EXERCíCIOS 13.2
Transcrição
EXERCíCIOS 13.2
444 Capítulo 13: Integração para CamposVetoriais EXERCíCIOS 13.2 CamposVetoriais e Campo Gradiente Encontre o campo gradiente de cada uma das funções nos exercícios 1-4. 15. F = zi + xj + yk r(t) = (sen t)i + (cos t)j + tk, 1. f(x, y, z) = (X2+ y2 + Z2)-1I2 r(t) = (sen t)i + (cos t)j + (t/6)k, 2. f(x, y, z) = ln V X2 + Y2 + z 2 3. g(x, y, z) = eZ-ln(x2 0:5 t::; 27T 16. F = 6zi + lj + 12xk 0:5 t:5 27T Integrais de Linha e Campos Vetoriais no Plano + l) 17. Calcule f c xy dx + (x + y) dy ao longo da curva y (-1, 1) até (2, 4). 4. g(x, y, z) = xy + yz + xz 5. Dê uma fórmula F = M(x, y)i + N(x, y)j para o campo vetorial no plano que tem a propriedade de que F aponta no sentido da origem com magnitude inversamente proporcional ao quadrado da distância de (x, y) à origem. (O campo não é definido em (O,O).) 18. Calcule f c (x 6. Dê uma fórmula F = M(x, y)i + N(x, y)j para o campo vetorial no plano que tem as propriedades de que F = Oem (O,O)e de que, em qualquer outro ponto (a; b), F é tangente à circunferência ~ + l = a2 + b2 e aponta no sentido horário com magnitude [F 1= Va2 + b2. 20. Calculef c F . dr para o campovetorialF =~ de y) dx + (x + y) dy no sentido anti-horário ao - redor do triângulo com vértices (O, O), (1, O) e (O, 1). 19. Calcule f c F . T ds para o campo vetorial F = ri longo da curva x = l de (4, 2) até (1, -1). = yi - anti-horário ao longo da circunferência unitária - yj ao xj no sentido r +l = 1 de (1, O) a (O, 1). 21. TrabalhoEncontre o trabalho realizado pela força F (y - x)j sobre o segmento de reta de (1, 1) até (2, 3). = xyi + 22. Trabalho Encontre o trabalho realizado pelo gradiente de f(x, y) = (x + y)2 no sentido anti-horário ao redor da circunfe- Trabalho Nos exercícios 7-12, encontre o trabalho realizado pela força F de (O,O,O) a (1, 1, 1) sobre cada um dos seguintes caminhos (Figura 13.21): (a) O segmento de reta CI: r(t) = ti + rência ~ +l = 4 de (2, O) a ele mesmo. 23. Orculaçãoe fluxo Encontre a circulação e o fluxo dos campos e FI = xi +yj tj + tk, O'::; t ::; 1; F2 = -yi + xj (b) O caminho curvo C2:r(t) = ti + t2j + t4k, O :5 t:5 1; ao redor e através das curvas a seguir. (c) O caminho C3 U C4 que consiste no segmento de reta de (O,O, O) a (1, 1, O) seguido pelo segmento de (1, 1, O) a (1, 1, 1) (a) A circunferência r{t) = (cos t)i + (sen t)j, 24. O::; t::; 27T (b) A elipse r(t) = (cos t)i + (4 sen t)j, O :::;t :5 27T Fluxo através de uma circunferência Encontre o fluxo dos campos z FI = 2xi - e 3yj F2 = 2xi + (x - y)j através da circunferência (1,1,1) \ I4 "-- // \J///// (1, 1,O) FIGURA13.21 Os caminhos de (O, O, O) a (1, 1, 1). 7. F = 3yi + 2xj + 4zk 9. F = ~i 8. F = [l/(X2 + l)]j - 2xj + VYk 10. F = xyi + yzj + xzk Nos exercícios 13-16, encontre b trabàlho realizado por F sobre a curva no sentido de t crescente. r(t) = ti - 0:5 t :5 1 14. F = 2yi + 3xj + (x + y)k r(t) = (cos t)i + (sen t)j + (t/6)k, arco semicircular rI(t) = (a cos t)i + (a sen t)j, O :::; t:::; 7T,seguido pelo segmento de reta r2(t) = ti, -a::; t :$ a. 25. F = xi + yj 27. F = - 26. F = x2j + y2j yi + xj 28. F = - y2j + x2j 29. Integraisde escoamento Encontre o escoamento do campo de = (x + y)i - (r + l)j ao longo de cada um dos (a) A metade superior da circunferência X2 + y2 =1 (b) O segmento de retl de (1, O)a (-1, O). (c) O segmento de reta de (1, O)a (O, -1) seguido pelo segmento de reta de (O,-1) a (-1, O). yzk + t2j + tk, t:::; 27T. caminhos a seguir de (1, O)a (-1, O)no plano xy. 12. F = (y + z)i + (z + x)j + (x + y)k = xyi + yj 0:5 (a sen t)j, Nos exercícios 25-28, encontre a circulação e o fluxo do campo F ao redor e através do caminho semicircular fechado que consiste.!l° velocidade F 11. F = (3X2- 3x)i + 3zj + k 13. F = (a cos t)i + Circulação e Fluxo -'~y x r(t) O ::; t :::; 27T 30. Fluxo através de um triângulo Encontre o fluxo exterior do campo F do exercício 29 através do triângulo de vértices (1, O), (O, 1), (-1, O). 445 13.2 CamposVetoriais,Trabalho,Circulaçãoe Fluxo Esboçando e Encontrando Campos-no Plano C1: r(t) = (cos t)i + (sen t)j + tk, 0:5 t ~ 7T'/2 C2: r(t) = j + (7T'/2)0 - t)k, 0:5 t:5 1 C3: r(t) = ti + O - t)j, O~ t:5 1 31. Campode rotação Desenhe o campo de rotação F =- Y ' y'XZ + y2 I . x + "XZ + yZ J z (°,1, ~) (ver Figura 13.14) junto com suas componentes verticais e horizontais em um conjunto representativo de pontos da circunferência + l = 4. r Cz 32. Camporadial Desenhe o campo radial F = xi (O,1, O) (1, O,O), C3 + yj y x (ver Figura 13.13) junto com suas componentes verticais e horizontais em um conjunto representativo de pontos da circunferênciar + l = 1. 42. 33. (a) UmcampodevetarestangentesEncontreum campode veto- r + l = aZ + bZ r ção do campo F res G = P(x, y)i + Q(x, y)j no plano xy com a propriedade de que, em qualquer ponto (a, b) * (O,O),G é um vetor de magnitude y' a Z + b Z tangente à circunferência Circulação nula Seja C a elipse na qual há intersecção do plano 2x + 3y - z = O com o cilindro + l = 12. Mostre, sem calcular nenhuma integral de linha diretamente, que a circula- sentido é nula. = xi + yj + zk ao redor de C em qualquer 43. Escoamento ao longo de uma curva O campo F = xyi + yj - yzk é o campo de velocidades de um escoamento no espaço. Encontre o escoamento de (O, O, O)a O, 1, 1) ao longo da curva de intersecção do cilindro y = e do plano z = x. (Dica: Use t = x como parâmetro.) e aponta no sentido anti-horário. (O campo é indefinido em (O,O).) r (b) Escrevendopara aprender Como G está relacionado ao campo de rotação F na Figura 13.14? z 34. Umcampodevetarestangentes (a) Encontre um campo G = P(x, y)i + Q(x, y)j no plano xy com a propriedade de que, em qualquer ponto (a, b) * (O,O), G é um versar tangente à circunferência + yZ = aZ + bZe aponta no sentido horário. r (b) Escrevendo para aprenderComo G está relacionado ao campo de rotação F na Figura 13.147 35. Versares apontandoparaa origemEncontreum campoF = M(x, y)i + N(x, y)j no plano xy com a propriedade de que, em cada ponto (x, y) * (O,O),F é um versor que aponta para a origem. (O campo é indefinido em (O,O).) s:y 44. Escoamentode um campogradiente Encontre o escoamento do campo F = V(xyZZ3): 36. Doiscampos'centrais'Encontreum campoF = M(x, y)i + N(x, (a) Uma vez ao redor da curva C do ExerCÍcio 42, no sentido horário visto de cima. y)j no plano xy com a propriedade de que, em cada ponto (x, y) =1=(O, O), F aponta para a origem e IF I é (a) y =x2 x a distância de (x, (b) Ao longo do segmento de reta de (1, 1, 1) a (2, 1, -1). y) à origem, (b) inversamente proporcional à distância de (x, y) à origem. (O campo é indefinido em (O,O).) Teoria e Exemplos Integrais de Escoamento no Espaço Nos exerCÍcios 37-40, F é o campo de velocidades de um fluido que escoa por uma região no espaço. Encontre o escoamento ao longo da curva dada no sentindo de t crescente. 45. Escrevendo paraaprender:trabalhoeárea Suponhaquef(t) seja derivável e positiva para a ~ t :5 b. Seja C o caminho r(t) = ti + f{t)j, a ~ t :5 b, e F = yi. Existe alguma relação entre o valor da integral do trabalho 37. F = -4xyi + 8yj + 2k r(t) = ti + tZj + k, O~ t :5 2 fcF 'dr e a área da região limitada pelo eixo t, pelo gráfico def e pelas retas t = a e t = b? Justifique sua resposta. 38. F = x2j + yzj + lk r(t) = 3tj + 4tk, 0:5 t:5 1 39. F = (x r(t) - 46. z)i + xk = (cos t)i + (sen t)k, 0:5 t ~ 7T' 40. F = -yi + xj + 2k r(t) = (-2 cos t)i + (2 sen t)j + 2tk, - O~ t ~ 27T' Trabalho realizado por uma força radial dE! magnitude constante Uma partícula se move ao longo da curva lisa y = f(x) de (a, f(a» a (b,f(b». A força que move a partícula tem magnitude constante k e sempre aponta no sentido contrário ao da origem. Mostre que o trabalho realizado pela força é 41. Circulação Encontrea circulaçãode F = 2xi + 2z.j+ 2yk ao redor do caminho fechado que-consiste nas três curvas a seguir, percorridas no sentido de t crescente: fc F ' T ds = k[(b2 + (f(b»z)lIz - (az + (f(a»2)lIZ).