Método de Allievi

ESCOAMENTOS
VARIÁVEIS EM
PRESSÃO
(Choque Hidráulico)
++++
Método de Allievi
28-5-2003
Método de Allievi
1
Choque Hidráulico
• Equações Diferenciais:
– Equilíbrio Dinâmico
1 ∂Q Q ∂Q
∂H λ Q | Q |
+ 2
+g
+
=0
2
S ∂t S ∂x
∂x
2 DS
– Conservação da Massa
∂H Q ∂H a 2 ∂Q Q
+
+
− sen θ = 0
∂t S ∂x g S ∂x S
• Variáveis dependentes:
– Q ≡ Q (x,t) [ou U ≡ U (x,t)]
– H ≡ H (x,t) [ou p ≡ p (x,t)]
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Método de Allievi
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Choque Hidráulico
• Resolver o problema significa
conhecer o comportamento de:
– Q ≡ Q (x,t) [ou U ≡ U (x,t)]
e
– H ≡ H (x,t) [ou p ≡ p (x,t)]
em função das variáveis
independentes x e t
⇓
integrar as 2 equações diferenciais
tendo em conta as condições fronteira
– fronteiras → as duas extremidades da
conduta: x = 0 e x = L
– condições fronteira → conhecer o
comportamento das variáveis Q e H
ou uma relação entre estas
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• Condições fronteira
– conhecer o comportamento das
variáveis Q e/ou H
Q ≡ Q (t) ou H ≡ H (t)
para x = 0 e/ou x = L
ou
– conhecer uma relação entre as
variáveis Q e H
ϕ (Q, H, t) = 0
para x = 0 e/ou x = L
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• Conduta gravítica
x+
x=0
Válvula V
x=L
• Conduta elevatória
x=L
Bomba B
x+
x=0
x=L
Bomba B
x+
x=0
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• Métodos numéricos de integração:
–
–
–
–
método de Allievi
método das diferenças finitas
método das características
método dos elementos finitos
• Os métodos numéricos caracterizamse pela determinação de Q e H num
conjunto discreto de secções e
instantes temporais
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Método de Allievi
• Introduzindo algumas simplificações
– admitir conduta horizontal ⇒ θ = 0o
– desprezar as perdas de carga ⇒ λ = 0
– desprezar os termos convectivos:
Q ∂Q
≈0
2
S ∂x
e
Q ∂H
≈0
S ∂x
obtém-se uma versão mais simples
das 2 equações diferenciais
– equilíbrio dinâmico
∂H
1 ∂Q
+g
=0
S ∂t
∂x
– conservação da massa (ou eq. cont.)
∂H a 2 ∂Q
=0
+
∂t g S ∂x
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• Manipulando adequadamente estas
equações diferenciais
– admitindo que Q e H são funções da
classe C2
obtêm-se 2 novas equações
diferenciais de 2ª ordem
1 ∂ 2 Q a 2 ∂ 2Q
=
2
S ∂t
S ∂x 2
2
∂2 H
2 ∂ H
=a
2
∂t
∂x 2
que são do tipo das “equações das
cordas vibrantes”
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• Estas equações diferenciais têm
como integral geral as Equações de
Allievi

 H ( x, t ) − H 0 = F( x, t ) + f( x, t )



gS
[F( x, t ) − f( x, t )]
(
,
)
−
=
Q
x
t
Q
0

a

equivalentes a

 x  x
 H ( x, t ) − H 0 = F t −  + f  t + 
 a  a



gS   x   x 
F t −  − f  t + 
Q( x, t ) − Q0 =

a   a   a 

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onde as funções F(x,t) e f(x,t)
– têm as dimensões de uma altura (de
coluna de água);
– são interpretadas como ondas de
pressão indeformáveis
f
R
F
V: válvula
B: bomba elevatória
R: reservatório
V ou B
x+
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• Admitir que o observador se desloca
ao longo da conduta “lendo” sempre
o mesmo valor de F(x,t)
 x
F ( x, t ) = F  t −  = constante ⇒
 a
x
⇒ t − = constante ⇒
a
d  x
⇒ t −  = 0
⇒
dt  a 
dx
⇒
=a
dt
Conclusão:
– o observador tem que se deslocar com
uma velocidade igual à celeridade (a),
no sentido positivo, ie,
f
R
de V ou B para R
dx
=a
dt
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F
V ou B
x+
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V: válvula
B: bomba elevatória
R: reservatório
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• Admitir que o observador se desloca
ao longo da conduta “lendo” sempre
o mesmo valor de f(x,t)
 x
f ( x, t ) = f  t +  = constante ⇒
 a
x
⇒ t + = constante ⇒
a
d  x
⇒ t +  = 0
⇒
dt  a 
dx
⇒
= −a
dt
Conclusão:
– o observador tem que se deslocar com
uma velocidade igual à celeridade (a),
no sentido negativo, ie,
f
R
de R para V ou B
dx
= −a
dt
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F
V ou B
x+
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V: válvula
B: bomba elevatória
R: reservatório
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• Função F(x,t):
 x
F ( x, t ) = FV  t − 
 a
– valor de F na secção x da conduta no
instante t
– igual ao valor de F na secção x = 0 (V
ou B) no instante
t−
x
a
em que F partiu de V ou B
R
F
V ou B
x+
V: válvula
B: bomba elevatória
R: reservatório
– o quociente x/a é o tempo que a onda F
demora a percorrer a distância entre a
origem (x = 0) e a secção x
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• Função f(x,t):
 x
f ( x, t ) = f V  t + 
 a
– valor de f na secção x da conduta no
instante t
– igual ao valor de f na secção x = 0 (V
ou B) no instante
t+
x
a
em que f chega a V ou B
f
R
F
V ou B
x+
V: válvula
B: bomba elevatória
R: reservatório
– o quociente x/a é o tempo que a onda f
demora a percorrer a distância entre a
secção x e a origem (x = 0)
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• Sistema de equações (4):

→



→


→



→
 x
 x
H ( x, t ) − H 0 = FV  t −  + f V  t + 
 a
 a
Q( x, t ) − Q0 =
gS
a
  x
 x 
t
F
−
−
f
 V  a  V  t + a 



 
?
?
Nota: as equações em falta são as
Condições Fronteira
• Incógnitas (4):
→ Q ( x, t ) = ?
→ H ( x, t ) = ?


→ F ( x, t ) = ?
→ f ( x, t ) = ?
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Comentário: para
determinar os valores de
Q(x,t) e H(x,t) é necessário
calcular os valores de F(x,t)
e f (x,t)
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• Condição fronteira no Reservatório
– a carga hidráulica é constante no
reservatório (x = L)
H ( L, t ) = H 0
, ∀t
logo
 L
 L
H ( L, t ) − H 0 = FV  t −  + f V  t +  = 0 , ∀t
 a
 a
pelo que
 L
 L
f V  t +  = − FV  t −  , ∀t
 a
 a
– sendo esta expressão válida para
qualquer instante pode subtrair-se a
mesma quantidade aos argumentos das
funções F e f
 2L 
f V (t ) = − FV  t −
 , ∀t
a 

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– tendo em conta a definição de fase (µ)
2L
µ=
a
(µ: tempo que uma onda demora a percorrer a
conduta nos dois sentidos – ida e volta)
obtém-se a
Condição Fronteira no Reservatório
f V (t ) = − FV (t − µ ) , ∀t
Comentário: na secção x = 0, o valor da
onda f que chega é simétrico do valor
da onda F que partiu uma fase (µ) antes
R
V ou B
F
f
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• Condição fronteira na Válvula
(condutas gravíticas)
Q = CS 2 g (H V − Z válvula ) ou
Q = B H V − Z válvula
, B = CS 2 g
B
CS
t
ou
T
T
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t
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• Sistema de equações na secção da
válvula (x = 0)
– com troca de sinal na 2ª equação para
se trabalhar com Q⊕ em sentido oposto
a x⊕
– admitindo que ZV = 0
f
R
F
Q⊕
V
x⊕
 H V (t ) − H 0 = FV (t ) + f V (t )


Q (t ) − Q = − gS [F (t ) − f (t )]
0
V
V
 V
a


f V (t ) = − FV (t − µ )


QV (t ) = B(t ) H V (t )
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• Reformulando o sistema de equações
obtêm-se 4 expressões que permitem
resolver o problema na secção da
válvula:
a)


b)



c)



d)





H V (t ) = H 0 + FV (t ) + f V (t )
a
[QV (t ) − Q0 ] + f V (t )
FV (t ) = −
gS
f V (t ) = − FV (t − µ )
a[B(t )]
+
QV (t ) = −
2 gS
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2
+ B(t )
 a B(t ) 
a
 2 gS  + H 0 + gS Q0 + 2 f V (t )


2
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20
t
B
fV
QV
FV
HV
∆H=HV-H0
1
2
3
4
5
6
7
0
B0
0
Q0
0
H0
0
ti
– preencher a tabela de acordo com a
seguinte sequência:
•
•
•
•
•
B(t)
→→→→→
expressão c) → → →
expressão d) → → →
expressão b) → → →
expressão a) → → →
coluna 2
coluna 3
coluna 4
coluna 5
coluna 6
tendo em conta que
t ≤ 0 ⇒ FV (t ) = 0 ⇒
⇒ f V (t ) = 0 para t ≤ µ
atendendo à equação c)
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