dimensão. Seja x a
sua posição coordenada e p o seu impulso. Suponha que esta partícula está confinada
numa caixa, de modo a ser localizado entre x = 0 e x = L, e suponha também que a sua
energia seja conhecida por estar entre E e E + dE. Desenhe o espaço de fase clássico desta
partícula, indicando as regiões deste espaço, que são acessíveis à ela.
Solução
Vamos representar o movimento das partículas em coordenadas de p, x
p
P+ dp
p
0
L
x
A partícula com a posição x e o momento p está entre x = 0 e x = L, a energia encontra-se
entre E e E + dE.
A dinâmica da partícula é dada por:
E =
p=
2mE
O estado acessível no espaço de fase Ω(E
E e o número de estados
)=
que tem uma energia E no espaço de fase é dado por E = p 
3. Qual é a probabilidade de obter três ou seis com um lance de morrer?
Solução
A probabilidade de que a exposição da face 3 ou 6 é
+
ACTIVIDADE 2: Parâmetros macroscópicos e suas medidas
Você vai precisar 25 horas para concluir esta actividade. Nesta actividade, você é guiado
por uma série de leituras, vídeos multimédia, exemplos trabalhados e questões de autoavaliação e problemas. Está fortemente aconselhado a ir consultar, através das
actividades, todas as matérias obrigatórias e a usar o maior número possível de links e
referências úteis.
•
•
•
•
Descrever a temperatura absoluta e a sua relação com a entropia;
Estado e a capacidade de calor com Volume e Pressão constantes;
Definir e calcular a entropia.
Síntese das Actividades de Aprendizagem
Essa actividade define a relação entre o trabalho e a energia interna de um sistema.
Aqui, trataremos também o conceito de entropia, seu cálculo, num sistema combinado.
Abordaremos também os problemas relacionados com a entropia e a densidados de estados
de equilíbrio.
Lista de Leituras Exigidas
Leiturag #2:.
Referência Completa : Da Mecânica Clássica à Mecânica Estatística
De capítulos de rascunhos da Física Térmica e Estatística
URL : http://stp.clarku.edu/notes/chap1.pdf
Accessedo em 23 de Setembro de 2007
Resumo: Física Térmica e Estatística: Da Mecânica Clássica à Mecânica Estatística;
Conceitos e Processos Termodinâmicos; Conceito de Probalidade; A Metodologia da
Mecânica Estatística; Sistemas Magnéticos; Sistemas de partículas não interagentes;
Relações e Processos Termodinâmicos; Teorias de gases e líquidos; Fenômenos Críticos
e do Grupo de Renormalização, Introdução à Teoria de Perturbação de Muitos Corpos ...
Justificativa: Este capítulo cobre a maior parte dos temas das actividades do
segundo e terceiro módulos.
Lista de Recursos Relevantes
Referência http://en.wikipedia.org/wiki/Absolute_zero
Data Consultada:-Nov de 2006
Descrição: - O zero absoluto é a mais baixa temperatura possível, ocorre quando não há
energia térmica contínua em uma substância. O zero absoluto é o ponto no qual as
partículas têm um mínimo de energia, determinada por efeitos da Mecânica Quântica, que
é chamada energia de ponto zero. Por acordo internacional, o zero absoluto é definido
precisamente como 0K na escala Kelvin, que é uma escala da temperatura termodinâmica
(absoluta), e -273,15 ° C na escala Celsius. O zero absoluto é também precisamente
equivalente a 0°R na escala Rankine (também uma escala de temperatura
termodinâmica), e -459,67 ° F na escala Fahrenheit.
Referência:-: http://www.upscale.utoronto.ca/GeneralInterest/Harrison/Entropy/
Entropy.html
Data Consultada:- Fevereiro de 1999
Descrição:
- A entropia é uma medida da probabilidade de um resultado específico.
A entropia é uma medida da desordem de um sistema.
A entropia mede o calor dividido pela temperatura absoluta de um corpo.
Introdução à Actividade
As leis que regem as relações entre calor e trabalho são estudadas em física
térmica. Desde que o calor é uma forma de energia e trabalho é o mecanismo pelo
qual a energia é transferida, estas leis são baseadas nos princípios básicos que
regem o comportamento de outros tipos de energia como o princípio da
conservação da energia.
Nesta actividade, você será guiado através de uma série de tarefas para entender o
calor como uma forma de energia e definir termos como capacidade térmica, calor
de fusão e calor de vaporização.
Descrição detalhada da actividade (principais elementos teóricos)
Figura: Compressão das moléculas de um gás
Medições macroscópicas:
•
•
•
•
Trabalho e energia interna;
Temperatura Absoluta;
Capacidade calorífica e calor específico;
Entropia
Trabalho e Energia Interna
O trabalho macroscópico feito por um sistema é determinado pelo volume de um sistema se
mudou quase estática de Vi à Vf e, em todo este processo, a pressão média do sistema tem o
valor mensurável V)
Assim, a expressão para Trabalho será dada por:
W =
dV
Se o sistema for isotermicamente isolado por isso não pode absorver o calor, então Q = 0
= -W
A energia interna
Actividade
Considere um sistema que consiste num cilindro contendo um gás. O fornecimento de
energia externa ao sistema de comutação do circuito. O que você observa? Considere-se um
padrão macro i de volume Vi e pressão media
onde
=
. Como é determinada a
energia média
de qualquer outro macroestado j do volume
e a pressão média
?
Figura: Um sistema consiste de gás contendo cilindro.
O volume V do gás é determinado pela posição do pistão. A resistência pode trazer um
contacto térmico com o sistema.
Solução
O microsistema pode ser especificado por dois parâmetros, volume V e Energia Interna
Cada macroestado pode ser representado por um ponto no diagrama
.
Como o gás se expande a partir do volume 1 para o volume final 3 para uma diminuição da
pressão média cujo valor é
e o trabalho realizado pelo pistão é
. Para trazer a
pressão
sem alterar o volume, o trabalho é feito pela resistência eléctrica de valor
e
se o valor Δ da energia consumida pela resistência, em seguida, a energia fornecida pelo
- Δ
sistema externo é
A Energia Interna total do sistema no estado 2 é então dada por:
= ‐ + ‐ A quantidade de calor absorvida a partir de uma macroestado 1 para um macroestado 2 é
dada por:
= (
‐ ) + Calor
O calor Qab absorvido pelo sistema para ir de um para outro macroestado é dada por:
Q =(E − E )+W
ab
b
a
ab
Temperatura absoluta
Propriedades da temperatura absoluta
1
A temperatura absoluta fornece um parâmetro de temperatura, que é
completamente independente da natureza do termômetro especial utilizado para
realizar a medição de temperatura.
2
A temperatura absoluta T é um parâmetro de fundamental importância que
entra em todas as equações teóricas. Assim, todas as previsões teóricas envolverão
esta temperatura particular.
Actividade
A partir da equação de estado V = NKT você pode mostrar equivalentemente que,
V =
R =
K
Capacidade Térmica e Calor Específico
Considere um sistema macroscópico cujos macroestados podem ser especificados por sua
temperatura absoluta T e alguns outros parâmetros macroscópicos y (y pode ser volume ou
pressão média).
Actividade
•
Seja um sistema macroscópico à temperatura T. Uma quantidade infinitesimal
de calor dQ é adicionado ao sistema e outros parâmetros y mantidos fixos.
•
O resultado da mudança dT na temperatura do sistema depende da natureza
do sistema, bem como sobre os parâmetros T e y especificando o macroestado do
sistema.
Resultado
A capacidade de calor específico constante y é definido por:
= O calor específico por mol ou capacidade calorífica por mole é assim definido por:
= = Eventualmente, o calor específico por grama é definido como:
= = Tarefa
Tome um gás ou um líquido cujo macroestado pode ser especificado por dois parâmetros
chamados temperatura T e o Volume. Calcule a Capacidade Calorífica Cν a volume
constante e à pressão constante C
p
Figura : Diagrama ilustrando a medição de calor específico de um gás mantido a volume
constante ou a pressão constante
Para determinar Cν
Nós fixamos o pistão na posição que o volume do sistema é mantido fixo.
Neste caso, o sistema não pode realizar qualquer trabalho, e o calor dQ adicionado ao
sistema vai inteiramente para aumentar a energia interna do sistema
Para determinar Cp
O pistão esquerdo que está completamente livre para mover o peso do pistão é igual à força
constante por unidade de área (média pressão) sobre o sistema. Neste caso, o pistão se
moverá quando o calor dQ é adicionado ao sistema; como resultado o sistema realiza
também trabalho mecânico. Assim, o calor dQ é usado tanto para aumentar a energia
interna do sistema bem como para realizar trabalho mecânico sobre o pistão.
dQ = d + dV que é a lei fundamental da termodinâmica
A partir do resultado que esperávamos
i). d é o aumento em pequena quantidade (e, consequentemente, a temperatura T
também aumentará a quantidade menor), no segundo caso, em relação ao primeiro.
ii). Cp > Cν
Capacidade Térmica usando a Segunda Lei da Termodinâmica
A segunda lei da termodinâmica é dada por dQ = TdS e a capacidade do calor por:
= Se todos os parâmetros externos do sistema se mantiveram constantes, em seguida, a
dose de sistema nenhum trabalho macroscópico, dW = 0 então a primeira lei se reduz à
dQ = d e,
= T
=
Exemplo
Vamos considerar medidas de calor pelo método das misturas em termos de calores
específicos da substância em causa. Considere que duas substâncias A e B, com massas mA
e mB são colocados em contacto térmico sob condições onde a pressão é mantida constante.
Suponha que a substância antes de ser introduzida entra em contato térmico com a
temperatura de equilíbrio respectivamente TA e TB. Calcule a temperatura final Tf. Solução
Entropia
A entropia pode ser facilmente determinada usando a segunda lei dQ = TdS para um
processo infinitesimal quasi-estático. Dado qualquer macroestado b do sistema, pode-se
encontrar a diferença de entropia entre esse estado e algum estado padrão a para o
estado b e para este processo o cálculo da entropia será dado por:
Sb – Sa =
Suponha que o macroestado de um corpo é determinado pela sua temperatura, uma vez
que todos os outros parâmetros são mantidos constantes.
S(
‐ S(
= em seguida,
S( ‐ S( = = ln Problema
Considere dois sistemas A e B do sistema com o calor específico constante
originalmente nas respectivas temperaturas
e
e
são colocados em contacto térmico uns
com os outros. Após o sistema entrar em equilíbrio, elas atingem uma temperatura final
vem Tf. Qual é a mudança de entropia do sistema como um todo neste processo?
Resposta
Para calcular a variação de entropia do sistema A, podemos imaginar que é trazida de sua
temperatura inicial T para a temperatura T por uma adição de calor infenetisimal
A
f
dQ = m C ' dT
A
A
dS = = ( ) ‐ (
) = = ln Universidade Virtual Africana 43
Da mesma forma que o sistema B
dS = = ( ) ‐ (
) = = ln A variação total de entropia será dada por:
+ = ln + ln Problemas
(a)
Um quilograma de água a 0 C é colocado em contacto com um grande reservatório de
calor em 100 C. Quando a água chegou a 1000 C, qual foi a mudança na entropia da água?
Do reservatório de calor? De todo o sistema constituído de água e reservatório de calor?
0
0
0
0
0
b)
Se a água tivesse sido aquecida de 0 C para 1000 C, primeiro colocando-se em
contacto com um reservatório de 500 C e, em seguida, com um reservatório de 1000 C, qual
teria sido a mudança na entropia do sistema como um todo?
0
0
0
0
c)
Mostre como a água pode ser aquecida de 0 C a 10000 C, com nenhuma mudança na
entropia do sistema como um todo.
Resposta
Entropia da água
= Universidade Virtual Africana 44
= mCln
(onde a massa de água é de 1kg)
= 1310
A entropia do reservatório
A quantidade de perda de calor pelo reservatório é dada por:
= = - mC ( – )
= = ‐ 1126 Entropia Total
+ mCln
184 Universidade Virtual Africana 45
ACTIVIDADE 3: Estatística Termodinâmica
Você precisa de 30 horas para completar esta actividade. Nesta actividade, você é guiado
com uma série de leituras, vídeos multimídia, exemplos trabalhados e questões de autoavaliação e problemas. Está fortemente aconselhado a ir consultar, através das
actividades, todas as matérias obrigatórias e usar o maior número possível de links e
•
•
•
•
Descrever a relação entre a temperatura absoluta e entropia;
Estado da capacidade de calor com volume e pressão constatntes;
Definir e calcular a entropia.
Síntese das Actividades de Aprendizagem
Nesta actividade, você irá investigar a relação entre pressão, temperatura, volume e
quantidade de gás que ocupa um recipiente. Esta actividade consiste em três secções. Na
1ª secção é discutida a quantidade de gás e a importância do número de Avogadro. Na 2ª
abordaremos a relação entre pressão e volume. Na parte três será determinada a relação
entre a pressão e o volume bem como a quantidade de gás presente na câmara.
Lista de Leituras Exigidas
2ª Leituta
Reeferência Completa : Da Mecânica Clássica à Mecânica Estatística
De Capítulos inacabados da Física Térmica e Estatística
Accessado em 23 de Setembro de 2007
Resumo: Física Térmica e Estatística: Da Mecânica Clássica à Mecânica Estatística;
Conceitos e Processos Termodinâmicos; Conceitos de Probabilidade; A Metodologia da
Mecânica Estatística; Sistemas Magnéticos; Sistemas de Partículas Não Interagentes;
Relações e Processos Termodinâmicos; Teorias de Gases e Líquidos; Fenômenos Críticos
e do Grupo de Renormalização; Introdução à Teoria de Perturbação de Muitos Corpos...
Justificativa: Este capítulo cobre a maior parte dos temas referentes à segunda e
terceira actividades do módulo.
5ª Leitura
Referência Completa: Introdução à Mecânica Estatística | Free eBooks Download!
URL:http:// www.ebookee.com/Introduction-To-Statistical-Mechanics_139834. html
6ª Leitura
Referência Completa: Condução da Forças Molecular: Termodinâmica Estatística em
Química ...
URL http:// www.ebookee.com/Molecular-Driving-Forces-StatisticalThermodynamics-in-Chemistry-amp-Biology_145376.html
Lista de leituras relevantes para todas as actividades
Referência:- Kittel C. and Kroemer H., (1980) Física Térmica, 2ª ed., W. H.
Freeman and Co., San Francisco, CA.
Justificativa: Esta referência clássica na física térmica é recomendada para um estudante
sério de Física. Os conteúdos foram tratados em detalhe, com o apoio de um aparelho
matemático adequado.
Referência: Fundamentos da Física Estatística e Térmica: F. Reif (McGraw-Hill,
New York NY,1965).
Justificativa: Essa leitura porporciona fontes fáceis de informação. Os conteúdos foram
tratados de forma lúcida, com o apoio dum aparelho matemático adequado.
Referência: http://en.wikipedia.org/wiki/Entropy
Descrição: - Este applet Java ajuda a entender o efeito da temperatura e do volume do
número de colisões das moléculas do gás com as paredes. No applet você pode alterar a
temperatura e o volume com os cursores do lado esquerdo. Você também pode ajustar o
tempo para que a simulação seja executada. O applet conta todas as colisões e exibe o
resultado após a execução. Pela variação da temperatura e volume e mantendo o controle
do número de colisões, você pode obter uma boa sensação de que será o principal
resultado da teoria cinética.
Referência: video.google.com
Data Consultada: Nov 2006
Referência Completa: - Cálculo de computador de diagramas de fase. http://video.
google.com/videoplay?docid=1397988176780135580&q=Thermodynamics&hl
=en
Justificativa: Modelos termodinâmicos de soluções podem ser utilizados juntamente
com os dados para calcular diagramas de fase. Esses diagramas revelam, para um
determinado conjunto de todos os parâmetros (como temperatura, pressão e campo
magnético), as fases que são termodinamicamente estáveis e em equilíbrio, o seu volume
e suas frações químicas…
Lista de Relevante Links Úteis
Título: O diagrama PV e Ciclo Motor
URL:
http://www.antonine-education.co.uk/Physics_A2/options/Module_7/Topic_4/topic_4.htm
Resumo: Este site contém um bom resumo sobre a representação de processos em diagrama
p-V, Estimativa do trabalho realizado em termos de área abaixo do gráfico, Expressões de
trabalho não são necessários, excepto para o caso de uma pressão constante, W = p
Δ V, Extensão para processos cíclicos: o trabalho executado por ciclo = área de loop
Título: Número de Avogadro
URL: http://njsas.org/projects/atoms/avogadro.php
Resumo: Um histórico, bem como científico da origem do número de Avogadro é
nesta página.
A Lei do Gás Ideal descreve a relação entre pressão, volume, o número de átomos ou
moléculas em um gás, e a temperatura de um gás. Esta lei é uma idealização porque ela
assume um "gás" ideal. Um gás ideal é composto de átomos ou moléculas que não
interagem e que ocupam o volume zero. Um gás real consiste de átomos ou moléculas (ou
ambos), que têm volume finito e interagem por forças de atração ou repulsão devido à
presença de cargas. Em muitos casos, o comportamento dos gases reais podem ser
aproximados muito bem com a Lei do Gás Ideal. E esta actividade se concentra na
descrição de um gás ideal.
Descrição detalhada da actividade (Principais elementos teóricos)
Introdução
Interruptor do relé térmico e sistemas de dispersão (Boltzmann e Factores de Gibbs, a
partição e funções relacionadas com termodinâmica
Condições de equilíbrio e suas limitações
Considere um sistema isolado, cuja energia é especificada por encontrar-se na
faixa
estreita. Como normalmente denotamos por Ω o número de estados acessíveis em seguida
a este sistema. A partir do postulado fundamental, sabemos que neste sistema em
equilíbrio, é a mesma a probabilidade do mesmo ser encontrado em qualquer um desses
estados. Se um sistema tem uma restrição y1,y2,…yn então o estado acessível dada por Ω
= Ω (y1,y2,…yn).
Se alguns constrangimentos de um sistema isolado são removidos, os parâmetros do sistema
tendem a reajustar-se de tal forma que Ω = Ω (y1,y2,…yn) se aproxima de um Ω máximo
Ωf ≥ Ωi
Interacção Térmica entre Sistemas Macroscópicos
Actividade
Considere-se uma interacção puramente térmica entre dois sistemas macroscópicos, A e A ',
Energia dos sistemas de E e E ', os parâmetros externos são constantes, de modo que A e
A’não podem realizar o trabalho um do outro e os sistemas são termicamente em contacto
um com outro estabelecendo uma troca de calor. Considerando a largura de energia δE
• Vamos calcular o estado acessível;
• A temperatura em equilíbrio;
• A entropia de equilíbrio
Resultado
O número de microestados de A consistente com uma macroestado em que a energia está
no intervalo E até E + δ E é denotado por Ω (E). Da mesma forma, o número de
microestados de A’ consistente com uma macroestado em que a energia está entre E’ e E’
+ δ E é denotado por Ω ’(E ).
O sistema combinado A =A+A’, assume-se a ser isolado (isto é, não funciona em nem
troca calor com o ambiente). O número de acesso a toda a sistema A vamos denotar por Ω
(E) quando A tem energia entre E e E+dE.
(0)
0
A probabilidade
0
P(E)=C Ω (E)
Estado de Acessibilidade Total
°(E) = (E) ’(E° ‐ E) Temperatura em at equilibrio
A probabilidade do sistema A tendo a energia próxima de E é dada por:
P(E) = C(E) ’(E° ‐ E) Para localizar a posição máxima de P (E) com E = =
= 0
LnP(E) = lnC + ln(E) + ln’(E’)
=
+
= 0
0
0
Onde E =E+E’ em que dE=-dE’ então:
=
= 0
Entropia do Sistema Combinado
Actividade
) e ( ) denotam as energias correspondentes de A e A’ no máximo, e
quando nós introduzimos a definição:
kT
onde k é uma constante positiva da energia e cuja
magnitude de alguma maneira é arbitrária.
O parâmetro K é então definido como sendo: Solução
Quando nós introduzimos a definição S ≡ k lnΩ esta quantidade S é dado o nome de
Entropia.
O Estado de Acessível Total °(E) = (E) ’(E° ‐ E) e tomando o logaritmo
ln°(E) = ln(E) + ln’(E° ‐ E) = S + S’
A condição da probabilidade máxima é expressa como a condição de que a entropia total
S + S’ = entropia máxima que ocorre quando T = T’
A abordagem para o equilíbrio térmico
Se os dois sistemas são posteriormente colocados em contacto térmico, de modo que eles
são livres de troca de energia de calor até que os dois sistemas de energia atinjam a média
=
qque são
=
final
Decorre de conservação de energia que:
+
=
+
A variação da energia média de cada sistema é simplesmente o calor líquido absorvido, de
'
modo que
-
;
-
''
A conservação de energia,
em seguida, reduz-se a
Q + Q’ = 0
É claro que o parâmetro β, definido por:
Temperatura
1. Se dois sistemas separadamente em equilíbrio são caracterizados pelo mesmo valor
do parâmetro, o sistema permanecerá em equilíbrio quando interposto em contacto
térmico com o outro.
2. Se os sistemas são caracterizados por diferentes valores do parâmetro, então eles
não permanecerão em equilíbrio quando colocados em contato térmico um com o
outro.
3. Se dois sistemas estão em equilíbrio térmico com um terceiro sistema, então eles
devem estar em equilíbrio térmico um com o outro.
Reservatório de calor
Se A' é suficientemente grande em comparação com A, então A’ é um reservatório.
Suponha que o sistema macroscópico A’ tem Ω'(E ') estados acessíveis e absorve o
calor Q ' =ΔE ' usando expansão lnΩ(E’,Q’) em E’ = Q
lnΩ'(E ',Q') − lnΩ'(E ') =
usando a aproximação
=
a ordem superior se torna zero
lnΩ'(E ',Q') − lnΩ'(E ') =
k lnΩ'(E ',Q') − lnΩ'(E ')] =
ΔS ' 
Para um reservatório de calor
Q'2 ...
Dependência da densidade de estados ao parâmetro externo
Actividade
Agora que temos examinado em detalhe a interacção térmica entre sistemas, voltemos ao
caso geral, onde a interação mecânica também pode ter lugar, ou seja, onde os parâmetros
externos dos sistemas também são livres para o intercâmbio. Começamos, pois, a
investigar como a densidade de estados depende dos parâmetros externos.
O número de estados acessíveis ao sistema de microestados acessíveis ao sistema, quando
o total de energia situa-se entre E e E + δ E depende do valor particular de x, donde
podemos escrever
Ω ≡ Ω (E ,x).
O número de estados σ (E, x), cuja energia é alterada de um valor inferior à E para
um valor superior à E quando as mudanças de parâmetro ocorrem de x para x + dx
é dada pelo número de microestados por unidade de energia multiplicada pelo
deslocamento médio de energia do microestado. Daqui
σ (E, x) =
dx
onde o valor médio de
é tomado sobre todas os microestados acessíveis (ou
seja, todos os estados onde a energia está entre E e E + δ E e o parâmetro externo
leva o valor de x). A equação acima também pode ser escrita de seguinte modo:
σ (E, x) =
onde,
dx
(E, x) = -
é o conjugado da força média generalizada ao parâmetro externo x.
Considere o número total de microestados entre E e E + δE. Quando o parâmetro de
mudanças externas de x para x + dx, o número de estados neste intervalo de energia muda
para
Simbolicamente podemos escrever:
dx = σ (E ) − σ (E + δE )
Que produz
= = = + = + = + Assim,
então,
onde Xα é o conjugado da força média generalizada para o parâmetro xα
Processo Infinitesimal quase estático
Actividade
Considere um processo quase estático em que o sistema A, em virtude da sua interacção
com os sistemas A’, é trazida de um estado de equilíbrio por descrever e
(α =
α
1,2,...n) para um estado de equilíbrio infinitamente diferente, descrito
por
d
+d
e
.
Qual é a mudança resultante do número de estados Ω acessíveis à A?
Solução
O estado acessível é dado por:
Ω = Ω(E ; x1,..., xn)
dlnΩ =
d
+
d
,
Substituindo a na equação acima β =
dlnΩ =
, recebemos:
dW 
(
)
Então: dlnΩ = β d + dW = βdQ
Que é a relação fundamental válida para qualquer processo quasi-estático infinitesimal
+
dV +
dlnΩ =
dV' +
dlnΩ =
dE' = 0 dV +
(
dQ = TdS = dE + dW
dE +
) ou, equivalentemente,
dV' +
dQ
T
dS =
dE +
dE' = 0 Processo Adiabático
dQ = 0 que afirma
dS = 0
Equilíbrio
Considere o equilíbrio entre os sistemas A e A’ no caso simples em que os parâmetros
externos são os volumes V e V’ dos dois sistemas. O número de estado disponível
0
para o sistema combinado A é dado pelo produto simples:
0
(
Ω E ,V
) = Ω (E ,V )Ω'(E ',V ')
Actividade
Usando o estado acessível dado para o sistema combinado, derive a equação que
garanta o equilíbrio térmico e mecânico
Solução
Para o sistema combinado estado acessível dado como
(
)
(
) (
(
)
(
)
0
)
Ω E ,V = Ω E ,V Ω' E ',V '
Tomando o logaritmo
0
(
)
lnΩ E ,V = lnΩ E ,V + lnΩ' E ',V '
A entropia total do sistema dada por:
S
0
=S+S'
Ao valor máximo que o estado total acessível dlnΩ
0
0
=0
d lnΩ (E ,V )= d lnΩ(E ,V )+ d lnΩ'(E ',V ')= 0
dlnΩ =
dV +
dV' +
dE +
dE' = 0 Onde,
=
, Similarmente β' ' =
=
=
Substituindo na equação acima, recebemos:
dlnΩβ dV βdE β' 'dV'β'dE' = 0 do sistema combinado vem que:
E E ' 

V V ' 
Em seguida teremos: dE −dE', dV −dV'
Substituindo na equação acima fica:
β dV βdE −β' 'dV − β'dE = 0 Juntando os termos resulta:
β dV − β' 'dV = 0
βdE − β 'dE = 0
Então, em equilíbrio térmico:
β=β '
β dV = β ' ' dV
Então, o equilíbrio mecânico
= '
Relações básicas das Leis Termodinâmicas e Estatísticas
Sumário das Leis Termodinâmicas
• Lei Zero: Se dois sistemas estão em equilíbrio térmico com um terceiro sistema, eles
devem estar em equilíbrio térmico com o outro.
• Primeira Lei: Um macroestado de um sistema em equilíbrio pode ser caracterizado por
uma quantidade
(chamada Energia Interna) que tem a propriedade, para uma
quantidade de energia isolada
=constante. Se o sistema é permitido para interagir e,
portanto, vai de um macroestado para outro e mudar o resultado em é possível
escrever: • Segunda Lei: Um macroestado de um sistema em equilíbrio pode ser
caracterizado por uma quantidade S (chamado entropia), que tem as seguintes
propriedades:
-
Em qualquer processo em que um sistema termicamente isolado vai de
um macroestado para o outro, a entropia tende a aumentar, ou seja: ΔS ≥ 0
-
Se o sistema não é isolado e está sob acção de um processo
infinitesimal quase- estático em que absorve uma quantidade decalor dQ,
dQ
então dS = T
• Terceira Lei: A entropia S de um sistema tem a propriedade de limitar T → 0 ,
+
S → S0 onde S0 é uma constante independente de todos os parâmetros de um sistema
particular.
ACTIVIDADE 4: Algumas Aplicações da Termodinâmica
Estatística e Macroscópica
Você vai precisar de 40 horas para concluir essa actividade. Nesta atividade, você é
guiado por uma série de leituras, clips de multimídia, exemplos trabalhados e questões de
auto-avaliação e problemas. Está fortemente aconselhado a ir consultar, através das
actividades, todas as matérias obrigatórias e usar o maior número possível links e
•
Calcular as relações da termodinâmica;
•
Derivar a equação para a distribuição canônica e teoria cinética dos gases
diluídos em equilíbrio.
Lista de leituras necessárias (para a atividade de aprendizagem)
1° Link útil
Título: TERMODINÂMICA ESTATÍSTICA E MACROSCÓPICA
URL: http://www.worldscibooks.com/physics/6031.html
Tela Captada
Por Yi-Chen Cheng (Universidade Nacional de Taiwan, Taiwan)
Descrição: Este livro aborda as questões essenciais, tanto da termodinâmica
clássica como as da termodinâmica estatística: Porque é que as propriedades
termodinâmicas de um sistema de diferentes medidas das de um sistema
macroscópico da mesma substância? Por que e como é definida em termodinâmica
o conceito de entropia, e como é calculada a variação de entropia quando o calor
de dissipação está envolvido? O que é um conjunto estatístico e por que é que a
sua teoria é tão bem sucedida?
Elas incluem a introdução dum grande conjunto canônico, de uma grande função de
partição e sua aplicação aos gases quânticos ideais, uma discussão sobre o campo
médio, a teoria do modelo de utilização e do fenómeno de ferromagnetismo, bem como uma
discussão mais detalhada sobre gases quânticos ideais nas imediações da temperatura T = 0,
tanto para gases Fermi, bem como para os de Bose.
2ª Leitura
Referência Completa: Fundamentos da Física Estatística e Térmica
URL: http://www.ebookee.com/Reif-Fundamentals-Of-Statistical-And-ThermalPhysics
3ª Leitura
Referência Completa: Simulação da Velocidade de de Distribuição de Maxwell
URL: http://www.kfki.hu/physics/physedu/kinetic_gas_model/exp/veldistr.html
Resumo: Gráfico que mostra a distribuição de velocidades de Maxwell
4ª Leitura
URL: http://colos1.fri.uni-lj.si/~colos/COLOS/TUTORIALS/JAVA/THERMODYNAMICS/THERMO_UK/HTML/Vel_Distri.html
Resumo: Distribuição de partículas nos respectivos níveis energégitos
Descrição detalhada da actividade (principais elementos teóricos)
Função de partição do Gás Ideal e suas propriedades, validade da aproximação
clássica, teoria da equipartição, oscilador harmônico na distribuição da alta temperatura
partículas de Maxwell Boltzmann, Estatísticas de Bose-Einstein e Fermi-Dirac
As leis dos gases descritos na actividade 3 foram encontradas através da observação
experimental, mas a lei de Boyle e a lei de Charles não obedecem com precisão à todas as
pressões. Um gás que obedece perfeitamente à todas leis e às pressões seria um gás
“perfeito” ou “ideal” e a teoria cinética resultou de uma tentativa de conceber um modelo
mecânico do tipo de gás com base nas leis de Newton.
Primeira Lei da Termodinâmica
dQ = dE + dW
Se o processo é quase estático, a segunda lei dá
dQ = TdS
O trabalho realizado pelo sistema quando o volume for alterado por uma
quantidade dV no processo é dado por
dW = pdV
Then the fundamental thermodynamics
TdS = dE + pdV
A equação de estado de um gás ideal
Macroscopicamente, um gás ideal é descrito pela equação de estado em relação à
sua pressão p, volume V, e à temperatura absoluta T. Para v moles de gás, esta
equação de estado é dada por:
pV = vRT
A energia interna de um gás ideal depende apenas da temperatura do gás, e é
independente do volume
E = E (T) independente do V.
Entropia
A entropia de um gás ideal pode ser facilmente calculada a partir da relação
fundamental da Termodinâmica
TdS = dE + pdV
ds v
+
dV Expressão adiabática ou compressão
γ
pV = constante
V
γ− 1
T
= constante
Potenciais termodinâmicos
termodinâmicos
e
sua
relação
com
variáveis
O estado termodinâmico de um sistema homogêneo pode ser representado por meio de
algumas variáveis selecionadas, tais como a pressão p, volume V, a temperatura T e
entropia S. Dessas quatro variáveis, as duas podem variar de forma independente e,
quando conhecidas permitem a eterminação de outras. Assim, há apenas duas
variáveis independentes e as outras podem ser consideradas como a sua função.
A primeira e a segunda lei da termodinâmica dão as quatro variáveis termodinâmicas
dQ = dE + pdV a primeira lei da termodinâmica
dQ = TdS a segunda lei da termodinâmica
dE = TdS − pdV a combinação das duas leis
Actividade
Para duas variáveis independentes S e V usando a termodinâmica fundamental
decorrem o estado da termodinâmica de um sistema homogêneo.
Resposta
A função termodinâmica independente
(
E = E S,V
) a energia interna
Diferenciando a função:
dE =
dS +
A partir da equação fundamental da termodinâmica:
dE = TdS − pdV
Comparando as duas equações podemos obter:
T =
P = -
Usando o diferencial de segunda ordem e dE é um diferencial perfeito. E deve ser
independente da ordem de diferenciação:
=
=Então:
-
Actividade
Para duas variáveis independentes S e P usando a termodinâmica fundamental
decorrem o estado termodinâmico de um sistema homogêneo.
Resposta
A função termodinâmica independente.
dE = TdS − pdV
( )
dE = TdS − d pV + Vdp
(
)
d E + pV = TdS + Vdp
A expressão H = E + pV chama-se entalpia
( )
H = H S, p
dH = TdS + Vdp
Diferenciando a função
dH 
dS +
A partir da equação termodinâmica
dH = TdS + Vdp
T =
V =
Usando o diferencial de segunda ordem e dH é um diferencial perfeito. H deve ser
independente da ordem de diferenciação.
=
=
Então:
=
Actividade
Por duas variáveis independentes T e V usando a termodinâmica fundamental
Resposta
A função independente termodinâmica
dE = TdS − pdV
( )
dE = d TS − SdT − pdV
(
)
dE − TS =−SdT − pdV
Fazendo F = E - TS, que chamamos de energia livre de Helmholtz
(
F = F T ,V
)
dF =−SdT − pdV
(
Diferenciando a função F = F T ,V
dF 

dV
A partir da equação termodinâmica:
dF =−SdT − pdV
)
S −
p −
Usando o diferencial de segunda ordem e dF é um diferencial perfeito. F deve ser
=
=
Então:
=
Actividade
Por duas variáveis independentes T e P usando a termodinâmica fundamental
Resposta
A função independente termodinâmica
dE = TdS − pdV
( )
(
)
dE = d TS − SdT −d pV + Vdp
(
)
d E − TS + pV = −SdT + Vdp
Fazendo G = E − TS + pV que chamamos Energia Livre de Gibbs
( )
G = G T,P
dG =−SdT + Vdp
( )
Diferenciando a função G = G T,p

dG 
dp
A partir da equação termodinâmica:
dG =−SdT + Vdp
S=-
V=
Usando o diferencial de segunda ordem e dG é um diferencial perfeito. G deve ser
=
=
Então
=
Resumo para a Função Termodinâmica
Relações de Maxwell
Toda a discussão da seção anterior foi baseada na relação fundamental
da termodinâmica
dE = TdS − pdV
=
=
=
=
Funções Termodinâmicas
E .............................E = E (S,V )
H ≡ E + pV ............H = H (S, p)
F ≡ E − TS..............F = F (T ,V )
G ≡ E − TS + pV ......G = G (T , p)
Em seguida, vamos resumir as relações termodinâmicas para cada uma destas
funções
dE = TdS − pdV
dH = Tds + Vdp
dF =−SdT − pdV
dG =−SdT + Vdp
Calore Específicos
Considere qualquer substância homogénea cujo volume V é o único parâmetro
relevante externo.
A capacidade calorífica a volume constante é dada por:
Solução para b
Considerando a variável independente S = S (T, p) e segunda lei da Termodinâmica

dQ = TdS = T[
dQ = T
[
é possível expressar em termos dp de dT e dv

onde o volume V = constatnte
dV = 0

dQ = T
T
, então:


Cp CV 

da relação de Maxwell
=-
O volume de coeficiente de dilatação da substância:
α=
= = - Vα
Podemos expressar V em termos de T e P, de seguinte modo:
dV 

dT +
dP, uma vez que V = constante Universidade Virtual Africana 70
= ‐
Da compressibilidade isotérmica da substância resulta que:
k −
, - kV =
,
= - Vα
= Substituindo na equação acima, que produz
Cp CV 
= CV 
= CV 
Conjuntos do Sistema de Distribuição a Canonical
Sistema Isolado
Um sistema isolado é constituído por N número de partículas em um determinado volume
V, a energia do sistema a ser conhecida se encontra no intervalo entre E e E + dE. O
postulado fundamental estatístico, afirma que em uma situação de equilíbrio do sistema ele
é igualmente provável de ser encontrado em qualquer dos seus estados acessíveis. Assim, se
a energia do sistema em estado r é dada por Er, a probabilidade Pr de encontrar o sistema no
estado r é dada por:
Pr C If E<Er<E+δE
Pr 0, doutro modo:
Σ
Pr 1, Normalizada
Um conjunto que representa um sistema isolado em equilíbrio consiste então num sistema
distribuído na expressão acima que é algumas vezes chamado de um conjunto
microcanônico.
Em contato com o reservatório
A
A,T Nós consideramos o caso de um sistema de pequeno porte A, em interacção com um
reservatório térmico de calor A’. Qual é a probabilidade Pr de encontrar o sistema A em
qualquer microestado particular r de energia Er?
O sistema combinado A =A+A’ e da conservação de energia E = E +E’
0
0
r
Quando um tem uma energia de Er, o reservatório A ' deve então ter uma energia
próxima à E’=E - Er.
0
O número de estado Ω’(E0 − E r ) acessível a A’
A probabilidade de ocorrência no conjunto de uma situação em que A num dado estado r
é simplesmente proporcional ao número de acesso ao estado A .
0
Pr  C’Ω’ (E’ )
∑P = 1
r
Usando
( )–
lnΩ’ (E − E ) ≈ ln Ω’(E ) – βE
lnΩ’ (E − E r ) ≈ lnΩ' E
0
0
0
0
r
'
Er +…
r
Então:
( )
P = C 'Ω' E
0
= C '
C ' 
= = 1 
que é a probabilidade de a distribuição canónica Aplicação do conjunto canônico
Actividade
Sistema Spin: as partículas paramagnéticas que tem N átomos em um sistema com spin ½
Resposta
Considerando um sistema que contém N átomos, partículas de spin ½ interagem com o
campo magnético externo H com o momento magnético μ
Estado momento magnético da Energia
+
μ
E = −μH
+
_
-μ
E
−
=+μH
As partículas tem dois estados de probabilidade, positiva ou negativa
PC
PC
= C
da condição de normalização resulta:
= C
P+ Pentão nós obtemos:
C 

P 

P 
Molécula do gás ideal
Actividade
Considere um gás monoatómico em temperatura absoluta T confinado em um recipiente de
vo volume V. A molécula só pode ser localizada em algum lugar dentro do recipiente.
Determine a distribuição canônica de um gás monoatômico não interagindo
Solução
• A energia do gás monoatómico em um sistema é dada por puramente cinética:
E = m
=
•
Se a posição da molécula se encontra na faixa entre r e r + dr e o momento
está entre P e P + dP então o volume no espaço de fase é dada por
d rd P=(dxdydz)(dp dp dp )
•
A probabilidade de que a molécula tem posição no intervalo entre r e r + dr e
momento no intervalo entre p e p + dp é dada por:
3
3
x
P(r,p)
y
z
3
•
A probabilidade P(p)d p de que uma molécula tenha um momento no intervalo
entre p e p + dp é dada por:
P (p)
p =
Onde temos p = mv e
 Pp
Então P' V
= C
p = m
p
v
p=C
Força generalizada
Actividade
Usando a distribuição canónica escreva a força generalizada
Solução
Se o sistema depende do parâmetro externo x, então Er = Er (x) e da definição da força
generalizada, temos que:
Xr = −
que é o valor médio da força generalizada e que podemos escrever como:
=
Então:
=
O trabalho médio realizado é dado por:
dW 
dx
Onde o parâmetro externo V é dado por:
dv
dW 
=
Ligação entre a distribuição canónica com a termodinâmica
Actividade
Pode-se escrever a função termodinâmica em termos da função de partição. Derive a
equação
Solução
A função de partição é dada por:
Z 
para que possa ser representada em termos de β, x desde Er = Er(x)
Z=Z (β , x) considerando uma pequena mudança:
dln z 

dln z = βdW −
dβ
O último termo pode ser escrito em termos de mudança no
Assim termos:
( β )+ βd
dlnZ = βdW − d
(
d ln Z + β
) = β (dW + d ) ≡ βdQ
Usando a segunda lei da termodinâmica recebemos:
dS =
portanto
(
S ≡ k ln Z + β
TS ≡ kT ln Z +
)
ao invés da mudança em β.
De energia livre de Helmholtz F= − TS
Assim ln Z é muito simples relacioná-lo com a energia livre de Helmholtz F. Tal relação
expressa-se de seguinte modo:
F=
− TS = -kT ln Z
Função de partição e suas propriedades
Z 
função de partição
Se um sistema pode ser tratado na aproximação clássica, em seguida, a sua energia é dada
por:
(
E = E q1,...qn, p1,..pn
) que depende de algumas coordenadas e momentos generalizados
f.
A função de partição no espaço de fase é dada por:
Z = ∫…∫
Actividade
Considere a energia do sistema definida por uma função para a qual é uma
constante aditiva arbitrária. Se uma alteração por um valor do momento constante
ε do estado padrão r, o estado de energia torna-se Er = Er* + ε .usando a função de
0
0
partição:
a. Mostre que a energia correspondente à deslocação pela quantidade de ε
0
∗
b.
Mostre que a entropia do sistema combinado S = S, não vai mudar
Solução
a.
O valor médio da energia quando a alteração do sistema de energia é dada por ε0
Função de partição será:
∗
Z=
=
∗
ln Z = ln Z − βε
0
A partir da definição
= -
=
= -
+ε
e
= = -
podemos escrever:
0
+ ε A energia média também muda
0
b. A entropia
Seja a função de partição definida em termos das variáveis
=
dln
d
+
dx onde
= -
=
e βdW =
β, x)
dx
Então, podemos encontrar:
dln
= − dβ + βdW
( ) − βd
Usando a relação: dβ = d β
dln
, podemos escrever:
( ) + βd + βdW
d(β ) = βd + βdW = βdQ
= −d β
dln
+
d(ln
+ β ) = βdQ =
(
= k ln
+β
)
Uma vez que podemos escrever:
β
= β + βε e ln
0
 ln Z − βε substituindo na equação acima recebemos:
0
(
= k ln
)= k (ln Z − β ε + β
+β
0
+ β ε ) =k(ln Z + β )=S
0
= S mantendo-se constante a entropia
Actividade
A segunda observação diz respeito a decomposição da função de partição de um sistema
que consiste em duas partes A 'e A'', que interagem muito pouco uns com os outros, se os
estados de A 'e A''são rotuladas, respectivamente por R e S encontre a função de partição
para o sistema total?
Solução
Parte A’ a energia do estado r correspondente E
r
Parte A’’ a energia do estado r correspondente E
s
Um sistema de estado r, s a energia correspondente E
rs
A função de partição para o sistema A é dada por Z, onde
Z 
onde
Onde:
Z 

Z Z 'Z ''



ln Z ln Z 'ln Z ''
Cálculo das quantidades Termodinâmicas com função de partição
Actividade
Considere um gás composto de N moléculas monoatómicas idênticas de massa m em
recipiente de volume V. O vector posição da primaira molécula é simbolicamente designada
por r e seu momento por p e a energia total dada por:
i
i
E 
+ U(
, onde, para gás monoatómico ideal não interagindo, U =
0 e escrever a função de partição de fase.
Solução
Tomando um gás composto de N moléculas monoatómicas idênticas de massa m em um
recipiente de volume V. O vector posição da primaira molécula é simbolicamente designada
por r e seu momento por p e a energia total dada por:
i
i
E 
+ U(
, onde, para gás monoatómico ideal não interagindo, U =
0 e escrever a função de partição de fase, portanto, a função de partição em espaço de fase
pode ser dada como sendo:

Z 
 
... 
Ur ,...r 
1

N


Z 


 
... 
  r ,...r 
  r ,...r 
1
N
1
N



Z 

 
... 



Onde
=
+
+

ξ=
assim, para a primeira partócula
=
  


Z=
d
,
dp =
V
ξ=
Z=
=

=
as quantidades termodinâmicas com a função de partição
Tomando o logaritmo:

lnZ = N lnV +
-
ln
Actividade
Com uma dada função de partição, encontrar
i)
ii)
iii)
iv)
O valor da pressão media;
A energia media;
A capacidade calorífica;
A entropia.
Solução
i)
A pressão média
=

=
ii) A energia total média

   NkT
= kT
N
iii) A capacidade térmica a volume constante
CV 
 R
iv) A Entropia
(
), onde:
S ≡ k ln Z + β
β
=
N
lnZ = NlnV +

S NklnV
-
S Nk lnV +


S

+onde
ln
+


ln
-
+


Em seguida, a energia média
=
=
=
derando que
=
=
, então:
=-
ln
=-
ln
=
seja:
, para um grau de liberdade
Por três graus de liberdade:
=
O oscilador harmônico com energia térmica
Resumo do oscilador harmônico
Seja dado um oscilador harmônico que está em equilíbrio com um reservatório térmico a
temperatura absoluta T.
E 
 E 
 
(n
+
 a energia do oscilador
)ħ ω
Que em mecânica quântica é a energia do oscilador onde a freqüência angular é
dada por:
ω=
Actividade
Usando a função de partição do oscilador harmônico obter a energia média do
oscilador de βħω
1 e βħω
1
Solução
A energia média do oscilador harmônico dada por:
=
=
+
Considerando o caso βħω
i)
1
A partir da expansão de Taylor
= βħω +
+ …negligenciando a ordem mais elevada desde βħω
Substituindo na equação
(
(
βħω
+
+
+
1,
= kT
i)
ii) Considerando βħω
(
Segue (
1
+
+
O que demonstra que, quando T → 0 a energia do estado fundamental será dada por:
1
Teoria cinética dos gases diluídos em equilíbrio
Velocidade de Distribuição de Maxwell
Resumo para a Velocidade de Distribuição de Maxwell
Considere uma molécula de massa m em um gás diluído a energia ε da molécula que é igual
a:
ε=
+
onde
é devido à energia cinética do centro de movimento de massa e
é a molécula não monatómica da energia interna devido à rotação e vibração do
átomo em relação ao centro de massa molecular.
A probabilidade (r,p)
de encontrar a molécula com centro de massa nos
intervalos variáveis (r, dr) e (p, dp) e com estado interno especificado tem coomo
resultado:
(r,p)
Onde
contribui para a constante de proporcionalidade
(r,p)
 
f r ,V
V C
V
Actividade
Usando a condição de normalização de N número de moléculas em um sistema, calcule o
valor de C e escreva a velocidade de distribuição de Maxwell
Solução
=N
=N
CV =
, n = que é o número total de moléculas por unidade de volume
C =
 
f r ,V
V =n
V Que indica a velocidade de distribuição de
Maxwell
Actividade
Derive a componente distribuição de velocidade
Solução
Seja o volume do número de moléculas por unidade de volume na componente x da
velocidade no intervalo entre Vx e Vx + dVx, independentemente dos valores de sua velocidade.
Tal valor é dado por:
g(Vx )dVx 

V
g(Vx )dVx  n
=
g(Vx )dVx  n
g(Vx )dVx  n
O gráfico de g(Vx ) versus Vx
Problema
Resolva o valor para:
x
e
Formulação de problemas estatísticos
Com Considere um gás de partículas idênticas em um volume V, em equilíbrio na
temperatura T. Vamos usar a seguinte notação:
•
•
Identificar o estado quântico possível de uma partícula por r ou s
Identificar a energia das partículas no estado r por εr
Identificar o número de partículas no estado r por n
•
Identificar o estado quântico possível de todo gás por R
•
r
A energia total do gás quando ele está em algum estado R onde há
= 1,
no estado r = 2, etc.
=
+
partículas no estado r
+ ... =
O número total N do gás é dada por:
= N
Para calcular a função termodinâmica do gás é necessário calcular sua função de partição:
Z 

Z 

Actividade
Calcule o número médio das partículas no estado s
Solução
=
=-
Problema
Calcule a dispersão
Solução
Da mesma forma, pode-se escrever a expressão para dispersão do número de
partículas no estado s. Pode-se usar a relação geral:
=
=
-
U0niversidade Virtual Africana 90
Para o caso
=
==
+
=
+
=
=
= -
que é a expressão para a dispersão da distribuição de
partículas.
Fotões Estatíscticos
Ele número médio de partículas no estado s, no caso das estatísticas de fotões
=
=
=
Usando a série geométrica
…+
=1+
=
ln
=
ln



=
que indica o número médio de partículas da distribuição de Plank
Estatística de Fermi-Dirac
Actividades
Considere as partículas num sistema onde o número total de partículas N é fixo tal que
… donde
=0e
=1 para cada r, mas estes números devem sempre satisfazer,
= N. Agora, vamos obter o número médio de partículas em um determinado
sistema.
Solução
Considere as partículas num sistema onde o número total de partículas N de partículas é
fixo
satisfazer,
de tal forma que
=0e
= 1para cada r, mas estes números devem sempre
= N. Para obter o número médio de partículas em um determinado
sistema de estatísticas de
Fermi-Dirac, consideramos a função de partição:
 
entao:
zs N
= N s estados omitidos.
=
Desde
=0e1
=
=
, tomando a equação fraccionada, recebemos:
=
(
Tendo em conta o desenvolvimento de Taylor: ln Zs N − ΔN
(
ln Zs N − ΔN
) = ln Z (N ) −
s
) para ΔN << N
ln(
= - αΔN, onde α =
(
) = Z (N )
Z (N − 1) = Z (N)
Zs N − ΔN
s
s
, se por aproximação tomarmos ΔN ≈ 1
s
Nós temos desde:
=
E, substuindo:
=
que é a expressão para a distribuição de Fermi-Dirac
Estatística Bose-Einstein
Actividade
Derive a distribuição de partículas num sistema, considernando o caso em que o
número total de partículas N é fixado de ,
= 1,2, mas estes números
devem sempre satisfazer,
Solução
 
zs N
=
= N.
=
Onde
(
)
( )
(
)
( )
Zs N − 1 = Zs N
e
Zs N − 2 = Zs N
=
=
=
Considerando
==
-
Tomando a exprsão:
=1+
=
= - ln
+
+ …=
=
=
que é a expressão para a distribuição Bose-Einstein
Estatística de Maxwell-Boltzmann
Actividade
Com a ajuda da função de partição
distribuição de Maxwell-Boltzmann
calcule a função de
Solução
Assim, a função de partição
Para o número N de moléculas existem, para valores de determinado
maneiras possíveis em que a partícula pode ser posta em um dado estado da
partícula única, de modo que há
partículas no estado 1,
estados na partículo 2, etc.
Em virtude da distinguibilidade de partículas, cada uma dessas modalidades possíveis
corresponde, em seguida, a um estado diferente para o gás todo. Daí a função de partição
pode ser escrita de seguinte modo:
Onde os valores de montante global
= 0,1,2,…para cada r, sujeita à restrição
Fazendo a expansão do polinômio:
=
ln Z Nln
A partir dos valores médios da distribuição da partícula que definimos como
= -
=- N
Que é chamada de distribuição de Maxwell-Boltzmann
Referência: http://jersey.uoregon.edu/vlab/Balloon/
Descrição: Esta experiência é concebida para demonstrar as propriedades da lei
do gás ideal. Além disso, o nosso balão também servirá como uma atmosfera
planetária para a segunda parte da experiência.
Data da Consulta: -Agosto de 2006
Descrição - Este “applet Java” ajuda a entender o efeito da temperatura e do volume do
número de colisões das moléculas do gás com as paredes. No “applet”, você pode alterar a
temperatura e o volume com os cursores do lado esquerdo. Você também pode ajustar o
tempo para que a simulação é executada. O “applet” conta todas as colisões e exibe o
resultado após a execução. Pela variação de temperatura e volume e mantendo controle do
número de colisões, você pode obter uma boa sensação de que será o principal resultado da
teoria cinética.
Referência: video.google.com
Data da Consulta: Novembro 2006
Referência Completa: - Computador, cálculo de diagramas de Fase.. http://video.
google.com/videoplay?docid=1397988176780135580&q=Thermodynamics&hl=en
Justificativa: Modelos termodinâmicos de soluções podem ser utilizados juntamente com
os dados para calcular diagramas de fase. Esses diagramas revelam, para um determinado
conjunto de todos os parâmetros (como temperatura, pressão e campo magnético), as fases
que são termodinamicamente estáveis e em equilíbrio, e respectivas fracções, volume e suas
composições ...
Lista de Relevantes Links Úteis
Título: Aquecimento dos motores
URL : http://en.wikipedia.org/wiki/Heat _engines
-Resumo: - O artigo na Wikipédia apresenta uma visão geral dos motores de calor,
exemplos do quotidiano, exemplos de motores de calor, a eficiência das máquinas térmicas,
etc. Um bom número de links externos também são fornecidos.
Title: Máquinas térmicas e refrigeradores
URL: http://theory.phy.umist.ac.uk/~judith/stat_therm/node15.html
Resumo: Em qualquer motor térmico, o calor é extraído de uma fonte quente (por exemplo,
produtos de combustão em um motor de carro). O motor funciona em seu entorno e calor é
rejeitou a um reservatório frio (como o ar exterior). É um facto experimental que o calor não
pode ser eliminado, no entanto, desejável que seja. Na verdade, na prática em motores,
maior energia extraída da fonte quente do que é desperdiçado é convertido para o trabalho.
Esta página web apresenta uma boa comparação de páginas de web diferentes.
Título: Segunda Lei da Termodinâmica
URL: http://en.wikipedia.org/wiki/Second_law_of_thermodynamics
Title: Segunda Lei da Termodinâmica
URL: http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/thermo/seclaw.html
Resumo: A segunda lei da termodinâmica é um princípio geral que impõe restrições
sobre o sentido da transferência de calor e os ganhos de eficiência possível de motores de
combustão. Ao fazê-lo, ele vai além das limitações impostas pela primeira lei da
termodinâmica. Esta página apresenta uma visualização em termos de analogia cachoeira.
5ª Avaliação Formativa
3ª Avaliação Formativa Opcional
1.
Qual é a probabilidade de jogar três dados para obter o total da pontuação de 6
ou menos?
Solução
Todos os dados têm os números 1, 2, 3, 4, 5, 6. Quando jogando os dados do estado
acessível a soma total de 6 ou menor e será: 1+1+1, 1+1+2, 1+1+3, 1+1+4, 1+2+1,
1+2+2, 1+2+3, 1+3+1,1+3+2 , 1+4+1, 2+1+1, 2+1+2, 2+1+3, 2+2+1, 2+2+2, 2+3+1,
3+1+1, 3+2+1, 3+1+2, 4+1+1
Então o estado da soma é 6 ou menos de 20
O número total de estados acessíveis
= 216
Então, a probabilidade de jogar três dados para obter 6 pontos ou menos é:
P x
2.
Um centavo é lançado 400 vezes. Encontre a probabilidade de obter 215 cabeças.
(Sugestão: use a aproximação de Gauss)
Solução
Um centavo é lançado 400 vezes. Encontre a probabilidade de obter 215 cabeças. Tal
probabilidade é dada pela aproximação gaussiana:
P(n) 
exp[-
]
Onde,
N = 400,
= 25,
100,
,
= 200
Substituindo na equação de Gauss, obtemos:
P (251,400) =
−2
(251,400)
1.3x10
3.PUma
bateria≅de
fem total V está ligado a uma resistência R, como resultado de um
montante de potência P = é dissipada neste resistor. A própria bateria é composta por N
células individuais conectadas em série de modo que V é apenas igual à soma da fem de
todas essas células. A bateria é antiga, no entanto, não é assim que todas as células
constituem uma condição imperfeita. Assim, existe apenas uma probabilidade p de que a
fem de uma célula individual tenha o seu valor normal v; e, a probabilidade 1-p que a fem
de uma célula individual é zero, porque o celular tornou-se internamente curto. As células
individuais são estatisticamente independentes umas dos outros. Nestas condições, calcule
a potência média dissipada no resistor, expressando o resultado em termos de N, v, e P
Solução
O potencial total da ligação é dado por V
E a potência total é dada por P =
Desde a ligação n1 que é o número de células, cada uma tem um valor da fem.
O potencial total é dado por V=n v
O valor médio da potência é dada por:
1
=
Onde, V =
=
=
Utilizando a equação da distribuição binomial podemos resolver
=
e usando da equação 1.38 e a equação 1.39 e rearranjando a solução
[1
+
] e substituindo na equação acima obtemos:
=
=
[1
]
+
4. Considere o problema do passeio aleatório com p = q e
identifique o
deslocamento líquido para a direita. Depois de um total de n passos, calcule os
valores médios de:
,
,
e
Solução
Onde
a) m = n1 − n2
=
Então:
1
−
2
Onde
Σ
=
=p
WN(n1
Σ
Σ
) = Σ
usando a relação
e, usando a distribuição binominal:
=
= p
= pN
, onde p
+ q = 1, então
= Np, do mesmo modo você pode encontrar
Então, a partir da equação acima:
= N(p− q)
= Nq
b)
=
=
+
2
−2
usando a seguinte relação:
 N(N − 1)
=
+
−2
, considerando que p + q = 1, então:
= qN +
N(N - 1) + pN +
N(N - 1 - Np Nq
5. Um gás ideal tem uma temperatura - o calor específico molar independente cv a volume
constante. Seja γ ≡
. Escreva
a relação de seus calores específicos. O gás é
termicamente isolado, e é permitido a expansão quase-estática de um volume inicial V, em
temperatura para um volume final .
a) Use a relação
= constante para encontrar atemperatura final do gás.
b) Use o facto de que a entropia permanece constante no processo para encontrar a
temperatura final
Resposta
Uma vez que
= constante
A partir da equação de estado do gás ideal pV = nRT
Então: p =
, o que equivale à
=
Substituindo na equação acima, obtemos:
,
=
,
=
=
Que equivale à:
b) Considere a entropia como uma função de T,V
S=S(T,V)
dT +
dS 
dV = 0
Se formos avaliar pelo valor de
=
Usando a Segunda Lei da Termodinâmica:
dQ TdS
=
T
=
= CV
No caso do gás monoatômico ideal, a energia interna e capacidade térmica molar
são dadas como sendo:
CV 



Usando uma relação do Maxwell
=
=
a pressão da equação do gás ideal é dada por: p =
, então:
Usando a equação acima:
= -
=Que resulta:
= constante
Que é dado como
=γ−1=
- 1 para o gás ideal.
6. O calor específico molar a volume constante de um gás monoatómico ideal é conhecido
por ser
. Suponha que um mol deste gás é submetido a um processo cíclico quaseestático que aparece como um círculo no diagrama de pressão P versus volume V mostrado
na figura abaixo:
O trabalho realizado em um
cicloUniversidade Virtual Africana 105
123 3
10 cmV
3
Encontre as seguintes quantidades:
a) O trabalho líquido (em joules) realizado pelo gás em um ciclo
b) A diferença de energia interna (em joules) do gás entre a estatado C e o estado
A.
c)
O calor absorvido (em joules) pelo gás em ir de A para C pelo caminho ABC
do ciclo.
Resposta
Δw =
A partir da figura, podemos escrever o valor de v e p
V = (2 + cosθ )
p=
dV = − sinθcm 10 dθ
Δw = −
Δw =
Δw = 314J
sinθ
dθ10
sinθdθ10 J
J
b) A energia interna do gás ideal é dada por:
E = CVT
E = nRT
Para o gás ideal: pV=nRT
Então substituindo na equação acima, teremos:
E = pV
A energia interna do gás ao longo do trajeto de AC será dada por:
Ec − Ea = ( Vc −
Va )
 (2x3 − 2x1)10 J
Ec − Ea = 600J
c) A energia térmica a partir do pontoC para junto do trajecto ABC é dada por:
ΔE = ΔQ + Δw
Calculando para cada valor teremos:
Δw∫pdV
Δw= −
Δw= 100
Δw= (4 + )100J
Δw= 557.08
Ec − Ea = 600J
ΔQ = (Ec − Ea) + Δw
ΔQ = 600J + 557J
ΔQ = 1157J
7. Calcule os valores médios do momento magnético
Resposta
=
=
+
=
=
8. Calcule a energia média da distribuição canónica de energia média
Resposta
O sistema representante no conjunto estatístico esá distribuído por seus acessíveis
estados de acordo com a distribuição canónica
Pr 
A energia média é dada por:


Onde,





a quantidade Z define o montante sobre o estado ou a função de
Onde,
partição



9. Usando a distribuição canónica calcule a dispersão da energia
Resposta
A distribuição canónica implica uma distribuição de sistemas de energias mais possível; a
dispersão da energia resultante também é facilmente calculada:
=
Aqui:
=
-
=
Mas:
=
=
Então:


utilizando o seguinte relação







 


10. A energia interna do gás ideal é dada por E=E(T). Mostre que para o gás ideal a energia
interna não depende do seu volume
Resposta
Seja E=E(T).
Então podemos escrever matematicamente,
dT +
dE =
dV
A partir da peimeira Lei:
TdS dQ dE dW
dS  dE  dV
Usando a equação acima para dE
dS  dE  dV
dT
dS 
 dV]dV
A entropia como uma função de T e V
S=S(T,V)
dT
dS 
dv, comparando a equação:



 com a equação diferencial de segunda ordem








=
Comparando as duas equações:


À direita e à esquerda as equações são iguais quando:
 O que implica que E é independente de V.
Figura : Distribuição de Maxwell-Boltzmann
É possível demonstrar que a divisão que encontramos não é apenas a mais provável, mas,
de longe, o mais provável. Em outras palavras, qualquer desvio perceptível a partir desta
distribuição de velocidades das partículas é extremamente improvável (ver acima:
distribuição multinomial). Isso contribui para a grande importância prática da distribuição
MB: é simplesmente a distribuição de velocidades em um sistema de partículas que
podemos assumir para segurar, negligenciando todas as outras distribuições possíveis, mas
improváveis.
Curso com material applets JAVA
Franz J. Vesely
Grupo de Física Computacional
Instituto de Física Experimental da Universidade de Viena,
Boltzmanngasse 5, A-1090 Viena, Áustria, Europa
Copyright F. Vesely 1996-2005
XI. Lista compilada de todos os conceitos-chave
(Glossário)
Sistema de Partículas
Fonte: http://www.answers.com/topic/coulomb-scattering
Distribuição de Boltzmann
Fonte: http://hep.uchicago.edu/cdf/cdfglossary.html Espalhamento da secção transversal A
área de um círculo de raio b, o parâmetro de impacto.
Espaço de Fase
Fonte: http://en.wikipedia.org/wiki/Cross_section_(physics)
Conjunto
Fonte: http://en.wikipedia.org/wiki/Statistical_ensemble
http://srikant.org/core/node11.html
Irreversibilidade macroscópica de leis microscopicamente reversíveis do movimento
Fonte: http://comp.uark.edu/~jgeabana/mol_dyn/
A Universidade da Pensilvânia olhar físico-químico na distribuição de MaxwellBoltzmann, incluindo applets
Fonte: http://oobleck.chem.upenn.edu/~rappe/MB/MBmain.htm
XII. Lista Compilada de Leituras Obrigatórias
1 Laitura
Referência Completa: Mecânica Estatística
Da Universidade de Cornell
URL : http://pages.physics.cornell.edu/sethna/StatMech
Acessado em 23 de Setembro de 2007
Resumo: Conteúdos: Random Walks e propriedades emergentes, Temperatura e
Equilíbrio; Entropia, Energia Livre e Conjuntos; Mecânica Estatística Quântica,
Estado da Mecânica Computacional: Ising e Markov; Parâmetros de Ordem, Simetria
Quebrada, e Topologia; Derivação de Novas Leis; Correlações, Resposta e Dissipação;
Transições Abruptas de Fase; Transições de Fase Contínua.
Justificativa: Este capítulo cobre a maior parte dos temas das actividades do segundo e
terceiro módulos.
2 Laitura
Referência Completa: Da Mecânica Clássica à Mecânica Estatística dos capítulos
inacabados da Física Térmica e Física Estatística
Resumo: Física Térmica e Estatística: Da Mecânica Clássica à Mecânica Estatística,
Conceitos e Processos Termodinâmicos; Conceitos de Probabilidade, a Metodologia da
Mecânica Estatística, Sistemas Magnéticos; Sistemas de Partículas Não – Integrantes;
Relações e Processos Termodinâmicos; Teorias de Gases e Líquidos; Fenômenos Críticos
e Renormalização de Grupos; Introdução à Teoria de Perturbação de Muitos Corpos...
Justificativa: Este capítulo cobre a maior parte dos temas das actividades do segundo e
terceiro módulos.
3 Laitura
Referência Completa: Notas de Aula em Mecânica Estatística
URL : http://www-f1.ijs.si/~vilfan/SM/
Resumo : Este documento contém elementos sobre a teoria avançada da Mecânica Estatística.
Justificativa Estas Notas de Aulas em Mecânica Estatística foram escritas para os alunos do
Curso de Diploma ICTP da Matéria da Física Condensada no “Abdus Salam ICTP”, em
Trieste, Itália.
As palestras abrangem a MecânicClássica e a Estatística Quântica. No entanto, alguma ênfase
é colocada em sistemas de spin clássico. O autor também fez uma introdução à condensação
de Bose e a superfluidez, mas não discutiu fenômenos específicos de partículas de Fermi,
sendo estes sido cobertos por outros docentes.
XIII.
Lista Compilada
Recursos MultiMédia
(Opcional)
dos
Recurso #1
Título: Proposta do Centro de Massa
URL: http://surendranath.tripod.com/Applets/Dynamics/CM/CMApplet.html
Dscrição: O “Applet” mostra o movimento do centro de massa de uma forma de objecto de
halteres. Os pontos vermelhos e azuis representam duas massas e são conectadas por uma
haste de massa menor. A velocidade de projecção do “dumbbell” pode ser variada, usando
a velocidade de “sliders” e respectivo ângulo. A razão de massa deslizante permite
deslocamento do centro de massa. Aqui m é a massa do objecto azul e m é a massa do
objecto vermelho. As caixas de selecção para o caminho 1 e caminho 2 podem ser usadas
para exibir ou desligar os caminhos das duas massas.
Justificativa: Este “applet” mostra o movimento do centro de massa de duas bolas
(mostrado em vermelho e azul). A velocidade de “applets” e oângulo de projecção podem
ser variados...
Recurso #2
Título: Rotação de Tamborete
URL:-http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/rstoo.html#sm
Referência Completa:- Bons gráficos e animação do “applet” para visualizar a
dependência do momento de inércia na distribuição de matéria em um objecto ..
Justificativa: Reforça o que já foi discutido na Actividade 2
Recurso #3
Título: “Hyper” de Física
URL: http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/vesc.html
Date Consulted:-Abril de 2007
Description:- Este “applet” Java ajuda você a fazer uma série de experimentos virtuais.
Você pode determinar a evacuação e velocidades orbitais variando diferentes parâmetros
do projéctil.
Recurso #1
Título: Mecânica Estatística (Textos Avançados em Física) por Franz
Schwabl (Autor), Brewer WD (Tradutor)
URL: http://www.ebookee.com
Captação de Tela
Descrição: A edição completamente nova e revista do livro clássico sobre Mecânica
Estatística abrange os conceitos básicos de equilíbrio e de não-equilíbrio da Física
Estatística. Além de uma abordagem dedutiva para as estatísticas de equilíbrio e
termodinâmicas baseadas em uma única hipótese - a forma da matriz da densidade
microcanónica - Este livro trata dos elementos mais importantes dos fenómenos de nãoequilíbrio. Cálculos intermédios são apresentados em detalhe completo. Problemas no
final de cada capítulo ajudam os alunos a consolidarem a sua compreensão do material.
Além dos fundamentos, este texto demonstra a amplitude do campo e sua grande
variedade de aplicações. Áreas modernas tais como a teoria de grupo de renormalização,
percolação, equações estocásticas de movimento e suas aplicações à dinâmica crítica,
teoria cinética, bem como aspectos fundamentais da irreversibilidade, são discutidos.
Presume-se que o texto será útil para estudantes avançados da física e outras ciências
naturais, a obterem um conhecimento básico da Mecânica Quântica.
Recurso #2
Título: e TERMODINÂMICA MACROSCÓPICA ESTATÍSTICA
por Cheng-Yi Chen (Universidade Nacional de Taiwan, Taiwan)
URL: http://www.worldscibooks.com
Descrição: Este livro aborda as questões essenciais, tanto da
Termodinâmica Clássica bem como da Termodinâmica Estatística: Por que as
propriedades termodinâmicas de um sistema de nano-empresas são diferentes das de
um sistema macroscópico da mesma substância? Por que e como é definida em
termodinâmica a entropia, e como é calculada a variação de entropia quando está
envolvido o calor de dissipação? O que é um conjunto e por que é que a sua teoria é
tão bem sucedida?
XIV.
Lista Compilada de
Links Úteis
Equação de Transportede Boltzmann
Com a sua “A Teoria Cinética dos Gases de Boltzmann” comprometeu-se a explicar os laços de
diluir gases através da análise dos processos de colisão elementar entre pares de moléculas
Link útil #1
Título: Mecânica Clássica
URL: http://farside.ph.utexas.edu/teaching/301/lectures/
Descrição: Descrição avancada dos temas discutidos em Mecânica I e II do módulo de Física da
AVU.
Justificativa: Este site tem uma cobertura completa de física, nos cursos de Mecânica. O aluno pode
consultar os capítulos 7, 8 e 9 do livro. A versão em PDF também está disponível.
Física Estatística e Térmica e seus “sites”
http://oobleck.chem.upenn.edu/~rappe/MB/MBmain.html - A Universidade da Pensilvânia
A distribuição de Maxwell-Boltzmann, incluindo os seus “applets”
http://csep10.phys.utk.edu/guidry/java/wien/wien.html
Alguns “applets” relacionados com a radiação de corpo negro
http://history.hyperjeff.net/statmech.html
Uma linha do tempo da física estatística, para os fãs da história
http://www.cstl.nist.gov/div836/836.05/thermometry/home.htm
O grupo de pesquisa em termometria NIST, tentando activamente para melhorar nossa
compreensão e padrões de temperatura, especialmente abaixo de 1K
http://comp.uark.edu/~jgeabana/mol_dyn/
Podemos entender essa receita como a regra de um jogo de fortuna, e com o auxílio de um
computador que pode realmente jogar esse jogo: irreversibilidade macroscópica de leis
microscopicamente reversíveis do movimento na presença de perturbação infinitesimal
http://www.physics.buffalo.edu/gonsalves/Java/Percolation.html
Um “applet” que mostra a transição de fase de percolação
http://webphysics.davidson.edu/Applets/ising/intro.html
Outro “applet”, mostra uma abordagem numérica para uso do 2º modelo
“Websites” da Estatística
http://www.ruf.rice.edu/~lane/rvls.html
As estatísticas da Universidade Rice laboratório virtual
http://www.stat.sc.edu/~west/javahtml/LetsMakeaDeal.html
Um “applet” para demonstrar o problema da “Monty Hall”
http://www.stat.sc.edu/~west/javahtml/CLT.html
Um “applet” do mesmo autor para demonstrar o Teorema do Limite Central
http://www.math.uah.edu/stat/index.xhtml
Um “applets” para um grande número de estatísticas demo
XV. Síntese do Módulo
Física Estatística
Neste módulo, você aprendeu um importante ramo da física nomeadamente a Física
Estatística, ou seja, este módulo oferece uma introdução à Probabilidade, Mecânica
Estatística e Termodinâmica. Temas específicos incluem a probabilidade de variáveis
aleatórias, as densidades de probabilidade conjuntas e condicionais, e funções de uma
variável aleatória. Tópicos em Mecânica Estatística incluindo variáveis macroscópicas,
equilíbrio termodinâmico, os pressupostos fundamentais da Mecânica Estatística, e
Microcanônico e Ensembles Canónicos. Tópicos em Termodinâmica que incluem a
Primeira, Segunda e Terceira leis da Termodinâmica.
Pré-requisitos
Física III: Vibrações e Ondas (8,03), Equações Diferenciais (18.03) e concomitante, é
recomendadoa inscrição em Física Quântica I (8,04). Da actividade de aprendizagem 2
deste módulo, você tem sido guiado através da actividade de aprendizagem 3, você tem
sido guiado pela evolução da actividade de aprendizagem de quatro, você tem sido guiado
através da aplicação de…
XVI.
A Avaliação Sumativa
Respostas e Perguntas Curtas
1.
O calor absorvido por um mol de gás ideal em um processo quase-estático, em
que a temperatura T muda de dT e seu volume V, muda de dVé dado por: dQ cdT
 dV onde c é a constante calor molar específica em um volume constante e é sua
pressão média expressa por: =
. Encontre a expressão para a variação da entropia do
gás no processo quasi-estático, que o leva a partir do volume inicial de temperatura e
os valores finais e .
volume
2.
0,5 kg de água é aquecido de
c a 8 c, primeiro trazê-lo em contacto com um
reservatório 34 c e, em seguida, com um reservatório de 8 , altura em que a água atingirá
os 8 c.
i)
Qual tem sido a variação da entropia da água?
ii)
Qual tem sido a variação de entropia do reservatório de calor?
iii)
Qual tem sido a mudança da entropia do sistema como um todo constituído por
água e reservatório de calor?
3. A partir da equação fundamental da termodinâmica, derive a relação geral que representa
uma conexão necessária entre os parâmetros T, S, P, V,
=
4. O calor específico molar a volume constante de um gás monoatômico ideal é conhecido
como sendo R. Suponha que um mol deste gás é levado quas-estáticamente do estado A
para o estado B ao longo da linha recta no diagrama de pressão P versus volume V
mostrado na figura. Encontre as seguintes quantidades:
i)
A diferença de energia interna (em joule) do gás entre o estado A e o estado B?
ii) O trabalho líquido realizado pelo gás em (joule) entre o estado A e o estado B?
iii) O calor absorvido pelo gás em (joule) entre o estado A e o estado B?
5. O gás ideal é termicamente isolado, e é permitido a expansão quase-estática de um
volume inicial a temperatura
. Usando a relação
= const.
Encontre a temperatura final
do gás?
6. Derive a equação da energia média usando a distribuição canónica?
o trabalho dW são expressos em termos de lnZ.
7.
A energia média
Considerando Z = Z(β,x) e usando o programa de distribuição canónica mostre que a
equação de energia livre de Helmholtz dada por:
F≡
− TS = −kT ln Z
8.
Considere um gás ideal de N moléculas que está em equilíbrio dentro de um
recipiente de volume V .
0
Denote por n o número de moléculas localizadas no interior de qualquer volume V deste
recipiente.
a)
Qual é o número médio
e V?
termos de N,
b)
de moléculas situadas no V? Expresse sua resposta em
i) Encontre o desvio padrão
no número de moléculas localizadas dentro
do volume V?
ii) Calcule
expressando sua resposta em termos de N,
e V?
9.
Considere um sistema A composto de 2 spins ½ tendo cada um o momento
magnético, 2μ0 e outro sistema A’ que consiste em 4 spins ½ cada com momento magnético
μ0. Ambos sistemas estão localizados no mesmo campo magnético B. Os sistemas estão
localizados em contacto uns com os outros para que eles estejam livres para entrar em
contato uns com os outros para que eles sejam livres de troca de energia. Suponha que o
momento magnético total para o sistema combinado seja dado por: M + M’= 4μ0
a) Calcule o número total de estados acessíveis ao sistema combinado A + A’?
b) Calcule a proporção de
c) Calcule o valor médio i)
ii)
=
10. Um simples um oscilador harmônico tridimensional tem nível de energia dada por
(n +
onde é a frequência (angular) característica do oscilador e, quando o número
quântico n pode assumir na integra os valores possíveis n = 0,1,2, ... Suponha-se que tal um
oscilador está em contacto térmico com um reservatório térmico a temperatura T
suficientemente baixa para que
1
a) Encontre a relação entre a probabilidade do oscilador estar no 3º estado excitado
para a probabilidade de estar no 2º estado excitado.
b) Partindo do princípio que somente o estado fundamental e o primeiro estado
excitado são sensivelmente ocupados, encontre a energia média do oscilador em
função da temperatura T.
11. O calor absorvido em um processo infinitesimal é dado pela primeira lei da
probabilidade cumulativa dQ dE pdV
Considerando a equação do gás ideal a pressão constante. Mostre que:
γ = 1+
, onde γ =
−21
12. Dois estados com diferença de energia 4.83 × 10 Joule ocorrem com relativa
2
−23
Probabilidade e . Calcule a Temperatura. Considere k = 1.38 × 10
13. Um sistema pode ter apenas três estados diferentes de energia ε = 0, ε = 1.38 × 10
1
−21
−21
2
Joules, ε = 2.76 × 10 Joules. Estes três estados podem ocorrer em 2, 5 e 4 maneiras
3
diferentes, respectivamente. Encontre a probabilidade para que o sistema possa estar a
temperatura de 100K:
i) Em um dos microestados de energia ε3
ii) No estado fundamental ε
1
,
, parâmetros que epresentam os três componentes cartesianos da
14. Seja
velocidade de uma molécula em um gás. Usando em consideração a simetria e teorema
deduzido, expresse os seguintes valores médios em termos de k, T e m?
i)
ii)
iii)
iv)
Chave de Respostas
1. ΔS = Cln
2.
i) 528
+ R ln
ii) -184
iii) 344
3.
4. i) 900J ii) 300J iii) 1200J
5.
=
6.
=−
7. Considere
(
S ≡ k ln Z +β
Z=Z ( β , x)
)
TS ≡ kT lnZ +
A patir da energia livre de Helmholtz: F=
− TS
Assim lnZ é muito fácil relacioná-lo com a energia livre de Helmholtz F:
F=
− TS =-kT ln Z
N( ), b)
8. a)
9. a) 8
b)
10. a)
=
, c)
c) i) 3μ0
,
ii) 1
b)
11. Use PV = RT a pressão constante PdV = RdT, dE =
Daqui, dQ = dE + PdV. Substituindo a equação acima, podemos escrever:
= Cv R Cp
12.
=
2 
13.
= C
=
Comparando as duas equações:

T=175
=C
= C
= C
=C
=C
= C
e, tendo em mente que, os
microestados 2,5,4 podem ocorrer no estado de energia três, as probabilidades são
Σ p=1
= C
=C
então:
= 1 2C + 5C
C =
+ 4C
= 1
= 0.23
i) A probabilidade de o sistema estar em um dos microestados de energia
=
ii) A probabilidade
14. i) 0 ii) 0 iii)
=
= 0.12
= 2C 0.45
iV)
é:
XVII.
Referências
Reif, F. Fundamentos de Física Estatística e Térmica. New York, NY: McGraw-Hill, June 1, 1965. ISBN: 0070518009.
Resumo: Este livro é excelente no tratamento da Física Estatística. Os exercícios do
capítulo final e o resumo correlacionam-se muito bem com o conteúdo do módulo.
Justificativa: Esta referência sobre Fundamentos da Física Estatística e Térmica é
recomendado para o nível de graduação. Os conteúdos foram tratados em detalhe, com o
apoio dum aparelho matemático adequado.
Gupta e Kumar Mecânica Estatística Elementar 21ª edição 2006. ISBN 817556-988Justificativa: Esta leitura fornece métodos do conceito básico da lei de distribuição de um
comjunto
Zemansky, M., and R. Dittman. Calor e Termodinâmica: um livro intermediário. 7ª
Edição, New York, NY: McGraw-Hill Companies, 1997. ISBN: 0070170592
Justificativa: Essa referência pode servir como uma leitura opcional para este módulo.
Keizer Joel “Termodinâmica Estatística de Processos de Não – Equilíbrio”.
(Springer-Verlag) 1987.
Frank E. Beichelt, L. Paul Fatti “Processos Estocásticos e suas Aplicações”.
(Taylor & Francis) 1997.
Morozov VG, “N formalismo de Langevin para Flutuações Hidrodinâmicas não-linear e
de não-equilíbrio” Física 126A (1984) 443-460
Ming Wang Chen, GE Uhlenbeck, “Sobre a Teoria do Movimento Browniano II”
Resenhas de Física Moderna, Volume 17, 1945.
Resumo:
Walter Greiner, Neise e Horst Ludwig St ocker, Termodinâmica e Mecânica Estatística,
Edição Inglesa, traduzido do alemão por Dirk Rischke (Springer, New York, 2000) ISBN
0 387 94299 8
LD Landau e Lifshitz EM, Física Estatística, 3ª Edição, Parte I (Landau e Lifshitz Curso
de Física Teórica, Volume 5) (Butterworth-Heinemann, Oxford, 1980)
ISBN 0 7506 3372 7
Chandler, D. 1987 Introdução à Mecânica Estatística Moderna Oxford: Oxford
University Press.
XVIII.
Autor Principal do Módulo
Sobre o autor deste módulo:
Sisay Shewamare
Título: Professor de Física
Universidade de Jimma
P.O.Box 378
Jimma Ethiopia.,
E-mail: [email protected]
Breve Biografia
Eu sou um graduado da Universidade de Adis Abeba, Etiópia, onde eu fiz M. Sc em
Física na área de Física Estatística.
Actualmente, sou professor de Física na Universidade Jimma Etiópia.
São sempre bem-vindos para se comunicarem com o autor em relação a qualquer
pergunta, opinião, sugestões, em relação à este módulo, etc.
IXX.
Estrutura de Arquivos
Nome do módulo (WORD) FILE:
• Statistical Physics.doc
Nome de todos os outros arquivos (Word, PDF, PPT, etc) para o módulo:
• Compulsory readings Statistical Physics.pdf

Física Estatística - OER@AVU

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