MA091 – Matemática Básica (Profis) – Verão 2013 Primeira Prova

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MA091 – Matemática Básica (Profis) – Verão 2013
Primeira Prova (25/01/2013)
1. Hello, Clear and Live são três companhias que exploram os serviços de internet móvel em uma grande
cidade. As três adotam estratégias de cobranças distintas para seus serviços. A companhia Hello oferece
um plano no qual o usuário paga uma franquia de R$ 20,00, a qual lhe dá direito a 200 MBytes de
consumo. O consumo que exceder 200 MBytes é cobrado a 10 centavos de real por MB. A companhia
Clear oferece um plano semelhante, no qual a franquia é de 600 MB, a um preço de R$ 40,00, e o
consumo extra é tarifado a 15 centavos por MB. Já a companhia Live oferece um plano diferente. Nele,
paga-se uma assinatura fixa de R$ 15,00, a qual não dá direito a nenhuma franquia, e todo consumo é
tarifado a 5 centavos por MB.
a) (1 Ponto) Determine a função que descreve a quantia paga em reais em função dos MBytes
consumidos para as três companhias.
b) (1 Ponto) Represente, em um mesmo gráfico, as três funções.
c) (1 Ponto) Determine, em função do consumo, qual companhia oferece o plano mais barato. (Os
intervalos devem ser calculados e não lidos do gráfico)
d) (1 Ponto) Determine o valor da assinatura da companhia Live para que ela seja a mais barata para
qualquer consumo, auferindo lucro máximo e mantendo sua tarifa de 5 centavos/MB.
a) Funções:
Hello:
Clear:
Live:
b)
c) x < 100 MB: Live. 100 < x < 300: Hello. 300 < x < 500: Live. 500 < x < 650: Clear.
x > 650: Live.
d) R$ 10,00 (Veja grafico acima).
2. Considere a parábola dada por
e a parábola com raízes em
e
no ponto
do plano cartesiano.
a) (1 Ponto) Esboce as duas parábolas no plano cartesiano.
b) (1 Ponto) Determine para que valores de a primeira parábola está abaixo da segunda.
e vértice
a)
b) Para ½ < x < 2.
3. A chamada série de Fibonacci corresponde à seqüencia 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, … Esta
série pode ser calculada notando-se que cada elemento é a soma dos dois anteriores, começando-se com
1, 1. Há, porém, uma curiosa fórmula para se calcular diretamente o n-ésimo termo da série de
Fibonacci, sem a necessidade de somar sobre seus precedentes. É a chamada fórmula de Binet
a) (1 Ponto) Mostre explicitamente, fazendo todas as simplificações necessárias, que, para
, temos
e
.
b) (1 Ponto) Calcule, como no item anterior, e .
n=1:
n=2:
n=0:
n=3:
e
4. Para produzir calhas de seção transversal retangular, um fabricante dobra uma folha de metal com 50 cm
de largura como mostra a figura abaixo.
a) (1 Ponto) Determine a função
que fornece a área da seção transversal da calha em função de
e esboce o seu gráfico.
b) (1 Ponto) Determine o domínio de
a partir da restrição
.
c) (1 Ponto) Determine o valor de para o qual a área da seção transversal é máxima e calcule esta
área.
a)
b)
c) x = 12.5 cm, A(12.5) = 312.5 cm2 .