modelagem por gl de estrutura flexível

Transcrição

Tese apresentada à Divisão de Pós-Graduação do Instituto Tecnológico de Aeronáutica como
parte dos requisitos para obtenção do Título de Mestre em Ciência no Curso de Engenharia
Aeronáutica e Mecânica na Área de Mecatrônica e Dinâmica de Sistemas Aeroespaciais.
Euler Gonçalves Barbosa
Modelagem por Grafos de Ligação de Estrutura Flexível com Atuação Hidráulica
Tese aprovada em sua versão final pelos abaixo assinados.
Prof. Dr. Luiz Carlos Sandoval Góes
Orientador
Prof. Dr. Homero Santiago Maciel
Chefe da Divisão de Pós-Graduação
Campo Montenegro
São José dos Campos, SP, Brasil
2001
Composição da Banca Examinadora:
Prof. Dr. Sérgio Frascino M. De Almeida
Presidente - ITA
Prof. Dr. Luiz Carlos Sandoval Góes
Orientador - ITA
Prof. Dr. Alberto Adade Filho
ITA
Prof. Dr. Luis Gonzaga Trabasso
ITA
Prof. Dr. Ricardo Sbragio
Membro externo - CTMSP/MB
ITA
SUMÁRIO
Lista de figuras
vi
Lista de tabelas
x
Lista de símbolos e abreviaturas
xi
Sumário
xiv
Abstract
xv
Agradecimentos
xvi
Dedicatória
xvii
Capítulo I - Introdução
1
I.1 – Revisão bibliográfica
8
I.2 - Objetivos
9
Capítulo II - Introdução aos Grafos de Ligações ou Bond-Graphs
10
II.1 - Introdução
10
II.2 - Relações constitutivas generalizadas
10
II.3 - Definições básicas
11
II.4 - Elementos básicos e Tetraedro de Estado
14
II.5 - Montagens iniciais
21
II.6 - Variáveis generalizadas para os diversos sistemas
23
II.7 - Causalidade
24
II.8 - Equações de Estado
26
Capítulo III - Modelagem de Sistemas Hidráulicos
31
III.1 - Introdução
31
III.2 - Capacitância Hidráulica e Flexibilidade do Fluído Hidráulico
31
III.3 - Escoamento através de orifício
36
i
III.3.1 - Escoamento turbulento
37
III.3.2 - Escoamento turbulento representado por Grafos de Ligações
41
III.3.3 - Equação da continuidade dinâmica
41
III.3.4 - Linearização da equação de fluxo turbulento
44
III.4 - Modelo linearizado de fluxos através de orifício em Grafos de Ligações
Capítulo IV - Modelagem da Planta Hidráulica e Mancal Aerostático
47
48
IV.1 - Introdução
48
IV.2 - Descrição do sistema
48
IV.3 - Modelos dos componentes via Grafos de Ligações
49
IV.3.1 - Circuito eletrônico da servo-válvula
50
IV.3.2 - Palheta
50
IV.3.3 - Bocal e câmara de controle
51
IV.3.4 - Válvula carretel de quatro vias
52
IV.3.5 - Atuador hidráulico
53
IV.3.6 - Eixo de torção e mancal aerostático
54
IV.4 - Sistema completo não-linear
55
IV.5 - Sistema simplificado não-linear
56
IV.6 - Equações de Estado
57
IV.6.1 - Bond Graph 1: cicuito eletrônico da servo-válvula
58
IV.6.2 - Bond Graph 2: válvula bocal-palheta linearizado
61
IV.6.3 - Bond Graph 3: Válvula de quatro vias linearizada e Atuador
Hidráulico Rotativo
65
IV.6.4 - Bond Graph 4: Eixo de Torção e Mancal Aerostático
ii
69
Capítulo V - Modelagem da Estrutura Flexível (Placa) pelo Princípio de Hamilton e
Modelo BG
72
V.1 – Introdução
72
V.2 - Modelagem da Estrutura Flexível pelo Princípio de Hamilton
72
V.3 - Modelos BG
94
V.3.1 - Viga apoiada-livre na direção x
98
V.3.2 – Modelo BG das vigas livre-livre na direção y
101
V.3.3 - Modelo BG da placa flexível
111
V.4 - Equações de Estado da placa e do sistema completo
126
V.4.1 – Placa flexível – modos de translação
126
V.4.2 – Placa flexível – modos de rotação
129
V.4.3 – Placa flexível – modos flexíveis
132
V.5 - Cálculo das matrizes e freqüências naturais da placa flexível
140
V.6 - Esboço dos modos de vibrações da placa
144
Capítulo VI - Identificação Prática da Planta Hidráulica
149
VI.1 – Introdução
149
VI.2 - Analisador Dinâmico de Sinal
149
VI.3 – Ensaios em laboratório e função de transferência prática
151
VI.4 – FTMA estimada da planta hidráulica
159
VI.5 - Função de transferência analítica da planta hidráulica
163
VI.6 – Análise do Modelo Equivalente de Baixa Ordem (LOES)
da planta hidráulica
171
VI.6.1 – Cálculo da freqüência natural hidráulica e do fator de
amortecimento hidráulico
VI.7 – Equipamentos utilizados no ensaio
iii
180
183
VI.8 – Comentários e recomendações do ensaio
185
Capítulo VII - Placa flexível com planta hidráulica estimada
186
VII.1 – Introdução
186
VII.2 – Desenvolvimento das Equações de Estado
186
VII.3 – Comparações com resultados de ensaios
200
VII.4 - Comparações com resultados analíticos
201
VII.5 – Simulações no CAMP-G
204
VII.6 – Comparações com resultados de ensaios utilizando excitadores (shakers) 207
Capítulo VIII - Comentários e Conclusões
212
Capítulo IX - Recomendações e Sugestões
217
Capítulo X - Bibliografia
219
Apêndices
A1 – Dados técnicos da placa flexível
A2 – Matrizes de Estado do sistema através do BG desenvolvido
A3 – Matrizes de Estado do sistema através do BG do CAMP-G
A4 – Folhas de dados técnicos da servo-válvula
A5 – Folhas de dados técnicos do atuador hidráulico
B1 – BG do modo de translação em y e n-modos na direção x da placa, com causalidades
assinaladas
B2 – BG do modo de rotação em y e n-modos de flexão na direção x da placa, com
causalidades assinaladas
B3 – BG dos modos flexíveis da placa com causalidades assinaladas
B4 – BG do sistema completo: placa e planta hidráulica estimada
B5 – BG da planta hidráulica com o Modelo Equivalente de Baixa Ordem (LOES)
B6 – BG do sistema de controle da planta hidráulica com o modelo LOES
iv
C1 – listagem do programa Farib.ma
C2 – listagem do programa Flextor8.ma
C3 – listagem do programa Planta_h.ma
C4 – listagem do programa GsabcdBG.m
C5 – listagem do programa Hidraul.ma
C6 – listagem do programa Show_y12.m
C7 – listagem do programa Comparador.m
C8 – listagem do programa FRF_PH.m
C9 – listagem do programa BG_TESE_CAMPG.m
C10 – Listagem do programa FRF_Coerencia_Erro.m
v
LISTA DE FIGURAS
figura 1.1 – Sistema de controle de estrutura flexível (placa) com atuação hidráulica.
1
figura 1.2 - (a) Vista frontal do Sistema de Controle de Estrutura Flexível.
2
figura 1.2 - (b) Detalhe da extremidade livre da placa.
2
figura 1.3 – Detalhe da planta hidráulica.
3
figura 1.4 – Placas constituintes de aeronaves.
5
figura 1.5 – Estruturas aeronáuticas.
5
figura 1.6 (a,b) - Placas dos painéis de satélites.
6
figura 1.7 – Placas representando elementos do casco de submarinos.
6
figura 1.8 – Placas das obras vivas e obras mortas de navios.
7
figura 1.9 – Membranas de válvulas reguladoras de pressão.
7
figura 1.10 – Placas de bocais de sistemas de ventilação ou de ar condicionado central. 7
figura 2.3.1 – Porta de energia.
12
figura 2.3.2 – Representação do esforço e fluxo.
12
figura 2.3.3 – Exemplo de BG.
12
figura 2.3.4 – Sentido de transferência de energia.
13
figura 2.4.1 – Tetraedro de Estado – Sistema Generalizado.
16
figura 2.4.2 – Tetraedro de Estado do Sistema Mecânico Translacional.
16
figura 2.4.3 – Tetraedro de Estado do Sistema Mecânico Rotacional.
17
figura 2.4.4 – Tetraedro de Estado do Sistema Elétrico.
17
figura 2.4.5 – Tetraedro de Estado do Sistema Hidráulico.
18
figura 2.5.1 – Exemplo de preparação de grafos de ligação para sistema hidráulico.
21
figura 2.5.2 – Exemplo de preparação de grafos de ligação para sistema elétrico.
22
figura 2.5.3 – Exemplo de preparação de grafos de ligação para sistema mecânico.
22
figura 2.7.1 (a,b) – Causalidade para fonte de esforço e fonte de fluxo.
24
figura 2.7.2 (a,b) – Causalidade para Resistência Generalizada.
24
figura 2.8.1 – Exemplo de grafos de ligação.
27
figura 3.2.1 – Recipiente flexível com mistura de líquido e gás sob compressão.
35
figura 3.3.1.1 – Escoamento turbulento através de um orifício.
37
figura 3.3.2.1 – Escoamento turbulento.
41
figura 3.4.1 – Bond Graph de restrições hidráulicas.
47
figura 4.2.1 – Sistema para modelagem e controle de estrutura flexível.
49
figura 4.3.1.1 – Circuito eletrônico da servo-válvula.
50
vi
figura 4.3.2.1 – Palheta da servo-válvula.
51
figura 4.3.3.1 – Bocal e câmara de controle da servo-válvula.
51
figura 4.3.4.1 – Válvula carretel de quatro vias.
52
figura 4.3.4.2 – Ponte com as pressões de controle.
53
figura 4.3.5.1 - Atuador hidráulico.
54
figura 4.3.6.1 - Eixo de torção e mancal aerostático.
54
figura 4.4.1 – Bond-Graph não-linear do sistema.
55
figura 4.5.1 – Primeira simplificação, sem a placa flexível.
56
figura 4.5.2 – Grafos com as linearizações.
57
figura 4.6.1.1 - Bond-Graph 1: circuito eletrônico e palheta.
58
figura 4.6.2.1 – Bond-Graph 2: Câmaras de controle e da válvula de 4 vias.
61
figura 4.6.3.1 – Bond-Graph 3: Pressões de atuação e mancal aerostático.
65
figura 4.6.4.1 - Bond Graph 4: Eixo de Torção e mancal aerostático.
69
figura 5.2.1 – Placa flexível.
72
figura 5.2.2 – Variáveis da placa flexível.
73
figura 5.2.3 – Planos limites e médio da placa.
73
figura 5.2.4 – Deslocamentos e seção transversal da placa na direção x.
74
figura 5.2.5 – Deformação de cisalhamento.
76
figura 5.2.6 – Momentos de flexão na placa.
78
figura 5.2.7 – coordenadas curvilíneas ao longo do contorno.
87
figura 5.3.1 – Variáveis da estrutura flexível (placa).
94
figura 5.3.1.1 – Três primeiros modos de vibração de viga apoiada-livre (flexão).
101
figura 5.3.2.1 – Modos naturais de vibração da viga fexível livre-livre.
103
figura 5.3.2.2 – Três primeiros modos naturais da viga flexível livre-livre.
103
figura 5.3.2.3 - Representação BG do modo de translação de uma viga.
108
figura 5.3.2.4 - Representação BG do modo de rotação de uma viga.
109
figura 5.3.2.5 – Representação BG de uma viga flexível livre-livre.
110
figura 5.3.3.1 – BG do modo de translação da placa na direção y e n-modos na direção x.115
figura 5.3.3.2 – BG do modo de rotação em y e n-modos na direção x da placa.
119
figura 5.3.3.3 – BG dos modos elásticos da placa.
122
figura 5.3.3.4 – BG dos modos flexíveis e de corpo rígido da placa.
124
figura 5.3.3.5 – BG do sistema de controle de estrutura flexível com atuação hidráulica. 125
figura 5.6.1 - 1 o modo de FLEXÃO + translação em y: (n=1, m=1, f 11 = 4,98 [Hz])
vii
144
figura 5.6.2 - 1 o modo de FLEXÃO + rotação da TORÇÃO: (n=1, m=2, f 12 = 0,005 [Hz])144
figura 5.6.3 - 1 o modo de FLEXÃO + 1 o modo de TORÇÃO: (n=1, m=3, f 13 = 66,8 [Hz])145
figura 5.6.4 - 1 o modo de FLEXÃO + 2 o modo de TORÇÃO: (n=1, m=4, f 14 = 180 [Hz])145
figura 5.6.5 - 2o modo de FLEXÃO + translação de TORÇÃO: (n=2, m=1, f 21 = 15,9[Hz])145
figura 5.6.6 - 2 o modo de FLEXÃO + rotação de TORÇÃO: (n=2, m=2, f 22 = 6,95 [Hz]) 146
figura 5.6.7 - 2 o modo de FLEXÃO + 1 o modo de TORÇÃO: (n=2, m=3, f 23 = 73,4 [Hz])146
figura 5.6.9 - 3 o modo de FLEXÃO + translação na TORÇÃO: (n=3, m=1, f 31 = 33,2[Hz])147
figura 5.6.10 - 3 o modo de FLEXÃO + rotação de TORÇÃO: (n=3, m=2, f 32 = 33,22 [Hz])147
figura 5.6.11 - 3 o modo de FLEXÃO + 1 o modo de TORÇÃO: (n=3, m=3, f 33 = 86,04[Hz])147
figura 5.6.13 - 1 o modo de FLEXÃO + translação, rotação e 1 o modo TORÇÃO.
148
figura 5.6.14 - 1o, 2 o e 3 o modos de FLEXÃO + translação, rotação, 1 o e 2 o modos de
TORÇÃO.
148
figuras 6.3.1 - (a) Equipamento utilizado no ensaio e (b) Detalhe da planta hidráulica.
152
figura 6.3.2 – Referências das posições dos acelerômetros na placa flexível.
153
figura 6.3.3 – Esboço do sistema utilizado para o ensaio.
154
figura 6.3.4 - Sistema desacoplado.
155
figura 6.3.5 – Ganho da FTMF.
156
figura 6.3.6 – Fase da FTMF.
156
figura 6.3.7 – Função coerência da FTMF.
156
figura 6.3.8 – FRF entre
y acel 12 (t )
e o sinal de referência
r (t ) .
158
figura 6.3.9 – Diagrama de blocos de um sistema de 3ª ordem com realimentação negativa. 159
figura 6.4.1 – Diagrama de blocos da planta hidráulica.
159
figura 6.4.2 – Diagrama de blocos simplificado, com realimentação unitária.
160
figura 6.4.3 – Ganho da FRF estimada (azul) e de ensaio (verde).
162
figura 6.4.4 – Fase da FRF estimada (azul) e de ensaio (verde).
162
figura 6.4.5 – Root Locus do sistema hidráulico
figura 6.5.1 – Sistema hidráulico desacoplado.
viii
G( s) =
1
s( s + 65)(s + 753)
163
164
figura 6.5.2 – BG do sistema hidráulico.
165
figura 6.5.3 - Bond-Graph 1 (BG1) do circuito eletrônico e palheta.
165
figura 6.5.4 - Válvula bocal-palheta linearizada.
167
figura 6.5.5 - Válvula de quatro vias linearizada e atuador hidráulico rotativo.
168
figura 6.6.1 – Grafos de ligação do Modelo Equivalente de Baixa Ordem (LOES) com
sistema de controle.
171
figura 6.6.2 – Eixo do atuador hidráulico (material: aço, ρ = 7800 [kg/m3]).
175
figura 6.6.3 – FRMF da planta hidráulica estimada (LOES) – Ganho e Fase.
177
figura 6.6.4 – Ganhos das FTMFs: ensaio, estimada e generalizada.
177
figura 6.6.5 – fase das FTMFs: ensaio, estimada e generalizada.
178
figura 6.6.6 – Root-locus ou LGR da planta hidráulica estimada (LOES).
179
figura 6.6.7 – Root-locus destacando os pólos de Malha fechada da expressão 6.6.24.
179
figura 6.6.1.1 – Grafos de ligação estimado da planta hidráulica.
180
figura 6.6.1.2 – FTMA do sistema LOES.
183
figura 7.2.1 – Grafos de ligação do Sistema de Controle de Estrutura Flexível (placa) com
Atuação Hidráulica.
186
figura 7.2.2 – FRF entre a referência
r (t )
e a saída
y acel 12 (t )
no acelerômetro 12.
197
r (t )
e
y acel 12 (t )
em escala linear 0 a 90 Hz.
198
r (t )
e
y acel 12 (t )
198
figura 7.3.1 – Plot das FRF entre a saída
y acel 12 (t )
e entrada
r (t ) , prática e teórica.
200
figura 7.5.1 – Simulação no aplicativo CAMP-G.
204
figura 7.5.2 – Simulação no aplicativo CAMP-G com o Sistema de Controle.
205
figura 7.5.3 – Ganho e Fase (FTMF) via CAMP-G.
206
figura 7.5.4 – FTMF entre a saída
y acel 12 (t )
figura 7.5.5 – Detalhes da FRF entre a saída
e entrada
y acel 12 (t )
r (t )
via CAMP-G.
e entrada
r (t )
206
via CAMP-G. 207
figura 7.6.1 – FRF da placa via excitadores tipo shakers, 1 a 4, banda = 64[Hz].
208
figura 7.6.2 – FRF da placa via excitadores tipo shakers. 5 a 8, banda = 64[Hz].
208
209
209
210
figura 8.1 - Erro no estimador da coerência da figura 6.3.7.
212
ix
figura 8.2 - Erro no estimador da FRF das figuras 6.3.5 e 6.3.6.
213
figura 8.3 – Função coerência para a FRF da figura 6.3.8.
213
figura 8.4 - Erro no estimador da função coerência da figura 8.3.
213
figura 8.5 - Erro no estimador da FRF da figura 6.3.8.
214
LISTA DE TABELAS
tabela 2.6.1 – Variáveis de diversos sistemas.
23
tabela 6.3.1 – Parâmetros utilizados nos ensaios.
155
tabela 7.4.1 – Valores dos elementos modais e frequências.
202
tabela 7.4.2 – Freqüências dos modos de vibração da placa.
203
x
LISTA DE SÍMBOLOS E ABREVIATURAS
BG
Bond-Graph ou Grafos de Ligação
FTMA
Função de Transferência de Malha Aberta
FTMF
Função de Transferência de Malha Fechada
SMPM
Sistema de Medidas de Propriedades de Massa
RF
Resposta em Freqüência
FRF
Função de Resposta em Freqüência
LOES
Low Order Equivalent System (Modelo Equivalente de Baixa Ordem)
IAE
Instituto de Aeronáutica e Espaço
LGR
Lugar Geométrico das Raízes
CAMP-G
Computer Aided Modeling Program with Graphical Input
variáveis generalizadas:
e
esforço generalizado
f
fluxo generalizado
q
deslocamento generalizado
p
momento generalizado
Rg
resistência generalizada
Cg
capacitância generalizada
Ig
inertância generalizada
SE
fonte de esforço
SF
fonte de fluxo
TF
transformador
GY
girador
Bond-Graph 1:
ein
tensão elétrica de entrada
Lbob
indutância da bobina
Rbob
resistência elétrica da bobina
xi
i
corrente elétrica pela bobina
kφ
constante de transformação
Fem
força eletromagnética
xf
posição de palheta
mf
massa de palheta
kf
constante de mola atuante na palheta
bf
atrito viscoso atuante na palheta
Bond-Graph 2:
PC
pressão na câmara de controle
P3
pressão no compartimento da palheta
CH
capacitância hidráulica
R1 , R2 resistências hidráulicas simples
Av
área lateral da válvula de 4 vias tipo carretel
xv
posição do carretel
mv
posição do carretel
kv
constante de mola atuante no carretel
bv
atrito viscoso atuante no carretel
KQ
ganho de vazão do carretel
KC
ganho de pressão do carretel
Bond-Graph 3:
P1 , P2
pressões de saída controladas pela servo-válvula
CH
capacitância hidráulica
R1
restrições hidráulicas linearizadas do carretel
xv
PL
diferença de pressão nas linhas de saída controladas pela servo-válvula
QL
vazão nas linhas de saída controladas pela servo-válvula
DR
constante de transformação do atuador hidráulico
xii
τa
torque líquido oferecido pelo atuador hidráulico
θa
deslocamento angular do eixo do atuador hidráulico
Ja
momento de inércia do eixo do atuador hidráulico
ba
atrito viscoso atuante no eixo do atuador
τ tors
liq
τ atr
torque imposto ao mancal aerostático
torque de devido ao atrito viscoso
Bond-Graph 4:
k tors
constante de mola torsional
θ
deslocamento angular do mancal hemisférico
J mh
momento de inércia do mancal hemisférico
J viga
momento de inércia da viga flexível
Placa Flexível:
a
comprimento da placa
b
largura da placa
h
espessura da placa
D
rigidez da placa em flexão
E
módulo de Young
ρ
massa específica da placa
m
massa da placa por unidade de superfície
I
momento de inércia de área
τ
torque
φ
função de forma
x,y,z
coordenadas cartesianas
G ( s)
função de transferência
xiii
SUMÁRIO
Este trabalho apresenta um sistema de controle de estruturas flexíveis (placas) fazendo
uso de um torque desenvolvido por uma planta hidráulica. A estrutura flexível está montada
em um mancal hemisférico a gás, construído no ITA para medidas de propriedades de massa,
que flutua sobre um colchão de ar e gira com atrito desprezível, posicionando a placa em uma
determinada posição angular. A atuação do torque excita diversos modos de vibrações da
placa na direção longitudinal (flexão) e na direção transversal (torção), possibilitando
identificar diversos parâmetros dinâmicos das plantas hidráulica e flexível. Por outro lado, a
ação de um controlador analógico ou digital na malha de controle, permite gerar um torque
para minimizar as amplitudes máximas dessas vibrações, quando a placa estiver oscilando em
torno da posição desejada.
Seguindo os conceitos da Engenharia Mecatrônica, o modelo completo de todos os
sistemas (elétrico, mecânico translacional, mecânico rotacional, hidráulico e flexível) foi
obtido pela técnica dos grafos de ligação (Bond Graphs), de forma a ser apresentado em uma
linguagem gráfica, unificada.
Foram gravados e analisados os dados de ensaios para a identificação do sistema, para
posterior validação do modelo analítico escrito no Espaço de Estados.
Finalmente, para ressaltar, depois do uso do Princípio de Hamilton para obtenção das
equações do movimento da placa e da aplicação do método dos modos assumidos, as
equações obtidas são apresentadas na linguagem de grafos de ligação, por um modelo inédito
de placas flexíveis, útil para projetos de sistemas de controle no Espaço de Estados. Este
modelo pode ser utilizado facilmente com softwares recentes, como o “20_sim” e
“CAMP/G”.
xiv
Abstract
This work presents the control system of a flexible structure (plate) subjected to a
torque generated or developed by a hydraulic plant. The flexible structure is mounted on a
hemispherical gas bearing, manufactured at ITA for mass property measurements, which
floats on an air mattress and rotates without damping, positioning the flexible plate at the
desired angle. The actuating torque excites various natural vibration modes on longitudinal
(bending) and transversal (torsion) directions allowing the identification of several dynamics
parameters of the hydraulic and flexible plant. On the other hand, the action of an analog or
digital controller in the direct feedback can develop a control torque that minimizes the
amplitudes of vibrations, when the plate is oscillating around the desired position.
Following the principles of the Mechatronics Engineering, the complete model of the
system (electrical, mechanical translation, mechanical rotation, hydraulic and flexible
systems) was derived using the technique of Bond-Graphs.
Data from experiments were recorded and analyzed for system identification, and used
to validate the analytical model written in the form of state-space equations and transfer
functions.
In sum, after the use of the Hamilton’s Principle in the derivation of the governing
equations of motion of the plate and the application of the assumed modes method, the
resulting equations are presented in the Bond Graph language as a singular model for flexible
plates, which are useful to control system designs based on state-space equations. This model
can be readly utilized in recent softwares, like “20_sim” and “CAMP-G”.
xv
Agradecimentos
Ao Professor Dr. Luiz Carlos Sandoval Góes pelos valiosos conhecimentos, dedicação,
apoio e contribuições fundamentais para a realização deste trabalho.
Ao Engenheiro Wanderlei Cunha, do IAE (Instituto de Aeronáutica e Espaço), que além
dos primeiros incentivos, possibilitou a utilização do equipamento fruto de sua Tese de
Mestrado no ITA (SMPM – Sistema de Medição de Propriedades de Massa), fundamental
para a operacionalidade do sistema flexível utilizado.
Ao Comandante Ricardo Sbragio, do Centro Tecnológico da Marinha em São Paulo por
esclarecimentos científicos e incentivos no âmbito de Marinha do Brasil.
Ao amigo Claudinei de Castro, Técnico Mecânico do IAE, pelo apoio durante a
preparação e montagem do experimento.
Aos colegas que, durante o período de curso, sempre motivaram e compartilharam
esforços nos momentos necessários.
xvi
Dedicatória
Aos meus pais Elpídio e Expedita Barbosa (in memorian),
à minha esposa Amélia
e ao meu filho André
xvii
Capítulo I - Introdução
Neste trabalho apresentamos um sistema de controle de uma estrutura flexível (placa)
com atuação hidráulica, mostrado nas figuras que seguem, onde uma planta hidráulica
operando em malha fechada, atua no eixo de torção do mancal aerostático através de um
torque de controle.
figura 1.1 – Sistema de controle de estrutura flexível (placa) com atuação hidráulica.
1
(a)
(b)
figura 1.2 – (a) Vista frontal do Sistema de Controle de Estrutura Flexível e
(b) Detalhe da extremidade livre da placa.
Uma das extremidades da placa flexível está engastada no mancal, sendo que este flutua
sobre um colchão de ar, conforme mostram as figuras 1.1 e 1.2. A figura 1.3 apresenta a
planta hidráulica responsável pelo acionamento e torque de controle. Diversos ensaios foram
realizados para medir alguns parâmetros dinâmicos com o objetivo de validar os modelos
analíticos obtidos da modelagem via grafos de ligação.
2
figura 1.3 – Detalhe da planta hidráulica.
O avanço da tecnologia nas diversas áreas da Engenharia está proporcionando produtos
melhores e que atendem às novas necessidades da sociedade moderna. Produtos que oferecem
mais segurança (freios ABS, air-bags, piloto automático, fly-by-wire e suspensão ativa),
maior confiabilidade (robôs cirúrgicos), mais nitidez (câmaras fotográficas auto-focus e
filmadoras) e menos poluentes (injeção eletrônica de combustíveis) estão disponíveis à
sociedade com um propósito importante de agressão mínima ao meio ambiente e baixos
3
custos. Para isso, a Engenharia Simultânea ou Engenharia Concorrente [1] procura integrar as
diversas áreas para o desenvolvimento inicial desses produtos mecatrônicos.
Modelar sistemas não é uma tarefa simples, exigindo conhecimento e experiência do
projetista, sendo este muitas vezes um especialista. Por outro lado, pode-se imaginar a tarefa
ainda maior de modelar de uma só vez, sistemas elétricos, mecânicos, hidráulicos, químicos e
até mesmo sociais, para análises. Mas a natureza é generosa e prova disso é a semelhança na
dinâmica dos sistemas, que podem ser observadas nas Leis de Newton para o movimento, nas
Equações de Bernoulli para o escoamento, nas equações diferenciais que regem as oscilações
amortecidas de um circuito tanque elétrico e outros. Todos os esforços, conhecimentos e
experiências para respaldar essa generalização são bem vindas. Outro fruto que podemos
colher dessa ferramenta de generalização é transferir conhecimentos e experiências de uma
certa área para outras ou simplesmente entender mais facilmente certos efeitos dinâmicos
ou conceitos peculiares a um sistema, baseando-se nas semelhanças dinâmicas de outro
bem conhecido. Dessa forma esta técnica de generalização também pode ser definida como
um produto mecatrônico.
A modelagem de todos os sistemas deste trabalho, desde a planta hidráulica até a planta
flexível passando por circuitos elétricos e elementos mecânicos com dinâmicas próprias, é
feita usando a técnica denominada “Bond-Graph” ou “grafos de ligação”.
A estrutura flexível utilizada é uma placa, largamente utilizada em vários campos da
Engenharia e seu modelo matemático é de fundamental importância para servir de base para
projetos. Se tratarmos ainda de um produto mecatrônico, seu modelo generalizado em BG
será de grande valia pois desfrutará das facilidades e vantagens proporcionadas pela
ferramenta.
4
Dentre as aplicações associadas a este trabalho, podemos citar o controle de vibrações
elásticas das cascas ou placas constituintes das estruturas da fuselagem de aeronaves (figuras
1.4 e 1.5).
figura 1.4 – Placas constituintes de aeronaves.
figura 1.5 – Estruturas aeronáuticas.
o movimento das placas dos painéis de satélites (figuras 1.6 a,b) no momento de sua abertura,
ao chegar no curso final pode causar vibrações excessivas e indesejáveis;
5
figura 1.6 (a,b) - Placas dos painéis de satélites.
o controle das deflexões máximas admitidas nos cascos e conveses de navios (figura 1.8) e
submarinos, devido internamente, às vibrações resultantes de um impulso proveniente de
lançamento de armas (canhões, mísseis e torpedos) nos navios ou externamente, devido à
excitação de alta pressão hidrodinâmica em curto período de tempo, causada pela explosão de
mina na vizinhança de um submarino nuclear ou até mesmo pelas vibrações de alta frequência
devido a turbulência da camada limite do fluído ao escoar pelo casco (figura 1.7);
figura 1.7 – Placas representando elementos do casco de submarinos.
6
figura 1.8 – Placas das obras vivas e obras mortas de navios.
no campo da ventilação industrial e da hidráulica podemos citar as flutuações e deflexões de
membranas utilizadas em válvulas reguladoras de pressão (figura 1.9) e ruídos sonoros devido
a vibrações de placas de sistemas de ar condicionado ou de sistemas ventiladores (figura
1.10).
figura 1.9 – Membranas de válvulas reguladoras de pressão.
figura 1.10 – Placas de bocais de sistemas de ventilação ou de ar condicionado central.
7
I.1 Revisão bibliográfica
Os assuntos abordados nesse trabalho possuem excelentes referências e de imediato, o
leitor interessado em estudar a linguagem Bond Graph, deve recorrer a Karnopp (1990),
ressaltando que nos capítulos finais é apresentado o tratamento de sistemas contínuos com
seus respectivos BGs.
A modelagem de sistemas dinâmicos contínuos com a aplicação do Princípio de
Hamilton pode ser encontrado nas obras de Junkins (1993) e Brandão (1996). O modelo
matemático da placa é abordado por Geradin (1994), Szilard (1974), Meirovitch (1967) e
Brandão (1996). Recentes artigos específicos, como Fariborzi (1999) e Rajalingham (1996),
reportam análises da equação do movimento elástico de placas através de discretizações, com
exemplos de placas apoiadas em seus contornos. Barton (1951), Mindlin (1951) e Young
(1950) são leituras iniciais para o estudo de placas flexíveis, sendo o artigo de Mindlin
interessante no estudo das hipóteses das simplificações nas equações do movimento da placa.
O tratamento de aplicações de dispositivos especiais para a imposição de momentos
concentrados é abordado por Preumont (1997). Cunha (1993) descreve o projeto do mancal
aerostático, identificando características das partes integrantes e limitações quanto a sua
utilização. A simulação das equações de estado obtidas diretamente dos BGs podem ser
realizadas pelo aplicativo MATLAB e caso a simulação seja realizada com o aplicativo
CAMP-G, é recomendada a leitura em Granda (1997). Para os assuntos relativos a planta
hidráulica, elementos e servomecanismos eletro-hidráulicos, o leitor certamente deve ter em
sua biblioteca a obra de Merritt (1967) pois é indispensável. Os tópicos sobre análise de sinais
aleatórios ou randômicos utilizados pelo analisador de sinais e para estudar as FRF, são
tratados por Bendat (1986). Os estudos de sistemas de controle, a respeito de root-locus ou
LGR, Ganho e fase, são feitos por Franklin (1991) e Ogata (1998), destacando o artigo de
Smith (1998) para casos de identificação de sistemas em malha fechada. O tratamento dos
8
dados recolhidos dos ensaios são processados pelo aplicativo MATLAB e dessa forma, os
manuais “The Mathworks” são recomendados. Neste trabalho são utilizados longos cálculos
de derivadas e integrais das funções de forma (indefinidas e definidas) e demorados cálculos
de matrizes algébricas; dessa forma, um bom domínio do uso do aplicativo Mathematica é
recomendado, através de seus manuais, Wolfram (1991). Para finalizar, ressaltamos que
temos somente alguns livros sobre o estudo da solução analítica para o caso de placas
flexíveis com as condições de contorno propostas neste trabalho (apoiada-livre e livre-livre),
porém alguns resultados numéricos podem ser encontrados nas obras de Geradin (1994),
Szilard (1974) e Blévins (1979).
I.2 Objetivos
Este trabalho possui os objetivos a seguir, citados em ordem de prioridades, destinados
tanto ao desenvolvimento de modelos, sistema de controle, como de formação profissional.
• Propor um modelo em linguagem generalizada de uma planta eletro-hidráulica
típica, controlando um sistema mecânico-flexível,
• Propor um modelo na linguagem Bond-Graph (BG) de uma placa flexível,
• Validar o modelo da planta hidráulica, no Espaço de Estados gerado pelo BG,
• Validar o modelo da estrutura flexível gerado pelo Princípio de Hamilton,
• Validar o modelo BG da placa flexível (estrutura flexível), e
• Proposta de um BG do sistema como um todo, para servir de modelo de planta para
projeto de controladores, que baseiam-se principalmente em Espaço de Estados.
• Identificação prática de sistemas dinâmicos,
• Familiarização com o uso da técnica de modelagem do Bond Graph e do Princípio
de Hamilton, e
• Adquirir experiência no estudo de estruturas flexíveis e análise modal.
9
Capítulo II – Introdução aos Grafos de ligações ou Bond-Graphs
II.1 – Introdução
O Bond-Graph é uma ferramenta para modelagem de sistemas dinâmicos largamente
utilizada no mundo, pois possibilita representar em uma única linguagem generalizada, a
dinâmica dos mais variados elementos encontrados nos diversos campos da ciência. É
possível montar os grafos de ligações, seguindo alguns passos bem definidos pela ferramenta,
de maneira rápida e simples. Observando os grafos, algumas conclusões e análises
preliminares podem ser obtidas, como por exemplo a ordem do sistema, o fluxo de energia, os
esforços e os fluxos que definem as variáveis de estado, dentre outras que serão descritas ao
longo deste trabalho. A tentativa de equacionamento de um sistema dinâmico, fechando suas
fronteiras o máximo possível, exige grande experiência do projetista adquirida somente ao
longo do tempo, com resultados de sucessos e fracassos frutos das persistentes “tentativas e
erro” típicos nos trabalhos de modelagem e até mesmo em análises de sistemas de controle. A
conquista de um modelo ainda que aceitável é plausível, mas se alguma modificação interna
no sistema dinâmico for realizada, ou se estendermos levemente a fronteira do sistema em
questão, pode resultar inevitavelmente em um retrabalho. Esse árduo processo de modelagem
pode ser minimizado, no sentido de tempo empregado e erros que podem ser cometidos, e
maximizado no sentido de maior confiabilidade, clareza, visualização de causa-efeito e fácil
compreensão por outros leitores, pelo uso dessa poderosa ferramenta que passamos a
descrever.
II.2 - Relações constitutivas generalizadas
Para enfatizar e mostrar a razão do uso do “Bond-Graph” neste trabalho, são
apresentadas as equações dos diversos sistemas. A modelagem de sistemas, análise no Espaço
10
de Estados e simulação podem ser realizados utilizando as variáveis generalizadas e assim
faz-se necessário apresentar alguns conceitos e relações básicas, mostradas resumidamente
nas figuras que seguem. Iniciamos apresentando equações diferenciais lineares típicas para
diversos sistemas.
(2.2.1) (a..f)
Analisando, logo de início, as equações diferenciais acima, percebe-se de imediato a
grande semelhança matemática e dinâmica entre os sistemas. Assim, aproveitando essa
“simplicidade” da Natureza, pode-se definir uma sistemática para a modelagem de todos eles
ao mesmo tempo. Isso será apresentado nas próximas seções.
II.3 – Definições básicas
Grafos – é a linguagem utilizada, sob a forma de caracteres alfanuméricos e traços de
ligações entre elementos;
Elementos – são os “nós” dos grafos, designados por caracteres alfanuméricos.
Exemplos:
I g , C g , Rg , 1, 0, TF, GY, etc;
Portas – são pequenos segmentos, representando portas de energia, colocados ao lado
dos elementos, indicando interações entre esses elementos. São utilizadas “meiasetas” conforme mostra a figura a seguir.
11
figura 2.3.1 – Porta de energia.
é importante esclarecer e definir para a meia-seta acima, que do lado da seta
padroniza-se colocar variáveis de fluxo f (velocidade, velocidade angular, fluxo
de calor, corrente elétrica, etc) e do outro lado, coloca-se as variáveis de esforço
(força, torque, pressão, tensão elétrica, temperatura, etc):
figura 2.3.2 – Representação do esforço e fluxo.
Bonds ou ligações – são formações entre elementos com suas respectivas portas.
Bond-Graph ou grafos de ligação – é a coleção dos elementos e suas portas
representando um sistema dinâmico:
figura 2.3.3 – Exemplo de BG.
Variáveis de potência – são variáveis que representam funções escalares de uma
variável independente (t), citando por exemplo, os esforço e(t) e os fluxos f(t). A
potência P(t) é o produto escalar do esforço e fluxo:
P (t ) = e(t ). f (t )
(2.3.1)
12
o sentido dessa potência é indicado por uma “meia-seta” no grafo:
figura 2.3.4 – Sentido de transferência de energia.
na figura acima os elementos R e I recebem energia.
Momento
p (t ) e deslocamento q (t ) – são também denominadas variáveis de energia
e estão relacionadas ao esforço e ao fluxo em uma porta através das seguintes
relações:
t
p (t ) = ∫ e(t ) dt = p 0 + ∫ e(t ) dt
t
t0
(2.3.2)
onde
p 0 é o momento inicial no tempo t 0 , e
t
q (t ) = ∫ f (t ) dt = q 0 + ∫ f (t ) dt
t
t0
(2.3.3)
onde
q 0 é o deslocamento inicial no tempo t 0 , em outras palavras,
“o momento
é o esforço acumulado no intervalo de tempo considerado” e “o deslocamento é o
fluxo acumulado no intervalo de tempo considerado”, como pode-se interpretar da
integral temporal para as variáveis “
p”
e “ q ”. Podemos escrever ainda as
seguintes equações diferenciais:
d p (t )
= e(t )
dt
dp = e.dt
13
p& = e
(2.3.4)
d q(t )
= f (t )
dt
Energia – É expressa por
E (t )
dq = f dt
q& = f
(2.3.5)
e representa a energia que passa por uma porta sendo a
integral temporal:
E (t ) = ∫ P(t ) dt = ∫ e(t ) f (t ) dt
t
dp = e dt
substituindo
(2.3.6)
t
e
dq = f dt
na equação acima tem-se
respectivamente:
E (t ) = ∫ f dp
E (t ) = ∫ e dq
e
t
(2.3.7)
t
dessa forma visualizamos a razão da definição de variáveis de energia para
variáveis “
p ”e “ q ” anteriormente.
II.4 – Elementos básicos e Tetraedro de Estado
Resistência Generalizada “ Rg ”:
São elementos dissipadores de energia, como por exemplo resistores,
amortecedores, placas de orifícios ou outro componente capaz de se opor ao fluxo e
que siga uma relação estática entre o esforço e o fluxo em sua porta.
Φ (e, f ) = 0
14
e=ΦR ( f )
(não linear)
e = Rg . f
(linear)
Capacitância Generalizada “ C g ”:
São elementos armazenadores de energia, como capacitores, molas, tanques
hidráulicos ou outro componente que siga uma relação estática descrita a seguir.
q = Φ C (e)
e=
(não linear)
1
.q
Cg
(linear)
Inertância Generalizada “ I g ”:
Assim como a capacitância, a inertância generalizada também é um elemento
armazenador de energia, como indutores, massas inerciais translacionais (massas) e
rotacionais (momentos de inércia) ou outro componente que siga uma relação estática
descrita a seguir.
p =ΦI ( f )
f=
1
.p
Ig
(não linear)
(linear)
Neste momento podemos reunir todas as definições anteriores e representá-las
em um único dispositivo, conhecido como Tetraedro de Estado, mostrado a seguir.
15
f=
1
.p
Ig
q = C g .e
e=
1
.q
Cg
f = q&
e = Rg . f
p = Ig.f
e = p&
figura 2.4.1 – Tetraedro de Estado – Sistema Generalizado.
onde:
e = esforço
q = deslocamneto
f = fluxo
p = momento
R g = Resistência Generalizada;
I g = Inertância Generalizada;
C g = Capacitância Generalizada.
A seguir apresenta-se os tetraedros dos sistemas considerados neste trabalho.
v=
x = k −1 .F
1
.p
m
F=
v = x&
1
.x
k −1
F = b. v
p = m.v
figura 2.4.2 – Tetraedro de Estado do Sistema Mecânico Translacional.
16
F = p&
onde: m = massa
b = atrito
k = constante de mola
w=
θ = k t .τ
1
.p
J
τ=
w = θ&
−1
1
kt
−1
.θ
τ = B. w
p ang = J .w τ = p& ang
figura 2.4.3 – Tetraedro de Estado do Sistema Mecânico Rotacional.
onde: J = Momento de Inércia,
B = atrito
i=
q = C.e
e k t = constante de mola de torção
1
.λ
L
e=
i = q&
1
.q
C
c
figura 2.4.4 – Tetraedro de Estado do Sistema Elétrico.
17
e = Rg . i
e = λ&
e = Tensão elétrica [V]
onde: L = indutância [H]
R = Resistência elétrica [Ohm]
i = corrente elétrica [A]
C = Capacitância elétrica [F]
q = carga elétrica [C]
λ = momento magnético
Q=
P = RH . Q
Voluma = C H .P
Q = V&olume
1
. Γ press
IH
P=
Γ press = I H . Q
1
.Volume
CH
P = Γ& press
figura 2.4.5 – Tetraedro de Estado do Sistema Hidráulico.
onde: I H = Inertância hidráulica
R H = Resistência hidráulica e C H =
Capacitância hidráulica
Fontes de esforço e de fluxo “SE” e “SF”:
São elementos de uma única porta, ideais, que representam fontes de tensão,
fontes de corrente elétrica, fontes de pressão, shakers4 etc. Exemplo:
fonte de esforço
fonte de fluxo
18
Transformador “TF”:
É um elemento linear com duas portas de energia definido pelas relações:
e1 = m .e2
m . f1 = f 2
onde “m” é o módulo de transformação. Os transformadores podem representar pares
de engrenagens, transformadores elétricos, pistões hidráulicos ou outro elemento
qualquer que siga as relações acima.
Girador “GY”:
É um elemento linear com duas portas de energia definido pelas relações:
e1 = r . f 2
r . f 1 = e2
onde “r” é o módulo de giração. Os giradores podem representar giroscópios, bobinas
ou alto-falantes eletrodinâmicos, shakers ou outro componente que atenda ao modelo
generalizado acima.
Os parâmetro “m” e “r” dos transformadores e giradores, respectivamente,
podem aparecer como funções dependentes de uma variável do sistema e nesses casos,
são denominados transformadores e giradores modulados. A seguir é mostrado um
exemplo.
e 2 = (l . cos θ ) e1
19
Junção de esforço comum “0”:
Também denominada “junção fluxo” ou “junção 0”, é um elemento com três
ou mais portas de energia, onde os esforços são os mesmos para todos os elementos
em sua vizinhança. Sua representação gráfica e matemática é mostrada a seguir.
e1 = e2 = e3

 f1 + f 2 + f 3 = 0
ou por outras palavras, a soma dos fluxos que entra é igual a soma dos fluxos que
saem da junção 0. Pode representar circuitos com componentes elétricos em paralelo
onde a tensão é a mesma, conexões em “T” onde a pressão é a mesma, ou outra
situação que atenda as equações para os esforços e fluxos acima, conforme é
apresentado na seção II.5.
Junção de fluxo comum “1”:
Também denominada “junção esforço” ou “junção 1”, é um elemento com três
ou mais portas de energia, onde os fluxos são os mesmos para todos os elementos em
sua vizinhança. Sua representação gráfica e matemática é mostrada a seguir.
 f1 = f 2 = f 3

e1 + e2 + e3 = 0
ou por outras palavras, a soma dos esforços que entra é igual a soma dos esforços que
saem da junção 1. Pode representar circuitos com componentes elétricos em série onde
20
a corrente é a mesma ou situação que atenda as equações para os esforços e fluxos
acima.
II.5 – Montagens iniciais
Uma regra simples e importante na confecção de BG’s é colocar junções 0 para
cada ponto de tensão de um circuito elétrico e para cada ponto de pressão em um
sistema hidráulico. No caso de sistema mecânico coloca-se junções 1 para cada ponto
com certa velocidade. As figuras que seguem, ilustram essa regra.
figura 2.5.1 – Exemplo de preparação de grafos de ligação para sistema hidráulico.
21
figura 2.5.2 – Exemplo de preparação de grafos de ligação para sistema elétrico.
figura 2.5.3 – Exemplo de preparação de grafos de ligação para sistema mecânico.
22
II.6 – Variáveis generalizadas para os diversos sistemas
O espaço que se abre utilizando as variáveis generalizadas abrange não somente os
clássicos sistemas elétrico, mecânico translacionais, mecânico rotacional, hidráulico e
químico, como também outro que tenha um comportamento análogo com as relações
constitutivas dos elementos dinâmicos descritos anteriormente. A tabela a seguir ilustra essas
relações.
Variável
generalizada
esforço, e
Mecânico
Translacional
força F
fluxo, f
velocidade
Momento, p
momento
Energia
Hidráulico
torque τ
pressão
p
momento angular
x
ânguloθ
x
∫ v. dp
∫ ω . dpτ
x
,
pτ
pτ
tensão
i
momento de
pressão
fluxo
enlaçado
pp
λ
carga
∫ϑ P. dϑ
∫ Q. dp
pp
q
e. i
P .Q
,
e
corrente
volume ϑ
τ .ω
∫θ τ . dθ
∫ F dx
Elétrico
P
velocidade angular ω vazão Q
x&
Deslocamento, q deslocamento
potência, p = e.f F .x&
Mecânico Rotacional
∫ e. dq
,
q
p
,
∫λ i . dλ
tabela 2.6.1 – Variáveis de diversos sistemas.
Após a preparação BG do sistema estudado, todas as conclusões quanto a ordem do
sistema e levantamento das equações de estado, são transparentes e independentes do tipo de
sistema modelado. Além disso, qualquer modificação na configuração do sistema é de fácil
colocação no BG anterior e dependendo dessa modificação no BG, as modificações e
implicações serão facilmente perceptíveis no que diz respeito a equações de estados, ordem e
grau de complexidade. Ganha-se com isso confiança, tempo e custos.
23
II.7 – Causalidade
Todos os elementos básicos possuem causalidades no sentido de se definir causa e
efeito pela sua porta de energia. As fontes de esforço e de fluxo impõem como causa, esforço
e fluxo respectivamente e terão como resposta ou efeito, o fluxo e o esforço. Este efeito
evidentemente está condicionado à dinâmica do sistema ao qual a porta está conectada. A
representação nos grafos é mostrada na figura 2.7.1 a seguir.
figura 2.7.1 (a,b) – Causalidade para fonte de esforço e fonte de fluxo.
A Resistência Generalizada R é normalmente indiferente à causalidade imposta, sendo
as duas possibilidades:
figura 2.7.2 (a,b) – Causalidade para Resistência Generalizada.
As Capacitâncias e Inertâncias Generalizadas podem apresentar causalidade integral
ou derivativa:
causalidade integral:
24
1
e = .q
C
1
= ∫ . f dt
t C
1
f = .p
I
t
0
q& = f
1
= ∫ . e dt
t I
t
0
p& = e
causalidade derivativa:
f = q& =
d
d
(C.e) = Φ C (e)
dt
dt
e = p& =
d
d
(I . f ) = Φ I ( f )
dt
dt
A causalidade integral é importante para a definição das variáveis de estado e ocorre
quando o fluxo é causa para a Capacitância e quando o esforço é a causa para a Inertância. A
ordem do sistema será exatamente a contagem desses elementos com causalidade integral.
As junções 0 e 1 podem admitir as seguintes causalidades:
e 2 = e1 ,
e3 = e1
f1 = − ( f 2 + f 3 )
f 3 = f1
f 2 = f1 ,
e1 = − (e 2 + e3 )
Os transformadores e giradores admitem as causalidades:
e2 = m .e1
25
f1 = m . f 2
f2 =
1
. f1
m
e1 =
f2 =
1
. e1
r
1
f 1 = . e2
r
e2 = r . f 1
1
. e2
m
e1 = r . f 2
Na colocação de causalidade existem alguns passos iniciais simples, começando pelas
fontes e sua disseminação pelas portas e elementos, seguindo pela colocação de causalidade
integral em um determinado elemento armazenador de energia (C ou I) com sua
disseminação. Repete-se o passo anterior até preencher completamente o BG com os traços de
causalidade. Os grafos de ligação podem receber figuras de blocos representando
controladores, integradores, para facilitar ainda mais a descrição completa do sistema.
Ressaltamos que softwares recentes colocam essas causalidades automaticamente, porém
convém assimilar esses conceitos antes de aceitar as propostas de tais programas.
II.8 – Equações de Estado
As equações de Estado de um sistema dinâmico são obtidas a partir dos grafos de
ligação de maneira rápida e segura, seguindo uma sistemática simples descrita pelo exemplo a
seguir. A título de exemplo, será mostrado o motor de torque geralmente característico de
válvulas eletro-hidráulicas.
26
figura 2.8.1 – Exemplo de grafos de ligação.
Inicialmente enumerou-se todas as portas de energia e
em seguida anotou-se
causalidade para a porta 1 da fonte de esforço, causalidade integral para a porta 2 definindo e
disseminando para as portas 3 e 4. O girador “gira” a informação da porta 4 permitindo que
siga o esforço na porta 5. Em seguida a porta 7 da Inertância
I7
recebeu causalidade
integral, definindo assim completamente a junção 1 pela disseminação de fluxos iguais e
dessa forma todo o Bond-Graph. Ressalta-se que a Capacitância
C6
recebeu causalidade
integral automaticamente. Nesses elementos anotamos os respectivos esforço
q& = f
p& = e
e fluxo
em suas portas.
Desse grafo contamos os elementos armazenadores de energia com causalidade integral,
ou seja, o sistema é de 3ª ordem e suas equações de estado serão inicialmente escritas pelos
esforços nas inertâncias das portas 2 (tensão na bobina) e 7 (força inercial da massa da
palheta), seguida do fluxo da porta 6 (velocidade da palheta). O fluxo da junção 1 (corrente na
malha do circuito série) é o mesmo para as portas 1, 2, 3, 4 e é o efeito ou o resultado da
dinâmica do circuito elétrico e mecânico atuando conjuntamente.
27
Desta estrutura retiramos o conjunto de equações:
a) Fontes de esforço:
SE1= ein
(2.8.1)
b) Resistências:
e 3 = R3 f 3
e3 = Rbob i
(2.8.2)
e8 = R8 f 8
e8 = R8 x& f
(2.8.3)
b) Capacitâncias:
e6 =
1
q
C6 6
(2.8.4)
b) Inertâncias:
f2 =
1
p
I2 2
f2 =
1
λ
Lbob 2
(2.8.5)
f7 =
1
p
I7 7
f7 =
1
p
mf 7
(2.8.6)
e4 = KΦ x& f
(2.8.7)
c) Girador:
e4 = KΦ f 7
e5 = KΦ f 2
(2.8.8)
f) Somatório na junção tipo “1”:
ein − e2 − e3 − e4 = 0
(2.8.9)
e5 − e6 − e7 − e8 = 0
(2.8.10)
sabe-se que:
p& 2 = e2
p& 7 = e7
28
q& 6 = f 7
(2.8.11)
deste conjunto obtemos as equações de estado escrevendo todos os esforços
q& = f
p& = e
e fluxos
das portas dos elementos armazenadores de energia:
p& 2 = −
q&
6
p& 7 =
=
R3
K
p2 − Φ p7 + ein
I2
I7
1
p
I7
(2.8.12)
(2.8.13)
7
KΦ
R
1
p2 −
q 6 − 8 p7
I2
C6
I7
(2.8.14)
que colocadas na forma:
X& = A. X + B. u
(2.8.15)
Y = C. X + D. u
resultam em:
 R3
−
&
p
 2  I2
 q&  =  0
 6 
 p& 7   K
 Φ
 I 2
0
0
−
1
C6
KΦ
I7
1
I7
R
− 8
I7
−


  p 2  1 
 . q  +  0  e
  6    in
  p 7   0 


(2.8.16)
para a equação de saída, sabe-se que:
x& f = f 6 = q& 6
=>
x f = q6
(2.8.17)
logo
y = x
f
= q 6 = [0
1
 p2 
 
0] .  q 6 
 p 7 
29
(2.8.18)
De posse das equações de estado anterior, aplica-se a Transformada de Laplace e após
algumas manipulações algébricas encontra-se a função de transferência:
G ( s ) = C ( s I − A ) −1 B + D
(2.8.19)
que pode ser solucionada por aplicativos computacionais como o Mathematica e o MATLAB.
Outra observação importante é o fato da linguagem BG possibilitar a manipulação das
variáveis e elementos pelos termos generalizados, mas nada impede de se utilizar uma
notação respectiva do sistema.
30
Capítulo III – Modelagem de Sistemas Hidráulicos
III.1 - Introdução
No capítulo anterior, foi apresentada a linguagem dos grafos de ligação com suas regras
e princípios básicos fundamentais para o entendimento de modelos de sistemas. A partir desse
momento passamos a apresentar alguns tópicos importantes sobre sistemas hidráulicos e seus
respectivos grafos de ligação, de modo a facilitar a representação final de toda a planta
hidráulica utilizada no experimento.
III.2 - Capacitância Hidráulica e Flexibilidade do Fluído Hidráulico
Capacitância hidráulica, flexibilidade ou compressibilidade de um fluído hidráulico é
uma característica que reflete o “efeito mola” do fluído quando sujeito a um esforço de
pressão. É uma propriedade capaz de armazenar energia potencial elástica no sentido
generalizado e assim contribuir na ordem dinâmica de um sistema mecatrônico. No projeto
de um sistema de controle hidráulico essa capacitância pode determinar qual estratégia de
controle a ser seguida e assim estimar seu desempenho dinâmico. A interação deste efeito
mola com a dinâmica de uma parte mecânica produz ressonância pois há troca de energia com
a inércia de massa (inertância generalizada), ou seja, há transformações de Energia Potencial
Elástica em Energia Cinética e vice-versa analogamente a um circuito elétrico LC (indutorcapacitor).
Inicialmente uma flexibilidade muito baixa ou simplesmente um fluído incompressível,
pode ser considerada desejável em certos casos. Porém, outros dispositivos contribuem com
este efeito mola, como por exemplo mangueiras de conexões hidráulicas, gases misturados ao
fluído, etc. Um líquido incompressível impõe altas tensões sobre componentes mecânicos, tais
31
como filtros, válvulas e atuadores. Além disso, podem ocorrer instabilidades numéricas nas
simulações em computadores e conforme o caso recorre-se a alguns artifícios para contornar
este problema.
A capacitância hidráulica do fluído é caracterizada pelo valor do módulo de
elasticidade do fluído (“Bulk Modulus”) e pode ser definido pela equação constitutiva:
β =−
V .∆P
∆V
onde:
∆V
= variação do volume V devido a compressão,
∆P
= variação da pressão que causa a compressão ∆V, [ N
V
= volume inicial da câmara,
β
= módulo de elasticidade do fluído (“Bulk Modulus”), [ N
(3.2.1)
[m ];
3
m2
];
[m ];
3
m2
];
O volume inicial do fluído sujeito a compressão pode ser considerado como o volume
inicial da câmara quando usado numa relação linear, isto é, pequenos deslocamentos. Se um
volume V de um líquido está sujeito a um aumento de pressão ∆P, V decresce de ∆V, isto é,
∆P/∆V é negativo e assim o sinal negativo na equação (3.2.1) é usado para tornar o módulo de
elasticidade do fluído um valor positivo.
O “bulk modulus” é sempre uma quantidade positiva. Por exemplo β = 220000 [lb/in2]
para petróleo, mas esse valor decresce sensivelmente se o fluído contiver gases misturados. É
a propriedade mais importante do fluído na determinação da performance de um sistema
hidráulico porque reflete a “rigidez” do fluído.
Para análise de desempenho dinâmico, é necessário ter-se uma relação que permita
calcular a pressão desenvolvida na câmara na qual o fluído está escoando. Um caso típico é a
vazão
Q1
e pressão
P1
na entrada de um orifício de controle,
32
Q2
e
P2
medidos após o
orifício, e este fluindo para a câmara de um atuador. Desprezando as perdas por vazamento, o
transiente de
Q2
será menor que
de compressibilidade,
permanente
Q1
por uma quantidade
Q2 = Q1 − QC ,
QC , conhecida como componente
que descreve a dinâmica do fluxo e em regime
Q1 = Q2 . A equação (3.2.1) pode então ser expressa por:
 dP 

 dV 
β = −V . 
(3.2.2)
derivando-se os termos dP e dV em relação ao tempo:
dP )
(
dt
β = −V .
( dV dt )
mas
dV
logo:
dP )
(
dt
β =V .
dt
(3.2.3)
= −Qc
(3.2.4)
(3.2.5)
Qc
explicitando a pressão P:
β t
P = .∫t Qc dt + P(0)
V 
(3.2.6)
0
A equação (3.2.6) é uma relação de capacitância linear, com:
CH =
V
(3.2.7)
β
sob o aspecto de variáveis generalizadas, conforme será visto posteriormente, temos:
e=
1
q
Cg
com
q = ∫ f dt
33
e=
logo
1
Cg
∫ f dt
e comparando com a equação (3.2.6), leva a:
Cg =
V
β
A determinação do módulo de elasticidade efetivo ( β e ) leva em consideração
flexibilidade de recipientes, presença de ar misturado ao fluído (contaminação). Reescrevendo
a equação (3.2.1):
1
βe
=
∆V
Vt ∆P
(3.2.8)
mas,
∆V = − ∆Vg − ∆Vl + ∆Vc
onde:
(3.2.9)
[m ];
∆V g
= variação do volume do ar
∆Vl
= variação do volume do líquido
∆V c
= variação do volume do recipiente
Vt
= volume total
βe
= módulo de elasticidade efetivo [ N
3
[m ];
3
[m ];
3
[m ];
3
m2
].
substituindo (3.2.9) em (3.2.8) tem-se:
V
= g
β e Vt
1
 ∆Vg  Vl
−

 V ∆P +V
 g
 t
 ∆Vl   ∆Vc 
 −
+

 Vl ∆P   Vt ∆P 
34
(3.2.10)
o módulo de elasticidade de um gás é definido por:
β g =−
V g ∆P
(3.2.11)
∆V g
o módulo de elasticidade de um líquido é definido por:
βl =−
Vl ∆P
∆Vl
(3.2.12)
onde:
[m ];
Vl
= volume do líquido
∆Vl
= variação do volume do líquido
Vg
= volume do gás
∆V g
= variação do volume do gás
3
[m ];
3
[m ];
3
[m ].
3
e a figura abaixo mostra tal situação:
figura 3.2.1 – Recipiente flexível com mistura de líquido e gás sob compressão.
O módulo de elasticidade do recipiente com respeito ao volume total é definido por:
βc =
Vt ∆P
∆Vc
(3.2.13)
35
substituindo (3.2.11), (3.2.12) e (3.2.13) na equação (3.2.10) resulta em:
1
βe
=
Vg  1  Vl  1  1

+ 
+
Vt  β g  Vt  β l  β c
(3.2.14)
A equação acima é a equação geral que produz o módulo de elasticidade efetivo para
uma mistura de líquido e gás em um recipiente “flexível”. O volume total do recipiente é dado
por:
Vt =Vl + Vg
(3.2.15)
Resolvendo a equação (3.2.15) para
Vl
e substituindo em (3.2.14) tem-se:
Vg  1
1 
=
+
+ 
− 
β e β c β l Vt  β g β l 
1
e devido
βl
>>
1
βe
1
1
(3.2.16)
β g , a equação acima é simplificada para:
≅
1
βc
+
1 Vg  1
+
β l Vt  β g




(3.2.17)
O módulo de elasticidade efetivo, βe, pode ser considerado a capacitância hidráulica
equivalente do sistema e pode ser definido pela relação constitutiva:
e=
1
q
Cg
P=
1
V
CH
P=
βe
V0
V
(3.2.18)(a,b,c)
III.3 - Escoamento através de orifício
As características de um escoamento através de um orifício permitem controlar a
potência dos fluídos e assim projetar dispositivos hidráulicos de controle. Seu modelo
dinâmico depende do tipo de escoamento, ou seja, escoamento laminar onde predominam as
36
forças viscosas ou escoamento turbulento onde predominam as forças de inércia, sendo o tipo
determinado pelo número de Reynolds.
Um orifício oferece certa dificuldade à passagem do fluxo por um condutor hidráulico e
pode ser associado a uma resistência elétrica cuja função é oferecer certa dificuldade à
passagem da corrente elétrica. Esta comparação é importante para se fazer
generalizado de uma porta dissipativa de energia
o modelo
Rg .
Define-se orifício como sendo uma restrição súbita ao escoamento de fluído em um
condutor ou tubulação. O comprimento desta restrição (idealmente é zero) pode ter uma área
fixa (placas de orifício) ou variável como ocorre em certas válvulas hidráulicas. O
escoamento por um orifício provoca uma queda de pressão devido à aceleração das partículas
do fluído.
III.3.1 - Escoamento Turbulento
Neste trabalho considera-se o escoamento através de orifícios ou resistências hidráulicas
como sendo turbulento, pois na prática a maioria dos escoamentos através de orifícios em
dispositivos hidráulicos de controle são turbulentos. A figura a seguir mostra as partículas de
fluído sendo aceleradas entre os pontos 1 e 2.
figura 3.3.1.1 – Escoamento turbulento através de um orifício.
37
O processo de conversão de pressão em energia cinética é bastante eficiente e, portanto,
o escoamento entre os pontos 1 e 2 pode ser considerado potencial. Pode-se assim aplicar a
equação de Bernoulli nessa região (Merritt [36]). Devido à inércia das partículas, estas se
movem em uma trajetória curva após a abertura do orifício e assim a área mínima do jato é
menor do que a área do orifício. O ponto ao longo do jato em que a área deste se torna mínima
é chamado de “vena contracta”. A razão entre a área do jato na “vena contracta” A2 pela área
A0 do orifício é definido como coeficiente de contração C c :
A2 = Cc . A0
onde:
(3.3.1.1)
2
A0
= área do orifício [ m ] ;
A2
= área do jato na “vena contracta” [ m ] ;
Cc
= coeficiente de contração [1];
2
Uma pequena parcela da Energia Cinética do jato é convertida em um aumento da
energia interna (temperatura) do fluído devido à turbulência havendo assim uma dissipação de
energia. Fazendo uma analogia ao sistema elétrico, pode-se comparar ao que ocorre quando
cargas elétricas negativas (elétrons) formando corrente elétrica, colidem com as moléculas de
um material resistivo (resistência elétrica), ou seja, transferindo parte dessa energia cinética
em vibrações da estrutura cristalina do material, mais conhecido como efeito Joule.
Admitindo fluxo permanente, sem atrito, incompressível e unidirecional, das equações
de Navier-Stokes tem-se:
v
∂v
1∂ P
=−
∂x
ρ ∂x
onde: v
x
(3.3.1.2)
= velocidade, [ m ] ;
s
= direção, [m] ;
38
= Pressão, [ N
P
m2
];
que pode ser integrada obtendo a equação de Bernoulli:
P
γ
+
v2
= ct e
2g
com: γ
(3.3.1.3)
= ρ g
(3.3.1.4)
Aplicando a Equação de Bernoulli entre os pontos 1 e 2 pode-se determinar a
diferença de pressão necessária para acelerar as partículas:
v22 − v12 =
2
ρ
(P
1
− P2 )
(3.3.1.5)
A equação da continuidade para fluídos incompressíveis apresenta-se como:
Q = A1v1 = A2 v 2 = A3 v 3
(3.3.1.6)
onde, fazendo a substituição (3.3.1.6) em (3.3.1.5):
2
 A2 
2
v −   v 22 =
( P − P2 )
ρ 1
 A1 
2
2
(3.3.1.7)
logo:
2
v2 =
ρ
(P
1
− P2 )
A 
1− 2
 A1 
2
(3.3.1.8)
Devido ao atrito viscoso não considerado anteriormente por ter sido adotada a hipótese
de escoamento potencial no thecho 1-2, a velocidade do jato é um pouco inferior à obtida pela
equação (3.3.1.8) e para corrigir essa diferença, introduz-se um fator empírico denominado
coeficiente de velocidade C v que normalmente se encontra em torno de 0,98.
Da equação (3.3.1.6) tem-se
Q = A2 v 2 e assim a vazão volumétrica na “vena
contracta” é dada pela expressão a seguir.
39
Q=
Cv A2
2
 A2 
1− 
 A1 
2
(P
ρ
1
− P2 )
(3.3.1.9)
Substituindo-se equação (3.3.1.1) na (3.3.1.9) temos:
Q = Cd A0
2
ρ
(P
1
− P2 )
(3.3.1.10)
onde Cd é o coeficiente de descarga dado por:
Cd =
Cv Cc
 A0 
1− C  
 A1 
2
2
c
(3.3.1.11)
pode-se considerar C v ≅ 1 e a área A1 é normalmente muito maior do que A0 e assim C d é
aproximadamente igual ao coeficiente de contração. Embora o coeficiente de contração seja
difícil de ser calculado, a experiência mostra que o valor teórico “ C c = π / (π+2) = 0.611”
pode ser usado para qualquer orifício de extremidade aguda, independente de sua forma
geométrica, desde que o escoamento seja turbulento e A0 << A1 . Assim, adota-se nesta
análise o valor C d = 0,60 .
40
III.3.2 - Escoamento Turbulento representado por Grafos de Ligações
figura 3.3.2.1 – Escoamento turbulento:
(a) Bond-Graph de um orifício com área constante e
(b) Bond-Graph de um orifício com área variável.
III.3.3 - Equação da continuidade dinâmica
A equação da continuidade para fluídos incompressíveis e sem variação do volume da
câmara é:
∑Q = 0
(3.3.3.1)
onde Q são valores algébricos de todas as vazões que entram (positivas) e saem (negativas) do
volume considerado.
Por outro lado, a densidade varia de acordo com a pressão e temperatura e assim podese representar:
ρ = ρ ( P, T )
(3.3.3.2)
41
Considerando apenas o primeiro termo do desenvolvimento em série de Taylor, temse:
∂ ρ 
∂ ρ 
 ( P − P0 ) + 
 (T − T0 )
 ∂ P T
 ∂ T P
ρ = ρ0 + 
(3.3.3.3)
A experiência mostra que em dispositivos hidráulicos a temperatura não tem um efeito
considerável e assim tem-se:
∂ ρ 
 ( P − P0 )
 ∂ P T
ρ = ρ0 + 
(3.3.3.4)
Seja por definição:
∂ P 
∂ P 
 = − V0 

 ∂ ρ T
 ∂ V T
β =
(3.3.3.5)
onde β é o módulo de elasticidade que é uma característica própria de cada fluído. Assim, a
equação (3.3.3.5) torna-se:
ρ = ρ0 +
dρ =
1
β
1
β
( P − P0 )
(3.3.3.6)
dP
(3.3.3.7)
Quando se leva em conta a compressibilidade, a equação da continuidade para uma
câmara pode ser colocada como: “a massa de fluído que entra na câmara é igual à massa de
fluído que deixa a câmara, mais (ou menos) a massa de fluído que se acumulou (ou se evadiu)
da câmara, devido à variação da densidade do fluído ou devido à variação do volume da
câmara. A equação da continuidade é então:
ρ ( ∑ Q) =
dV
d
dρ
ρ Vc ] = ρ c + Vc
[
dt
dt
dt
42
(3.3.3.8)
Substituindo a equação (3.3.3.7) em (3.3.3.8) tem-se:
∑Q =
dVc Vc dP
+
dt β dt
(3.3.3.9)
colocando ( . ) no lugar de d/dt:
Vc &
P
∑ Q = V& + β
c
(3.3.3.10)
ou na notação de Laplace:
∑ Q( s) = sV
c
+
Vc
β
sP
(3.3.3.11)
que é a forma geral com o volume da câmara variável. Particularmente se Vc é constante:
Vc
∑ Q ( s) =
β
sP
(3.3.3.12)
o que equivale a uma capacitância hidráulica:
CH =
VC
β
mas sabe-se que
VC = C H P = ∫ Q dt
Q=
d
[C H P] = C H P&
dt
onde na notação de Laplace:
Q( s) = C H sP
e comparando com a equação (3.3.3.12), teremos:
CH =
VC
β
43
III.3.4 - Linearização da equação de fluxo turbulento
Para fazer uma análise dinâmica é necessário linearizar a equação não-linear que
descreve a relação vazão-pressão (3.3.1.10), reescrita a seguir.
Q = Cd A0
2
ρ
(P
1
− P2 )
(3.3.4.1)
Considerando então que a área do orifício é função da posição xv :
Q L = Q L ( x v , PL )
(3.3.4.2)
O gráfico da equação acima é conhecido como curvas de vazão-pressão e é uma
descrição completa do desempenho da válvula em regime permanente. Essa equação pode ser
linearizada através de uma expansão em série de Taylor sobre um ponto particular de
operação Q L = Q L 1 .
 ∂ QL
QL = QL1 + 
 ∂ xv
onde: Q L

 ∂ QL
 ∆xv + 
 ∂ PL
1
= vazão [ m
3
s

 ∆PL +...
1
(3.3.4.3)
];
xv
= deslocamento do carretel [m] ;
∆x v
= variação do deslocamento [m] ;
∆PL = variação da Pressão [ N
m2
]
Considerando que a região mais importante de trabalho é próxima ao ponto de
operação i, os termos ∆x v e ∆PL serão muito pequenos e com isso, os termos de ordem
superior da série de Taylor podem ser desprezados e assim tem-se:
 ∂ QL
QL − QL1 ≡ ∆QL = 
 ∂ xv

 ∂ QL
 ∆xv + 
 ∂ PL
1
44

 ∆PL
1
(3.3.4.4)
As derivadas parciais necessárias são obtidas pela diferenciação da equação vazãopressão. As duas derivadas parciais definem os dois parâmetros mais importantes de uma
válvula. O ganho de vazão K Q é definido por:
KQ ≡
∂ QL
∂ xv
(3.3.4.5)
O coeficiente pressão-vazão é definido por:
K C ≡−
∂ QL
∂ PL
(3.3.4.6)
O sinal negativo na equação acima se aplica a qualquer configuração de válvula para
que o coeficiente pressão-vazão seja sempre positivo. Define-se outro coeficiente da válvula,
a sensibilidade de pressão:
KP =
∂ QL ∂ xv K Q
∂ PL
=−
=
∂ xv
∂ QL ∂ PL K C
(3.3.4.7)
Com essas definições, a equação linearizada para vazão-pressão aplicada a todos os
tipos de válvulas é dada por:
∆QL = K Q .∆xv − K C .∆PL
(3.3.4.8)
válida para qualquer tipo de válvula (carretel, bocal-palheta, etc). Na notação de Laplace:
QL ( s ) = K Q . xv ( s ) − K C . PL ( s )
(3.3.4.9)
Os coeficientes K Q , K C e K P são chamados coeficientes da válvula e são
responsáveis diretamente na estabilidade, resposta em freqüência e outras características
dinâmicas. O ganho de vazão, K Q é dado pela equação a seguir, para uma válvula de centro
crítico (“zero-lap”) ideal, considerando o fluxo turbulento através da mesma.
K Q = Cd w
1
ρ
(P − P )
s
L
45
(3.3.4.10)
Para o cálculo de K C tem-se:
KC =
(1 ρ )(P
2(P − P )
C d wxv
S
S
− PL )
(3.3.4.11)
L
O ponto de operação mais importante da válvula é próximo a região de deslocamento
nulo (carretel centralizado). Os coeficientes acima no ponto onde x v = 0 e (P1 − P2 ) = 0
produzem os coeficientes para região do nulo para a válvula de centro crítico. O ganho de
vazão no nulo é dado por:
K q = Cd w
0
PS
(3.3.4.12)
ρ
O coeficiente de vazão-pressão no nulo é considerado o mais importante, porque a
operação do sistema ocorre geralmente próximo desta região e o coeficiente de vazão-pressão
é menor, dando uma razão de amortecimento baixa. Este ponto é considerado o mais crítico
do ponto de vista de estabilidade. Na região central, x v = 0 e (P1 − P2 ) = 0 , e com isso a
equação (3.3.4.11) fornece K C =0. Merritt [36] recomenda o uso da equação acima para
descrever o fluxo laminar através de orifícios com canto vivo devido a folga radial, quando o
carretel estiver centrado e considerando uma válvula nova. A perda de carga e o fluxo
associado com orifício são PS / 2 e QC / 2 respectivamente. Portanto, a equação do fluxo
através da válvula com os pórticos de utilização fechados e carretel centrado QC é:
Qc =
π w c2
P
32 µ S
onde: w
(3.3.4.13)
= gradiente de área da válvula [m2/m];
c
= folga radial entre o carretel e a camisa [m];
µ
= viscosidade absoluta do fluído [N.s/ m2];
PS
= pressão de alimentação [N/ m2];
46
QC
= fluxo através da válvula com os pórticos de utilização
fechados e carretel centrado [m3/s];
Definindo o coeficiente de vazão-pressão na região do nulo como:
Kc =
0
∂ QC
∂ PS
(3.3.4.14)
logo, derivando parcialmente (3.3.4.13) e aplicando na equação acima, teremos:
π wc 2
Kc =
32µ
0
(3.3.4.15)
III.4 - Modelo linearizado de fluxos através de orifício em Grafos de Ligações
Colocando a equação (3.3.4.9) rescrita abaixo, no formato da linguagem Bond Graph,
lembrando que é um somatório de fluxos (junção 0):
QL ( s ) = K Q . xv ( s ) − K C . PL ( s )
figura 3.4.1 – Bond Graph de restrições hidráulicas:
(a) escoamento turbulento por um orifício com área variável e
(b) modelo linearizado Bond-Graph do orifício com área variável.
Esta representação pode ser usada nas válvulas tipo bocal-palheta e tipo quatro vias, as
quais estão presentes na servo-válvula utilizada e será considerada neste trabalho.
47
Capítulo IV - Modelagem da Planta Hidráulica e Mancal
Aerostático
IV.1 - Introdução
Sistemas flexíveis podem ser controlados através de uma forca ou torque proveniente de
um motor acionado elétrica ou hidraulicamente. Porem, dependendo da energia necessária
para este controle, não existe outra alternativa senão optar-se pelos sistemas hidráulicos face a
disponibilidade de um grande torque com dispositivos relativamente pequenos. alem de uma
boa resposta dinâmica.
A modelagem dos sistemas hidráulico, mecanico rotacional e eletrico e feita utilizando
a tecnica do Bond-Graph, sendo a estrutura flexível modelada segundo as Equacoes de
Lagrange para sistemas de coordenadas hibridas. Os dois modelos que compoem a planta são
colocados na forma de Espaço de Estados sendo em seguida analisada a posição dos polos e
zeros juntamente com algumas caracteristicas dinamicas (root-locus e graficos de resposta em
frequencia teoricos). Ensaios de identificação são feitos em bancada para validar o modelo
teorico e obter alguns parametros. No MATLAB-Simulink são realizadas simulações para a
verifcação do projeto.
IV.2 - Descrição do sistema
A figura 4.22. a seguir, mostra todo o sistema proposto. Uma plataforma em formato de
tripe suporta um mancal aerostático que flutua sobre um colchão de ar alimentado por uma
fonte de ar comprimido. Neste mancal, e presa uma das extremidades da viga flexível. 0
sistema hidráulico
e
composto de uma servo-valvula controlada eletronicamente e de um
atuador hidráulico rotativo capaz de impor um grande torque para controle. Ha ainda um eixo
de torção acoplando o eixo do atuador ao mancal aerostatico. Estão colocados ao longo da
viga sensores extensiometricos em pontos de interesse, um acelerometro na extremidade livre
e sensores de posição e velocidade angular no mancal aerostático.
figura 4.2.1 - Sistema para modelagem e controle de estrutura flexível.
IV.3 - Modelos dos componentes via Grafos de Ligações
Neste trabalho trataremos dos sistemas através das variaveis generalizadas para efeito
de simplificação e aplicação da ferramenta mecatrônica e em sistemas mecatronicos. Assim,
toda variavel tipo esforco (tensão, forca, torque e pressão) sera representada pela letra "e",
tipo fluxo ( corrente, velocidade, velocidade angular e vazão) pela letra 'T', tipo momento
(fluxo enlacado, momento linear, momento angular e momento hidráulico) pela Tetra "p" e
tipo deslocamento (carga elétrica, deslocamento linear, deslocamento angular e volume) pela
letra "q".
IV.3.1 - Circuito eletronico da servo-valvula
Iniciando pela servo-valvula eletro-hidráulica, temos uma tensão aplicada
aos
terminais eletricos de um solenoide que apresenta uma pequena resistencia eletrica:
IV.3.2 - Palheta
A corrente "i ", através do campo magnetico, provocara uma forca magnetica
que atua na palheta. Esta forca e proporcional a corrente "i " e estão relacionados através da
constante de transformação
conforme Merritt [36] sendo modelada como um girador
"GY" . A dinamica da palheta 6 modelada a seguir.
figura 4.3.2.1 - Palheta da servo-valvula.
IV.3.3 - Bocal e camara de controle
A posição da palheta "Xf ", modula a Resistência Hidráulica do bocal
assim a pressão na camara de controle. 0 modelo não-linear desse sistema hidráulico e
mostrado a seguir:
figura 4.3.3.1 - Bocal e camara de controle da servo-valvula.
IV.3.4 - Válvula carretel de quatro vias
atuando nas areas das extremidades do carretel
As pressões hidráulicas
resultam em uma forca atuante que pode ser representada como transformadores de energia
TF " conforme figura abaixo. 0 modelo dinamico do carretel a então:
figura 4.3.4.1 - Valvula carretel de quatro vias.
A força de centralização proveniente do parafuso de ajuste e constante e assim não
aparece nesse modelo de variações.
A posição da valvula
, modula as restrições hidráulicas
assim as pressões das linhas
hidraulico é mostrado na figura a seguir.
controlando
Esta valvula e do tipo centro critico e seu modelo
figura 4.3.4.2 - Ponte com as pressões de controle.
PS e a pressão do fluído de suprimento proveniente da Bomba Hidraulica e
pressão do fluído no reservatório, que posteriormente sera considerada nula, simplificando o
grafo de ligações. 0 efeito de mola do fluído e representado pela Capacitancia Hidráulica
nas linhas de controle
IV.3.5 - Atuador hidráulico
As pressões
atuam nas areas do atuador resultando em um Torque no eixo
de saida. O eixo apresenta uma inertanica ou momento de inércia,
atuador é simplesmente representado por transformadores
O modelo deste
"TF ", conforme figura abaixo:
figura 4.3.5.1 - Atuador hidraulico.
IV.3.6 - Eixo de Torção e Mancal Aerostatico
O torque do atuador e transmitido ao mancal hemisferico aerostatico através de um eixo
de torção que apresenta uma flexibilidade torsional, com constante de torção
mancal possui um momento de inercia IH e desliza com atrito desprezivel sobre a base.
figura 4.3.6.1 - Eixo de torção e mancal aerostático.
onde:
= deslocamento angular do eixo do atuador
= deslocamento angular do mancal aerostatico.
IV.4 - Sistema completo não-linear
A figura a seguir apresenta o sistema hidráulico colocado na forma do Bond-Graph.
Neste modelo tem-se diversos elementos armazenadores de energia que contribuem com um
grau na dinamica do sistema com Inertancias e Capacitancias Generalizadas apresentando-se
com causalidade integral. Os elementos dissipadores de energia colocados sob a forma de
Resistencias Generalizadas são essencialmente a resistencia elétrica do circuito eletronico da
servo-valvula e o atrito viscoso. Para a valvula bocal-palheta e valvula de quatro vias foram
consideradas suas respectivas Equações de Vazão-Pressão linearizadas, para efeito de projeto
de controladores lineares. Ressalta-se que teremos um tratamento especial para a placa no
próximo capítulo.
figura 4.4.1 - Bond-Graph não-linear do sistema.
I V.5 - Sistema simplificado não-linear
Admitindo a pressão relativa do reservatório aproximadamente nula, temos a primeira
simplificação:
figura 4.5.1 - Primeira simplificação, sem a placa flexível.
0 grafos de ligação das variacoes, sem a placa flexível, é mostrado na figura a seguir.
figura 4.5.2 - Grafos com as linearizações.
I V.6 - Equações de Estado
A seguir são mostradas as Equações de Estado analisando-se os grafos de ligação
desenvolvidos nos itens anteriores. Uma sistematica sequencial e observada para se obter com
rapidez e seguranca as Matrizes de Estado. 0 sistema não-linear das variações possui tres
Bond-Graph isolados, porem divide-se o último em outros dois, para análise e identificação
prática.
IV.6.1 - Bond Graph 1: Circuito eletrônico da servo-válvula
figura 4.6.1.1 - Bond-Graph 1: circuito eletrônico e palheta.
Desta estrutura encontramos o conjunto de equações:
b) Resistencias:
b) Capacitancias:
b) Inertâncias:
(4.6.1.6)
c) Girador:
(4.6.1.7)
(4.6.1.8)
1) Somatório na junção tipo "1":
(4.6.1.9)
(4.6.1.10)
sabe-se que:
(4.6.1.11)
deste conjunto obtemos as equações de estado:
(4.6.1.12)
(4.6.1.13)
(4.6.1.14)
(4.6.1.15)
(4.6.1.16)
para a equação de saida, sabe-se que:
logo
(4.6.1.18)
De posse das equações de estado acima, aplica-se a Transformada de Laplace e após
algumas manipulações algébricas temos a função de transferência:
Através de programas desenvolvidos no ambiente do aplicativo "Mathematica"
encontramos a função de transferência do Bond Graph 1:
A função de Transferência obtida é:
(4.6.1.21)
I V.6.2 - Bond Graph 2: válvula bocal-palheta linearizado
figura 4.6.2.1 - Bond-Graph 2: Camaras de controle e da válvula de 4 vias.
Desta estrutura encontramos o seguinte conjunto de equações:
a) Fontes:
(4.6.2.1)
(4.6.2.2)
(4.6.2.3)
(4.6.2.4)
b) Resistências:
(4.6.2.5)
(4.6.2.6)
(4.6.2.7)
b) Capacitâncias:
(4.6.2.8)
(4.6.2.9)
(4.6.2.10)
c) Inertâncias:
(4.6.2.11)
d) Transformadores:
(4.6.2.12)
(4.6.2.13)
(4.6.2.14)
(4.6.2.15)
e) Somatório na junção tipo "0":
(4.6.2.16)
(4.6.2.17)
f) Somatório na junção tipo "1":
(4.6.2.18)
sabe-se que:
(4.6.2.19)
(4.6.2.20)
(4.6.2.21)
(4.6.2.22)
(4.6.2.23)
Equação de Estado:
(4.6.2.24)
(4.6.2.25)
para a equação de saida, sabemos que:
logo:
(4.6.2.26)
De posse das equacoes de estado acima, pode-se calcular a Função de Transferência
mostrada a seguir.
encontramos a função de transferência do Bond Graph 2:
(4.6.2.27)
e a função de transfêrencia analítica é portanto:
I V.6.3 - Bond Graph 3: Válvula de quatro vias linearizada e Atuador Hidraulico
Rotativo
figura 4.6.3.1 - Bond-Graph 3: Pressões de atuação e mancal aerostatico.
Desta estrutura encontramos o seguinte conjunto de equacoes:
a) Fontes de fluxo:
(4.6.48)
(4.6.49)
(4.6.50)
(4.6.51)
b) Resistências:
(4.6.52)
(4.6.53)
(4.6.54)
(4.6.55)
(4.6.56)
c) Capacitâncias:
(4.6.57)
(4.6.58)
e) Inertâncias:
(4.6.59)
d) Transformadores:
(4.6.59b)
(4.6.60)
e) Somatório nas junções tipo "0":
(4.6.61)
(4.6.62)
e) Somatório nas junções tipo "1":
(4.6.63)
(4.6.64)
sabe-se que:
(4.6.65)
(4.6.66)
(4.6.6 7)
(4.6.68)
equação de saida:
(4.6.69)
forma matricial:
(4.6.70)
(4.6.71)
(4.6.72)
(4.6.73)
onde:
(4.6.74)
(4.6.75)
(4.6.76)
(4.0.//)
De posse das equações de estado acima, pode-se calcular a Função de Transfêrencia
G1(s), mostrada a seguir:
encontramos a função de transferência do Bond Graph 3. no formato:
(4.6.78)
e dessa forma, obtem-se:
IV.6.4 - Bond Graph 4: Eixo de Torção e Mancal Aerostático
figura 4.6.4.1 - Bond Graph 4: Eixo de Torção e mancal aerostático.
Desta estrutura encontramos o seguinte conjunto de equações:
a) Fontes de fluxo:
(4.6.79)
b) Capacitâncias:
(4.6.80)
c) Inertâncias:
(4.6.81)
d) Somatório na junção "0":
(4.6.82)
sabe-se que:
(4.6.83)
(4.6.84)
assim, tem-se:
(4.6.85)
(4.6.86)
O equação de saída:
Aqui faz-se necessario uma observação, pois não é possivel explicitar uma equação de
saida diretamente das variaveis de estado escolhidas, y = 9 . Neste caso optou-se por
trabalhar com um pseudo-sistema, acrescentando ao vetor de estado X, a variável de
interesse 9. Desta maneira este pseudo-sistema sera de terceira ordem, mas devemos
lembrar que o sistema mecânico possui apenas dois elementos armazenadores de energia,
ou seja, a inertância 1 60 e a capacitância C 50 e assim e de segunda ordem.
e assim fazemos:
(4.6.87)
que colocado na forma:
(4.6.88)
(4.6.89)
resulta em:
(4.6.90)
(4.6.91)
Através do aplicativo "Mathematica"' encontramos a função de transferencia. Os
coeficientes e sua função de transferência são:
(4.6.93)
observa-se o aparecimento do termo de corpo rígido (1 /s).
Capitulo V - Modelagem da Estrutura Flexível (Placa) pelo
Princípio de Hamilton e modelo BG
V.1 - Introdução
A modelagem de sistemas continuos requer um tratamento matemático rigoroso e a
aplicação do Princípio de Hamilton e o mais indicado pois além de gerar as equações de
movimento do sistema (equações diferenciais parciais ou ordinárias), fornece também durante
o desenvolvimento, as condições de contorno. Posteriormente através de um tratamento
adequado para as equacoes de movimento da estrutura flexível (placa), ela sera colocada sob a
teoria do Bond-Graph, de forma a termos finalmente todo o experimento em apenas uma
linguagem, ou seja, a generalizada. São admitidas como funções de forma, as mesmas do
tratamento de vigas e outras hipóteses são descritas ao longo do capítulo.
V.2- Modelagem da Estrutura Flexível pelo Princípio de Hamilton
A placa flexível e ilustrada abaixo.
figura 5.2.1 - Placa flexível.
A figura abaixo mostra a placa, o mancal aerostático e as variaveis de interesse:
figura 5.2.2 - Variáveis da placa flexível.
A placa utilizada apresenta espessura muito menor que seu comprimento e largura, na
proporção de 1:530 e 1:170, respectivamente. Dessa maneira e considerada uma placa fina e
em flexão, podemos admitir as hipoteses de Kirchhoff:
(a) a placa e Tina de espessura h e possui um piano medio, sendo seus limites
definidos pelos pianos
figura 5.2.3 - Pianos limites e medio da placa.
(b) somente o deslocamento transversal w é considerado,
(c) a tensão normal
na direção transversal e nula,
(d) as seções transversais inicialmente normais ao plano médio, continuam planas e
ortogonais a ele após o deslocamento w da placa. Dessa forma as tensões de
cisalhamento são desprezadas.
figura 5.2.4 - Deslocamentos e seção transversal da placa na direção x.
(e) os deslocamentos u e v no piano Oxy são devido a dois efeitos:
• deslocamento inicial da placa e
• deslocamento devido a rotação da seção transversal.
Essas hipóteses levam as seguintes equações cinematicas:
(5.2.1)
aparecem em função de tensões iniciais devido
carregamentos ao longo do piano médio da placa.
As expressoes das deformacoes especificas são:
com as deformações devido a cisalhamento:
a
figura 5.2.5 - Deformação de cisalhamento.
reunimos as componentes não nulas em um vetor:
que pode ser decomposto no formato:
onde
representam respectivamente termos de grau 0 e 1 no deslocamento w:
(5.2.2)(a.b)
ressaltamos nas expressões acima que somente
varia ao longo da espessura e de maneira
linear. As tensões em materiais isotropicos são expressas, segundo a Lei de Hooke como:
o módulo de elasticidade transversal. Admitimos
sendo
anteriormente que:
logo escrevemos:
com
e a matriz de coeficientes elásticos:
Por outro lado, no vetor de curvatura:
os dois primeiros elementos representam as curvaturas principais da placa na direções x e y, e
o terceiro corresponde a curvatura transversal gerada pela torção da placa. As deformações
relativas a flexão linear e suas respectivas tensões são relacionadas por:
Os momentos de flexão por unidade de comprimento na placa são calculadas integrando
a tensões através da espessura:
figura 5.2.6 - Momentos de flexão na placa.
assim, podemos escrever:
devido aos termos anti-simetricos das equações (5.2.2)(a,b) serem os únicos a contribuir para
o cálculo dos momentos, temos:
e assim, substituindo as expressões desenvolvidas temos:
(5.2.3)(a..c)
com o conhecido coeficiente de rigidez da placa em flexão:
Podemos escrever na forma matricial:
(5.2.4)
sendo a nova matriz de coeficientes elásticos:
Consideremos uma placa de contorno externo
com a normal
em um ponto do
contorno com seus cossenos diretores (l,m,0). Os momentos nos contornos são:
é o momento de flexão no piano 0nz, orientado pela tangente ao contorno;
e o momento de flexão na direção perpendicular;
e o momento na direção normal.
0 equilíbrio de momentos no contorno da placa fornece:
que podem ser invertidos na forma:
(5.2.5)
A energia de deformação da placa e:
podendo ser decomposta em termos da ordem de w:
A energia de deformação resultante de um deslocamento inicial da placa e:
e se impusermos um deslocamento inicial
teremos:
assim essa componente não aparecerá na equação do movimento. A parte de primeira ordem:
sera desconsiderada pois não há carregamentos ao longo da superfície da placa. A parte
quadrática:
sendo resolvida, assume:
(5.2.6)
que representa a energia de deformação de origem linear.
Aplicando o Principio de Hamilton:
com o Lagrangeano:
onde
nc = forças não conservativas.
A energia cinética total da placa flexível e dada por:
que considerando os termos das equações (5.2.1):
sendo a distribuição de massa por unidade de area:
e ainda apenas para anotar, o momento de inercia de massa expresso em função do raio de
giração r da seção transversal e dado por:
assim teremos:
0 primeiro termo da equação acima representa a energia cinética de translação da placa
e os outros termos representarn efeitos de rotação. No contexto de placas finas, esses termos
de inercia de rotação são geralmente desprezados, logo teremos:
Somando-se
a
energia cinética da placa flexível, temos ainda a contribuição da energia
cinética de rotação do mancal aerostático:
porém, a velocidade final do elemento de massa na placa possui uma composição de
velocidades, uma devido ao movimento de corpo rigido do mancal (hub) e outra devido ao
deslocamento flexível "W". Consideraremos apenas as seguintes parcelas para a velocidade
do elemento de massa da placa:
onde:
modulo da velocidade devido ao movimento flexível da placa
modulo da velocidade devido ao movimento angular do mancal
aerostático
assim,
w(x, y, t) = deslocamento em todo dominio elástico da placa
logo teremos:
ou seja,
onde
módulo da velocidade devido ao deslocamento de cada elemento da placa na
direção z, [m/s]
Momento de inércia do mancal aerostático
deslocamento angular do mancal aerostático
densidade de massa da placa
A energia potencial elástica e dada por:
e a energia de deformação da placa e
a qual consideraremos nula, pois a princípio não ha carregamentos ao longo da superficie da
placa. Desse modo, o desenvolvimento da equação (5.2.6) resulta em:
onde aplicando o variacional:
que será resolvida através da integração por partes. Anotando ainda do teorema de Green:
a primeira integração produz:
na expressão acima, o primeiro termo representa o trabalho virtual das tensões de flexão. de
acordo com a equação (5.2.4), no contorno da placa. A expressão da variação da energia
interna acima, tambem pode ser colocada em funcão de momentos, na forma:
por analogia do estudo de vigas, a definição das forcas de cisalhamento por unidade de
comprimento e:
desse modo teremos:
utilizando as formulas diferenciais para coordenadas curvilineas:
(5.2.7)(a,b)
figura 5.2.7 - coordenadas curvilineas ao longo do contorno.
considerando as equações de momento (5.2.5), teremos:
fazendo a integração por partes na variavel s ao longo do contorno, temos:
onde o termo
segundo termo do contorno:
e a variando do momento misto ao longo do contorno. 0
pode ser transformado usando as fórmulas (5.2.7) e considerando o raio de curvatura R de
acordo com:
teremos:
resultando finalmente:
(5.2.8)
onde o termo no contorno envolve as forcas de cisalhamento de Kirchhoff
-
No caso de placa com propriedades uniformes, o termo da superficie e expresso
simplesmente em função da deflexão vertical:
A equação do Principio de Hamilton com relação a variação da energia cinética e:
onde, aplicando o variacional teremos:
que resolvendo separadamente:
e resolvendo as integrais por partes:
é o momento de inercia da placa em relação ao eixo "y". Assim,
como por definição, as condições iniciais e finais do sistema são prescritas,
conduz a
reunindo os resultados obtidos, teremos:
e quanto ao trabalho do torque externo:
(5.2.11)
Finalmente, desenvolvendo a expressão do Principio de Hamilton, utilizando as
equações (5.2.8), (5.2.10) e (5.2.11), teremos a expressão a seguir.
na equação acima podemos separar as equações do movimento em
e W, formando um
sistema de duas equacoes que regem o movimento acoplado entre o mancal aerostático e a
estrutura flexível (placa). As equações de equilíbrio são, portanto:
•
para o mancal aerostatico:
(5.2.12)
•
para a placa:
onde inserindo as expressões (de Qx e Qy), teremos:
e inserindo as equaçães (5.2.4), teremos:
ou
(5.2.13)
reunindo as duas equações (5.2.12) e (5.2.13) em um sistema:
(5.2.14)
e fazendo umaa mudanca de variável:
o sistema de equações (5.2.14) passa a se apresentar:
mas
sendo
o momento de inercia da placa em relação ao eixo y. Dessa forma, teremos:
(5.2.15 a,b)
(5.2.16)
V.3 Modelos BG
Na modelagem utiliza-se as variaveis mostradas na figura abaixo:
figura 5.3.1 - Variaveis da estrutura flexível (placa).
A equação do movimento da placa flexível desenvolvida nas seções anteriores e
reescrita a seguir:
(5.3.1)
Introduzindo esforços externos de natureza não controlada
externos de natureza controlada T (x, y,
t)
F(x, y, t) e esforços
atuando ao longo da superficie da placa,
conforme Fariborzi [ 17], a equação anterior torna-se:
(5.3.2)
onde os esforços controlados podem ser provenientes de atuadores piezoeletricos controlados,
chamados de "piezo strip" e abordados por Preumont [42].
Admitindo solução na forma de uma serie do tipo:
(5.3.3)
truncada nos modos R e S, com as coordenadas
(x, y)
mostradas na figura anterior, com
Inserindo a equação (5.3.3) acima, na equação do
movimento (5.3.2), teremos
Multiplicando por
e integrando no dominio espacial elástico, ressaltando
que os novos índices p e q nas direções x e y respectivamente serão utilizados para auxiliar
nas combinações dos termos das series ou na identificação coerente das funções de forma.
onde, manipulando algebricamente, teremos,
admitindo as seguintes relações de ortogonalidade (Fariborzi [17]):
(5.3.7)
onde
e a função Delta de Dirac. E i mportante ressaltar neste momento que serão
consideradas na direção
vigas longitudinais em flexão e dessa forma denominaremos a
flexão da placa. Por outro lado, na direção y , serão consideradas vigas transversais
tambem em flexão (Barton [5], Geradin [20] e Rajalingham [45]), que para efeito de estudo
exclusivamente neste trabalho e facilitar as descrições no desenvolvimento das equações,
definimos então que o movimento de tais vigas sera compreendido como a torção da placa.
Assim, pode-se escrever:
(5.3.8)(a,b)
dessa forma os coeficientes constituintes das massas modals serão simplificados. obtendo da
equação (5.3.6):
Podemos representar a equação acima da seguinte forma:
(5.3.11)(a..t)
formando assim, a equação matricial:
(5.3.12)
Para o calculo dos coeficientes das matrizes de massa e rigidez modais acima.
precisamos encontrar as funções de forma
e que elas atendam as condições de
contorno dadas pelas respectivas equações para extremidade apoiada-livre e extremidade
livre-livre. A estimativa destas funções e feita na proxima seção.
V.3.1 Viga apoiada-livre na direcão x
O movimento da placa e considerado como a superposição dos movimentos de vigas em
flexão sendo
na direção
vigas "apoiada-livre" (flexão da placa) e
na direção
vigas "livre-livre" (torção da placa)
de acordo com as definições ressaltadas na seção V.3. Adota-se ainda as hipoteses da teoria de
vigas de Euler e Bernoulli, onde as seções transversais são originalmente planas e ortogonais
ao eixo elástico antes da deformação, continuam planas e ortogonais ao eixo elástico na
condição deformada, ou em outras palavras, não existem efeitos devido a esforcos cortantes e
devido a energia de rotação da viga em torno de seu eixo ortogonal ao seu piano de flexão.
Dos estudos de viga de Euler, na direção
temos a equação diferencial:
(5.3.1.1)(a,b)
com as quatro condições de contorno para o caso em questão, apoiada-livre:
Admitindo a solução do tipo:
teremos a equação de frequências ou equação caracteristica transcedental (Blevins [8] e
Szilard [55]):
que são ortogonais. Os coeficientes
são definidos de acordo com Blevins [8] ou Szilard
[55], por:
(5.3.1.6)
Os tres primeiros autovalores são:
com os respectivos coeficientes:
que inseridos na equação (5.3.1.1b) obtem-se
(5.3.1.8)
Geradin [20], propõe para uma viga, as relações de ortogonalidade:
(5.3.1.9)
(5.3.1.10)
assim, aplicando a relação de ortogonalidade (5.3.1.9) utilizando n,p
modos de flexão), calcula-se os coeficientes
através do programa
Este programa encontra-se listado no
apendice C2 e os dados tecnicos da placa no apendice Al. Assim, teremos:
(5.3.1.11)(a..c)
Na figura a seguir estão esbocados, qualitativamente, os tres primeiros modos flexíveis
de vibrações da viga apoiada-livre.
figura 5.3.1.1 - Três primeiros modos de vibração de viga apoiada-livre (flexão).
V.3.2 Modelo BG das vigas livre-livre na direção y
para uma viga livre-livre em flexão, temos a equação:
(5.3.2.1)(a,b)
com as quatro condições de contorno:
(5.3.2.2)(a,b)
(5.3.2.2)(c,d)
onde, admitindo a solução do tipo
(5.3.2.3)
teremos a equação de frequências:
(5.3.2.4)
As raizes da equação anterior podem ser calculadas numericamente ou pela referência
de Geradin [20] tabela (5.5.1), temos os seguintes valores para condições de contorno livrelivre:
Neste caso de viga livre-livre notamos que a equação de frequencias (5.3.2.4) produz
uma raiz dupla em
Dessa maneira, para
, a equação (5.3.2.1 a) reduz a
(5.3.2.6)
que possui a solução genérica:
(5.3.2.7)
e para satisfazer as condições de contorno (5.3.2.2) deve-se ter
as correspondentes raizes duplas as funções de forma dos dois modos rigidos serão:
(5.3.2.8)
(5.3.2.9)
onde
e um modo simetrico e
anti-simetrico, representando um movimento
de translação de corpo rigido e um de rotação pelo centro de massa da viga, respectivamente.
Neste momento definimos, para m = 1 e m = 2, modos rigidos de vibração e por outro lado,
para m=3,4,... en= 1,2, ... modos elásticos de vibração. As figuras a seguir ilustram o formato
dos modos.
figura 5.3.2.1 - Modos naturais de vibração da viga fexivel livre-livre.
figura 5.3.2.2 - Tres primeiros modos naturais da viga flexível livre-livre.
Geradin [20], propçãçõe para viga livre-livre as relacoes de ortogonalidade:
(5.3.2.10)
(5.3.2.11)
assim, utilizando a relação de ortogonalidade (5.3.2.10) e considerando a função de forma da
equação (5.3.2.9), teremos
(5.3.2.12)
logo
(5.3.2.13)
que a uma reta inclinada representando a rotação da viga transversal, na direção y, em torno
do seu centro de massa. Fazendo o mesmo para a função de forma da equação (5.3.2.8)
teremos
l ogo
(5.3.2.14)
que a uma reta paralela ao eixo y, representando uma translação da viga. A equação de
frequencias (5.3.2.4) produz um conjunto infinito de autovalores discretos
que correspondem as autofunções a seguir, de acordo com Meirovitch [33] ou Blevins [8].
(5.3.2.15)
com:
(5.3.2.16)
e dessa maneira pode-se reescrever:
Os coeficiente
para m
3 são calculados pelo programa " F1exTor8.ma", onde,
com os valores das expressões (5.3.2.5), b = 46,85 [cm] e h = 2,65 [mm], são produzidos os
seguintes resultados:
(translação)
(rotação)
(1 modo de torção)
0
(2 modo de torção)
(5.3.2.18)(a..d)
Os modos naturais dados pelas equacoes (5.3.2.8), (5.3.2.9) e (5.3.2.15) são ortogonais.
Dessa maneira, a condição de ortogonalidade
(5.3.2.19)
reduz a
(5.3.2.20)
Ainda a condição de ortogonalidade
(5.3.2.21)
passa a
(5.3.2.22)
Lembrando que trata-se do caso de uma viga de Euler, uniforme e livre-livre, podemos
fazer para o calculo da resposta forcada:
(5.3.2.23)
e usando essa expressão na equação do movimento de uma viga sujeita a esforcos de natureza
controlada e não-controlada ao longo da viga:
(5.3.2.24)
sendo A = ha, a area da seção transversal da viga na direção y.
Multiplicando cada termo da equação anterior por
i ntegrando com relação a y
e em seguida utilizando a propriedade de ortogonalidade dos modos
naturais obtem-se:
(5.3.2.25)
Os esforços não controlados podem ser representados pelas reações da massa atuando
ao longo do dominio elastico e sabendo que a placa, na pratica não apresenta-se idealmente
uniforme, gera-se uma resultante tendendo a torcer a placa na direção y. Por outro lado,
complementando esse fato, pode-se afirmar que a placa possui uma posição de equilibrio com
uma certa deformação na extremidade livre tanto em x = a quanto em y = b, assim devido ao
deslocamento da placa, momentos externos tendem a excitar os modos de torção da placa.
Esse momento sera representado pela ação de um conjugado de forcas
(5.3.2.26)
e o esforço externo controlado aplicado na extremidade apoiada, e representado pela
expressão
(5.3.2.27)
dessa maneira, a equação (5.3.2.25) apresentar-se-a:
(5.3.2.28)
inserindo as funcoes de forma das equacões (5.3.2.13) e (5.3 2.14) na expressão acima, temos
(5.3.2.29)
e sabendo-se que
teremos:
(5.3.2.30)
que pode ser interpretada como sendo a forca e o momento externo acelerando o centro
de massa da viga livre-livre. Colocando a expressão acima na forma BG, teremos a
figura a seguir.
figura 5.3.2.3 - Representação BG do modo de translação de uma viga.
a equação (5.3.2.28) sera reescrita da seguinte forma:
onde temos o momento de inercia centroidal da viga
(5.3.2.32)
assim, temos:
(5.3.2.33)
que colocado na forma BG:
figura 5.3.2.4 - Representação BG do modo de rotação de uma viga.
Definindo as massas modais
(5.3.2.34)
e os coeficientes de rigidez modais
(5.3.2.35)
sendo inseridos na equação (5.3.2.28), tem-se os modos naturais representados pelo conjunto
de equações:
que colocado na forma BG juntamente com as duas representaroes BG anteriores, figuram:
figura 5.3.2.5 - Representação BG de uma viga flexível livre-livre.
Ressaltamos no BG da figura anterior, que temos os modos de corpo rigido de
translação
e rotação da viga livre-livre
0 primeiro modo elástico de
torção esta representado pela junção tipo
V.3.3 Modelo BG da placa flexível
Reescrevendo a equação (5.3.10) da placa:
com os esforços externos não controlados:
e com os esforços externos controlados:
(5.3.3.3)
teremos
Analisaremos a equação da placa considerando o movimento de translação das vigas
paralelos ao eixo y, ou seja, m = 1. Esse movimento de translação da placa deve ser
entendido como o movimento de translação de todas as vigas transversais. A função de forma
é então inserida na equação acima e assim teremos:
Ressaltamos na equação acima que os termos cruzados de 2" e 4'ordem são anulados e
assim,
(5.3.3.6)
da equação (5.3.1.9)
(5.3.3.7)
logo
(5.3.3.8)
unitario somente se n = p, logo:
chamando
a massa da placa e
de rigidez modais, onde T - modo de corpo rigido de Translação, a equação anterior
apresentar-se-a:
definindo:
teremos:
(5.3.3.10)
Os coeficientes das massas e rigidez modais de translarão, para n = 1,2 e 3 serão:
(5.3.3.11)(a..d)
que serão utilizados para calculos de parametros dinamicos. Através da equação acima
podemos montar o BG do modo de translação da placa, conforme figura a seguir.
figura 5.3.3.1 - BG do modo de translação da placa na direção y e n-modos na direção x.
A seguir, fazemos o mesmo para o movimento de rotação das vigas transversais
(m=2), lembrando da equação 5.3.2.5b que a segunda frequencia e nula
respectiva função de forma é reescrita a seguir.
Assim, da equação (5.3.3.4):
ressaltamos que na equação acima, os termos cruzados de derivadas de 2 e 4 ordens são
zerados. Assim temos:
(5.3.3.13)
mas a primeira integral da equação acima constitui o momento de inercia centroidal de cada
viga na direção
(5.3.3.14)
logo:
desenvolvendo e aplicando a propriedade da filtragem da função Delta de Dirac e sabendo
6 unitario somente se n = p, teremos:
do resultado anterior percebemos que o torque, em condirões ideais, sendo aplicado na
extremidade apoiada, não transfere energia diretamente ao modo de rotação. Finalmente após
algumas simplificações, obtem-se:
com
definido na seção anterior. Podemos ainda escrever:
(5.3.3.17)
onde temos os coeficientes de rigidez modais de rotação, com R =- modo de corpo rigido de
Rotação. A seguir apresentamos as definições dos coeficientes das massas e rigidez modais de
rotação, para n = 1, 2 e 3:
(5.3.3.18)(a..d)
que serão utilizados para calculos das frequencias naturais e funções de resposta em
frequência. Podemos montar o BG do modo de rotação da placa, conforme figura a seguir_
figura 5.3.3.2 - BG do modo de rotação e n-modos na direção x da placa.
Após termos realizado a análise do comportamento da equação do movimento da placa
para as bens conhecidas funções de forma de torso representando translação (m = 1) e
rotação (m = 2), resta analisar como ela se apresenta com os modos elásticos de flexão
(n=1,2,3,...) juntamente com os modos elásticos de torção (m = 3,4,5,...). Sendo assim,
retomando a equação (5.3.3.4) somente com os modos elásticos da placa, onde a
reescrevemos a seguir.
e aplicando as equações pertinentes as vigas nas direções x e y, dadas pelas equações (5.3.1.9)
e (5.3.2.10):
e sabendo que a função Delta de Dirac é unitaria apenas se n = p e m = q, teremos:
Considerando a expressão:
e definindo
(5.3.3.22a)
(5.3.3.22b)
obtem-se:
e definindo as massas modais e os coeficientes de rigidez modais que seguem,
(5.3.3.25)
Com a equação acima podemos montar o BG dos modos flexíveis de vibração da placa,
conforme a figura 5.3.3.3, com os modulos de transformação definidos logo em seguida.
figura 5.3.3.3 - BG dos modos eldsticos da placa.
A figura anterior não apresenta os módulos de transformação dos transformadores por
uma questão de apresentação. A equação (5.3.3.25) define os módulos de transformação dos
transformadores que se originam na junção de esforço
que se originam na junção de esforço
originam na junção de esforco
3,4,....
com o valor
assumem o valor
assumem o valor
122
aqueles
e os outros que se
para p = 1,2,... e q =
O movimento final da placa a uma combinação linear das formas de vibrar definidos
pelos modos
de acordo com a equação (5.3.3), ou em outras palavras e uma
superposição dos vários tipos de vibração tanto de modo de corpo rigido como de modos
flexíveis. Sendo assim, fazendo a superposição ou a junção dos BG's das figuras (5.3.3.1),
(5.3.3.2) e (5.3.3.3) respeitando a independencia de cada modo
chegamos finalmente ao
BG da estrutura flexível (placa), mostrada a seguir.
Retomando a equação (5.3.3.25), podemos representa-la na forma matricial:
com os elementos definidos pelas expressões desenvolvidas nesta seção. Dividindo toda
a equação (5.3.3.25) pela massa da placa, temos:
com
(5.3.3.27)
podemos colocar a equação anterior na forma matricial:
(5.3.3.28)
Reunindo os BGs dos modos de flexão e torso um Anico BG teremos a figura a seguir.
figura 5.3.3.4 - BG dos modos flexíveis e de corpo rigido da placa.
Todos os módulos de transformação da figura acima foram definidos nas seções
anteriores. Para manter a interdependência entre os sistemas flexível e mecânico, uma opção é
juntar BG's de forma a ficar isolado, independente. Assim, é conveniente mostrar todo o
sistema em um único BG conforme figura a seguir.
124
figura 5.3.3.5 - BG do sistema de controle de estrutura flexível com atuação hidraulica.
125
V.4 Equações de Estado da placa e do sistema completo
V.4.1 - Placa flexível - modos de translação
Na montagem das equações de estado, inserimos as causalidades e enumeramos todas as
ligações entre os elementos, conforme mostra a figura do Apêndice B1. Assim teremos:
b) Capacitancias:
c) Inertancias:
d) Transformadores:
e) Somatório nas junções tipo "1" e suas respectivas equações de estado:
logo,
reunindo todas as equações de estado anteriores e colocando na forma:
(5.4. 1. 1 )(a,b)
com
para equação de saida, desejamos todos as variaveis temporais
logo:
V.4.2 - Placa flexível - modos de rotação
Seguindo a figura do apendice B2 com as causalidades e numeracoes assinaladas,
obtemos:
b) Capacitancias:
c) Inertancias:
d) Transformadores:
com
logo:
com
V.4.3 - Placa flexível - modos flexíveis
Na montagem das equações de estado, insere-se as causalidades e enumera-se todos as
ligações entre os elementos, conforme mostra a figura do Apendice B3. Assim, obtem-se:
b) Capacitancias:
c) Inertancias:
d) Transformadores:
logo,
com
e todos os outros elementos restantes nulos.
logo:
De posse das equações de estado acima, aplica-se a Transformada de Laplace e apos
algumas manipulações algebricas temos a função de transferencia:
Através do aplicativo "Mathematica" encontramos a função de transferencia
V.5 Cálculo das matrizes e frequencias naturais da placa flexível
Retomando a equação matricial desenvolvida nas secoes anteriores, onde reescrevemos:
(5.5.1)
passamos a estimar os valores dos coeficientes destas matrizes, através das expressões
(5.3.3.22)(a,b) e (5.3.3.24(a,b). Para a placa em questão, onde esta apoiada em x=0 e livre nas
outras tres extremidades, temos as funções de forma nas direções x e y dadas pelas equações
(5.3.1.5), (5.3.2.12), (5.3.2.13) e (5.3.2.15), onde as rescrevemos:
•
Flexão:
•
Torção:
0 programa "Flextor8.ma" recebe as funcoes de forma e calcula todos os elementos das
matrizes de massa e rigidez:
(5.5.2)(a..f)
Para vibrações livres, não temos esforços externos, ou seja,
(5.5.3)
e admitindo soluções da equação acima, do tipo:
(5.5.4)
escrevemos:
(5.5.5)
que inseridos na equação (5.5.3),
(5.5.6)
e multiplicando pela esquerda por
(5.5.7)
(5.5.8)(a..b)
definindo
(5.5.9)
obtem-se:
que e um problema de autovalor. Pode-se calcular rapidamente as frequencias naturais de
vibrações da placa apos introduzir esses autovalores na expressão:
(5.5.10)
através do comando (1/2*Pi)*Sgrt[Eigenvalues[Inverse [M]*K]]" do software Mathematica.
Utilizando somente os modos elásticos da placa:
n = 1,2,3,4,5
m = 3,4,5,6,7
o programa Farib.ma, listado no apendice Cl, fornece os resultados que seguem.
(5.5.11)
ressaltando que são valores distintos.
Por outro lado, se utilizarmos as funções de forma:
o programa Farib.ma, fornecera os resultados:
(5.5.12)
onde as repetições dos primeiros valores devem-se ao fato de termos as funções de forma de
translação e rotação (m = 1 e m = 2).
V.6 Esboço dos modos de vibrações da placa
Uma vez calculados os coeficientes
argumentos
em conjunto com os respectivos
podemos plotar a função de deslocamento
e as constantes
lateral da placa z(x, y) considerando os diversos modos naturais ou a superposição destes,
conforme mostram as figuras a seguir. Lembramos da equarão (5.3.3) que:
(5.6.1)
ou
com as funções de forma definidas
(5.6.2)
ja
calculados pelo programa "Flextor8.ma".
definidas anteriormente com seus coeficientes
Capítulo VI – Identificação Prática da Planta Hidráulica
VI.1- Introdução
O equipamento foi montado no Laboratório de Sistemas de Controle do Departamento
de Mecânica-Aeronáutica do ITA, sendo mostrado nas figuras que seguem. Neste capítulo
descrevemos o sistema, os ensaios, os equipamentos utilizados e o resultados das estimações,
utilizados para validar os modelos teóricos.
VI.2- Analisador Dinâmico de Sinal
A Função de Resposta em Freqüência (FRF) entre uma dada entrada e um saída
específica pode ser obtida experimentalmente através do Analisador Dinâmico de Sinais (HP35665 A). Este aparelho possui dois canais de aquisição de dados e um gerador interno de
sinais que excitará a servo-válvula com uma função conhecida e bem caracterizada. O
Analisador processa as amostras de entrada e saída gerando as funções FRF e também as
funções de coerência. Uma facilidade deste aparelho é que permite armazenar as histórias
temporais, as FRF e as funções de coerência, para serem analisadas pelo aplicativo MATLAB
ou para outro processamento de interesse.
As funções de transferência são estimadas através da Densidade Espectral de Potência
cruzada entre o sinal de excitação da servo-válvula e os sinais de saídas de interesse, pelo
processamento das expressões a seguir.
149
2
2 n *
Gˆ xy ( f ) = E [X k* ( f , T )Yk ( f , T )] =
∑ X k ( f , T ) Yk ( f , T )
T
nd T k =1
d
[
]
(6.2.1)
2
2
2
2 n
*
*
ˆ
Gxx ( f ) = E X k ( f ,T ) =
X
(
f
,
T
)
∑ k
T
nd T k =1
(6.2.2)
Gˆ ( f )
Hˆ ( f ) = xy
Gˆ xx ( f )
(6.2.3)
d
2
Gˆ xy ( f )
2
γ xy ( f ) =
Gˆ xx ( f ) Gˆ xy ( f )
(6.2.4)
Nesta notação utilizada temos:
Ĥ
E[
indica estimador da função de transferência
]
H
indica o Operador Esperança
Gxy
é a função Densidade Espectral de Potência Cruzada
Gxx G yy
são funções Densidade Autoespectrais
A função de coerência permite avaliar a precisão do modelo usado pelo estimador da
função de transferência. Os valores de
γ 2 =1
150
devem ocorrer em valores próximos às
freqüências de ressonância da estrutura. O erro cometido pelo estimador para cada função de
coerência
γˆ xy2 , é dado pela relação abaixo, conforme Bendat e Piersol [7]:
ε [γˆ
2
xy
]=
2 [1 − γ xy2 ( f )]
(6.2.5)
γ xy ( f ) nd
e o erro cometido pelo estimador para cada função de transferência
[
ε Hˆ xy ( f )
] = [1 − γ
2
xy
( f )]
Hˆ xy ( f ) , é dado por:
1/ 2
γ xy ( f ) 2nd
(6.2.6)
VI.3 – Ensaios em laboratório e função de transferência prática
O experimento e a planta hidráulica são apresentados nas figuras 6.3.1(a,b) que seguem.
A figura 6.3.1b mostra em detalhe a servo-válvula sobre o atuador, que por sua vez, está preso
em uma chapa de aço montada na estrutura do tripé. Ressalta-se aqui, o acoplamento
mostrado nesta mesma figura, na ponta do eixo do atuador hidráulico, que permite fazer o
acoplamento e o descoplamento entre a planta hidráulica e a estrutura flexível. Os fios que
também aparecem são responsáveis pelos sinais elétricos de comando e realimentação de
posição angular.
151
(a)
(b)
figuras 6.3.1 - (a) Equipamento utilizado no ensaio e (b) Detalhe da planta hidráulica
152
Realizaram-se diversos ensaios com o objetivo de levantar as características dinâmicas
da planta hidráulica e da estrutura flexível. Após fechar a malha de controle hidráulica,
injetou-se um sinal eletrônico na entrada
r (t ) ,
do tipo aleatório, mediram-se as saídas
y pot (t ) , y acel (t ) e com o analisador dinâmico, registraram-se diversas curvas de resposta
em freqüência e de coerência. Os sinais elétricos provenientes dos acelerômetros receberam
amplificações
através
de
condicionadores
de
sinais
apropriados
(amplificadores
Bruel&Kjaer). As posições onde foram colocados os acelerômetros são mostradas na figura a
seguir.
figura 6.3.2 – Referências das posições dos acelerômetros na placa flexível.
Os sinais utilizados estão codificados, onde tomando como exemplo o sinal
“ y acc 12 (t ) ”, representa o acelerômetro “preso” entre os pontos 1 e 2 da placa, conforme
mostra a figura acima.
O sistema utilizado no ensaio está esquematizado na figura 6.3.3, a seguir.
153
figura 6.3.3 – Esboço do sistema utilizado para o ensaio.
•
Ensaios com a planta hidráulica – sistema desacoplado
O “Analisador Dinâmico de Sinais” gerou arquivos contendo os dados dos ensaios, para
posterior processamento em microcomputador via MATLAB/Simulink ou Mathematica. A
identificação da planta hidráulica utilizou os dados mostrados na tabela a seguir.
154
FRF
A1
A2
Faixa de Freqüência
Saida/
Ruido
Hidráulica
aleatório-
da
[mVpk]
bomba[psi]
Ypot/ref
X
-
4
2.5
0-200
280
1800
-
X
TR11.DAT
Ypot/ref
-
X
4
2.5
0-200
280
1800
-
X
Arquivo
[Hz]
TR10.DAT
Coerência
Desacoplado
Pressão
Acoplado
entrada
Excitação:
tabela 6.3.1 – parâmetros utilizados nos ensaios.
Realizaram-se ensaios com o sistema desacoplado, ou seja, o eixo de torção foi liberado
através do acoplamento do eixo do atuador.
figura 6.3.4 - Sistema desacoplado.
155
Os gráficos obtidos em malha fechada são:
figura 6.3.5 – Ganho da FTMF.
figura 6.3.6 – Fase da FTMF.
Coerência via Analisador: ypot/ref - Sist. desacoplado
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
-1
10
10
0
10
frequência [Hz]
1
10
2
figura 6.3.7 – Função coerência da FTMF.
156
10
3
Na figura 6.3.6 percebe-se uma alternância para a fase de –180 para +180 graus. Este
fato não tem significado físico algum. Nas freqüências onde isso ocorre, a relação sinal/ruído
é muito baixa (coerência baixa) e os cálculos dos estimadores, realizados pelo analisador
dinâmico podem ser afetados.
•
Ensaios com a estrutura flexível – sistema acoplado
Realizaram-se diversos ensaios colocando os acelerômetros nas posições mencionadas
na figura (6.3.2) e atenção especial foi dada ao acelerômetro colocado na extremidade da
placa y acel 12 (t ) . Após fechar a malha de controle hidráulica, injetou-se um sinal eletrônico
na entrada
r (t ) , do tipo aleatório, mediu-se a saída y acel 12 (t )
e com o analisador dinâmico
registraram-se as curvas de resposta em freqüência (ganho e fase) e de coerência. Conforme
mencionado anteriormente, os sinais elétricos provenientes dos acelerômetros receberam
amplificações
através
de
condicionadores
de
sinais
apropriados
(amplificadores
Bruel&Kjaer). Após gravação e processamento no MATLAB com o programa show_y12.m
listado no apêndice C6, obteve-se a figura que segue. As curvas que aparecem no gráfico
estão sobrepostas para obtermos uma comparação entre a varredura de 100[Hz] e de 200[Hz].
Os picos ressonantes que aparecem, indicam as freqüências naturais de vibrações da placa.
157
y acel 12 (t )
em vermelho
em azul
e o sinal de referência
r (t ) :
– varredura 0-100Hz
– varredura 0-200Hz
Outros sinais foram registrados das respectivas posições mostradas na figura 6.3.2.
•
Processamento e análise dos sinais gravados da planta hidráulica
Os dados gravados dos ensaios foram processados, gerando arquivos apropriados para
uso no MATLAB. O comando “invfreqs” forneceu a função de transferência:
GestMF − PH ( s) =
2252422
s + 819 s + 49230s + 2250057
3
2
(6.3.1)
o resultado acima é característico de um sistema de 3ª ordem, constituído de um pólo na
origem (devido ao sinal de saída ser do movimento de corpo rígido do eixo do atuador
158
hidráulico) e dois pólos dominantes de dois elementos armazenadores de energia (momento
de inércia do eixo do atuador
J a e flexibilidade hidráulica ou capacitância hidráulica efetiva
C H = V0 / β ), conforme figuras a seguir.
figura 6.3.9 – Diagrama de blocos de um sistema de 3ª ordem com realimentação negativa.
VI.4 – FTMA estimada da planta hidráulica
O sistema utilizado no ensaio foi um servo posicionador hidráulico com realimentação
unitária
H ( s) = 1:
figura 6.4.1 – Diagrama de blocos da planta hidráulica.
com
k amp = A1 A2 o ganho dos dois amplificadores operacionais. Os gráficos de Bode
obtidos dos resultados dos ensaios apresentam um sistema com 2 pólos dominantes e nenhum
zero. A Inertância (momento de inércia do eixo) e a capacitância hidráulica (flexibilidade nos
volumes de controle do fluído hidráulico) do atuador apresentam respostas lentas aos quais
159
podemos inferir como sendo dominantes. Por outro lado, Merritt [36] define que a resposta
dinâmica de uma servo-válvula de duplo estágio é muito mais rápida que a do atuador e carga.
Desse modo define-se um ganho
k SV para a servo-válvula, juntamente com o atuador
hidráulico apresentando dois elementos armazenadores de energia, como fortes candidatos aos
pólos dominantes. Estes dois pólos em conjunto com o do integrador (1 / s ) formam o
sistema de 3ª ordem a ser estimado, denominado
Gest (s) .
A FTMA do sistema da figura anterior é:
G( s) = A1 A2 k sv k pot Gah
(6.4.1)
e definindo:
A = A1 A2 k sv k pot como a constante do ganho de malha aberta, teremos:
G( s) =
A
s( s + p1 )(s + p2 )
(6.4.2)
Dessa forma simplificamos:
figura 6.4.2 – Diagrama de blocos simplificado, com realimentação unitária.
A FTMF do sistema da figura anterior é
GMF ( s) = FTMF =
G (s)
1 + G( s)
160
(6.4.3)
GMF ( s) =
A
s( s + p1 )(s + p 2 ) + A
(6.4.4)
GMF ( s) =
A
s + ( p1 + p 2 ) s 2 + p1 p 2 s + A
(6.4.5)
3
Da seção anterior, a FTMF obtida nos ensaios é:
GestMF ( s) =
2252422
s 3 + 819 s 2 + 49230s + 2250057
(6.4.6)
logo, por termos semelhantes:
A = 2250000 [ s −1 ]
p1 + p 2 = 819
p1 p 2 = 49230
(6.4.7)(abc)
levando a:
p1 = 65
p 2 = 753
e
(6.4.8)
formando:
GPH
onde “ PH
est
( s) =
2250000
s( s + 65)(s + 753)
(6.4.9)
est ” ≡ Planta Hidráulica estimada.
Os gráficos de Bode da função estimada acima juntamente com os respectivos dados
do ensaio são mostrados a seguir.
161
figura 6.4.3 – Ganho da FRF estimada (azul) e de ensaio (verde).
figura 6.4.4 – Fase da FRF estimada (azul) e de ensaio (verde).
162
Root Locus do sistema:
figura 6.4.5 – Root Locus do sistema hidráulico
G( s) =
1
s( s + 65)(s + 753)
Polos de Malha fechada do sistema:
1) -7.6511
2) 30.48 + 45.14i
3)-30.48 – 45.14i
VI.5 - Função de transferência analítica da planta hidráulica
No ensaio da planta hidráulica foi utilizados a configuração mostrada na figura a seguir,
com o eixo do atuador desacoplado do eixo de torção.
163
figura 6.5.1 – Sistema hidráulico desacoplado.
Os Grafos de Ligações do sistema acima é mostrado a seguir.
164
figura 6.5.2 – BG do sistema hidráulico.
O desenvolvimento das equações de estado do circuito eletrônico da servo-válvula são
retiradas do BG isolado:
figura 6.5.3 - Bond-Graph 1 (BG1) do circuito eletrônico e palheta.
165
(6.5.1)
X& = A. X + B. u
(6.5.2)
Y = C. X + D. u
 R3
−
 p& 2   I 2
  
 q& 6  =  0
 p& 7  
KFI

 I2
y = x
f
KFI
I7
1
I7
R8
−
I7
−
0
0
−
1
C6
= q 6 = [0
1


  p2  1
 . q  +  0  e
  6    in
  p 7   0 


 p2 
 
0] .  q 6 
 p 7 
(6.5.3)
algumas manipulações algébricas obtém-se a função de transferência:
G ( s ) = C ( s I − A ) −1 B + D
G1 ( s ) =
(6.5.4)
α11
β11s + β12 s 2 + β13 s + β14
3
(6.5.5)
G1(s) = {C6*KFI}/{R3 + (I2 + C6*KFI^2 + C6*R3*R8)*s + (C6*I7*R3 + C6*I2*R8)*s^2 +C6*I2*I7*s^3}
O segundo BG isolado pertence à válvula bocal-palheta linearizada, mostrada a seguir.
166
figura 6.5.4 - Válvula bocal-palheta linearizada.
Equações de estado:
 R 29
 I
 28
 p& 28   Av
 q&  −
 24  =  I 28
 q& 27   1
   I
 q& 33   28
− Av
 I 28
Av
C 24
1
C 24

1 
 KC −

R
23 

0
KC
C 24
y 3 = x v = [0



  p 28   0 
0
  q 24   KQ 
.  +   x f
  q 27   0 
0
0
  q   KQ 
 33   

1  1

+ KC 
0 −
C 33  R34

 p 28 
q 
0 1 0]. 24 
(6.5.6)
 q 27 
 
 q 33 
1
C 27
167
Av
C 33
KC
−
C 33
de onde obtém-se:
G2 ( s ) =
G 2 ( s ) = C ( s I − A ) −1 B + D
α 21 s + α 22
β 21s + β 22 s 3 + β 23 s 2 + β 24 s + β 25
4
=
(6.5.7)
{AV*C27*KQ*R23 + AV*C27*KQ*R32 +
(AV*C24*C27*KQ*R23*R32 + AV*C27*C33*KQ*R23*R32)*s}
G2 ( s ) =
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
{-1 + KC*R23 - KC*R32 + (-(C24*R23) + AV^2*C27*R23 - C27*R29 +C27*KC*R23*R29 + AV^2*C27*R32 - C33*R32 C24*KC*R23*R32 +C33*KC*R23*R32 - C27*KC*R29*R32)*s +(C27*I28 - C27*I28*KC*R23 - C24*C27*R23*R29 + 27*I28*KC*R32
+AV^2*C24*C27*R23*R32 - C24*C33*R23*R32 +AV^2*C27*C33*R23*R32 - C27*C33*R29*R32 -C24*C27*KC*R23*R29*R32 +
C27*C33*KC*R23*R29*R32)*s^2 +(C24*C27*I28*R23 + C27*C33*I28*R32 + C24*C27*I28*KC*R23*R32 C27*C33*I28*KC*R23*R32 - C24*C27*C33*R23*R29*R32)*s^3 +C24*C27*C33*I28*R23*R32*s^4}
e finalmente, as equações de estado da válvula de quatro vias linearizada com o atuador
hidráulico rotativo são:
figura 6.5.5 - Válvula de quatro vias linearizada e atuador hidráulico rotativo.
168
X& = A X + B U
Y = C X + DU
 R56
−
&
 p55   I 55
q&  =  − DR
 44   I
q& 50   55
 DR
 I 55
DR
C 44
1
KC12
−
C 44
0


  p55   0 
.q  +  KQ  x
0
12  v
  44  



 q50  − KQ34 
1
KC 34 
−

C 50
DR
C 50
y 3 = p55 = θ a
 p55 
y 3 = x v = [1 0 0]. q 44 
 q50 
(6.5.8)
onde:
KC12 = KC1 + KC 2
KC 34 = KC 3 + KC 4
KQ12 = KQ1 − KQ2
KQ34 = KQ3 − KQ4
assim,
G3 ( s ) =
α 31 s + α 32
β 31s + β 32 s 2 + β 33 s + β 34
(6.5.9)
3
com seus coeficientes obtidos via Mathematica:
{BBB*CCC*DR*I55 - AAA*DDD*DR*I55 + (CCC*C50*DR*I55 - C44*DDD*DR*I55)*s}
G3(s)
= ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------{AAA*DR^2 + BBB*DR^2 + AAA*BBB*R56 + (C44*DR^2 + C50*DR^2 + AAA*BBB*I55 + BBB*C44*R56 +
AAA*C50*R56)* s + (BBB*C44*I55 + AAA*C50*I55 + C44*C50*R56)*s^2 + C44*C50*I55*s^3}
169
Integrando os três BG’s isolados:
α11
G1 ( s ) =
β11s + β12 s 2 + β13 s + β14
ein − x f
BG2: G2 ( s ) =
α 21 s + α 22
β 21s + β 22 s 3 + β 23 s 2 + β 24 s + β 25
x f − xv
BG3: G3 ( s ) =
α 31 s + α 32
β 31s + β 32 s 2 + β 33 s + β 34
xv − θ a
BG1:
3
4
3
leva a:
α 2 s 2 + α1 s + α 0
G123 ( s ) =
β 10 s 10 + β 9 s 9 + β 8 s 8 + β 7 s 7 + β 6 s 6 + β 5 s 5 + β 4 s 4 + β 3 s 3 + β 2 s 2 + β 1 s + β 0
Observamos que o sistema possui ordem 10, pois apresenta 10 elementos
armazenadores de energia. Colocando a equação acima no formato de pólos e zeros, teremos:
G123 ( s ) = K
(s − z )(s − z )
(s − p )(s − p )...(s − p )
1
G123 ( s ) = Ganho
2
10
9
1
2 zeros
10 polos
(6.5.10)
A função de transferência estimada, obtida nas seções anteriores e rescrita a seguir,
mostra que de fato os dois pólos dominantes definem a resposta final da planta hidráulica:
GPH
est
( s) =
2250000
s( s + 65)(s + 753)
k v = 2250000 [ s −1 ]
p1 = 65
(6.5.11)
e
170
p 2 = 753
VI.6 – Análise do Modelo Equivalente de Baixa Ordem (LOES) da planta hidráulica
Inserindo os amplificadores operacionais com a realimentação de posição no sistema
anterior, tem-se:
figura 6.6.1 – Grafos de ligação do Modelo Equivalente de Baixa Ordem (LOES) com
sistema de controle.
Desta estrutura encontramos o conjunto de equações:
SE1= r (t )
b) Resistência:
f7 =
1
e7
R7
c) Capacitância:
e3 =
d) Inertância:
1
q3
C3
f6 =
1
p6
I6
171
e) Girador:
f 1 =k SV e2
f 2 =k SV ein
com
ein = A1 A2 (r − y pot ) = A1 A2 r − A1 A2 k potθ a
logo teremos:
f 2 = k SV A1 A2 r − k SV A1 A2 k potθ a
f) Transformador:
e5 = Dm e 4
f 4 = Dm f 5
g) Somatório na junção tipo “0”:
f 4 − f 2 + f 3 + f 7 =0
Para compor as Equações de Estado temos a primeira equação:
p& 6 = e6 = e5
p& 6 =
Dm
q3
C3
com a segunda equação de estado:
q& 3 = f 3
q& 3 = k SV A1 A2 r − k SV A1 A2 y pot −
Dm
1
p6 −
q3
I6
R7 C 3
q& 3 = k SV A1 A2 r − k SV A1 A2 k potθ a −
172
Dm
1
p6 −
q3
I6
R7 C 3
(6.6.1)
e a terceira aparece, de novo, a equação auxiliar do pseudo-estado:
θ&a = f 6 =
1
p6
I6
(6.6.2)
Finalmente teremos as três equações colocadas na forma matricial:
X& = A. X + B. u
(6.6.3)
Y = C. X + D. u

0

θ&a  
  
0
 p& 6  = 
 q& 3  
 
 − k SV A1 A 2 k POT

1
I6
0
−
Dm
I6


 θ a 
Dm   
. p6 +
C3   
 
1   q3 

−
R 7 C 3 
0
0



 .r
0


 k SV A1 A 2 
(6.6.4)
para a equação de saída teremos:
y = y POT = k POT θ a = [k POT
0
θ a 
0 ]. p 6 
 
 q 3 
(6.6.5)
algumas manipulações algébricas temos a função de transferência:
GestMF ( s ) = C ( s I − A ) −1 B + D
(6.6.6)
Através do aplicativo “Mathematica” encontramos a função de transferência:
GestMF ( s ) =
α 11
β 11 s + β 12 s 2 + β 13 s + β 14
3
173
(6.6.7)
A função de transferência de malha fechada obtida pelo programa planta_h.m é:
Gmf_est(s) = {(A1*A2*DM*KPOT*KSV*R7)/
(A1*A2*DM*KPOT*KSV*R7 + DM^2*R7*s + I6*s^2 + C3*I6*R7*s^3)}
(6.6.8)
Gmf_est(s) = ((A1*A2*DM*KPOT*KSV)/(C3*I6))
/
(s^3 +(1/( C3*R7))*s^2 + (DM^2/( C3*I6))*s +(A1*A2*DM*KPOT*KSV)/( C3*I6))
(6.6.9)
que comparado com a função de transferência de malha fechada estimada na seção VI.3,
equação (6.3.1), rescrita a seguir:
GestMF ( s) =
2252422
s 3 + 819 s 2 + 49230s + 2250057
(6.6.10)
por termos semelhantes, temos:
A1 A2 Dm k pot k SV
C3 I 6
= 2252422
(6.6.11)
1
= 819
R7 C 3
(6.6.12)
2
Dm
= 49230
C3 I 6
(6.6.13)
juntamente com valores de alguns parâmetros obtidos no ensaio:
A1 = 2 [V/V]
(amplificador inversor)
A2 = 10 [V/V]
(amplificador de potência)
k pot =
2 . 14 [V ]
= 11 , 46 [V / rd ]
o π [ rd ]
140
180 o
174
(6.6.14)
(6.6.15)
(6.6.16)
e através dos manuais do atuador, no apêndice A5:
Dm = 3,81[in 3 / rad ] = 6,244 .10 −5 [m 3 / rad ]
(6.6.17)
ainda com o momento de inércia do eixo do atuador, com as grandezas geométricas mostradas
na figura abaixo.
figura 6.6.2 – Eixo do atuador hidráulico (material: aço, ρ = 7800 [kg/m3]).
sendo a = 20[mm], b = 22[mm], c = 120[mm], d = 80[mm], e = 30[mm] e h = 88[mm].
O momento de inércia calculado é portanto:
1
1
1
I 6 = J a = m1 a 2 + m2 (b 2 + c 2 ) + m3 a 2
2
12
2
sendo
m1 = ρ açoπa 2 d
(6.6.18)
cilindro superior
m2 = ρ aço .b.c.h
m3 = ρ açoπa 2 e
levando a:
cilindro inferior
I 6 = J a = 0,0025[kg.m 2 ]
175
(6.6.19)
finalmente teremos:
C3 = 3,2151.10-11 [N.s/ m 5 ]
(6.6.20)
R7 = 3,798.107 [ m 5 /N]
(6.6.21)
k SV = 1,3.10-5
(6.6.22)
Inserindo estes valores nas equações (6.6.4) e (6.6.5), através do programa FRF_PH.m,
teremos as matrizes de estado da planta hidráulica generalizada:
Aph = 1,0e+006 *
[
0
0,0004
0
0
0
1,9421
-0,0000
-0,0000
-0,0008
]
Bph = 1,0e-003 *
[
0
0
0,2597
Cph =
[
11
Dph =
[
0
]
0
0
]
]
(6.6.23)(a..d)
Pólos de malha fechada:
1.0e+002 * [ -7,5797
-0,3051 + 0,4517i
176
-0,3051 – 0,4517i
]
(6.6.24)(a..b)
Plotando os gráficos de resposta em freqüência, teremos:
figura 6.6.3 – FRMF da planta hidráulica estimada (LOES) – Ganho e Fase.
Comparando com as respostas dinâmicas obtidas no ensaio e da FTMA estimada:
figura 6.6.4 – Ganhos das FTMFs: ensaio (azul), estimada (vermelha) e generalizada (verde).
177
figura 6.6.5 – Fase das FTMFs: ensaio (azul), estimada (vermelha) e generalizada (verde).
Conclui-se que o sistema generalizado da figura 6.6.1 com suas respectivas matrizes de
estado (6.6.23)(a..d) são válidos e representarão com confiabilidade razoável o
comportamento dinâmico da planta hidráulica. O lugar geométrico das raízes (LGR) é
mostrado nas figuras que seguem.
178
figura 6.6.6 – Root-locus ou LGR da planta hidráulica estimada (LOES).
figura 6.6.7 – Root-locus destacando os pólos de Malha fechada da expressão 6.6.24.
179
VI.6.1 – Cálculo da freqüência natural hidráulica e do fator de amortecimento
hidráulico
Após a validação do modelo BG da planta hidráulica na seção anterior, passamos a
calcular a freqüência natural hidráulica e o fator de amortecimento hidráulico pois o sistema
considerado é de 2ª ordem com dois elementos armazenadores de energia do tipo capacitância
(capacitancia ou flexibilidade hidráulica) e inertância (momento de inércia do eixo do
atuador). A figura a seguir ilustra o sistema, com a entrada de tensão nas bobinas da servoválvula e saída como sendo a velocidade angular do eixo do atuador hidráulico.
figura 6.6.1.1 – Grafos de ligação estimado da planta hidráulica.
As equações de estado são semelhantes às desenvolvidas para o sistema em malha
fechada, porém ressalta-se que o sistema da figura acima encontra-se em malha aberta. As
equações de estado são:
p& 6 =
Dm
q3
C3
q& 3 = K SV ein −
Dm
1
p6 −
q3
I6
R7 C 3
180
(6.6.1.1)
X& = A. X + B. u
Y = C. X + D. u

0
 p& 6  
 q&  =  D
 3  − m
 I 6
Dm 
C3   p6   0
.
+
1   q 3   k SV
−
R 7 C 3 

 e in

(6.6.1.2)
para a equação de saída teremos:
1
1
y =θ&a = f 6 =
p6= 
I6
 I6
 p 
0 . 6 
  q3 
(6.6.1.3)
algumas manipulações algébricas teremos a função de transferência dada a seguir, em função
das Matrizes de Estados:
G ( s ) = C ( s I − A ) −1 B + D
(6.6.1.4)
Através do aplicativo “Mathematica” encontramos a função de transferência:
G1 ( s ) =
α 11
β 12 s 2 + β 13 s + β 14
(6.6.1.5)
A função de Transferência obtida pelo programa Hidraul.ma, é:
{DM*KSV/C3*I6}
G(s) = -----------------------------------------------------------
(6.6.1.6)
{ s^2 + 1/(R7*C3)s + DM^2/C3*I6}
que comparado com um sistema padrão de 2ª ordem:
2 a .ordem
GPH
( s) =
A
s + 2ξω n s + ω n2
2
181
(6.6.1.7)
teremos:
DM2
DM2
ω =
=
C3 I 6 C H J a
2
n
(6.6.1.8)
nos casos onde se tem acesso ao volume total que o fluído hidráulico ocupa, podemos calcular
a capacitância hidráulica pela expressão (3.2.7) desenvolvida na seção III.2, rescrita a seguir:
CH =
Vt
(6.6.1.9)
βe
ω =
2
n
levando à conhecida expressão:
β e DM2
Vt J a
(6.6.1.10)
retornando ao cálculo da freqüência natural não-amortecida, com os valores numéricos
obtidos dos parâmetros nas seções anteriores, obtém-se:
ω c = 222 [rd/s]
f c = 35 [Hz]
e
e para o fator de amortecimento:
1
R7 C3
(6.6.1.12)
ξ = 1,85
(6.6.1.13)
2ξω n =
inserindo os valores numéricos obtém-se:
(6.6.1.11)(a..b)
A figura a seguir apresenta as FRF em malha aberta, com os valores estimados dados
pelas expressões (6.6.19) a (6.6.22).
182
figura 6.6.1.2 – FTMA do sistema LOES.
VI.7 - Equipamentos utilizados no ensaio
1) Servo-válvula eletro-hidráulica
(apêndice A4)
Servo-valve Assembly, Model no. 740
Serial no. 46, 5gpm-1000psi, 3 kpsi, +/- 200mA
Knapton, Associates Inc.
Nashua, New Hampshire 03060
2) Atuador Hidráulico
(apêndice A5)
Marca Nashua, Model 211
Rotary Servo Hydraulic Actuator
3000 psi, +/- 140º Torque estático de 3.43 [in.lbs]
Potenciômetro de 1000 Ohms, tensão +/- 15 Vdc
Deslocamento = 3.81 in3/rad
3) Bomba Hidráulica
Hydraulic Power Supply, Model no. 704
Serial no. 2, Flow 3 gpm, Pressure 3000psi,
183
HP input: 7.5, Reservoir 20 GALS
4) SMPM – Sistema para Medição de Propriedades de Massa
AIE / MF / 92, IAE / ITA
mancal
aerostático:
momento
de
3,5[kg.m2]
5) Dados da Placa flexível
material: Alumínio
Módulo de Young, E = 6,89 . 1010 [N/m]
Densidade,
ρ = 2795 [kg/m3]
Comprimento, a = 1,41 [m]
Largura, b = 46,85 [cm]
Espessura, h = 2,65 [mm]
6) Acelerômetros:
Marca: Brüel & Kjaer (BK)
Type 4343, BK 234955
7) Analisador Dinâmico de Sinais
HP 35665 A, Dynamic Signal Analyzer
HP – HEWLETT PACKARD
8) Condicionador de sinais:
Charge Amplifier Type 2635
Brüel & Kjaer (BK)
9) Controlador Analógico
DC Servo Controller
Digiac Corporation, DIGIAC 711
184
inércia:
VI.8 – Comentários e recomendações do ensaio
O equipamento utilizado para o controlador analógico (um amplificador subtrator e um
amplificador de potência) apresenta uma inversão de fase, ou seja, utiliza um amplificador do
tipo operacional na configuração inversora, desse modo, no processamento de sinais deve-se
multiplicar os dados de resposta em freqüência por -1.
Realizou-se um ensaio com o sistema acoplado e a curva de resposta em freqüência não
apresenta boa coerência para freqüências abaixo de 1Hz e dessa maneira as freqüências
naturais da placa que se situarem nesta faixa, poderão estar mascarados.
Na estimativa do ganho
k pot do atuador hidráulico foi considerada a polarização do
potenciômetro pela tensão contínua disponível no equipamento do controlador, ou seja,
± 14 VDC .
Deve-se tomar um cuidado especial com o equipamento hidráulico no sentido de
centralizar o atuador, para não bater no fim de curso.
185
Capítulo VII - Placa flexível com planta hidráulica estimada
VII.1 – Introdução
Neste capítulo especificamente desenvolveremos as equações de estado do sistema todo,
reunindo os grafos de ligação da placa com seus modos de translação, rotação e flexíveis,
controlada pela planta hidráulica com seu respectivo BG estimado.
VII.2 – Desenvolvimento das Equações de Estado
O sistema completo utilizado no desenvolvimento é apresentado na figura:
figura 7.2.1 – Grafos de ligação do Sistema de Controle de Estrutura Flexível (placa)
com Atuação Hidráulica.
186
No desenvolvimento das equações de estado, consideraremos as numerações definidas
anteriormente, com F1 = 0 , F2 = 0 e a planta hidráulica com realimentação de posição
angular do eixo do atuador, conforme o experimento utilizado no ensaio. A numeração dos
grafos dos modos flexíveis da placa encontra-se na figura do apêndice B3. Utilizaremos 3
(três) modos de flexão (n = 1,2,3) e 3 de torção, além da translação e rotação dos movimentos
de corpo rígido na direção y (m = 1,2,3,4,5). As expressões dos elementos dinâmicos
(inertâncias, capacitâncias, resistências, transformadores etc) foram desenvolvidas na seção
V.3.3. Assim, teremos:
SE= r (t )
(7.2.1)
com a realimentação de posição do sistema hidráulico:
e1 = ein = A1 A2 [r (t ) − k potθ a ] = A1 A2 r (t ) − A1 A2 k potθ a
(7.2.2)
A1 e A2 são ganhos dos amplificadores inversor e de potência respectivamente,
utilizados nos ensaios de identificação da planta hidráulica.
•
Planta hidráulica:
b) Capacitâncias
e3 =
1
q3
C3
e58 =
1
q58
C 58
(7.2.3)
c) Inertância do atuador hidráulico:
1
f 6 = θ&a = p 6
I6
(7.2.4)
Obs: nas equações que seguem utilizamos a variável “θ a ”, pois analisando
a equação acima, seria necessário integrar a variável de energia p 6 . Optouse por utilizar neste caso um pseudo-sistema, acrescentando ao vetor de
187
estado X
,
a variável de interesse
“θ a ”. Desta maneira este pseudo-
sistema terá uma ordem a mais, sob o ponto de vista matemático.
d) Resistência
1
e7
R7
(7.2.5)
e5 = Dm e 4
(7.2.6)
f 4 = Dm f 5
(7.2.7)
f 2 = k SV e1 = k SV ein
(7.2.8)
f 1 = k SV e2
(7.2.9)
f 67 =
e) Transformador
f) Girador
g) Somatório nas junções 0 (fluxos) e 1 (esforços) com as Equações de Estado:
•
eixo do atuador:
e6 = e5 − e57
q& 3 = f 3 = f 2 − f 4 − f 7
p& 6 =
q& 3 = K SV A1 A2 [r (t ) − k potθ a ] −
(7.2.10)
Dm
1
p6 −
q3
I6
R7 C 3
q& 3 = K SV A1 A2 r − k SV A1 A2 k potθ a −
•
Dm
1
q3 −
q58
C3
C 58
eixo de torção:
f 58 = q& 58 = f 57 − f 59
188
Dm
1
p6 −
q3
I6
R7 C 3
(7.2.11)
q& 58 =

1
1
1
1
p 6 − TF55
p53 + TF61
p59 + TF67
p 65 +
I6
I
I
I

53
59
65
TF73
1
1
1
1
1
1
p 71 + TF76
p 77 + TF85
p83 + TF91
p89 + TF97
p95 + TF103
p101 +
I 71
I 77
I 83
I 89
I 95
I 101
+ TF4
•

1
1
1
p8 + TF9
p13 + TF14
p18 
I8
I 13
I 18 
(7.2.12)
placa - translação
e8 = p& 8 = e4 − e7
p& 8 = − k11T q7 + TF4 .k tors q58
1
1
p8 =
p8
I8
m placa
(7.2.14)
p& 13 = − k 21T q12 + TF9 .k tors q58
(7.2.15)
q& 7 = f 8 =
q&12 = f13 =
1
1
p13 =
p13
I 13
m placa
p& 18 = − k nT1 q17 + TF14 .k tors q58 = − k 31T q17 + TF14 .k tors q58
q&17 = f18 =
•
(7.2.13)
1
1
p18 =
p18
I 18
m placa
(7.2.16)
(7.2.17)
(7.2.18)
placa - flexíveis:
p& 53 = − k13F q54 + TF55 .k tors q58
q& 54 = f 53 =
1
1
p53 =
p53
I 53
m13
p& 59 = − k14F q60 + TF61 .k tors q58
189
(7.2.19)
(7.2.20)
(7.2.21)
q& 60 = f 59 =
1
1
p59 =
p59
I 59
m14
p& 65 = − k1Fm q66 + TF67 .k tors q58 = − k15F q66 + TF67 .k tors q58
q& 66 = f 65 =
1
1
1
p65 =
p65 =
p65
I 65
m1m
m15
p& 71 = − k 23F q72 + TF73 .k tors q58
q& 72 = f 71 =
1
1
p71 =
p71
I 71
m23
p& 77 = − k 24F q78 + TF79 .k tors q58
q& 78 = f 77 =
1
1
p77 =
p77
I 77
m24
p& 83 = − k 2Fm q58 + TF85 .k tors q58 = − k 25F q58 + TF85 .k tors q58
q& 84 = f 83 =
1
1
1
p83 =
p83 =
p83
I 83
m2 m
m25
(7.2.22)
(7.2.23)
(7.2.24)
(7.2.25)
(7.2.26)
(7.2.27)
(7.2.28)
(7.2.29)
(7.2.30)
p& 89 = − k nF3 q90 + TF91 .k tors q58 = − k 33F q90 + TF91 .k tors q58
(7.2.31)
1
1
p89 =
p89
I 89
m33
(7.2.32)
p& 95 = − k nF4 q96 + TF97 .k tors q58 = − k 34F q96 + TF97 .k tors q58
(7.2.33)
q& 90 = f 89 =
q& 96 = f 95 =
1
1
1
p95 =
p95 =
p95
I 95
mn 4
m34
F
p& 101 = − k nm
q102 + TF103 .k tors q58 = − k 35F q102 + TF103 .k tors q58
190
(7.2.34)
(7.2.35)
q&102 = f101 =
1
1
1
p101 =
p101 =
p101
I 101
mnm
m35
(7.2.36)
que colocadas na forma matricial:
X& = A. X + B. u
(7.2.37)
Y = C. X + D. u
com:
[
p& 6 θ&a
p& 65
q& 66
X& = q& 3
p& 71
q& 58
q& 72
p& 8
p& 77
q& 7
p& 13
q& 78
q&12
p& 83
p& 18
q& 84
q&17
p& 89
p& 53
q& 90
q& 54
p& 95
p& 59
q& 96
q& 60
q&102 ]
T
p& 101
(7.2.38)
A. = [a i , j ]
i = 1,..., 28
j = 1, ..., 28
sendo
a1,1 = −
1
R7 C 3
a1, 2 = −
Dm
I6
a1,3 = − k SV A1 A2 k pot
a 2 ,1 =
Dm
C3
a2, 4 = −
1
C 58
a3, 2 =
a4, 2 =
1
I6
a4,5 = −
TF4
I8
a4,7 = −
a 4 ,13 = −
TF61
I 59
a 4 , 21 = −
TF85
I 83
a 4 ,11 = −
TF55
I 53
a 4 ,19 = −
TF79
I 77
a 4, 27 = −
TF103
I 101
a5, 4 = TF4 .k tors
1
I6
TF9
I 13
a4,9 = −
a 4 ,15 = −
TF67
I 65
a 4 ,17 = −
TF73
I 71
a 4 , 23 = −
TF91
I 89
a 4, 25 = −
TF97
I 95
a5, 6 = − k11T
191
a6 ,5 =
1
I8
TF14
I 18
a 7 , 4 = TF9 .k tors
1
I 53
a13,14 = −k14F
a16 ,15 =
a15,16 = −k15F
a18,17 =
1
I 13
a11, 4 = TF55 .k tors
a13, 4 = TF61 .k tors
a15, 4 = TF67 .k tors
a17 ,18 = −k
a8 , 7 =
1
I 18
a10 , 9 =
a9,10 = −k 31T
a12 ,11 =
a 7 ,8 = −k 21T
1
I 71
1
I 65
a9 , 4 = TF14 .k tors
a11,12 = −k13F
a14 ,13 =
1
I 59
a17 , 4 = TF73 .k tors
a19 , 4 = TF79 .k tors
a19 , 20 = −k 24F
a 21, 4 = TF85 .k tors
a 21, 22 = − k 25F
a 22 , 21 =
a 23, 4 = TF91 .k tors
a 23, 24 = −k 33F
a 24 , 23 =
a 25, 26 = −k 34F
a 26 , 25 =
a 20 ,19 =
F
23
1
I 77
a 28, 27 =
1
I 95
1
I 89
a 27 , 4 = TF103 .k tors
1
I 83
a 25, 4 = TF97 .k tors
a 27 , 28 = − k 35F
1
(7.2.39)
I 101
e os elementos restantes são nulos.
B = [ A1 A2 k SV
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0]
T
(7.2.40)
U = r (t )
(7.2.41)
192
Para a equação de saída, desejamos calcular a equação:
R
S
z ( x, y, t ) = ∑∑ φ nx ( x) φ my ( y )η nm (t )
(7.2.42)
n =1 m =1
e admitindo a série truncada em R = 3 (3 modos flexíveis de flexão) e S = 5 (1 translação, 1
rotação e 3 modos flexíveis de torção), teremos para a coordenada do ponto do acelerômetro
1-2:
3
5
b
b
z (a, , t ) = ∑ ∑ φ nx (a ) φ my ( )η nm (t )
2
2
n =1 m =1
(7.2.43)
b
z (a, , t ) = [φ1xφ1 yη11 + φ1xφ 3 yη13 + φ1 xφ 4 yη14 + φ1 xφ 5 yη15 +
2
+ φ 2 xφ1 yη 21 + φ 2 xφ 3 yη 23 + φ 2 xφ 4 yη 24 + φ 2 xφ 5 yη 25 +
+ φ 3 xφ1 yη 31 + φ 3 xφ 3 yη 33 + φ 3 xφ 4 yη 34 + φ 3 xφ 5 yη 35 ]x = a
y =b / 2
(7.2.44)
lembrando que os modos de rotação não são excitados pelo torque hidráulico. Podemos
colocar a equação de saída acima, na forma matricial:
b
z (a, , t ) = C X + DU
2
(7.2.45)
com
C = [0 0 0 0 0 φ1xφ1 y
0 φ1 x φ 3 y
0 φ 2 x φ1 y
0 φ1 x φ 4 y
0 φ 3 x φ1 y
0 φ1 x φ 5 y
0 φ 2 xφ 5 y
0 φ 2 xφ 3 y
0 φ 3 xφ 3 y
0 φ 2 xφ 4 y
0 φ 3 xφ 4 y
0 φ 3 xφ 5 y ]x = a
y =b / 2
(7.2.46)
193
lembrando que o torque idealmente não transfere energia para os modos de rotação das vigas
transversais e q = η , teremos:
D=0
algumas manipulações algébricas temos a função de transferência entre a entrada r(t) e a saída
y acc12 (t ) :
G ( s ) = C ( s I − A ) −1 B + D
As expressões das inertâncias generalizadas podem ser rescritas como:
•
Planta hidráulica
I 6 = J a = 0,0025 [ kg .m 2 ]
•
Placa – translação
I 8 = I 13 = I 18 = ρ hab
•
Placa - flexíveis
I 53 = m 13 = ρ hab
I 59 = m 14 = ρ hab
I 65 = m 15 = ρ hab
I 71 = m 23 = ρ hab
I 77 = m 24 = ρ hab
I 83 = m 25 = ρ hab
I 89 = m n 3 = ρ hab
I 95 = m n 4 = ρ hab
I 101 = m nm = ρ hab
(7.2.47)(a..i)
e as expressões das capacitâncias generalizadas podem ser reescritas como:
•
Planta hidráulica, pela equação (6.6.20):
5
C 3 = C H = 3,2151.10-11 [N.s/ m ]
•
(7.2.48)
eixo de torção:
k torç = 37 , 7 [ Nm / rd ]
194
(7.2.49)
•
translação
a
k = Db ∫ φ φ1 x dx
T
11
iv
1x
0
a
k = Db ∫ φ φ 2 x dx
T
21
iv
2x
0
a
k = Db ∫ φ 3ivx φ 3 x dx
T
31
0
(7.2.50)(a..c)
•
flexíveis
a
b
b
 a iv

ii
ii
k = D b ∫ φ1 x φ1 x dx + 2 ∫ φ1 xφ1 x dx ∫ φ 3 yφ 3 y dy + a ∫ φ 3ivy φ 3 y dy 
0
0
0
 0

F
13
a
b
b
 a iv

ii
ii
0
0
0
 0

F
14
a
b
b
 a iv

ii
ii
0
0
0
 0

a
a
b
b


k 23F = D b ∫ φ 2ivx φ 2 x dx + 2 ∫ φ 2iixφ 2 x dx ∫ φ 3iiyφ 3 y dy + a ∫ φ 3ivy φ 3 y dy 
0
0
0
 0

F
15
a
b
b
 a iv

ii
ii
k = D b ∫ φ 2 x φ 2 x dx + 2 ∫ φ 2 xφ 2 x dx ∫ φ 4 yφ 4 y dy + a ∫ φ 4ivy φ 4 y dy 
0
0
0
 0

F
24
a
b
b
 a iv

ii
ii
0
0
0
 0

F
25
a
b
b
 a iv

ii
ii
0
0
0
 0

F
33
a
b
b
 a iv

ii
ii
0
0
0
 0

F
34
a
b
b
 a iv

ii
ii
0
0
0
 0

F
35
195
(7.2.51)(a..i)
As expressões dos módulos dos transformadores e giradores generalizados podem ser
reescritas como:
•
Planta hidráulica:
Girador - ganho da servo válvula, pela equação (6.6.22):
k SV = 1,3.10-5
Transformador – Atuador hidráulico, pela equação (6.6.17):
Dm = 3,81[in 3 / rad ] = 6,244 .10 −5 [m 3 / rad ]
•
•
Placa – translação (m=1):
n = 1, m = 1
TF 4 = b φ 1' x ( 0 )
n = 2, m = 1
TF 9 = b φ 2' x ( 0 )
n = 3, m = 1
TF 14 = b φ 3' x ( 0 )
Placa - flexíveis
b
TF 55 = φ 1' x ( 0 ). ∫ φ 3 y dy
0
b
TF 73 = φ 2' x ( 0 ). ∫ φ 3 y dy
0
b
TF 91 = φ 3' x ( 0 ). ∫ φ 3 y dy
0
b
TF 61 = φ 1' x ( 0 ). ∫ φ 4 y dy
0
b
TF 79 = φ 2' x ( 0 ). ∫ φ 4 y dy
0
b
TF 97 = φ 3' x ( 0 ). ∫ φ 4 y dy
0
b
TF 67 = φ 1' x ( 0 ). ∫ φ 5 y dy
0
b
TF 85 = φ 2' x ( 0 ). ∫ φ 5 y dy
0
b
TF 103 = φ 3' x ( 0 ). ∫ φ 5 y dy
0
ganhos dos amplificadores operacionais diferencial e inversor:
A1 = 2 [V / V ]
e
A 2 = 10 [V / V ]
ganho do potenciômetro do eixo do atuador hidráulico:
k pot =
2 . 14 [V ]
= 11 , 46 [V / rd ]
o π [ rd ]
140
180 o
196
(7.2.52)
resistência hidráulica pela equação (6.6.21):
R 7 = R H = 3,798.107
(7.2.53)
inserindo esses valores, com o auxílio do programa Flextor8.ma (apêndice C2), nos elementos
das matrizes de massa da equação matricial (7.2.37), encontramos as matrizes ABCD
mostradas no apêndice A2. O programa GsabcdBG (apêndice C4) recebe estas matrizes e
produz a função de transferência do sistema completo, plotando as funções de resposta em
freqüência a seguir.
figura 7.2.2 – FRF entre a referência
r (t )
e a saída
197
y acel 12 (t )
no acelerômetro 12.
r (t )
e
y acel 12 (t )
frequência [Hz]
r (t )
e
y acel 12 (t )
Nas figuras anteriores podemos verificar as freqüências naturais de vibração dadas nos
picos de ressonâncias. Avaliando numericamente os vetores nas plotagens dos gráficos
anteriores, verifica-se os seguintes valores das freqüências, em [Hertz]:
f1 = 4,9769
f2 = 15,994
f3 = 33,297
f4 = 66,763
198
f5 = 73,4675 f6 = 86,058
correspondentes aos modos naturais da placa flexível. Comparando as freqüências acima com
os autovalores obtidos pela análise realizada na seção V.5 e rescritos a seguir:
f[Hz] =
{419., 394., 374., 360., 352., 247.,
221., 202., 189., 181., 132.,106., 86.7, 86.7, 86.1, 73.5, 66.8, 56.8, 56.8,
33.2, 33.2, 15.9, 15.9, 4.91, 4.91}
sugerem confiabilidade nas análises e nos modelos utilizados, podendo a princípio respaldar e
validar a proposta do BG da placa flexível (figura 5.3.3.3) e da planta hidráulica (figura
6.6.1). Podemos afirmar que em função dessa comparação acima, a metodologia ou análise
utilizada na seção V.5 (cálculo dos autovalores) está coerente com a utilizada nessa seção,
lembrando que aparecem a translação e os modos elásticos nesta seção.
199
VII.3 – Comparações com resultados de ensaios
Em uma segunda comparação, utilizamos as FRF obtidas nos ensaios, de acordo com a
seção VI.3. A figura abaixo mostra uma superposição entre as FRF encontradas:
figura 7.3.1 – Plotagem das FRF entre a saída
y acel 12 (t )
e entrada
r (t ) , prática e teórica.
em vermelho –
y acel 12 (t ) / r(t) prática com varredura 0-100Hz
em azul
–
y acel 12 (t ) /r(t) prática com varredura 0-200Hz
em preto
–
y acel 12 (t ) / r(t) teórica via BG
Avaliando a figura anterior juntamente com as figuras 7.2.2, onde apresenta picos de
ressonâncias nas freqüências de 4,6[Hz] e 16[Hz], podemos inferir que segundo o gráfico
acima, o modelo dinâmico proposto apresenta uma resposta em freqüência coerente com as
obtidas em ensaios.
200
VII.4 - Comparações com resultados analíticos
A freqüência de ressonância do mancal aerostático (contra-peso + fixador) com o eixo
de torção é dada pela expressão a seguir.
f CR =
1
2π
k torç
f CR =
I
1
2π
37,7
=
4,0086
0,4881[Hz]
As freqüências de modos independentes conforme propõe o BG da placa, fruto da
análise da equação do movimento obtida na seção V.3.3, apresenta as seguintes freqüências
naturais:
f nm =
1
1
ω nm =
2π
2π
k nm
mnm
por exemplo, na translação em y e 1o modo elástico em x:
n=1
m = 1:
f11 =
1
1
ω 11 =
2π
2π
k11
m11
f11 =
1
1
ω 11 =
2π
2π
4665,03
= 4,914 [ Hz ]
4,89279
e no 1º modo elástico de torção (m = 3) e 1o modo elástico de flexão (n = 1):
n=1
m = 3:
f13 =
1
1
ω13 =
2π
2π
k13
m13
f13 =
1
1
ω 13 =
2π
2π
860921
= 66,76 [ Hz ]
4,89279
201
fazendo os cálculos para as combinações dos modos escolhidos (n=1,2,3) e (m=1,3,4,5) e
particularmente, para respaldar e entender a freqüência de 56,8 Hz que parece nos resultados
do programa Farib.ma, (m = 4 e n = 1), teremos os resultados da tabela abaixo.
Placa - translação (m = 1) em y e 3 modos elásticos em x (n = 1,2,3):
m11 = 4,89279
k11 = 4665,03
f11 = 4,9144
m21 = 4,89279
k21 = 48990,9
f21 = 15,9257
m31 = 4,89279
k31 = 213265,0
f31 = 33,2278
m41 = 4,89279
k41 = 623653,0
f31 = 56,8216
TF4 = -1,79438
TF9 = 3,32352
TF14 = -4,79765
TF14 = -4,79765
Placa - rotação em y (m = 2) e 3 modos elásticos em x (n = 1,2,3):
m12 = Jg = 0,0895
k12 = 0,0000879
f12 = 0,005
m22 = Jg = 0,0895
k22 = 170,565
f22 = 6,9479
m32 = Jg = 0,0895
k32 = 3900,38
f32 = 33,2248
TF = 0
TF = 0
TF = 0
Placa - modos elásticos de torção (m=3,4,5) e modos elásticos em x (n = 1,2,3):
m13 = 4,89279
k13 = 860921
f13 = 66,7611
TF55 = 3,689*(10^(-9))
m23 = 4,89279
k23 = 1040000
f23 = 73,38
TF73 = -6,83*(10^(-9))
m33 = 4,89279
k33 = 1430000
f33 = 86,04
TF91 = 9,86*(10^(-9))
m14 = 4,89279
k14 = 6317000
f14 = 180,84
m15 = 4,89279
k15 = 23944000
f15 = 352,08
TF61 = -1,87*(10^(-9))
TF67 = 1,24*(10^(-8))
m24 = 4,89279
k24 = 6870000
f24 = 188,59
m25 = 4,89279
k25 = 25090000
f25 = 360,41
TF79 = 3,46929*(10^(-9))
m34 = 4,89279
k34 = 7876000
f34 = 201,93
TF97 = -5,005*(10^(-9))
TF85 = -2,299*(10^(-8))
m35 = 4,89279
k35 = 27050000
f35 = 374,22
TF103 = 3,31*(10^(-8))
tabela 7.4.1 – Valores dos elementos modais e frequências.
202
Extraindo as informações de modos e freqüências, teremos:
1 1
4,914
e translação y
2 1
15,926
3 1
33,228
4 1
56,822
e elásticos y
1 3
66,761
2 3
180,841
3 3
352,079
e elásticos y
1 4
73,377
2 4
188,591
3 4
360,406
e elásticos y
Elásticos x
Elásticos x
Elásticos x
Elásticos - x
n m frequência [Hz]
1 5
86,042
2 5
201,927
3 5
374,220
tabela 7.4.2 – Freqüências dos modos de vibração da placa.
Analisando as freqüências acima e comparando com as obtidas pelo modelo teórico
proposto pelo BG da placa, seção V.2, concluímos que são as mesmas, validando os dois
métodos utilizados.
203
VII.5 – Simulações no CAMP-G
Realizou-se a simulação anterior com o aplicativo CAMP-G e os resultados foram
praticamente os mesmos obtidos na seção anterior. A tela principal do aplicativo é mostrada a
figura 7.5.1, abaixo.
figura 7.5.1 – Simulação no aplicativo CAMP-G.
204
e os Grafos de Ligações com o sistema de controle é mostrado a seguir:
figura 7.5.2 – Simulação no aplicativo CAMP-G com o Sistema de Controle.
205
Após manipulações dos arquivos gerados, introduzindo os valores numéricos dos
elementos, condições iniciais e principalmente a malha de controle da planta hidráulica pois
esse aplicativo não aceita diagramas em blocos, obtemos as FTMF a seguir.
figura 7.5.3 – Ganho e Fase (FTMF) via CAMP-G.
figura 7.5.4 – FTMF entre a saída
y acel 12 (t )
206
e entrada
r (t )
via CAMP-G.
figura 7.5.5 – Detalhes da FRF entre a saída
y acel 12 (t )
e entrada
r (t )
via CAMP-G.
As freqüências encontradas são praticamente as mesmas da seção anterior, validando
de certa forma o modelo simulado.
VII.6 – Comparações com resultados de ensaios utilizando excitadores (shakers):
Alguns ensaios foram realizados por Engenheiros do IAE, descritos por Barros [4], com
a placa engastada em x=0 com a planta hidráulica não acionada e mancal aerostático
desligado. Foram utilizados excitadores (“shakers”) e acelerômetros ao longo da superfície
conforme mostra a figura 5.2.1.
207
Os dados registrados foram analisados por um software específico de análise modal,
gerando as curvas de resposta em freqüência:
figuras 7.6.1 – FRF da placa via excitadores tipo shakers, 1 a 4, banda = 64[Hz].
figuras 7.6.2 – FRF da placa via excitadores tipo shakers, 5 a 8, banda = 64[Hz]
208
figuras 7.6.3 – FRF da placa via excitadores tipo shakers, 9 a 12, banda = 64[Hz]
figuras 7.6.4 – FRF da placa via excitadores tipo shakers, 1 a 4, banda = 16[Hz].
209
figuras 7.6.5 - FRF da placa via excitadores tipo shakers, 5 a 8, banda = 16[Hz].
Assim, podemos fazer uma segunda comparação, mesmo com a extremidade x=0
engastada. Das figuras anteriores, anotamos as freqüências dos picos de ressonâncias, sérios
candidatos aos valores das freqüências naturais dos modos de vibrar da placa:
f1 = 4.7 [Hz]
f2 = 9,5 [Hz]
f3 = 17,5 [Hz]
f4 = 33 [Hz]
f5 = 47 [Hz]
f6 = 55 [Hz]
e passamos a comparar estes valores com os obtidos na seção V.5 reescritas abaixo, sendo a
placa com funções de forma apoiada-livre na flexão e livre-livre na torção:
f[Hz] =
{419., 394., 374., 360., 352., 247.,
221., 202., 189., 181., 132.,106., 86.7, 86.7, 86.1, 73.5, 66.8, 56.8, 56.8,
33.2, 33.2, 15.9, 15.9, 4.91, 4.91}
210
comparando:
freqüência
f (via “shakers”)
f* (teórico)
diferença
f1
4,7
4,91
4,2 %
f2
17,5
15,9
10 %
f3
33
33,2
0,6 %
f4
55
56,8
3,2%
percebemos claramente a pequena diferença entre os valores de freqüências obtidos. Apesar
da condição de contorno em x=0 ser diferente, concluímos que funções de forma engastadalivre para a flexão também fornecerão bons resultados, se inserido no modelo deste trabalho.
Um cuidado deve ser considerado pois o modelo do sistema completo dado pelas equações
(4.2.14) e (4.3.3.25) utiliza a primeira derivada das funções de forma de flexão para o
acoplamento entre os graus de liberdade θ e
w.
211
Capítulo VIII - Comentários e conclusões
A proposta do modelo BG da planta hidráulica mostrada na figura 5.6.1.1 foi validada
pela curvas encontradas de suas funções de resposta em freqüência que comparadas com as
obtidas em ensaio, são bem próximas. A proposta do modelo BG somente da placa flexível
também foi validada, pois as curvas de resposta em freqüência possuem formatos coerentes e
apresentam freqüências naturais próximas, entre o modelo analítico e o obtido via BondGraph. As matrizes de estado obtidas do sistema completo geram curvas representando o
comportamento dinâmico da planta hidráulica e estrutura flexível (placa) e estas curvas foram
encontradas nos ensaios com uma leve diferença no formato e com valores de freqüências
discutidas na seção VII.6. Tais discrepâncias (menores que 10%) tendem a aumentar nos
modos mais elevados, o que é aceitável em função das simplificações e hipóteses adotadas.
As figuras a seguir ilustram os erros dos estimadores para a função coerência da figura 6.3.7 e
para as FRFs da figura 6.3.8, aplicando-se a equação 6.2.5 e 6.2.6. Em todo caso, os
resultados são coerentes, apresentam erros pequenos nas freqüências de ressonância
validam o modelo do sistema proposto.
figura 8.1 - Erro no estimador da coerência da figura 6.3.7.
212
e
figura 8.2 - Erro no estimador da FRF das figuras 6.3.5 e 6.3.6.
figura 8.3 – Função coerência para a FRF da figura 6.3.8.
figura 8.4 - Erro no estimador da funcão coerência da figura 8.3.
213
figura 8.5 - Erro no estimador da FRF da figura 6.3.8.
A facilidade do uso da linguagem generalizada é de fundamental importância para
analisar sistemas diferentes, pois após certa familiarização, possibilita rastrear de maneira
mais eficiente, os erros que possam ter sido cometidos ao longo do desenvolvimento. O “remodelamento” ou novas simulações também são realizados de maneira rápida e mais objetiva.
Analisando os resultados obtidos dos ensaios, verifica-se que a freqüência de corte da
planta hidráulica é estimada em 35 [Hz]. Dessa forma, se os valores das freqüências naturais
correspondentes aos respectivos modos de vibração da estrutura flexível forem menores, eles
não serão atenuados ou mascarados e teremos a certeza de que tais modos serão excitados.
Porém, acima desta freqüência, podemos ainda avaliar o formato dos picos ressonantes para a
identificação das freqüências de ressonância ou freqüências naturais de vibração da placa. O
resultado dessa colocação possibilita avaliar quais estruturas flexíveis podemos acionar
através desta planta e até mesmo definir razões de aspecto recomendadas pelas literaturas
científicas. Outra conclusão é que podemos estimar o número máximo de modos de vibrações
de flexão e torção de interesse, em função da faixa freqüências de atuação da planta
214
excitadora. Por outro lado, conhecendo a dinâmica da planta acionadora pode-se definir as
grandezas físicas características, de tal maneira a termos freqüências naturais dos modos de
flexão e torção dentro desta faixa de pouca atenuação, possibilitando excitar diversos modos e
estudar seus modelos com maior confiabilidade.
Na tabela 7.4.1 são apresentadas as freqüências teóricas de vibração da placa, sendo que
as de rotação (m=2) foram inseridas nas figuras da seção V.6.
A identificação da planta hidráulica foi feita de maneira indireta, ou seja, como o
sistema em malha aberta apresenta uma resposta sugerindo um sistema com planta integrativa,
foi necessário identificá-la em malha fechada. O artigo de Ljung [29] descreve este processo
com detalhes.
Todos os resultados dos ensaios estão gravados e disponíveis para outra análises e
outros objetivos. As FRF entre a entrada r(t) e todos os acelerômetros estão gravados, de
forma a serem utilizados na comparação com as FRF analíticas obtidas com o auxílio do
aplicativo CAMP-G.
Neste trabalho realizou-se os ensaios com a placa vibrando em torno de uma
determinada posição angular estabelecida. Porém, se desejarmos controlar para uma desejada
posição angular e também o controle das vibrações, é necessário considerar a equação
(5.2.15a) e considerar a condição de contorno
φ nx' (0) = θ
, sendo esta definida
explicitando-se a equação (5.2.15 a) pois todas as expressões do integrando já estão definidas.
Esse processo é realizado nos trabalhos de Soares [53], Negrão [39] e Rios Neto [43].
Merritt [36] estuda alguns modelos hidráulicos para o conjunto servo-válvula, atuador e
carga, sugerindo algumas simplificações típicas. Um exemplo de tal simplificação é
considerar um ganho para a servo-válvula e um sistema de 2a ou 3a ordem para o atuador e
carga. Esta aproximação é baseada no fato de que não é aceitável admitir uma servo-válvula
mais lenta que a dinâmica da carga ou do atuador.
215
Várias obras como Meirovitch [33] e Szilard [55] apresentam placas com suas equações
de movimento explicitamente para o caso de todos os lados da placa simplesmente apoiadas
ou então engastadas, simplificando a solução da equação do movimento através do método de
Ritz. Os casos de placas com outras combinações laterais mistas, proporcionam
desenvolvimentos de certa forma mais trabalhosos, sendo descritos em obras e artigos
específicos como de Geradin [20], Fariborzi [17], Barton [5] e Rajalinghan [45].
A validação das freqüências calculadas com as obtidas nas medições com o experimento
respaldam, de certa forma, o modelo matemático e o modelo BG da estrutura flexível. As
propostas dos modelos deste trabalho, reúnem diversas áreas da Engenharia em uma única
linguagem, e desse modo permitem que trabalhos futuros possam desenvolver projetos que
utilizam o mínimo de energia possível. Diante deste fato podemos afirmar que o modelo
completo do sistema proposto é um produto mecatrônico.
Muitos fatores podem contribuir para a diferença entre os valores teóricos e práticos das
freqüências dos modos da placa. Podemos citar em uma ordem de peso, o número de modos
considerados para o cálculos teóricos, as hipóteses de simplificações da teoria de viga, o
deslizamento das duas placas rebitadas, a presença das massas dos acelerômetros, os fios
elétricos dos acelerômetros, os efeitos da massa de ar deslocada pela placa, a dinâmica do
controlador para a medição dos valores práticos, etc. Algumas recomendações são colocadas
no próximo capítulo, para que trabalhos futuros possam refinar os valores de freqüências e
outros parâmetros dinâmicos do sistema.
Durante o desenvolvimento matemático de equações de movimento, muitas vezes,
pode-se aproximar certas expressões com o intuito de, conforme o caso, simplificar os
resultados. Um cuidado especial neste sentido é simplificar ou utilizar linearizações apenas no
final do desenvolvimento e assim os erros serão bem menores.
216
Os transformadores modais calculados e apresentados na tabela 7.4.1 assumem valores
relativamente pequenos e desse modo proporcionam curvas de resposta em freqüência com
ganhos pequenos (figuras 7.2.2 e 7.5.5). Neste caso, para efeito de função de transferência,
devemos assumir um ganho global entre as curvas teóricas e as obtidas no ensaio (figura 6.3.8
e 7.6.1).
Na identificação prática do sistema hidráulico, muitos parâmetros como massas, molas,
indutores, capacitores, inércias (translacionais e rotacionais) etc, que contribuem cada um
deles com um grau de energia, podem não aparecer na identificação. Isso se deve ao fato de
seus pólos situarem longe do eixo imaginário do plano “s” quando comparados aos pólos
dominantes de alguns elementos dinâmicos.
Finalmente ressaltamos que os objetivos propostos foram alcançados com resultados
expressivos, de maneira que este trabalho pode facilitar o entendimento do assunto abordado e
principalmente iniciar trabalhos de modelos de placas flexíveis na linguagem de grafos de
ligação, bem como respaldar modelos de plantas hidráulicas de controle de posição.
Capítulo IX - Recomendações e Sugestões
Neste trabalho, a placa flexível é considerada uma placa fina e como tal, foram
desconsiderados os efeitos de rotação que aparecem na expressão (4.2.6b). Assim, deve-se
sempre avaliar se o número de modos desejados é realmente o menor possível, já que tal
aproximação causa diferenças consideráveis para modos elevados.
A escolha das funções de forma é muito importante para os objetivos da modelagem,
seja para a determinação das freqüências com maior precisão ou para um modelo com
determinados modos de interesse, que possam facilitar a simulação e projetos de
controladores.
217
Sugerimos a implementação de controladores analógicos proporcionais P, proporcionais
integrais PI e proporcionais derivativos PD na malha de controle hidráulico e verificar o
comportamento do eixo do atuador. Em seguida fazer o acoplamento com a planta flexível e
verificar os resultados de minimização das vibrações. Isso pode fornecer boas conclusões
quanto ao modelo proposto neste trabalho. Finalmente, fazer a implementação do controlador
digital com
a função de transferencia do controlador analógico e verificar os mesmos
resultados.
Na modelagem do torque aplicado ao mancal, utilizou-se do modelo de dispositivos
especiais para a aplicação de torques concentrados, dessa forma é recomendado uma atenção
especial para a obra de Preumont [42] que trata desse assunto.
Recomenda-se realizar ensaios com placas de outros materiais como por exemplo, aço e
acrílico. Recomenda-se ainda, identificar a curva de resposta em freqüência dos dois
amplificadores do aparelho utilizado DIGIAC 711, para verificação das freqüências de corte e
assim assegurar que as freqüências da placa estão dentro da faixa de freqüências de operação
do controlador. Foi considerado o controlador como sendo o amplificador subtrator e o de
Potência com ganhos constantes na faixa de freqüência de 0-200Hz.
Se possível utilizar uma placa menor e com uma razão de aspecto a/b = 1 ou 1,5 para
que possamos comparar resultados com os disponíveis na bibliografia. Modificar a placa de
modo a termos um placa única, ao invés de duas rebitadas. Uma opção seria recortar a atual
placa para dimensões menores. Recomenda-se implementar um sistema protetor de modo a
“sentir” a presença ou a quantidade de energia do ar pneumático, de modo a ser suficiente
para a operação segura do mancal aerostático. Por outro lado ele também é muito sensível à
poeira e assim recomenda-se protegê-lo com um plástico transparente, após sua utilização.
218
Capítulo X – Bibliografia
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224
Apêndices
A1 – Dados técnicos da placa flexível
material: Alumínio
Al
Módulo de Young
E = 6,89 . 1010 [N/m]
densidade
ρ = 2795 [kg/m3]
comprimento
a = 1,41 [m]
largura
b = 46,85 [cm]
espessura
h = 2,65 [mm]
A2 – Matrizes de Estado do sistema através do BG desenvolvido
Simbólicas:
Matriz A =
1.
{{-(1/(C3*R7)),-(DM/I6),-(A1*A2*kPOT*kSV),0,0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0},
2.
{DM/C3, 0, 0, -C58^(-1), 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,
3.
{0, I6^(-1), 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,
0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0},
4.
{0, I6^(-1), 0, 0,-(attf4/I8),0,-(bttf9/I13), 0, -(cttf14/I18),
0, -(aTF55/I53), 0, -(bTF61/I59), 0, -(cTF67/I65), 0,
0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0},
-(dTF73/I71), 0, -(eTF79/I77), 0, -(fTF85/I83), 0, -(gTF91/I89),
0, -(hTF97/I95), 0, -(iTF103/I101), 0},
5.
{0, 0, 0, attf4*ktors, 0, -aktr11, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,
0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0},
6.
{0, 0, 0, 0, I8^(-1), 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,
0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0},
7.
{0, 0, 0, bttf9*ktors, 0, 0, 0, -bktr21, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,
0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0},
8.
{0, 0, 0, 0, 0, 0, I13^(-1), 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,
9.
{0, 0, 0, cttf14*ktors, 0, 0, 0, 0, 0, -cktr31, 0, 0, 0, 0, 0, 0,
10. {0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, I18^(-1), 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,
0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0},
0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0},
0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0},
11. {0, 0, 0, aTF55*ktors, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, -katr13, 0, 0, 0, 0,
12. {0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, I53^(-1), 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,
0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0},
0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0},
13. {0, 0, 0, bTF61*ktors, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, -kbtr14, 0, 0,
14. {0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, I59^(-1), 0, 0, 0, 0, 0, 0,
0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0},
0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0},
15. {0, 0, 0, cTF67*ktors, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, -kctr15,
0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0},
16. {0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, I65^(-1), 0, 0, 0, 0,
0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0},
17. {0, 0, 0, dTF73*ktors, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,
-kdtr23, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0},
18. {0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, I71^(-1), 0, 0,
0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0},
19. {0, 0, 0, eTF79*ktors, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,
20. {0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, I77^(-1),
0, -ketr24, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0},
0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0},
21. {0, 0, 0, fTF85*ktors, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,
22. {0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,
0, 0, 0, -kftr25, 0, 0, 0, 0, 0, 0},
I83^(-1), 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0},
23. {0, 0, 0, gTF91*ktors, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,
24. {0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,
25. {0, 0, 0, hTF97*ktors, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,
26. {0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,
27. {0, 0, 0, iTF103*ktors, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,
28. {0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,
0, 0, 0, 0, 0, -kgtr33, 0, 0, 0, 0},
I89^(-1), 0, 0, 0, 0, 0},
0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, -khtr34, 0, 0},
0, 0, I95^(-1), 0, 0, 0},
0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, -kitr35},
0, 0, 0, 0, I101^(-1), 0}}
Matriz B =
{{A1*A2*kSV}, {0}, {0}, {0}, {0}, {0}, {0}, {0}, {0}, {0}, {0}, {0}, {0}, {0}, {0}, {0}, {0}, {0}, {0}, {0},
{0}, {0}, {0}, {0}, {0}, {0}, {0}, {0}}
Matriz C =
{{0, 0, 0, 0, 0, fix1x[a]*fi1y[b/2], 0, fix2x[a]*fi1y[b/2], 0,
fix1x[a]*fi4y[b/2],
fix3x[a]*fi1y[b/2], 0, fix1x[a]*fi3y[b/2], 0,
0, fix1x[a]*fi5y[b/2], 0, fix2x[a]*fi3y[b/2], 0,
fix2x[a]*fi5y[b/2],
0,
fix3x[a]*fi3y[b/2],
0,
fix2x[a]*fi4y[b/2], 0,
fix3x[a]*fi4y[b/2],
0,
fix3x[a]*fi5y[b/2]}}
Numéricas:
Matriz A:
aa=[-818.929992623078 -0.04162666666666666 -0.002979600000000001 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0;
1.182575757575758*10^6 0 0 -0.02652519893899204 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0;
0 666.6666666666666 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0;
0 666.6666666666666 0 0 0.3667389447513289 0 -0.6796782401799863 0 0.980555382105539 0 -(7.540497982399934*10^-10) 0
3.825935947598092*10^-10 0 -(2.535420932098267*10^-9) 0 1.397482452329533*10^-9 0 -(7.090617042779711*10^-10) 0
4.698902207979389*10^-9 0 -(2.016114183186*10^-9) 0 1.022946196115641*10^-9 0 -(6.778992731622047*10^-9) 0;
0 0 0 -67.64797102346561 0 -4665.026698114616 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0;
0 0 0 0 0.2043824523920923 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0;
0 0 0 125.3721606472752 0 0 0 -48990.94860598517 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0;
0 0 0 0 0 0 0.2043824523920923 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0;
0 0 0 -180.8713882856271 0 0 0 0 0 -213264.907766197 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0;
0 0 0 0 0 0 0 0 0.2043824523920923 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0;
0 0 0 1.390905973625925*10^-7 0 0 0 0 0 0 0 -860920.919603728 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0;
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.2043824523920923 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0;
0 0 0 -(7.057248973005703*10^-8) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -(6.316808523859744*10^6) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0;
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.2043824523920923 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0;
0 0 0 4.676789422055244*10^-7 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -(2.394376168372362*10^7) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0;
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.2043824523920923 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0;
0 0 0 -(2.577769658608021*10^-7) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -(1.042505385652845*10^6) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0;
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.2043824523920923 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0;
0 0 0 1.307921787727495*10^-7 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -(6.874909003470258*10^6) 0 0 0 0 0 0 0 0;
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.2043824523920923 0 0 0 0 0 0 0 0 0;
0 0 0 -(8.66750600002473*10^-7) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -(2.509155429151813*10^7) 0 0 0 0 0 0;
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.2043824523920923 0 0 0 0 0 0 0;
0 0 0 3.718886030406247*10^-7 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -(1.430449201266212*10^6) 0 0 0 0;
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.2043824523920923 0 0 0 0 0;
0 0 0 -(1.886907175356498*10^-7) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -(7.876405026215652*10^6) 0 0;
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.2043824523920923 0 0 0;
0 0 0 1.250440157611296*10^-6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -(2.705398396314983*10^7);
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.2043824523920923 0]
Matriz B:
bb=[0.00026; 0; 0; 0 ;0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0]
Matriz C:
cc= [0 0 0 0 0 2.000000071665386 0 1.999999425176478 0 2.000005099070042 0 -2.43128900853387 0 (5.633106993672874*10^-9) 0 2.844762581155133 0 -2.43128822263321 0 -(5.633105172802344*10^-9) 0 2.844761661601438 0 2.431295120070492 0 -(5.63312115362653*10^-9) 0 2.844769732041199]
Matriz D:
dd=[0];
A3 – Matrizes de Estado do sistema através do BG do CAMP-G
Simbólicas:
A=
1. [ -1/C57/R56, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, -1/I59/T1x58, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,
A1*A2*kpot*G54x55]
2. [ 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1/I20, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0]
3. [ 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1/I23, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0]
4. [ 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1/I35, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0]
5. [ 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1/I38, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0]
6. [ 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1/I29, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0]
7. [ 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1/I26, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0]
8. [ 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1/I32, 0, 0, 0, 0, 0, 0]
9. [ 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1/I8, 0, 0, 0, 0, 0]
10. [ 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1/I14, 0, 0, 0]
11. [ 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1/I11, 0, 0, 0, 0]
12. [ 0, -1/C21, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1/C42*T50x51/T13x16, 0]
13. [ 0, 0, -1/C24, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1/C42*T50x51/T19x22, 0]
14. [ 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, -1/C18, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1/C42*T50x51/T7x10, 0]
15. [ 0, 0, 0, 0, 0, 0, -1/C27, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1/C42*T50x51/T25x28, 0]
16. [ 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1/I59, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, -1/I5, 0, 0]
17. [ 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1/I17, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0]
18. [ 1/C57/T1x58, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, -1/C3, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0]
19. [ 0, 0, 0, -1/C36, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1/C42*T50x51/T46x47, 0]
20. [ 0, 0, 0, 0, -1/C39, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1/C42*T50x51/T48x49, 0]
21. [ 0, 0, 0, 0, 0, -1/C30, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1/C42*T50x51/T31x34, 0]
22. [ 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, -1/C33, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1/C42*T50x51/T52x53, 0]
23. [ 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, -1/C9, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1/C42*T50x51/T40x41, 0]
24. [ 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, -1/C12, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1/C42*T50x51/T37x43, 0]
25. [ 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, -1/C15, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1/C42*T50x51/T44x45, 0]
26. [ 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1/C3, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, -1/C42*T50x51, 0]
27. [ 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, -1/I20/T13x16*T50x51, -1/I23/T19x22*T50x51, -1/I17/T7x10*T50x51, 1/I26/T25x28*T50x51, 0, 0, 0, -1/I35/T46x47*T50x51, -1/I38/T48x49*T50x51, -1/I29/T31x34*T50x51, 1/I32/T52x53*T50x51, -1/I8/T40x41*T50x51, -1/I11/T37x43*T50x51, -1/I14/T44x45*T50x51,
1/I5*T50x51, 0, 0]
28. [ 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1/I59, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0]
B=[ G54x55 A1 A2; 0; 0; 0 ;0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0 ;
0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0; 0; 0; 0 ;
0]
C = [0,fi1x_fi4y,fi1x_fi5y,fi3x_fi3y,fi3x_fi4y,fi2x_fi4y,fi2x_fi3y,fi2x_fi5y,fi1x_fi1y,fi3x_fi1y, fi2x_fi1y, 0, 0,
0, 0, 0, fi1x_fi3y,0,0,0,0,0,0,0,0,0,fi3x_fi5y , 0]
D = [0]
Numéricas:
A=
1.
1.0e+006 *[-0.000818 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -6.4061 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0000298]
2.
[0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.2044 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0]
3.
[0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.2044 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0]
4.
[0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.2044 0 0 0 0 0 0 0 0 0]
5.
[0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.2044 0 0 0 0 0 0 0 0]
6.
[0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.2044 0 0 0 0 0 0 0]
7.
[0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.2044 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0]
8.
[0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.2044 0 0 0 0 0 0]
9.
[0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.2044 0 0 0 0 0]
10. [0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.2044 0 0 0]
11. [0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.2044 0 0 0 0]
12. 1.0e+008 * [0 -0.0632 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -4.7880 0]
13. 1.0e+007 *[ 0 0 -2.3944 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 7.2206 0]
14. 1.0e+008 *[ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -0.0086 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2.4271 0]
15. 1.0e+008 *[ 0 0 0 0 0 0 -0.0104 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1.3109 0]
16. [0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 400.0000 0 0 0 0 0 0 0 -0.2495 0 0]
17. [0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.2044 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0]
18. 1.0e+014 *[ 4.9813 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -0.0000 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0]
19. 1.0e+007 *[ 0 0 0 -0.1430 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 9.0807 0]
20. 1.0e+008 *[ 0 0 0 0 -0.0788 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1.7889 0]
21. 1.0e+008 *[ 0 0 0 0 0 -0.0687 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2.5808 0]
22. 1.0e+007 *[ 0 0 0 0 0 0 0 -2.5090 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -3.8945 0]
23. 1.0e+003 *[ 0 0 0 0 0 0 0 0 -4.6650 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -0.0005 0]
24. 1.0e+004 *[0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -4.8991 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0000 0]
25. 1.0e+005 *[ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -2.1327 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -0.0000 0]
26. [0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 37.7000 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -0.8954 0]
27. [0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3.6177 -0.5456 -1.83 0.990 0 0 0 -0.686 1.352 -1.95 0.2943 0.000 -0.00 0.00 0.00 0 0]
28. [0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 400 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0]
B=[ 0.00026; 0; 0; 0 ;0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0 ;
C = [ 0 -5.6e-9
0
D = [0]
0
0
0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0; 0; 0; 0 ; 0]
2.8448 -2.4313 -0.0000 -0.0000 -2.4313
0 -2.4313
0
0
0
0
2.8448
0
0
2.0000
0
2.0000
0
0
2.0000
0
2.8448
0]
A4 – Folhas ou “Data Sheets” da servo-válvula
A5 – Folhas ou “Data Sheets” do atuador hidráulico
B1 – BG do modo de translação em y e n-modos na direção x da placa, com
B2 – BG do modo de rotação em y e n-modos de flexão na direção x da placa, com
B3 – BG dos modos flexíveis da placa com causalidades assinaladas
B4 – BG do sistema completo: placa e planta hidráulica estimada
B5 – BG da planta hidráulica com o Modelo Equivalente de Baixa Ordem (LOES)
B6 – BG do sistema de controle da planta hidráulica com o Modelo Equivalente de
Baixa Ordem (LOES)
C1 – listagem do programa Farib.ma
(*-----------------------------------------------------(*
(* Programa: Calcula os coeficientes das funções de
(* forma da placa/viga nas direções x(flexão) e
(* y (torção) e as frequências da placa, através
(* dos auto-valores, do problema de auto-valor
(* pela eq. (5.5.9).
(*
(* Autor: Euler Gonçalves Barbosa
(* Versão: 01
(* TESE:Modelagem e Controle de Estrutura Flexível com
(*
Atuação Hidráulica
(* Data: 14/05/2001
(* ITA - Instituto Tecnológico de Aeronáutica
(* Pós-Graduação: Mestrado
(* Orientador: Prof. Dr. Luiz C. S. Góes
(* Mecatrônica e Dinâmica de Sistemas Aeronáuticos
(* file: Farib5.ma
FLExão+TORção
(*-----------------------------------------------------(* Abstract:
(*
Este programa calcula os coeficientes Anx e Amy
(* das funções de forma de flexão e torção da placa
(* flexível. Prepara também as funcoes de forma e no
(* final calcula as frequências.
(*-----------------------------------------------------ClearAll[ka, a, betax, x, i1i, i2i, i3i, i4i, i5i, i6i, i7i, i8i];
ClearAll[i9i, idezi];
"------( Integrais do produto Fi(x)*Fi(x): )-------------"
i1i = Integrate[Sin[ lb*(a-x)/a]*Sin[ lb*(a-x)/a],{x,0,a}];
i2i = Integrate[Sinh[lb*(a-x)/a]*Sinh[lb*(a-x)/a],{x,0,a}];
i3i = Integrate[Sin[ lb*(a-x)/a]*Sinh[lb*(a-x)/a],{x,0,a}];
i4i = Integrate[Sin[ lb*(a-x)/a]*Cos[ lb*(a-x)/a],{x,0,a}];
i5i = Integrate[Sin[ lb*(a-x)/a]*Cosh[lb*(a-x)/a],{x,0,a}];
i6i = Integrate[Sinh[lb*(a-x)/a]*Cos[ lb*(a-x)/a],{x,0,a}];
i7i = Integrate[Sinh[lb*(a-x)/a]*Cosh[lb*(a-x)/a],{x,0,a}];
i8i = Integrate[Cos[ lb*(a-x)/a]*Cos[ lb*(a-x)/a],{x,0,a}];
i9i = Integrate[Cosh[lb*(a-x)/a]*Cosh[lb*(a-x)/a],{x,0,a}];
idezi=Integrate[Cos[ lb*(a-x)/a]*Cosh[lb*(a-x)/a],{x,0,a}];
"------( Comprimento da placa (longitudinal): )-------------"
a = 1.41;
"------( Constantes da equação de frequencias: )-------------"
lb1 = 3.92660231;
(* from Blevins *)
lb2 = 7.06858275;
(* from Blevins *)
lb3 = 10.21017612;
(* from Blevins *)
lb4 = 13.35176878;
(* from Blevins *)
lb5 = 16.49336143;
(* from Blevins *)
"------( Constantes da fcs de forma, pelo Blevins: )----------"
"
livro Formulas for ..., pag 108, pinned-free"
sigma1x = 1.000777304;
sigma2x = 1.000001445;
sigma3x = 1;
sigma4x = 1;
sigma5x = 1;
*)
*)
*)
*)
*)
*)
*)
*)
*)
*)
*)
*)
*)
*)
*)
*)
*)
*)
*)
*)
*)
*)
*)
*)
*)
C2 – listagem do programa Flextor8.ma
(*------------------------------------------------------
*)
(*
*)
(* Programa: a) Cálculo dos coeficientes das funcoes de
*)
(*
forma da placa/viga nas direcões x(flexão) e
*)
(*
y (torção).
*)
(*
(*
b) Cálculo das Matrizes de Estado para serem
utilizadas no programa GSabcdBG (Matlab).
*)
*)
(*
*)
*)
(* Versão: 15
*)
*)
(*
*)
(* Data: 14/05/2001
*)
*)
*)
(* Orientador: Prof. Dr. Luiz C. S. Góes
*)
*)
(* file: Flextor8.ma
*)
FLExão+TORção
(*------------------------------------------------------
*)
(* Abstract:
*)
(*
Este programa calcula os coeficientes Anx e Amy
*)
(* das funções de forma de flexão e torção da placa
*)
(* flexível. Prepara também as funções de forma.
*)
(*------------------------------------------------------
*)
ClearAll[ka, a, betax, x, i1i, i2i, i3i, i4i, i5i, i6i, i7i, i8i];
ClearAll[i9i, idezi];
"------( Integrais do produto Fi(x)*Fi(x): )-------------"
i1i = Integrate[Sin[ lb*(a-x)/a]*Sin[ lb*(a-x)/a],{x,0,a}];
i2i = Integrate[Sinh[lb*(a-x)/a]*Sinh[lb*(a-x)/a],{x,0,a}];
i3i = Integrate[Sin[ lb*(a-x)/a]*Sinh[lb*(a-x)/a],{x,0,a}];
i4i = Integrate[Sin[ lb*(a-x)/a]*Cos[ lb*(a-x)/a],{x,0,a}];
i5i = Integrate[Sin[ lb*(a-x)/a]*Cosh[lb*(a-x)/a],{x,0,a}];
i6i = Integrate[Sinh[lb*(a-x)/a]*Cos[ lb*(a-x)/a],{x,0,a}];
i7i = Integrate[Sinh[lb*(a-x)/a]*Cosh[lb*(a-x)/a],{x,0,a}];
i8i = Integrate[Cos[ lb*(a-x)/a]*Cos[ lb*(a-x)/a],{x,0,a}];
i9i = Integrate[Cosh[lb*(a-x)/a]*Cosh[lb*(a-x)/a],{x,0,a}];
idezi=Integrate[Cos[ lb*(a-x)/a]*Cosh[lb*(a-x)/a],{x,0,a}];
"------( Comprimento da placa (longitudinal): )-------------"
a = 1.41;
C3 – listagem do programa Planta_h.ma
(*-------------------------------------------------------
*)
(*
*)
(* Programa: Cálculo da função de Transferência
*)
(* entre a tensao de entrada de referencia r(t)
*)
(* e a saida ypot=kpot*teta, do lab.
*)
(*
*)
*)
(* Versão: 03
*)
*)
(*
*)
(* Data: 13/06/2001
*)
*)
*)
(* Orientador: Prof. Dr. Luis C. S. Goes
*)
*)
(* file: planta_h.ma
*)
(*------------------------------------------------------
*)
(* ver equacao 6.6.4
*)
- TESE Euler
(* X' = A.X + B.U
*)
(* Y = C.X + D.U
*)
(* FT: ein--->xf
*)
(* G(s)=C.(sI-A)^(-1).B+D
*)
(* Matriz identidade 3x3:
*)
(* Matriz s.I:
*)
(* Definição da Matriz A:
*)
(* Definição da Matriz B:
*)
(* Definição da Matriz C:
*)
(* Cálculo de (s.I-A)^-1:
*)
(* Cálculo de C.(s.I-A)^-1.B :
*)
idem
= IdentityMatrix[3];
idem1
= s idem;
aa = {{0,
1/I6,
0
{0,
0,
DM/C3
},
{-KSV*A1*A2*KPOT,
-DM/I6,
-1/(R7*C3)
}};
bb =
{{0},
{0},
{KSV*A1*A2}};
aa1 = idem1-aa;
aa2 = Inverse[aa1];
trans=Together[%]
"Fim do Programa."
},
C4 – listagem do programa GsabcdBG.m
%(*------------------------------------------------------*)
%(*
*)
%(* Programa:
*)
%(*
Calcula as Funções de Transferência
*)
%(*
através das matrizes de Estado calculadas pelo
*)
%(*
Mathematica através do programa Flextor8.ma.
*)
%(*
As matrizes são copiadas manualmente e coladas *)
%(*
[CTRL-C e CTRL-V], em seguida é manipulada para a *)
%(*
forma do MATLAB.
*)
%*
Os gráficos das FRF y12/r são mostradas
*)
%(*
de diversas maneiras, com ZOOMs e também com
*)
%(*
escala linear.
*)
%(*
*)
%(* Autor: Euler Gonçalves Barbosa
*)
%(* Versão: 01
*)
%(* TESE:Modelagem e Controle de Estrutura Flexível com *)
%(*
*)
%(* Data: 14/05/2001
*)
%(* ITA - Instituto Tecnológico de Aeronáutica
*)
%(* Pós-Graduação: Mestrado
*)
%(* Orientador: Prof. Dr. Luiz C. S. Góes
*)
%(* Mecatrônica e Dinâmica de Sistemas Aeronáuticos
*)
%(* file: GSabcdBG.m
*)
%(*------------------------------------------------------*)
%(* Abstract:
*)
%(*
Programa para calcular as Funções de Transferência *)
%(* através das matrizes de Estado calculadas pelo
*)
%(* Mathematica através do programa Flextor8.ma. As matrizes*)
%(* são copiadas manualmente e coladas ctrl-C e cTRL-V, *)
%(* em seguida é manipulada para a forma do MATLAB.
*)
%(*------------------------------------------------------*)
% ITA - TESE
% Euler Goncalves Barbosa
clear all;
close all;
path(path,'E:\TESE_ITA_retomada\2001\2 Estrutura flexível Placa\Coeficientes Anx e Amy')
path(path,'E:\TESE_ITA_retomada\2001\2 Estrutura flexível - Placa')
aa=[-818.929992623078 -0.04162666666666666 -0.002979600000000001 0
0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0;
1.182575757575758*10^6 0 0 -0.02652519893899204 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0;
0 666.6666666666666 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0;
0 666.6666666666666 0 0 0.3667389447513289 0 -0.6796782401799863
0 0.980555382105539 0 -(7.540497982399934*10^-10) 0
3.825935947598092*10^-10 0 -(2.535420932098267*10^-9) 0
1.397482452329533*10^-9 0 -(7.090617042779711*10^-10) 0
4.698902207979389*10^-9 0 -(2.016114183186*10^-9) 0
1.022946196115641*10^-9 0 -(6.778992731622047*10^-9) 0;
0 0 0 -67.64797102346561 0 -4665.026698114616 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0;
0 0 0 0 0.2043824523920923 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0;
0 0 0 125.3721606472752 0 0 0 -48990.94860598517 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0;
0 0 0 0 0 0 0.2043824523920923 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0;
0 0 0 -180.8713882856271 0 0 0 0 0 -213264.907766197 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0;
0 0 0 0 0 0 0 0 0.2043824523920923 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0;
0 0 0 1.390905973625925*10^-7 0 0 0 0 0 0 0 -860920.919603728
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0;
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.2043824523920923 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0;
0 0 0 -(7.057248973005703*10^-8) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 (6.316808523859744*10^6) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0;
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.2043824523920923 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0;
0 0 0 4.676789422055244*10^-7 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 (2.394376168372362*10^7) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0;
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.2043824523920923 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0;
0 0 0 -(2.577769658608021*10^-7) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 -(1.042505385652845*10^6) 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0;
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.2043824523920923 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0;
0 0 0 1.307921787727495*10^-7 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 -(6.874909003470258*10^6) 0 0 0 0 0 0 0 0;
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.2043824523920923
0 0 0 0 0 0 0 0 0;
0 0 0 -(8.66750600002473*10^-7) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 -(2.509155429151813*10^7) 0 0 0 0 0 0;
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0.2043824523920923 0 0 0 0 0 0 0;
0 0 0 3.718886030406247*10^-7 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 -(1.430449201266212*10^6) 0 0 0 0;
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0.2043824523920923 0 0 0 0 0;
0 0 0 -(1.886907175356498*10^-7) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 -(7.876405026215652*10^6) 0
0;
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0.2043824523920923 0 0 0;
0 0 0 1.250440157611296*10^-6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -(2.705398396314983*10^7);
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0.2043824523920923 0];
0
bb=[0.00026; 0; 0; 0 ;0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0 ;
0 ; 0 ;
; 0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0 ;
0 ; 0 ; 0];
0
cc= [0 0 0 0 0 2.000000071665386 0 1.999999425176478 0
2.000005099070042 0 -2.43128900853387 0 -(5.633106993672874*10^-9) 0
2.844762581155133 0 -2.43128822263321 0 -(5.633105172802344*10^-9) 0
2.844761661601438 0 -2.431295120070492 0
-(5.63312115362653*10^-9) 0
2.844769732041199];
dd=[0];
C5 – listagem do programa Hidraul.ma
(*-------------------------------------------------------
*)
(*
*)
(* Programa: Cálculo da função de Transferência
*)
(* entre a tensao de entrada ein e a saida
*)
(* ypot = kpot * teta.ponto
*)
(*
*)
ATENCAO QUE A SAÍDA É VELOCIDADE!
(*
*)
*)
(* Versão: 02
*)
*)
(*
*)
(* Data: 23/03/2000
*)
*)
*)
(* Orientador: Prof. Dr. Luis C. S. Goes
*)
*)
(* file: hidraul.ma
*)
(*------------------------------------------------------
*)
(* ver equacao 4.5.15 a 4.6.18
- TESE Euler*)
(* X' = A.X + B.U
*)
(* Y = C.X + D.U
*)
(* FT: ein--->xf
*)
(* G(s)=C.(sI-A)^(-1).B+D
*)
(* Matriz identidade 3x3:
*)
idem=IdentityMatrix[2];
(* Matriz s.I:
*)
idem1=s idem;
(* Definição da Matriz A:
aa={{ 0
, DM/C3
*)
},
{ -DM/I6 , -1/(R7*C3) }}
Dimensions[aa]
(* Definição da Matriz B:
bb={{ 0 },
{ KSV }}
*)
C6 – listagem do programa Show_y12.m
%-------------------------------------------------------------------------------%
%
ITA - Instituto Tecnológico de Aeronáutica
%
% Pós Graduação: MESTRADO
%
% 1o. Ensaio no SMPM-SCEFAH
%
% Data do ensaio: 29/03/00
%
%-------------------------------------------------------------------------------%
% Abstract: Este programa apenas mostra os sinais y12(t) obtido nos ensaios e %
%
teóricos.
%
% data; 27/04/01
%
% autor: Euler Gonçalves Barbosa
%
% Orientador de TESE: Prof. Dr. Luis Carlos Sandoval Góes
%
% nome do arquivo: show_y12.m - uso no Matlab
%
%-------------------------------------------------------------------------------%
clear all;
close all;
path(path,'E:\TESE_ITA_retomada\2001\3 Ensaios e parte pratica')
path(path,'E:\TESE_ITA_retomada\2001\3 Ensaios e parte
pratica\Analisador\dia240300\VIEWDATA')
pratica\Analisador\dia240300\VIEWDATA\Tipo Matlab')
% carrega os dados do arqui pre-preparado pelo programa sdftoml.exe
% -----------( arquivo de leitura de dados: )------%
ypot/ref
% inic TR40.DAT:
load tr40
%TR40.DAT Acel/ref 1-2 X
G40 = o2i1;
f40 = o2i1x;
w40 = 2*pi*f40;
-
4
2.5 0-100 Hz%
% Segundo o Goes, o existe um somador no modulo utilizado.
%
erro = - (ref + ypot) logo faremos:
G40=-G40; %comentar com Goes
fase40 = (180/pi)*angle(G40);
%
%
%
%
---------------------
1o. Processo de aparar as funcoes G e fase: --------------
tipo de aparacao: os dois primeiros pontos do vetor é igual ao terceiro!
ou seja, estica-se o inicio das funcoes.
motivo: baixa coerencia nestes pontos.
G_new40 = G40;
%para podar
w_new40 = w40;
w_new40(1) = 1e-10;
w_new40(1) = 1e-1;
%h(1)=h(3);
%h(2)=h(3);
G_new40(1) = G_new40(3);
G_new40(2) = G_new40(3);
fase_new40 = (180/pi)*angle(G_new40);
C7 – listagem do programa Comparador.m
%-------------------------------------------------------------------------------%
%
%
%
%
%
%-------------------------------------------------------------------------------%
% Abstract: Este programa apenas mostra os sinais y12(t) obtido nos ensaios e %
%
teóricos.
%
% data; 27/04/01
%
%
% Orientador de TESE: Prof. Dr. Luis Carlos Sandoval Góes
%
% nome do arquivo: show_y12.m - uso no Matlab
%
%-------------------------------------------------------------------------------%
clear all;
close all;
path(path,'E:\TESE_ITA_retomada\2001\3 Ensaios e parte pratica')
% carrega os dados do arqui pre-preparado pelo programa sdftoml.exe
% -----------( arquivo de leitura de dados: )------%
ypot/ref
% inic TR40.DAT:
load tr40
%TR40.DAT Acel/ref 1-2 X
G40 = o2i1;
f40 = o2i1x;
w40 = 2*pi*f40;
-
4
2.5 0-100 Hz%
%
erro = - (ref + ypot) logo faremos:
G40=-G40; %comentar com Goes
fase40 = (180/pi)*angle(G40);
%
%
%
%
--------------------- 1o. Processo de aparar as funcoes G e fase: -------------tipo de aparacao: os dois primeiros pontos do vetor é igual ao terceiro!
ou seja, estica-se o inicio das funcoes.
motivo: baixa coerencia nestes pontos.
G_new40 = G40;
%para podar
w_new40 = w40;
w_new40(1) = 1e-10;
w_new40(1) = 1e-1;
%h(1)=h(3);
%h(2)=h(3);
G_new40(1) = G_new40(3);
G_new40(2) = G_new40(3);
fase_new40 = (180/pi)*angle(G_new40);
%semilogx(w,20*log10(abs(G)),w_new,20*log10(abs(G_new)))
C8 – listagem do programa FRF_PH.m
%-------------------------------------------------------------------------------%
%
%
%
%
%
%-------------------------------------------------------------------------------%
% Abstract: Este programa insere os valores numéricos dos elementos dinamicos
%
%
calculados da planta hidráulica na FT obtida do programa Planta_h.ma
%
%
do MATHEMATICA e plota os gráficos (Mag,Fase,LGR) para comparar com os
%
%
respectivos obtidos em ensaio e estimados.
%
%
Insere tambem estes valores numericos nas matrizes de estado (ABCD)%
%
analíticas desenvolvidas a partir do BG generalizado da PH e plota os
%
%
gráficos (Mag,Fase,LGR) para comparar com os respectivos obtidos em ensaio %
%
e estimados.
%
%
%
%
% Orientador de TESE: Prof. Dr. Luiz Carlos Sandoval Góes
%
% Nome do arquivo: FRF_PH.m - uso no Matlab
%
% Data: 14/06/01
%
%-------------------------------------------------------------------------------%
clear all;
close all;
path(path,'E:TESE_ITA_retomada\2001\3 Ensaios e parte pratica')
path(path,'E:TESE_ITA_retomada\2001\3 Ensaios e parte
path(path,'E:TESE_ITA_retomada\2001\3 Ensaios e parte
%============================================== 12/06/01
%============================================== 12/06/01
%============================================== 12/06/01
% volta a RF já com valores dos elementos dinâmico do BG
%
planta hidráulica:"
% -----( VALORES CONSTANTES: )------% ganho do potenciometro do atuador:
kpot = 11
a1=2
a2=10
% deslocamento do atuador:
dm=6.244e-5
==================
==================
==================
simplificado da
C9 – listagem do programa BG_TESE_CAMPG.m
%(*----------------------------------------------------- *)
%(* ITA - Instituto Tecnológico de Aeronáutica
*)
%(* Programa: a) Recebe os resultados simbólicos do
*)
%(*
programa CAMP-G, são feitas manualmente alterações *)
%(*
para adequar o sistema e em seguida são plotadas *)
%(*
as FRF do sistema proposto pela TESE
*)
%(*
( Planta hidráulica + eixo de torção +
*)
%(*
+ mancal aerostático + estrutura flexível )
*)
%(*
b) Calcula as frequencias naturari de
*)
%(*
vibração do mancal aerostátco e da placa flexível. *)
%(*
*)
%(* Autor: Euler Gonçalves Barbosa
*)
%(* Versão: 06
*)
%(* TESE:Modelagem e Controle de Estrutura Flexível com *)
%(*
*)
%(* Data: 25/07/2001
*)
%(* Pós-Graduação: Mestrado
*)
%(* Orientador: Prof. Dr. Luiz C. S. Góes
*)
%(* Mecatrônica e Dinâmica de Sistemas Aeronáuticos
*)
%(* file: BG_TESE_CAMPG.m
(MATLAB)
*)
%(*---------------------------------------------------- *)
%(* Abstract:
*)
%(*---------------------------------------------------- *)
% ITA - TESE
% Euler Goncalves Barbosa
% CAMP-G/MATLAB - Symbolic State Space Model
% ...........campgsym.m
CAMP-G/MATLAB function ...........
% System symbolic matrices, generates transfer functions
clear;
clear all;
more on;
close all;
% ...... Diretório de trabalho do CAMP-G: ........
path(path,'c:\campgwrk')
path(path,'E:TESE_ITA_retomada\2001\3 Ensaios e parte pratica\Campg')
% ...... Initial conditions ........
% Convert system physical parameters and system matrices to symbols
syms sb T1x58 C3
C15 T13x16 I17
I26 C27 T25x28
I38 C39 T40x41
G54x55 R56 C57
I5 T7x10 I8 C9 T7x10 I11 C12 T13x16 I14 ...
C18 T19x22 I20 C21 T19x22 I23 C24 T25x28 ...
I29 C30 T31x34 I32 C33 T31x34 I35 C36 T37x43 ...
C42 T37x43 T44x45 T46x47 T48x49 T50x51 T52x53 ...
T1x58 I59
syms A1 A2 kpot bk hda dk ref_t
syms fi1x_fi4y fi1x_fi5y fi3x_fi3y fi3x_fi4y fi2x_fi4y fi2x_fi3y ...
fi2x_fi5y fi1x_fi1y fi3x_fi1y fi2x_fi1y fi1x_fi3y fi3x_fi5y
syms Q57 Q21 Q24 Q36 Q39 Q30 Q27 Q33 Q9 Q15
P17 P26 Q3 Q18 P59 P35 P38 P29 P32 P8
Q12
P11
P20 P23 ...
P14 P5 Q42 teta
% ...... External inputs se(t), sf(t) ......
% global SE54
fprintf ('\n Inputs vector \n')
fprintf (' \n
u=[ ref_t ] \n')
%
%
%
%
%
%
%
%
%
%
%
%
%
antes:
p_q = [Q18; Q21; Q24; Q36; Q39; Q30; Q27; Q33; Q9; Q15; ...
1 2
3
4
5
6
7
8
9
10
Q12; P20; P23; P17; P26; Q3; Q57; P59; P35; P38; P29; P32; ...
11
12
13
14 15
16
17
18
19
20
21
22
P8; P11; P14; P5; Q42; teta] ;
23 24
25
26 27
28
m=17
% depois:
p_q = [Q57; Q21; Q24; Q36; Q39; Q30; Q27; Q33; Q9; Q15; ...
1 2
3
4
5
6
7
8
9
10
Q12; P20; P23; P17; P26; Q3; Q18; P59; P35; P38; P29; P32; ...
11
12
13
14 15
16
17
18
19
20
21
22
P8; P11; P14; P5; Q42; teta] ;
C10 – Listagem do programa , FRF_Coerencia_Erro.m
%------------------------------------------------------------------------------%
%
%
%
%
%
%------------------------------------------------------------------------------%
% Abstract: Este programa plota os gráficos das FRF (Ganho e Fase) dos ensaios
%
%
com a Planta Hidráulica e estrutura flexível e calcula a função
%
%
erro aleatório normalizado dessas FRF.
%
% data: 08/07/01
%
%
% Orientador de TESE: Prof. Dr. Luiz Carlos Sandoval Góes
%
% nome do arquivo: FRF_Coerencia_Erro.m - uso no Matlab
%
%------------------------------------------------------------------------------%
close all
clear all
path(path,'E:\aTESE_ITA_retomada\2001\3 Ensaios e parte pratica')
path(path,'E:\aTESE_ITA_retomada\2001\3 Ensaios e parte pratica\Analisador\dia240300\VIEWDATA')
path(path,'E:\aTESE_ITA_retomada\2001\3 Ensaios e parte pratica\Analisador\dia240300\VIEWDATA\Tipo Matlab')
%=================%
load tr10
%=================%
freq=o2i1x;
ww=2*pi*freq;
Gw=o2i1;
% erro = - (ref + ypot) logo faremos:
Gw=-Gw; %comentar com Goes
fase = (180/pi)*angle(Gw);
GdB=20*log10(abs(Gw));
figure(1);
semilogx(freq,GdB)
grid
title(' FTMF, via Analisador: ypot/ref - Sistema desacoplado')
xlabel('frequência [Hz]')
ylabel('Ganho [dB] ')
figure(2);
semilogx(freq,fase)
grid
title(' Fase via Analisador: ypot/ref - Sistema desacoplado')
ylabel('Fase [Graus]')
%=================%
load tr11
%=================%
freq=o2i1x;
ww=2*pi*freq;
Coerencia=o2i1;
figure(3)
semilogx(freq,Coerencia)
grid
title(' Coerência via Analisador: ypot/ref - Sistema desacoplado')
ylabel('Coerência')
%=================%
%===( Cálculo o erro da FRF da planta hidráulica )==============%
%=================%
load tr11
FOLHA DE REGISTRO DO DOCUMENTO
1.
CLASSIFICAÇÃO/TIPO
TM
5.
2.
DATA
3.
05 Setembro 2001
CTA/ITA-IEM/TM-007/2001
DOCUMENTO N°
4.
N° DE PÁGINAS
225
TÍTULO E SUBTÍTULO:
Modelagem por grafos de ligação de estrutura flexível com atuação hidráulica
6.
AUTOR(ES):
7. INSTITUIÇÃO(ÕES)/ÓRGÃO(S) INTERNO(S)/DIVISÃO(ÕES):
Instituto Tecnológico de Aeronáutica. Divisão de Engenharia Mecânica-Aeronáutica
8.
PALAVRAS-CHAVE SUGERIDAS PELO AUTOR:
Modelagem; Estruturas flexíveis; Controle; Bond graphs
9.PALAVRAS-CHAVE RESULTANTES DE INDEXAÇÃO:
Análise estrutural dinâmica; Corpos flexíveis; Gráficos de ligação; Vibração aeroelástica; Controle
automático; Engenharia mecânica
10.
X Nacional
APRESENTAÇÃO:
Internacional
São José dos Campos, 2001. 225 pág.
11.
RESUMO:
Este trabalho apresenta um sistema de controle de estruturas flexíveis (placas) fazendo uso de um
torque desenvolvido por uma planta hidráulica. A estrutura flexível está montada em um mancal
hemisférico a gás, construído no ITA para medidas de propriedades de massa, que flutua sobre um
colchão de ar e gira com atrito desprezível, posicionando a placa em uma determinada posição angular. A
atuação do torque excita diversos modos de vibrações da placa, possibilitando identificar diversos
parâmetros dinâmicos das plantas hidráulica e flexível. Por outro lado, a ação de um controlador analógico
ou digital na malha de controle, permite gerar um torque para minimizar as amplitudes máximas dessas
vibrações, quando a placa estiver oscilando em torno da posição desejada. Seguindo os conceitos da
Engenharia Mecatrônica, o modelo completo de todos os sistemas (elétrico, mecânico translacional,
mecânico rotacional, hidráulico e flexível) foi obtido pela técnica dos grafos de ligação (Bond Graphs), de
forma a ser apresentado em uma linguagem gráfica, unificada. Foram gravados e analisados os dados de
ensaios para a identificação do sistema, para posterior validação do modelo analítico escrito no Espaço de
Estados. Finalmente, para ressaltar, depois do uso do Princípio de Hamilton para obtenção das equações
do movimento da placa e da aplicação do método dos modos assumidos, as equações obtidas são
apresentadas na linguagem de grafos de ligação, por um modelo inédito de placas flexíveis, útil para
projetos de sistemas de controle no Espaço de Estados. Este modelo pode ser utilizado facilmente com
softwares recentes, como o “20_sim” e “CAMP/G”.
12.
GRAU DE SIGILO:
(X ) OSTENSIVO
( ) RESERVADO
( ) CONFIDENCIAL
( ) SECRETO

modelagem por gl de estrutura flexível

Transcrição

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