Aula de 31/10/2000

Aula Teórica de 31 – 10 – 2000
Estruturas Hiperestáticas
Comportamento de uma barra de aço à tracção. Aço macio e aço duro. Comportamento de uma
estrutura hiperestática (grau 1) até à ruína. Análise elasto-plástica. Determinação de esforços
residuais após a descarga da estrutura.
Professor Luis Juvandes
FEUP - ENGENHARIA CIVIL
Folha 1/7
RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1
Ano lectivo 2000/2001
COMPORTAMENTO ELASTO - PLÁSTICO
1 – UMA BARRA DE AÇO
u
F
A
y
N
B
O
y
Fe 360
Fe 430
Fe 510
• AÇO
F
u
• Material DÚCTIL
Ÿ presença de patamar
de cedência
• Em TERMOS DE CÁLCULO - diagrama
+
TRACÇÃO
A
y
B
OAB
- Carregamento (tracção)
BC
- Descarga
O
D´ C´
C
D
+
OA' B' - Carregamento (compressão)
B´
A´
-
y
B' C'
- Descarga
COMPRESSÃO
Comportamento:
EM CARGA
TROÇO OA
- Regime elástico (R.E) [ σ ≤ σy ]
•
PONTO “A”
válido Lei Hooke ∴ ∆ =
N
EA
- Início da plastificação da secção
•
σ = σy =
N máx
⇒
A
N máx = σ y A
tensão de cedência do material
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Folha 2/7
EM CARGA (cont.)
RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1
TROÇO AB
Ano lectivo 2000/2001
- Regime plástico (R.P.)
Nmáx = σy x A
Nmáx
σ = const. = σy
•
Fim do carregamento
A barra sofre deformação a tensão constante, isto é, a barra
está em cedência sem poder absorver mais esforço
(PLASTIFICOU)
___________ /// __________________ /// __________________ /// ___________________ /// ____________
Comportamento:
DOMÍNIO OA
- Material sempre em Regime Elástico (R.E.)
•
A
Na descarga as deformações são eliminadas totalmente
porque o material nunca plastificou
σ= 0
ε= 0
EM DESCARGA
O
y
DOMÍNIO AB
A
carga
σ = σy
ε = εy
desc.
σ=0
ε= 0
- Após o ponto “A” o material entrou em Regime Plástico (R.P.)
B
B’
B’’
•
Uma vez em patamar de cedência, a descarga faz-se
paralelamente ao troço OA do regime elástico
Descarga é feita sempre em R. Elástico
C
O
•
εr
= deformação residual (irreversível) após descarga a
partir do ponto B (B’ ou B’’)
r
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Folha 3/7
RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1
2 – ESTRUTURA FORMADA POR VÁRIAS BARRAS
Ano lectivo 2000/2001
(1vez hip.)
Ex:
3m
A = const = 10 cm2
3m
E = const = 206 GPa
A
4m
B
N1
C
N2
N1 = N3 = f (P) = 0.2514 P
N3
N2 = f (P) = 0.6983 P
(+ esforçada)
D
Est. hiperestática
P
0 < P < P1
•
Todas as barras estão em R.E., isto é
1
P = P1
Est. Isostática
Ÿ Regime Elástico (R.E.)
,
2
,
<
•
barra BD →
2
=
máx
=
y
N2 = Nmáx =
P1 < P < P2
y
Ÿ 1.ª Barra plastifica → a mais esforçada
y
x
A
Ÿ Regime Elasto-Plástico (R.E.P.)
•
1 barra plastificada e as restantes em R.Elástico
2
=
y
1 ,
3
<
y
Ÿ Ruína da estrutura → todas as barras estão plastificadas (R.P.)
Est. hipoestática
RUÍNA
3
1
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=
2
=
DESENHAR CURVA DE COMPORTAMENTO
3
=
y
P = f (δ
δ)
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Folha 4/7
RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1
Ano lectivo 2000/2001
EXEMPLO: Resolver o Exemplo-2 da aula de 26/10/2000
1 – Regime Elástico [φ ≤ P < P1 ]
Dados: Fe 360 ⇒ σy = 235 MPa
A
B
C
N2
N1
Estrutura Hiperestática
Eq. Equilibrio

Eq. Comp. deformação
N3
D
P
 N1 = N 3 = 0.2514 P

 N 2 = 0.6983 P
2 – Plastificação da 1.ª barra [P = P1 ]
⇒ barra BD porque N2 > N1
N máx = σ y × A = 235 × 10 3 × 10 × 10 −4 = 235kN
N 2 = 0.6983P = N m áx → P1 = 336.531kN
N 1
δ D (P = P1 ) = δ D = ∆l BD = 2 = 4.563 × 10 −3 m
EA
P1 = 336.531 kN
δ1D = 4.563 × 10 −3 m
3 – Regime Elasto-Plástico [P1 ≤ P < P2 ]
Dados: Fe 360 ⇒ σy = 235 MPa
A
B
C
N 2 = N máx = 235 kN
N3
N1
D
P
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Estrutura Isostáctica
Σ Fx = 0

Σ Fy = 0
N1 = N 3 =
P − 235
2senα
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Folha 5/7
RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1
Ano lectivo 2000/2001
4 – Ruína da estrutura [P = P2 ]
A
B
C
Nmáx
Nmáx
 N 1 = N 2 = N 3 = N máx = 235kN

ΣFy = 0 ⇔ 2 × N máx × senα + N máx = P
Nmáx
P2 = N máx [1 + 2senα ]
= 235[1 + 2senα ]
D
P = P2
CD
AD
D
CD
δ D (P = P2 ) = δ 2D =
AD
2
D
∆ CD
senα
2
P2 = 517 kN ; δ D = 12.67 × 10 −4 m ( )
5 – Diagrama de comportamento da estrutura - P = f ( D)
P
(kN)
600
P2
517
500
RUÍNA
400
P1
200
De
sc
arg
a
Ca
rg
a
336.5
300
100
O
1
res
2
3
4
5
4.56
6
7
8
7.41
9
10
11
14
D
-4
(x 10 m)
desc.
res.
carg.
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12 13
12.67
=
carg.
-
desc.
= 7.41 - 5.42
= 1.99 x 10-4m
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Folha 6/7
RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1
Ano lectivo 2000/2001
[P ⇒ 0 kN]
6 – Descarga da estrutura
• Admitindo:
1.ª Fase
- Carga até P = 400 kN
2.ª Fase
- Descarga
P = 400 kN
0 kN
Cálculo do Deslocamento residual do nó “D”
(irreversível)
- Carga
1.ª Fase
⇒
P = 400 kN
Regime Elasto-plástico
↑ porque
P1 < 400 < P2
P − 235
= 137.5 kN
2 × senα
CARGA N 2car. = N máx. = 235 kN (Plastificado)
N1
δ D car. =
= 7.416 × 10 − 3 m ( )
EA sen 2α
N1car. = N 3 =
- Descarga ⇒ sempre em
2.ª Fase
•
Regime Elástico
É válido as expressões de 1 – Regime Elástico
N1 = N 3 = 0.2514 P = 100.56 kN
N 2 des. = 0.6983 P = 279.32 kN
DESCARGA P1
400
des
=
⇒ δ D = 5.42 × 10 − 4 m ( )
δ D1 δ D des
des.
des.
P = 400kN →
Deslocamento Residual
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res
car
des
−4
→ δ D = δ D − δD = 1.996 × 10 m ( )
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Folha 7/7
RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1
Ano lectivo 2000/2001
Cálculo dos Esforços residuais nas barras
barra BD → plastificou

barras AD, CD → R. Elástico
•
Após P = 400 kN
•
Barra BD →
•
finais
≠ 0 quando P = 0
Como o nó “D” não regressa à posição inicial ⇒ N i
•
Como o comportamento da estrutura inclui:
⇒
Responsável pela deformação residual do nó “D”
1.ª Fase
+
2.ª Fase
PRINCÍPIO DA SOBREPOSIÇÃO DOS EFEITOS (P.S.E.)
N i finais = N i c arg a − N i desc arg a
N 1 = N 3 = N 1 − N 1 = 137.5 − 100.56 = +36.94kN
N 2 = N 2 car. − N 2 des. = 235 − 279.32 = −44.32kN
car.
Desc arg a
Professor Luís Juvandes
des.
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