Revisão de Cálculo Vetorial

Breve Revisão de
Cálculo Vetorial
1
1. Operações com vetores
Dados os vetores A = Axi + Ayj + Azk e B = Bxi + Byj + Bzk,
define-se:
Produto escalar entre os vetores A e B
A B
Ax Bx
A B
Daí ,
AB cos
cos
Ax Bx
Ay B y
Az Bz
Ay B y
Az Bz
AB
2
Produto vetorial do vetores A e B
A B
i
j
k
Ax
Bx
Ay
By
Az
Bz
Ay Bz
A B
Az B y i
Az Bx
Ax Bz j
Ax By
Ay Bx k
ABsen
3
2. Uma definição física para Campo
Dada uma região D no espaço tridimensional e uma
grandeza física (escalar ou vetorial), então, essa região
será chamada de campo se, nela, o valor da grandeza num
dado ponto depender univocamente das coordenadas
desse ponto.
Se a grandeza for escalar (pressão, temperatura, etc.), o
campo é dito escalar.
Se a grandeza for vetorial (força, velocidade, etc), o
campo é dito vetorial.
O valor da grandeza também pode depender do tempo.
Nesse caso, o campo é dito variável (ou dinâmico). Caso
contrário, ele é dito estacionário.
4
Exemplos de campos escalares:
Em um campo escalar, um número é definido para cada
ponto do espaço.
→ Campo de pressão em uma represa, p = γh.
→ Campos de Temperatura.
5
→ Um valor escalar é definido para cada ponto do espaço
(analítico ou numérico).
Representação gráfica
10
5
f
0
-5
-10
100
100
50
x
50
0
0
6
→ Linhas de iso-contorno (temperatura (oC), altitude, etc.)
100
6
90
80
4
70
2
60
50
0
40
30
-2
20
-4
10
20
40
60
80
100
7
→ Campos escalares em 3-D
20 0
10
0
5
10
15
0.9
20
0
0.8
0.7
5
0.6
10
15
0.5
0.4
0.3
20
0.2
0.1
0
8
Campos Vetoriais
Em um campo vetorial, um vetor é definido para cada ponto
do espaço. Formalmente, temos:
→ Um campo Vetorial é definido, no 2, como uma função F
que associa a cada ponto M(x, y) em um subconjunto D do
2, um único vetor F(M) bidimensional, tal que,
F( M ) F( x, y)
P( x, y) i Q( x, y) j
→ Um campo Vetorial é definido, no 3, como uma função F
que associa a cada ponto N(x, y, z) em um subconjunto E do
3, um único vetor F(N) tridimensional, tal que,
F( N ) F( x, y, z )
P( x, y, z ) i Q( x, y, z ) j R( x, y, z ) k
9
→ Campo de velocidade em uma roda ou turbina,
F
yi x j
→ Campo gravitacional (campo do quadrado inverso),
F
GMm
rˆ
2
r
10
Exemplo - Exercício
Faça um diagrama do campo vetorial F( x, y)
Considerando : y
yi
1
0, ,1, 2, 3, 4 e 5. Temos :
2
F( x,0) 0
F( x,1 / 2) ( 2 2) i
F( x,1) i
F( x,2)
2i
F( x,3)
F( x,4)
3i
2i
F( x,5)
5i
Este campo vetorial descreve a velocidade da corrente
num córrego ou rio em várias profundidades. Velocidade é
nula no leito.
11
Exemplo de uma representação numérica de um campo
vetorial.
12
Exemplos de imagens de campos vetoriais
2
1.5
1
Há um vetor definido
para cada ponto do Espaço 2-D.
O tamanho das flechas
representa a magnitude
do vetor.
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-2
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
13
Exemplos de campos escalares e vetoriais
→ Campo escalar
Mapa de temperatura
→ Campo vetorial
Velocidade dos ventos
14
4. Operador Nabla
“Nabla” (harpa em grego)
x
i
y
j
z
k
Aplicado sobre uma campo escalar, f, define um campo
vetorial chamado de Gradiente de f, f.
O produto escalar com um campo vetorial, F, define um
campo escalar chamado de Divergente de F,
F.
Produto vetorial com um campo vetorial, F, define um novo
campo vetorial chamado de Rotacional de F,
F.
15
5. Campos Gradientes
Se f = f(x,y) é uma função escalar de duas variáveis,
então, seu gradiente é definido por,
f
i
x
f ( x, y)
f
j ou grad f
y
f
i
x
f
j
y
Se f = f(x,y,z) é uma função escalar de três variáveis,
então, seu gradiente é definido por,
f
i
x
f ( x, y, z )
Onde
x
i
y
j
f
j
y
z
k
f
k ou grad f
z
f
i
x
f
j
y
f
k
z
é o vetor Nabla.
16
Exercícios
1)
Encontre os campos gradientes das funções abaixo e
trace seus diagramas de campo.
a) f(x,y) = x2 y2
(Resolução a seguir)
b) f(x,y) = x + y
c) f(x,y) = ln(x+2y)
(Resolução no quadro)
17
Resolução
f ( x, y ) x 2 y 2
f
f
f
i
j 2 xy2 i 2 x 2 y j
x
y
Interpretação
O Gradiente é um campo
vetorial cujas componentes
são as derivadas do campo
escalar.
2
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
Em qualquer ponto, o GraDiente “aponta” na direção
de máxima inclinação, e sua
magnitude é a inclinação.
-1.5
-2
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
18
Em outras palavras,
O gradiente de uma função escalar, calculado num dado
ponto, é um vetor cujo módulo representa a máxima taxa
de variação de crescimento dessa função naquele ponto.
Isto significa que o vetor gradiente calculado em (x0, y0,
z0) tem a direção para a qual ocorre o máximo crescimento
da função em (x0, y0, z0).
Além disso ele é perpendicular à superfície no ponto (x0,
y0), no 2, ou (x0, y0, z0) no 3.
19
Visualização,
2
12
1.5
10
1
8
0.5
0
6
-0.5
4
-1
2
-1.5
-2
-2
0
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
→ Mapa de cores: função – campo escalar
→ Representação de setas: campo vetorial obtido a partir
do gradiente da função escalar.
20
6. Campos conservativos e funções potenciais
Se F é um campo vetorial em duas ou três dimensões.
Então, diz-se que F é um campo conservativo numa região
do 2 ou 3, se F for o campo gradiente de alguma função f
naquela região. Isto é, F = f. A função f é chamada de
função potencial.
Exemplo
Considere o campo vetorial do quadrado inverso em duas
dimensões.
F( x, y)
(x2
c
( x i y j)
2 3/ 2
y )
Mostre que F é um campo conservativo em qualquer região
do 2 que não contenha a origem e cuja função potencial
seja
f ( x, y)
( x2
c
y 2 )1/ 2
21
Resolução
Temos que mostrar que o campo gradiente de f, em
qualquer região que não contenha a origem, é F. Para isso,
calcularemos f
f
f
i
x
f
j
y
f
cx
x ( x 2 y 2 )3 / 2
Daí ,
f
e
f
y
cy
( x 2 y 2 )3 / 2
cx
cy
i
j
2
2 3/ 2
2
2 3/ 2
(x y )
(x y )
(x
2
c
( xi
2 3/ 2
y )
yj) F( x, y )
Logo, F é conservativo em qualquer região do 2, exceto
na origem, já que F = f. f é, portanto, função potencial de
F.
22
7. Divergência e Rotacional
Seja F(x,y) = f(x,y)i + g(x,y)j um campo vetorial em duas
dimensões, define-se a divergência de F, denotado por divF ou
•F, ao escalar
div F
F
x
ou simplesmente,
div F
f
x
f ( x, y )
y
g ( x, y )
g
y
Em três dimensões, F(x,y) = f(x,y,z)i + g(x,y,z)j + h(x,y,z)k
divF
f
x
g
y
h
z
23
Seja F(x,y) = f(x,y)i + g(x,y)j um campo vetorial em duas
dimensões, define-se o rotacional de F, denotado por rotF ou
xF, ao campo vetorial
rotF
F
g
x
f
k
y
Em três dimensões, F(x,y) = f(x,y,z)i + g(x,y,z)j + h(x,y,z)k
rotF
F
h
y
g
i
z
f
z
h
j
x
g
x
f
k
y
24
Os resultados anteriores podem ser reescritos como:
→ Em duas dimensões,
rotF
F
i
j
x
f
y
g
k
0
0
→ Em três dimensões,
rotF
F
i
j
k
x
f
y
g
z
h
25
O divF tem valores escalares, enquanto rotF tem
valores vetoriais. Ou seja, rotF é ele próprio um
campo vetorial.
Exercícios
1) Calcule a divergência e o rotacional do campo vetorial
x 2 y i 2 y 3 z j 3z k
F( x, y, z )
2) Mostre que a divergência do campo do quadrado
inverso
c
F( x, y, z )
x
é nula
2
y
2
z
2 3/ 2
( xi
yj zk )
26
1) Resolução
Divergência de F
divF
divF
x
( x 2 y)
y
(2 y 3 z )
z
(3z )
2 xy 6 y 2 z 3
Rotacional de F
i
rot F
j
k
x
y
z
3
x y 2 y z 3z
(3 z )
y
(2 y 3 z )
i
z
(3 z )
x
( x 2 y)
j
z
( x 2 y)
y
(2 y 3 z )
k
x
2
rot F
2 y 3i x 2k
27
2) Resolução
Levando-se em conta que (x2 + y2 + z2)1/2 = r,
cx cy
cz
i
j 3k
3
3
r
r
r
F ( x, y , z )
Daí ,
x
x r3
div F
y
y r3
z
z r3
c
Sendo,
x
x r3
r3
x
r3
3 2
x
2
x r3 x
(r 3 ) 2
y
2
z
2 1/ 2
2x
x
r
x
x r3
1
r3
3x 2
r5
28
Analogamente,
y
y r3
r3
y
z
z r3
r3
z
r3
3 2
x
2
r3
3 2
x
2
Assim, divF
y r3 y
(r 3 ) 2
y2
z2
1/ 2
y
r
2y
z r3 z
(r 3 ) 2
y2
z2
1/ 2
2z
1
r3
3x 2
r5
3
r3
3r 2
c
5
r
z
r
3y2
r5
1
r3
y
y r3
1
r3
3y2
r5
z
z r3
1
r3
3z 2
r5
1
r3
3z 2
c
5
r
3
r3
3( x 2
y2
r5
z2)
c
0
29
Interpretações Física e Geométrica para o divergente
O divergente de um vetor, mede a variação do fluxo
desse vetor.
O divergente pode ser
Mecânica dos fluidos como:
entendido
no
contexto
da
→ Se F(x,y,z) é a velocidade de um fluido, então,
divF representa a taxa líquida de variação, com relação ao
tempo, da massa de fluido que passa pelo ponto (x, y, z).
→ Em outras palavras, divF, calculado num ponto
(x0, y0, z0) mede a tendência de um fluido deferir no ponto
(x0, y0, z0).
30
→ Campos magnéticos não são divergentes,
div H 0
→ Uma fonte de campo magnético é ao mesmo tempo fonte
e sorvedouro do campo.
31
→ Campos vetoriais constantes,
32
Interpretações Física e Geométrica para o rotacional
O vetor rotacional está associado com rotações.
Se F representa um campo de velocidades em Mecânica
dos fluidos, por exemplo, então, partículas próximas de um
ponto (x0, y0, z0), tendem a rodar em torno do eixo que
aponta para a direção definida pelo rotF calculado nesse
ponto.
A magnitude do vetor rotF é uma medida do quão rápido
as partículas se movem em torno desse eixo. A rotação
obedece a regra da mão direita.
Regra da mão direita
33
Furacão Katrina 25/08/2005
8. Alguns conceitos e teoremas importantes
Teorema 1
Se f é uma função escalar de três variáveis e que tem
derivadas parciais de segunda contínuas. Então,
rot(grad f )
f
0
Como um campo vetorial conservativo é tal que F = f,
então, o teorema anterior pode ser reescrito como: Se F
representa um campo vetorial conservativo, então,
rot F
0
34
Teorema 2
Se F = f(x,y,z)i + g(x,y,z)j + h(x,y,z)k é um campo
vetorial no 3 e f, g, h têm derivadas parciais de segunda
ordem contínuas, então,
div(rot F) 0
Laplaciano
É o resultado da aplicação do operador
É denotado por 2. Tem a forma,
2
2
2
x2
y2
z2
sobre si mesmo.
2
Quando aplicado a uma função escalar Φ(x,y,z),
2
2
2
x2
y2
z2
2
35
Se
2
2
2
2
x
A equação
2Φ
2
y
2
z
2
0
= 0 é conhecida como equação de Laplace.
36
Fluxo de um Vetor qualquer A
A quantidade do vetor
determinada superfície dS é,
d
A ndS
A,
que
passa
por
uma
A dS
Convenciona-se que ndS = dS sempre aponta para fora e
é perpendicular à superfície fechada dS.
37
Teorema da divergência
A dS
s
div A dS
V
A igualdade das duas integrais acima significa que o fluxo
do vetor A através de uma superfície fechada S é igual à
integral do divergente de A no volume V envolto por S
38
Circulação de um Vetor
A circulação de um campo vetorial A ao longo de uma
linha L do ponto P ao ponto Q, conforme a figura abaixo, é
dada por,
C
Q
P
Q
P
A dL
dL simboliza uma parcela elementar da linha orientada L.
39
Teorema de Stokes
O fluxo rotacional de um campo vetorial F através de
uma superfície aberta S é igual à circulação do vetor A ao
longo do caminho L que delimita S.
A dL
L
rotA dS
S
Se A for uma força, esse teorema é uma forma de
calcular o trabalho realizado por essa força ao longo do
caminho L.
40