Circuitos Elétricos I – EEL420 16/04/2015 Nome: 1) Calcule o valor
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Circuitos Elétricos I – EEL420 16/04/2015 Nome: 1) Calcule o valor
Circuitos Elétricos I – EEL420 16/04/2015 Nome: 1) COLOQUE SEU NOME E NUMERE AS FOLHAS DOS CADERNOS DE RESPOSTA 2) RESPONDA AS QUESTÕES EM ORDEM UTILIZANDO ATÉ 2 PÁGINAS POR QUESTÃO (NO MÁXIMO 3) 3) REDESENHE O CIRCUITO E INDIQUE AS CORRENTES E TENSÕES (NOMES E SENTIDOS) 4) ESCREVA AS EQUAÇÕES LITERAIS, E SÓ DEPOIS SUBSTITUA VALORES. 5) O EQUACIONAMENTO DO PROBLEMA É MAIS IMPORTANTE QUE A SOLUÇÃO FINAL! 1) Calcule o valor de R4 para que o circuito se transforme numa fonte de corrente aplicada sobre RL. Para este caso, qual o valor e o sentido da corrente sobre RL? Substitua U1 pelo seu modelo ideal antes de resolver o problema. Sugestão: Calcule o equivalente Thevenin do circuito a direita de RL. 2) Calcule ir. Por malhas ou nós escreva um máximo de 3 equações (além das auxiliares). 3) Determine o valor de R16 e V7 para que o equivalente Thevenin do circuito entre os pontos A e B, seja igual ao do gráfico. Por malhas ou nós escreva um máximo de 2 equações (além das auxiliares). Solução 1) Aplicando uma fonte de corrente (i) no circuito a direita de RL e calculando seu equivalente Thevenin (v(i)). −i+ ( v−vo) =0 R3 v (v −vo) + =0 R1 R2 Substituindo valores (R1=R2=R3=R) e isolando v, temos v =−R⋅i o que equivale a um resistor (Req) de valor -R. Transformando v1 e R4 em um equivalente Norton teremos um fonte de corrente I =v 1 / R4 e uma resistência equivalente igual a R4. Para que o equivalente Norton de todo o circuito sem RL seja uma fonte de corrente é necessário que R4//Req= ∞ , ou seja, R4=R. Neste caso a corrente que flui sobre RL, de cima para baixo, é iqual a I. 2) Redesenhando o circuito com R8 ao lado de R7 podemos colocar o nó terra na parte de baixo do circuito e equacionar os nós A (entre R10, I4, R11 e F1), B (entre R11, B1, F1 e R7) e C (entre R6, F2, R9 e R8). Equacionando os nós temos: Nó A: Nó B: vA (v −v ) + I 4+ A B + I F 1=0 R 10 R 11 (v B−v A ) (v B−3⋅Vy) (v B−vC ) + – I F 1+ =0 R 11 R 12 (R7 + R8 ) Nó C: (v C −v B ) v C (v −V 2 ) + −I F 2+ C =0 (R7 + R8 ) R9 R6 Eq. auxiliar para IF1: I F 1=−1,5⋅ vA R10 Eq. auxiliar para Vy: Vy=v B−vC Eq. auxiliar para IF2: I F 2= V2 V2 – I B 2= −v C R5 R5 Eq. auxiliar para ir: ir= (v b−v C ) R7 + R 8 3) Simplificando o circuito observamos que: R13 e I1 estão em curto. R14 está em paralelo com V3. R18 está em paralelo com V6, R20 e R21 estão em paralelo com V7 que está em paralelo com o circuito formado por R19, I2, I3 e R22. Assim, o circuito equivalente é formado por F3, R17, R15, R16 e uma fonte de tensão equivalente Veq=V 3 −V 4 +V 6 +V 7=10+ E com o negativo ligado em B. Devemos anotar ix=V 7 /R21. e podemos transformar o circuito formado por F3 e R17 no seu equivalente Thevenin (Fonte de valor 12⋅E com positivo no ponto A e resistor de valor R17). Para circuito aberto: V =V AB =20= Para curto circuito: −I =−10= 12⋅E⋅R16 +(10+ E) . ( R15 + R16 + R17) (−12⋅E)−(10+ E) 0−(10+ E) + R 15+ R17 R16 Encontrar a equação da reta e o Thevenin correspondente. Circuitos Elétricos I – EEL420 11/06/2015 Nome: PARA ESTA PROVA OBEDEÇA AS SEGUINTES REGRAS 1) COLOQUE SEU NOME E NUMERE AS PÁGINAS DOS CADERNOS DE RESPOSTA (COMO UM CADERNO) 2) RESPONDA AS QUESTÕES EM ORDEM UTILIZANDO ATÉ 2 PÁGINAS POR QUESTÃO (NO MÁXIMO 3) 3) REDESENHE O CIRCUITO E INDIQUE AS CORRENTES E TENSÕES (NOMES E SENTIDOS) 3) ESCREVA AS EQUAÇÕES LITERAIS, E SÓ DEPOIS SUBSTITUA VALORES (NÃO É NECESSÁRIO ESPERAR A EQUAÇÃO FINAL PARA SUBSTITUIR VALORES). 4) SEJA ORGANIZADO. FAÇA A PROVA COM CAPRICHO! 1) O circuito estava em regime permanente quando, em t=0, a chave S1 abre. Determine Vc(t) para t>0. Considere V 1=8⋅e−5 t⋅u (t) . 2) O circuito está em regime permanente quanto, em t=0, a chave S1 abre. Determine IL(t) para t>0. Resolva equacionando as variáveis de estado. 3) O circuito abaixo está ligado a muito tempo. Calcule I(t) para t>0. Solução 1) Fazendo o Thevenin de R1 e F1, observamos que ix é a corrente que passa por R1 quando a tensão sobre seus terminais é v. Quando a fonte F1 esta sob a mesma tensão v, por ela passa 2ix. Isto significa que a fonte F1 é um resistor de valor 0,5·R1. Logo o equivalente Thevenin destes dois componentes é Rx=4Ω. Para t<0 v C (0)= V 2⋅Rx R 2+ Rx Para t>0 dv Rx⋅C⋅ C + v C =V 1 dt dv C 1 1 + ⋅v C = ⋅V 1 (1) dt Rx⋅C Rx⋅C v C (t )=k 1⋅e−t / RxC +k 2⋅e−5t (2) Para determinar k1 e k2 - + v C (0 )=vC ( 0 ) da equação (1): d k 2⋅e−5 t k 2⋅e−5 t 1 + = ⋅8⋅e−5 t dt Rx⋅C Rx⋅C da equação (2): v C (0)=k 1+ k 2 2) Para t<0 (considerando positiva as correntes de cima para baixo e da esquerda para a direita) i L (0- )= V 3⋅( R 3 // R 5) 1 ⋅ ( R 3 // R 5)+ R 4 R3 v C (0- )= V 3⋅R 4 ⋅R 4 ( R 3 // R 5)+ R 4 di L ( 0- ) v C (0)−i L (0)⋅R 4 = dt L Para t>0 (1) dv C V 3−v C i L = − (equação do nó entre capacitor e indutor) dt R 3⋅C C (2) di L v C – i L⋅R 4 = dt L Isolando v C na equação (2) e substituindo em (1). d2 i L L di L R 4 V3 L⋅C⋅ 2 + C⋅R 4+ ⋅ + + 1 ⋅i L = R 3 dt R3 R3 dt ( ) ( ) As raízes do polinômio característico são: s 1,2={−25 ;−10 } i L ( t)=k 1⋅e−25 t +k 2⋅e−10 t +k 3 - + i L ( 0 )=i L (0 ) , di L ( 0- ) di L ( 0+ ) , = dt dt i L (∞)= V3 R 3+R 4 Para determinar k1, k2 e k3 i L ( 0)=k 1+k 2+k 3 di L ( 0) =−25⋅k 1−10⋅k 2 dt i L ( ∞)=k 3 3) Resumidamente, por equações de estado dv C I 1−i L (1) = dt C di L v C – I 1⋅R – i L⋅R = dt L (2) Isolando v C na equação (2) e substituindo em (1) d2 i L di L dI 1 C⋅L⋅ 2 + R⋅C⋅ +i L=I 1+C⋅R⋅ dt dt dt As raízes do polinômio característico são: s 1,2={−0,25± j⋅1,39 } i L (t)=e−0,25 t⋅[ k 1⋅cos(1,39⋅t)+k 2⋅sen(1,39⋅t ) ] +k 3 Para determinar k1, k2 e k3 i L ( 0)=0 diL ( 0) I 1⋅R 6 = dt L i L (∞)=4 Circuitos Elétricos I – EEL420 Nome: 02/07/2015 POR FAVOR 1) COLOQUE SEU NOME E NUMERE AS PÁGINAS DOS CADERNOS DE RESPOSTA (COMO UM CADERNO) 2) RESPONDA AS QUESTÕES EM ORDEM UTILIZANDO ATÉ 2 PÁGINAS POR QUESTÃO (NO MÁXIMO 3) 3) REDESENHE O CIRCUITO E INDIQUE AS CORRENTES E TENSÕES (NOMES E SENTIDOS) 4) ESCREVA AS EQUAÇÕES LITERAIS, E SÓ DEPOIS SUBSTITUA VALORES (NÃO É NECESSÁRIO ESPERAR A EQUAÇÃO FINAL PARA SUBSTITUIR VALORES). 5) NÃO EQUACIONE SISTEMAS COM MAIS DE TRÊS MALHAS OU NÓS. 6) NÃO É NECESSÁRIO RESOLVER SISTEMAS DE EQUAÇÕES ALGÉBRICAS 1) Sabendo que V1 tem 120 Vrms e oscila a 60 Hz, Z1 dissipa 360 W com fator de potência unitário e Z2 dissipa 1400 W com fator de potência 0,8 em atraso, calcule C1 para que o fator de potência do circuito seja unitário. Nesta condição, qual a potência média da fonte? 2) Determine a potência média em R2. V2 é senoidal com frequência de 60 Hz. 3) O circuito abaixo é chamado de ponte de Wien. Devido a realimentação positiva ele oscila quando as entradas do operacional são iguais. Determine possíveis valores de R e C para que o circuito oscile em 10 kHz. Determine possíveis valores de R7 e R8 para que o circuito oscile. A saída do circuito é a saída do operacional. Resolva usando Laplace. Solução 1) Sabendo que p̄=Vrms⋅Irms⋅cos(∢V −∢ I ) Z1 é puramente resistivo. O módulo da corrente em Z2: 1400=120⋅Irms⋅0,8 , logo I =14,58 A O ângulo de Z2 corresponde ao arcos (0,8) com a corrente atrasada, ou seja, +36,87º I Z 2rms =14,58∢−36,87=11,664+ j8,748 Para que a fonte enxergue uma carga resistiva a corrente no capacitor tem que cancelar a corrente reativa de Z2. I C 1 rms =Vrms⋅j⋅ω⋅C j⋅8,748=120⋅j⋅2⋅π⋅60⋅C C=193μ F 2) No transformador da esquerda, enrolamento da esquerda a tensão vale V1 e a corrente entrando no ponto vale –2·I2. No secundário a tensão vale 2·V1 e a corrente entrando no ponto vale I2. No transformador da direita, enrolamento da esquerda a tensão vale V3 e a corrente entrando no ponto vale I2. No secundário a tensão vale 3·V3 e a corrente entrando no ponto vale –I2/3. Nó entre R4, R3 e o transformador da esquerda: V 1 – Vs V 1 – 3 V 3 + +(−2⋅I 2)=0 R4 R3 Nó sobre o primário do transformador da direita V 3−2⋅V 2 + I 2=0 R1 Nó entre R3, R2 e o secundário do transformador da direita ( ) V 3 V 3−V 1 I2 + + − =0 R2 R3 3 Resolver o sistema de equações para V1, V3 e I2. PR 2 = (3⋅V 3)2 R2 3) Calculando as impedâncias equivalentes 1 R 5⋅ C 2⋅S R5 Z 1= = 1 R5⋅C 2⋅S+1 R5+ C 2⋅S Z 2=R 6+ 1 R 6⋅C 3⋅S +1 = C 3⋅S C 3⋅S e igualando as tensões nas entradas do operacional vo⋅R 7 vo⋅Z 1 = R 7+ R 8 Z 1+ Z 2 … R7 R⋅C⋅S = R 7+ R 8 ( R⋅C⋅S )2+3⋅R⋅C⋅S +1 R 7⋅( R⋅C⋅S)2 +3⋅R⋅C⋅S +1=R 7+ R 8⋅R⋅C⋅S igualando os termos em S R 7+ R 8=R 7 igualando os termos S2 e S0 a zero (R⋅C)2⋅S2 +1=0 S 2= −1 (R⋅C )2 substituindo S por j ω ω= 1 R⋅C Circuitos Elétricos I – EEL420 Nome: 09/07/2015 POR FAVOR 1) COLOQUE SEU NOME E NUMERE AS PÁGINAS DOS CADERNOS DE RESPOSTA (COMO UM CADERNO) 2) RESPONDA AS QUESTÕES EM ORDEM UTILIZANDO ATÉ 2 PÁGINAS POR QUESTÃO (NO MÁXIMO 3) 3) REDESENHE O CIRCUITO E INDIQUE AS CORRENTES E TENSÕES (NOMES E SENTIDOS) 4) ESCREVA AS EQUAÇÕES LITERAIS, E SÓ DEPOIS SUBSTITUA VALORES (NÃO É NECESSÁRIO ESPERAR A EQUAÇÃO FINAL PARA SUBSTITUIR VALORES). 5) NÃO EQUACIONE SISTEMAS COM MAIS DE TRÊS MALHAS OU NÓS. Segunda chamada da P2: Questões 1, 2 e 3 Segunda chamada da P3: Questões 3, 4 e 5 PF: Das questões 2, 3, 4 e 5 escolher três. Resolver 1 pelo tempo, uma por fasores e 1 por Laplace. 1) O circuito estava em regime permanente quando em t=0 S1 abre. Calcule I(t) para t>0. 2) O circuito estava em regime permanente quando, em t=0, S1 troca de posição. Calcule vo(t) para t>0. 3) Calcule io(t) para t>0 4) Determine C3 para maximizar a potência absorvida por R11. 5) Mostre que vo(s)/vi(s) tem forma de filtro passa altas (ganho maior nas frequências altas). Solução 1) Para t>0 a resistência vista pelo capacitor vale Req=R 2 // ( R 1+ R 3)=4 k Ω τ=Req⋅C I =k 1+k 2⋅e−t / τ V 1⋅R 3 =6 V R 2+ R 3 v C (0 + )= + V 1−v C (0 ) I ( 0 )= =0,5 mA R 1+ R 3 Para determinar k1 e k2 I ( 0)=k 1+k 2 + I ( ∞)=k 1 2) Calculando o Thevenin de R6, R7, R8 e I1 RTH =( R 7+ R 8) // R 6=4 k Ω R6 =4 V R 6+ R 7+ R 8 Para t>0 o circuito é um RLC série com resistência de 10kΩ di 1 L⋅ L + R⋅i L + ⋅∫ i L dt=V TH dt C V TH =(I 1⋅R 8)⋅ d 2 i L R diL 1 1 dV TH + ⋅ + ⋅i L = ⋅ 2 L dt L⋅C L dt dt A equação característica é s 2 +4⋅106⋅s+3⋅10 12=0 cujas raízes são s 1,2={−3⋅106 ;−1⋅10 6 } vo=R 5⋅i L 6 6 i L =k 1⋅e−3⋅10 ⋅t + k 2⋅e−1⋅10 ⋅t + k 3 + - i L ( 0 )=i L (0 )=0 + + + di L ( 0 ) V TH −i L (0 )⋅RTH −v C (0 ) e v C (0 + )=v C ( 0- )=−12V (mesmo sentido de vo) = dt L i L ( ∞)=0 3) ANÁLISE PELO DOMÍNIO DO TEMPO: Equacionando por variáveis de estado di L 0,5⋅i L⋅R 17+ v C −i L⋅R 17−V 4 = dt L V 3 – (0,5⋅i L⋅R 17+ v C ) – iL dv C R 16 = dt C substituindo valores (1) di L =−0,5⋅i L +v C −V 4 dt (2) dv C =−1,25⋅i L−0,5⋅v C +0,5⋅V 3 dt isolando v C em (1) e substituindo em (2) ( ) d2 i L 0,5⋅di l 0,5⋅di L 4 + + dV +1,25⋅i L + + 0,25⋅i L + 0,5⋅V 4−0,5⋅V 3=0 2 dt dt dt dt d 2 i L di L 4 + +1,5⋅i L=−0,5⋅V 4 – dV +0,5⋅V 3 2 dt dt dt As raízes da equação característica são: s 1,2= [ i L =i o=e−t /2⋅ k 1⋅cos (√ ) −1±√ 5 2 ( )] 5 5 ⋅t +k 2⋅sen √ ⋅t + k 3 2 2 Para calcular k1, k2 e k3 −V 4 i l( 0+ )=(0- )= R 17+ R 16 V 4⋅R 16 di L ( 0+ ) + −0,5⋅R 17⋅i L ( 0+ ) =−0,5⋅i L (0+ )+v C (0+ )−0 e v C (0 )=v C ( 0 )= R 16+ R 17 dt ANÁLISE POR LAPLACE Condições iniciais do capacitor e do indutor (calculadas apenas com a fonte V4, capacitor em aberto e indutor como curto circuito) V 4⋅R 16 V4 VC (0)= −0,5⋅ −R 17⋅ (positivo para cima) R 16+ R 17 R 16+ R 17 ( ) −V 4 (da direita para a esquerda) R 16+ R17 As condições iniciais são adicionadas ao circuito como fonte de tensão em série com o capacitor e fonte de corrente em paralelo com o indutor. Estas duas fontes são degraus. Para t>0 5 1 V 3 (S )= , V 4 (S)=0 , XL 4(S)=L 4⋅S , XC 6( S)= , S+2 C 6⋅S IL(0)= VB1(S)=0,5⋅Vo( S)=0,5⋅I O (S)⋅R 17 , VC 0 ( S)= VC (0) IL (0) , IL0 (S)= S S Malha da esquerda: −V 3(S)+ I 1⋅R 16+(I 1−I O )⋅XC 6(S)+VC 0 ( S)+VB 1(S)=0 Malha da direita: −VB 1(S)−VC 0 ( S)+(I O −I 1)⋅XC 6(S)+ I O⋅R17 +[ I O −IL0 (S)]⋅XL 4 (S )=0 Resolver o sistema e com um pouco de paciência calcular a antitransformada usando frações parciais. 4) Transformando I2 e R9 no seu equivalente Thevenin e associando os componentes em série: ω=5000 rad / s Zeq=Req+ j⋅XLeq Req=R 9+ R 10=800Ω XLeq= j⋅ω⋅L2+ j⋅ω⋅L 3 – j⋅2⋅ω⋅M = j1600 Ω Z 1=R 11 // XC 3 Z 1= R 1− j⋅R⋅C⋅ω ⋅ j⋅R⋅C⋅ω+1 1− j⋅R⋅C⋅ω Z 1=Zeq * Como 800= 2 R R ⋅C⋅ω 1600= e 2 (R⋅C⋅ω) +1 (R⋅C⋅ω)2 +1 2 2⋅R R ⋅C⋅ω = 2 ( R⋅C⋅ω) +1 ( R⋅C⋅ω)2+1 C= 2⋅R −7 =10 F 2 R ⋅ω 5) Nó da entrada negativa: vo⋅R vo = (1) v = R+( A−1)⋅R A Nó da entrada positiva: vo + v =v = A (2) ( ) vo vo + C⋅S⋅ −VA =0 A⋅R A Nó VA (entre C4, C5 e R15) ( (3) C⋅S⋅(VA – vi)+C⋅S⋅ VA – com um pouco de paciência vo K⋅S 2 = 2 ω vi S + ⋅S+ ω2 Q ) vo 1 + ⋅(VA – vo )=0 A R