REA.4.1.2 – TXT – ALUNO-TRANSFORMAÇÕES DE LORENTZ

Relatividade
Bloco IV- Relatividade Restrita
REA.4.1.2 – TXT – ALUNO-TRANSFORMAÇÕES DE LORENTZ
A contração dos comprimentos é também como Contração de Lorentz-Fitzgerald,
fenômeno segundo o qual a matéria a uma velocidade comparável à da luz, sofre uma distorção,
contraindo-se ao longo da direção de seu deslocamento. Foi simultânea e independentemente
imaginado pelos físicos George Francis Fitzgerald e Hendrik Antoon Lorentz para explicar os
resultados negativos da experiência de Michelson e Morley, mas sem justifica-los.
Defensor do éter, mesmo caminhando em sentido contrário ao exposto pela Relatividade e
usando apenas a teoria eletromagnética, Lorentz acabou chegando, anos antes, aos mesmos
resultados de Einstein. Para o físico holandês, a contração do corpo como um todo podia ser
provocada pela reorganização das moléculas de um corpo em movimento.
Uma consequência prática e importante dos trabalhos de Lorentz são as equações usadas
na passagem de um referencial a outro que, em sua homenagem, foram batizadas de
Transformações de Lorentz. Elas permitem que coordenadas cartesianas de tempo e espaço sejam
linearmente transformadas em outro conjunto de coordenadas, com estas sendo apropriadas a um
observador que se desloca a uma velocidade comparável à da luz. Ou seja, essas equações
permitem transformações de coordenadas entre dois sistemas de coordenadas S e S’ de referencial
inercial.
Observe os sistemas S e S’ representados na figura abaixo com as respectivas coordenadas
espaciais e temporais (x, y, z; t) e (x’, y’, z’; t’). As transformações entre os sistemas (x, y, z; t) (x’,
y’, z’; t’) pressupões algumas condições que devem ser consideradas:
Y’
y
V
S’
S
O’
x
O
t’
x
t
Z’
z
1) Se em relação a S o movimento é retilíneo uniforme, ele também deve ser em S’ e vice-versa.;
2) Se v=0 ==> x = x’; y = y’; z = z’ e t = t’;
3) Se v< c, vale a transformação de Galileu em que o tempo é uma variável absoluta,
independente do referencial; x’ = x – vt; y’ = y; z’ = z e t’ = t
4) Se a velocidade v aumentar muito, de modo que v/c ≠ 0, as relações entre S e S’ são pelas
transformações de Lorentz.
Considerando um pulso de luz emitido em O = O’ e em t = t’, sua velocidade de propagação
será c tanto em S quanto em S’. Deste modo:
(1) < == > x’2 + y’2 + z’2 – c2t’2 = 0 (2)
x2 + y2 + z2 – c2t2 = 0
Mas se a velocidade v aumentar muito, de modo que v/c ≠ , as relações entre S e S’ se
complicam.
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A transformação geral, necessariamente linear que satisfaz essas condições pode ser
demonstrada, mas faz uso de ferramental matemático que optamos por não apresentar, pois isso
implicaria abordar conceitos e habilidades matemáticas para além dos objetivos deste texto.
A solução encontrada por Lorentz para o movimento relativo entre S e S’, no caso do
sistema S’ mover-se com velocidade v na direção x é da pelas equações (3) e a transformação
inversa pelas equações (4)
x’ = ϒ(x – vt)
y’ = y
z’ = z
t’ = ϒ[t – (v/c2)x]
(3)
x = ϒ(x’ + vt’)
y = y’
z = z’
t = ϒ[t’+ (v/c2)x’]
(4)
Utilizamos o 2º princípio (velocidade da luz constante em qualquer referencial inercial) para
chegar às equações (1) e (2), nos apoiamos na homogeneidade do espaço e na uniformidade do
tempo para argumentar que as transformações deveriam ser lineares, enfim, consideramos os
movimentos das origens de S e S’, para encontrar a forma das transformações.
O desenvolvimento mostrado aqui não é muito diferente do que Einstein realizou em seu
artigo de 1905, quando apresentou a teoria da relatividade.
As expressões que representam as transformações de Lorentz, foram obtidas supondo que
os referenciais S e S’ tivessem uma origem espaço temporal comum. Nossa dedução foi feita com
base nesse fato e ele está incorporado nas equações (3) e (4) . Perceba que elas relacionam o ponto
(0, 0, 0; 0) no referencial S ao ponto (0, 0, 0; 0) no referencial S’. Assim, sempre que formos utilizar
as transformações de Lorentz na forma dada pelas equações (3) e (4), precisamos definir um evento
para ser adotado como origem dos dois referenciais. Todos os demais serão relacionados a ele.
O tamanho dos efeitos relativísticos é determinado pelo quociente v/c. A sua presença no
fator ϒ = 1/[1 – (v/c)2]1/2 é tal que ϒ ≥ 1, a igualdade valendo no caso particular v = 0. Note que
quando v é comparável a c, o fator ϒ pode tornar-se grande e os efeitos relativísticos tornam-se
importantes. Quando a velocidade relativa é muito menor do que a da luz v << c, o fator de escala ϒ
aproxima-se de 1, e as transformações de Lorentz reduzem-se às transformações de Galileu.
Exercício resolvido
Imagine que Maria esteja numa nave espacial que se desloca com velocidade igual a 75 %
da velocidade da luz c no vácuo, e que sua nave passe beirando uma plataforma espacial onde se
encontra João parado. Para João, o comprimento da plataforma é L = 200 m.
a) Qual deve ser o comprimento da plataforma para Maria?
b) Em quanto tempo João vê Maria passar pela plataforma?
c) Em quanto tempo Maria passa pela plataforma?
Solução:
M
A
B
J
Evento de referencia (a): a origem do referencial de Maria coincide com a origem do referencia de
João no instante em que Maria passa pelo ponto inicial A da plataforma:
Coordenadas do evento A nos referenciais de Maria e de João: Maria (0, 0, 0; 0) - João (0, 0, 0; 0).
Evento (b): Maria, na origem do seu referencial, passa pela extremidade B da plataforma.
Coordenadas: Maria (x’, y’, z’; t’)
João: (L, 0, 0; L/v)
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Usando as equações (3) temos:
X’ = ϒ[L – v.L/v] = 0
(1)
y’ = 0
(2)
z’ = 0
(3)
t’ = ϒ[L/v – (v/c2)L] = (1/ϒ)(L/v)
b) Para João, Maria passará pela plataforma num intervalo de tempo dado por:
ΔtJ = L/v = 200/0,75c = 8,9.10-7 s.
c) Usando a equação (4) acima: t’ = ΔtM = (1/ϒ)(L/v) = 5,9.10-7 s.
a) LM = v.ΔtM = 0,75c. 5,9.10-7 s = 133 m
(4)