POLÍGONOS REPLICANTES
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POLÍGONOS REPLICANTES
POLÍGONOS REPLICANTES SEMELHANÇAS NO PLANO Introdução Polígonos replicantes ou polígonos repetentes são figuras geométricas com a propriedade que com cópias idênticas da figura é possível fazer uma tesselação de uma versão de maior tamanho e da mesma forma que ela. Solomon W. Golomb, em 1964, deu o nome aos polígonos replicantes no plano e os apresentou como um caso de peças geométricas fora do comum que formam tesselações do plano. A figura acima exibe um exemplo de hexágono que é polígono replicante. As figuras semelhantes são figuras que têm a mesma forma e diferente tamanho. Definimos o conceito de semelhança no plano. As figuras planas F e F´ são figuras semelhantes se existe uma correspondência biunívoca S: F → F´ e um número real positivo r tal que se a dos pontos quaisquer A e B em F correspondem pela S os pontos A´ e B´ em F´, isto é, se S(A) = A´ e S(B) = B´, então é ̅̅̅̅̅̅ 𝐴´𝐵´ = r ̅̅̅̅ 𝐴𝐵 . A constante r é a razão de semelhança entre F e F´ e se A´= S(A), dizemos que A e A´ são pontos homólogos. Por exemplo, nos polígonos ABCDEF e A`B`C`D`E`F` da figura: AB e A`B`, BC e B´C´, CD e C´D´, DE e D´E´, EF e E´F´ e FA e F´A´ ̅̅̅̅ é válida para são pares de lados homólogos. A relação ̅̅̅̅̅̅ 𝐴´𝐵´ = 2 𝐴𝐵 todo par de lados homólogos desses polígonos então, ABCDEF e A`B`C`D`E`F` são polígonos semelhantes com razão de semelhança r = 2. Um polígono replicante ou polígono repetente é o polígono tal que com cópias congruentes de ele mesmo se forma uma tesselação de um polígono semelhante a ele. 1 Um polígono é replicante de ordem k, k > 1, se k cópias congruentes do polígono formam uma tesselação de um polígono semelhante a ele. Notação. Polígono replicante de ordem k: rep-k. Seja P um polígono rep-k e seja Q o polígono semelhante a P obtido por uma tesselação com k cópias de P. Então, k cópias de Q formam uma tesselação de um polígono maior semelhante a P. Cada cópia de Q contém k cópias de P. Continuando com este processo, obtemos polígonos cada vez maiores, tais que cada um deles é semelhante a P e estão divididos em polígonos semelhantes a P. Este processo pode ser repetido indefinidamente e ele pode ser usado para formar tesselações do plano com cada um dos polígonos replicantes. Se Q é um polígono semelhante a P, resultante da tesselação formada com k cópias congruentes de P então P é rep-k. Com k cópias congruentes a Q forma-se uma tesselação de um polígono maior semelhante a Q e também semelhante a P e assim por diante. Portanto, si P é rep-k, também é rep-𝑘 2 , rep-𝑘 3 , rep-𝑘 4 , e assim por diante. Com frequência os polígonos replicantes têm vários rep-números. Se um polígono replicante é rep-n e também é rep-m então ele também é rep-mn, porque replicas podem ser formadas com n cópias congruentes e depois estas podem ser tomadas de m em m para formar uma versão maior. No exemplo anterior, quatro polígonos congruentes a P formam a tesselação de um polígono semelhante Q logo P é rep-4. Também, quatro cópias de Q formam a tesselação de um polígono maior semelhante a P, de onde resulta que P também é rep-4², rep-4³ e assim segue. Os exemplos simples de polígonos replicantes são os quadrados, é conhecido que quatro quadrados congruentes podem ser colocados lado a lado para formar outro quadrado; logo, o quadrado menor e um polígono replicante rep-4. Ademais, quatro cópias do quadrado maior podem ser colocadas lado a lado formando um novo quadrado ainda maior. Repetindo este processo infinitamente muitas vezes com quadrados cada vez maiores, pode-se fazer uma tesselação do plano. Exemplos de polígonos replicantes de este tipo são os triângulos e os paralelogramos, portanto, com triângulos e paralelogramos pode-se construir tesselações do plano usando o mesmo procedimento descrito para os polígonos replicantes. Para cada número inteiro positivo k, k > 1, existe um polígono replicante rep-k, isso significa que para cada número natural k, k > 1, existe uma tesselação onde k cópias congruentes desse polígono podem ser colocadas formando uma tesselação de um polígono semelhante a ele. Também pode ser considerado o processo inverso, onde um polígono P admite uma tesselação formada por k polígonos Q, todos eles congruentes e semelhantes a P, dizemos que P é um polígono replicante e que ele é rep-k. Cada polígono Q por sua vez pode ser dividido em k 2 polígonos congruentes e semelhantes a P que formam uma tesselação de Q, logo P é rep-𝑘 2 ; este processo pode continuar indefinidamente. Exemplo com um retângulo: O trabalho dos alunos em sala de aula com a construção e manipulação de Polígonos replicantes estimula o desenvolvimento de novas percepções dos conceitos de congruência e semelhança. A realização de atividades, de experiências e a resolução de problemas, individuais ou em pequenos grupos, estimulam a observação e a comparação dos elementos, das características e das propriedades dos polígonos, assim como a formulação e a verificação de hipóteses e de enunciados. Semelhança é um tema muito mais amplo que o apresentado nesta abordagem parcial, ele será retomado com outros materiais manipuláveis tais como geoplanos, poliminós, polideltas, etc, e com pantógrafo. APLICAÇÕES DIDÁTICAS DOS CALEIDOSCÓPIOS DIÉDRICOS Identificação dos polígonos e de seus elementos. Comparação dos polígonos e de suas características. Classificação dos polígonos pelos seus lados. Congruência e/ou paralelismo dos lados. Propriedades dos polígonos. Triângulos. Classificação dos triângulos. Quadriláteros. Propriedades dos quadriláteros. Polígonos irregulares. Associação de polígonos pelas suas propriedades. Congruência de figuras planas. Semelhanças das figuras planas. Equicomposição de polígonos. Construção de mosaicos. 3