Nós, laços e emaranhados Série Rádio Cangália
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Nós, laços e emaranhados Série Rádio Cangália
Nós, laços e emaranhados Série Rádio Cangália Objetivos 1. Apresentar uma motivação para o estudo da teoria dos nós. Nós, laços e emaranhados Série Rádio Cangália Conteúdos Funções e números, Geometria e medida, Análise de dados. Duração Aprox. 10 minutos. Sinopse O programa apresenta o resultado de uma simulação de computador sobre curvas e nós. Material relacionado Experimentos: Como economizar cadarço, De quantas maneiras posso amarrar o meu cadarço. Objetivos 1. Apresentar uma motivação para o estudo da teoria dos nós. ÁUDIO Nós, laços e emaranhados 2/14 Introdução Sobre a série A série Rádio Cangália apresenta programas descontraídos de variedades que usualmente abordam uma informação ou notícia de conhecimentos gerais, com comentários de um professor de matemática. Os temas não são tratados em profundidade, mas oferecem oportunidade de o professor trabalhar assuntos interdisciplinares em sala de aula ou em atividades extraclasse. O programa pode trazer também uma piada ou uma frase célebre, sem preocupações maiores além de oferecer motivos de discussão em torno de um conteúdo e reforçar a descontração. Sobre o programa Existe matemática no estudo dos nós, como nós de escoteiros, marinheiros, caminhoneiros etc. A Teoria matemática dos nós estuda as curvas fechadas no espaço sem auto-intersecções. Em 1988 o matemático Sumners e o químico Whittington apresentaram um artigo que elucidou a tendência que cordas, fios ou mangueiras têm de se enrolarem e fazerem nós. Em alguns casos, conseguimos desmanchar os nós, mas outros casos não. Essa tendência não é apenas incômoda para os fios de cabelo, por exemplo. Podem ser fatais para cordas de alpinistas, uma vez que uma corda com nó indevido pode se tornar mais frágil exatamente ali. Por outro lado, a capacidade de se emaranhar garante estabilidade química para algumas cadeias de polímeros de longas moléculas de proteína. Os pesquisadores mostraram, com base em simulações computacionais, que uma curva aleatória suficientemente longa (fio, corda, etc) tem pelo menos um nó. Um dos objetivos matemáticos para estudar nós é determinar se um emaranhado é de fato um nó ou ele pode ser reduzido a um laço ÁUDIO Nós, laços e emaranhados 3/14 semelhante a um colar. Outro objetivo é diferenciar um nó de outro. Para esse estudo, os tamanhos relativos dos trechos livres não são relevantes. Uma das maneiras de caracterizar um nó (lembre que estamos tratando de curva fechada), é analisar os auto-encontros da curva. Isto é, nas regiões de encontro de um pedaço da curva com outro pedaço da mesma curva, às vezes a curva deve passar por cima, outras vezes passar por baixo. Dessa forma, para fazer um desenho projetado da curva no plano, algumas vezes, temos que tirar a caneta ou o lápis do papel para indicar que a curva, naquela perspectiva, foi interrompida para ser retomada logo depois. Ao considerar curvas de nós que tenham encontros equivalentes, o físico matemático da Nova Zelândia Vaughan Jones inventou uma medida, chamada invariante, que classifica os nós possíveis. Até o momento já foram classificados mais de um milhão e setecentos mil nós não equivalente que tenham no máximo 16 cruzamentos. Pense que um laço, que pode ser deformado para um círculo tem zero cruzamento, um nó simples (cego) tem dois encontros, um nó trifólio ou nó de trevo tem três encontros. As coisas podem ficar mais complicadas, e mais interessantes, se considerarmos mais de uma curva, nesses casos chamados de enlaces. Por exemplo, o símbolo das olimpíadas é um enlace de três círculos que se cruzam em 5 regiões de tal forma que para se desfazer do enlace, basta romper um dos círculos. O programa foi desenvolvido a partir das seguintes falas: Esta é a RÁDIO CANGÁLIA (efeito sonoro) A rádio que não é necessária, Nem suficiente, Para aprender matemática. Mas pode ajudar! Olá, queridos ouvintes da rádio cangália. Eu sou o Henrique, e estamos aqui com a nossa querida Ivone... • (emburrada) Olá, olá... Henrique tudo bom? Sejam bem vindos e do meu lado temos o professor Leumas. • • • • • • ÁUDIO Nós, laços e emaranhados 4/14 • Saudações, ouvintes! Calma lá gente, que ta acontecendo? Ivone tá toda nervosa... • É Ivone... • (continua muito magoado) se você não gosta de conviver comigo, ok. Eu me retiro deste programa, mas saiba que eu tenho a maior consideração do mundo por você! ADEUS • Ai, Henrique, não tem nada a ver... é que hoje não é meu dia. Vou contar o que aconteceu... • (continua - histérica) Hoje eu tava querendo vir com um lenço maravilhoso e dar um nó chiquérrimo que eu aprendi na revista, mas não consegui fazer o laço que eu queria. Depois eu peguei um colar, mas meus colares tavam todos embolados! E aí eu resolvi por um tênis e o cadarço também tava embolado! • Ivone, pra que se estressar com isso? • (interrompe) CALMA! E se não bastasse todo meu desespero meu cabelo tava cheio de nós! • (ainda triste) Ai Ivone... isso é motivo pra tá de bico assim e nos tratar com tanto ódio? • Lógico, Henrique, eu estou sem colar, sem lenço, não consegui colocar meu sapato! Se não bastasse também acordei com um monte de nós no cabelo! Ai que ódio. (pausa) Descobri que eu odeio nós. • Nada a ver Ivone? Eu amo noz... bolo de noz... (pausa) mas como foi parar noz no seu cabelo? • Ai... Henrique, você ficou tão abalado que não consegue nem processar a informação. • Eu, abalado? Até parece que a Ivone vai me deixar abalado com alguma coisa. • Tô dizendo que a Ivone está falando de nó... não de nozes. • Ah tá... (sem graça) e eu não posso falar de nozes? • Ai, já vi que vai ser difícil, enrolado hoje... (pausa) Bem, coincidentemente nosso assunto de hoje será nós... • Aí. tá vendo, professor, a Ivone pode! Se eu falo de nozes você fica bravo! • Henrique! Nós todos estamos falando de nós, emaranhados e laços! • Ah. Tá bom. Entendi... • Bem, vamos parar de discussões... como eu ia dizendo... vamos falar sobre (ênfase) nós, emaranhados e laços. Não de nozes! Tudo bem que para a nossa querida Ivone os nós mais atrapalharam do que ajudaram... mas há muita utilidade e até matemática envolvida nos estudos deles. • E quem se utiliza desses estudos sobre nó? ÁUDIO Nós, laços e emaranhados 5/14 • Os nós são muito importantes para caminhoneiros, escoteiros, marinheiros, alpinistas. • E quais características dos nós são estudadas? Quem começou com tudo isso, professor? • Quem começou eu não sei, mas sei que em 1988 o matemático Sumners e o químico Whittington apresentaram um artigo sobre a tendência que cordas, fios e mangueiras têm de se enrolarem ou fazerem nós. E que em alguns casos conseguimos desmanchar esses nós, mas em outros não. • (Emburrada) Que nem meu cabelo... • Isso mesmo, Ivone! Mas, também há casos muito perigosos, como nós dados inadequadamente nas cordas de alpinista, por exemplo, que podem trazer conseqüências graves. • Professor, além dessas, há outras aplicações para os estudos sobre nós? • Sim, Henrique, várias. Na química orgânica, por exemplo, a capacidade de se emaranhar garante estabilidade química para algumas cadeias de polímeros de longas moléculas de proteína. Mas esse é um assunto no qual não vamos aprofundar. • É, professor, dá pra ver que hoje tive azar com a probabilidade dos nós... não consegui desfazê-los nem no cadarço, no colar, no cabelo. • E o mais interessante é que isso tudo, Ivone, tem explicações com embasamento científico! • Ai ai, não sabia que os nós eram tão complicados assim, prefiro falar sobre nozes! • Uhm... e eu prefiro dar um intervalo no programa para se a Ivone fique mais calma... o Henrique se recupere! • Se recuperar do que, professor, de a Ivone ter me maltratado? Eu to super bem! Nem ligo para o que ela fala... • Aham, ta bom, Henrique. Eu to bem também, professor. • Então vamos (ênfase) logo para um intervalo! • Estamos de volta, ouvintes, pra falar sobre nó e a sua classificação matemática! Eu estou mais calma agora e vamos ver se o Henrique... • (interrompe) Sim, já to bem, já to bem... Olá, queridos ouvintes da rádio Cangália, meu nome é Henrique e do meu lado a Ivone e o Professor Leumas... nosso tema de hoje são nozes! • É, Ivone, já vi que ele não ta legal, ainda, ta vendo que você fez com ele (risos)... • Mentira, né, professor. Foi uma brincadeira para os ouvintes acharem que eu estava super abalado no primeiro bloco, que nem ÁUDIO Nós, laços e emaranhados 6/14 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • prestei atenção nele, achando que esse era o começo do programa! (risos) Entendeu? Eu tava achando que era o começo do programa. (sem graça) Tá bom, Henrique! Vamos então, né professor, à piada do dia? (indignado) É melhor mesmo... Quem são os pais do menino complexo? O pai e a mãe difíceis... Não, Henrique. (pausa) A senhora Real e o senhor Imaginário. Ah... que legal, professor! Mas, eu não entendi. Bem, a piada foi só para nos informar que nosso assunto matemático de hoje é uma introdução à teoria dos conjuntos. Ainda não entendi. Veja só... (pausadamente) complexo, imaginário e real são diferentes conjuntos de números... hoje não aprofundaremos nestes conceitos, porém nos basta saber que conjuntos são agrupamentos de elementos que possuem características comuns! Ah ta, professor, mas sua piada não teve muita graça. Não me importo mais, Henrique, já me acostumei com esses comentários maldosos sem embasamento científico referentes às minhas brincadeiras descontraídas. Professor, eu tenho uma pergunta boa! O que os nós, laços e emaranhados têm a ver com os conjuntos hein? É aí que eu ia chegar, Ivone! Outro objetivo matemático de se estudar os nós é diferenciar um nó de outro. Mas, professor, quais são essas diferenças? Uma das maneiras de se diferenciar um nó de outro é analisar os auto-encontros, isto é os cruzamentos de uma curva, ou seja, as regiões onde um pedaço da curva se encontra com outro pedaço da mesma curva. Mas, professor, há várias maneiras de esses pontos se encontrarem? Sim, às vezes a curva passa por cima. E às vezes, por baixo. Como um viaduto, mas existem diversas outras possibilidades. E a quantidade de cruzamentos da curva, também pode variar? Sim, Henrique! Uma curva fechada sem cruzamento seria um laço sem nó. Existe nó de mais dois cruzamentos... nós com vários cruzamentos. Um nó chamado cego ou simples tem três cruzamentos. É também chamado de nó trifólio ou de trevo. E lembre que estamos considerando uma curva fechada (ênfase). Para perceber os cruzamentos deixe tudo folgado, sem apertar o nó. Mas, quantos tipos de nós existem, mais ou menos? ÁUDIO Nós, laços e emaranhados 7/14 • Até o momento já foram classificados mais de 1 milhão e 700 mil nós não equivalente com até 16 encontros de curvas... • (risos) Coitada da Ivone ao saber isso... imagine tudo isso de nó no seu cabelo? • (risos) Aí sim seria um problemão. (pausa) Então, professor, deixa eu ver se eu entendi... com a teoria de que cada conjunto envolve vários elementos de características comuns, e com a informação de que há mais de 1 milhão e 700 mil tipos de nós: posso afirmar que há 1 milhão e 700 mil conjuntos diferentes de nós? • Não é bem assim, Ivone! (pausa) Tem um nó com três cruzamento, outro nó com quatro cruzamentos, dois nós com cinco cruzamentos e o número de nós com mais cruzamentos cresce muito. Assim, o CONJUNTO de nós com 16 encontros tem quase um milhão e quatrocentos mil nós diferentes. • Ah. Então a característica comum é a quantidade de cruzamentos. • Isso mesmo, Ivone. Essa é uma maneira de classificar os nós em conjuntos distintos e uma dificuldade que os matemáticos enfrentam é saber se um nó é realmente diferente de outro. • Ah, professor, eu sei uma curiosidade interessante que tem a ver com nós: o Símbolo das Olimpíadas é composto por cinco anéis entrelaçados que representam cada um, os cinco continentes habitados do mundo, como se fossem um continente só, ou seja, um grande embolado de continentes! • Isso mesmo, Henrique, ótima observação. Deve haver um embolado assim no cabelo da Ivone hoje de manhã... • Até você, professor? • Brincadeirinha, Ivone... então, Henrique qual é a frase de hoje? • A frase de hoje pertence ao juramento Olímpico • A coisa mais importante nos Jogos Olímpicos não é vencer, mas participar, assim como a coisa mais importante na vida não é o triunfo, mas a luta. O essencial não é ter vencido, mas ter lutado bem. • E a coisa mais importante para a Ivone hoje não é conseguir desembaraçar o cabelo, os colares, os cadarços, mas sim ter tentado! • Pois é professor, nem me lembre disso... Agora que sabemos que eu já sou uma vencedora por ter encarado aquele mundo de nós hoje... • Agora que o Henrique já se sente recuperado da raiva da Ivone... • (risos encabulados) • (Interrompe) Ei, eu estive bem o tempo todo Bem, agora que tudo já foi esclarecido vamos ao final de mais um programa da rádio Cangália! Até mais, ouvintes! ÁUDIO Nós, laços e emaranhados 8/14 Sugestões de atividades Antes da execução O programa apresenta um conteúdo opcional para o ensino médio: teoria dos nós. No entanto o professor pode usar o tema como exemplo da maneira matemática de ver, classificar e analisar objetos abstratos, a partir de objetos concretos. Além disso, alguns resultados (teoremas) podem ser entendidos (sem entrar nas demonstrações) com um pouco de atividade manual. Fazemos a seguir uma breve introdução à teoria dos nós para servir de ponto de partida para estudos mais completos. Ao final desse guia apresentamos algumas atividades para serem desenvolvidas após a apresentação do vídeo. Introdução à teoria dos nós É preciso diferenciar os nós tratados na teoria matemática daqueles que a gente usa no cotidiano. Eles estão relacionados, mas para termos mais controle, todos os laços são curvas fechadas, isto é, não pontas livres. Na prática, pegue um fio ou um cordão, faça um nó e cole as pontas. Esse é o tipo de objeto que a teoria de nós trata. Definição Um nó é uma curva simples (não composta) fechada no espaço tridimensional. Exemplos Usamos a nomenclatura que conta a quantidade de cruzamentos no nó. • A circunferência 01 é um nó trivial; ÁUDIO Nós, laços e emaranhados 9/14 • O nó do trevo ou trifólio 31; • O nó em forma de oito 41; • Dois nós com cinco cruzamentos o Pentafólio 51; o Nó de torcida tripla 52; • Três nós com seis cruzamentos: o Nó pretzel ou de Stevedore ou 61; o Nó do instituto Miller 62; o 63; Ser ou não ser um nó O problema principal da teoria dos nós é determinar se dois nós podem ser rearranjados ou vistos em outras perspectivas (sem cortar) e ao final serem o mesmo nó. Em particular, se o nó é trivial ou não. O matemático alemão Reidemeister provou em 1926 que há três tipos de mexidas nos nós para transformar um nó em outros para fazer comparações e determinar se são iguais ou não. Figura 1 Tirar ou colocar dois cruzamentos Figura 2 Uma torcida ou distorcida simples Figura 3 Deslizar e mudar o cruzamento de lugar ÁUDIO Nós, laços e emaranhados 10/14 A idéia é fazer as transformações acima para reduzir ao máximo o número de cruzamentos. Alguns nós, depois de simplificado ao menor número de cruzamentos, pode ter mais de um tipo de nó. É o caso dos nós com mais de quatro cruzamentos. Por exemplo, a ilustração abaixo mostra que os seis nós abaixo são todos equivalentes ao nó trivial. Enlace não é nó Alguns objetos não são nós e sim enlaces por serem compostos por mais de uma curva fechada simples. É o caso do símbolo das Olimpíadas. ÁUDIO Nós, laços e emaranhados 11/14 Há oito cruzamentos e cinco curvas fechadas simples (circunferências, ou nó trivial). Para desmembrar todos os laços, dois cortes são suficientes. Durante a execução Escreva no quadro os nomes e os dados numéricos mencionados no programa à medida que eles forem falados. Depois da execução O professor pode desenvolver o conteúdo abordado no programa como a seguir. Atividade Se possível cada aluno com um cordão (de cadarço é possível, se for recomendável para a turma) deve fazer o nó que imaginar (colar as pontas) e colocar sob um papel na mesa, carteira ou chão o nó feito. Peça aos alunos começarem em algum ponto do cordão e escreverem no papel um número em sequência quando passar por um cruzamento até voltar ao ponto de partida. O nó trivial não tem cruzamento algum. Veja o exemplo ao lado para o trifólio. Incentive os alunos perceberem que cada cruzamento vai ter dois números, um ímpar e outro par. No caso do trifólio representamos esses cruzamentos da seguinte forma: Tabela 1 Numeração dos cruzamentos do trifólio 1 3 5 4 6 2 Solicite que os alunos representem os seus respectivos nós com os pares de números como dispostos na Tabela 1. ÁUDIO Nós, laços e emaranhados 12/14 A primeira linha da tabela sempre terá os números ímpares. A segunda linha é praticamente um identificador, como um “código de barras”, do nó. Compartilhe os nós diferentes que a turma desenvolver. Por exemplo o nó caracterizado por 2 4 8 6. Quão diferente é do nó 8 6 2 4? Nó de gravata Há quatro tipos de nós de gravata amplamente utilizados no mundo todo. Três deles são triviais, isto é, fazendo as transformações de Reidmester, podemos desatar a gravata e ficar sem cruzamento algum – basta puxar uma das pontas, sem o pescoço no meio da gravata. Um deles se transforma em um nó trifólio. Mas há pelo menos mais cinco nós de gravata descobertos por Fink e Mao em 1998 (na realidade há pelo menos 85 nós de gravatas, mas nove foram eleitos por alguns critérios estéticos). Sugerir aos alunos pesquisarem os nós de gravatas e treinarem fazêlos com faixa comprida de jornal (dobrar o jornal para ter um retângulo longo). Sugestões de leitura (todas as páginas visitadas em 31 Jul. 2011) W Sumners and S G Whittington (1988). Knots in self-avoiding walks. JOURNAL OF PHYSICS A: MATHEMATICAL AND GENERAL N 7, Vol. 21 P. 1689. http://stacks.iop.org/0305-4470/21/i=7/a=030. Eduardo Colli. Introdução à teoria dos nós. MATEMATECA. http://www.ime.usp.br/~matemateca/textos/nos.pdf J. Lewis. Drawing Doodles and Naming Knots, NRICH http://nrich.maths.org/5787 Division of Mathematics, School of Informatics, University of Wales, Bangor. Mathematics and Knots http://www.popmath.org.uk/exhib/knotexhib.html THE KNOT ATLAS (tipo wiki) http://katlas.math.toronto.edu/wiki/Main_Page KNOTPLOT – software para desenhar nós com perspectivas 3-d. http://knotplot.com/ ÁUDIO Nós, laços e emaranhados 13/14 Ficha técnica Autor Samuel Rocha de Oliveira e Luis Ricardo Sarti Coordenação de Mídias Audiovisuais Prof. Dr. Eduardo Paiva Coordenação Geral Prof. Dr. Samuel Rocha de Oliveira Universidade Estadual de Campinas Reitor Fernando Ferreira Costa Vice-reitor Edgar Salvadori de Decca Pró-Reitor de Pós-Graduação Euclides de Mesquita Neto Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica Diretor Caio José Colletti Negreiros Vice-diretor Verónica Andrea González-López ÁUDIO Nós, laços e emaranhados 14/14