Controle adaptativo genético indireto para sistemas não lineares e

CONTROLE ADAPTATIVO GENETICO INDIRETO PARA SISTEMAS NÃO LINEARES E OTIMIZAÇÃO DE CONTROLADORES
PID UTILIZANDO ALGORTIMOS GENÉTICOS
Alvaro Talavera López
[email protected]
Departamento de Engenharia Elétrica,
Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro
Rua Marquês de São Vicente, 225, Gávea, Rio de Janeiro, RJ - Brasil, 22453-900
RESUMO
Este trabalho apresenta duas aplicações de
algoritmos genéticos para aplicações de controle
de processos. A primeira é sintonizar um
controlador PID mediante algoritmos genéticos,
a segunda aplicação é um controlador adaptativo
genético indireto, para aplicações em sistemas
não-lineares e variantes no tempo.
Palavras-chave: Algoritmos genéticos, controle
PID, estimação, sistemas não-lineares.
Abstract
Os algoritmos genéticos (AG) têm aplicações em
muitas áreas no campo de otimização de sistemas.
Estas aplicações estão dentro na área de controle de
processos onde a otimização envolve muitos tipos
de controladores e estimadores. Neste caso
utilizaremos algoritmos genéticos para otimizar as
constantes proporcional, derivativa e integral num
controlador PID com o objetivo de minimizar o
erro de saída com respeito à trajetória desejada.
A segunda aplicação consiste no projeto de um
controlador mais experto que aproveita todas as
vantagens de um algoritmo genético para o
controle e estimação de um sistema não-linear e
variante no tempo. Este tipo de abordagem se
assemelha ao controle adaptativo indireto.
This paper presents two applications of genetic
algorithms for control applications processes.
The first is to tune a PID controller using genetic
algorithms; the second application is an indirect
genetic adaptive controller for applications in
non-linear
and
time
varying
systems.
Keywords: genetic algorithms, PID control,
estimation, nonlinear systems.
1 INTRODUÇÃO
No caso da otimização de parâmetros do
controlador PID, existe uma vasta bibliografia [12,4] onde se abordam estes problemas. Além
disso, novas pesquisas têm sido realizadas no
sentido de melhorar a convergência do algoritmo
genético e garantir um bom desempenho [3]. No
caso do controlador adaptativo genético, Passino e
Lennon [5], fizeram uma proposta deste projeto de
controladores. A base desta pesquisa se encontra
em [5][6][7], em [8] se tem uma teoria de
aplicações em estimação de sistemas utilizando
algoritmos genéticos e em [9] se encontra uma
aplicação em um tanque de repouso que é nosso
exemplo.
Este artigo é organizado da seguinte forma: a
seção 2 aborda os algoritmos genéticos como
otimizadores de controladores PD, com aplicação
em uma planta linear de quarta ordem. A seção 3
aborda um controlador genético mais sofisticado,
que utiliza o algoritmo genético para otimizar e
controlar uma planta não-linear. A seção 4 mostra
as conclusões e algumas recomendações para
este projeto.
2 OTIMIZADOR DE CONTROLADORES
PID
UTILIZANDO
ALGORTIMOS
GENÉTICOS
O algoritmo genético é utilizado para otimizar
uma função objetivo baseado em um controlador
PID. A equação de um controlador PID é a
seguinte:
(1)
Onde kd, kp e ki são constantes derivativas,
proporcional e integral ao erro entre a saída
desejada e a saída real de meu processo. A figura
1 mostra o diagrama de um processo controlado
por um PID, com um sistema de segunda ordem
qualquer, onde a trajetória desejada é r(t), o erro
entre a saída desejada e saída do processo é e(t),
u(t) é a lei de controle gerada pelo PID e y(t) é a
saída do processo. A avaliação do desempenho
de um controlador PID é dada pelo overshoot ou
assentamento, definido pela porcentagem em que
a resposta excede a saída desejada, tempo de
subida ou o tempo da resposta do sistema e o
tempo de estabelecimento que é o tempo no qual
o sistema permanece em regime permanente,
como detalhado na figura 2.
Figura 1. Sistema de controle PID.
Figura 2. Resposta no degrau unitário.
O sistema a ser controlado é de ordem 4, linear e
invariante no tempo, como mostra o seguinte
modelo:
Neste modelo, foi projetado um controlador PID
seguindo o método Ziegler Nichols [10], um
método clássico para determinar os parâmetros de
um PID. O tipo de resposta obtida é apresentada
na figura 3.
Figura 3. Resposta no sistema utilizando ZieglerNichols.
Para as simulações foi utilizada uma biblioteca de
rotinas (toolbox) do AG, criadas especialmente
para trabalhar no ambiente Matlab®. Vários
parâmetros controlam o processo de evolução em
um AG, tais como: tamanho da população, taxa de
cruzamento (crossover), taxa de mutação e número
de gerações, que é o número total de ciclos de
evolução de um AG. A Tabela I apresenta os
parâmetros adotados para o AG neste trabalho:
Tabela I
Tamanho da população
Número de gerações
Espaço de busca
Método de seleção
Taxa de cruzamento
Taxa de mutação
80
100
[0, 200]
Norma geométrica
Aritmético 0,4
0,1%
A função de avaliação (Fitness) é o conceito
mais importante no desenvolvimento de um
algoritmo genético. Essa função é específica para
cada aplicação, e deve representar o
comportamento dos cromossomos que, nesse
caso, representam os parâmetros do controlador.
A função Fitness deve fornecer a informação de
quão adequado é o controlador, quando
sintonizado com os parâmetros escolhidos pelo
AG.
Foram utilizadas 3 funções de avaliação: ITAE
(integral do tempo vezes o erro absoluto), IAE
(integral da magnitude absoluta do erro) e ISE
(integral do quadrado do erro), as funções de
avaliação se mostram nas equações seguintes.
Segundo as tabelas II e III, o melhor resultado foi
o algoritmo genético que utilizou como função
objetivo ITAE, o qual podemos com0parar com o
método formal de Ziegler-Nichols [10] que utiliza
o lugar de raízes ou (Root locus) como um método
convencional para avaliar os ganhos kp, kd e ki, do
controlador.
A figura 4 mostra a resposta do sistema a degrau
unitário e a figura 5 apresenta a evolução e
convergência dos ganhos do controlador.
(2)
(3)
(4)
Os resultados da otimização do algoritmo
genético em função do overshoot, rise time e
settling time são mostrados na tabela II. Na
tabela III são apresentadas as constantes (kp, kd e
ki) encontradas pelo algoritmo genético.
Figura 4. Resposta no sistema utilizando algoritmo
genético.
Tabela II
Tabela III
Figura 5. Evolução das constantes de controle.
3 CONTROLE ADAPTATIVO GENÉTICO
INDIRETO
Nesta seção é apresentada uma nova abordagem
de controladores genéticos mais avançados. Um
híbrido com controle adaptativo indireto
convencional, com aplicações especiais em
plantas não-lineares e variantes no tempo, onde o
controlador deve identificar ou estimar os
parâmetros da planta a cada instante fazendo um
seguimento sem a planta. Estes parâmetros
variados irão cumprir uma função objetivo e a
minimização desta função irá resolver a melhor
lei de controle u(t) para que a planta tenha o
comportamento da trajetória desejada.
Portanto, em nossa aplicação é proposto um
controlador genético online para o controle de
processo de sistemas não-lineares e variantes no
tempo. Este sistema permite a identificação
online do processo e obtenção de uma lei de
controle ótima para controlar o sistema.
Figura 6. Tanque de repouso.
onde:
u(t)
= entrada de fluxo
h(t)
= nível de líquido
A(h(t)) = área de seção transversal
tanque.
r(t)
= nível de líquido desejado
do
A equação diferencial do modelo (equação 5) é
discretizada pelo método de Euler (equação 6), na
equação 7 ocorre a saturação na válvula do fluxo
e, finalmente, na equação 8 asseguramos que h(t)
não seja negativo fazendo com que o mínimo seja
0,001.
(5)
AG
(6)
Projeto de
controlador
Identificação
sistemas
(7)
Controle
Planta
(8)
Figura 5. Controlado adaptativo genético indireto.
A figura 5 mostra a configuração deste
controlador através do diagrama de blocos.
Pode-se verificar que o algoritmo genético
controla todo o sistema e não depende de um
modelo linear, como no caso de um controlador
PID, abordado na seção anterior. No caso de
uma planta não-linear, seu esquema e equações
detalhadas são dadas abaixo:
A partir deste ponto descreveremos o
procedimento para desenvolvimento de um
controlador genético adaptativo indireto.
Sistemas em tempo discretos não-lineares:
(9)
A equação 9 mostra a saída de um sistema discreto
não–linear, que consiste em uma função não-linear
em função de seu estado e sua saída. Esta equação
também pode ser expressa em função de
parâmetros para o estado e para a entrada do
modelo.
(10)
Portanto podemos determinar o sinal de entrada
em função dos parâmetros não-lineares, estados
e saídas, como mostrado a equação 11.
(11)
Para resolver esta equação necessita-se estimar
os parâmetros dados nas equações 12-13:
Neste ponto o algoritmo genético encontrado θα(k)
e θβ(k) (equação 16) trata de minimizar uma
função custo (equação 17). Dessa forma, o
cromossomo será dado pela equação 16 e a função
objetivo descrito pela equação 17.
Em nosso caso a equação 6 será reescrita da
mesma forma que a equação 10:
(12)
(13)
Portanto a equação 11 pode ser escrita de
maneira similar a equação 14. Com respeito a
seus valores estimados, observa-se que r(k) =
y(k) uma vez que a saída desejada é um valor
determinado.
Verifica-se que o modelo tem linearidades e nãolinearidades e, portanto, devemos escolher parte da
equação e a substituímos pelos parâmetros da
seguinte forma:
(14)
O calculo do erro é dado pela saída estimada
menos a saída de meu processo:
Substituindo os parâmetros na equação 14:
A saída estimada é dada por:
O cromossomo será:
Portanto, o erro já pode ser calculado como:
θα1θβ1
θα2θβ2
...
θαiθβi
(15)
A função fitness será dada por:
O objetivo destas contas é ter uma função do
erro em função dos parâmetros, de modo a
minimizar essa função:
(16)
(17)
Onde: a probabilidade de mutação é 0.05, de
crossover 0.9, com uma população de 10 e
. Desta forma o AG deve maximizar a
função fitness.
Figura 9. Media da função fitness
4 CONCLUSÕES
Figura 7. Resposta de controle adaptativo genético
indireto para o tanque de repouso.
A figura 7 mostra a resposta do controlador
genético com o respectivo sinal de controle.
Observa-se que no início, o sistema vai se
adaptando até que após um pequeno tempo o
controlador genético estima e controla o tanque
de repouso, com um bom desempenho.
Figura 8. Identificação e estimação dos parâmetros da
planta.
A figura 8a mostra a identificação na saída da
planta no qual é observado um bom
desempenho. As Figuras 8b e 8c estimam os
parâmetros α e θβ. A figura 9 mostra a média do
fitness da população e se verifica que o gráfico
começa a maximizar logo nos primeiros
instantes, porém aumenta e constantemente
devido às mudanças na referencia.
Neste artigo foram apresentadas técnicas de
controle convencional e sofisticadas para
aplicações de controle de processos. Na primeira
seção se mostra o algoritmo genético para otimizar
o controlador PID para uma plana de quarto
ordem, obtendo um melhor desempenho que o
método tradicional de Ziegler Nichols. Uma
conclusão importante e que o desempenho do
controlador PID utilizando algoritmos genéticos
muito vá a depender da função objetivo (fitness)
como se mostra na tabela II. Embora o algoritmo
genético tenha um bom desempenho esta limitado
por o modelo linear do controlador PID. Nesta
seção se suguiere a utilização de mais variáveis
observadas da função fitness como a utilização da
sinai de controle u(t).
Na seção 3 se apresento um controlador mais
avançado, para resolver problemas de sistemas não
lineares. Este controlador utiliza a teoria de
controle adaptativo indireto utilizando um forte
método de otimização como é o algoritmo
genético, dando como resultado o bom
desempenho do controlador. neste tipo de
controlador se propõe o uso para plantas
multivariáveis e variantes no tempo, onde não se
tenho um modelado exato da planta.
REFERÊNCIAS
[1]
[2]
Ian Griffin “On-line PID Controller Tuning
using Genetic Algorithms” DCU. 2003.
Luiz Eduardo N. do P. Nunes, Vitor G.
Rosado, Francisco Grandinetti. “Ajuste dos
parâmetros de um controlador proporcional,
integral e derivativo através de algoritmos
genéticos”. Rev. ciênc. exatas, Taubaté, v.
9/10, n.1-2, p. 47-52, 2003/2004.
[3] Xiangzhong Meng and Xiangzhong Meng
Baoye Song “Fast Genetic Algorithms
Used for PID Parameter Optimization”
Proceedings of the IEEE International
Conference on Automation and Logistics
August 18 - 21, 2007, Jinan, China.
[4] Saifudin Bin Mohamed. A dissertation
“The PID Controller Desing Using
Genetic Algorithm”.. University of
Southern
Queensland.
Faculty
of
Engineering and Surveying. 2005.
[5] Lennon W.K., Passino, K.M., “Genetic
Adaptive Identification and Control,”
Engineering Applications of Artificial
Intelligence, Vol. 12, No. 2, pp. 185–200,
April 1999.
[6] La Moyne L. Porter II and Kevin M.
Passino. “Genetic Model Reference
Adaptive
Control”.
1994
IEEE
International Symposium on Intelligent
control. 16-10 August, 1994. Columbus,
Ohio. USA.
[7] Moore M.L., Musachio J., Passino K.M.
“Genetic Adaptive Control for an Inverted
Wedge,” Engineering Applications of
Artificial Intelligence, Vol. 14, No. 1, pp.
1-14, Feb. 2001.
[8] W.K. Lennon, K.M. Passino. “Genetic
Adaptive Identification and Control”.
Pergamon. Engineering Applications of
Artificial Intelligence 12. 185 – 200. 1999.
[9] Kevin M. Passino. “Biomimicry for
Optimization, Control, and Automation”.
Springer. 2005.
[10] K. Ogata. “Ingeniería de Control
Moderna” 4 Edición. Prentice Hall. 2003.