Projeto por Alocação de Pólos
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Projeto por Alocação de Pólos
UnilesteMG – Curso de Especialização em Automação e Controle 1 Projeto por Alocação de Pólos: Método por Espaço de Estados Introdução Parâmetros de projeto Alocação de pólos Regulação por realimentação de estados Observadores Realimentação da saída Problema Servo Exemplo de projeto Projeto do Sistema de Controle Fatores a serem considerados num projeto: • Atenuação dos distúrbios de carga • Redução do efeito do ruído de medição • Acompanhamento do sinal de comando • Variações e incertezas no comportamento do processo Problemas de controle podem ser classificados como: • Problemas de regulação • Problemas servo Ingredientes de um projeto • Propósito do sistema • Modelo do processo • Modelo dos distúrbios • Variações e incertezas do modelo • Estratégias de controle admissíveis • Parâmetros do projeto e v uc Hff Σ Hc u Σ -1 Controle de Processos Industriais por Computador Hp x Σ y UnilesteMG – Curso de Especialização em Automação e Controle Processo Seja o sistema x! = Ax + Bu Na forma amostrada tem-se x(kh+h) = Φx(kh) + Γu(kh) sendo Φ = e Ah Γ = ∫ e As dsB h 0 simplificando x(k + 1) = Φx(k ) + Γu (k ) Distúrbios Será considerado inicialmente, distúrbio do tipo impulso representado por um estado inicial Incerteza do Processo Será considerada posteriormente Critério Será considerado o problema da regulação. Controles Admissíveis u(k) = - Lx(k) Parâmetros de Projeto - Período de amostragem - Pólos desejados em malha fechada Regulação por Realimentação de Estados Exemplo Exemplo 1 – Alocação de pólo para uma planta com integrador duplo Seja a planta h 2 / 2 1 h x(k + 1) = x ( k ) + u (k ) 0 1 h Controle de Processos Industriais por Computador 2 UnilesteMG – Curso de Especialização em Automação e Controle 3 A realimentação de estados pode ser descrita como u = −l1 x1 − l 2 x 2 Com esta realimentação o sistema em malha fechada será 1 − l1 h 2 / 2 h − l 2 h 2 / 2 x(k + 1) = x(k ) 1 − l2 h − l1 h A equação característica do sistema em malha fechada será: l h2 l h2 z 2 + 1 + l 2 h − 2 z + 1 − l 2 h + 1 = 0 2 2 Considerando a equação característica desejada z 2 + p1 z + p 2 = 0 Determina-se o valor de L 1 (1 + p1 + p 2 ) h2 1 l2 = (3 + p1 − p 2 ) 2h l1 = Caso Geral Seja a equação característica de Φ dada por: z n + a1 z n −1 + " + a n Considerando o sistema atingível, ele pode então ser transformado para a forma canônica atingível fazendo-se z = Tx, então ~ ~ z (k + 1) = Φz (k ) + Γu (k ) sen do − a1 1 ~ Φ= 0 # 0 − a 2 " − a n −1 0 " 0 1 " 0 # $ # 0 " 1 − an 1 0 0 ~ 0 Γ = 0 # # 0 0 Logo, a lei de realimentação para este sistema terá a forma: ~ u = − L z = −[ p1 − a1 p2 − a2 " p n − a n ].z tornando P( z ) = z n + p1 z n −1 + " + p n Controle de Processos Industriais por Computador UnilesteMG – Curso de Especialização em Automação e Controle A solução para o sistema original em x será: ~ ~ u = − L z = − L Tx = − Lx Para determinar a matriz T é necessário determinar a matriz de atingibilidade do sistema em x: [ Wc = Γ ΦΓ " Φ n−1 Γ ] e a inversa da matriz de atingibilidade do sistema em z: 1 ~ −1 0 Wc = # 0 ~ como Wc a1 " a n−1 1 " an−2 # $ # 0 " 1 ~ = TWc então T = WcWc−1 Logo, L = −[ p1 − a1 p2 − a2 " ~ p n − a n ].WcWc−1 Teorema 1 – ALOCAÇÃO DE PÓLO USANDO REALIMENTAÇÃO DE ESTADOS – Seja um sistema discreto no tempo. Considere que há apenas um sinal de entrada. Se o sistema for atingível existe uma realimentação linear que fornece um sistema em malha fechada com uma equação característica desejada. A realimentação é dada por: u (k ) = − Lx(k ) com L = [ p1 − a1 p2 − a2 " = [0 " 0 1]Wc−1 P (Φ ) ~ p n − a n ]WcWc−1 Esta última equação é chamada de Fórmula de Ackermann. Exemplo 2 – Integrador duplo Considere o sistema do exemplo 1 e seja a equação característica desejada da forma: Controle de Processos Industriais por Computador 4 UnilesteMG – Curso de Especialização em Automação e Controle 5 P( z ) = z 2 + p1 z + p 2 h 2 / 2 3h 2 / 2 − 1 / h 2 −1 Wc = [Γ ΦΓ ] = e W = c 2 h h 1/ h 2h + p1 h 1 + p1 + p 2 P(Φ) = Φ 2 + p1Φ + p 2 I = 0 1 + p1 + p 2 Pela fórmula de [ Ac ker mann L = [0 1]W P(Φ ) = 1 / h 2 −1 c 1 + p1 + p 2 = h2 1,5 / h − 0,5 / h ] − 0,5 / h P(Φ) 3 + p1 − p 2 2h Aspectos Práticos Exemplo 3 – Escolha dos parâmetros de projeto Ao invés de escolhermos p1 e p2 da equação característica para o duplo integrador pode-se trabalhar com parâmetros que tenham interpretação física direta: freqüência natural e amortecimento. Logo: P( s ) = s 2 + 2ζws + w 2 ( p1 = −2e −ζwh cos wh 1 − ζ 2 sen do u (0) = −l1 x0 − l 2 v0 ) p 2 = e − 2ζwh aproximando u (0) ≈ − w 2 x0 + 2ζwv 0 onde xo e vo são condições iniciais e a última equação é obtida através de expansão por séries e considerando que o período de amostragem é bem pequeno. Vê-se que a magnitude da ação de controle cresce com w, assim um aumento na velocidade de resposta requer um aumento no sinal de controle. O número de amostra em relação ao tempo de subida será (sugere-se Nr = 4 – 10): N= 2π wh 1 − ζ 2 Controle Deadbeat Se os pólos desejados forem escolhidos para estarem na origem, o polinômio característico do sistema em malha fechada se torna: P(z) = zn. Controle de Processos Industriais por Computador UnilesteMG – Curso de Especialização em Automação e Controle 6 Pelo teorema de Cayley-Hamilton Φc = Φ - ΓL do sistema em malha fechada satisfaz Φcn = 0. Esta estratégia tem a propriedade de levar os estados a zero em no máximo n passos após um distúrbio na forma de impulso. Esta estratégia de controle é chamada de Deadbeat e segue da fórmula de Ackermann que a mesma é dada por: L = [0 " 0 1]Wc−1Φ n se Φ a dim itir inversa [ L = [0 " 0 1] Φ − n Γ Φ − n +1Γ " Φ −1Γ ] −1 Exemplo 4 – Controle Deadbeat para o integrador duplo Aplicando a fórmula acima para o duplo integrador chega-se a: l1 = 1 h2 segue l2 = 3 2h u (0) = − x0 3v0 − h 2 2h u ( h) = x0 v0 + h 2 2h Distúrbios mais Genéricos Seja o sistema com distúrbio x! = Ax + Bu + v onde w! = Aw w v = Cw w A matriz Aw em geral possui zeros sobre o eixo imaginário ou do lado direito do plano. Um caso comum é v = constante, assim Aw = 0; outro caso corresponde a distúrbios senoidais sendo: 0 Aw = − w0 w0 0 x fazendo z = w x! A C w x B w! = 0 A w + 0 u W Controle de Processos Industriais por Computador UnilesteMG – Curso de Especialização em Automação e Controle 7 O sistema acima não é completamente atingível. Os pólos associados com a descrição do distúrbio não são influenciados pela realimentação. A amostragem do sistema gera: x(k + 1) Φ Φ xw x(k ) Γ w(k + 1) = 0 Φ w(k ) + 0 u (k ) w com u (k ) = − Lx(k ) − Lw w(k ) x(k + 1) = (Φ − ΓL) x(k ) + (Φ xw − ΓLw ) w(k ) w(k + 1) = Φ w w(k ) A lei de controle u(k) pode ser interpretada como tendo um termo de realimentação e outro antecipatório. A influência do distúrbio pode ser minimizada pela escolha adequada de Lw. Observadores Em geral, nem todos os estados de um sistema podem ser medidos, ex. distúrbios Para efeito de análise vamos considerar o sistema: x(k + 1) = Φx(k ) + Γu (k ) y (k ) = Cx(k ) Cálculo direto das variáveis de estado y (k − n + 1) = Cx(k − n + 1) y (k − n + 2) = CΦx(k − n + 1) + CΓu (k − n + 1) # y (k ) = CΦ n −1 x(k − n + 1) + CΦ n − 2 Γu (k − n + 1) + " + CΓu (k − 1) y (k − n + 1) u (k − n + 1) y (k − n + 2) u (k − n + 2) U k −1 = Fazendo Yk = # # y (k ) u (k − 1) YK = Wo x(h − n + 1) + WuU k −1 0 C 0 CΦ CΓ 0 2 Wo = CΦ Wu = CΦΓ CΓ # # # 1 2 n n − − CΦ CΦ Γ CΦ n −3 Γ $ # " CΓ " " " Controle de Processos Industriais por Computador 0 0 0 UnilesteMG – Curso de Especialização em Automação e Controle A matriz Wo admite inversa se o sistema for observável, logo: x(k-n+1)=Wo-1Yk - Wo-1WuUk-1 O uso repetido da equação acima fornece: x(k ) = Φ n −1 x(k − n + 1) + Φ n − 2 Γu (k − n + 1) + " + Γu (k − 1) ou x(k ) = Ay Yk + BuU k −1 Ay = Φ n −1Wo−1 [ ] Bu = Φ n − 2 Γ Φ n −3 Γ " Γ − Φ n −1Wo−1Wu Exemplo 5 – Integrador duplo h 2 / 2 1 h Φ= Γ = C = [1 0] 0 1 h y (k ) = x1 (k ) h2 u (k − 1) 2 h2 u (k − 1) = y (k − 1) + h(x 2 (k ) − hu (k ) ) + 2 x1 (k ) = y (k ) y (k ) = x1 (k − 1) + hx 2 (k − 1) + x 2 (k ) = y (k ) − y (k − 1) h + u (k − 1) 2 h Reconstrução usando um sistema dinâmico - O método apresentado fornece os estados após pelo menos n medições ( n é a ordem do sistema); - Outra desvantagem é que o mesmo é sensível a distúrbios; - Outra abordagem: xˆ (k + 1) = Φxˆ (k ) + Γu (k ) xˆ ⇒ aproximação de x se as condições iniciais forem diferentes, o estado calculado só converge para x se o sistema for assintoticamente estável. A aproximação pode ser melhorada usando o sinal de saída medido: xˆ (k + 1 | k ) = Φxˆ (k | k − 1) + Γu (k ) + K ( y (k ) − Cxˆ (k | k − 1) ) sendo K uma matriz de ganhos e a notação x(k+1|k) é usada para indicar que é uma estimativa de x(k+1) Controle de Processos Industriais por Computador 8 UnilesteMG – Curso de Especialização em Automação e Controle 9 baseada nas medições no instante k (predição de um passo). O termo K(y-Cx^(k)) não fornece nenhuma contribuição se a predição for igual a medição. Fazendo: ~ x = x − xˆ ~ x (k + 1 | k ) = Φ~ x (k | k − 1) − K ( y (k ) − Cxˆ (k | k − 1)) = (Φ − KC ) ~ x (k | k − 1) Escolhendo K de forma que este último sistema seja assintoticamente estável, o erro sempre convergirá para zero, ou seja, os autovalores de (Φ - KC) devem ser estáveis. Cálculo do ganho do observador - A seleção dos pólos do observador é um compromisso entre sensibilidade a erros de medição e recuperação rápida de erros iniciais. - Usando a fórmula de Ackermann, temos o seguinte solução dual L → KT Wc → WoT Φ → ΦT K T = [0 " 0 1](WoT ) −1 P(Φ T ) ou K = P(Φ )Wo−1 [0 " 0 1] T - Observa-se que a fórmula de Akermann é mal condicionada numericamente tanto para cálculo de L quanto de K. Indica-se o uso da função PLACE do MatLab. Observador Deadbeat - Se escolhermos o ganho K de forma que os autovalores de (Φ - KC) sejam todos zero, este observador é chamando observador Deadbeat. - Sua principal característica é que o erro de observação tende a zero num tempo finito (no máximo n amostras, onde n é a ordem do sistema). Controle de Processos Industriais por Computador UnilesteMG – Curso de Especialização em Automação e Controle 10 Exemplo 6 – Observador de ordem plena para o duplo integrador 1 − k1 1 h k1 Φ o = Φ − KC = − [1 0] = 0 1 k 2 − k2 z 2 − ( 2 − k1 ) z + 1 − k1 + k 2 h = 0 h 1 equação desejada z 2 + p1 z + p 2 = 0 então k1 = 2 + p1 k 2 = (1 + p1 + p 2 ) / h observador Deadbeat p1 = p 2 = 0 k1 = 2 k 2 = 1 / h Observador alternativo - O seguinte observador pode ser usado para evitar atrasos: xˆ (k | k ) = Φxˆ (k − 1 | k − 1) + Γu (k − 1) + K [y (k ) − C (Φxˆ (k − 1 | k − 1) + Γu (k − 1) )] = ( I − KC )(Φ(k − 1 | k − 1) + Γu (k − 1) ) + Ky (k ) O erro de reconstrução será : ~ x (k | k ) = x(k ) − xˆ (k | k ) = (Φ − KCΦ ) ~ x (k − 1 | k − 1) além disto y (k ) = Cxˆ (k | k ) = C~ x (k | k ) = ( I − CK )CΦ~ x (k − 1 | k − 1) - Se o sistema tiver p saídas, então (I – CK) é uma matriz p x p; K pode ser escolhido de forma que CK = I se o posto de C = p. Isto implica que Cx^(k|k) = y(k), o que significa que a saída do sistema é estimada sem erro. - O procedimento acima permite que p equações possam ser eliminadas do sistema, e a ordem do observador será reduzida; - Observadores de ordem reduzida como este são chamados de Observadores de Luenberger. Exemplo 7 – Observador de ordem reduzida para o integrador duplo Controle de Processos Industriais por Computador UnilesteMG – Curso de Especialização em Automação e Controle 1 − k1 h(1 − k1 ) xˆ (k | k ) = xˆ (k − 1 | k − 1) − k 2 1 − hk 2 (1 − k1 )h 2 / 2 k1 + u (k − 1) + y (k ) k 2 h(1 − hk 2 / 2 Se I − CK = 0 → k1 = 1 log o : xˆ1 (k | k ) = y (k ) xˆ 2 (k | k ) = (1 − hk 2 ) xˆ 2 (k − 1 | k − 1) + k 2 ( y (k ) − y (k − 1) ) + h(1 − hk 2 / 2)u (k − 1) O observador de ordem reduzida é dado pela última equação. Realimentação da Saída Combinação dos dois métodos anteriores; y u x̂ -L Processo Observador Modelos de distúrbios mais realísticos -L x̂ ŵ -Lw u Σ Processo y Observador Ação integral v x̂ L ε Σ u v̂ Σ Observador Distúrbio Observador Estado Σ Controle de Processos Industriais por Computador Processo y 11 UnilesteMG – Curso de Especialização em Automação e Controle O problema Servo Método Fazendo: u (k ) = − Lxˆ (k ) + Lc u c (k ) então : x(k + 1) = (Φ − ΓL) x(k ) + ΓL~ x (k ) + ΓLc u c (k ) ~ x (k + 1) = (Φ − KC ) ~ x (k ) y (k ) = Cx (k ) Observe que o erro não é atingível a partir de uc. Ação integral Introduzindo um distúrbio constante v, obtêm-se o controlador com ação integral: u (k ) = − Lxˆ (k ) − vˆ(k ) + Lc u c (k ) xˆ (k + 1) = Φxˆ (k ) + Γ(vˆ(k ) + u (k ) ) + K ( y (k ) − Cxˆ (k ) ) vˆ(k + 1) = vˆ(k ) + K w ( y (k ) − Cxˆ (k ) ) Que também podem ser escritas como: u (k ) = − Lxˆ (k ) − vˆ(k ) + Lc u c (k ) xˆ (k + 1) = (Φ − ΓL) xˆ (k ) + ΓLc u c (k ) + K ( y (k ) − Cxˆ (k ) ) vˆ(k + 1) = vˆ(k ) + K w ( y (k ) − Cxˆ (k ) ) Estrutura do controlador uc uff Hff ufb -Hfb Σ u Processo y É natural especificar um modelo desejado e usar a lei de controle abaixo: x m (k + 1) = Φ m x m (k ) + Γm u c (k ) y m (k ) = C m x m (k ) u (k ) = L(x m (k ) − xˆ (k ) ) + u ff (k ) As coordenadas devem ser escolhidas de forma que os estados dos sistema e do modelo sejam compatíveis. Controle de Processos Industriais por Computador 12 UnilesteMG – Curso de Especialização em Automação e Controle 13 Geração do sinal antecipatório Seja a função de transferência ao impulso do processo e do modelo H(z) e Hm(z). Se o sinal abaixo puder ser gerado, então teremos a resposta desejada: u ff (k ) = H m (q) u c (k ) H (q ) A geração do sinal antecipatório é simplificada se o modelo de referência estiver na forma canônica atingível, isto é, − a1m − a 2m " − a nm−1 − a nm λ 0 0 0 0 " 1 Φm = 0 1 0 0 Γm = 0 " # $ # # # # 0 0 0 1 0 " segue u ff = λu c (k ) + C ff x m (k ) [ onde C ff = a1 − a1m a 2 − a 2m " a n − a nm ] Pode obter outras representações através de transformações de similaridade. Exercícios Livro texto página 161 – 163 Exercícios: 4.1; 4.2; 4.3; 4.4; 4.5; 4.8; 4.11. Controle de Processos Industriais por Computador