Reading Note No. 10

Apontamento 2013-13
JURO SIMPLES E JURO COMPOSTO
Juro. Juro simples. Juro composto.
Descrição breve
O juro é a retribuição devida a quem cede temporariamente um capital. O juro calculado
com base no método dito simples é proporcional à extensão do prazo da cedência e ao
valor do capital inicial. O cálculo do juro com base no método dito composto define
uma relação não linear entre o valor do juro e a extensão do prazo da cedência. O
método simples é usado em empréstmos cujo prazo não excede em geral um ano.
JURO
Certas trocas financeiras tomam a forma duma transferência temporária da propriedade
dum ativo e duma cedência do seu uso: São os chamados contratos de mútuo ou mútuos.
Num mútuo, o ativo é cedido pelo proprietário por um certo período de tempo ao fim do
qual lhe deve ser restituído num outro tanto de igual género e qualidade juntamente com
a retribuição acordada. O ativo cedido é o capital do mútuo. A parte a quem o capital é
cedido temporariamente é o devedor (Lat. debitor). A parte a quem pertence o capital
cedido inicialmente é o credor (Lat. creditor). O juro é a renda ou retribuição devida ao
credor pelo uso do seu capital. O período de tempo da cedência do capital é o prazo do
mútuo. O capital e o juro não são necessariamente medidos em termos duma mesma
mercadoria; aqui tratamos sobretudo de situações em que são medidos em unidades
monetárias duma mesma moeda, podendo o capital ser também chamado principal.1
Se faz favor INCLUIR AQUI: Figura 13-1
Juro simples.
A cedência temporária dum capital em dinheiro pode tomar a forma dum empréstimo,
investimento, ou depósito. Suponha que eu fiz a aplicação de (–) 1.000,00 euros num
depósito a prazo no meu banco há um ano. Hoje, volto ao banco para proceder à
liquidação do depósito. Nesta troca financeira, eu sou o credor ou depositante, enquanto
o banco é o devedor ou depositário. O banco tem a obrigação de restituir a quantia
depositada há um ano e a de pagar o juro acordado pelo uso que fez do meu capital no
último ano. Foi-me prometido receber (+) 1.040,00 euros i.e. 1.000,00 euros relativos à
restituição do capital, mais 40,00 euros em razão do juro acordado.
1
Aqui não há risco de incumprimento: O devedor restitui sempre o valor total do capital, tal como efetua
o pagamento do juro acordado atempadamente. Quando tal não acontece, o credor deve esperar obter em
princípio um juro maior. Este juro adicional é chamado prémio de risco: o juro adicional é a retribuição
adicional pelo risco acrescido.
[2]
A capitalização dum valor em dinheiro é este processo da sua transformação ao fim
dum certo período de tempo num valor geralmente maior em razão tão-só do seu uso
produtivo. O juro é o incremento de valor dum capital ao fim dum certo prazo. A
variável central dum qualquer processo de capitalização é o tempo. O incremento de
valor de uma unidade de capital (medida em euros, dólares, ou ienes), ao fim de uma
unidade de tempo (v.g. um dia, um mês, ou um ano) é a taxa unitária do juro ou
simplesmente taxa de juro. A taxa de juro representa assim o custo do empréstimo dum
capital unitário, ou o retorno da aplicação ou investimento dum capital unitário. No
exemplo do meu depósito, o valor do juro pago pelo depositário (v.g. o banco) por cada
euro do capital inicial é a taxa de juro do depósito: 40/1.000 = 0,040 ou 4 por cento.
Uma vez conhecidos os valores do capital inicial e da taxa de juro, o cálculo do juro
depende só do conhecimento do prazo.
JURO SIMPLES
Há vários métodos de cálculo do juro dum empréstimo, investimento, ou depósito. O
método mais simples faz uso de três variáveis: o capital inicial, a taxa de juro, e o prazo
da cedência temporária do capital. Vamos retomar o exemplo do depósito com o prazo
de um ano mas em que o capital é agora só de uma unidade, ou um euro. O prazo do
depósito é o número t de unidades de tempo que medeiam entre a data t = 0 da
constituição do depósito e o vencimento do depósito uma unidade de tempo depois. A
unidade de tempo usada aqui é o ano e por isso tem-se o vencimento do depósito na data
t = 1. O capital unitário é representado pelo valor X(0) = 1,00 euro, a quantia devida ao
banco (o devedor) na data da constituição do depósito.
O juro J(0, 1) relativo ao período de tempo (0, 1) ficou acordado em 0,040 euros ou 4
cêntimos de um euro. No final do ano, o saldo da conta do depósito a prazo é igual a
1,040 euros. A unidade de tempo ao fim da qual o juro se diz produzido ou formado, é o
período de formação do juro ou período de contagem do juro. O período de contagem
do juro pode ser diário, mensal, ou anual. Neste exemplo, o período de contagem do
juro é anual e coincide com o prazo inicial do depósito. O valor capitalizado da
aplicação de um euro é o valor final X(1) = 1,040 euros do processo de capitalização.
X (1)  X (0)  J (0, 1)  1,00  0,040  1,040 euros.
O juro J (0, 1) também pode ser representado através duma proporção r(0, 1) do capital.
X (1)  X (0)  r (0, 1)  X (0)  1,00 
4
1,00  1,040 euros.
100
A proporção r(0, 1) é a taxa anual do juro relativa ao período de um ano: É o
incremento de valor de cada unidade de capital no fim do período de contagem do juro.
[3]
Esta taxa anual do juro é também uma taxa periódica do juro relativa ao prazo (0, 1) de
um ano: É o incremento de valor duma unidade de capital no fim do prazo do processo
de capitalização. O juro formado num processo de capitalização cujo prazo é igual ao
período de contagem do juro, é um juro simples. O juro simples pode por isso ser
interpretado como uma proporção do capital inicial.
Considere agora um processo de capitalização cujo prazo é de dois anos e que inclui
dois períodos anuais de contagem do juro: Seja então um depósito a dois anos de um
euro com uma taxa de juro anual de 4 por cento a pagar anualmente. O juro formado no
primeiro período de contagem do juro é igual ao juro formado na aplicação de um euro
a um ano. O valor X(1) no início do segundo período de contagem do juro i.e. o período
(1, 2) depende do destino dado ao montante J(0, 1) do juro formado no primeiro período
de contagem do juro. As alternativas sobre o destino a dar ao juro entretanto formado
são duas: (1) o juro pode ser creditado na conta à ordem do depositante sem rendimento
adicional i.e. numa conta sem juros, ou (2) o juro mantém-se na conta do depósito a
prazo sendo logo acrescentado ao valor do capital entretanto acumulado.
Um processo de capitalização simples segue a primeira alternativa: O juro pago no final
de cada período de contagem deixa de ser parte do processo de capitalização.2 Neste
caso, o valor do capital que serve de base ao cálculo do juro no segundo período de
contagem do juro é o valor do capital inicial. O valor X(2) no fim do segundo período
de contagem do juro é igual ao total do capital inicial mais os juros formados em cada
um dos períodos de contagem. Tem-se assim que:
X (2)  X (0)  J (0, 1)  J (1, 2)  X (0)  r (0, 1)  X (0)  r (1, 2)  X (0) .
A proporção r(1, 2) é a taxa anual do juro relativa ao período (1, 2). As condições do
depósito a prazo são normalmente contratadas na data da sua constituição, e as taxas de
juro anuais relativas aos dois períodos de contagem dos juros são geralmente iguais.
Assim, tem-se que r (0, 1)  r (1, 2)  r .
X (2)  X (0)  2  r  X (0) .
Pegando novamente no exemplo da aplicação de um euro mas agora por um prazo de
dois anos, conclui-se que o valor capitalizado do depósito inicial de um euro na data do
vencimento (ao fim de dois anos) é igual ao total do capital inicial mais os saldos da
conta do depósito a prazo e da conta à ordem.
2
Alguns Autores distinguem dois tipos de processos de capitalização simples: (1) o processo que leva só
em conta o saldo da conta do depósito a prazo, o processo puro de capitalização simples; e (2) o processo
que inclui os saldos das duas contas, o processo dito de capitalização simples. Deste modo, o processo de
capitalização simples que é analisado aqui é um processo dito de capitalização simples em que a decisão
de destinar o saldo da conta à ordem ao consumo imediato é independente da decisão financeira.
[4]
X (2)  1,00 
4
4
1,00 
1,00  1,080 euros.
100
100
O valor capitalizado dum processo segundo a regra de capitalização simples é sempre
igual à soma do capital mais o total dos juros formados em todos os períodos de
contagem.
Exercício 1. Considere um depósito de mil euros com o prazo de trinta anos a que está
associada uma taxa de juro anual de 4 por cento. Calcule o valor capitalizado do
depósito na data do seu vencimento segundo a regra de capitalização simples.
Solução. O saldo da conta do depósito no final de cada ano do prazo até à data do
vencimento pode ser acompanhado na última coluna do Quadro seguinte.
Ano
Saldo
inicial
4% Juro
simples
Saldo
final
1
1.000,00
+
0,04 1.000,00
=
1,040.00
2
1.000,00
+
0,04 1.000,00
=
1,080.00
3
1.000,00
+
0,04 1.000,00
=
1,120.00
4
1.000,00
+
0,04 1.000,00
=
1,160.00
30
1.000,00
+
0,04 1.000,00
=
2,200.00
Usando a regra de capitalização simples, o juro formado em cada período de contagem é
calculado com base no valor do capital inicial. O montante do juro formado em cada
período anual é sempre igual a 40,00 euros. ┐
Definição 2 (Juro dito simples): O juro simples J(0, t) que o principal X(0) vence ao fim
de t unidades de tempo à taxa r(0, t) de juro por unidade de tempo, é igual a:
J (0, t )  r (0, t )  t  X (0) onde t  N+ .
N+ é o conjunto dos inteiros positivos. ┐
O valor capitalizado dum empréstimo, investimento, ou depósito, ao fim de t unidades
de tempo ou anos, é igual à soma do capital inicial mais o juro dito simples.
[5]
X (t )  X (0)  J (0, t )  X (0)  1  r (0, t )  t  .
A expressão entre parêntesis, 1  r (0, t )  t , é o chamado fator de acumulação ou fator de
capitalização que corresponde ao juro simples. O valor do factor de capitalização
obtém-se ao dividir o valor capitalizado pelo valor do capital inicial.
X (t )
 1  r (0, t )  t .
X (0)
O factor de capitalização simples representa o valor acumulado ou capitalizado dum
capital unitário até ao fim dum número t de unidades de tempo que é calculado usando a
regra de capitalização simples.
O juro simples foi definido até aqui para prazos que são múltiplos da unidade do tempo
(v.g. um, dois, e trinta anos). Porém, a regra de capitalização simples é usada sobretudo
no cálculo do juro de empréstimos, investimentos, ou depósitos, com prazos inferiores a
um ano. Os prazos abaixo de um ano são assim representados como uma fracção do
número efetivo de dias do prazo do processo a dividir pelo número de dias da unidade
do tempo. A unidade de tempo em certos países corresponde ao Ano comercial (de 360
dias); noutros países, a unidade de tempo corresponde ao Ano civil (365 dias). As duas
convenções mais usadas sobre a contagem de dias em prazos abaixo de um ano são
designadas Actual/360 e Actual/365. A convenção Actual/360 é usada nos mercados do
dinheiro em euros, dólares dos EUA, francos Suíços, e nas moedas dos países Nórdicos.
Definição 3 (Juro simples em prazos curtos). O juro simples J(0, n) que o principal X(0)
vence ao fim de n dias à taxa r (0, n) de juro anual, é igual a:
J (0, n)  r (0, n) 
n
 X (0) onde n  Q + .
Ano
Ano é o número de dias da unidade de tempo relevante (360 ou 365 dias). Q + é o
conjunto dos racionais positivos. ┐
Quando se trata dum crédito em euros com um prazo inferior a um ano, há que contar o
número efetivo de dias do prazo. O juro J(0, n) que o capital X(0) denominado em euros
vence ao fim de n dias efetivos à taxa anual r(0, n) de juro em regime de capitalização
simples, é então igual a:
J (0, n)  r (0, n) 
n
 X (0) .
360
Exercício 4. Considere um depósito de mil euros com o prazo de 180 dias que paga um
juro simples à taxa anual de 4 por cento. Calcule o valor do juro simples.
[6]
Solução. O valor do juro simples em euros ao fim de meio ano, é igual a:
J (0, 180)  r (0, 180) 
180
4 180
 X (0) 

1.000,00  20,00 euros.
360
100 360
O saldo da conta do depósito a seis meses no vencimento é igual a 1.020,00 euros. ┐
A taxa de juro é apresentada normalmente sob a forma duma percentagem, v.g. 4 por
cento. Uma percentagem é um valor que “divide por 100”. Para efeitos de cálculo, a
taxa corresponde a um factor decimal como é 0,040 ou uma fracção como é 4/100.
A convenção Actual/365 é usada sobretudo nos mercados do dinheiro dos países da
Commonwealth britânica e no Japão: nos mercados do dinheiro em libras, dólares da
Austrália, Canadá e Nova Zelândia, e no mercado do dinheiro em ienes.
Exercício 5. Considere um depósito de mil libras esterlinas com o prazo de 180 dias que
paga um juro simples à taxa anual de 4 por cento. Calcule o valor do juro simples.
Solução. O valor do juro simples em libras ao fim de meio ano, é igual a:
J (0, 180)  r (0, 180) 
180
4 180
 X (0) 

1.000,00  19,7260 libras.
365
100 365
O saldo da conta do depósito a seis meses no vencimento é igual a 1.019,73 libras. ┐
O valor capitalizado dum crédito no fim do prazo de t anos é igual ao total do principal
mais o juro.
X (0, t )  X (0)  J (0, t ) .
Do mesmo modo, o valor capitalizado dum crédito no fim do prazo de n dias é igual ao
total do principal mais o juro.
X (0, n)  X (0)  J (0, n) .
A característica fundamental do juro simples dum empréstimo, investimento, ou
depósito, é que o juro formado deixa de vencer qualquer outra retribuição quando é
creditado na conta à ordem a que está associado: O juro formado sai do processo de
capitalização. Esta é a inconsistência fundamental do juro simples nos prazos mais
longos, quando precisamente o período de contagem do juro é normalmente anual. O
exemplo seguinte ilustra esta inconsistência fundamental do juro simples.
Exemplo 6. Considere uma sequência de dois depósitos: Suponha um primeiro depósito
de mil euros com o prazo de um ano que paga um juro dito simples à taxa anual de 4
por cento. Na data de vencimento deste primeiro depósito, ao fim de um ano, o valor do
saldo da conta do depósito é aplicado num segundo depósito a um ano com iguais
[7]
condições de retribuição. Calcula-se agora o valor capitalizado do segundo depósito no
seu vencimento. O juro simples do segundo depósito no final do segundo ano, é igual a:
J (1, 2) 
4
 1  1.040,00  41,60 euros.
100
O saldo final da conta do segundo depósito é igual a 1.081,60 euros. Este valor é assim
inconsistente com o valor capitalizado de 1.080,00 euros do depósito a dois anos cujo
juro é calculado com base na regra de capitalizaçãosimples. ┐
Perguntas de revisão
1. Quantos dias são precisos para transformar o capital inicial de 1.450,00 euros
em 1.500,00 euros com base numa taxa de juro anual de 4 por cento em regime
de capitalização simples?
2. Qual é a taxa de juro anual que permite transformar em regime de capitalização
simples o capital inicial 1.450,00 euros em 1.500,00 euros ao fim de 30 dias?
JURO COMPOSTO
Analisamos agora o cálculo do juro num processo que usa a regra de capitalização
composta. Suponha novamente um depósito de um euro com o prazo inicial de dois
anos que inclui dois períodos de contagem do juro. O cálculo do juro formado no fim do
primeiro período de contagem é idêntico ao cálculo que usa a regra de capitalização
simples. O saldo da conta do depósito a prazo no fim do primeiro ano é igual ao total do
capital inicial mais o valor do juro simples.
X (1)  X (0)  r (0, 1)  X (0) .
Contrariamente ao que se fez no processo que usa a regra de capitalização simples, o
valor do capital no início do segundo período de contagem do juro é o valor X(1) do
saldo da conta do depósito a prazo no fim do primeiro período de contagem. O juro
formado no primeiro período de contagem não é aqui deixado fora do processo.
X (2)  X (1)  R(1, 2)  X (1) .
Com o valor X(1) igual ao saldo da conta do depósito no fim do período (0, 1), tem-se:
X (2)  X (0)  R(0, 1)  X (0)  R(1, 2)  X (0)  R(0, 1)  R(1, 2)  X (0) .
Mais uma vez: As condições do depósito a prazo são normalmente contratadas na data
da sua constituição, pelo que as taxas de juro anuais relativas aos vários períodos de
[8]
contagem dos juros são geralmente iguais. Assim, os valores das taxas anuais relativas
aos dois períodos de contagem dos juros são iguais i.e. r (0, 1)  r (1, 2)  r . Tem-se
então que:
2
X (2)  X (0)  2  r  X (0)  r  X (0)  (1  r ) 2  X (0) .
Exercício 7. Considere um depósito de mil euros com o prazo de trinta anos a que está
associada uma taxa de juro anual de 4 por cento. Calcule o valor capitalizado do
depósito na data do seu vencimento segundo a regra de capitalização composta.
Solução. O saldo da conta do depósito no final de cada ano do prazo até à data do
vencimento pode ser acompanhado na última coluna do Quadro seguinte. Para calcular
o valor do juro formado em cada período de contagem, há que multiplicar a taxa
indicada pelo saldo inicial de cada período.
Ano
Saldo
inicial
4% Juro
composto
Saldo
final
1
1,000.00
+
0,04×1.000,00
=
1.040,00
2
1,040.00
+
0,04×1.040,00
=
1.081,60
3
1.081,60
+
0,04×1.081,60
=
1.124,86
4
1.124,86
+
0,04×1.124,86
=
1.169,86
30
3.118,65
+
0,04×3.118,65
=
3.243,40
Quando é usada a regra de capitalização composta, o juro formado em cada período de
contagem é baseado no capital inicial e no juro entretanto acumulado em anteriores
períodos de contagem. ┐
Definição 8 (Juro composto): O juro composto J(0, t) que o capital X(0) vence ao fim de
t unidades de tempo à taxa r(0, t) de juro por unidade de tempo capitalizada com a
mesma frequência, é igual a:
J (0, t )  ((1  r (0, t ))t  1)  X (0) onde t  N+ .
N+ é o conjunto dos inteiros positivos. ┐

Quando se comparam os saldos finais de dois processos de capitalização com o mesmo
prazo de vários anos que usam a regra simples e a regra composta, o desvio crescente
[9]
dos dois saldos é justificado sobretudo pelo valor crescente da capitalização do juro ou
juro de juro.
Exemplo 9. Vamos usar os dois exemplos sobre um depósito de mil euros com o prazo
de trinta anos e a taxa de juro anual de 4 por cento, para decompor o saldo da conta do
depósito no final de cada período de contagem do juro em três parcelas: o capital inicial,
o montante correspondente ao juro simples, e o montante restante que corresponde ao
juro de juros.
Ano
Saldo
final
Capital
inicial
Juro
simples
Juro
de juro
1
1.040,00
–
1.000,00
–
40,00
=
0,00
2
1.081,60
–
1.000,00
–
80,00
=
1,60
3
1.124,86
–
1.000,00
–
120,00
=
4,86
4
1.169,86
–
1.000,00
–
160,00
=
9,86
30
3.243,40
–
1.000,00
–
1.200,00
=
1.043,40
Este exemplo ilustra o crescimento linear do juro simples e o crescimento exponencial
do montante relativo ao juro de juro. ┐
Como já foi referido, as condições de empréstimos, investimentos, e depósitos, são
normalmente definidas na data da contratação, e as taxas de juro relativas aos vários
períodos de contagem dos juros são muitas vezes iguais e constantes. Nada obsta porém
a que sejam tão-só determináveis (v.g. como é o caso dos créditos indexados às médias
Euribor), podendo ser taxas variáveis e nomeadamente crescentes.
Quando as as taxas relativas aos vários períodos de contagem dos juros são variáveis,
importa muitas vezes para efeitos de comparação calcular a taxa média dos períodos de
contagem v.g. a taxa anual média dos vários períodos anuais do prazo. Considere um
depósito de um euro com o prazo inicial de k anos que vence juros a uma taxa anual
variável prédeterminada r(0, k) relativa ao período de contagem (k – 1, k). O valor
capitalizado do depósito na data do vencimento em regime de capitalização anual, vem
dado por:
X (k )  ( kk 11  r (0, k ))  X (0) , onde X(0) = 1.
O valor capitalizado do mesmo depósito com base na taxa média r por ano, em regime
de capitalização anual, vem dado por:
[ 10 ]
X (k )  (1  r ) k  X (0) , onde X(0) = 1.
O valor r da taxa de juro anual média, pode então ser calculado através de:
r  ( kk 11  r (0, k ))1/ k  1 .
Exercício 10. Vamos retomar o exemplo do depósito de mil euros com o prazo de trinta
anos cujo juro é calculado com base no regime de capitalização composta, mas em que
as taxas anuais são de 4 por cento na primeira década, de 5 por cento na segunda
década, e de 6 por cento na terceira década. Calcule a taxa anual média do depósito.
Solução. O valor capitalizado do depósito no vencimento, calculado em regime de
capitalização anual, vem dado por:
10
10
10
4  
5  
6 

X (30)  1 
  1 
  1 
 1.000,00 euros.
 100   100   100 
A taxa média pode então ser calculado através de:
1 / 30
10
10
10

4  
5  
6  
r   1 

1


1

  100   100   100  



4,9968
.
100
A taxa média deste depósito a prazo com taxa crescente é de 4,997 por cento ao ano. ┐
Sumário
O juro é a retribuição paga pelo devedor pelo uso temporário dum capital financeiro que
pertence ao credor. O juro simples é a retribuição que se calcula com base tão-só no
capital de tal modo que o juro entretanto acumulado não vence juros. O juro composto é
o total do juro simples mais o juro de juros. A acumulação do juro entretanto corrido ao
capital é o chamado processo de capitalização.
Conceitos chave
Empréstimo, loan, préstamo, Darlehen, prêt, prestito.
Investimento, investment, inversión, Investition, investissement, investmento.
Depósito, deposit, depósito, Einlage, dépôt, deposito.
Juro, interest, interés, Zinsen, intérêt, interesse.
Taxa de juro, interest rate, tipo de interés, Zinssatz, taux d’intérêt, tasso d’interesse.
[ 11 ]
Juro simples, simple interest, interés simple, Kapitalzinsen, intérêt simple, interesse
semplice.
Juro composto, compound interest, interés compuesto, Zinseszins, intérêts composés,
interesse composto.
Questões
1. Qual é o valor do juro simples dum empréstimo de um milhão de dólares dos
EUA a 5 anos com base numa taxa anual de 4 por cento?
2. Qual é o valor do juro composto anualmente dum investimento de um milhão de
libras esterlinas a 3 anos com base numa taxa anual de 5 por cento?
3. Qual é o capital inicial dum empréstimo a 5 anos cujo valor capitalizado de
1.000,00 euros foi conseguido com uma taxa anual de 4 por cento?
4. Qual é o capital inicial dum empréstimo a 3 anos cujo valor capitalizado de
1.000,00 libras esterlinas foi conseguido com uma taxa anual de 5 por cento?
Exercícios
1. Calcule o valor acumulado no vencimento duma aplicação de um milhão de
euros durante 3 anos em regime de capitalização simples. A taxa de juro
praticada no primeiro ano foi de 4 por cento, no segundo ano foi de 5 por cento,
e no terceiro ano foi de 6 por cento. Calcule a taxa média anual da aplicação.
2. Calcule o valor acumulado no vencimento duma aplicação de um milhão de
euros durante 3 anos em regime de capitalização anual. A taxa de juro praticada
no primeiro ano foi de 4 por cento, no segundo ano foi de 5 por cento, e no
terceiro ano foi de 6 por cento. Calcule a taxa média anual da aplicação.
3. Qual é a taxa que em regime de capitalização simples corresponde à taxa anual
de 4 por cento em regime de capitalização composta anualmente?
Primeira versão: 30 Maio. 1995. Copyright (c) 2013. Francisco J. Comprido.
N.B. Todas as correcções, sugestões e comentários são desde já agradecidos. Muito
obrigado.
[ 12 ]
Figura 13-1: Juro simples.
1.000,00
–
1.040,00
+
0
1
Período 1
2
Período 2
3
Período 3
Figura 13-2: Juro simples.
1.000,00
–
40,00
+
1.040,00
+
0
1
2
Período 1
Período 2
3
Período 3
Figura 13-3: Juro composto.
1.000,00
–
0
1.081,60
+
1
Período 1
2
Período 2
3
Período 3