Cap. 1.1 – O Espaço R²

Transcrição

Cálculo 2 - Capı́tulo 1.1 - O espaço R2 - versão 02/2009
1
Capı́tulo 1.1 - O espaço R2
1.1.1 - Os números reais
1.1.2 - Espaço R2
No curso de Matemática 1, foi estudado o Cálculo Diferencial e Integral baseado no conjunto dos números
reais, R. Neste curso de Matemática 2, faremos esse mesmo estudo com uma classe mais geral, que chamaremos
de espaço Rn . Este primeiro capı́tulo introduz o caso particular do espaço R2 e estabelece algumas operações
que podem ser definidas nele.
1.1.1 - Os números reais
O conjunto dos números reais, R, apresenta diversas caracterı́sticas que tornam possı́vel definir sobre ele
conceitos como o de limites, derivadas e integrais. Tal conjunto permite que nele sejam definidas operações de
soma e de produto com as seguintes propriedades.
Propriedades da soma: para quaisquer elementos α, β e γ reais, temos
S1) α + β ∈ R (o conjunto R é fechado quanto à soma);
S2) α + β = β + α (comutativa);
S3) (α + β) + γ = α + (β + γ) (associativa);
S4) ∃ 0 ∈ R tal que α + 0 = α (existência do elemento neutro);
S5) para qualquer α ∈ R, existe um −α ∈ R tal que (−α) + α = 0 (existência de elementos inversos).
Propriedades do produto: para quaisquer elementos α, β e γ reais, temos
P1) α · β ∈ R (o conjunto R é fechado quanto ao produto);
P2) α · β = β · α (comutativa);
P3) α · (β · γ) = (α · β) · γ (associativa);
P4) ∃ 1 ∈ R tal que 1 · α = α (existência do elemento neutro);
1
1
P5) para qualquer α ∈ R, α 6= 0, existe um ∈ R tal que · α = 1 (existência de elementos inversos).
α
α
Propriedade mista: para quaisquer elementos α, β e γ reais, temos
M1) α · (β + γ) = α · β + α · γ (distributiva da soma com relação ao produto).
Além dessas propriedades, que são comuns a conjuntos como o dos números racionais Q e dos números
complexos C, os números reais também apresentam a propriedade adicional de que os seus elementos são
ordenados, isto é, que há uma relação que determina qual elemento desse conjunto é maior que o outro. Essa
propriedade de ordenação também existe para os números racionais, mas não para os complexos.
Uma outra propriedade, que diferencia os números reais dos racionais é que, para todo par de números
reais, existe sempre um número real entre eles. Isto deixa de ser verdade para os números racionais, que podem
ter entre dois de seus elementos um número irracional, que não pertence a esse conjunto. É essa propriedade
que torna possı́vel definir limites (chegar o mais próximo possı́vel de um número sem, no entanto, alcançá-lo)
e todo o Cálculo subsequente, sobre os números reais.
Observação: rigorosamente falando, o conjunto dos números reais é um corpo ordenado completo, melhor
definido na Leitura Complementar 1.1.1, que trata da definição mais formal desse conjunto.
2
Geometricamente, podemos representar os números reais como sendo pontos sobre uma reta ordenada,
como na figura a seguir.
...
-3
-3/2
-2
0 1/4 1/2
-1
1
√
2
2
e
3 π
...
1.1.2 - Espaço R2
O conjunto R2 , que deve ser lido “erre dois”, é o conjunto de todos os pares ordenados (x, y), onde x e y
são números reais, isto é:
R2 = {(x, y) | x, y ∈ R} .
Por pares ordenados entendemos conjuntos tais que (x, y) = (a, b) se, e somente se, x = a e y = b, isto é, a
ordem em que os elmentos são escritos é importante. Isto contrasta com a notação {a, b} de um conjunto, que
é equivalente a {b, a}. Os pares ordenados (1, 2), (−1, 0), (1/4, π) são todos elementos do conjunto R2 . Note
que (2, 1) 6= (1, 2) se ambos pertencem ao R2 .
a) Representação geométrica
y
Da mesma forma como números reais podem ser representados como pontos em um reta ordenada, os elementos do espaço
R2 podem ser rperesentados como pontos em um espaço euclidiano. Para isto, representamos um par ordenado (a, b) como o
ponto de ordenada a e abscissa b (figura ao lado).
É fácil notar da figura ao lado que o R2 não é um conjunto
ordenado. Não podemos, por exemplo, determinar se (1, 2) é
maior ou menor que (1, 1). Não podemos nem definir o conceito
de ordem nessas circunstâncias.
Exemplo 1: represente o par ordenado (3, 2)
no plano cartesiano.
y
Solução:
b
b
a
Exemplo 2: represente o par ordenado
(−2, 1) no plano cartesiano.
y
Solução:
b
2
(a, b)
b
1
x
1
−2
−1
0
x
0
1
2
3
(3/2, −1) no plano cartesiano.
y
Solução:
0
1 1, 5 2
−1
b
x
(−2, −1) no plano cartesiano.
y
Solução:
x
−2
−1
0
b
−1
x
3
b) Soma
Também podemos definir uma operação de soma para elementos do R2 . Dados dois elementos (a1 , a2 ) e
(b1 , b2 ) de R2 , então a soma deles é definida como (a1 , a2 ) + (b1 , b2 ) = (a1 + b1 , a2 + b2 ).
Exemplo 1: faça a soma dos elementos (1, 2) e (3, −4) do R2 .
Solução: (1, 2) + (3, −4) = (1 + 3, 2 − 4) = (4, −2).
Exemplo 2: faça a soma dos elementos (−1, 3) e (1, −3) do R2 .
Solução: (−1, 3) + (1, −3) = (−1 + 1, 3 − 3) = (0, 0).
A operação de soma apresenta as seguintes propriedades, dados os elementos (a1 , a2 ), (b1 , b2 ), (c1 , c2 ) ∈ R2 :
S1) (a1 , a2 ) + (b1 , b2 ) ∈ R2 (o conjunto R2 é fechado quanto à soma);
S2) (a1 , a2 ) + (b1 , b2 ) = (b1 , b2 ) + (a1 , a2 ) (comutativa);
S3) [(a1 , a2 ) + (b1 , b2 )] + (c1 , c2 ) = (a1 , a2 ) + [(b1 , b2 ) + (c1 , c2 )] (associativa);
S4) ∃ (0, 0) ∈ R2 tal que (a1 , a2 ) + (0, 0) = (a1 , a2 ) (existência do elemento neutro).
c) Produto por um escalar
Não podemos definir uma operação semelhante ao produto entre dois números reais para elementos do
R2 . No entanto, podemo definir a operação produto por um escalar, que consiste em fazer o produto de um
elemento do R2 por um elemento de R. Dado um elemento (a1 , a2 ) ∈ R2 e um elemento α ∈ R, definimos o
produto desse elemento pelo escalar α como α(a1 , a2 ) = (αa1 , αa2 ).
Exemplo 1: faça o produto do elemento (1, 4) do R2 pelo escalar 3 ∈ R.
Solução: 3(1, 4) = (3 · 1, 3 · 4) = (3, 12).
Exemplo 2: faça o produto do elemento (−4, 12) do R2 pelo escalar 1/4 ∈ R.
Solução:
1
(−4, 12) =
4
1
1
· (−4), · 12
4
4
= (−1, 3).
O produto por um escalar apresenta as seguintes propriedades, dados dois elementos (a1 , a2 ), (b1 , b2 ) ∈ R2
e os elementos α, β ∈ R:
P1) α(a1 , a2 ) ∈ R2 (o conjunto R2 é fechado quanto ao produto por um escalar);
P2) α [β(a1 , a2 )] = (αβ)(a1 , a2 ) (associativa);
P3) para o elemento 1 ∈ R, 1(a1 , a2 ) = (a1 , a2 ) (existência do elemento neutro).
O produto por um escalar junto com a soma apresenta ainda as seguintes propriedades mistas, dados
elementos (a1 , a2 ), (b1 , b2 ) ∈ R2 e os elementos α, β ∈ R:
M1) α [(a1 , a2 ) + (b1 , b2 )] = α(a1 , a2 ) + α(b1 , b2 ) (distributiva da soma com relação ao produto por um escalar);
M2) (α + β)(a1 , a2 ) = α(a1 , a2 ) + β(a1 , a2 ) (distributiva do produto por um escalar com relação à soma).
Observação: conjuntos que têm as propriedades de soma e de produto por um escalar que acabamos de descrever são chamados espaços vetoriais e são geralmente estudados em cursos de Álgebra Linear. A Leitura
Complementar 1.1.2 traz um pouco mais de detalhes sobre isto.
A soma e o produto por um escalar podem ser utlizadas simultaneamente, como no exemplo a seguir.
Exemplo 3: calcule 3(2, −1) + (−5)(−4, 2).
Solução: 3(2, −1) + (−5)(−4, 2) = 3(2, −1) − 5(−4, 2) = (6, −3) − (−20, 10) = (26, −13).
4
d) Representação vetorial
Um outro conjunto de objetos que apresentam exatamente as mesmas propriedades da soma e produto por
um escalar válidas para o R2 é o conjunto dos vetores em um plano. Vetores podem ser vistos como segmentos
de retas orientados (pedaços de retas com um sentido determinado) que não estão presos a um determinado
lugar do espaço (uma definição mais rigorosa é feita na Leitura Complementar 1.1.3). Podemos representar um
vetor no plano como uma seta partindo da origem (0, 0) e terminando em algum ponto (a, b), como na figura
a seguir.
y
Note que há uma correspondência imediata entre um vetor que termina no ponto (a, b) com o próprio elemento de
(a, b) ∈ R2 . Por isso, é comum representarmos elementos
b
do R2 como vetores no plano. Essa representação é particularmente útil quando queremos mostrar a soma de dois
elementos de R2 ou o produto de um elemento do R2 por
um escalar geometricamente. Os próximos dois exemplos
x
a
mostram como essas operações podem ser representadas em
termos de vetores em um plano cartesiano.
b
Exemplo 1: represente vetorialmente os pares ordenados (3, 3) e (4, 1) e a sua soma.
Solução: os dois pares ordenados estão representados vetorialmente no primeiro gráfico a seguir e a sua soma, dada
por (3, 3) + (4, 1) = (7, 4), é representada no segundo gráfico a seguir.
y
y
(3, 3)
3
3
2
2
(4, 1)
1
0
(7, 4)
1
2
3
4
5
1
6
x
7
0
1
2
3
4
5
6
7
x
Exemplo 2: represente vetorialmente o par ordenado (3, 2) e o produto dele pelo escalar 2.
Solução: o par ordenado (2, 1) e o seu produto pelo escalar 2, 2(3, 2) = (6, 4) estão representados no gráfico a
y
seguir.
(6, 4)
4
3
2
(3, 2)
1
0
1
2
3
4
5
6
7
x
Exemplo 3: represente vetorialmente o par ordenado (4, 1) e o produto dele pelo escalar −1.
Solução: o par ordenado (4, 1) e o seu produto pelo escalar −1, −1(4, 1) = (−4, −1) estão representados no gráfico
a seguir.
y
(4, 1)
1
−4
(−4, −1)
−3
−2
−1 0
−1
1
2
3
4
x
Em termos vetoriais, a soma de dois pares ordenados (a1 , a2 ) e (b1 , b2 ) pode ser vista como o resultado da
5
chamada regra do paralelogramo dos vetores, que consiste em desenhar representações dos dois vetores com
suas origens no mesmo ponto e, a partir daı́, desenhar um paralelogramo tomando como lados os dois vetores. A
soma dos dois vetores será representada, então, pela diagonal desse paralelogramo. Os vetores no lado esquerdo
e abaixo recebem os nomes ~u, ~v e ~s, uma notação comum quando nos referimos a vetores.
Outra forma de executar graficamente a soma de vetores é colocando um em seguida do outro, como na
figura à direita e abaixo. A resultante parte da origem do primeiro até a extremidade do segundo.
~u
~u
~u
~v
~s
~v
~s
~v
Já o produto por um escalar não altera a direção de um vetor, mas somente modifica o seu comprimento e,
caso o produto seja por um número negativo, também o seu sentido (como mostrado no exemplo 3).
Observação: utilizando o produto por um escalar e a soma, podemos, inclusive, gerar todos os elementos do
R2 a partir de somente dois elementos desse conjunto, como, por exemplo, os elementos (1, 0) e (0, 1). Isto se
faz escrevendo (a1 , a2 ) = a1 (1, 0) + a2 (0, 1). Os conjunto desses dois elementos que geram todos os outros é
chamado de base do espaço R2 e é melhor estudado em cursos de Álgebra Linear.
e) Aplicação
Uma aplicação de pares ordenados (elementos do R2 ) em Economia é a compilação de dados e a sua
representação em um plano cartesiano. O conjunto de pares ordenados a seguir mostra o ı́ndice Dow Jones, que
mede o desempenho da Bolsa de Valores de Nova Yorque, e o Ibovespa, que mede o desempenho da Bolsa de
Valores de São Paulo, para o mês de setembro de 2008. O primeiro elemento de cada par ordenado corresponde
ao ı́ndice Dow Jones e o segundo elemento, ao ı́ndice Bovespa:
(11516, 54404),
(11268, 49633),
(11019, 48422),
(11143, 50782),
(11532, 53527),
(11433, 51270),
(11388, 53055),
(10365, 46028),
(11188, 51408), (11220, 51939), (11510, 50717), (11230, 48435),
(11421, 52392), (10917, 48416), (11059, 49228), (10609, 45908),
(11015, 51540), (10854, 49593), (10825, 49842), (11022, 51828),
(10850, 49541).
Colocados em um plano cartesiano, como mostrado a seguir (primeiro gráfico à esquerda), esses pares
ordenados revelam uma relação entre os dois ı́ndices, o que fica mais claro quando colocamos, um próximo ao
outro, os gráficos dos dois ı́ndices com relação ao tempo, somente nos dias em que houve negociações (dois
últimos gráficos, abaixo e à direita).
Dow Jones
Ibovespa
b
11.400
b
b
53.000
b
b
b
b
10.800
b
51.000
b
b
b
b
10.200
b
bb
2 3 4 5 8 9 10 11 12 15 16 17 18 19 22 23 24 25 26 29 30
b
49.000
b
b
Dia
b
Ibovespa
47.000
b
b
45.000
10.200 10.400 10.600 10.800 11.000 11.200 11.400
5.300
Dow Jones
4.900
4.500
2 3 4 5 8 9 10 11 12 15 16 17 18 19 22 23 24 25 26 29 30
Dia
6
Existem ainda meios mais complexos de se aplicar o espaço R2 a dados econômicos ou financeiros. Algums
desses serão vistos nos próximos dois capı́tulos. A Leitura Complementar 1.1.4 mostra como descrever pontos
em um plano cartesiano em termos de coordenadas polares.
Resumo
• Espaço R2 . O espaço R2 é o conjunto de pares ordenados (x, y) tais que x, y ∈ R (o conjunto dos
números reais), ou seja: R2 = {(x, y) | x, y ∈ R}.
• Representação geométrica. Um elemento do R2 , ou seja, um par ordenado (a, b), pode ser
representado graficamente como o ponto de ordenada a e abscissa b em um sistema de coordenadas
cartesiano, como na figura abaixo.
y
(a, b)
b
b
a
x
• Soma. Dados dois elementos (a1 , a2 ) e (b1 , b2 ) de R2 , então a soma deles é definida como
(a1 , a2 ) + (b1 , b2 ) = (a1 + b1 , a2 + b2 ).
• Propriedades da soma. Dados os elementos (a1 , a2 ), (b1 , b2 ), (c1 , c2 ) ∈ R2 :
S1) (a1 , a2 ) + (b1 , b2 ) ∈ R2 (o conjunto R2 é fechado quanto à soma);
S2) (a1 , a2 ) + (b1 , b2 ) = (b1 , b2 ) + (a1 , a2 ) (comutativa);
S3) [(a1 , a2 ) + (b1 , b2 )] + (c1 , c2 ) = (a1 , a2 ) + [(b1 , b2 ) + (c1 , c2 )] (associativa);
S4) ∃ (0, 0) ∈ R2 tal que (a1 , a2 ) + (0, 0) = (a1 , a2 ) (existência do elemento neutro).
• Produto por um escalar. Dado um elemento (a1 , a2 ) ∈ R2 e um elemento α ∈ R, definimos o
produto desse elemento pelo escalar α como α(a1 , a2 ) = (αa1 , αa2 ).
• Propriedades do produto por um escalar. Dados dois elementos (a1 , a2 ), (b1 , b2 ) ∈ R2 e os
elementos α, β ∈ R:
P1) α(a1 , a2 ) ∈ R2 (o conjunto R2 é fechado quanto ao produto por um escalar);
P2) α [β(a1 , a2 )] = (αβ)(a1 , a2 ) (associativa);
P3) para o elemento 1 ∈ R, 1(a1 , a2 ) = (a1 , a2 ) (existência do elemento neutro).
• Propriedades mistas. Dados elementos (a1 , a2 ), (b1 , b2 ) ∈ R2 e os elementos α, β ∈ R:
M1) α [(a1 , a2 ) + (b1 , b2 )] = α(a1 , a2 ) + α(b1 , b2 ) (distributiva da soma com relação ao produto por um
escalar);
M2) (α + β)(a1 , a2 ) = α(a1 , a2 ) + β(a1 , a2 ) (distributiva do produto por um escalar com relação à
soma).
• Representação vetorial. Um elemento (a, b) do R2 pode ser representado por meio de um vetor,
onde a representação do vetor é uma seta que parte da origem e que termina nas coordenadas do
y
elemento do R2 .
b
b
a
x
7
Leitura Complementar 1.1.1 - Números reais
Como foi dito no texto principal, os números reais pertencem à famı́lia dos corpos, mais particularmente,
ele é um corpo ordenado completo. Nesta leitura complementar, explicaremos o que isto significa, fornecendo
com isto uma visão mais aprofundada da definição desse conjunto numérico.
a) Corpo
Um corpo é basicamente um conjunto cujos elementos se comportam aproximadamente como os números
reais. Para definir um corpo, precisamos de uma operação de soma e uma operação de multiplicação, de modo
que um corpo é um conjunto munido dessas duas operações. Por isso, frequentemente designamos um corpo pelo
sı́mbolo (K, +, ·). No entanto, é comum designarmos um corpo simplesmente por K. Por exemplo, podemos
designar o corpo dos reais como (R, +, ·), só que é mais frequente chamá-lo simplesmente R.
As operações de soma e produto são definidas de modo que, se a e b pertencem ao conjunto K, então a + b
e a · b também têm que pertencer ao conjunto K. A definição completa é feita a seguir.
Definição 1 - Um conjunto K munido de operações de soma e multiplicação, {K, +, ·}, é um corpo
se tiver as seguintes propriedades.
Propriedades da soma: para quaisquer elementos α, β e γ desse corpo, temos
S1) α + β ∈ K (o conjunto K é fechado quanto à soma);
S2) α + β = β + α (comutativa);
S3) (α + β) + γ = α + (β + γ) (associativa);
S4) ∃ 0 ∈ K tal que α + 0 = α (existência do elemento neutro);
S5) para qualquer α ∈ K, existe um −α ∈ K tal que (−α) + α = 0 (existência de elementos inversos).
Propriedades do produto: para quaisquer elementos α, β e γ desse corpo, temos
P1) α · β ∈ K (o conjunto K é fechado quanto ao produto);
P2) α · β = β · α (comutativa);
P3) α · (β · γ) = (α · β) · γ (associativa);
P4) ∃ 1 ∈ K tal que 1 · α = α (existência do elemento neutro);
1
1
P5) para qualquer α ∈ K, α 6= 0, existe um ∈ K tal que · α = 1 (existência de elementos inversos).
α
α
Propriedade mista: para quaisquer elementos α, β e γ desse corpo, temos
M1) α · (β + γ) = α · β + α · γ (distributiva da soma com relação ao produto).
Como ilustração, vamos tentar montar um corpo com o menor número de elementos possı́vel. Como um
corpo tem que ter os números 0 e 1, podemos começar considerando o conjunto {0, 1}, formado somente por
esses dois números. Este conjunto não é um corpo, pois não existe nele a inversa por adição (o número −1 não
faz parte desse conjunto). Adicionando −1, temos {−1, 0, 1}, que também não é um corpo, pois, por exemplo,
1 + 1 = 2, que não faz parte do conjunto. Seguindo esse raciocı́nio, podemos ver que um corpo não pode ser
definido para um número finito de elementos caso sejam utilizadas as operações usuais de soma e multiplicação
(no entanto, isto pode mudar caso alteremos essas duas operações).
Também de acordo com essa definição, o conjunto dos números naturais, N = {0, 1, 2, · · · }, munido da
soma e multiplicação usuais, não é um corpo, pois não possui as propriedades S5 e P5. O número 2, por
exemplo, pertence aos naturais, mas sua inversa quanto à soma, −2, ou sua inversa por multiplicação, −1/2,
não pertencem a esse conjunto.
De forma semelhante, o conjunto dos números inteiros, Z = {· · · , −2, −1, 0, 1, 2, · · · }, munido da soma e
8
multiplicação usuais, também não é um corpo, pois não possui a propriedade P5: o número 2 pertence a Z e
também o seu inverso quanto à soma pertence a Z, mas não seu inverso quanto à multiplicação, 1/2.
Já o conjunto dos números racionais é um corpo, pois possui todas as propriedades de soma e de produto
necessárias. Outros exemplos de corpos são o conjunto dos números reais, R, e o conjunto dos números
complexos, C, munidos
√suas operações soma
√ e produto usuais. O conjunto dos números irracionais não pode
√ de
ser um corpo, pois 2 · 2 = 2, sendo que 2 pertence a esse conjunto mas 2 não pertence aos irracionais.
De modo semelhante, o conjunto dos números imaginários
puros (não confundir com o conjunto dos números
√
complexos) não é um corpo, pois o número i = −1 pertence a esse grupo, mas o produto i · i = −1, não.
Chamaremos rotineiramente os elementos de um corpo de escalares.
b) Corpo ordenado
O conjunto dos reais, munido da soma e do produto usuais, além de ser um corpo apresenta ainda outras
prorpiedades, como a de ser ordenado, o que significa que podemos estabelecer uma relação de ordem entre seus
elementos (por exemplo, 10 é maior que 8). Para podermos definir um corpo ordenado, precisamos primeiro
definir de forma mais rigorosa o que significa uma relação de ordem.
Definição 2 - Dada um conjunto K, então uma relação ≤ entre dois elementos de K é uma relação
de ordem parcial se, para quaisquer α, β, γ ∈ K tivermos:
O1) α ≤ α (reflexiva);
O2) se α ≤ β e β ≤ α, então α = β (anti-simétrica);
O3) se α ≤ β e β ≤ γ, então α ≤ γ (transitiva).
A relação de ordem necessária para definir um corpo ordenado tem que ter mais algumas propriedades, o
que a caracteriza como uma relação de ordem total, definida a seguir.
Definição 3 - Dada um conjunto K, então uma relação de ordem parcial ≤ entre dois elementos de
K, essa é uma relação de ordem total se, para quaisquer α, β ∈ K tivermos:
O4) α ≤ β ou β ≤ α (o “ou” utilizado é o inclusivo).
A definição de um corpo ordenado é dada a seguir.
Definição 4 - Um corpo {K, +, ·} é um corpo ordenado se existir uma relação de ordem total α ≤ β
entre dois elementos de K tais que:
S1) α ≤ β ⇒ α + γ ≤ β + γ se γ ∈ K (compatı́vel com a soma);
S2) se 0 ≤ α e 0 ≤ β, então 0 ≤ α · β (compatı́vel com o produto).
De acordo com esta definição, o corpo dos números complexos, C, não é um corpo ordenado (qual é maior,
2 + i ou 2 − i ?). Já os corpos Q e R são corpos ordenados. Corposo ordenados apresentam ainda outras
propriedades decorrentes destas.
c) Limitante superior, supremo e máximo
Para podermos continuar o nosso estudo sobre números reais, é necessário agora definir outros conceitos, o
que é feito a seguir.
Definição 5 - Dado um conjunto parcialmente ordenado K mediante uma relação de ordem ≤ e um
subconjunto A não-vazio de K, então L ∈ K é um limitante superior de A se, para todo x ∈ A,
então x ≤ L.
9
Exemplo 1: considere um subconjunto de R (um intervalo) dado por [1, 2] = {x ∈ R | 1 ≤ x ≤ 2}. Um limitante superior dele é qualquer elemento de L ∈ R tal que 2 ≤ L.
Exemplo 2: considere um subconjunto de R dado pelo intervalo aberto ]−1,
√
Um limitante superior dele é qualquer elemento de L ∈ R tal que 2 ≤ L.
√
√ 2[= x ∈ R | − 1 < x < 2 .
subconjunto A não-vazio de K, então L ∈ K é um supremo de A se ele for o menor limitante superior
de A.
Exemplo 3: dado o intervalo [1, 2] ⊂ R, o seu supremo é o número 2.
Exemplo 4: dado o intervalo ] − 1,
√
2[⊂ R, o seu supremo é o número
√
2.
subconjunto A não-vazio de K, então L ∈ K é um máximo de A se ele for um limitante superior de
A e L ∈ A.
Exemplo 5: dado o intervalo [1, 2] ⊂ R, 2 é o seu máximo.
Exemplo 6: o intervalo ] − 1,
√
2[⊂ R não tem máximo.
De modo semelhante, podemos definir os conceitos análogos de limitante inferior, ı́nfimo e mı́nimo, o que é
feito nas definições a seguir.
subconjunto A não-vazio de K, então ℓ ∈ K é um limitante inferior de A se, para todo x ∈ A, então
ℓ ≤ x.
subconjunto A não-vazio de K, então ℓ ∈ K é um ı́nfimo de A se ele for o maior limitante inferior de
A.
subconjunto A não-vazio de K, então ℓ ∈ K é um mı́nimo de A se ele for um limitante inferior de A
e ℓ ∈ A.
d) Corpo ordenado completo
Como já vimos, tanto o corpo dos números racionais Q quanto o corpo dos números reais R são corpos
ordenados. Para diferenciá-los, precisamos definir uma outra classe de corpos ordenados, que será definida a
seguir.
10
Definição 11 - Um corpo ordenado K é um corpo ordenado completo se ele satisfizer o chamado
axioma do supremo, que diz que todo subconjunto A ∈ K não-vazio e limitado superiormente admite
um supremo.
Exemplo 1: o conjunto dos números racionais munido da soma e do produto usuais, não é um corpo ordenado completo.
Para√mostrar
isto, basta um contra-exemplo: consideremos o subconjunto de Q dado por
A = x ∈ Q | x ≤ 2 . Tal subconjunto é limitado superiormente (por exemplo, pelo número 2 ∈ Q), mas
√
não possui supremo, pois ele seria dado pelo número irracional 2.
Na verdade, o conceito de corpo ordenado completo limita bastante o tipo de conjunto que satisfaz as
condições dessa definição. Nós assumiremos que existe um corpo ordenado completo e que esse corpo é dado
pelo conjunto dos números reais munido das operações de soma e de produto e da relação de ordem total ≤.
e) Postulado de Cantor-Dedekind
Seguem agora três teoremas importantes na determinação de uma propriedade interessante dos números
reais e que é relacionada ao conceito de limite. Começamos mostrando que o conjunto dos números naturais,
N, não é limitado superiormente mas é limitado inferiormente pelo número 0.
Teorema 1 - O conjunto N dos números naturais não é limitado superiormente.
Demonstração: vamos provar esse teorema por absurdo. Vamos supor que N seja limitado superiormente. Isto
implica que existe um ponto c = sup N. Sendo assim, c é a menor das cotas superiores de N, de modo que c − 1 não
pode ser cota superior desse conjunto.
Se este for o caso, existe um n ∈ N tal que c − 1 < n ⇔ c < n + 1, de modo que c não pode ser cota superior de
N. Isto é uma contradição que mostra que a hipótese está errada e que N não pode ser limitado superiormente.
Teorema 2 - O ı́nfimo do conjunto X =
1
n
; n ∈ N é igual a 0.
Demonstração: temos que provar que 0 é a maior das cotas inferiores de X. Levando em conta que
X=
1 1 1
1, , , , · · · ,
2 3 4
0 é uma cota inferior desse conjunto. Resta provar que ele é a maior das cotas inferiores.
Tomando um c > 0, vamos mostrar que ele não pode ser cota inferior de X. Se o fosse, isto implicaria que c < n1
para qualquer n ∈ N. No entanto, c < n1 ⇔ 1c > n para todo n ∈ N. Isto contradiz o teorema 7, que diz que o
conjunto N não é limitado superiormente. Portanto, 0 é a maior das cotas inferiores de X e, portanto, é o seu ı́nfimo.
O teorema a seguir auxilia na demonstração do teorema 4, dos intervalos encaixantes.
Teorema 3 - Dados dois números a, b ∈ R+ , onde R+ = {x ∈ R | x ≥ 0}, existe um n ∈ N tal que
n · a > b.
Demonstração: se N não é limitado, então sempre podemos obter um n ∈ N tal que n >
a > 0. Isto prova o teorema.
b
a
⇔ n · a > b, pois
Consideremos agora a reta dos reais. Nessa reta, escolhemos alguns números a1 , a2 , · · · , an , · · · e outros
números b1 , b2 , · · · , bn , · · · de modo que a1 ≤ a2 ≤ a3 ≤ · · · ≤ b3 ≤ b2 ≤ b1 .
[
a1
[
a2
···
[
an−1
[
]
an · · · bn
11
]
bn−1
···
]
b2
]
b1
Podemos construir com esses números os seguintes intervalos: I1 = [a1 , b1 ], I2 = [a2 , b2 ], · · · , In = [an , bn ] e
assim por diante, sendo cada intervalo menor que o outro. Se prosseguimos indefinidamente, a intuição nos diz
que acabaremos chegando a um intervalo de comprimento zero que se reduz a um único número real.
Na verdade, podemos usar√esses intervalos encaixantes para definir um número real qualquer. Por exemplo,
podemos dizer que o número 2 é o limite dos intervalos encaixantes
I1 = [1, 2] , I2 = [1, 4 , 1, 5] , I3 = [1, 41 , 1, 42] , I4 = [1, 414 , 1, 415] , · · · .
De modo semelhante, o número 0 pode ser definido como o limite infinito dos intervalos encaixantes
1 1
1 1
1 1
I1 = [−1, 1] , I2 = − ,
, I3 = − ,
, I4 = − ,
, ··· .
2 2
3 3
4 4
O teorema a seguir estabelece essa idéia intuitiva de forma rigorosa.
Teorema 4 - Dada uma seqüência I1 = [a1 , b1 ], I2 = [a2 , b2 ], · · · , In = [an , bn ], · · · , tal que
I1 ⊃ I2 ⊃ I3 ⊃ · · · ⊃ In ⊃ · · · ,
então existe pelo menos um número c tal que c ∈ In para todo n ∈ N.
Demonstração: o fato de um intervalo conter o outro significa que a1 ≤ a2 ≤ a3 ≤ · · · ≤ b3 ≤ b2 ≤ b1 .
Sendo assim, o conjunto A = {a1 , a2 , · · · , an , · · · } é limitado superiormente. Vamos chamar de c o supremo de A
(c = sup A), de modo que an ≤ c para todo n ∈ N. Como qualquer bn é cota superior de A, então c ≤ bn para todo
n ∈ N. Portanto, an ≤ c ≤ bn para todo n ∈ N, de modo que c ∈ In para todo n ∈ N, o que prova o teorema.
O modo como os intervalos encaixantes foram montados indica que o intervalo In aproxima-se cada vez
mais de zero conforme n tende a infinito, ou seja, quando n vai para o infinito, an = bn . Isto nos leva a intuir
que, quando n vai para o infinito, haverá um único número c ∈ [a, b] tal que an = c quando n vai para o
infinito e bn = c quando n vai para o infinito. No entanto, esta afirmação não pode ser provada, porque ela
não é necessariamente verdadeira, e é dada como um postulado (uma regra que se aceita sem provas) para o
conjunto dos números reais. Portanto, para números reais, vale que an = bn = c quando n vai para o infinito.
Postulado de Cantor-Dedekind - Dada uma seqüência de intervalos encaixantes · · · ⊂ In ⊂ · · · ⊂ I1 ,
onde In = [an , bn ] tais que an = bn quando n vai para o infinito, então existe somente um ponto c tal que
c ∈ In para todo n ∈ N.
Note que o que foi provado pelo teorema 4 é que haveria pelo menos um ponto c tal que c ∈ In para todo
n ∈ N. É outra coisa afirmar que só existe um ponto com tal propriedade.
Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor (1845-1918): grande matemático russo. Nasceu em São Petersburgo,
Rússia, e mudou-se com sua famı́lia para a Alemanha quando tinha 11 anos de idade. Lá estudou filosofia, fı́sica
e matemática. Aos 27 anos interessou-se pela idéia de infinito. Trabalhou com conjuntos infinitos e criou a teoria
dos conjuntos. Em seus estudos, criou uma hierarquia para os vários tipos de infinito e foi o primeiro a introduzir
a idéia de números transfinitos.
Julius Wilhelm Richard Dedekind (1831-1916): Richard Dedekind nasceu na cidade de Bruswick, na época
parte do condado de Braunschweig, na atual Alemanha. Seus primeiros interesses foram as ciências naturais, mas
ele logo se decepcionou com a falta que elas tinham de uma estrutura lógica adequada. Sua atenção voltou-se, então
à matemática. Estudou com grandes nomes na Universidade de Göttingen e acabou por ensinar no mesmo colégio
em que seu pai havia sido professor, em sua cidade natal, onde residiu com uma irmã, sendo ambos solteiros, até
a sua morte. Quando ensinava Cálculo Diferencial e Integral, sentiu que não havia uma definição rigorosa do que
é um número real e inventou o chamado corte de Dedekind, pelo qual definia rigorosamente números racionais e
números irracionais. Dedekind também fez muitas contribuições a diversas outras áreas da matemática e a clareza
de suas demonstrações influenciou gerações de matemáticos.
12
13
Leitura Complementar 1.1.2 - Espaços vetoriais
Um espaço vetorial é um conjunto V munido de uma operação de soma e de uma operação de produto por
um escalar, onde o escalar é um elemento pertencente a um determinado corpo K. Por isso, dizemos que o
espaço vetorial é um conjunto V sobre um corpo K. Para que V seja um espaço vetorial, é preciso que, se u e
v pertencerem a V , então u + v e αu também pertençam a V , onde α ∈ K. Uma definição mais completa de
um espaço vetorial é dada a seguir.
Definição 2 - Um conjunto V sobre um corpo K é um espaço vetorial munido de operações de soma
e produto por um escalar se ele tiver as seguintes propriedades.
Propriedades da soma: para quaisquer elementos u, v e w pertencentes a V , temos
S1) u + v ∈ V (o conjunto V é fechado quanto à soma);
S2) u + v = v + u (comutativa);
S3) (u + v) + w = u + (v + w) (associativa);
S4) ∃ 0 ∈ V tal que v + 0 = v (existência do elemento neutro);
S5) para qualquer v ∈ V , existe um −v ∈ V tal que (−v) + v = 0 (existência de elementos inversos).
Propriedades do produto por um escalar: para quaisquer elementos u e v pertencentes a V e
α ∈ K, temos
P1) αu ∈ V (o conjunto V é fechado quanto ao produto por um escalar);
P2) α(βv) = (αβ)v (associativa);
P3) para o elemento 1 ∈ K, 1 · u = u (existência do elemento neutro).
Propriedades mistas: para quaisquer elementos u e v pertencentes a V e α ∈ K, temos
M1) α(u + v) = αu + αv (distributiva da soma com relação ao produto por um escalar);
M2) (α + β)v = αv + βv (distributiva do produto por um escalar com relação à soma).
As propriedades da soma são internas ao conjunto V . Já as operações envolvendo o produto por um escalar
são externas a V , pois envolvem também o corpo K dos escalares. Vamos parar por aqui e explorar melhor
esta definição no próximo capı́tulo.
Os elementos de um espaço vetorial, em analogia com o espaço dos vetores, são chamados de vetores. De
acordo com a definição 1, um espaço vetorial tem que ter um vetor nulo, que é o elemento neutro quanto à
soma, e que representaremos por 0. Já o elemento neutro quanto ao produto entre vetores não é necessário à
construção de um espaço vetorial. Tentemos montar o menor espaço vetorial possı́vel considerando o conjunto
cujo único elemento é o vetor 0: {0}. Apesar desse conjunto não ser um corpo, ele é um espaço vetorial definido
sobre R, pois 0 + 0 = 0, que pertence a {0}, e α · 0 = 0 pertence a {0} para qualquer α ∈ R. Além disso,
o elemento único desse conjunto apresenta todas as propriedades de um espaço vetorial, como é mostrado a
seguir.
Exemplo 1: verifique se o conjunto {0} sobre o corpo R, onde a operação de soma é definida por 0 + 0 = 0
e o produto por um elemento de R (produto por um escalar) é dado por α · 0 = 0 é um espaço vetorial.
Solução: para que {0} sobre R seja um espaço vetorial, temos que mostar que esse conjunto satisfaz todas as
propriedades necessárias.
• Propriedades da soma: para todo elemento 0 ∈ {0}, temos
S1) 0 + 0 = 0 ∈ {0} (fechado quanto à soma);
S2) 0 + 0 = 0 + 0 (comutativa);
S3) 0 + (0 + 0) = 0 + 0 = (0 + 0) + 0 (associativa);
14
S4) existe 0 ∈ {0} tal que 0 + 0 = 0 (elemento neutro);
S5) para todo 0 ∈ {0} existe um −0 = 0 ∈ {0} tal que −0 + 0 = 0 (elemento inverso).
• Propriedades do produto: para 0 ∈ {0} e para qualquer elemento α ∈ R, temos
P1) α · 0 = 0 ∈ {0} (fechado quanto ao produto por um escalar);
P2) α(β · 0) = α · 0 = 0 = β · 0 = β(α · 0) (associativa);
P3) para 1 ∈ R, 1 · 0 = 0 (elemento neutro).
• Propriedades mistas: para 0 ∈ {0} e para quaisquer α, β ∈ R, temos
M1) α(0 + 0) = α · 0 = 0 = 0 + 0 = α · 0 + α · 0 (distributiva da soma com relação ao produto por um escalar);
M2) (α + β)0 = 0 = 0 + 0 = α · 0 + β · 0 (distributiva do produto por um escalar com relação à soma).
Portanto, {0} sobre R é um espaço vetorial.
Podemos, agora, considerar o conjunto {0, 1} com as operações-padrão de soma e produto por um escalar e
verificar se ele é um espaço vetorial. Isto não é verdade, pois 1 + 1 = 2 6∈ {0, 1}. Do mesmo modo, o conjunto
{−1, 0, 1} também não é um espaço vetorial.
O conjunto N = {0, 1, 2, · · · } dos números naturais não é um espaço vetorial, pois não tem um elemento
inverso quanto à soma para todos os seus elementos. Já o conjunto Z = {· · · , −2, −1, 0, 1, 2, · · · } dos números
inteiros, que tem um elemento inverso quanto à soma para qualquer um de seus elementos, não é um espaço
vetorial se ele for definido sobre o corpo R dos reais, pois, por exemplo, 21 · 1, onde 21 ∈ R e 1 ∈ Z, não pertence
a Z, de modo que ele não é fechado com relação ao produto escalar. Mesmo que o produto escalar seja definido
sobre o corpo Q dos números racionais, o conjunto Z não será fechado quanto ao produto por um escalar. Como
Z não é um corpo, não podemos definir Z sobre Z.
Já o conjunto Q, quando definido sobre ele mesmo como corpo, é um espaço vetorial, pois ele satisfaz todas
as propriedades necessárias para tal. Isto pode ser visto analisando as propriedades de um corpo. Da mesma
forma, o conjunto R sobre R também é um espaço vetorial.
Também podemos dizer que R2 é um espaço vetorial quando definido sobre o corpo R, o que é demonstrado
a seguir.
Exemplo 2: verifique se o conjunto dos pares ordenados, R2 = {(x1 , x2 ) | x1 , x2 ∈ R}, sobre o corpo R, é
um espaço vetorial, onde a operação de soma é definida por (a1 , a2 ) + (b1 , b2 ) = (a1 + b1 , a2 + b2 ) e o produto
por um elemento de R (produto por um escalar) é dado por α(a1 , a2 ) = (αa1 , αa2 ).
Solução: para que R2 sobre R seja um espaço vetorial, temos que mostrar que esse conjunto satisfaz todas as
propriedades necessárias.
• Propriedades da soma: para quaisquer elementos a, b, c ∈ R2 , temos
S1) a + b = (a1 , a2 ) + (b1 , b2 ) = (a1 + b1 , a2 + b2 ) ∈ R2 (fechado quanto à soma);
S2) a + b = (a1 , a2 ) + (b1 , b2 ) = (a1 + b1 , a2 + b2 ) = (b1 + a1 , b2 + a2 ) = (b1 , b2 ) + (a1 , a2 ) = b + a (comutativa);
S3) a + (b + c) = (a1 , a2 ) + [(b1 , b2 ) + (c1 , c2 )] = (a1 , a2 ) + (b1 + c1 , b2 + c2 ) = (a1 + b1 + c1 , a2 + b2 + c2 ) =
= (a1 + b1 , a2 + b2 ) + (c1 , c2 ) = [(a1 , a2 ) + (b1 , c2 )] + (c1 , c2 ) = (a + b) + c (associativa);
S4) existe o par ordenado 0 = (0, 0) tal que, para qualquer a ∈ R2 , 0 + a = a (elemento neutro);
S5) para todo a = (a1 , a2 ) existe um −a = (−a1 , −a2 ) tal que (−a) + a = (−a1 + a1 , −a2 + a2 ) = (0, 0) = 0
(elemento inverso).
• Propriedades do produto: para quaisquer elementos a, b ∈ R2 e para quaisquer elementos α, β ∈ R, temos
P1) αa = α(a1 , a2 ) = (αa1 , αa2 ) ∈ R2 (fechado quanto ao produto por um escalar);
P2) α(βa) = α(βa1 , βa2 ) = (αβa1 , αβa2 ) = (αβ)(a1 , a2 ) = (αβ)a (associativa) ;
P3) para o número 1 ∈ R, 1 · a = 1 · (a1 , a2 ) = (a1 , a2 ) = a (elemento neutro).
• Propriedades mistas: para quaisquer a, b ∈ R2 e α, β ∈ R, temos
M1) α(a + b) = α(a1 + b1 , a2 + b2 ) = (α(a1 + b1 ), α(a2 + b2 )) = (αa1 + αb1 , αa2 + αb2 ) = (αa1 , αa2 ) + (αb1 , αb2 ) =
= αa + αb (distributiva da soma com relação ao produto escalar);
M2) (α + β)a = ((α + β)a1 , (α + β)a2 ) = (αa1 + βa1 , αa2 + βa2 ) = (αa1 , αa2 ) + (βa1 , βa2 ) = αa + βa (distributiva
do produto escalar com relação à soma).
Portanto, R2 sobre R é um espaço vetorial.
15
Leitura Complementar 1.1.3 - Vetores
Esta leitura complementar tem o propósito de dar uma definição mais geométrica e formal de um vetor.
Primeiro, é importante perceber que algumas medidas podem ser determinadas completamente por um número
(também chamado de escalar), como por exemplo a quantidade de dinheiro em uma conta corrente ou o número
de pessoas em uma quadra de esportes, ou a massa de um corpo. Outras medidas necessitam de mais do que
isso, como por exemplo a velocidade de um automóvel e a força exercida sobre um bloco. Ambas não são
bem definidas a não ser que se indique a sua intensidade (um escalar), sua direção e seu sentido. Essas tr es
caracterı́sticas são próprias de um objeto que chamamos de vetor. Para dar uma ideia mais rigorosa do que
são tais objetos, temos, primeiro, que fazer algumas outras definições.
a) Reta orientada e segmento orientado
Uma reta orientada, ou eixo é uma reta em que se adota um sentido.
Devemos lembar que uma reta é, por definição, infinita.
Um segmento orientado é um pedaço de uma reta orientada, definido
por dois pontos, A e B, sendo A a origem e B a extremidade do segmento
orientado. Tal segmento orientado é designado AB.
Um segmento orientado AB é um pedaço de reta que está preso entre
os pontos A e B e não pode ser movido para outro lugar no espaço. Esta
é uma caracterı́stica que terá que ser removida na definição de vetores.
A
Estabelecida uma unidade de medida, o módulo (ou medida) de um
segmento orientado é o comprimento desse segmento segundo aquela
unidade de medida. O módulo de um segmento orientado AB é indicado
por AB.
A
b
B
b
B
b
b
AB
b
Exemplo 1: o segmento orientado AB ao lado pode ser medido
como tendo módulo AB = 5, 08 cm ou AB = 2′′ , dependendo se a unidade adotada é o centı́metro ou a polegada.
A
B
b
Dois segmentos orientados AB e CD têm o mesmo módulo se AB = CD.
Exemplo 2: o segmento orientado AB tem módulo
AB = 3 cm e o segmento orientado CD tem o
mesmo módulo, CD = 3 cm.
b
A
B
C
b
b
b
D
A direção de um segmento orientado é a orientação deste no espaço. Dois segmentos orientados AB e CD
têm a mesma direção se as retas sobre as quais eles se baseiam são paralelas.
Exemplo 3: os segmentos orientados AB, CD e EF têm a mesma direção.
b
B
D
b
b
A
b
C
b
F
b
E
16
Exemplo 4: os segmentos orientados M N , OP e QR não têm a mesma direção.
b
M
N
Q
b
O
b
b
b
P
R
b
Uma vez estabelecida uma direção, um segmento orientado pode ter dois sentidos.
Exemplo 5: os segmentos AB e CD têm o
mesmo sentido.
Exemplo6: os segmentos EF e GH têm
sentidos opostos.
F
G
b
B
b
D
b
b
A
E
C
b
b
H
b
b
Exemplo 7: os segmentos IJ e KL não têm a mesma direção. Portanto, não podemos comparar os seus
sentidos.
b
I
J
K
b
b
b
L
Dois segmentos orientados são equipolentes se eles tiverem o mesmo módulo, a mesma direção e o mesmo
sentido. Dados dois segmentos orientados AB e CD equipolentes, escrevemos AB ∼ CD.
Exemplo 8: AB ∼ CD.
B
b
A
C
b
D
b
b
J
b
b
L
b
b
E
Exemplo 10: IJ 6∼ KL, pois estes não têm
o mesmo sentido.
I
Exemplo9: EF 6∼ GH, pois estes não têm
o mesmo módulo.
F
H
b
b
G
b
b
Exemplo11: M N 6∼ OP , pois estes não têm
a mesma direção.
K
N
b
M
b
P
b
b
O
b) Vetores
Um segmento orientado está preso a um determinado local do espaço. Para que possamos definir conceitos
como a soma, precisamos de objetos que não estejam fixados. A definição a seguir, baseada em segmentos de
reta orientados, consegue fazer isto definindo um novo objeto: o vetor.
17
−
−
→
Dado um segmento orientado AB, o vetor AB é o conjunto de todos os
segmentos orientados equipolentes a AB, isto é,
−
−→
AB = {XY | XY ∼ AB}.
Portanto, um vetor é um conjunto de infinitos segmentos orientados, todos com
mesmo módulo, direção e sentido. Esses segmentos orientados encontramse espalhados por todo o espaço. Vetores não devem ser confundidos com
segmentos orientados, que ocupam um lugar especı́fico no espaço.
−
−→
−
−→
Um vetor AB pode ser representado por qualquer elemento AB ∈ AB
(lembre-se que um vetor é um conjunto). Desta forma, dado qualquer ponto
do espaço, podemos representar um vetor escolhendo um segmento orientado
pertencente a ele que tenha sua origem naquele ponto. Esta liberdade de
B
escolha de representação é o que possibilita a imensa variedade de operações
e aplicações dos vetores, como veremos em breve.
A
−
−→
O módulo de um vetor, designado |AB|, é o módulo de qualquer um de seus segmentos orientados. De
modo semelhante, a direção e o sentido de um vetor são a direção e o sentido de qualquer um de seus segmentos
orientados.
Vetores no plano podem ser representados como setas partindo da origem em um gráfico de eixos cartesianos,
como mostrado no texto principal deste capı́tulo. Com isto, terminamos nossa definição de vetores.
b
b
18
Leitura Complementar 1.1.4 - Coordenadas polares
Uma forma de determinar um ponto no plano é por meio de um par ordenado (x0 , y0 ), onde x0 é a coordenada
do ponto sobre o eixo x e y0 é a coordenada do ponto no eixo y, sendo que ambos os eixos fazem um ângulo de
90o entre eles (primeira figura a seguir). Este é o chamado sistema de coordenadas cartesianas. No entanto,
há outras formas de determinar a posição de um ponto no plano. Uma delas, muito utilizada pela astronomia
e pelos militares, são as coordenadas polares. Nesse tipo de coordenadas, um ponto no plano é determinado
por duas coordenadas (segunda figura a seguir): a primeira é o raio, que é a distância desse ponto à origem; a
segunda é o seu ângulo com relação ao eixo x. Portanto, a posição de um ponto em um sistema de coordenadas
polares também é dada por um par ordenado (r, θ), onde r é o raio e θ é o ângulo.
y
y
y0
b
b
r
θ
x
x
x0
Exemplo 1: posicione em um gráfico o ponto
de coordenadas polares (r, θ) = (2, 30o ).
y
Solução:
Exemplo 2: posicione em um gráfico o ponto
de coordenadas polares (r, θ) = (1, 135o ).
y
Solução:
b
2
b
30o
x
1
135o
x
Usando um pouco de trigonometria, podemos estabelecer uma relação entre o sistema de coordenadas cartesiano e o sistema de coordenadas polares. Considerando a primeira figura a seguir, que representa graficamente
a posição de um ponto de coordenadas cartesianas (x, y) e de coordenadas polares (r, θ), observa-se que podemos
extrair dela um triângulo retângulo de lados x e y e de hipotenusa r (segunda figura a seguir).
y
y
b
r
r
θ
x
x
y
θ
x
·
Usando a definição do cosseno do ângulo θ, temos
cos θ =
x
⇔ r cos θ = x ⇔ x = r cos θ .
r
Portanto, conhecendo θ e v, podemos calcular x. De forma semelhante, usando a definição do seno do ângulo
19
θ, temos
y
⇔ r sen θ = y ⇔ y = r sen θ .
r
Assim, pudemos calcular as componentes do vetor sabendo o seu módulo e o seu ângulo de inclinação. A seguir,
mostramos alguns exemplos de cálculo desse tipo.
sen θ =
Exemplo 1: escreva o ponto de coordenadas polares (3, 60o ) em termos de coordenadas cartesianas.
Solução: x = r cos θ = 3 cos 60o = 3 ·
√
√
3
3 3
3
1
= ; y = r sen θ = 3 sen 60o = 3 ·
=
.
2
3
2
2
Exemplo 2: escreva o ponto de coordenadas polares (2, −45o ) em termos de coordenadas cartesianas.
Solução: x = r cos θ = 2 cos (−45o ) = 2 ·
√
2 √
2 √
= 2 ; y = r sen θ = 2 sen (−45o) = 2 ·
= 2.
2
2
√
O caminho inverso pode ser feito escrevendo pontos com coordenadas cartesianas em termos de coordenadas
polares. Começamos escrevendo
x2 + y 2 = r 2 cos 2 θ + r 2 sen 2 θ = r 2 ( cos 2 θ + sen 2 θ) .
Usando a identidade trigonométrica cos 2 θ + sen 2 θ = 1, ficamos com
x2 + y 2 = r 2 ⇔ r =
p
x2 + y 2 ,
pois r só pode ser positivo.
Dividindo as expressões x = r cos θ e y = r sen θ uma pela outra, obtemos
r sen θ
y
sen θ
y
y
=
⇔ =
⇔ = tg θ .
x
r cos θ
x
cos θ
x
Podemos isolar o ângulo θ utilizando a função inversa da tangente, a função arcotangente:
θ = arctg
y
.
x
Exemplo 3: escreva o ponto de coordenadas cartesianas (1, −1) em termos de coordenadas polares.
p
√
√
−1
y
2
2
= arctg (−1) = −45o .
Solução: r = x + y = 1 + 1 = 2 ; θ = arctg = arctg
x
1
Exemplo 4: escreva o ponto de coordenadas cartesianas (2, 4) em termos de coordenadas polares.
Solução: r =
√
p
√
√
√
y
4
x2 + y 2 = 4 + 16 = 20 = 22 · 5 = 2 5 ; θ = arctg = arctg
= arctg 2 ≈ 63o .
x
2
20
Exercı́cios - Capı́tulo 1.1
Nı́vel 1
Espaço R2
Exemplo 1: represente o elemento (2, −1) do R2 em no plano cartesiano.
y
Solução:
x
0
1
2
b
−1
E1) Represente os seguintes elementos do R2 no plano cartesiano.
a) (2, 3). b) (−2, 1). c) (2, 0). d) (−1, −2).
Exemplo 2: represente vetorialmente o elemento (2, −1) do R2 no plano cartesiano.
y
Solução:
x
0
1
2
−1
E2) Represente vetorialmente os elementos do R2 do exercı́cio E1 no plano cartesiano.
Exemplo 3: determine o elemento do R2 representado vetorialmente abaixo.
y
2
1
0
1
2
x
3
Solução: (3, 2).
E3) Escreva os elementos do R2 representados vetorialmente abaixo.
y
y
b)
a)
x
1
0
x
0
y
c)
1
2
−1
1
2
3
x
−2
−1
0
−1
21
Soma
Exemplo 4: faça a soma dos elementos (−1, 2) e (3, 5) do R2 .
Solução: (−1, 2) + (3, 5) = (−1 + 3, 2 + 5) = (2, 7).
E4) Calcule as seguintes somas de elementos do R2 .
a) (1, 4) + (3, 2). b) (−1, 6) + (4, 6). c) (−2, 4) + (2, −4).
Produto por um escalar
Exemplo 5: faça o produto do elemento (−3, 4) do R2 pelo número real 3.
Solução: 3(−3, 4) = (3 · (−3), 3 · 4) = (−9, 12).
E5) Calcule as produtos dos elementos do R2 dados pelos escalares dados.
a) (1, 3) ∈ R2 por 2 ∈ R. b) (−2, 4) ∈ R2 por −3 ∈ R. c) (2, 6) ∈ R2 por
√
3 ∈ R.
Exemplo 6: dados os elementos (−3, 4) e (2, −1) do R2 , calcule 3(−3, 4) − 2(2, −1).
Solução: 3(−3, 4) − 2(2, −1) = (−9, 12) − (4, −2) = (−13, 14).
E6) Efetue as seguintes operações:
a) 3(−1, 2) + 4(2, 3). b) −1(3, 5) + 4(0, 6). c) (−1, 3) + 4(2, 5) − 2(3, 1).
Nı́vel 2
E1) Encontre os valores de α e β tais que α(1, −2) + β(3, −1) = (−1, −1).
E2) (Leitura Complementar 1.1.4) Um elemento do R2 é dado, em coordenadas polares, por (r, θ) = (4, 30o ).
Calcule esse elemento em coordenadas cartesianas.
E3) (Leitura Complementar 1.1.4) Um elemento do R2 é dado, em coordenadas cartesianas, por (x, y) = (4, 4).
Calcule esse elemento em coordenadas polares.
Nı́vel 3
E1) Dado o triângulo ABC abaixo, onde M é o ponto médio do lado AC e N é o ponto médio do lado BC,
prove que M N é paralelo a AB e que o seu comprimento é metade do comprimento de AB. Use, para isso, a
notação vetorial de um ponto no plano cartesiano.
C
M
A
N
B
22
E2) Dado o triângulo ABC abaixo, onde M é o ponto médio do lado AB, mostre que o comprimento da reta
AM é igual à metade da soma dos comprimentos dos lados CA e CB. Use, para isso, a notação vetorial de um
ponto no plano cartesiano.
A
M
C
B
E3) Prove que as diagonais de um paralelogramo cortam-se ao meio. Use, para isso, a notação vetorial de um
ponto no plano cartesiano.
E4) (Leitura Complementar 1.1.1) Verifique se os seguintes conjuntos, onde são definidas as operações de soma
e de multiplicação, são corpos:
a) {−1, 0, 1}.
b) conjunto N dos números naturais.
c) conjunto Z dos números inteiros.
d) conjunto Q dos números racionais.
E5) (Leitura Complementar 1.1.2) Verifique se os seguintes conjuntos, onde são definidas as operações de soma
e de produto por um escalar (onde o escalar pertence ao conjunto dos números reais), são espaços vetoriais:
a) {0, 1}.
b) conjunto de todos os polinômios de grau ≤ n: pn (x) = {a0 +a1 x+a2 x2 +· · ·+an xn | a0 , a1 , a2 , · · · , an ∈ R}.





 a11 · · · a1n

 ..

.
..
c) conjunto de todas as matrizes m × n: Mm×n =  .
|
a
,
·
·
·
,
a
∈
R
.

11
mn




am1 · · · amn
d) conjunto Q dos números racionais.
E6) (Leitura Complementar 1.1.2) Verifique se os seguintes conjuntos, com as operações de soma e multiplicação
por um escalar dadas, são espaços vetoriais.
a) Conjunto R com a soma x + y = x + ky, k ∈ R, e o produto por um escalar usual, αx = αx.
b) Conjunto R com a soma x + y = xy e o produto por um escalar αx = xα .
c) Conjunto R2 com a soma (x1 , y1 ) + (x2 , y2 ) = (x1 + kx2 , y1 + ky2 ), onde k ∈ R, e o produto por um escalar
usual, α(x1 , y1 ) = (αx1 , αy1 ).
d) Conjunto R2 com a soma usual, (x1 , y1 )+ (x2 , y2 ) = (x1 + x2 , y1 + y2 ), e o produto por um escalar α(x1 , y1 ) =
= (αx1 , 0).
e) Conjunto R2 com a soma (x1 , y1 ) + (x2 , y2 ) = (y1 + y2 , x1 + x2 ) e o produto por um escalar usual, α(x1 , y1 ) =
= (αx1 , αy1 ).
Respostas
Nı́vel 1
y
E1) a)
y
b)
b
3
b
0
−2 −1 0
x
1
2
,
y
1
2
1
c)
b
x
0
1
2
x
y
d)
−1 0
−1
b
−2
x
y
E2) a)
y
b)
3
,
y
1
2
−2 −1 0
1
0
c)
23
0
x
x
1
2
y
d)
−1 0
−1
x
−2
x
1
2
E3) a) (2, 1). b) (3, −1). c) (−2, −1).
E4) a) (4, 6). b) (3, 12). c) (0, 0).
√ √ E6) a) (5, 18). b) (−3, 19). c) (1, 21).
E5) a) (2, 6). b) (6, −12). c) 2 3, 6 3 .
Nı́vel 2
E1) α = 2 e β = −1.
√ E2) (x, y) = 2 3, 2 .
√
E3) (r, θ) = 4 2, 45o .
Nı́vel 3
−
→
−−→
−−→ 1 −
E1) Em termos vetoriais, temos que mostrar que M N = AB. Utilizando a soma de vetores, sabemos que M N =
2
−−→ −−→
−−→ 1 −→ −−→ 1 −−→
= M C + CN . Sendo M o ponto médio do lado AC e N o ponto médio do lado BC, então M C = AC e CN = CB.
2
2
−−→ 1 −→ 1 −−→ 1 −→ −−→ 1 −
−
→
Portanto, M N = AC + CB =
AC + CB = AB.
2
2
2
2
−−→ 1 −→ −−→
−−→ 1 −
−
→
E2) Em termos vetoriais, temos que mostrar que CM =
CA + CB . Sabemos que AM = AB. Pela soma de
2
2
−−→ −→ −−→ −→ 1 −−
→
−
−
→ −−→ −
−
→
−−→ −→ 1 −−→ 1 −→ 1 −→ 1 −−→
vetores, CM = CA + AM = CA + AB. Como AB = CB − BA, então CM = CA + CB − CA = CA + CB =
2
2
2
2
2
1 −→ −−→
=
CA + CB .
2
E3) Considere o paralelogramo ABCD abaixo.
D
A
C
B
−−→ 1 −→
Vamos chamar de M o ponto médio da diagonal AC e de N o ponto médio da diagonal BD. Portanto, AM = AC
2
−−→ 1 −−→
−−→ −
−
→ 1 −−→ −
−
→ 1 −−
→ −−→
→
−
−
→ 1 −−
1 −−→
e BN = BD. Sabemos, também, que AN = AB + BD = AB +
BA + AD = AB − AB + AD =
2
2
2
2
2
→ −−→
1 −
−
→ −−→
1 −→ −−→
1 −−
AB + AD =
AB + BC = AC = AM . Sendo assim, os pontos M e N coinsidem e as diagonais do paralelo=
2
2
2
gramo cortam-se ao meio.
E4) a) Não é um corpo. b) Não é um corpo. c) Não é um corpo.
d) É um corpo.
E5) a) Não é um espaço vetorial. b) é um espaço vetorial. c) é um espaço vetorial.
E6) a) Não é um espaço vetorial.
d) Não é um espaço vetorial.
d) É um espaço vetorial.
b) É um espaço vetorial. c) Não é um espaço vetorial.
e) Não é um espaço vetorial.

Cap. 1.1 – O Espaço R²

Transcrição

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