CONJUNTOS ABERTOS, FECHADOS E FRONTEIRA

Capítulo 3
CONJUNTOS ABERTOS, FECHADOS
E FRONTEIRA
3.1 Introdução
Definição 3.1. Sejam r > 0 e x0 ∈ Rn . A bola aberta de centro x0 e raio r é denotada por B(x0 , r) e
definida por:
B(x0 , r) = {x ∈ Rn /kx − x0 k < r}.
Se n = 2; x0 = (x0 , y0 ) e x = (x, y); logo kx − x0 k =
p
(x − x0 )2 + (y − y0 )2 :
B(x0 , r) = {(x, y) ∈ R2 /(x − x0 )2 + (y − y0 )2 < r 2 }
B(x0 , r) é o "interior"de um círculo centrado em (x0 , y0 ) e raio r, ou equivalentemente, o conjunto dos vetores no plano de origem em (x0 , y0 ) e norma menor que r. Neste caso, o conjunto
B(x0 , r) é chamado disco aberto de centro (x0 , y0 ) e raio r.
B(x,r)
y
r
0
x
0
Figura 3.1: Disco aberto.
Analogamente, se n = 3; x0 = (x0 , y0 , z0 ) e x = (x, y, z):
B(x0 , r) = {(x, y, z) ∈ R3 /(x − x0 )2 + (y − y0 )2 + (z − z0 )2 < r 2 }
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CAPÍTULO 3. CONJUNTOS ABERTOS, FECHADOS E FRONTEIRA
B(x0 , r) é o "interior"de uma esfera "sólida"centrada em (x0 , y0 , z0 ) e raio r, ou equivalentemente, o conjunto dos vetores no espaço de origem em (x0 , y0 , z0 ) e norma menor que r.
r
x
B(x,r)
Figura 3.2: Bola aberta.
Observe que em ambos os casos a desigualdade é estrita.
3.2 Conjuntos Abertos
Definição 3.2. A ⊂ Rn é dito aberto em Rn se para todo x ∈ A, existe B(x, r) tal que B(x, r) ⊂ A.
A
Figura 3.3: Conjunto aberto.
Estes conjuntos são a generalização natural de intervalos abertos em R. Por definição, o conjunto vazio e Rn são conjuntos abertos em Rn .
Exemplo 3.1.
[1] Pela definição, {x} não é aberto em Rn , pois toda bola ou disco aberto de centro x não está
contido em {x}. Em geral, os conjuntos do tipo {x1 , x2 , x3 , ....., xn / xi ∈ Rn } não são abertos.
[2] O eixo dos x: {(x, 0) / x ∈ R} ⊂ R2 não é aberto no plano, pois qualquer disco aberto
centrado em (x, 0) não está contido em R.
3.3. FRONTEIRA DE UM CONJUNTO
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x
Figura 3.4: Exemplo [2].
[3] A = (a, b) × (c, d) é aberto em R2 . De fato, para todo (x, y) ∈ A, a < x < b e c < y < d,
denote por ε o menor número do conjunto {|x − a|, |x − b|, |y − c|, |y − d|}, onde | | é a distância
entre números reais. Então, por exemplo, considerando r = 6ε , temos, B((x, y), r) ⊂ A. Logo A
é um conjunto aberto.
d
A
c
a
b
Figura 3.5: Exemplo [3].
[4] O plano xy em R3 não é aberto no espaço, pois qualquer bola aberta centrada em (x, y, 0)
não está contida em R2 .
[5] B(x0 , r) é um conjunto aberto. De fato, denotando por d(x, y) a distância entre os pontos
x, y em Rn , se x ∈ B(x0 , r) então d(x, x0 ) < r; tomando r1 = r − d(x, x0 ) < r, temos:
B(x, r1 ) ⊂ B(x0 , r).
Será útil dar um nome especial para um conjunto aberto que contenha um ponto dado x. A tal
conjunto chamaremos de vizinhança do ponto x.
3.3 Fronteira de um Conjunto
Definição 3.3. Seja A ⊂ Rn . Um ponto x ∈ Rn é dito ponto da fronteira ou do bordo de A se toda
vizinhança de x intersecta A e Rn − A.
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CAPÍTULO 3. CONJUNTOS ABERTOS, FECHADOS E FRONTEIRA
x
A
Figura 3.6: Bordo de A.
Denotamos o conjunto dos pontos da fronteira do conjunto A por ∂A. Um conjunto é aberto se
A ∩ ∂A = φ.
Exemplo 3.2.
[1] Se A = B(x, r) então ∂A = {y/d(x, y) = r}; logo o conjunto C = {y/d(x, y) ≤ r} não é
aberto.
C
A
Figura 3.7: Exemplo [2].
[2] Seja A = {(x, y) ∈ R2 /x > 0}; este conjunto corresponde ao primeiro e ao quarto quadrantes
sem incluir a reta x = 0 e é aberto no plano; de fato, seja (x, y) ∈ A e escolhamos r = x > 0; se
(x1 , y1 ) ∈ B((x, y), r) temos:
|x − x1 | =
p
(x − x1 )2 ≤
p
(x − x1 )2 + (y − y1 )2 < r = x.
Logo x1 > 0 e B((x, y), r) ⊂ A; note que ∂A = {(0, y)/y ∈ R}.
3.4. CONJUNTOS FECHADOS
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1
1
Figura 3.8: Exemplo [2].
3.4 Conjuntos Fechados
Definição 3.4. Seja A ⊂ Rn :
1. O conjunto A é dito fechado em Rn se ∂A ⊂ A.
2. O conjunto A é dito limitado se existe constante c > 0 tal que kxk ≤ c, para todo x ∈ A.
Logo A ⊂ Rn é limitado se esta contido numa bola de raio c.
Exemplo 3.3.
[1] Rn é também um conjunto fechado.
[2] A = {(x, y) ∈ R2 / x2 + y 2 < r 2 , r > 0} não é fechado, pois sua fronteira é :
∂A = {(x, y) ∈ R2 /x2 + y 2 = r 2 , r > 0}.
Logo ∂A 6⊂ A.
[3] A = {(x, y) ∈ R2 / x2 + y 2 ≤ r 2 , r > 0} é fechado, pois sua fronteira é :
∂A = {(x, y) ∈ R2 /x2 + y 2 = r 2 , r > 0}.
Logo ∂A ⊂ A. Note que A é limitado.
A
Figura 3.9: Exemplo [3].
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CAPÍTULO 3. CONJUNTOS ABERTOS, FECHADOS E FRONTEIRA
[4] O sólido W = {(x, y, z) ∈ R3 / x2 + y 2 + z 2 ≤ r 2 , r > 0} é fechado pois sua fronteira é:
∂W = {(x, y, z) ∈ R3 /x2 + y 2 + z 2 = r 2 , r > 0}.
Logo ∂W ⊂ W . Em geral, todos os sólidos são fechados.
[5] A = [a, b] × [c, d] é um conjunto fechado, pois ∂A é o retângulo formado pelas retas x = a,
x = b, y = c e y = d.
A seguinte proposição não será provada, pois ela decorre de um teorema, que fica fora do
contexto destas notas.
Proposição 3.1. Seja h : Rn −→ R uma função contínua; então:
1. A = {x ∈ Rn / 0 < h(x)} é aberto em Rn .
2. F = {x ∈ Rn / 0 ≤ h(x)} é fechado em Rn .
3. ∂A = {x ∈ Rn / h(x) = 0}.
Exemplo 3.4.
[1] Os planos em R3 são conjuntos fechados. De fato, considere:
h(x, y, z) = a x + b y + c z − d.
A função h é contínua em R3 .
[2] O sólido W = {(x, y, z) ∈ R3 / x2 + y 2 + z 2 ≤ r 2 , r > 0} é um conjunto fechado. De fato,
considere:
h(x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 − r 2 .
A função h é contínua em R3 e pela proposição W é fechado.
[3] A parábola A = {(x, y) ∈ R2 /y = x2 } é um conjunto fechado. De fato, considere:
h(x, y) = y − x2 .
A função é contínua em R2 e pela proposição A é fechado.