Integrais

Funções Vectoriais no Plano e no Espaço
Definição: Uma função vectorial de variável real é uma função que tem por
domínio um subconjunto I de IR e por contradomínio um subconjunto de um
espaço vectorial
r : D ⊆ IR → IR 3
t
→ r (t ) = r1 (t )iˆ + r2 (t ) ˆj + r3 (t )kˆ
onde r1 , r2 e r3 são funções reais de uma variável real, designadas por funções
componentes, iˆ , ĵ e k̂ são os versores dos eixos ordenados.
Definição: O domínio da função vectorial r é o conjunto de todos os valores
de t onde a função r (t ) = r1 (t )iˆ + r2 (t ) ˆj + r3 (t )kˆ está definida. O domínio de r é
a intersecção dos domínios das suas funções componentes r1 , r2 e r3 .
Definição: Seja r (t ) = r1 (t )iˆ + r2 (t ) ˆj + r3 (t )kˆ , t ∈ I , uma função vectorial.
Chama-se limite de r (t ) quando t tende para t0 e escreve-se lim r (t ) , ao
t →t 0


vector  lim r1 (t ), lim r2 (t ), lim r3 (t )  , desde que existam os limites de r1 , r2 e
t →t 0
t →t 0
 t →t 0

r3 quando t tende para t0 . Tem-se portanto



r
(
t
)
=
r
(
t
),
r
(
t
),
r
(
t
)
lim
lim 1 lim 2 lim 3  .

t →t 0
t →t 0
t →t 0
 t →t 0

Definição: Uma função vectorial r (t ) , t ∈ I , é contínua em t0 ∈ Dr , sse
lim r (t ) = r (t0 ) .
t →t 0
Definição: Uma função vectorial diz-se contínua se for contínua em todos os
pontos do seu domínio.
Definição: Seja r (t ) = r1 (t )iˆ + r2 (t ) ˆj + r3 (t )kˆ , t ∈ I , uma função vectorial em
que r1 , r2 e r3 são diferenciáveis em I 0 ⊆ I . Então
dr
dr
dr
 dr

(t ) =  1 (t ), 2 (t ), 3 (t )  .
dt
dt
dt 
 dt
Definição: Uma função vectorial r (t ) = r1 (t )iˆ + r2 (t ) ˆj + r3 (t )kˆ , diz-se Ckdiferenciável, k ∈ IN0 , se as funções reais de variável real r1 , r2 e r3 são Ckdiferenciáveis.
Definição: Seja r (t ) = r1 (t )iˆ + r2 (t ) ˆj + r3 (t )kˆ , t ∈ I , uma função vectorial
contínua em [a, b] ⊂ I . Chamamos integral definido de r (t ) de a a b, e
b
b
b
b

escrevemos ∫ r (t ) dt ao vector de componentes  ∫ r1 (t ) dt , ∫ r2 (t ) dt , ∫ r3 (t ) dt  .
a

a
a
a
Curvas no Plano e no Espaço
Seja
r (t ) = r1 (t )iˆ + r2 (t ) ˆj + r3 (t )kˆ , t ∈ I ⊆ IR , (1)
uma função vectorial contínua no intervalo I ⊆ IR . Esta função vectorial
define uma curva no espaço dada por
C = {(r1 (t ), r2 (t ), r3 (t ) )}, t ∈ I ⊆ IR .
À função (1) chamamos parametrização da curva C e às equações
x = r1 (t ), y = r2 (t ), z = r3 (t ) damos o nome de equações paramétricas da
curva C.
Definição: A equação da recta tangente a C em P0 ≡ (r1 (t0 ), r2 (t0 ), r3 (t0 ) ) é
dada por ( x, y, z ) = P0 + λr ′(t0 ) , λ ∈ IR desde que r ′(t0 ) seja não nulo.
Nota: Se C é uma curva associada a uma função vectorial r (t ) de classe C1, C
diz-se suave; se r ′(t ) ≠ 0 , ∀t ∈ I , C diz-se regular. No caso de I = [a, b]
quando se tem r (a ) = r (b) curva diz-se fechada.
Definição: Seja r (t ) = r1 (t )iˆ + r2 (t ) ˆj + r3 (t )kˆ uma função vectorial C1
correspondente à trajectória descrita por uma partícula M. O comprimento L
da curva parametrizada r quando t varia de a a b, [a, b] ⊂ I , é dado por
L= ∫ r ′(t ) dt .
b
a
Definição: Seja r (t ) = r1 (t )iˆ + r2 (t ) ˆj + r3 (t )kˆ , t ∈ I , uma curva parametrizada
regular. Aos vectores
r ′(t )
, t∈I
T (t ) = r ′(t )
e
T ′(t ) , T ′(t ) ≠ 0
N (t ) = T ′(t )
chamamos respectivamente vector tangente unitário e vector normal
unitário à curva parametrizada r , regular e de classe C1 no ponto
P ≡ (r1 (t ), r2 (t ), r3 (t ) ) .
Ao escalar
r ′(t ) × r ′′(t )
k (t ) =
3
r ′(t )
chamamos curvatura de r no ponto P ≡ (r1 (t ), r2 (t ), r3 (t ) ) .
INTEGRAIS CURVILÍNEOS DE CAMPOS DE
VECTORES
Definição: Um campo de vectores em IR 2 é uma função F : R ⊆ IR 2 → IR 2
que a cada ponto ( x, y ) de R faz corresponder um vector em IR 2
F ( x, y ) = M ( x, y )iˆ + N ( x, y ) ˆj
sendo M e N designadas por funções componentes de F .
Definição: Um campo de vectores em IR é uma função F : E ⊆ IR 3 → IR 3
3
que a cada ponto ( x, y, z ) de E faz corresponder um vector em IR 3
F ( x, y, z ) = M ( x, y, z )iˆ + N ( x, y, z ) ˆj + P( x, y, z )kˆ
sendo M, N e P designadas por funções componentes de F .
Definição: Seja f uma função real de duas (respectivamente três) variáveis
reais. A aplicação ∇f que a cada ponto ( x, y ) (respectivamente ( x, y, z ) ) do
domínio de f faz corresponder o vector
∇f ( x, y ) = f x ( x, y )iˆ + f y ( x, y ) ˆj
(respectivamente ∇f ( x, y, z ) = f x ( x, y, z )iˆ + f y ( x, y, z ) ˆj + f z ( x, y, z )kˆ )
é um campo de vectores em IR 2 (respectivamente IR 3 ) a que se dá o nome de
campo de vectores gradiente de f.
Definição: Um campo de vectores (em IR 2 ou IR 3 ) diz-se conservativo se
existir uma função real f tal que
F = ∇f .
Toda a função que verifica esta igualdade potencial para F .
Definição: Se o limite das somas correspondentes a partições de diâmetro cada
vez menor e tendente para zero, existir e for independente da escolha dos
pontos Pi* designa-se integral curvilíneo de F ao longo de C e escrevemos
[
]
n *
*
F
⋅
d
r
=
F
(
r
(
t
))
⋅
T
(ti ) ∆si .
lim ∑
∫
i
C
δ p → 0 i =1
Nota: O integral curvilíneo não depende da parametrização utilizada para a
curva.
Proposição: Sejam C uma curva no espaço, r (t ) = x(t )iˆ + y (t ) ˆj + z (t )kˆ ,
t ∈ [a, b]
uma
função
vectorial
associada
e
F ( x, y, z ) = M ( x, y, z )iˆ + N ( x, y, z ) ˆj + P( x, y, z )kˆ um campo de vectores
contínuo (isto é, cujas componentes são funções contínuas) e com domínio
contendo a curva C. Então
b ∫ F ⋅ dr = ∫ (F (r (t )) ⋅ r ′(t ) )dt
C
a
b
= ∫ [M ( x(t ), y (t ), z (t ) )x′(t ) + N ( x(t ), y (t ), z (t ) ) y′(t ) + P( x(t ), y (t ), z (t ) )z′(t )]dt
a
Exemplo: Calcule o trabalho W realizado pelo campo de forças
F ( x, y, z ) = − y 2iˆ + xyˆj + 3kˆ , ao deslocar numa partícula ao longo da
semicircunferência
determinada
pela
função
vectorial
r (t ) = cos(t )iˆ + sin(t ) ˆj + 3kˆ , t ∈ [0, π ].
Nota: Também se podem definir integrais curvilíneos de funções reais de duas
variáveis reais, para curvas planas, e de três variáveis para curvas no espaço.
Tem-se, nesta situação, o integral curvilíneo de f longo de C segundo iˆ dado
por
b
∫ f ( x, y, z ) dx = ∫ f ( x(t ), y (t ), z (t ) )x′(t )dt .
C
a
Proposição: Supondo que os integrais curvilíneos em causa existem, tem-se
i)
(
F
+
F
)
⋅
d
r
=
F
⋅
d
r
+
F
∫ 1 2
∫ 1
∫ 2 ⋅ dr ;
C
ii)
C
C
α
F
⋅
d
r
=
α
F
∫
∫ ⋅ dr , α ∈ IR .
C
C
Exemplos: Calcule ∫ y 2 dx + x dy sendo
C
a) C o segmento de recta que une A ≡ (−1,1) a B ≡ (1,1) .
b) C o arco de parábola y = x 2 de A ≡ (−1,1) para B ≡ (1,1) .
Teorema: Sejam C uma curva no espaço e r (t ) , t ∈ [a, b], uma função
vectorial lhe está associada. Seja f uma função real de três variáveis reais,
diferenciável e cujo campo de vectores gradiente ∇f é contínuo em C. Então
∫ ∇f ⋅ dr = f (r (b)) − f (r (a)) .
C
Exemplo: Calcule ∫ F ⋅ dr sendo F ( x, y ) = yiˆ + xˆj e C uma curva do plano
C
 x = et
admitindo 
, t ∈ [0,1] como equações paramétricas.
 y = cos(πt )
Definição:
Seja
F
um campo de vectores.
o integral curvilíneo
Dizemos
que
∫ F ⋅ dr é independente da curva se ∫ F ⋅ dr = ∫ F ⋅ dr , para duas quaisquer
C
C1
C2
curvas C1 e C2 tendo os mesmos pontos inicial e final.
Teorema:
Seja
E
o
domínio
de
um
campo
de
vectores
F
. O integral curvilíneo
∫ F ⋅ dr é independente da curva em E sse ∫ F ⋅ dr = 0 , para toda a curva
C
C
fechada C em E.
Nota: Tendo em conta que os integrais curvilíneos de campos de vectores
conservativos são independentes da curva, podemos concluir que, se F é um
campo de vectores conservativo, então ∫ F ⋅ dr = 0 para toda a curva fechada
C
C , contida no domínio de F .
Proposição: Se F ( x, y ) = M ( x, y )iˆ + N ( x, y ) ˆj é um campo de vectores
conservativo, sendo M e N funções com derivadas parciais de primeira ordem
∂M
∂N
( x, y ) =
( x , y ) , ∀ ( x , y )∈ R .
contínuas numa região R do plano, então
∂y
∂x
Definição: Uma curva C diz-se simples se não se intersectar a si mesma,
excepto nas extremidades.
Definição: Uma região R do plano diz-se simplesmente conexa se é conexa e
se toda a curva fechada, em R, circunda apenas pontos de R.
Definição: Seja R uma região limitada por uma curva simples e fechada C.
Dizemos que a curva C tem orientação positiva se, para um observador que se
desloque ao longo da referida curva, a região R se apresente sempre à sua
esquerda.
Teorema: (Teorema de Green) Seja R uma região do plano simplesmente
conexa limitada por uma curva C, simples, fechada, seccionalmente suave e
com orientação positiva. Se as funções reais M e N têm derivadas parciais de
primeira ordem contínuas numa região aberta contendo R, então
∂N ∂M
M
(
x
,
y
)
dx
N
(
x
,
y
)
dy
+
=
∫
∫∫  ∂ x − ∂ y
C
R

 dA .

Corolário: Nas condições do teorema de Green tem-se que a área da região R é
dada por
A = ∫ x dy = − ∫ y dx =
C
C
1
∫ x dy − ydx .
2C
Exemplos:
a) Use o teorema de Green para calcular ∫ x 2 y dx + x dy ao longo do caminho
C
triangular dado por A ≡ (0,0) , B ≡ (1,0) e C ≡ (1,1) .
(
)
(
)
b) Calcular ∫ 3 y − esin( x ) dx + 7 x + y 4 + 1 dy , sendo C a circunferência
C
x + y = 9 percorrida no sentido directo.
2
2
x2 y2
c) Determinar a área da região limitada pela elipse de equação 2 + 2 = 1.
a
b
Proposição: Seja F ( x, y ) = M ( x, y )iˆ + N ( x, y ) ˆj um campo de vectores
definido numa região R do plano, aberta e simplesmente conexa. Se M e N têm
∂M ∂N
derivadas parciais de primeira ordem contínuas e
=
em R, então F é
∂x
∂y
conservativo.
Exemplos: Considere o campo de vectores F em IR 2 dado por
F ( x, y ) = (3 + 2 xy )iˆ + ( x 2 − 3 y 2 ) ˆj
a) Verifique que F é conservativo e determine um potencial para F .
b) Calcule ∫ F ⋅ dr sendo r (t ) = et sin(t )iˆ + et cos(t ) ˆj , t ∈ [0, π ], uma função
C
vectorial associada à curva orientada C.
INTEGRAIS DE SUPERFÍCIE
Definição: Se o limite das somas correspondentes a partições P de S, de
diâmetro cada vez menor e tendentes para zero existir e for independente da
escolha dos pontos Pij* , chamamos-lhe integral de superfície de f sobre S e
escrevemos
m n
( )
*
∫∫ f ( x, y, z ) dS = lim ∑ ∑ f Pij ∆Sij .
S
δ p → 0 i =1 j =1
Teorema:
a) Sejam S uma superfície com equação z = g ( x, y ) e R a sua projecção no
plano x0y. Se g tiver primeiras derivadas parciais contínuas em R e
f ( x, y, z ) for contínua em S, então
2
2
 ∂g   ∂g 
=
⋅
f
(
x
,
y
,
z
)
dS
f
(
x
,
y
,
g
(
x
,
y
))
  +   + 1 dA
∫∫
∫∫
 ∂x   ∂y 
S
R
b) Sejam S uma superfície com equação x = g ( y, z ) e R a sua projecção no
plano y0z. Se g tiver primeiras derivadas parciais contínuas em R e
f ( x, y, z ) for contínua em S, então
2
2
 ∂g   ∂g 
=
⋅
f
(
x
,
y
,
z
)
dS
f
(
g
(
y
,
z
),
y
,
z
)
  +   + 1 dA
∫∫
∫∫
 ∂y   ∂z 
S
R
c) Sejam S uma superfície com equação y = g ( x, z ) e R a sua projecção no
plano x0z. Se g tiver primeiras derivadas parciais contínuas em R e
f ( x, y, z ) for contínua em S, então
2
2
 ∂g   ∂g 
∫∫ f ( x, y, z ) dS = ∫∫ f ( x, g ( x, z ), z ) ⋅  ∂x  +  ∂z  + 1 dA
   
S
R
Exemplos:
a) Calcule o integral de superfície ∫∫ x dS sendo S a superfície dada por
S
{
}
S = ( x, y, z ) ∈ IR 3 : z + 1 = 2 x 2 + y, 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1 .
b) Calcule o integral de superfície ∫∫ y 2 z 2 dS onde S é a parte do cone
S
z = x 2 + y 2 que fica entre os planos z = 1 e z = 2 .
2
2
 ∂g   ∂g 
Nota: Se f ( x, y, z ) = 1 então ∫∫ dS = ∫∫   +   + 1 dA representa a
 ∂y 
S
R  ∂x 
área de superfície de S.
Propriedades:
i) ∫∫ c f ( x, y, z ) dS = c ∫∫ f ( x, y, z ) dS ;
S
S
ii) ∫∫ [ f ( x, y, z ) ± g ( x, y, z )]dS = ∫∫ f ( x, y, z ) dS ± ∫∫ g ( x, y, z ) dS ;
S
S
S
iii) Se S = S1 ∪ S2 , com S1 e S2 superfícies que não se intersectam, excepto
possivelmente nas fronteiras comuns tem-se
∫∫ f ( x, y, z ) dS = ∫∫ f ( x, y, z ) dS + ∫∫ f ( x, y, z ) dS .
S
S1
S2
Integrais de Superfície em Campos Vectoriais
Definição: Se for possível escolher um vector normal unitário n̂ em cada
ponto da superfície (campo de vectores normal unitário) de forma a que n̂
varie continuamente ao longo de S, a superfície diz-se orientável. Uma escolha
de n̂ determina uma orientação de S e, uma vez fixada uma orientação, S diz-se orientada.
Definição: Se F é um campo de vectores contínuo, definido numa superfície
orientada S e n̂ é o campo de vectores normal unitário que determina a
orientação de S, então o integral de superfície de F sobre S é, por definição,
∫∫ F ⋅ dS = ∫∫ ( F ⋅ nˆ ) dS .
S
S
Nota: Atendendo
à definição de integral de superfície de um campo de
vectores F sobre uma superfície S, podemos concluir que
∫∫ F ⋅ dS = ∫∫ ( F ⋅ nˆ ) dS = fluxo de F através de S.
S
S
Exemplos:
3
a) Seja F um campo de vectores em IR dado por F ( x, y, z ) = x 2iˆ + y 2 ˆj + zkˆ .
Calcule ∫∫ F ⋅ dS , sendo S o gráfico da função g ( x, y ) = x + y + 1 cuja
S
projecção sobre o plano x0y é o rectângulo R = [0,1] × [0,1].
b) Seja S a porção da superfície z = 1 − x 2 − y 2 acima do plano x0y, e suponha
que S é orientada para cima. Determine o fluxo do campo vectorial
F ( x, y, z ) = xiˆ + yˆj + zkˆ através de S.
Integrais de Superfície em Campos Vectoriais
Definição: Seja F ( x, y, z ) = M ( x, y, z ) iˆ + N ( x, y, z ) ˆj + P ( x, y, z ) kˆ um campo
de vectores em IR3 com M, N e P admitindo
derivadas parciais
de primeira
ordem. Chamamos rotacional de F e notamos por rot F , ao campo de
vectores em IR3 dado por
 ∂P ∂N   ∂M ∂P 
 ∂N ∂M  ˆ
−
−
−
rot F = 
iˆ + 
k .
 ˆj + 
∂
∂
∂
∂
∂
∂
y
z
z
x
x
y

 



Definição: Chamamos divergência de F e notamos por div F à função
escalar
∂M ∂N ∂P
.
div F =
+
+
∂x ∂y ∂z
Exercício: Seja F um campo de vectores
F ( x, y, z ) = xziˆ + xyzˆj − y 2 kˆ . Calcule rot F e div F .
em
IR 3
dado
por
Teorema: (Teorema de Stokes) Seja S uma superfície orientável limitada por
uma curva C fechada, simples, seccionalmente
suave e com orientação positiva
induzida pela orientação de S. Seja F um campo de vectores cujas funções
componentes admitem derivadas parciais de primeira ordem contínuas numa
região aberta de IR3 contendo S. Então
F
⋅
d
r
=
rot
F
⋅ dS .
∫
∫∫
C
S
Exercício: Use o Teorema de Stokes para calcular ∫∫ rot F ⋅ dS sendo
S
2
F ( x, y, z ) = xyziˆ + xykˆ e S a porção da superfície esférica x + y 2 + z 2 = 4 com
a orientação canónica, situada acima do plano z = 1.
Teorema: (Teorema da Divergência ou de Gauss) Seja E uma região sólida
simples cuja fronteira é uma superfície S. Consideremos em S a orientação
dada, em cada
ponto, pelo vector normal unitário que aponta para o exterior de
E, e seja F um campo de vectores cujas funções componentes admitem
derivadas parciais de primeira ordem contínuas numa região aberta de IR3
contendo E. Então
F
⋅
d
S
=
div
F
dV .
∫∫
∫∫∫
S
E
Exercício: Seja F ( x, y, z ) = xiˆ + yˆj + zkˆ um campo de vectores em IR3.
Calcule o fluxo de F através da semi-esfera S de equação x 2 + y 2 + z 2 = 9 e
z ≥ 0.