Cap.12: Rotação de um Corpo Rígido 12.8 Equilíbrio

Cap.12: Rotação de um Corpo Rígido
Do professor para o aluno ajudando na avaliação de compreensão do capítulo.
Fundamental que o aluno tenha lido o capítulo.
12.8 Equilíbrio Estático
► Estudamos que uma partícula está em equilíbrio quando ela se move com velocidade
constante porque a força resultante que age sobre ela é zero.
► No caso de corpos reais (alongados) é mais complexo porque não podem ser considerados
como partículas. Num corpo alongado, uma segunda condição deve ser considerada, pois ao
aplicar uma força, o corpo pode girar.
Foto: Ponte Rio-Niterói – Estruturas
estáticas: infinitas possibilidades (foto: H.
Foto: Atleta brasileiro Zanetti, ouro em
Olimpíadas de 2012.
Shigueoka)
► Duas condições necessárias para o equilíbrio de um corpo rígido:
1.
A força externa resultante sobre o corpo deve ser nula:
r
SFext = 0
2.
O torque externo resultante sobre o corpo em torno de qualquer eixo deve ser igual a zero:
r
St ext = 0 .
► No caso especial de equilíbrio estático, o corpo em equilíbrio está em repouso em relação ao
observador e não tem velocidade translacional nem angular, ou seja, vcm = 0 e  = 0.
► Teste 01. Considere um corpo sujeito a duas forças de módulos
iguais, Escolha a afirmação correta com relação a esta situação. (a) O
corpo está em equilíbrio de força, mas não em equilíbrio de torque.
(b) O corpo está em equilíbrio de torque, mas não em equilíbrio de
força. (c) O corpo está em equilíbrio de força e em equilíbrio de
torque. (d) O corpo não está em equilíbrio de força, nem em
equilíbrio de torque. Resp. (a)
► Teste 02: Considere o corpo sujeito a três forças . Escolha a
firmação correta com relação a esta situação. (a) O corpo está
em equilíbrio de força, mas não em equilíbrio de torque. (b) O
corpo está em equilíbrio de torque, mas não em equilíbrio de
força. (c) O corpo está em equilíbrio de força e em equilíbrio de
torque. (d) O corpo não está em equilíbrio de força, nem em
equilíbrio de torque. Resp. (b)
► Estudar os Exemplos: 12.15 a 12.17.
Obs. No Exemplo 12.16, procure saber por que o rapaz Bo não pode caminhar até a
extremidade direita da tábua rígida. O que significa n1 = 0? Calcule o valor de n2 na condição n1
r
= 0. Depois de calcular a distância dB, obtenha o valor de n2, agora, utilizando St ext = 0 .
► Equilíbrio e estabilidade
► No problema de equilíbrio, uma das forças que age sobre o corpo é a força gravitacional da
Terra sobre o corpo ( ou força peso). Esta força age em todo o corpo, no entanto, pode-se calcular
o torque devido a esta força sobre o corpo considerando que toda a força peso esteja atuando sobre
o corpo em um ponto conhecido como centro de gravidade. Num corpo de pequena dimensão, a
força gravitacional é a mesma em toda a extensão do corpo, então o centro de gravidade coincide
com o centro de massa do corpo, CM.
► Quando o corpo extenso possui um ponto de apoio, o problema de equilíbrio estático se torna
um problema de estabilidade deste equilíbrio.
► A figura abaixo apresenta um carro em movimento apoiado somente sobre as rodas de
mesmo lado. Dependendo do ângulo  de inclinação do carro, medido da posição de CM do carro
ao ponto de apoio, torque gravitacional trará de volta sem tombar,  e altura h1 do CM ao
solo; se , o CM está acima do ponto de apoio, altura h2, portanto o torque produzido pela
força gravitacional é nulo e se o CM está em altura h3, e o torque produzido pela força
gravitacional fará o carro tombar para o outro lado.
► A energia potencial gravitacional de um corpo extenso está relacionado com a posição do seu
CM: U = mgh.
► No gráfico abaixo é apresentado o comportamento da energia potencial gravitacional do carro,
ilustrado noutra figura em função do ângulo  de inclinação do carro. Em , a energia
potencial gravitacional é U2 e é o valor máximo da curva de U e a força é nula, pois sabe-se que
F = - dU( )/d . Esta força é a projeção da força gravitacional na direção perpendicular à linha
que une o ponto apoio ao CM.
► A altura em que se encontra o CM do carro “acrobata” é h = dcm sen  onde dcm é a distância
do CM do carro ao eixo, dessa forma a energia potencial gravitacional do carro “acrobata” é U =
m g dcm sen O comportamento da
energia potencial gravitacional segue ao
da função seno e está representado na
figura ao lado.
► Diz-se que, na posição , o
corpo (carro) está em equilíbrio instável,
pois F = - dU/d =0. Qualquer
perturbação no carro pode girá-lo no
sentido horário ou anti-horário.
► Estudar o Exemplo: 12.18.
► Responda a questão Pare E Pense 12.5
► Problema 01: (A) Encontre o módulo da força F, em expressão literal, que um cadeirante
deve aplicar à roda principal de uma cadeira de rodas para subir no meio-fio, figura (b). Essa roda
que entra em contato com o meio-fio tem raio r, e a altura do meio-fio é h.
(B) Considere o raio de roda r = 30 cm, a altura de meio-fio h = 30 cm, o peso do conjunto
(cadeira mais a pessoa) mg = 1,4x 103 N e, ainda, supor que a cadeira de rodas e a pessoa são
simétricos e que cada roda suporta um peso de 700 N. Obtenha o valor de força F, item (A),
aplicada pelo cadeirante sobre uma roda.
(C) Determine o módulo e direção de R, fig (c), força de reação do meio-fio em A sobre a roda.
(D) Uma nova força FD é aplicada no ponto D na roda, fig. (c) e a sua direção é tangente à
roda. Calcule a relação desta força pela anterior: FD/F.
Sugestões e Respostas:
(A) Consulte a fig. (b) e expresse o torque resultante em relação a um eixo que passa por A,
åt
A
= 0 . A força normal exercida pelo chão sobre a roda no ponto B é nula. Por quê? Resulta
em
F=
mg 2rh - h 2
2r - h
(B) O valor é F = 3 x 10 2 N.
(C) Aplicar a primeira condição de equilíbrio à roda:
r
F
å =0.
Obtém - se a direção q = 700 e a reação R = 8 ´ 10 2 N .
(D) Proceder como no item (A), ou seja , aplicar o torque das forças em relação ao eixo que passa
por A. A força FD está aplicada na roda tal que o torque em relação ao ponto A está orientado no
sentido horário. O braço de seu momento em torno de um eixo que passa por A é d + r, Resulta
em
FD =
mg 2rh - h 2
2rh - h 2 + r
E o valor numérico da relação obtida é
FD
= 0, 96
F
12.9 Movimento de rolamento
► A figura ilustra três movimentos possíveis quando uma força é aplicada ao sistema de duas
partículas de massas diferentes conectadas por uma haste rígida. Na figura (a) é representada o
movimento de
translação e rotação
do sistema no sentido
horário e na figura (b),
no sentido anti-horário
quando a força não é
aplicada no CM do
sistema. Ao aplicar a
força no CM, figura (c),
o sistema não gira e se
move transladando no
sentido de aplicação da
força.
► O movimento de um ponto da periferia de um
cilindro rolando é mostrado na figura abaixo. O
conjunto de figuras é uma simulação de
movimento, em intervalo de tempo constante, da
distância percorrida pelo centro do disco e a
trajetória do ponto no disco (linha tracejada)
conhecida como cicloide.
► Dedução da equação de cicloide. O centro do
cilindro se move a velocidade vcm e gira no sentido
horário, figura ao lado. As posições X e Y de um
ponto da periferia do cilindro no instante t são
x(t ) = vcm t - rsenq
y (t ) = r - r cos q
Uma vez que o cilindro não escorrega, vale a relação
entre as velocidades angular e linear: vcm = rw . A abertura
angular  é igual a t. A equação resultante descreve uma
curva conhecida como cicloide:
x(t ) = r (q - senq )
y (t ) = r (1 - cos q )
► A expressão
vcm = rw
determina o vínculo de rolamento, a ligação entre os movimentos de translação e rotação para
corpos rígidos que rolam sem se derrapar.
► O módulo da aceleração linear do CM para o movimento de rolagem puro é
acm =
dvcm
dw
=r
= ra
dt
dt
onde a é a aceleração angular do corpo.
► O ponto mais baixo de um corpo que rola se encontra instantaneamente em repouso.
Significa que o corpo rola sem deslizar. Fisicamente se diz que existe força de atrito estático
agindo neste ponto mais baixo do corpo.
► Neste caso a energia mecânica se conserva.
► Se o atrito for cinético, o corpo rola e desliza e a energia mecânica não se conserva.
►Problema 02: Uma lata de refrigerante, empurrado por uma régua desde a posição inicial
mostrada na figura, rola para frente sobre a mesa a distância L/2, igual à metade do comprimento
da régua. Não ocorre
escorregamento em nenhum
dos contatos. Onde estará a
régua então? Que distância
foi percorrida pela mão?
Energia cinética de um objeto em rolamento
► Dedução da energia cinética de um corpo em movimento combinado de rotação e tranaslação:
movimento de translação do CM e uma rotação em torno de
um eixo passando pelo CM.
► Na figura ao lado:
mi  massa da i-ésima partícula do corpo rígido;
ri  vetor posição da i-ésima partícula em relação ao sistema de referência inercial;
ri,rel  vetor posição da i-ésima partícula relativa ao CM ;
rcm  vetor posição do CM
Escrevemos o vetor posição da partícula i:
r r
r
ri = rcm + ri ,rel
Derivando em relação ao tempo, obtemos a velocidade da partícula i:
r r
r
vi = vcm + vi ,rel
► Energia cinética da partícula i:
r r
mi vi2 mi vi × vi mi r
r
r
r
Ki =
=
= (vcm + vi ,rel ) × (vcm + vi ,rel )
2
2
2
Ki =
mi 2
r r
(vcm + 2vcm × vi ,rel + vi2,rel )
2
¥
► Energia cinética do corpo rígido em rolamento: K = å K i
i =1
¥
K = å(
i =1
¥
¥
mi 2
m
r r
vcm ) + å (mi vcm × vi ,rel ) + å ( i vi2,rel )
2
2
i =1
i =1
Como a velocidade do centro de massa independe do elemento de massa do corpo rígido, então
pode-se colocar fora do somatório:
¥
¥
mi
m
r
r
K = v å ( ) + vcm × å (mi vi ,rel ) + å ( i vi2,rel )
2
2
i =1
i =1
i =1
2
cm
¥
¥
No primeiro termo, temos
åm
i =1
¥
r
å (m v
i =1
i i , rel
i
= M ; massa do corpo rígido; no segundo termo,
r
r
) = Mvcm ,rel , onde vcm,rel é a velocidade do centro de massa e é nula, pois, é medida em
relação ao centro de massa; no terceiro termo é a soma de todos os elementos de massa do corpo
rígido, determinado pelo cálculo de suas velocidades em relação ao centro de massa. Este último
termo, apresentado anteriormente, é
► Finalmente, obtemos
1
I cmw 2 .
2
2
Mvcm
I cmw 2
K=
+
2
2
a energia cinético de um corpo rígido em rolamento. O primeiro termo representa a energia
cinética que o corpo teria se estivesse apenas em translação sem girar, o segundo termo representa
a energia cinética rotacional do corpo em relação ao seu CM.
► A energia potencial gravitacional de um corpo rígido é
U = mghcm
onde hcm á posição vertical do CM do corpo em relação à superfície, nível no qual U =0.
► Outro modelo sobre rolamento
► Num rolamento puro, as velocidades do centro de massa e de
vários pontos na superfície e no interior do cilindro estão
apresentadas na figura. Nota-se que a velocidade linear de qualquer
ponto está numa direção perpendicular à linha que une este ponto ao
ponto de contato P com a superfície horizontal. Em qualquer
instante, o ponto de contato, P, está em repouso relativo à superfície
horizontal por que não ocorre escorregamento.
►Todos os pontos têm a mesma velocidade angular . No entanto, como a distância de P´ a P é
duas vezes a distância de P ao centro de massa, a velocidade em P´ é v´ = 2 vcm = 2R. Explicase isto por que o modelo de rolamento do cilindro consiste numa combinação de movimentos de
rotação e translação, Figs. (A) – (C) abaixo. No movimento de rotação pura, Fig.(A), imagina-se
que o eixo de rotação que passa pelo centro de massa é estacionário, tal que cada ponto do
cilindro tem a mesma velocidade angular . No movimento de translação, Fig(B), o cilindro não
gira, tal que cada ponto do cilindro se move para a direita com a velocidade vcm.
►A combinação destes dois movimentos representa o movimento de rolamento como mostrado
na Fig.(C).
► A energia cinética do cilindro rolando pode ser expressa como
I Pw 2
K=
2
onde IP é a inércia rotacional do corpo rígido em relação ao eixo de rotação que passa pelo ponto
P. Aplicando o teorema de eixos paralelos, I P = I cm + MR 2 , e vcm = Rw , obtemos
2
I cmw 2 Mvcm
K=
+
2
2
É a energia cinética de um corpo rígido em movimento de rotação sem escorregar, como
apresentado anteriormente.
► Problema 03: Um carretel é formado de dois discos de raio R colados simetricamente nas
extremidades de um cilindro maciço de raio r (r<R). O conjunto possui massa m e está em
repouso em uma mesa horizontal áspera. Um fio sem massa é enrolado ao redor do cilindro maciço
e , na extremidade livre, uma força F horizontal constante é aplicada para a direita. Ver a figura.
Como resultado, o carretel rola sem escorregar por uma distância L ao longo da mesa sem atrito
de rolamento. (A) Encontrar a velocidade do CM do carretel em função dos parâmetros
apresentados. (B) Encontrar a força de atrito f entre as duas superfícies em contato. (C) Explicar
o comportamento que a força de atrito pode assumir quando o raio menor varia de r<<R até r = R.
(D) Considere o caso em que r = R, ou seja, o carretel se transforma em um cilindro maciço de
raio R. Mostre que a (i) f = F/3 e aponta para a direita e (ii) a aceleração do CM é 4 F/(3m).
Resolução: (A) Para que o carretel role por uma distância L, note que o ponto de aplicação, ponto
A na figura, de F deve deslocar por uma distância diferente de L. O torque resultante sobre o
carretel inclui uma força devido a força de atrito na base do carretel, ponto P na figura.
Utilizaremos o princípio do trabalho - energia cinética, onde o trabalho é realizado pela força F,
externa ao sistema, isto é, o sistema é não isolado. A força de atrito estático não realiza trabalho,
porque o deslocamento do ponto P é nulo. Não havendo o atrito de rolamento, não há variação na
energia interna. O único modo de energia cruzar a fronteira do sistema é pelo trabalho realizado
pela força F.
WF = DK = DKtrans + DK rot
► A distância que o ponto de aplicação da força F desloca é igual ao comprimento do arco de
raio r compreendido pelo ângulo , ângulo de giro do eixo do carretel, s =  r, mais o comprimento
do arco de raio R compreendido pelo mesmo ângulo, L =  R. Obtemos
s =qr =
r
L
R
Dessa forma a distância total do ponto de aplicação da força F é
d = s + L = L(1 +
r
)
R
O trabalho realizado pela força F sobre o fio é
WF = Fd = FL(1 +
r
)
R
Escrevemos,
2
mvcm
I cmw 2
r
FL(1 + ) =
+
R
2
2
e, usando a condição de rolamento puro, vcm = Rw ,
FL(1 +
r
1
I 2
) = (m + 2 )vcm
R
2
R
que resulta em
vcm =
2 FL(1 + r / R)
m(1 + I / mR 2
Esta expressão é a velocidade linear do CM do carretel.
(B) Como a força de atrito estático não realiza trabalho porque o
carretel não escorrega, não se pode utilizar a abordagem de
energia. Em sala de aula, este item foi resolvido utilizando o teorema impulso-momento. Agora,
utilizaremos a dinâmica rotacional, a segunda lei de Newton da rotação. O cilindro translada e
rola:
F - f = ma = mRa
- rF - Rf = - Ia
O sinal negativo na segunda equação significa que o sentido do torque é horário. Foi utilizada a relação
entre as acelerações linear e angular: a = Ra . Resolvendo as equações acima para força de atrito estático f,
obtemos
æ I - mrR ö
f = Fç
2 ÷
è I + mR ø
► Análises: (a) O sentido da força de atrito, f, é para a esquerda, como está representada no
diagrama, se I – mrR for positivo para determinado valores de r diferentes de zero. (b) O termo
I – mr0R = 0 para r = r0, a força de atrito é nula. Nesse caso o carretel somente translada. (c) Para
valores de r , r0 < r £ R , temos I – mrR < 0 e o sentido da força de atrito é para a direita.
O aluno deve demonstrar as conclusões apresentadas acima.
► Problema 04: No problema anterior em que r = R, o carretel se torna um cilindro simétrico
e mostre que a aceleração do centro de massa é 4F/(3 m) e a força de atrito é igual a F/3.
►
A grande corrida ladeira abaixo
► Método de energia pode ser usado para resolver problemas relacionados ao movimento de
rolamento de um corpo em uma rampa áspera.Considereuma esfera maciça, apresentada na figura,
que rola sem escorregar após ser liberada do repouso no topo da rampa.O movimento de rolamento
só é possível se houver uma força de atrito entre a esfera e a rampa afim de produzir um torque
resultante em relação ao centro de massa. Mesmo com a presença de atrito a energia mecânica do
sistema s e conserva pois não há perda de energia mecânica porque o ponto de contato está em
repouso em relação à superfície em qualquer instante.
► Na realidade, o atrito de rolamento causa a tranformação da energia mecância em energia
interna. O atrito de rolamento é causado pela deformação na superfície de contato do corpo em
rolagem. Em nossos estudos, ao menos que seja mencionado, desprezamos o atrito de rolamento.
► Em um movimento de rolamento puro, vcm = R w, a energia cinética é escrita como
2
2
Mvcm
I w 2 Mvcm
I æv ö
K=
+
=
+ ç cm ÷
2
2
2
2è R ø
1æ
I ö 2
K = ç M + 2 ÷ vcm
2è
R ø
2
►Define-se a configuração zero da energia potencial gravitacional como sendo quando a esfera
está na base da rampa. Dessa forma conservação da energia mecânica resulta em
K f + U f = Ki + U i
1æ
I ö 2
ç M + 2 ÷ vcm + 0 = 0 + Mgh
2è
R ø
A velocidade e aceleração do centro de massa da esfera são encontradas
2
vcm
æ
ç
g
= 2ç
I
ç 1+
è
MR 2
ö
÷
÷h
÷
ø
acm =
g
1+
I
MR 2
► Discussões: (a) A aceleração (velocidade) do centro de massa não depende nem da massa nem
do tamanho do corpo rígido. Por exemplo, as esferas de massas e raios diferentes têm a mesma
aceleração linear. (b) A aceleração (velocidade) do centro de massa depende somente da forma
geométrica do corpo rígido.
► Teste 03: Uma bola rola para baixo na rampa A, sem escorregar, a partir do repouso. Ao
mesmo tempo, uma caixa sai do repouso e desliza pela rampa B, que é idêntica à A, mas não tem
atrito. Elas partem da mesma altura. Qual delas, a bola ou a caixa, chega primeiro à base da rampa
ou ambas chegam ao mesmo tempo?
► Teste 04: Duas esferas A e B diferentes rolam sem escorregar rampa abaixo, a partir do
repouso, ao mesmo tempo e da mesma altura. Qual delas chega à base da rampa primeiro - aquela
que tem maior massa ou maior raio ou ambas chegam ao mesmo tempo?
► Teste 05: Uma esfera e um cilindro de mesma massa e raio rolam para baixo numa rampa,
sem escorregar, a partir do repouso, ao mesmo tempo e da mesma altura. Qual delas chega à base
da rampa primeiro ou ambas chegam ao mesmo tempo?
►
12.10 A descrição vetorial do movimento de rolamento
►
Produto vetorial de vetores e o vetor velocidade angular
►
► Consultar o texto A deste capítulo.
12.11 Momentum angular
►
Consultar o texto C deste capítulo.