Capítulo 23 - Potencial Elétrico

Capı́tulo 23 - Potencial Elétrico
RODRIGO ALVES DIAS
Universidade Federal de Juiz de Fora - UFJF
Livro texto: Fı́sica 3 - Eletromagnetismo
Autores: Sears e Zemansky
Edição: 12a
Editora: Pearson - Addisson and Wesley
6 de abril de 2011
Capı́tulo 23 - Potencial Elétrico
Objetivos de Aprendizagem
Ao estudar este capı́tulo você aprenderá:
I
Como calcular a energia potencial de um conjunto de cargas.
Capı́tulo 23 - Potencial Elétrico
Objetivos de Aprendizagem
Ao estudar este capı́tulo você aprenderá:
I
Como calcular a energia potencial de um conjunto de cargas.
I
O significa e a importância do potencial elétrico.
Capı́tulo 23 - Potencial Elétrico
Objetivos de Aprendizagem
Ao estudar este capı́tulo você aprenderá:
I
Como calcular a energia potencial de um conjunto de cargas.
I
O significa e a importância do potencial elétrico.
I
Como calcular o potencial elétrico que um conjunto de cargas
produz em um ponto do espaço.
Capı́tulo 23 - Potencial Elétrico
Objetivos de Aprendizagem
Ao estudar este capı́tulo você aprenderá:
I
Como calcular a energia potencial de um conjunto de cargas.
I
O significa e a importância do potencial elétrico.
I
Como calcular o potencial elétrico que um conjunto de cargas
produz em um ponto do espaço.
I
Como usar superfı́cies equipotenciais para visualizar como o
potencial elétrico varia no espaço.
Capı́tulo 23 - Potencial Elétrico
Objetivos de Aprendizagem
Ao estudar este capı́tulo você aprenderá:
I
Como calcular a energia potencial de um conjunto de cargas.
I
O significa e a importância do potencial elétrico.
I
Como calcular o potencial elétrico que um conjunto de cargas
produz em um ponto do espaço.
I
Como usar superfı́cies equipotenciais para visualizar como o
potencial elétrico varia no espaço.
I
Como usar o potencial elétrico para calcular o campo elétrico.
Capı́tulo 23 - Potencial Elétrico
Introdução
Quando uma partı́cula carregada se desloca em um campo elétrico, o campo exerce
uma força que realiza trabalho sobre a partı́cula.
Z
Wa→b
=
a
b
~ · d~l =
F
Z
b
F cos φdl
a
onde, d~l é um deslocamento infinitesimal ao longo da trajetória da partı́cula e φ é
~ e d~l em cada ponto da trajetória.
o ângulo entre F
Capı́tulo 23 - Potencial Elétrico
Introdução
Quando uma partı́cula carregada se desloca em um campo elétrico, o campo exerce
uma força que realiza trabalho sobre a partı́cula.
Z
Wa→b
=
a
b
~ · d~l =
F
Z
b
F cos φdl
a
onde, d~l é um deslocamento infinitesimal ao longo da trajetória da partı́cula e φ é
~ e d~l em cada ponto da trajetória.
o ângulo entre F
Esse trabalho realizado pode ser expresso em termos da energia potencial elétrica.
A energia potencial elétrica depende da posição da partı́cula carregada no campo
elétrico.
Capı́tulo 23 - Potencial Elétrico
Introdução
Quando uma partı́cula carregada se desloca em um campo elétrico, o campo exerce
uma força que realiza trabalho sobre a partı́cula.
Z
Wa→b
=
a
b
~ · d~l =
F
Z
b
F cos φdl
a
onde, d~l é um deslocamento infinitesimal ao longo da trajetória da partı́cula e φ é
~ e d~l em cada ponto da trajetória.
o ângulo entre F
Esse trabalho realizado pode ser expresso em termos da energia potencial elétrica.
A energia potencial elétrica depende da posição da partı́cula carregada no campo
elétrico.
A energia potencial elétrica será descrita pelo conceito de potencial elétrico ou
simplesmente potencial.
A diferença de potencial entre dois pontos é, geralmente, chamada de voltagem.
Capı́tulo 23 - Potencial Elétrico
Energia potencial elétrica
Energia potencial elétrica de duas cargas puntiformes
~
F
=
1 q0 q
r̂
4π0 r 2
Capı́tulo 23 - Potencial Elétrico
Energia potencial elétrica
Energia potencial elétrica de duas cargas puntiformes
~
F
=
Wa→b
=
1 q0 q
r̂
4π0 r 2
Z b
Z
~ · d~l =
F
a
rb
ra
1 q0 q
r̂ · d~l
4π0 r 2
Capı́tulo 23 - Potencial Elétrico
Energia potencial elétrica
Energia potencial elétrica de duas cargas puntiformes
~
F
=
Wa→b
=
1 q0 q
r̂
4π0 r 2
Z b
Z
~ · d~l =
F
a
Z
rb
ra
rb
=
ra
1 q0 q
r̂ · d~l
4π0 r 2
1 q0 q
cos φdl
4π0 r 2
Capı́tulo 23 - Potencial Elétrico
Energia potencial elétrica
Energia potencial elétrica de duas cargas puntiformes
~
F
=
Wa→b
=
1 q0 q
r̂
4π0 r 2
Z b
Z
~ · d~l =
F
a
Z
=
=
Wa→b
=
rb
ra
rb
1 q0 q
r̂ · d~l
4π0 r 2
1 q0 q
cos φdl
2
4π
0 r
ra
Z rb
q0 q
q0 q 1 rb
r −2 dr = −
4π0 ra
4π0 r ra
1 q0 q
1 q0 q
−
4π0 ra
4π0 rb
Capı́tulo 23 - Potencial Elétrico
Energia potencial elétrica
Energia potencial elétrica de duas cargas puntiformes
~
F
=
Wa→b
=
1 q0 q
r̂
4π0 r 2
Z b
Z
~ · d~l =
F
a
Z
=
ra
rb
Wa→b
=
Wa→b
=
1 q0 q
r̂ · d~l
4π0 r 2
1 q0 q
cos φdl
4π0 r 2
Z rb
q0 q
q0 q 1 rb
r −2 dr = −
4π0 ra
4π0 r ra
1 q0 q
1 q0 q
−
4π0 ra
4π0 rb
Ua − Ub = −(Ub − Ua )
ra
=
rb
Capı́tulo 23 - Potencial Elétrico
Energia potencial elétrica
Energia potencial elétrica de duas cargas puntiformes
~
F
=
Wa→b
=
1 q0 q
r̂
4π0 r 2
Z b
Z
~ · d~l =
F
a
Z
=
ra
rb
Wa→b
=
Wa→b
=
Wa→b
=
U
=
1 q0 q
r̂ · d~l
4π0 r 2
1 q0 q
cos φdl
4π0 r 2
Z rb
q0 q
q0 q 1 rb
r −2 dr = −
4π0 ra
4π0 r ra
1 q0 q
1 q0 q
−
4π0 ra
4π0 rb
Ua − Ub = −(Ub − Ua )
ra
=
rb
−∆U
1 q0 q
4π0 r
Capı́tulo 23 - Potencial Elétrico
Energia potencial elétrica
Energia potencial elétrica de duas cargas puntiformes
~
F
=
Wa→b
=
1 q0 q
r̂
4π0 r 2
Z b
Z
~ · d~l =
F
a
Z
=
ra
rb
Wa→b
=
Wa→b
=
Wa→b
=
U
=
1 q0 q
r̂ · d~l
4π0 r 2
1 q0 q
cos φdl
4π0 r 2
Z rb
q0 q
q0 q 1 rb
r −2 dr = −
4π0 ra
4π0 r ra
1 q0 q
1 q0 q
−
4π0 ra
4π0 rb
Ua − Ub = −(Ub − Ua )
ra
=
rb
−∆U
1 q0 q
4π0 r
Capı́tulo 23 - Potencial Elétrico
Energia potencial elétrica
Teorema trabalho energia
~R
F
=
m~a = m
d~v
dt
e
~v =
d~l
dt
Capı́tulo 23 - Potencial Elétrico
Energia potencial elétrica
Teorema trabalho energia
~R
F
=
Wa→b
=
d~v
d~l
m~a = m
e ~v =
dt
dt
Z b
Z b
d~v
~ · d~l =
F
m
· d~l
dt
a
a
Capı́tulo 23 - Potencial Elétrico
Energia potencial elétrica
Teorema trabalho energia
~R
F
=
Wa→b
=
Wa→b
=
d~l
d~v
e ~v =
m~a = m
dt
dt
Z b
Z b
d~v
~ · d~l =
m
F
· d~l
dt
a
a
Z b
Z b
d~v
m
mv dv
· ~v dt =
dt
a
a
Capı́tulo 23 - Potencial Elétrico
Energia potencial elétrica
Teorema trabalho energia
~R
F
=
Wa→b
=
Wa→b
=
Wa→b
=
Wa→b
=
K
=
d~v
d~l
m~a = m
e ~v =
dt
dt
Z b
Z b
d~v
~ · d~l =
F
m
· d~l
dt
a
a
Z b
Z b
d~v
m
· ~v dt =
mv dv
dt
a
a
mv 2 vb
= Kb − Ka
2 va
∆K
mv 2
2
Capı́tulo 23 - Potencial Elétrico
Energia potencial elétrica
Conservação da energia
−∆U
Wa→b
=
Wa→b
=
∆K
∆K
=
−∆U
Kb − Ka
=
−(Ub − Ua )
Ka + Ua
=
Kb + Ub
Eamec
=
Ebmec
E mec
=
K + U = Cont.
Capı́tulo 23 - Potencial Elétrico
Energia potencial elétrica
Energia potencial elétrica de um campo uniforme
~
F
=
~ = −q0 E ĵ
q0 E
Capı́tulo 23 - Potencial Elétrico
Energia potencial elétrica
Energia potencial elétrica de um campo uniforme
~
F
=
Wa→b
=
~ = −q0 E ĵ
q0 E
Z b
Z
~ · d~l = −q0 E
F
a
a
b
ĵ · d~l
Capı́tulo 23 - Potencial Elétrico
Energia potencial elétrica
Energia potencial elétrica de um campo uniforme
~
F
=
Wa→b
=
=
~ = −q0 E ĵ
q0 E
Z b
Z b
~ · d~l = −q0 E
F
ĵ · d~l
a
a
Z yb
dy
−q0 E
ya
Capı́tulo 23 - Potencial Elétrico
Energia potencial elétrica
Energia potencial elétrica de um campo uniforme
~
F
=
=
~ = −q0 E ĵ
q0 E
Z b
Z b
~ · d~l = −q0 E
F
ĵ · d~l
a
a
Z yb
dy
−q0 E
Wa→b
=
Wa→b
=
q0 E (ya − yb )
Wa→b
=
Ua − Ub = −(Ub − Ua )
ya
Capı́tulo 23 - Potencial Elétrico
Energia potencial elétrica
Energia potencial elétrica de um campo uniforme
~
F
=
=
~ = −q0 E ĵ
q0 E
Z b
Z b
~ · d~l = −q0 E
F
ĵ · d~l
a
a
Z yb
dy
−q0 E
Wa→b
=
Wa→b
=
q0 E (ya − yb )
Wa→b
=
Ua − Ub = −(Ub − Ua )
Wa→b
=
−∆U
U
=
q0 Ey
ya
Capı́tulo 23 - Potencial Elétrico
Energia potencial elétrica
Energia potencial elétrica de um campo uniforme
~
F
=
=
~ = −q0 E ĵ
q0 E
Z b
Z b
~ · d~l = −q0 E
F
ĵ · d~l
a
a
Z yb
dy
−q0 E
Wa→b
=
Wa→b
=
q0 E (ya − yb )
Wa→b
=
Ua − Ub = −(Ub − Ua )
Wa→b
=
−∆U
U
=
q0 Ey
ya
Capı́tulo 23 - Potencial Elétrico
Energia potencial elétrica
Energia potencial elétrica de um campo uniforme
~
F
=
=
~ = −q0 E ĵ
q0 E
Z b
Z b
~ · d~l = −q0 E
F
ĵ · d~l
a
a
Z yb
dy
−q0 E
Wa→b
=
Wa→b
=
q0 E (ya − yb )
Wa→b
=
Ua − Ub = −(Ub − Ua )
Wa→b
=
−∆U
U
=
q0 Ey
ya
Capı́tulo 23 - Potencial Elétrico
Energia potencial elétrica
Energia potencial elétrica de um campo uniforme
~
F
=
=
~ = −q0 E ĵ
q0 E
Z b
Z b
~ · d~l = −q0 E
F
ĵ · d~l
a
a
Z yb
dy
−q0 E
Wa→b
=
Wa→b
=
q0 E (ya − yb )
Wa→b
=
Ua − Ub = −(Ub − Ua )
Wa→b
=
−∆U
U
=
q0 Ey
ya
Capı́tulo 23 - Potencial Elétrico
Energia potencial elétrica
Energia potencial elétrica com diversas cargas puntiformes
U
=
q0
4π0
q1
q2
q3
+
+
...
r1
r2
r3
(1)
(2)
Capı́tulo 23 - Potencial Elétrico
Energia potencial elétrica
Energia potencial elétrica com diversas cargas puntiformes
U
=
U
=
q0
q1
q2
q3
+
+
...
4π0 r1
r2
r3
q0 X qi
4π0 i ri
(1)
(2)
Capı́tulo 23 - Potencial Elétrico
Energia potencial elétrica
Energia potencial elétrica com diversas cargas puntiformes
U
=
U
=
q0
q1
q2
q3
+
+
...
4π0 r1
r2
r3
q0 X qi
4π0 i ri
(1)
U
=
1 X qi qj
4π0 i<j rij
(2)
Capı́tulo 23 - Potencial Elétrico
Energia potencial elétrica
Interpretação da energia potencial elétrica
Quando uma partı́cula se desloca de um ponto a até um ponto b, o trabalho
realizado pelo campo elétrico é Wa→b = Ua − Ub .
Portanto, a diferença de energia potencial Ua − Ub é igual ao trabalho realizado
pela força elétrica quando a partı́cula de move de a até b.
Capı́tulo 23 - Potencial Elétrico
Energia potencial elétrica
Interpretação da energia potencial elétrica
Quando uma partı́cula se desloca de um ponto a até um ponto b, o trabalho
realizado pelo campo elétrico é Wa→b = Ua − Ub .
Portanto, a diferença de energia potencial Ua − Ub é igual ao trabalho realizado
pela força elétrica quando a partı́cula de move de a até b.
Capı́tulo 23 - Potencial Elétrico
Potencial elétrico
Potencial elétrico
Denomina-se potencial elétrico a energia potencial por unidade de carga.
V
No S.I. [v]=1J/C=1volt.
=
U
ou U = q0 V
q0
Capı́tulo 23 - Potencial Elétrico
Potencial elétrico
Potencial elétrico
Denomina-se potencial elétrico a energia potencial por unidade de carga.
V
=
U
ou U = q0 V
q0
No S.I. [v]=1J/C=1volt. A diferença de potencial elétrico será dada por:
Wa→b
q0
Wa→b
q0
∆U
=−
q0
Ua
Ub
−
q0
q0
=
−
=
Va − Vb = Vab
= −(Vb − Va )
Capı́tulo 23 - Potencial Elétrico
Potencial elétrico
Potencial elétrico
Denomina-se potencial elétrico a energia potencial por unidade de carga.
V
=
U
ou U = q0 V
q0
No S.I. [v]=1J/C=1volt. A diferença de potencial elétrico será dada por:
Wa→b
∆U
Ub
Ua
= −
=−
−
= −(Vb − Va )
q0
q0
q0
q0
Wa→b
= Va − Vb = Vab
q0
Vab é o potencial de a em relação a b, que é igual ao trabalho
realizado pela força elétrica quando uma carga UNITÁRIA se
desloca de a até b.
Capı́tulo 23 - Potencial Elétrico
Potencial elétrico
Potencial elétrico
Denomina-se potencial elétrico a energia potencial por unidade de carga.
V
=
U
ou U = q0 V
q0
No S.I. [v]=1J/C=1volt. A diferença de potencial elétrico será dada por:
Wa→b
∆U
Ub
Ua
= −
=−
−
= −(Vb − Va )
q0
q0
q0
q0
Wa→b
= Va − Vb = Vab
q0
Vab é o potencial de a em relação a b, que é igual ao trabalho
realizado pela força elétrica quando uma carga UNITÁRIA se
desloca de a até b.
Vab , o potencial de a em relação a b, é igual ao trabalho realizado
contra a força elétrica para deslocar lentamente uma carga
UNITÁRIA de b até a.
Capı́tulo 23 - Potencial Elétrico
Potencial elétrico
Calculo do potencial elétrico
A energia potencial entre duas cargas
puntiformes, q e q0 é dada por:
U
=
1 q0 q
4π0 r
Capı́tulo 23 - Potencial Elétrico
Potencial elétrico
Calculo do potencial elétrico
A energia potencial entre duas cargas
puntiformes, q e q0 é dada por:
U
=
1 q0 q
4π0 r
O potencial V para uma única carga q
será:
V
=
U
1 q
=
q0
4π0 r
Capı́tulo 23 - Potencial Elétrico
Potencial elétrico
Calculo do potencial elétrico
A energia potencial entre duas cargas
puntiformes, q e q0 é dada por:
U
=
1 q0 q
4π0 r
O potencial V para uma única carga q
será:
V
=
U
1 q
=
q0
4π0 r
I r é a distância entre q e o ponto
onde o potencial está sendo
calculado.
I q > 0 → V > 0.
I q < 0 → V < 0.
I r = ∞ → V = 0.
I V é independente da carga q0 .
Capı́tulo 23 - Potencial Elétrico
Potencial elétrico
Calculo do potencial elétrico
A energia potencial entre um conjunto de cargas
puntiformes, é dada por:
U
=
q0 X qi
4π0 i ri
Capı́tulo 23 - Potencial Elétrico
Potencial elétrico
Calculo do potencial elétrico
A energia potencial entre um conjunto de cargas
puntiformes, é dada por:
U
=
q0 X qi
4π0 i ri
O potencial V para um conjunto de carga será:
V
=
U
1 X qi
=
q0
4π0 i ri
ri é a distância entre qi e o ponto onde o
potencial está sendo calculado.
Capı́tulo 23 - Potencial Elétrico
Potencial elétrico
Calculo do potencial elétrico
A energia potencial entre um conjunto de cargas
puntiformes, é dada por:
U
q0 X qi
4π0 i ri
=
O potencial V para um conjunto de carga será:
V
=
U
1 X qi
=
q0
4π0 i ri
ri é a distância entre qi e o ponto onde o
potencial está sendo calculado.
Para um distribuição continua de cargas o
somatório se torna uma integral,
V
=
1
4π0
Z
dq
r
Capı́tulo 23 - Potencial Elétrico
Potencial elétrico
Como determinar o potencial elétrico a partir do campo elétrico
~ e não a distribuição de cargas podemos calcular o potencial
Quando conhecemos E
~ = q0 E
~ , então:
elétrico a partir do campo elétrico. Como F
Z
Wa→b
=
a
b
~ · d~l =
F
b
Z
a
~ · d~l
q0 E
Capı́tulo 23 - Potencial Elétrico
Potencial elétrico
Como determinar o potencial elétrico a partir do campo elétrico
~ e não a distribuição de cargas podemos calcular o potencial
Quando conhecemos E
~ = q0 E
~ , então:
elétrico a partir do campo elétrico. Como F
b
Z
Wa→b
Wa→b
q0
=
=
a
Rb
a
b
=
a
b
Z
~ · d~l
q0 E
a
~ · d~l
q0 E
q0
Z
Va − Vb
~ · d~l =
F
~ · d~l =
E
= Va − Vb
b
Z
E cos φdl
a
Capı́tulo 23 - Potencial Elétrico
Potencial elétrico
Como determinar o potencial elétrico a partir do campo elétrico
~ e não a distribuição de cargas podemos calcular o potencial
Quando conhecemos E
~ = q0 E
~ , então:
elétrico a partir do campo elétrico. Como F
b
Z
Wa→b
Wa→b
q0
=
=
a
Rb
a
b
=
a
b
Z
~ · d~l
q0 E
a
~ · d~l
q0 E
q0
Z
Va − Vb
~ · d~l =
F
~ · d~l =
E
= Va − Vb
b
Z
E cos φdl
a
~ , você se desloca
I Ao se mover no sentido de E
para valores decrescentes de V .
~ , você se
I Ao se mover no sentido oposto de E
desloca para valores crescentes de V .
No S.I. a unidade de campo elétrico pode ser:
1N/C = 1V/m.
Capı́tulo 23 - Potencial Elétrico
Potencial elétrico
Elétron-volt
Elétron-volt é uma unidade de energia.
Ua − Ub
=
q(Va − Vb ) = qVab
Quando q possui modulo igual a e = 1, 602 × 10−19 C a carga do elétron e
Vab = 1Volt, então:
1eV
=
(1, 602 × 10−19 C )(1Volt) = 1, 602 × 10−19 J
Capı́tulo 23 - Potencial Elétrico
Gradiente de potencial
Gradiente de potencial
~ (x, y , z) obtemos o potencial elétrico, V (x, y , z). Va − Vb =
Conhecendo E
~ a partir de V ?
Como obter E
Rb
a
~ · d~l
E
Capı́tulo 23 - Potencial Elétrico
Gradiente de potencial
Gradiente de potencial
~ (x, y , z) obtemos o potencial elétrico, V (x, y , z). Va − Vb =
Conhecendo E
~
Como obter E a partir de V ?
a
Z
Va − Vb
b
b
Z
−
a
=
a
dV
a
b
Z
dV
b
Z
dV = −
=
~ · d~l →
E
~ · d~l
dV = −E
Rb
a
~ · d~l
E
Capı́tulo 23 - Potencial Elétrico
Gradiente de potencial
Gradiente de potencial
R
~ (x, y , z) obtemos o potencial elétrico, V (x, y , z). Va − Vb = b E
~ · d~l
Conhecendo E
a
~
Como obter E a partir de V ?
a
Z
Va − Vb
b
b
Z
−
a
=
dV
a
b
Z
dV
b
Z
dV = −
=
~ · d~l →
E
~ · d~l
dV = −E
a
~ = Ex î + Ey ĵ + Ez k̂, d~l = dx î + dy ĵ + dz k̂ e V = V (x, y , z) então,
Dado que, E
Capı́tulo 23 - Potencial Elétrico
Gradiente de potencial
Gradiente de potencial
R
~ (x, y , z) obtemos o potencial elétrico, V (x, y , z). Va − Vb = b E
~ · d~l
Conhecendo E
a
~ a partir de V ?
Como obter E
a
Z
Va − Vb
b
b
Z
−
a
=
dV
a
b
Z
dV
b
Z
dV = −
=
~ · d~l →
E
~ · d~l
dV = −E
a
~ = Ex î + Ey ĵ + Ez k̂, d~l = dx î + dy ĵ + dz k̂ e V = V (x, y , z) então,
Dado que, E
dV
=
dV
=
Ex
=
~ · d~l = −Ex dx − Ey dy − Ez dz
−E
∂V
∂V
∂V
dx +
dy +
dz
∂x
∂y
∂z
∂V
∂V
∂V
−
; Ey = −
; Ez = −
∂x
∂y
∂z
Capı́tulo 23 - Potencial Elétrico
Gradiente de potencial
Gradiente de potencial
R
~ (x, y , z) obtemos o potencial elétrico, V (x, y , z). Va − Vb = b E
~ · d~l
Conhecendo E
a
~ a partir de V ?
Como obter E
a
Z
Va − Vb
b
b
Z
−
=
a
dV
a
b
Z
dV
b
Z
dV = −
=
~ · d~l →
E
~ · d~l
dV = −E
a
~ = Ex î + Ey ĵ + Ez k̂, d~l = dx î + dy ĵ + dz k̂ e V = V (x, y , z) então,
Dado que, E
dV
=
dV
=
Ex
=
~ (x, y , z)
E
=
~ · d~l = −Ex dx − Ey dy − Ez dz
−E
∂V
∂V
∂V
dx +
dy +
dz
∂x
∂y
∂z
∂V
∂V
∂V
−
; Ey = −
; Ez = −
∂x
∂y
∂z
−
∂V
∂V
∂V
î +
ĵ +
k̂
∂x
∂y
∂z
~ (x, y , z)
= −∇V
Capı́tulo 23 - Potencial Elétrico
Superfı́cies Equipotenciais
Superfı́cies Equipotenciais
Uma superfı́cie equipotencial é uma superfı́cie em três dimensões, sobre a qual o
potencial elétrico V permanece constantes em todos os pontos.
Capı́tulo 23 - Potencial Elétrico
Superfı́cies Equipotenciais
Superfı́cies Equipotenciais
Uma superfı́cie equipotencial é uma superfı́cie em três dimensões, sobre a qual o
potencial elétrico V permanece constantes em todos os pontos.
Se uma carga de teste q0 se desloca de um ponto
a outro sobre essa superfı́cie, a energia potencial
q0 V permanece constante, assim, o campo
~ não realiza trabalho.
elétrico E
Capı́tulo 23 - Potencial Elétrico
Superfı́cies Equipotenciais
Superfı́cies Equipotenciais
Uma superfı́cie equipotencial é uma superfı́cie em três dimensões, sobre a qual o
potencial elétrico V permanece constantes em todos os pontos.
Se uma carga de teste q0 se desloca de um ponto
a outro sobre essa superfı́cie, a energia potencial
q0 V permanece constante, assim, o campo
~ não realiza trabalho.
elétrico E
~ deve ser perpendicular à superfı́cie
Portanto, E
~ seja
em todos os pontos, de modo que a força F
perpendicular ao deslocamento de uma carga que
se mova sobre essa superfı́cie.
Capı́tulo 23 - Potencial Elétrico
Superfı́cies Equipotenciais
Superfı́cies Equipotenciais
Uma superfı́cie equipotencial é uma superfı́cie em três dimensões, sobre a qual o
potencial elétrico V permanece constantes em todos os pontos.
Se uma carga de teste q0 se desloca de um ponto
a outro sobre essa superfı́cie, a energia potencial
q0 V permanece constante, assim, o campo
~ não realiza trabalho.
elétrico E
~ deve ser perpendicular à superfı́cie
Portanto, E
~ seja
em todos os pontos, de modo que a força F
perpendicular ao deslocamento de uma carga que
se mova sobre essa superfı́cie.
As linhas de campo elétrico e as superfı́cies
equipotenciais são sempre mutuamente
perpendiculares.
Capı́tulo 23 - Potencial Elétrico
Superfı́cies Equipotenciais
Superfı́cies Equipotenciais
Uma superfı́cie equipotencial é uma superfı́cie em três dimensões, sobre a qual o
potencial elétrico V permanece constantes em todos os pontos.
Se uma carga de teste q0 se desloca de um ponto
a outro sobre essa superfı́cie, a energia potencial
q0 V permanece constante, assim, o campo
~ não realiza trabalho.
elétrico E
~ deve ser perpendicular à superfı́cie
Portanto, E
~ seja
em todos os pontos, de modo que a força F
perpendicular ao deslocamento de uma carga que
se mova sobre essa superfı́cie.
As linhas de campo elétrico e as superfı́cies
equipotenciais são sempre mutuamente
perpendiculares.
~ é grande, as
Em regiões onde o módulo de E
superfı́cies equipotenciais ficam agrupadas mais
compactamente.
~ é fraco, as
Em regiões onde o módulo de E
superfı́cies equipotenciais ficam agrupadas mais
Capı́tulo 23 - Potencial Elétrico
Superfı́cies Equipotenciais
Superfı́cies Equipotenciais
Uma superfı́cie equipotencial é uma superfı́cie em três dimensões, sobre a qual o
potencial elétrico V permanece constantes em todos os pontos.
Se uma carga de teste q0 se desloca de um ponto
a outro sobre essa superfı́cie, a energia potencial
q0 V permanece constante, assim, o campo
~ não realiza trabalho.
elétrico E
~ deve ser perpendicular à superfı́cie
Portanto, E
~ seja
em todos os pontos, de modo que a força F
perpendicular ao deslocamento de uma carga que
se mova sobre essa superfı́cie.
As linhas de campo elétrico e as superfı́cies
equipotenciais são sempre mutuamente
perpendiculares.
~ é grande, as
Em regiões onde o módulo de E
superfı́cies equipotenciais ficam agrupadas mais
compactamente.
~ é fraco, as
Em regiões onde o módulo de E
superfı́cies equipotenciais ficam agrupadas mais
Capı́tulo 23 - Potencial Elétrico
Superfı́cies Equipotenciais
Superfı́cies Equipotenciais
Uma superfı́cie equipotencial é uma superfı́cie em três dimensões, sobre a qual o
potencial elétrico V permanece constantes em todos os pontos.
Se uma carga de teste q0 se desloca de um ponto
a outro sobre essa superfı́cie, a energia potencial
q0 V permanece constante, assim, o campo
~ não realiza trabalho.
elétrico E
~ deve ser perpendicular à superfı́cie
Portanto, E
~ seja
em todos os pontos, de modo que a força F
perpendicular ao deslocamento de uma carga que
se mova sobre essa superfı́cie.
As linhas de campo elétrico e as superfı́cies
equipotenciais são sempre mutuamente
perpendiculares.
~ é grande, as
Em regiões onde o módulo de E
superfı́cies equipotenciais ficam agrupadas mais
compactamente.
~ é fraco, as
Em regiões onde o módulo de E
superfı́cies equipotenciais ficam agrupadas mais
Capı́tulo 23 - Potencial Elétrico
Superfı́cies Equipotenciais
Superfı́cies Equipotenciais
Uma superfı́cie equipotencial é uma superfı́cie em três dimensões, sobre a qual o
potencial elétrico V permanece constantes em todos os pontos.
Se uma carga de teste q0 se desloca de um ponto
a outro sobre essa superfı́cie, a energia potencial
q0 V permanece constante, assim, o campo
~ não realiza trabalho.
elétrico E
~ deve ser perpendicular à superfı́cie
Portanto, E
~ seja
em todos os pontos, de modo que a força F
perpendicular ao deslocamento de uma carga que
se mova sobre essa superfı́cie.
As linhas de campo elétrico e as superfı́cies
equipotenciais são sempre mutuamente
perpendiculares.
~ é grande, as
Em regiões onde o módulo de E
superfı́cies equipotenciais ficam agrupadas mais
compactamente.
~ é fraco, as
Em regiões onde o módulo de E
superfı́cies equipotenciais ficam agrupadas mais
Figura: Esfera próxima a uma superfı́cie.
Capı́tulo 23 - Potencial Elétrico
Superfı́cies Equipotenciais
Condutores e Equipotenciais
Quando todas as cargas estão em repouso, a
superfı́cie de um condutor é sempre uma
superfı́cie equipotencial.
Quando todas as cargas estão em repouso, o
campo elétrico nos pontos próximos da superfı́cie
externa de um condutor deve ser sempre
perpendicular em todos os pontos da superfı́cie.
Capı́tulo 23 - Potencial Elétrico
Superfı́cies Equipotenciais
Condutores e Equipotenciais
Quando todas as cargas estão em repouso, a
superfı́cie de um condutor é sempre uma
superfı́cie equipotencial.
Quando todas as cargas estão em repouso, o
campo elétrico nos pontos próximos da superfı́cie
externa de um condutor deve ser sempre
perpendicular em todos os pontos da superfı́cie.
Todos os pontos no interior de uma cavidade
possuem o mesmo potencial.
Em equilı́brio eletrostático, se um condutor possui
uma cavidade, e se não existe nenhuma carga no
interior da cavidade, então não pode existir carga
sobre qualquer ponto da superfı́cie da cavidade.
Capı́tulo 23 - Potencial Elétrico
Determinação do potencial elétrico
Esfera condutora carregada
Para r ≤ R o campo elétrico é dado por,
~
E
=
0
Capı́tulo 23 - Potencial Elétrico
Determinação do potencial elétrico
Esfera condutora carregada
Para r ≤ R o campo elétrico é dado por,
~
E
=
0
dV
=
~ · d~l = 0
−E
Capı́tulo 23 - Potencial Elétrico
Determinação do potencial elétrico
Esfera condutora carregada
Para r ≤ R o campo elétrico é dado por,
~
E
=
0
dV
=
~ · d~l = 0
−E
dV
=
Va − Vb = 0
a
Z
b
Capı́tulo 23 - Potencial Elétrico
Determinação do potencial elétrico
Esfera condutora carregada
Para r ≤ R o campo elétrico é dado por,
~
E
=
0
dV
=
~ · d~l = 0
−E
dV
=
Va − Vb = 0
a
Z
b
Logo o potencial para r ≤ R é constante pois,
Va − Vb = 0 e igual ao da superfı́cie.
Capı́tulo 23 - Potencial Elétrico
Determinação do potencial elétrico
Esfera condutora carregada
Para r ≤ R o campo elétrico é dado por,
~
E
=
dV
=
0
~ · d~l = 0
−E
dV
=
Va − Vb = 0
a
Z
b
Logo o potencial para r ≤ R é constante pois,
Va − Vb = 0 e igual ao da superfı́cie.
Para r > R o campo elétrico é dado por,
~
E
=
1 q
r̂
4π0 r 2
Capı́tulo 23 - Potencial Elétrico
Determinação do potencial elétrico
Esfera condutora carregada
Para r ≤ R o campo elétrico é dado por,
~
E
=
dV
=
0
~ · d~l = 0
−E
dV
=
Va − Vb = 0
a
Z
b
Logo o potencial para r ≤ R é constante pois,
Va − Vb = 0 e igual ao da superfı́cie.
Para r > R o campo elétrico é dado por,
~
E
=
1 q
r̂
4π0 r 2
dV
=
~
~ · d~l = − q r̂ · d l
−E
4π0 r 2
Capı́tulo 23 - Potencial Elétrico
Determinação do potencial elétrico
Esfera condutora carregada
Logo o potencial para r ≤ R é constante pois,
Va − Vb = 0 e igual ao da superfı́cie.
Para r > R o campo elétrico é dado por,
~
E
=
1 q
r̂
4π0 r 2
dV
=
~ · d~l = −
−E
dV
=
−
q dr
=
4π0 r 2
q r̂ · d~l
4π0 r 2
Capı́tulo 23 - Potencial Elétrico
Determinação do potencial elétrico
Esfera condutora carregada
Logo o potencial para r ≤ R é constante pois,
Va − Vb = 0 e igual ao da superfı́cie.
Para r > R o campo elétrico é dado por,
~
E
=
1 q
r̂
4π0 r 2
dV
=
~ · d~l = −
−E
dV
=
dV
=
a
Z
b
q r̂ · d~l
4π0 r 2
q dr
=
4π0 r 2
Z a
q
−
r −2 dr
4π0 b
−
Capı́tulo 23 - Potencial Elétrico
Determinação do potencial elétrico
Esfera condutora carregada
Logo o potencial para r ≤ R é constante pois,
Va − Vb = 0 e igual ao da superfı́cie.
Para r > R o campo elétrico é dado por,
~
E
=
1 q
r̂
4π0 r 2
dV
=
~ · d~l = −
−E
dV
=
dV
=
Va − Vb
=
a
Z
b
q r̂ · d~l
4π0 r 2
q dr
=
4π0 r 2
Z a
q
−
r −2 dr
4π0 b
q
(r −1 − rb−1 )
Vab =
4π0 a
−
Capı́tulo 23 - Potencial Elétrico
Determinação do potencial elétrico
Esfera condutora carregada
Logo o potencial para r ≤ R é constante pois,
Va − Vb = 0 e igual ao da superfı́cie.
Para r > R o campo elétrico é dado por,
~
E
=
dV
=
dV
=
dV
=
Va − Vb
=
a
Z
b
1 q
r̂
4π0 r 2
~
~ · d~l = − q r̂ · d l
−E
4π0 r 2
q dr
−
=
4π0 r 2
Z a
q
−
r −2 dr
4π0 b
q
Vab =
(r −1 − rb−1 )
4π0 a
Para r > R o potencial elétrico é dado por
1 q
1
V = 4π
e na superfı́cie é igual a V = 4π
r
0
0
q
R
Capı́tulo 23 - Potencial Elétrico
Determinação do potencial elétrico
Placas paralelas carregadas com cargas opostas
Como o campo elétrico é dado por,
~
E
=
−E ĵ = −
σ
ĵ
0
Capı́tulo 23 - Potencial Elétrico
Determinação do potencial elétrico
Placas paralelas carregadas com cargas opostas
Como o campo elétrico é dado por,
~
E
=
−E ĵ = −
dV
=
~ · d~l
−E
σ
ĵ
0
Capı́tulo 23 - Potencial Elétrico
Determinação do potencial elétrico
Placas paralelas carregadas com cargas opostas
Como o campo elétrico é dado por,
~
E
=
−E ĵ = −
dV
=
dV
=
~ · d~l
−E
σ
dy
0
σ
ĵ
0
Capı́tulo 23 - Potencial Elétrico
Determinação do potencial elétrico
Placas paralelas carregadas com cargas opostas
Como o campo elétrico é dado por,
σ
ĵ
0
~
E
=
−E ĵ = −
dV
=
dV
=
dV
=
Va − Vb
=
~ · d~l
−E
σ
dy
0
Z a
σ
dy
b 0
σ
Vab = (ya − yb )
0
a
Z
b
Capı́tulo 23 - Potencial Elétrico
Determinação do potencial elétrico
Placas paralelas carregadas com cargas opostas
Como o campo elétrico é dado por,
σ
ĵ
0
~
E
=
−E ĵ = −
dV
=
dV
=
dV
=
Va − Vb
=
~ · d~l
−E
σ
dy
0
Z a
σ
dy
b 0
σ
Vab = (ya − yb )
0
a
Z
b
Como ya = d e yb = 0 ⇒ Vab =
σ
d
0
= Ed
Capı́tulo 23 - Potencial Elétrico
Determinação do potencial elétrico
Placas paralelas carregadas com cargas opostas
Como o campo elétrico é dado por,
σ
ĵ
0
~
E
=
−E ĵ = −
dV
=
dV
=
dV
=
Va − Vb
=
~ · d~l
−E
σ
dy
0
Z a
σ
dy
b 0
σ
Vab = (ya − yb )
0
a
Z
b
Como ya = d e yb = 0 ⇒ Vab = σ d = Ed
0
Segue deste resultado que o modulo do campo
elétrico no interior de duas placas planas e
paralelas (capacitor) é dado por E = Vdab .
Capı́tulo 23 - Potencial Elétrico
Determinação do potencial elétrico
Um fio infinito carregado ou cilindro condutor carregado
Para r ≤ R o campo elétrico é dado por,
~
E
=
0
Capı́tulo 23 - Potencial Elétrico
Determinação do potencial elétrico
Um fio infinito carregado ou cilindro condutor carregado
Para r ≤ R o campo elétrico é dado por,
~
E
=
0
dV
=
~ · d~l = 0
−E
Capı́tulo 23 - Potencial Elétrico
Determinação do potencial elétrico
Um fio infinito carregado ou cilindro condutor carregado
Para r ≤ R o campo elétrico é dado por,
~
E
=
0
dV
=
~ · d~l = 0
−E
dV
=
Va − Vb = 0
a
Z
b
Capı́tulo 23 - Potencial Elétrico
Determinação do potencial elétrico
Um fio infinito carregado ou cilindro condutor carregado
Para r ≤ R o campo elétrico é dado por,
~
E
=
0
dV
=
~ · d~l = 0
−E
dV
=
Va − Vb = 0
a
Z
b
Logo o potencial para r ≤ R é constante pois,
Va − Vb = 0 e igual ao da superfı́cie.
Capı́tulo 23 - Potencial Elétrico
Determinação do potencial elétrico
Um fio infinito carregado ou cilindro condutor carregado
Para r ≤ R o campo elétrico é dado por,
~
E
=
dV
=
0
~ · d~l = 0
−E
dV
=
Va − Vb = 0
a
Z
b
Logo o potencial para r ≤ R é constante pois,
Va − Vb = 0 e igual ao da superfı́cie.
Para r > R o campo elétrico é dado por,
~
E
=
λ r̂
2π0 r
Capı́tulo 23 - Potencial Elétrico
Determinação do potencial elétrico
Um fio infinito carregado ou cilindro condutor carregado
Para r ≤ R o campo elétrico é dado por,
~
E
=
dV
=
0
~ · d~l = 0
−E
dV
=
Va − Vb = 0
a
Z
b
Logo o potencial para r ≤ R é constante pois,
Va − Vb = 0 e igual ao da superfı́cie.
Para r > R o campo elétrico é dado por,
~
E
=
λ r̂
2π0 r
dV
=
~
~ · d~l = − λ r̂ · d l
−E
2π0 r
Capı́tulo 23 - Potencial Elétrico
Determinação do potencial elétrico
Um fio infinito carregado ou cilindro condutor carregado
Logo o potencial para r ≤ R é constante pois,
Va − Vb = 0 e igual ao da superfı́cie.
Para r > R o campo elétrico é dado por,
~
E
=
λ r̂
2π0 r
dV
=
~ · d~l = −
−E
dV
=
−
λ dr
2π0 r
λ r̂ · d~l
2π0 r
Capı́tulo 23 - Potencial Elétrico
Determinação do potencial elétrico
Um fio infinito carregado ou cilindro condutor carregado
Logo o potencial para r ≤ R é constante pois,
Va − Vb = 0 e igual ao da superfı́cie.
Para r > R o campo elétrico é dado por,
~
E
=
λ r̂
2π0 r
dV
=
~ · d~l = −
−E
dV
=
dV
=
a
Z
b
λ r̂ · d~l
2π0 r
λ dr
2π0 r
Z a
λ
dr
−
2π0 b r
−
Capı́tulo 23 - Potencial Elétrico
Determinação do potencial elétrico
Um fio infinito carregado ou cilindro condutor carregado
Logo o potencial para r ≤ R é constante pois,
Va − Vb = 0 e igual ao da superfı́cie.
Para r > R o campo elétrico é dado por,
~
E
=
λ r̂
2π0 r
dV
=
~ · d~l = −
−E
dV
=
−
dV
=
Va − Vb
=
a
Z
b
λ r̂ · d~l
2π0 r
λ dr
2π0 r
Z a
λ
dr
−
2π0 b r
λ
ra
Vab = −
ln
2π0
rb
Capı́tulo 23 - Potencial Elétrico
Determinação do potencial elétrico
Um fio infinito carregado ou cilindro condutor carregado
Logo o potencial para r ≤ R é constante pois,
Va − Vb = 0 e igual ao da superfı́cie.
Para r > R o campo elétrico é dado por,
~
E
=
dV
=
dV
=
dV
=
Va − Vb
=
a
Z
b
λ r̂
2π0 r
~
~ · d~l = − λ r̂ · d l
−E
2π0 r
λ dr
−
2π0 r
Z a
λ
dr
−
2π0 b r
λ
ra
Vab = −
ln
2π0
rb
Para r > R o potencial
elétrico é dado por
λ
ln Rr e na superfı́cie definimos que
V = 2π
0
λ
V = 2π
ln R
= 0 pois o ln(x) → ∞ para
R
0
x → 0, ∞ .
Capı́tulo 23 - Potencial Elétrico
Determinação do potencial elétrico
Um anel carregado
Capı́tulo 23 - Potencial Elétrico
Determinação do potencial elétrico
Um fio carregado