Gruppentheorie

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Gruppentheorie

Gruppentheorie
Udo Hebisch
WS 2017/18
Dieses Skript enthält nur den “roten Faden”
der Vorlesung. Wesentliche Erklärungen zu den
Begriffsbildungen und einige Beweise werden ausschließlich
in der Vorlesung selbst vermittelt. Daher ist dieses
Skript nur bedingt zum Selbststudium geeignet, sondern
eher als “Erinnerungsstütze” bei der Prüfungsvorbereitung.
Die selbständige Bearbeitung von Übungsaufgaben wird
dringend empfohlen. Ausgewählte Lösungen werden
nach Vorlesungsende ins Netz gestellt.
Weitere Begriffe der Algebra werden unter
www.mathecafe.de/algebra/stichworte.html
erklärt.
1
1 Gruppoide, Halbgruppen und Gruppen
2
Du wolltest doch Algebra, da hast Du den Salat.
Jules Verne, Reise um den Mond
1
Gruppoide, Halbgruppen und Gruppen
Definition 1.1 Unter einem Gruppoid oder Magma G = (X, ·) versteht man eine
nichtleere Menge X mit einer zweistelligen Verknüpfung ·, die je zwei Elementen
x, y ∈ X eindeutig ein Produkt x · y ∈ X zuordnet. Eine Halbgruppe (vgl. Beispiel 1.15) ist dann ein Gruppoid H = (X, ·) mit einer assoziativen Verknüpfung,
d. h. für alle x, y, z ∈ X gilt
(1)
x · (y · z) = (x · y) · z.
Die Verknüpfung · und damit das Gruppoid (X, ·) heißt kommutativ, wenn
(2)
x · y = y · x.
für alle x, y ∈ X gilt. Ein Element x ∈ X eines Gruppoids (X, ·) heißt idempotent,
wenn
(3)
x·x=x
gilt. Mit E(X) werde die Menge aller idempotenten Elemente von (X, ·) bezeichnet. Man nennt (X, ·) idempotent, wenn E(X) = X gilt. Ein Element e` ∈ X
(er ∈ X) eines Gruppoids (X, ·) heißt ein Linkseinselement oder linksneutral
(Rechtseinselement oder rechtsneutral), wenn für alle x ∈ X gilt
(4)
e` · x = x (x · er = x).
Ist e ∈ X sowohl Links- als auch Rechtseinselement, so heißt es ein Einselement
von (X, ·). Halbgruppen mit Einselement nennt man auch Monoide. Idempotente
Halbgruppen werden Bänder, kommutative und idempotente Halbgruppen Halbverbände genannt. Schließlich nennt man das Gruppoid G = (X, ·) unipotent,
wenn
(5)
x·x=y·y
für alle x, y ∈ X erfüllt ist. Für jedes Gruppoid G = (X, ·) heißt |X| die Ordnung
von G.
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Beispiel 1.2 Für eine beliebige Menge M sei P(M ) die Potenzmenge von M ,
also die Menge aller Teilmengen A von M . Bezeichnet A ∩ B den mengentheoretischen Durchschnitt und A ∪ B die mengentheoretische Vereinigung für alle
A, B ∈ P(M ), so ist (P(M ), ∩) Halbverband mit dem Einselement M und der
leeren Menge ∅ als absorbierendem Element (vgl. Definition 1.8). Entsprechend
ist (P(M ), ∪) Halbverband mit ∅ als Einselement und M als absorbierendem Element. Definiert man die Differenz gemäß A\B = {x ∈ M |x ∈ A und x 6∈ B} und
die symmetrische Differenz dann durch A∆B = (A \ B) ∪ (B \ A) jeweils für alle
A, B ∈ P(M ), dann ist (P(M ), \) ein unipotentes Gruppoid und (P(M ), ∆) ein
kommutatives Monoid mit dem Einselement ∅. Die Ordnung aller hier genannten
Gruppoide ist |P(M )| = 2|M | .
Beispiel 1.3 Es sei (X, ·) ein Gruppoid. Auf der Potenzmenge P(X) werde eine
binäre Verknüpfung gemäß A B = {a · b | a ∈ A, b ∈ B} definiert, so daß also
(P(X), ) ebenfalls ein Gruppoid ist. Diese Verknüpfung wird auch als Komplexprodukt auf P(X) bezeichnet. Wegen {a} {b} = {a · b} für einelementige
Teilmengen von X ist (X, ·) genau dann kommutativ [assoziativ], wenn dies für
(P(X), ) gilt.
Beispiel 1.4 Es sei M eine beliebige Menge und BM = P(M × M ) die Menge
aller binären Relationen auf M . Für σ, τ ∈ BM wird das Relationenprodukt σ ◦τ ∈
BM definiert durch
(6)
(x, z) ∈ σ ◦ τ
⇐⇒
(y, z) ∈ σ und (x, y) ∈ τ für ein y ∈ M
für alle x, z ∈ M . Dieses Relationenprodukt ist assoziativ, (BM , ◦) also eine Halbgruppe, die Halbgruppe der binären Relationen auf M . Die Identität
ιM = {(x, x) | x ∈ M } ist Einselement, die leere Relation ∅ ist absorbierendes Element von BM . Beide Relationen sind daher ebenso wie die Allrelation
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ωM = M × M idempotent. Die Ordnung von BM ist 2|M | .
Beispiel 1.5 Für eine beliebige Menge M 6= ∅ sei TM = {f : M → M } die
Menge aller Abbildungen (Transformationen) von M in sich. Bezeichnet man
die Nacheinanderanwendung von Abbildungen mit (f ◦ g)(x) = f (g(x)) für alle
x ∈ M und alle f, g ∈ TM , dann ist (TM , ◦) eine Halbgruppe, die Transformationshalbgruppe von M . Eine Abbildung f ∈ TM ist genau dann idempotent, wenn
f (f (x)) = f (x) für alle x ∈ M gilt, und dies ist offensichtlich gleichwertig damit,
daß f (a) = a für alle a ∈ A = f (M ) erfüllt ist. Man nennt jede derartige Abbildung eine Projektion von M auf A. Für |A| = 1 erhält man so die konstanten
Abbildungen, für A = M die identische Abbildung ιM auf M . Diese ist ein Einselement, (TM , ◦) also ein Monoid. Die Ordnung von TM ist |M ||M | . Für |M | ≥ 2
ist (TM , ◦) nicht kommutativ.
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Beispiel 1.6 Für eine beliebige Menge X 6= ∅ sei X + = n∈N X n . Definiert man
für alle (x1 , . . . , xn ), (y1 , . . . , ym ) ∈ X + eine Multiplikation durch
S
(7)
(x1 , . . . , xn ) · (y1 , . . . , ym ) = (x1 , . . . , xn , y1 , . . . , ym ),
dann ist (X + , ·) eine Halbgruppe, die freie Halbgruppe über X. Man schreibt die
Elemente (x1 , . . . , xn ) ∈ X + einfach in der Form x1 · · · xn und die Multiplikation
als Konkatenation x1 · · · xn y1 · · · ym . Speziell für endliches X nennt man X ein
Alphabet, die Elemente x ∈ X Buchstaben und die Elemente x1 · · · xn ∈ X +
Wörter oder Strings über X. Adjungiert man zu (X + , ·) ein leeres Wort ε als
Einselement, so nennt man X ∗ = X + ∪ {ε} das freie Monoid über X. Unter
einer formalen Sprache L (über dem Alphabet X) versteht man eine beliebige
Teilmenge von X ∗ . Ein Code (über dem Alphabet X) ist eine endliche Teilmenge
von X + . Ist w = x1 · · · xn ∈ X ∗ , so nennt man `(w) = n die Länge von w. Besitzen
alle Worte eines Codes C dieselbe Länge n, so nennt man C einen Blockcode der
Länge n.
Bemerkung 1.7 a) Wie schon bei der Konkatenation geschehen, läßt man das
Verknüpfungssymbol · in einem Gruppoid G = (X, ·) zwischen den Elementen oft
weg, schreibt also xy für x · y.
b) Im folgenden wird bei links-rechts-dualen Begriffsbildungen nur noch der
“linksseitige” Begriff explizit definiert, der dazu gehörende duale “rechtsseitige”
und der entsprechende “zweiseitige” Begriff gilt aber ebenfalls als definiert.
Definition 1.8 Es sei G = (X, ·) ein Gruppoid.
a) Ein Element o` ∈ X heißt linksabsorbierend in G, wenn für alle x ∈ X gilt
(8)
o` x = o` .
b) Ein Element a ∈ X heißt linkskürzbar in G, wenn für alle x, y ∈ X gilt
(9)
ax = ay =⇒ x = y.
Ist jedes Element aus X linkskürzbar, so heißt G linkskürzbar.
c) Besitzt G ein Einselement e, so heißt ein Element a ∈ X linksinvertierbar in
G, wenn ein a0 ∈ X existiert, so daß gilt
(10) a0 a = e.
In diesem Falle nennt man a0 ein Linksinverses von a.
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Beispiel 1.9 a) Auf jeder nichtleeren Menge X wird durch ab = a für alle
a, b ∈ X eine Multiplikation definiert, so daß H = (X, ·) eine idempotente Halbgruppe ist. Man nennt H die Linkszerohalbgruppe auf X. Jedes a ∈ X ist linksabsorbierend, jedes b ∈ X ein Rechtseinselement. H ist rechtskürzbar, aber nicht
linkskürzbar.
b) Wählt man 0 ∈ X beliebig und definiert man die Multiplikation durch a · b = 0
für alle a, b ∈ X, so erhält man eine kommutative und unipotente Halbgruppe,
die Zerohalbgruppe auf X. Offensichtlich ist 0 absorbierend und das einzige idempotente Element.
c) Wählt man 0 ∈ X beliebig und definiert man die Multiplikation durch a · b = 0
für alle a 6= b in X sowie a · a = a, so erhält man einen Halbverband mit 0 als
absorbierendem Element. Diese Halbgruppen werden auch Kroneckerhalbgruppen
(Leopold Kronecker, 1823 - 1891) genannt.
d) Jede freie Halbgruppe ist kürzbar.
e) In dem kommutativen Monoid (P(M ), ∆) ist wegen A∆A = ∅ für alle A ⊆
M jedes Element sein eigenes Inverses. Aufgrund der folgenden Überlegungen
handelt es sich also um eine abelsche Gruppe.
Folgerung 1.10 a) Ist G ein Gruppoid, so ist ein absorbierendes Element (ein
Einselement) von G eindeutig bestimmt.
b) Ist H = (X, ·) ein Monoid, so besitzt jedes a ∈ X höchstens ein Inverses.
Im Falle seiner Existenz wird es mit a−1 bezeichnet. Es gilt dann (a−1 )−1 = a.
Besitzen a und b aus H Inverse a−1 bzw. b−1 , so gilt (ab)−1 = b−1 a−1 .
Beweis: Siehe Aufgabe 1.22.
Satz 1.11 Für jede Halbgruppe H = (X, ·) sind gleichwertig:
a) Zu a, b ∈ X existieren x, y ∈ X mit ax = b und ya = b.
b) Es gibt ein Linkseinselement e` von H und zu jedem a ∈ X existiert ein a0 ∈ X
mit a0 a = e` .
c) Es gibt ein Einselement von H und jedes Element von X ist invertierbar in
H.
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Beweis: a) =⇒ b): Seien a, b ∈ X. Dann existiert ein e ∈ X mit ea = a und
ein x ∈ X mit ax = b. Es folgt eb = e(ax) = (ea)x = ax = b, d. h. e ist
Linkseinselement von (X, ·). Dann existiert aber auch ein y ∈ X mit ya = e, d. h.
auch die zweite Bedingung von b) ist erfüllt.
b) =⇒ c): Seien a, a0 ∈ X mit a0 a = e` . Dann gibt es auch ein a00 ∈ X mit
a00 a0 = e` . Es folgt a = e` a = (a00 a0 )a = a00 (a0 a) = a00 e` und damit aa0 = (a00 e` )a0 =
a00 (e` a0 ) = a00 a0 = e` . Nun folgt ae` = a(a0 a) = (aa0 )a = e` a = a. Also ist e` sogar
Einselement und damit a0 Inverses zu a.
c) =⇒ a): Sind a und b aus X gegeben, so existiert das Inverse a−1 und x = a−1 b
und y = ba−1 erfüllen ax = b und ya = b.
Bemerkung 1.12 a) Man nennt eine Halbgruppe (X, ·) linkseinfach (rechtseinfach), wenn Xa = {xa | x ∈ X} = X (aX = X) für alle a ∈ X gilt. Also besagt
a) in Satz 1.11 gerade, daß (X, ·) linkseinfach und rechtseinfach ist. Außerdem
zeigt der Beweis, daß die Elemente x, y ∈ X mit ax = b und ya = b durch a und
b eindeutig bestimmt sind. Linkszerohalbgruppen mit |X| > 1 sind linkseinfache
und rechtskürzbare Halbgruppen, die keine Gruppen sind. Es gibt auch linkseinfache und linkskürzbare unendliche Halbgruppen, die keine Gruppen sind (vgl.
auch Aufgabe 1.34).
b) Das für M 6= ∅ wegen (M \ M ) \ M = ∅ =
6 M = M \ (M \ M ) nicht-assoziative
Gruppoid (P(M ), \) erfüllt dann die zu Satz 1.11 b) duale Aussage, denn ∅ ist ein
Rechtseinselement und wegen A\M = ∅ ist auch die zweite geforderte Bedingung
erfüllt. Die Aussage c) ist dagegen nicht erfüllt, da ∅ kein zweiseitiges Einselement
ist. Dies zeigt, daß die Voraussetzung der Assoziativität von H in diesem Satz
wesentlich ist.
Definition 1.13 Erfüllt eine Halbgruppe H die Bedingungen aus Satz 1.11, so
heißt sie eine Gruppe. Kommutative Gruppen nennt man auch abelsche Gruppen
(Niels Henrik Abel, 1802 - 1829).
Beispiel 1.14 Für eine beliebige nichtleere Menge M sei SM = {f : M → M | f
bijektiv } ⊆ TM . Dann ist (SM , ◦) eine Gruppe, die (volle) Permutationsgruppe
auf M . Für M = {1, . . . , n} schreibt man auch Sn und nennt (Sn , ◦) die symmetrische Gruppe der Ordnung n. Ihre Gruppenordnung ist jedoch |Sn | = n! und
für n ≥ 3 ist (Sn , ◦) nicht abelsch.
Beispiel 1.15 a) Die Menge N0 = {0, 1, . . .} der natürlichen Zahlen bildet mit
der gewöhnlichen Addition eine kommutative und kürzbare Halbgruppe (N0 , +),
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die keine Gruppe ist. Da hier die negativen Zahlen fehlen, also die “Hälfte“ der
abelschen Gruppe (Z, +) der ganzen Zahlen, lag der Name “Halbgruppe” für diese
Struktur nahe.
Eine exakte Definition der natürlichen Zahlen mit Hilfe der Peano-Axiome und
die Herleitung der oben genannten Eigenschaften erfolgt im ersten Kapitel des
Skriptes zur Zahlentheorie
www.mathe.tu-freiberg.de/∼hebisch/skripte/zahlenth/zahlenth.pdf
b) Ebenso bilden (N, +), (N0 , ·) und (N, ·) Beispiele für kommutative Halbgruppen mit verschiedenen Eigenschaften bezüglich Einselementen und absorbierenden Elementen sowie der Kürzbarkeit.
c) Für jede natürliche Zahl n ∈ N bilden die Restklassen der ganzen Zahlen
modulo n eine abelsche Gruppe (Z/(n), +) der Ordnung n, die additive Restklassengruppe modulo n, und eine kommutative Halbgruppe (Z/(n), ·) der Ordnung
n, die multiplikative Restklassenhalbgruppe modulo n. Letztere ist ein Monoid
mit absorbierendem Element. Mit Z/(n)∗ werde die Menge der invertierbaren
Elemente in diesem Monoid bezeichnet (vgl. Beispiel 2.4).
Definition 1.16 Man nennt ein Gruppoid Q = (X, ·) eine Quasigruppe, wenn
die Gleichungen a · x = b und y · a = b für alle a, b ∈ X stets eindeutig bestimmte Lösungen x, y ∈ X haben. Eine Linksloop ist eine Quasigruppe mit einem
Linkseinselement, eine Loop also eine Quasigruppe mit einem Einselement.
Folgerung 1.17 Jede Quasigruppe ist kürzbar. Eine Quasigruppe (Loop) ist genau dann eine Gruppe, wenn sie assoziativ ist.
Beweis: Siehe Aufgabe 1.26.
Beispiel 1.18 Es sei (Z/(n), +, ·) ein Restklassenring und a, b ∈ Z/(n)∗ . Durch
x◦y = ax+by wird dann eine zweistellige Verknüpfung auf Z/(n) definiert, so daß
(Z/(n), ◦) eine Quasigruppe ist. Offensichtlich ist ◦ genau für a = b kommutativ.
Weiterhin ergibt sich genau dann eine Loop (und damit eine abelsche Gruppe),
wenn a = b = 1 gilt. Sind nämlich y und z aus Z/(n) gegeben, so erfüllt das
eindeutig bestimmte Element x = a−1 (z − by) die Gleichung x ◦ y = z. Ebenso
läßt sich diese Gleichung bei gegebenem x und z durch y = b−1 (z − ax) eindeutig
lösen. Ist nun e ein Einselement in dieser Quasigruppe, so folgt 0 = e ◦ 0 = ae
und damit wegen der Invertierbarkeit von a bereits e = 0. Dann gilt aber 1 =
0 ◦ 1 = a0 + b1 = b sowie 1 = 1 ◦ 0 = a1 + b0 = a. In diesem Fall stimmen daher
die Verknüpfungen ◦ und + überein.
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Satz 1.19 Es sei I 6= ∅ eine beliebige Indexmenge und (Xi , ·) für i ∈ I ein
Gruppoid. Auf dem kartesischen Produkt X = Πi∈I Xi = {(xi )i∈I | xi ∈ Xi }
werde eine Verknüpfung · durch
(11) (xi ) · (yi ) = (xi yi )
für alle (xi ), (yi ) ∈ X definiert. Dann gelten:
a) (X, ·) ist ein Gruppoid.
b) Genau dann ist e = (ei ) ∈ X Linkseinselement von (X, ·), wenn jedes ei
Linkseinselement von (Xi , ·) ist.
c) Genau dann ist a = (ai ) ∈ X linksabsorbierend in (X, ·), wenn jedes ai linksabsorbierend in (Xi , ·) ist.
d) Genau dann ist (X, ·) kommutativ (idempotent, linkskürzbar, eine Halbgruppe, eine Gruppe), wenn jedes (Xi , ·) kommutativ (idempotent, linkskürzbar, eine
Halbgruppe, eine Gruppe) ist.
Beweis: a) Offensichtlich wird durch (11) ein Produkt auf X definiert.
b) Ist e = (ei ) Linkseinselement, so gilt für alle x = (xi ) ∈ X wegen (11) (xi ) =
x = ex = (ei )(xi ) = (ei xi ) und damit an jeder Stelle i ∈ I schon ei xi = xi .
Existiert umgekehrt für jedes i ∈ I ein Linkseinselement ei in (Xi , ·), so erfüllt
e = (ei ) ∈ X ebenfalls die Gleichung x = ex.
c) Der Beweis verläuft analog zu b).
d) Es ist klar, daß Kommutativität, Idempotenz und Assoziativität jeweils genau
dann auf der linken Seite von (11) gelten, wenn sie für jedes i ∈ I auf der rechten
Seite gelten. Ist nun (X, ·) linkskürzbar und sind a = (ai ), x = (xi ), y = (yi ) ∈ X
beliebig mit ax = ay, also (ai xi ) = (ai )(xi ) = (ai )(yi ) = (ai yi ), so folgt hieraus
(xi ) = x = y = (yi ), also xi = yi für jedes i ∈ I, d. h. jedes ai ist kürzbar in
(Xi , ·). Kann man umgekehrt jedes ai in jedem Gruppoid (Xi , ·) von links kürzen,
so kann man auch jedes a = (ai ) ∈ X von links kürzen.
Wegen b) und dem schon Bewiesenen ist (X, ·) genau dann ein Monoid, wenn
jedes Gruppoid (Xi , ·) ein Monoid ist. Damit besitzt ein a = (ai ) genau dann in
(X, ·) ein Inverses a0 = (a0i ), d. h. es gilt a0 a = e = (ei ) = (a0i ai ) und aa0 = e =
(ei ) = (ai a0i ), wenn für jedes i ∈ I das Element ai das Inverse a0i besitzt. Dies
zeigt auch die Behauptung für Gruppen.
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Definition 1.20 Das in Satz 1.19 beschriebene Gruppoid, die Halbgruppe bzw.
Gruppe (X, ·) heißt das direkte Produkt der Gruppoide, Halbgruppen bzw. Gruppen (Xi , ·).
Bemerkung 1.21 Mit Hilfe direkter Produkte kann man aus den oben angegebenen (endlichen) Halbgruppen bzw. Gruppen weitere (endliche) Halbgruppen und Gruppen konstruieren. Beispielsweise erhält man als direkte Produkte (L × R, ·) von Linkszerohalbgruppen (L, ·) und Rechtszerohalbgruppen (R, ·)
idempotente Halbgruppen, die rektanguläre Bänder genannt werden. Sie lassen
sich durch die Gleichung x · y · x = x für alle x, y ∈ X charakterisieren (vgl.
Aufgabe 1.48).
Als direkte Produkte G × L von Gruppen (G, ·) und Linkszerohalbgruppen (L, ·)
erhält man Halbgruppen, die linkseinfach und rechtskürzbar sind. Derartige Halbgruppen werden Linksgruppen genannt.
Die abelschen Gruppen (Z/(p)n , +) für eine Primzahl p und n ∈ N, also die
endlichen direkten Produkte der Restklassengruppen (Z/(p), +) werden auch elementar abelsche Gruppen genannt.
Man kann den Begriff des direkten Produktes verallgemeinern (vgl. Aufgabe 3.56)
und kann dann auch nicht-abelsche Gruppen aus abelschen Gruppen konstruieren
(vgl. Aufgabe 3.59).
Aufgabe 1.22 Beweisen Sie Folgerung 1.10.
Aufgabe 1.23 Es sei G = (X, ·) ein beliebiges Gruppoid und e 6∈ X. Definiert
man auf X 0 = X ∪ {e} eine Multiplikation durch x y = x · y, für alle
x, y ∈ X und e x0 = x0 e = x0 für alle x0 ∈ X 0 , dann ist (X 0 , ) ein Gruppoid
mit dem Einselement e. Im Sinn von Definition 2.1 ist (X, ·) Untergruppoid von
(X 0 , ). Genau dann ist (X 0 , ) idempotent, kommutativ bzw. eine Halbgruppe,
wenn (X, ·) die betreffende Eigenschaft hat. Dagegen ist (X 0 , ) niemals eine
Quasigruppe und e immer das einzige invertierbare Element. Daher kann (X, ·)
linkskürzbar sein, ohne daß dies auf (X 0 , ) zutrifft.
Diese Adjunktion eines Einselementes an ein Gruppoid kann man natürlich auch
dann durchführen, wenn das Gruppoid bereits ein Einselement besitzt. Da dann
aber das schon vorhandene Einselement diese Eigenschaft verliert, möchte man
dies vermeiden und definiert wie folgt:
Ist G = (X, ·) ein Gruppoid, dann setzt man G 1 = G, wenn G bereits ein Einselement besitzt, und im anderen Fall G 1 = (X 0 , ) wie oben konstruiert.
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Aufgabe 1.24 Es sei G = (X, ·) ein beliebiges Gruppoid und 0 6∈ X. Definiert
man auf X 0 = X ∪ {0} eine Multiplikation durch x y = x · y, für alle x, y ∈ X
und 0 x0 = x0 0 = 0 für alle x0 ∈ X 0 , dann ist (X 0 , ) ein Gruppoid mit dem
absorbierenden Element 0. Im Sinn von Definition 2.1 ist (X, ·) Untergruppoid
von (X 0 , ). Genau dann ist (X 0 , ) idempotent, kommutativ bzw. eine Halbgruppe, wenn (X, ·) die betreffende Eigenschaft hat. Dagegen ist (X 0 , ) niemals
linkskürzbar, also insbesondere keine Quasigruppe oder Gruppe.
Diese Adjunktion eines absorbierenden oder Nullelementes an ein Gruppoid kann
man natürlich auch dann durchführen, wenn das Gruppoid bereits ein Nullement
besitzt. Da dann aber das schon vorhandene Nullelement diese Eigenschaft verliert, möchte man dies vermeiden und definiert wie folgt:
Ist G = (X, ·) ein Gruppoid, dann setzt man G 0 = G, wenn G bereits ein Nullelement besitzt, und im anderen Fall G 0 = (X 0 , ) wie oben konstruiert.
Handelt es sich bei G um eine Gruppe, so nennt man die durch Adjunktion eines
Nullelementes entstehende Halbgruppe auch eine Nullgruppe. Derartige Nullgruppen sind beispielsweise die multiplikativen Halbgruppen von Körpern.
Aufgabe 1.25 Ist (X, ·) eine Gruppe, so ist (P(X), ) ein Monoid, aber niemals
eine Gruppe. Was ändert sich, wenn man das Komplexprodukt auf P(X) \ {∅}
einschränkt?
Aufgabe 1.26 Beweisen Sie Folgerung 1.17.
Aufgabe 1.27 Ein Gruppoid (X, ·) heißt semisymmetrisch, wenn a(ba) = b für
alle a, b ∈ X gilt. Dies ist gleichwertig damit, daß (ab)a = b für alle a, b ∈ X
erfüllt ist. Jedes semisymmetrische Gruppoid (X, ·) ist daher eine Quasigruppe.
Falls (X, ·) ein einseitiges Einselement besitzt, ist dieses bereits ein zweiseitiges
Einselement und somit (X, ·) eine unipotente Loop.
Aufgabe 1.28 Für jedes Gruppoid (X, ·) und jedes a ∈ X wird die Linkstranslation λa : X → X durch λa (x) = a · x und die Rechtstranslation %a : X → X
durch %a (x) = x · a für alle x ∈ X definiert. Was besagen dann die Surjektivität
bzw. Injektivität von λa oder %a ? Durch welche Eigenschaften der Translationen
lassen sich also (semisymmetrische) Quasigruppen charakterisieren?
Aufgabe 1.29 Ein Element e` einer Halbgruppe H = (X, ·) ist genau dann
Linkseinselement von H, wenn es linkskürzbar und idempotent ist. Besitzt ein
linkskürzbares Gruppoid G = (X, ·) ein Rechtseinselement er , so ist dies das
einzige idempotente Element. Insbesondere ist das Einselement eines kürzbaren
Monoids (erst recht: einer Gruppe) das einzige idempotente Element.
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Aufgabe 1.30 Es sei (R, +, ·) ein Ring und
X=
a b
b a
∈ M2,2 (R) | a, b ∈ R .
Dann ist H = (X, ·) mit der gewöhnlichen Matrizenmultiplikation eine Halbgruppe, die genau dann kommutativ ist, wenn R diese Eigenschaft hat. Besitzt
R ein Einselement, so ist H ein Monoid. Man bestimme für den Fall, daß R ein
kommutativer Körper ist, sämtliche idempotenten Elemente von H.
Aufgabe 1.31 Es sei (R, +, ·) ein Ring mit Einselement 1 und
X=


 1

0





a b


1 c  ∈ M3,3 (R) | a, b, c ∈ R .


0 0 1
Dann ist G = (X, ·) mit der gewöhnlichen Matrizenmultiplikation eine Gruppe,
die Heisenberggruppe (Werner Heisenberg, 1901 - 1976) über R. Derartige Gruppen haben Anwendungen in der Quantenmechanik.
Aufgabe 1.32 Es sei (R, +, ·) ein Ring mit Einselement 1 und
GLn (R) = {A ∈ Mn,n (R) | A invertierbar }
die volle lineare Gruppe. Geben Sie für n > 1 Matrizen A, B ∈ GLn (R) mit
A · B 6= B · A an.
Im Fall eines endlichen Körpers R = GF (q) mit q = pk Elementen für eine
Primzahl p und k ∈ N schreibt man für diese Gruppe auch kurz GLn (q). Zeigen
Sie
n−1 n
|GLn (q)| = Πν=0
(q − q ν ).
(Der entsprechende Eintrag in der Wikipedia (Stand: November 2016) auf der Seite https://de.wikipedia.org/wiki/Allgemeine lineare Gruppe ist falsch. Die nach
dem dortigen Artikel [1], Theorem 2.2.2 zitierte Formel gibt die Anzahl der invertierbaren n × n-Matrizen über dem Restklassenring (Z/(pk ), +, ·) an. Dieser
hat zwar auch die Ordnung pk , enthält aber Nullteiler, z. B. die Restklasse [p],
und ist daher nicht der endliche Körper GF (pk )!)
Aufgabe 1.33 Die unendliche kürzbare Halbgruppe (N, ·) ist bekanntlich keine
Gruppe. Dagegen ist jede endliche kürzbare Halbgruppe bereits eine Gruppe.
12
Aufgabe 1.34 Jede endliche linkseinfache und linkskürzbare Halbgruppe ist bereits eine Gruppe.
Aufgabe 1.35 Jedes unipotente Monoid ist eine abelsche Gruppe.
Aufgabe 1.36 Sind a und b Elemente einer Gruppe G, so gilt genau dann ab =
ba, wenn für drei direkt aufeinander folgende natürliche Exponenten ki jeweils
gilt aki bki = (ab)ki .
Aufgabe 1.37 Es sei G 0 die Nullgruppe zu der einelementigen Gruppe G = {e}.
Bilden Sie das direkte Produkt G 0 × L mit der zweielementigen Linkszerohalbgruppe L.
Aufgabe 1.38 Es sei G = (X, ·) eine Gruppe und a ∈ X. Durch x ∗ y = x · a · y
für alle x, y ∈ X wird auf X eine binäre Verknüpfung definiert, so daß (X, ∗)
ebenfalls eine Gruppe ist.
Aufgabe 1.39 Auf den reellen Zahlen werde durch x ∗ y = x + y − x · y für alle
x, y ∈ R eine kommutative binäre Operation definiert. Prüfen Sie, ob (R, ∗) eine
Halbgruppe, ein Monoid bzw. eine Gruppe ist.
Aufgabe 1.40 Ein Element a einer Halbgruppe H = (X, ·) heißt regulär, wenn
es ein x ∈ X mit a = axa gibt. Hieraus folgt dann offensichtlich ax, xa ∈ E(X).
Insbesondere ist auch jedes idempotente Element von H regulär. Man nennt H
eine reguläre Halbgruppe, wenn jedes ihrer Elemente regulär ist. Jedes Band ist
daher regulär. Man zeige, daß die folgenden drei Bedingungen für jede reguläre
Halbgruppe H gleichwertig sind.
a) Es gibt genau ein idempotentes Element in H.
b) H ist kürzbar.
c) H ist eine Gruppe.
Aufgabe 1.41 In der Transformationshalbgruppe (TM , ◦) sind genau die konstanten Abbildungen linksabsorbierend und genau die injektiven Abbildungen
linkskürzbar.
13
Aufgabe 1.42 Zeigen Sie, daß jede Transformationshalbgruppe TM regulär ist.
Dagegen sind die freien Halbgruppen nicht regulär.
Aufgabe 1.43 Ein Element a einer Halbgruppe H = (X, ·) heißt coregulär, wenn
es ein x ∈ X mit a = axa = xax gibt. Man nennt H eine coreguläre Halbgruppe, wenn jedes ihrer Elemente coregulär ist. Man zeige, daß a ∈ X genau dann
coregulär ist, wenn a3 = a gilt. Insbesondere ist also jedes idempotente Element
coregulär und jedes coreguläre Element regulär. Weiterhin sind in einer Gruppe
außer dem Einselement e genau die Involutionen, also die Elemente mit a2 = e,
coregulär. Unter den Gruppen sind daher genau die Booleschen Gruppen coregulär.
Aufgabe 1.44 Ist a reguläres Element einer Halbgruppe H = (X, ·) und x ∈ X
mit axa = a, dann erfüllt x0 = xax die Gleichungen ax0 a = a und x0 ax0 = x0 .
Man nennt jedes derartige Element x0 ein Inverses von a. Die reguläre Halbgruppe
H = (X, ·) heißt inverse Halbgruppe, wenn jedes Element a ∈ X ein eindeutig
bestimmtes Inverses besitzt, das dann mit a−1 bezeichnet wird. Jede Gruppe ist
also eine inverse Halbgruppe und das Inverse in der Gruppe stimmt mit dem
Inversen in der inversen Halbgruppe überein. Man zeige, daß für jede reguläre
Halbgruppe H = (X, ·) gleichwertig sind:
a) H ist inverse Halbgruppe.
b) Für alle a, x, y ∈ X gilt a = axa = aya =⇒ xax = yay.
c) Je zwei idempotente Elemente e, f ∈ X sind vertauschbar gemäß ef = f e.
Hieraus folgt, daß dann b−1 a−1 Inverses von ab für beliebige Elemente a, b ∈ X
einer inversen Halbgruppe ist.
Aufgabe 1.45 Eine Halbgruppe H = (X, ·) heißt linksreduktiv [rechtsreduktiv],
wenn für alle a, b ∈ X aus xa = xb [ax = bx] für alle x ∈ X bereits a = b folgt.
Eine linksund rechtsreduktive Halbgruppe heißt reduktiv. Zeigen Sie, daß jede
inverse Halbgruppe reduktiv ist.
Aufgabe 1.46 Elemente a, b ∈ X einer Halbgruppe H = (X, ·) heißen antiinvers zueinander, wenn a = bab und b = aba gelten. Zeigen Sie, daß a, b ∈ X
genau dann anti-invers zueinander sind, wenn a2 = b2 , ba = a3 b, ab = b3 a, a5 = a
und b5 = b gelten. Insbesondere ist also jedes coreguläre Element anti-invers
zu sich selbst und jedes Element, zu dem ein Anti-Inverses existiert, ist regulär,
besitzt also ein Inverses. Die Halbgruppe H = (X, ·) heißt anti-invers, wenn jedes
Element a ∈ X ein Anti-Inverses b ∈ X besitzt.
14
Aufgabe 1.47 Eine Halbgruppe H = (X, ·) heißt separativ, wenn
i) x2 = xy ∧ y 2 = yx =⇒ x = y und ii) x2 = yx ∧ y 2 = xy =⇒ x = y
für alle x, y ∈ X gelten. Offensichtlich ist daher jede kürzbare Halbgruppe separativ. Zeigen Sie, daß in separativen Halbgruppen für a, b ∈ E(X) = {x ∈ X |
x2 = x} bereits ab = ba gilt. (Hinweis: Zeigen Sie zunächst, daß aus i) schon
aba = ba und bab = ab folgt und hieraus mit ii) dann die Behauptung.)
Aufgabe 1.48 Eine Halbgruppe H = (X, ·) ist genau dann rektangulär, wenn
x2 = x und xy = xzy für alle x, y, z ∈ X gelten.
Aufgabe 1.49 Ein Gruppoid G = (X, ·) heißt nirgends kommutativ, wenn die
Implikation xy = yx =⇒ x = y für alle x, y ∈ X erfüllt ist. Zeigen Sie, daß eine
Halbgruppe genau dann rektangulär ist, wenn sie nirgends kommutativ ist.
Aufgabe 1.50 Eine Halbgruppe H = (X, ·) heißt schwach kommutativ, wenn
für alle x, y ∈ X eine natürliche Zahl n ∈ N und ein z ∈ X existieren, so daß
(xy)n = yzx gilt. Zeigen Sie, daß jede kommutative Halbgruppe auch schwach
kommutativ ist. Ebenso ist jede Gruppe bereits schwach kommutativ.
Aufgabe 1.51 Es sei (X, ·) eine Quasigruppe und a ∈ X. Durch (x · a) ∗ (a · y) =
x · y für alle x, y ∈ X wird eine binäre Operation ∗ auf X definiert, so daß (X, ∗)
eine Loop mit dem Einselement a · a ist.
Aufgabe 1.52 Es sei (X, +) eine abelsche Gruppe mit dem neutralen Element
0 und (X, ∗) ein Gruppoid. Weiterhin seien die Distributivgesetze x ∗ (y + z) =
x ∗ y + x ∗ z und (y + z) ∗ x = y ∗ x + z ∗ x für alle x, y, z ∈ X erfüllt. Dann wird
(X, +, ∗) auch ein (nicht notwendig assoziativer) Ring genannt. Zeigen Sie, daß 0
absorbierendes Element von (X, ∗) ist und daß (−x) ∗ y = x ∗ (−y) = −(x ∗ y) für
alle x, y ∈ X erfüllt ist. Gilt die Implikation x∗y = 0 =⇒ x = 0 oder y = 0 für alle
x, y ∈ X, so nennt man den Ring nullteilerfrei. Zeigen Sie, daß für jeden endlichen
nullteilerfreien Ring mit mindestens zwei Elementen (X \{0}, ∗) eine Quasigruppe
ist. Handelt es sich dabei sogar um eine Loop, so spricht man auch von einem
Quasikörper, da derartige Ringe eine Verallgemeinerung der endlichen Körper
darstellen, bei denen ja (X \{0}, ∗) eine (abelsche) Gruppe sein muß. Quasikörper
haben Anwendungen in der Kryptographie und der endlichen Geometrie.
15
Aufgabe 1.53 Es seien (H, +), (N, +), (N 0 , +) endliche Gruppen der Ordnung
n und (G, +) eine Gruppe der Ordnung n2 , die (N 0 , +) als Untergruppe enthält.
Eine Abbildung f : H → N heißt planar, wenn die Differenzabbildung δa : H →
N gemäß δa (x) = f (x+a)−f (x) für alle x ∈ H für jedes a 6= 0 aus H bijektiv ist.
Eine n-elementige Teilmenge R ⊆ G heißt eine relative (n, n, n, 1)-Differenzmenge
mit verbotener Untergruppe N 0 , wenn G \ N 0 = {r − r0 | r 6= r0 aus R} gilt und
jede Differenz r − r0 genau einmal auftritt. Zeigen Sie, daß eine Teilmenge R des
direkten Produktes G = H × N genau dann eine derartige Differenzmenge mit
verbotener Untergruppe N 0 = {0}×N ist, wenn eine planare Funktion f : H → N
mit R = {(x, f (x)) | x ∈ H} existiert.
Aufgabe 1.54 a) Es seien (H, +) = (N, +) = (Z/(3), +). Überprüfen Sie, ob
R = {(0, 0), (1, 1), (2, 1)} eine relative (3, 3, 3, 1)-Differenzmenge auf G = H × N
mit verbotener Untergruppe {0} × N ist.
b) Es seien (H, +) = (N, +) = (Z/(4), +). Überprüfen Sie, ob R =
{(0, 0), (0, 1), (1, 3), (3, 0)} eine relative (4, 4, 4, 1)-Differenzmenge auf G = H × N
mit verbotener Untergruppe N 0 für eine geeignete Untergruppe N 0 von G ist.
Aufgabe 1.55 Es sei (X, +, ∗) ein Quasikörper der Ordnung n. Auf G = X × X
werde eine Verknüpfung gemäß (x, y) ⊕ (x0 , y 0 ) = (x + x0 , y + y 0 + x ∗ x0 ) für
alle (x, y), (x0 , y 0 ) ∈ G definiert. Dann ist (G, ⊕) eine Gruppe, die (N, ⊕) =
({0} × X, ⊕) als Untergruppe enthält. Dabei ist (G, ⊕) genau dann abelsch, wenn
(X, ∗) kommutativ ist. Außerdem ist R = {(x, x ∗ x) | x ∈ X} eine relative
(n, n, n, 1)-Differenzmenge mit verbotener Untergruppe N . (Hinweis: In (G, ⊕)
ist (−x, −y + x ∗ x) das Entgegengesetzte von (x, y).)
Aufgabe 1.56 Es sei H = (X, +) eine kommutative Halbgruppe. Auf X 2 werde
durch
(x, y) ∼ (x0 , y 0 ) ⇐⇒ ∃z ∈ X : x + y 0 + z = x0 + y + z
für alle x, x0 , y, y 0 ∈ X eine Relation definiert. Zeigen Sie, daß es sich um eine
Äquivalenzrelation handelt.
Definiert man auf der Menge X 2 / ∼ der Äquivalenzklassen [(x, y)] eine binäre
Verknüpfung gemäß
[(x, y)] + [(x0 , y 0 )] = [(x + x0 , y + y 0 )],
so ist G(H) = (X 2 / ∼, +) eine abelsche Gruppe. Diese wird die Grothendiekgruppe von H genannt (Alexander Grothendiek, 1928 - ).
2 Untergruppen und Normalteiler
2
16
Untergruppen und Normalteiler
Definition 2.1 Es sei G = (X, ·) ein Gruppoid. Ein Untergruppoid U = (U, ·)
von G ist eine nichtleere Teilmenge U von X, so daß durch Einschränkung der
Verknüpfung · von X auf U ein Gruppoid entsteht. Ist dabei U sogar eine Halbgruppe bzw. Gruppe, so heißt sie Unterhalbgruppe bzw. Untergruppe von G.
Satz 2.2 Es sei G = (X, ·) ein Gruppoid und ∅ =
6 U ⊆ X. Genau dann ist (U, ·)
ein Untergruppoid von H, wenn
(12) U · U = {u · v | u, v ∈ U } ⊆ U
gilt. Mit G ist dann auch (U, ·) idempotent, kommutativ oder assoziativ. Ist G eine
Gruppe, so ist (U, ·) genau dann eine Untergruppe von G, wenn neben (12) noch
(13) U −1 = {u−1 | u ∈ U } ⊆ U
erfüllt ist. Jede Untergruppe einer Gruppe G besitzt dasselbe Einselement wie G.
Beweis: Offensichtlich bedeutet (12) gerade, daß u · v ∈ U für alle u, v ∈ U gilt,
daß also die Einschränkung der Multiplikation von X auf U selbst schon eine
Multiplikation auf U ist. Gilt die Idempotenz, Kommutativität oder Assoziativität für beliebige Elemente aus X, so gilt sie erst recht für beliebige Elemente
aus U . Jedoch kann natürlich U eine dieser Eigenschaften haben, ohne daß dies
auf (X, ·) zutrifft.
Sei nun (X, ·) eine Gruppe. Gilt neben (12) noch (13), dann folgt für jedes u ∈
U 6= ∅ auch u−1 ∈ U und daher mit (12) schon e = u·u−1 ∈ U für das Einselement
aus (X, ·). Dieses ist dann wegen u = e · u für alle u ∈ U ⊆ X auch Einselement
von (U, ·). Weiterhin zeigen die Gleichungen u · u−1 = e = u−1 · u in (X, ·),
daß u−1 ∈ U bereits Inverses von u in (U, ·) ist. Also ist (U, ·) eine Gruppe. Ist
umgekehrt (U, ·) eine Gruppe, also speziell eine Halbgruppe, so muß bereits (12)
gelten. Außerdem ist das Einselement e von (U, ·) idempotent auch in der Gruppe
(X, ·) und stimmt wegen Aufgabe 1.29 mit dem Einselement von (X, ·) überein.
Dann stimmen aber auch für jedes u ∈ U ⊆ X die Inversen in (U, ·) bzw. in (X, ·)
überein, da beide in (X, ·) liegen und dort das Inverse u−1 nach Folgerung 1.10
eindeutig bestimmt ist. Also gilt auch (13).
17
Bemerkung 2.3 In dem Monoid (N0 , ·) mit dem Einselement 1 ist (N, ·) Untermonoid mit demselben Einselement, während ({0}, ·) (einelementige) Untergruppe mit dem Einselement 0 6= 1 ist. Untermonoide von Monoiden müssen also im
Unterschied zu Untergruppen von Gruppen nicht dasselbe Einselement besitzen.
Andere Beispiele für diese Situation ergeben sich aus Aufgabe 1.23.
Beispiel 2.4 a) Für jedes Gruppoid G = (X, ·) ist U = X ein Untergruppoid
von G. Besitzt G ein Einselement e, dann ist E = {e} eine Untergruppe von G.
b) Für jede Halbgruppe H = (X, ·) ist das Zentrum Z(H) = {x ∈ X | xy =
yx für alle y ∈ X} von H leer oder eine Unterhalbgruppe von H. Das Einselement
e eines Monoids ist natürlich stets im Zentrum enthalten, und für jede Gruppe
H ist Z(H) eine Untergruppe von H.
c) Es sei H = (X, ·) ein Monoid. Dann ist U = {x ∈ X | x ist invertierbar in H}
eine Untergruppe von H, die Gruppe der Einheiten von H. So ist etwa die symmetrische Gruppe SM die Gruppe der Einheiten der Transformationshalbgruppe
TM . Die Gruppe der Einheiten in der Restklassenhalbgruppe (Z/(n), ·) der ganzen Zahlen Z modulo n ∈ N wird prime Restklassengruppe modulo n genannt
und mit Z/(n)∗ oder auch G(n) bezeichnet. Es ist nämlich die Restklasse [m] in
(Z/(n), ·) genau dann invertierbar, wenn ggT (n, m) = 1 gilt, wenn also n und m
relativ prim zueinander sind. Durch ϕ(n) = |Z/(n)∗ | wird die zahlentheoretisch
sehr wichtige Eulersche ϕ-Funktion ϕ : N → N definiert (Leonhard Euler, 1707 1783).
Eigenschaften der ϕ-Funktion werden im 2. Kapitel des Skriptes zur Zahlentheorie
hergeleitet:
www.mathe.tu-freiberg.de/∼hebisch/skripte/zahlenth/zahlenth.pdf
d) Jede Untergruppe einer symmetrischen Gruppe Sn heißt eine Permutationsgruppe. Speziell bildet jeweils An = {π ∈ Sn | sgn π = +1} eine derartige
Permutationsgruppe, die alternierende Gruppe der Ordnung n. Für n ≥ 2 gilt
|An | = n!2 .
e) In der Halbgruppe (BM , ◦) der binären Relationen bildet die Menge PM = {% ∈
BM | (x, y), (x, z) ∈ % =⇒ y = z für alle x, y, z ∈ X} aller partiellen Abbildungen
eine Unterhalbgruppe, die für M 6= ∅ ihrerseits die Transformationshalbgruppe
TM als Unterhalbgruppe enthält.
f) In S4 bildet V4 = {(1), (12)(34), (13)(24), (14)(23)} eine Untergruppe, die
Kleinsche Vierergruppe (Felix Klein, 1849 - 1925).
g) Ist H = (X, ·) ein kommutatives Monoid mit dem Einselement e, dann ist
für jedes n ∈ N die Menge µn (H) = {x ∈ X | xn = e} eine Untergruppe
18
der Einheitengruppe U . Sie wird die Gruppe der n-ten Einheitswurzeln von H
genannt. Für n | m ist dann offensichtlich µn (H) Untergruppe von µm (H).
h) Im Körper (C, +, ·) bildet der Einheitskreis
E = {z ∈ C | |z| = 1} = {eit | t ∈ R}
eine Untergruppe (E, ·) der Gruppe (C\{0}, ·). Die Ordnung von E ist überabzählbar und E enthält ihrerseits die Untergruppe U = {eit | t ∈ Q}, deren Ordnung
abzählbar unendlich ist. Außerdem sind in E sämtliche Gruppen µn (C) der n-ten
komplexen Einheitswurzeln enthalten.
Satz 2.5 Es sei (Ui , ·)i∈I eine Familie von Untergruppoiden eines Gruppoids G =
(X, ·). Dann ist D = ∩i∈I Ui entweder leer oder ein Untergruppoid von G. Der
Durchschnitt von Untergruppen einer Gruppe G ist stets eine Untergruppe von G.
Beweis: Ein Beispiel für D = ∅ sogar im Fall von Monoiden findet man in
Bemerkung 2.3. Hat man dagegen a, b ∈ D, so gilt a, b ∈ Ui für jedes i ∈ I, also
wegen (12) auch a · b ∈ Ui für jedes i ∈ I. Dies zeigt a · b ∈ D, woraus mit (12)
die Behauptung folgt.
Für Untergruppen einer Gruppe ist jedenfalls der Durchschnitt nicht leer, da das
Einselement der Gruppe in allen Untergruppen liegt. Also ist der Durchschnitt
(D, ·) in diesem Fall ein Untermonoid von (X, ·) mit demselben Einselement. Zu
u ∈ D, also u ∈ Ui für alle i ∈ I, liegt dann aber das Inverse aus (X, ·) in jeder
Untergruppe Ui und damit in D. Also ist auch (13) erfüllt und damit (D, ·) eine
Untergruppe.
Definition 2.6 Es sei H = (X, ·) eine Halbgruppe und ∅ =
6 A ⊆ X. Dann
T
heißt hAi = {U ⊆ X | U ist Unterhalbgruppe von H mit A ⊆ U } die von A
erzeugte Unterhalbgruppe von H und A ein Erzeugendensystem von hAi. Speziell
für A = {a} schreibt man kurz hai anstelle von h{a}i. Man nennt eine Halbgruppe
H = (X, ·) zyklisch oder monogen, wenn es ein a ∈ X mit X = hai gibt.
Bei Gruppen G = (X, ·) versteht man unter hAi dagegen den Durchschnitt aller
Untergruppen von G, die A enthalten. Da dieser Durchschnitt selbst wieder eine
Untergruppe ist, nennt man hAi dann die von A erzeugte Untergruppe von G.
Auch hier nennt man die Gruppe G zyklisch, wenn sie von einem Element erzeugt
wird.
Für Gruppoide (X, ·) und nichtleere Teilmengen A nennt man entsprechend hAi =
T
{U ⊆ X | U ist Untergruppoid von (X, ·) mit A ⊆ U } das von A erzeugte
Untergruppoid von (X, ·).
19
Beispiel 2.7 Die primen Restklassengruppen G(2), G(4) und G(pk ) für jede ungerade Primzahl p und jedes k ∈ N sind zyklisch. Dagegen ist G(2k ) für k ≥ 3
nicht zyklisch, sondern wird von {[−1], [5]} erzeugt.
πi
Beispiel 2.8 Für n ∈ N sei a = e n = cos( πn ) + i sin( πn ) ∈ C ⊂ H, wobei (H, +, ·)
den Schiefkörper der Quaternionen bezeichne. Dann ist C2n = hai eine zyklische
Untergruppe der multiplikativen abelschen Gruppe C∗ = C \ {0} des Körpers der
komplexen Zahlen. Weiterhin sei b = j ∈ H das entsprechende Basiselement der
Quaternionen. Die Untergruppe Dicn = h{a, b}i der nicht-kommutativen multiplikativen Gruppe H∗ wird dann die n-te dizyklische Gruppe genannt. Sie ist für
n > 1 nicht-kommutativ und es gilt (vgl. Aufgabe 2.55)
Dicn = {aν , aν b | ν = 0, . . . , 2n − 1}.
Also hat (Dicn , ·) die Ordnung 4n. Die Bezeichnung kommt daher, daß (im 4dimensionalen R-Vektorraum der Quaternionen) nicht nur die Elemente aν ein
regelmäßiges n-Eck aufspannen, sondern auch die Elemente aν b. Sie geht auf
George Abram Miller (1863 - 1951) zurück, der sie 1916 erstmals in dem Buch
Theory and application of finite groups (gemeinsam mit H. F. Blichfeldt und L.
E. Dickson) beschrieb.
Für n = 1 erhält man a = −1 und damit
Dic1 = {1, −1, j, −j} = {j, j 2 = −1, j 3 = −j, j 4 = 1} = hji,
d. h. diese Gruppe ist isomorph zur (kommutativen) zyklischen Gruppe C4 .
Für n = 2 erhält man a = i und damit
Dic2 = {1, i, −1, −i, j, ij, −j, −ij} = {1, −1, i, −i, j, −j, k, −k},
d. h. diese Gruppe ist isomorph zur nicht-kommutativen Quaternionengruppe
(vgl. Bemerkung 2.18). Sie ist neben der Diedergruppe D4 die einzige nichtkommutative Gruppe der Ordnung 8.
√
Für n = 3 erhält man a = 21 (1 + i 3), also a3 = −1, und damit
Dic3 = {1, a, a2 , −1, −a, −a2 , b, ab, a2 b, −b, −ab, −a2 b},
woraus man mit ba = a−1 b = a2 b dann leicht die Cayley-Tafel dieser nichtkommutativen Gruppe der Ordnung 12 aufstellen kann. Diese Gruppe, die Diedergruppe D6 und die alternierende Gruppe A4 sind die einzigen nicht-kommutativen
Gruppen der Ordnung 12.
Dizyklische Gruppen Dicn , für die n (und damit auch die Ordnung 4n) eine
Zweierpotenz ist, heißen auch verallgemeinerte Quaternionengruppen.
20
Satz 2.9 Es sei U = (U, ·) Untergruppe einer Gruppe G = (X, ·). Definiert man
für alle x, y ∈ X
(14) x ∼r y ⇐⇒ xy −1 ∈ U
und
x ∼` y ⇐⇒ x−1 y ∈ U,
dann sind ∼r und ∼` Äquivalenzrelationen auf X, die für alle x, y ∈ X
(15) x ∼r y ⇐⇒ x−1 ∼` y −1
erfüllen. Die zugehörigen Äquivalenzklassen sind für alle x ∈ X
(16) [x]∼r = U x = {ux | u ∈ U }
und
[x]∼` = xU = {xu | u ∈ U }.
Für jedes x ∈ X wird durch %x (u) = ux eine Bijektion %x : U → U x definiert.
Also gilt |U | = |U x| und ebenso |U | = |xU |. Bezeichnet X/ ∼r = {U x | x ∈ X}
bzw. X/ ∼` = {xU | x ∈ X} die Menge der jeweiligen Äquivalenzklassen, dann
wird durch ϕ(U x) = x−1 U ∈ X/ ∼` für alle U x ∈ X/ ∼r eine Bijektion ϕ : X/ ∼r
→ X/ ∼` definiert. Also gilt |X/ ∼r | = |X/ ∼` |.
Beweis: Zeige mit Hilfe von Satz 2.2, daß ∼r eine Äquivalenzrelation ist. Dann
folgt dual dasselbe für ∼` . Wegen xx−1 = e ∈ U ist ∼r reflexiv. Mit xy −1 ∈ U
liegt wegen (13) aber auch yx−1 = (xy −1 )−1 in U , also ist ∼r symmetrisch. Aus
xy −1 ∈ U und yz −1 ∈ U folgt wegen (12) auch xy −1 yz −1 = xz −1 ∈ U und damit
die Transitivität von ∼r .
Weiterhin gilt x−1 ∼` y −1 ⇐⇒ (x−1 )−1 y −1 = xy −1 ∈ U ⇐⇒ x ∼r y. Damit ist
auch (15) gezeigt.
Es ist y ∼r x gleichwertig zu yx−1 = u für ein u ∈ U , also zu y = ux ∈ U x. Dies
zeigt die richtige Beschreibung der Äquivalenzklassen von ∼r und die Behauptung
für ∼` folgt dual.
Die Injektivität der Rechtstranslationen %x (vgl. Aufgabe 1.28) folgt aus der
Rechtskürzbarkeit von x in der Gruppe (X, ·), die Surjektivität ist klar.
Da ϕ ebenfalls surjektiv ist, denn offensichtlich wird die Nebenklasse U x−1 auf
eine gegebene Nebenklasse xU abgebildet, bleibt die Injektivität zu zeigen. Aus
ϕ(U x) = ϕ(U y) folgt aber x−1 U = y −1 U , also x−1 ∼` y −1 . Dies führt wegen (15)
aber zu x ∼r y und damit zu U x = U y.
21
Definition 2.10 Die Äquivalenzklassen [x]∼r bzw. [x]∼` in Satz 2.9 heißen
Rechts- bzw. Linksnebenklassen von U in G. Die Anzahl |X/ ∼r | = |X/ ∼` |
heißt Index von U in G, in Zeichen: |G : U|.
Folgerung 2.11 (Satz von Lagrange, Joseph Louis Lagrange 1736 - 1813)
Für jede Untergruppe U einer Gruppe G gilt
(17) |G| = |G : U| · |U|.
Beweis: Sei zunächst |G| = ∞. Ist dann auch U eine unendliche Untergruppe von
G, so steht auch auf der rechten Seite ∞. Ist dagegen U eine endliche Untergruppe,
so muß es unendlich viele Nebenklassen geben, da alle gleich mächtig zu U sind
und damit die Vereinigung endlich vieler endlicher Klassen nicht die unendliche
Trägermenge von G ergeben könnte. Also sind wiederum beide Seiten von (17)
gleich.
Sei nun |G| endlich. Dann kann man die Elemente von X abzählen, indem man
die disjunkten |G : U| Nebenklassen abzählt, die aber alle |U| Elemente enthalten.
Hieraus folgt sofort (17).
Bemerkung 2.12 Die alternierende Gruppe A4 besitzt keine Untergruppe der
Ordnung 6. Sie zeigt also, daß sich die Aussage des Satzes von Lagrange in diesem
Sinn nicht umkehren läßt (vgl. aber die Sätze 2.38, 2.40 und 2.41).
Definition 2.13 Es sei G = (X, ·) ein Gruppoid. Eine Äquivalenzrelation ∼ auf
X heißt Kongruenzrelation auf G, wenn für alle x, y, z ∈ X gilt
(18) x ∼ y =⇒ xz ∼ yz und zx ∼ zy.
Lemma 2.14 Es sei (X, ·) ein Gruppoid und κi für i ∈ I 6= ∅ Äquivalenzrelation
T
auf X [Kongruenzrelation auf (X, ·)]. Dann ist κ = κi wieder eine Äquivalenzrelation auf X [Kongruenzrelation auf (X, ·)].
Beweis: Ist κi reflexiv für alle i ∈ I, dann gilt stets (x, x) ∈ κi für alle x ∈ X
T
und daher auch (x, x) ∈ κ = i∈I κi . Also ist auch κ reflexiv.
Gilt (x, y) ∈ κ für bestimmte x, y ∈ X, dann auch (x, y) ∈ κi für alle i ∈ I.
Ist nun jedes κi symmetrisch, so folgt (y, x) ∈ κi für alle i ∈ I und daher auch
(y, x) ∈ κ. Also ist dann κ ebenfalls symmetrisch.
22
Gelten (x, y), (y, z) ∈ κ für bestimmte x, y, z ∈ X, dann auch (x, y), (y, z) ∈ κi
für alle i ∈ I. Ist nun jedes κi transitiv, so folgt (x, z) ∈ κi für alle i ∈ I und
daher auch (x, z) ∈ κ. Also ist dann auch κ transitiv.
Damit ist die Behauptung für Äquivalenzrelationen bewiesen.
Seien nun sogar alle κi Kongruenzrelationen auf (X, ·). Für (x, y) ∈ κ und z ∈ X
gilt dann (x, y) ∈ κi für alle i ∈ I und damit auch (xz, yz) ∈ κi sowie (zx, zy) ∈ κi
für alle i ∈ I. Hieraus folgt aber (xz, yz), (zx, zy) ∈ κ und damit ist auch κ eine
Kongruenzrelation auf (X, ·).
Definition 2.15 Es sei G = (X, ·) ein Gruppoid und % ⊆ X × X eine beliebige
T
Relation auf X. Dann heißt die Kongruenzrelation κ% = {κi | κi ist Kongruenzrelation auf G mit % ⊆ κi } die von % erzeugte Kongruenzrelation auf G.
Satz 2.16 Für jede Untergruppe (U, ·) einer Gruppe G = (X, ·) sind äquivalent:
a) ∼r ist Kongruenzrelation auf G.
b) ∼` ist Kongruenzrelation auf G.
c) ∼r und ∼` stimmen überein.
d) Für alle x ∈ X gilt
(19) U x = xU.
In diesem Fall schreibt man X/U für X/ ∼r = X/ ∼` . Auf X/U wird dann durch
repräsentantenweises Rechnen gemäß
(20) U x · U y = U (xy)
für alle U x, U y ∈ X/U
eine Multiplikation definiert und (X/U, ·) ist eine Gruppe.
Beweis: Erfolgt in der Vorlesung!
Definition 2.17 Eine Untergruppe U = (U, ·) einer Gruppe G = (X, ·), die (19)
für alle x ∈ X erfüllt, nennt man einen Normalteiler von G und G/U = (X/U, ·)
heißt dann die Faktorgruppe von G nach U.
23
Den Begriff “Normalteiler” hat Heinrich Martin Weber (1842 - 1913) in seinem
Lehrbuch der Algebra, Band 1, S. 511, Braunschweig 1895 eingeführt.
Bemerkung 2.18 a) Eine Gruppe, in der jede Untergruppe bereits ein Normalteiler ist, wird eine Dedekindsche Gruppe genannt (Julius Wilhelm Richard Dedekind, 1831 - 1916). Daher ist jede abelschen Gruppe eine solche Dedekindsche
Gruppe. Man nennt jede nichtkommutative Dedekindsche Gruppe eine Hamiltonsche Gruppe (William Rowan Hamilton, 1805 - 1865). Die kleinste Hamiltonsche Gruppe ist die Quaternionengruppe Q8 , die aus den acht Quaternionen
±1, ±i, ±j und ±k besteht (vgl. Aufgabe 2.67). Richard Dedekind, von dem diese
Bezeichnungen stammen, zeigte in seinem Artikel Ueber Gruppen, deren sämmtliche Theiler Normaltheiler sind, Mathematische Annalen 1897, S. 548 - 561, daß
jede Hamiltonsche Gruppe ein direktes Produkt Q8 ×G mit einer geeigneten abelschen Gruppe G ist. Dedekind selbst schlug für die heute nach ihm benannten
Gruppen übrigens die Bezeichnung “Normalgruppen” vor.
b) In der abelschen Gruppe (Z, +) gibt es genau die Untergruppen (nZ, +) für n ∈
N0 . Hierdurch erhält man die Restklassengruppen (Z/(n), +) als Faktorgruppen.
c) In jeder Gruppe G ist das Zentrum Z(G) Normalteiler.
Definition 2.19 Eine Gruppe G mit dem Einselement e heißt einfach, wenn sie
nur die trivialen Normalteiler G und E = {e} besitzt.
Beispiel 2.20 a) Jede Gruppe von Primzahlordnung ist einfach und zyklisch,
also abelsch.
b) Die alternierenden Gruppen An für n ≥ 5 (und n = 1, 2, 3) sind einfach. Die
Gruppe A5 der Ordnung 60 ist die kleinste nicht abelsche einfache Gruppe. A4
besitzt die Kleinsche Vierergruppe V4 als Normalteiler.
c) Eine weitere unendliche Familie endlicher einfacher Gruppen wird in Beispiel 3.8 d) angegeben. Es gibt insgesamt 18 derartige Familien.
Bemerkung 2.21 Würde man die Einfachheit einer Gruppe G dadurch definieren, daß G nur die Untergruppen G und E haben darf, so wären nur die zyklischen
Gruppen von Primzahlordnung einfach. Diese sind aber “zu einfach”. Mit der obigen Definition bleiben dagegen viele interessante einfachen Gruppen übrig.
Lemma 2.22 Ist U Untergruppe einer Gruppe G mit |G : U| = 2, dann ist U
Normalteiler von G.
24
Beweis: Wegen |G : U| = 2 gibt es also genau zwei Links- und zwei Rechtsnebenklassen von U . Da U immer sowohl Links- als auch Rechtsnebenklasse ist, muß
die zweite Nebenklasse dann in beiden Fällen X \ U sein. Also stimmen Linksund Rechtsnebenklassen überein und damit ist U Normalteiler.
Beispiel 2.23 Die alternierende Gruppe An ist Normalteiler der symmetrischen
Gruppe Sn .
Definition 2.24 a) Zwei Elemente x, y einer Gruppe G = (G, ·) heißen konjugiert
zueinander, wenn ein Element g ∈ G mit y = gxg −1 existiert. Die Menge xG =
{xg = gxg −1 | g ∈ G} heißt die Konjugiertenklasse von x in G und die Elemente
xg die Konjugierten von x. Ist |xG | endlich, so heißt diese Anzahl die Klassenlänge
von x.
b) Ist G = (G, ·) eine Gruppe und x ∈ G, so nennt man
(21) ZG (x) = {g ∈ G | xg = x}
den Zentralisator von x in G (vgl. Aufgabe 2.71).
c) Ist U = (U, ·) Untergruppe einer Gruppe G = (G, ·) , so heißt
(22) U g = gU g −1 = {gug −1 | u ∈ U }
für jedes g ∈ G eine zu U konjugierte Untergruppe in G. Weiterhin heißt
(23) NG (U ) = {g ∈ G | U g = U }
der Normalisator von U in G (vgl. Aufgabe 2.75).
Im folgenden bezeichne P die Menge der Primzahlen.
Definition 2.25 Es sei p ∈ P und G = (G, ·) eine endliche Gruppe. Dann heißt
G eine p-Gruppe, wenn |G| = pn für ein n ∈ N0 gilt. Eine Untergruppe U von G
heißt eine p-Sylow-Untergruppe (Peter Ludwig Mejdell Sylow, 1832 - 1918), wenn
U eine p-Gruppe ist und die Ordnung pk von U die höchste Potenz von p ist,
welche die Ordnung von G teilt.
25
Beispiel 2.26 Jede elementar abelsche Gruppe ist also eine abelsche p-Gruppe.
Die Quaternionengruppe Q8 ist wegen | Q8 |= 8 = 23 eine nicht abelsche pGruppe mit dem Zentrum Z(Q8 ) = {−1, 1}.
Satz 2.27 Für eine p-Gruppe G 6= {e} gilt Z(G) 6= {e}.
Beweis: Betrachte die Relation x ∼ y ⇐⇒ y = gxg −1 für ein g ∈ G. Nach
Aufgabe 2.57 ist dies eine Äquivalenzrelation und für die zugehörigen Klassen
gilt nach Aufgabe 2.71 |xG | = 1 ⇐⇒ x ∈ Z(G) ⇐⇒ ZG (x) = G. Für jedes
x ∈ G \ Z(G) ist also ZG (x) 6= G und daher |xG | = |G : ZG (x)| > 1. Nach dem
Satz von Lagrange gilt aber
pn = |G| = |G : ZG (x)| · |ZG (x)|.
Da der rechte Faktor nicht gleich pn sein kann, wird der linke Faktor von p geteilt
und daher auch |xG | für jedes derartige x. Mit Hilfe der Klasseneinteilung nach
dieser Äquivalenzrelation kann man die Elemente von G abzählen gemäß der
Klassengleichung
|G| = |Z(G)| +
r
X
|xG
i |,
i=1
wobei die xi die r verschiedenen Klassen von ∼ repräsentieren, die mehr als ein
Element enthalten. Im Fall r = 0 gilt Z(G) = G =
6 {e} und damit offensichtlich
P
die Behauptung. Sonst wird jeder Summand in der Summe ri=1 |xG
i | von p geteilt
n
und damit auch |Z(G)| als Differenz von |G| = p und dieser Summe. Dann kann
aber nicht |Z(G)| = 1 sein.
Folgerung 2.28 a) Ist für die Gruppe G und das Zentrum Z(G) die Faktorgruppe
G/Z(G) zyklisch, so ist G abelsch.
b) Ist G Gruppe der Ordnung p2 für ein p ∈ P, so ist G abelsch.
Beweis: a) Die zyklische Gruppe G/Z(G) werde von der Restklasse [x] erzeugt.
Sind also a, b ∈ G beliebig, so existieren zu den Restklassen [a], [b] Exponenten
k, ` ∈ Z mit [a] = [x]k = [xk ] und [b] = [x]` = [x` ]. Dann gilt aber a = xk z1 und
b = x` z2 mit zi ∈ Z(G). Es folgt ab = xk z1 x` z2 = xk+` z1 z2 = x`+k z2 z1 = ba, da
z1 und z2 mit allen Elementen vertauschbar sind. (Dies ist auch für Z(G) = {e}
richtig!)
b) Es ist Z(G) 6= {e} nach Satz 2.27. Also gilt nach dem Satz von Lagrange
entweder |Z(G)| = p oder |Z(G)| = p2 . Im ersten Fall hätte man |G/Z(G)| = p,
d. h. G/Z(G) wäre eine Gruppe von Primzahlordnung und damit zyklisch. Nach
a) wäre dann aber G abelsch und somit hätte Z(G) = G die Ordnung p2 , was nicht
sein kann. Also gilt in jedem Fall |Z(G)| = p2 und damit natürlich Z(G) = G,
d. h. G ist abelsch.
26
Bemerkung 2.29 Es gilt über b) hinaus: Jede Gruppe der Ordnung p2 ist entweder zyklisch oder wird von zwei Elementen der Ordnung p erzeugt.
Otto Ludwig Hölder (1859 - 1937) gab in seinem Artikel Die Gruppen der Ordnungen p3 , pq 2 , pqr, p4 , Mathematische Annalen 43 (1893), 301 - 400, eine entsprechende Klassifikation sämtlicher Gruppen dieser Ordnungen an.
Satz 2.30 Ist G = (G, ·) eine p-Gruppe mit |G| = pn , so gibt es eine Kette
G = H0 ⊇ H1 ⊇ . . . ⊇ Hn = E
von Normalteilern Hi von G mit |Hi−1 : Hi | = p für i = 1, . . . , n.
Definition 2.31 a) Es sei G = (G, ·) eine Gruppe und g ∈ G. Falls ein n ∈ N
mit g n = e existiert, so nennt man
(24) ord(g) = min{n ∈ N | g n = e}
die Ordnung von g in G, andernfalls schreibt man ord(g) = ∞ (vgl. Aufgabe 2.76).
Ein Element endlicher Ordnung von G wird auch ein Torsionselement genannt,
ist seine Ordnung gleich 2, so spricht man von einer Involution. Eine abelsche
Gruppe, in der jedes Element endliche Ordnung hat, heißt eine Torsionsgruppe,
ist dagegen das Einselement einziges Torsionselement, so spricht man von einer
torsionsfreien Gruppe.
b) Ist P ⊆ P, so heißt g ∈ G ein P -Element, wenn alle Primteiler von ord(g) < ∞
in P liegen. Im Falle P = {p} spricht man von einem p-Element.
c) Existiert ein n ∈ N mit g n = e für alle g ∈ G, so nennt man das kleinste
derartige n den Exponenten von G, andernfalls ist der Exponent von G unendlich.
d) Der (nach Lemma 2.34 stets endliche) Exponent der primen Restklassengruppe (Z/(n)∗ , ·) wird mit λ(n) bezeichnet und die Funktion λ : N → N heißt
Carmichael-Funktion (Robert Daniel Carmichael, 1879 - 1967).
Bemerkung 2.32 Zwischen der Eulerschen ϕ-Funktion (vgl. Beispiel 2.4 c)) und
der Carmichael-Funktion bestehen die folgenden Zusammenhänge
λ(1) = 1 = ϕ(1)
λ(2)
λ(4)
λ(2k )
λ(pk )
=
=
=
=
27
1 = ϕ(2)
2 = ϕ(4)
2k−2 | 2k−1 = ϕ(2k ), k > 2
pk−1 (p − 1) = ϕ(pk ), p > 2, k > 0
λ(pk11 . . . pk` ` ) = kgV {λ(pk11 ), . . . , λ(pk` ` )} |
`
Y
ν=1
=
ϕ(pk11
λ(pkνν ) |
`
Y
ϕ(pkνν )
ν=1
· · · pk` ` ).
Beispielsweise gilt λ(12) = λ(22 · 3) = kgV {λ(4), λ(3)} = 2 und ϕ(12) =
ϕ(22 )ϕ(3) = 2 · 2 = 4. Dies liegt daran, daß Z/(12)∗ = {[1], [5], [−5], [−1]} die
Ordnung 4 hat, aber jedes Element a 6= e dieser Gruppe die Ordnung 2.
Beispiel 2.33 a) Jede endliche abelsche Gruppe ist offensichtlich eine Torsionsgruppe mit einem endlichen Exponenten.
b) Das direkte Produkt (Z/(2)∞ , +) von (abzählbar) unendlich vielen Exemplaren
der Gruppe (Z/(2), +) ist eine unendliche Torsionsgruppe, in der jedes Element
eine Involution ist, also ein 2-Element. Daher hat (Z/(2)∞ , +) den Exponenten
2.
c) Die Faktorgruppe (Q/Z, +) ist eine unendliche Torsionsgruppe, in der die Menge {ord(a) | a ∈ Q/Z} nach oben nicht beschränkt ist. Also ist der Exponent von
(Q/Z, +) unendlich.
d) Definiert man Qp = { m
∈ Q | n = pk , k ∈ N0 } für eine feste Primzahl p, so ist
n
(Qp , +) eine Untergruppe von (Q, +), die (Z, +) enthält. Daher ist (Qp /Z, +) eine
unendliche Torsionsgruppe, die eine p-Gruppe ist und in der die Ordnungen der
Elemente ebenfalls nach oben nicht beschränkt sind.
e) Die Gruppe (Z, +) ist torsionsfrei, ihr Exponent also unendlich.
Lemma 2.34 Es sei g Element einer Gruppe G = (G, ·) mit ord(g) = n < ∞.
Dann gelten:
a) Aus g k = e für ein k ∈ Z folgt n | k.
b) Hat G = (G, ·) endliche Ordnung, so gilt n | |G|. Hieraus folgt g |G| = e.
Beweis: a) Es ist also n = min{m ∈ N | g m = e}. Für g k = e betrachte die
Division mit Rest k = qn + r mit 0 ≤ r < n. Dann gilt e = g k = g qn g r =
(g n )q g r = eq g r = g r . Wegen der Minimalität von n zeigt dies r = 0, also n | k.
28
b) Nach Aufgabe 2.76 gilt n = ord(g) = |hgi| und nach dem Satz von Lagrange
teilt die Ordnung dieser (zyklischen) Untergruppe die Gruppenordnung |G|. Also
gilt |G| = n · d mit einem d ∈ N. Hieraus folgt g |G| = g n·d = ed = e.
Folgerung 2.35 (Satz von Euler) Ist n ∈ N und a ∈ Z zu n teilerfremd, so gilt
(25) aϕ(n) ≡ 1 mod n.
Beweis: Für zu n teilerfremdes a liegt die Restklasse [a] modulo n in der primen
Restklassengruppe G(n) und für diese gilt ϕ(n) = |G(n)|. Nach dem vorherigen
Satz folgt [a]|G(n)| = [a]ϕ(n) = [1] in dieser Gruppe, also (25).
Folgerung 2.36 (Kleiner Fermatscher Satz, Pierre de Fermat, 1601 - 1655) Ist
p eine Primzahl und a ∈ Z zu p teilerfremd, so gilt
(26) ap−1 ≡ 1 mod p.
Beweis: Dies folgt wegen ϕ(p) = p − 1 für Primzahlen p unmittelbar aus dem
Satz von Euler.
Bemerkung 2.37 a) Man kann im Satz von Euler ϕ(n) durch den Exponenten
λ(n), also den Wert der Carmichael-Funktion ersetzen.
b) Man kann den kleinen Fermatschen Satz zu einem Primzahltest benutzen: Ist
n ∈ N beliebig und gilt an 6≡ 1 mod n für eine zu n teilerfremde Zahl a ∈ Z, so
kann n keine Primzahl sein. Allerdings gibt es zusammengesetzte Zahlen n, die
an ≡ 1 mod n für alle zu n teilerfremden Zahlen a ∈ Z erfüllen. Diese Zahlen
werden Pseudo-Primzahlen oder Carmichael-Zahlen genannt.
Satz 2.38 Es sei G = hgi eine zyklische Gruppe der Ordnung n.
a) Alle Untergruppen von G sind zyklisch. Genauer: Für jeden Teiler d von n
n
existiert genau eine Untergruppe von G der Ordnung d. Diese wird von g d erzeugt.
b) Für jedes k ∈ Z wird G genau dann von g k erzeugt, wenn ggT (n, k) = 1 gilt.
c) Es gilt ord(g k ) =
n
für alle k ∈ Z.
ggT (n, k)
29
Lemma 2.39 Der Exponent einer endlichen Gruppe G = (G, ·) ist ein Teiler der
Gruppenordnung |G|. Ist G endliche abelsche Gruppe, dann teilt |G| eine Potenz
des Exponenten.
Beweis: Der Exponent von G ist das kleinste gemeinsame Vielfache der Ordnungen ng = ord(g) für alle g ∈ G. Da ng nach Lemma 2.34 b) für alle g ∈ G Teiler
von |G| ist, gilt dies auch für das kleinste gemeinsame Vielfache.
Die zweite Aussage ist offensichtlich für zyklische Gruppen richtig, da dann die
Gruppenordnung gleich dem Exponenten ist. Sonst wird der Beweis durch Induktion nach n = |G| geführt. Für n = 1, also G = {e}, ist die Aussage trivial. Es
wird also vorausgesetzt, daß die Aussage für alle Gruppen einer Ordnung kleiner
als n richtig ist. Wählt man dann ein Element a 6= e in G, so ist H = (H, ·) mit
H = hai =
6 {e} echte Untergruppe von G, denn diese Gruppe soll ja nicht zyklisch
sein. Der Exponent kgV {ord(g) | g ∈ H} von H teilt aber stets den Exponenten
kgV {ord(g) | g ∈ G} von G und wegen g n = e =⇒ [g]n = [e] gilt ord([g])|ord(g)
für alle g ∈ G und damit kgV {ord([g]) | [g] ∈ G/H}|kgV {ord(g) | g ∈ G}. Also
teilt der Exponent von G/H auch den Exponenten von G. Nach Induktionsvoraussetzung teilt dann die Gruppenordnung von H eine Potenz des Exponenten
(von H und damit) von G und auch die Gruppenordnung von G/H teilt eine Potenz des Exponenten (von G/H und damit) von G. Dann teilt auch das Produkt
|H| · |G/H| eine Potenz des Exponenten von G. Nach dem Satz von Lagrange gilt
aber |G| = |G/H| · |H|.
Satz 2.40 (Satz von Cauchy, Augustin-Louis Cauchy, 1789 - 1857) Ist G = (G, ·)
endliche abelsche Gruppe und p ein Primteiler der Gruppenordnung |G|, dann
besitzt G eine Untergruppe der Ordnung p.
Beweis: Da p ein Primteiler von |G| ist, teilt p als Primzahl nach Lemma 2.39
nicht nur eine Potenz des Exponenten sondern auch den Exponenten von G selbst,
also das kleinste gemeinsame Vielfache aller Ordnungen der Elemente g ∈ G.
Deshalb gibt es wenigstens ein g ∈ G mit p | ord(g), d. h. ord(g) = pk für
ein k ∈ N. Andernfalls käme p nicht in der Primfaktorzerlegung des kleinsten
gemeinsamen Vielfachen vor. Dann ist p aber die Ordnung von g k und daher
U = hg k i eine Untergruppe der Ordnung p.
Satz 2.41 (Erster Sylowscher Satz, 1872) Es sei G = (G, ·) eine endliche Gruppe
und pk für ein k ∈ N0 und eine Primzahl p ein Teiler der Gruppenordnung n =
|G|. Dann besitzt G eine Untergruppe der Ordnung pk . Insbesondere hat G eine
p-Sylow-Untergruppe.
30
Beweis: Der Beweis erfolgt über Induktion nach n, wobei der Fall n = 1 trivial
und der Fall n = 2 = p = p1 für die zyklische Gruppe C2 offensichtlich ist.
(Dasselbe gilt natürlich für jede Primzahl n = p.)
Gelte der Satz also für alle Gruppen mit einer Ordnung, die echt kleiner als n ist.
Teilt nun p nicht nur die Ordnung von G, sondern sogar die Ordnung des Zentrums
Z(G), welches ja eine abelsche Gruppe ist, so folgt nach dem Satz von Cauchy,
daß eine Untergruppe N von Z(G) mit |N | = p existiert. Als Untergruppe des
Zentrums ist N aber Normalteiler von G und die Gruppe G/N hat eine kleinere
Ordnung als G und nach dem Satz von Lagrange gilt |G| = |G : N |·|N | = |G/N |·p.
Also teilt pk−1 die Ordnung von G/N und nach Induktionsvoraussetzung existiert
eine Untergruppe U 0 von G/N der Ordnung pk−1 . Das Urbild U = ϕ−1 (U 0 ) unter
der Abbildung ϕ : G → G/N gemäß ϕ(x) = [x] für alle x ∈ G ist eine Untergruppe von G, die N als Normalteiler enthält und daher wiederum nach dem Satz von
Lagrange die Ordnung |U | = |U : N | · |N | = |U 0 | · |N | = pk−1 · p = pk besitzt.
Ist dagegen p kein Teiler der Ordnung des Zentrums Z(G), was insbesondere
Z(G) 6= G bedeutet, so folgt aus der Klassengleichung (vgl. Beweis von Satz 2.27)
|G| = |Z(G)| +
r
X
|xG
i |,
i=1
daß es wenigstens ein xi ∈ G \ Z(G) gibt, für das |xG
i | = |G : ZG (xi )| > 1 ist
und nicht von p geteilt wird. Wieder zeigt der Satz von Lagrange |G| = |G :
ZG (xi )| · |ZG (xi )|, daß pk ein Teiler der Gruppenordnung |ZG (xi )| ist und diese
Gruppe hat eine Ordnung, die wegen der Klassengleichung echt kleiner als die
Ordnung von G ist. Daher existiert eine Untergruppe U von ZG (xi ), und damit
von G, welche die Ordnung pk besitzt.
Bemerkung 2.42 Aus dem ersten Sylowschen Satz erhält man für k = 1
die Aussage des Satzes von Cauchy auch für nicht-kommutative Gruppen. In
zwei weiteren Sätzen hat Sylow die Eigenschaften und die Anzahl von p-SylowUntergruppen bestimmt. Diese Aussagen sind ein wichtiges Hilfsmittel bei der
Bestimmung der Struktur endlicher Gruppen.
Aufgabe 2.43 Es sei G = (X, ·) ein Gruppoid und Ui für i ∈ I 6= ∅ Untergruppoide von G mit der Eigenschaft
(*) zu i, j ∈ I existiert stets ein k ∈ I mit Ui ∪ Uj ⊆ Uk .
Dann ist auch U = i∈I Ui ein Untergruppoid von G. Sind dabei alle Ui Quasigruppen [Halbgruppen, Gruppen], so gilt dasselbe auch für U .
S
31
Die Eigenschaft (*) ist insbesondere dann erfüllt, wenn für alle i, j ∈ I stets
Ui ⊆ Uj oder Uj ⊆ Ui gilt, wenn die Mengen Ui also eine Kette bilden.
Aufgabe 2.44 Seien U = (U, ·) und V = (V, ·) Untergruppen einer Gruppe
G = (X, ·).
a) Genau dann ist U V ebenfalls eine Untergruppe von G, wenn U V = V U gilt.
b) Sind U und V jeweils echte Untergruppen von G = (X, ·), so gilt U ∪ V 6= X.
c) Ist U echte Untergruppe von G, so gilt hX \ U i = X.
Aufgabe 2.45 a) Für jedes Element a ∈ X einer Halbgruppe (X, ·) gilt hai =
{an | n ∈ N} und dies ist offensichtlich eine kommutative Unterhalbgruppe von
(X, ·). Genau dann gilt |hai| = ∞, wenn alle diese Potenzen paarweise verschieden
voneinander sind. Im anderen Fall gibt es eindeutig bestimmte Zahlen n ∈ N
und v ∈ N0 , v < n, so daß die Potenzen a1 , a2 , . . . , an paarweise voneinander
verschieden sind und an+1 = av+1 gilt. Hierbei bildet U = {av+1 , . . . , an } eine
Untergruppe von hai und somit von (X, ·). Eine Halbgruppe enthält also genau
dann kein idempotentes Element, wenn hai für jedes a ∈ X unendlich ist. Dies ist
beispielsweise für die Halbgruppe (N, +) und für jede freie Halbgruppe der Fall.
b) Ist hai kürzbare Halbgruppe, was insbesondere für jede Gruppe (X, ·) der Fall
ist, so gilt im Fall |hai| < ∞ offensichtlich v = 0. Für jede Gruppe (X, ·) und jedes
a ∈ X ist weiterhin hai = {an | n ∈ Z} die von a erzeugte Untergruppe. Sind nicht
alle diese Potenzen voneinander verschieden, so gilt daher hai = {a, a2 , . . . , an =
e} mit dem n ∈ N aus a).
Aufgabe 2.46 Es sei n ≥ 3 und A = {(i j k) ∈ Sn | i, j, k ∈ {1, . . . , n} paarweise
verschieden} die Menge aller Dreierzyklen aus der symmetrischen Gruppe Sn .
Zeigen Sie An = hAi für die alternierende Gruppe.
Aufgabe 2.47 Es sei G = (X, ·) eine endliche Gruppe der Ordnung 2n. Zeigen
Sie, daß G eine Untergruppe der Ordnung 2 besitzt. Im Fall, daß G abelsch ist
und n ungerade, ist diese Untergruppe sogar eindeutig bestimmt.
Aufgabe 2.48 Es sei G = (X, ·) eine endliche abelsche Gruppe. Dann gilt
Q
2
g∈X g = e. Ist die Ordnung von G ungerade, so gilt sogar schon
g∈X g = e.
Q
Aufgabe 2.49 Eine Gruppe G = (X, ·) hat genau dann endliche Ordnung, wenn
sie nur endlich viele Untergruppen besitzt.
32
Aufgabe 2.50 Ist TM Transformationshalbgruppe einer endlichen Menge M und
SM die darin enthaltene symmetrische Gruppe, dann ist TM \ SM die Menge aller
singulären (d. h. nicht bijektiven) Transformationen für |M | > 1 eine Unterhalbgruppe von TM von der Ordnung nn − n! für n = |M |.
Aufgabe 2.51 Die Halbgruppe PM aller partiellen Abbildungen ist für jede
Menge M regulär.
Aufgabe 2.52 Prüfen Sie, ob die Halbgruppe (B{1,2} , ◦) regulär ist oder nicht.
Aufgabe 2.53 Für jede nichtleere Menge M ist
TMf in = {f ∈ TM | f (m) 6= m für nur endlich viele m ∈ M }
f in
eine Unterhalbgruppe von TM . Daher ist SM
= TMf in ∩ SM eine Untergruppe von
SM .
Aufgabe 2.54 Es sei X = {a, b} und H = (X ∗ , ·) das freie Monoid über X mit
dem Einselement e. Weiterhin sei % = {(a2 , e), (b2 , e), (ba, ab)} ⊆ X ∗ × X ∗ und
κ% die von % erzeugte Kongruenzrelation auf H. Zeigen Sie, daß das Restklassenmonoid G = (X ∗ /κ% , ·) eine Gruppe der Ordnung 4 ist, in dem jedes Element die
Ordnung 2 besitzt, also eine Boolesche Gruppe ist.
Welche Gruppe erhält man, wenn man analog von % = {(a3 , e), (b2 , e), (ba, a2 b)}
bzw. allgemein von % = {(an , e), (b2 , e), (ba, an−1 b)} für n ≥ 2 ausgeht?
Aufgabe 2.55 Beweisen Sie, daß die dizyklische Gruppe Dicn aus genau den in
Beispiel 2.8 angegebenen Elementen besteht und damit tatsächlich die Ordnung
4n besitzt. (Hinweis: Zeigen Sie zunächst (ab)2 = −1 und damit ba = a−1 b =
a2n−1 b).
Versuchen Sie, die dizyklischen Gruppen auf ähnliche Weise zu konstruieren wie
die Gruppen in Aufgabe 2.54.
Aufgabe 2.56 Es sei X = {f ∈ TN0 | es existiert ein nf ∈ N0 mit f (n) = 0 für
alle n ≥ nf }. Durch
(f ∗ g)(n) = f (n) + g(n) für alle n ∈ N0
für alle f, g ∈ X werde eine Multiplikation auf X definiert. Zeigen Sie, daß (X, ∗)
ein kommutatives Monoid ist.
Wie kann man in dieser Konstruktion die Menge X der betrachteten Abbildungen
so abändern, daß (X, ∗) eine abelsche Gruppe wird.
33
Aufgabe 2.57 Zeigen Sie, daß durch x ∼ y ⇐⇒ y = gxg −1 für ein g ∈ G auf
jeder Gruppe G = (G, ·) eine Äquivalenzrelation ∼ definiert wird. Die Klassen
dieser Äquivalenzrelation sind genau die Konjugiertenklassen.
Aufgabe 2.58 Es sei H = (X, ·) eine Halbgruppe und L ⊆ X. Dann wird durch
(27) u ∼L v ⇐⇒ (xuy ∈ L ⇐⇒ xvy ∈ L für alle x, y ∈ X)
eine Kongruenzrelation ∼L von (X, ·) definiert. Ist (X, ·, e) sogar ein Monoid,
dann ist L Vereinigung von Kongruenzklassen von ∼L . Speziell für formale Sprachen L ⊆ X ∗ über einem Alphabet X nennt man ∼L die syntaktische Kongruenz
von L und das Restklassenmonoid (X/ ∼L ) das syntaktische Monoid von L. Eine formale Sprache heißt regulär oder erkennbar, wenn ihr syntaktisches Monoid
endlich ist.
Aufgabe 2.59 Es sei (S, ·) eine Halbgruppe und U ⊆ S eine Unterhalbgruppe,
die SU ⊆ U und U S ⊆ U erfüllt. Derartige Unterhalbgruppen heißen auch Ideale
von (S, ·). Es sei e ∈ U fest gewählt. Für jede Äquivalenzrelation κ auf U werde
die Relation % auf S definiert durch
(a, b) ∈ % ⇐⇒ (eae, ebe) ∈ κ für alle a, b ∈ S.
Dann ist auch % eine Äquivalenzrelation auf S. Handelt es sich bei κ sogar um eine
Kongruenzrelation auf (U, ·) und ist (U/κ, ·) ein Monoid mit dem Einselement
[e]κ , so ist % auch eine Kongruenzrelation auf S. Definiert man die Abbildung
ϕ : S/% → U/κ gemäß ϕ([a]% ) = [eae]κ für alle a ∈ S, so ist ϕ bijektiv und es gilt
ϕ([a]% [b]% ) = ϕ([a]% )ϕ([b]% ) für alle [a]% , [b]% ∈ S/%.
Aufgabe 2.60 Es seien V ⊆ U Untergruppen einer Gruppe (G, ·). Weiterhin
S
S
seien U = i∈I ui V und G = j∈J gj U disjunkte Vereinigungen von LinksnebenS
klassen. Dann ist auch G = i∈I,j∈J gj ui V disjunkte Vereinigung von Linksnebenklassen. Es gilt also |G : V | = |G : U | · |U : V |. Dies ist eine Verallgemeinerung
des Satzes von Lagrange, der für V = {e} entsteht.
Aufgabe 2.61 Eine Untergruppe U einer Gruppe G = (G, ·) ist genau dann
Normalteiler von G, wenn U g = {ug | u ∈ U } = U für alle g ∈ G gilt, wenn also
NG (U ) = G gilt.
Aufgabe 2.62 Eine Untergruppe U einer Gruppe G ist genau dann Normalteiler,
wenn sie Vereinigung von Klassen konjugierter Elemente ist.
34
Aufgabe 2.63 Sind U und V Normalteiler einer Gruppe G, so auch U V .
Aufgabe 2.64 Es sei U eine Untergruppe und N ein Normalteiler einer Gruppe
G. Dann gelten:
1) U ∩ N ist Normalteiler von U .
2) U N ist Untergruppe von G.
3) Falls N ⊆ U gilt, ist N Normalteiler von U . Insbesondere ist also N Normalteiler von U N .
Aufgabe 2.65 Sei A nichtleere Teilmenge einer Gruppe G = (X, ·). Gilt xA =
Ax für alle x ∈ X, so ist hAi Normalteiler von G.
Aufgabe 2.66 Bestimmen Sie sämtliche Untergruppen der (kleinsten) nichtkommutativen Gruppe (S3 , ◦) und prüfen Sie, welche davon Normalteiler sind.
Geben Sie für die anderen Untergruppen jeweils den Normalisator an.
Aufgabe 2.67 Zeigen Sie, daß die Quaternionengruppe eine Hamiltongruppe
ist.
Aufgabe 2.68 Zeigen Sie, daß das direkte Produkt der Quaternionengruppe Q8
mit der zyklischen Gruppe (Z/(4), +) keine Hamiltongruppe ist, daß aber im
Unterschied dazu Q8 × Z/(2) eine Hamiltongruppe ist.
Aufgabe 2.69 Es seien ei , i = 1, . . . , 7 die sieben Punkte der Fano-Ebene (Gino
Fano, 1871 - 1952), also der projektiven Ebene über dem Körper (Z/(2), +, ·), und
e0 = 1. Auf der Menge G = {±ei | i = 0, . . . , 7} werde eine Multiplikation wie
folgt definiert. e0 = 1 ist natürlich ein neutrales Element, −e0 = −1 ändert jeweils
das Vorzeichen. Für alle anderen Elemente gilt e2i = −1. Das Produkt ei ·ej für i 6=
j ist ±ek , wenn ei , ej , ek die drei verschiedenen Punkte einer Geraden sind, wobei
ei · ej = ek genau dann gilt, wenn ej auf dieser gerichteten Geraden unmittelbar
auf ei folgt. Ansonsten gelten die Vorzeichenregeln, also (−ei ) · (−ej ) = ei · ej und
(−ei ) · ej = ei · (−ej ) = −(ei · ej ).
Zeigen Sie, daß (G, ·) eine Quasigruppe ist, aber keine Gruppe. Was kann man
über die Teilmenge U = {±ei | i = 0, 1, 2, 3} aussagen?
35
Aufgabe 2.70 Ein Gruppoid (X, ·) heißt potenz-assoziativ, wenn das von a erzeugte Untergruppoid (hai, ·) für jedes a ∈ X bereits eine Unterhalbgruppe
von (X, ·) ist. Weiterhin heißt (X, ·) di-assoziativ, wenn sogar (ha, bi, ·) für alle a, b ∈ X eine Unterhalbgruppe von (X, ·) ist. (Offensichtlich ist (X, ·) genau
dann eine Halbgruppe, wenn (ha, b, ci, ·) für alle a, b, c ∈ X eine Unterhalbgruppe
ist.)
Man nennt (X, ·) linksalternativ, wenn a(ab) = (aa)b für alle a, b ∈ X erfüllt ist,
und flexibel, wenn a(ba) = (ab)a für alle a, b ∈ X gilt. Schließlich heißt (X, ·)
idem-assoziativ, wenn a(aa) = (aa)a für alle a ∈ X gilt.
Zeigen Sie, daß die Quasigruppe (G, ·) aus Aufgabe 2.69 alternativ ist.
Offensichtlich ist jedes linksalternative [rechtsalternative, alternative, flexible, diassoziative, potenz-assoziative] Gruppoid idem-assoziativ. Geben Sie ein dreielementiges Gruppoid an, das idem-assoziativ ist, aber keine andere der genannten
sechs Eigenschaften hat. Untersuchen Sie sämtliche möglichen Abhängigkeiten
zwischen diesen sieben Eigenschaften.
Aufgabe 2.71 In jeder Gruppe G = (G, ·) gilt Z(G) = x∈G ZG (x) für das
Zentrum und ZG (x) ist Untergruppe von G für jedes x ∈ G. Weiterhin gilt
ZG (x) = G ⇐⇒ x ∈ Z(G) ⇐⇒ |xG | = 1 für alle x ∈ G.
T
Aufgabe 2.72 Für jede Permutation π ∈ Sn und jeden Zyklus (a1 . . . ak ) ∈ Sn
gilt π ◦ (a1 . . . ak ) ◦ π −1 = (π(a1 ) . . . π(ak )). Folgern Sie hieraus, daß Z(Sn ) für
n ≥ 3 nur aus der identischen Abbildung besteht.
Aufgabe 2.73 Bestimmen Sie das Zentrum Z(G) der Heisenberggruppe G über
dem Ring der ganzen Zahlen (Z, +, ·).
36
Aufgabe 2.74 Bestimmen Sie das Zentrum Z(G) der Heisenberggruppe G über
dem Ring (Z/(3), +, ·) und zeigen Sie, daß jedes Element dieser Gruppe die Ordnung 3 besitzt.
Aufgabe 2.75 Für jede Untergruppe (U, ·) und jedes Element g einer Gruppe G
ist U g = gU g −1 Untergruppe von G. Weiterhin ist der Normalisator NG (U ) eine
Untergruppe von G und U ist Normalteiler von NG (U ).
Aufgabe 2.76 Für jedes Element g einer Gruppe G gilt ord(g) = |hgi|.
Aufgabe 2.77 Es seien Ui ⊆ X Untergruppen einer Gruppe G = (X, ·) mit
di = |Ui | für i = 1, 2. Sind dann d1 und d2 teilerfremd, so gilt U1 ∩ U2 = {e}.
Aufgabe 2.78 Gilt ord(g) = 2 für alle Elemente g 6= e einer Gruppe G, so ist G
abelsch. Derartige Gruppen werden auch Boolesche Gruppen genannt.
Aufgabe 2.79 In jeder abelschen Gruppe G = (X, ·) bildet die Menge U = {x ∈
X | ord(x) < ∞} der Torsionselemente eine Untergruppe.
Aufgabe 2.80 Es sei G = (X, ·) eine endliche abelsche Gruppe und a, b ∈ X
mit m = ord(a), n = ord(b) sowie ggT (m, n) = 1. Dann gilt ord(ab) = mn =
kgV (m, n).
Durch Betrachtung der Primfaktorzerlegungen von m = ord(a) und n = ord(b)
kann man hieraus auch für nicht teilerfremde Ordnungen folgern:
Es gibt stets ein Element c ∈ X mit ord(c) = kgV (m, n).
Aufgabe 2.81 Es sei G = (X, ·) eine endliche abelsche Gruppe und k =
kgV {ord(a) | a ∈ X} ihr Exponent. Dann existiert ein a ∈ X mit ord(a) = k.
Zeigen Sie, daß die nicht kommutative Gruppe A4 diese Eigenschaft nicht besitzt
(vgl. Bemerkung 2.12).
Aufgabe 2.82 Seien Cm und Cn zyklische Gruppen der Ordnungen m bzw n.
Genau dann ist das direkte Produkt Cm × Cn zyklisch, wenn ggT (m, n) = 1 gilt.
In diesem Fall ist (a, b) ein erzeugendes Element von Cm × Cn genau dann, wenn
a ein erzeugendes Element von Cm und b ein erzeugendes Element von Cn ist.
37
Aufgabe 2.83 Es sei G = Z × Z das direkte Produkt der Gruppe (Z, +) mit
sich selbst. Zeigen Sie, daß diese Gruppe nicht zyklisch ist. Zwei Elemente
(a, b), (c, d) ∈ Z2 erzeugen genau dann G, wenn ad − bc = 1 oder ad − bc = −1
gilt.
Aufgabe 2.84 Die drei Matrizen
σ1 =
0 1
, σ2 =
1 0
0 −i
, σ3 =
i 0
1 0
0 −1
aus dem Ring der 2 × 2-Matrizen über dem Körper (C, +, ·) wurden vom Physiker Wolfgang Pauli (1900 - 1958) in die Quantenmechanik eingeführt, um
Eigenschaften des Spin-Operators zu beschreiben. Sie werden daher gemeinsam mit der Einheitsmatrix σ0 auch als Pauli-Matrizen bezeichnet. Diese Matrizen sind invertierbar in der multiplikativen Halbgruppe des Matrizenringes
(M2,2 (C), +, ·) und erzeugen dort eine nicht-kommutative Gruppe P = (P, ·).
Weisen Sie P = {iν σk | ν, k = 0, 1, 2, 3} und damit |P | = 16 nach. Geben Sie eine
Untergruppe von P an, die isomorph zur Quaternionengruppe ist.
3 Homomorphismen und Isomorphismen
3
38
Homomorphismen und Isomorphismen
Definition 3.1 Es seien G = (X, ·) und G 0 = (X 0 , ) Gruppoide. Dann heißt
eine Abbildung ϕ : X → X 0 ein Homomorphismus von (X, ·) in (X 0 , ), wenn
für alle x, y ∈ X gilt
(28) ϕ(x · y) = ϕ(x) ϕ(y).
Man schreibt dafür auch kurz ϕ : (X, ·) → (X 0 , ). Ein surjektiver, injektiver
bzw. bijektiver Homomorphismus heißt Epimorphismus, Monomorphismus bzw.
Isomorphismus. Schließlich nennt man einen Homomorphismus ϕ : (X, ·) → (X, ·)
einen Endomorphismus und einen Isomorphismus ϕ : (X, ·) → (X, ·) einen Automorphismus.
Beispiel 3.2 Es sei U = (U, ·) Normalteiler einer Gruppe G = (X, ·) und G/U =
(X/U, ·) die Faktorgruppe von G nach U. Durch ϕU (x) = xU für alle x ∈ X
wird dann ein Homomorphismus ϕU : G → G/U definiert, der natürliche oder
kanonische Homomorphismus. Er ist stets ein Epimorphismus.
Satz 3.3 Es sei ϕ : (X, ·) → (X 0 , ) ein Homomorphismus. Dann gilt:
a) Schränkt man die Verknüpfung auf ϕ(X) = {ϕ(x) | x ∈ X} ⊆ X 0 ein,
so ist (ϕ(X), ) ein Untergruppoid. Mit (X, ·) ist auch das homomorphe Bild
(ϕ(X), )assoziativ, kommutativ bzw. idempotent.
b) Ist e` ein Linkseinselement von (X, ·), dann ist ϕ(e` ) Linkseinselement von
(ϕ(X), ).
c) Besitzt (X, ·) ein Einselement e und gilt a0 · a = e in (X, ·), so folgt ϕ(a0 ) ϕ(a) = ϕ(e) in (ϕ(X), ).
Beweis: a) Mit X ist natürlich auch ϕ(X) nicht leer. Zu x0 , y 0 ∈ ϕ(X) gibt es
aber stets x, y ∈ X mit x0 = ϕ(x) und y 0 = ϕ(y). Es folgt x0 y 0 = ϕ(x) ϕ(y) =
ϕ(x · y) ∈ ϕ(X). Also ist (ϕ(X), ) Untergruppoid von (X 0 , ). Ist nun noch
z 0 ∈ ϕ(X), so existiert auch ein z ∈ X mit z 0 = ϕ(z). Aus (x · y) · z = x · (y · z)
folgt dann (x0 y 0 ) z 0 = (ϕ(x) ϕ(y)) ϕ(z) = ϕ(x · y) ϕ(z) = ϕ((x · y) · z) =
ϕ(x · (y · z)) = ϕ(x) ϕ(y · z) = x0 (ϕ(y) ϕ(z)) = x0 (y 0 z 0 ), aus
x · y = y · x folgt mit (28) ersichtlich x0 y 0 = y 0 x0 , und aus x · x = x folgt
x0 x0 = ϕ(x) ϕ(x) = ϕ(x · x) = ϕ(x) = x0 .
39
b) Mit x0 = ϕ(x) wie in a) folgt aus e` · x = x sofort ϕ(e` ) x0 = ϕ(e` ) ϕ(x) =
ϕ(e` · x) = ϕ(x) = x0 .
c) Wegen (28) folgt aus a0 · a = e sofort ϕ(e) = ϕ(a0 · a) = ϕ(a0 ) ϕ(a). Außerdem
ist ϕ(e) wegen b) noch Einselement von (ϕ(X), ).
Satz 3.4 Es seien (X, ·), (X 0 , ·) und (X 00 , ·) Gruppoide.
a) Sind ϕ : (X, ·) → (X 0 , ·) und ψ : (X 0 , ·) → (X 00 , ·) Homomorphismen, dann
gilt das gleiche für ψ ◦ ϕ : (X, ·) → (X 00 , ·).
b) Die identische Abbildung ιX : X → X ist ein Automorphismus von (X, ·).
c) Ist ϕ : (X, ·) → (X 0 , ·) ein Isomorphismus, dann auch ϕ−1 : (X 0 , ·) → (X, ·).
Beweis: a) Dies folgt wegen (ψ◦ϕ)(x·y) = ψ(ϕ(x·y)) = ψ(ϕ(x)·ϕ(y)) = ψ(ϕ(x))·
ψ(ϕ(y)) = (ψ ◦ ϕ)(x) · (ψ ◦ ϕ)(y) für alle x, y ∈ X, da ϕ und ψ Homomorphismen
sind.
b) Wegen ιX (x · y) = x · y = ιX (x) · ιX (y) ist ιX ein Endomorphismus, und als
bijektive Abbildung sogar ein Automorphismus.
c) Da ϕ bijektiv ist, existiert ϕ−1 und ist ebenfalls bijektiv. Es bleibt zu zeigen,
daß ϕ−1 ein Homomorphismus ist. Zu x0 , y 0 ∈ X 0 existieren wegen der Bijektivität
von ϕ aber eindeutig bestimmte x, y ∈ X mit x0 = ϕ(x) und y 0 = ϕ(y), also
ϕ−1 (x0 ) = x und ϕ−1 (y 0 ) = y. Daher gilt ϕ−1 (x0 · y 0 ) = ϕ−1 (ϕ(x) · ϕ(y)) =
ϕ−1 (ϕ(x · y)) = x · y = ϕ−1 (x0 ) · ϕ−1 (y 0 ).
Folgerung 3.5 Für jedes Gruppoid G = (X, ·) bildet die Menge End(G) aller
Endomorphismen von G eine Unterhalbgruppe der Transformationshalbgruppe TX
und die Menge Aut(G) eine Untergruppe von SX .
Beweis: Wegen Satz 3.4 c) ist das Einselement von TX in Aut(G) ⊆ End(G) ⊆ TX
enthalten und damit sind beide Teilmengen nicht leer. Wegen Teil a) desselben
Satzes ist dann End(G) sogar Untermonoid der Transformationshalbgruppe und
wegen Teil c) dann darin Aut(G) die Untergruppe der Einheiten.
Definition 3.6 Gruppoide (X, ·) und (X 0 , ·) heißen isomorph, wenn es einen
Isomorphismus ϕ : (X, ·) → (X 0 , ·) gibt. Man schreibt dann (X, ·) ∼
= (X 0 , ·).
40
Satz 3.7 (Homomorphiesatz für Gruppen) Es seien (X, ·) und (X 0 , ·) Gruppen
und ϕ : (X, ·) → (X 0 , ·) ein Homomorphismus. Dann gelten:
a) Ist e0 ∈ X 0 das Einselement von (X 0 , ·), dann ist der Kern ker(ϕ) = ϕ−1 (e0 ) =
{x ∈ X | ϕ(x) = e0 } von ϕ ein Normalteiler von (X, ·).
b) Die Faktorgruppe (X/ ker(ϕ), ·) ist isomorph zu (ϕ(X), ·) vermöge des Isomorphismus ψ([x]) = ϕ(x) für alle [x] ∈ X/ ker ϕ.
c) Mit dem kanonischen Epimorphismus ϕker ϕ : (X, ·) → (X/ ker(ϕ), ·) gilt ψ ◦
ϕker(ϕ) = ϕ. Die Abbildung ψ ist dadurch eindeutig bestimmt.
Beweis: a) Da ϕ(X) Untergruppe von (X 0 , ·) ist, liegt das Einselement e0 von X 0
bereits in ϕ(X) und stimmt dort mit dem Einselement ϕ(e) überein. Insbesondere
gilt e ∈ ker(ϕ). Sind nun x, y ∈ ker(ϕ) so gilt ϕ(xy −1 ) = ϕ(x)ϕ(y −1 ) = e0 ϕ(y)−1 =
(e0 )−1 = e0 , d. h. ker(ϕ) ist Untergruppe von (X, ·). Sei jetzt U = ker(ϕ) und
a ∈ X beliebig. Dann folgt für jedes u ∈ U wegen ϕ(aua−1 ) = ϕ(a)ϕ(u)ϕ(a−1 ) =
ϕ(a)e0 ϕ(a)−1 = e0 bereits aua−1 ∈ U . Also gilt aU a−1 ⊆ U . Nach Aufgabe 3.27
ist U = ker(ϕ) Normalteiler.
b) Definiere ψ : X/ ker(ϕ) → ϕ(X) wie angegeben gemäß ψ([x]) = ϕ(x) für
alle [x] ∈ X/ ker(ϕ). Dann ist ψ wohldefiniert, denn [x] = [y] ist gleichwertig
zu xy −1 ∈ ker(ϕ), also zu xy −1 = k für ein k ∈ ker(ϕ), also zu x = ky für ein
k ∈ ker(ϕ). Hieraus folgt aber ϕ(x) = ϕ(ky) = ϕ(k)ϕ(y) = ϕ(y). Ersichtlich
ist ψ surjektiv. Die Injektivität folgt aus ψ([x]) = ψ([y]) =⇒ ϕ(x) = ϕ(y) =⇒
ϕ(xy −1 ) = ϕ(x)ϕ(y)−1 = e0 =⇒ xy −1 ∈ ker(ϕ) =⇒ [x] = [y]. Schließlich ist ψ ein
Homomorphismus wegen ψ([x][y]) = ψ([xy]) = ϕ(xy) = ϕ(x)ϕ(y) = ψ([x])ψ([y]).
c) Es ist ψ ◦ ϕker(ϕ) (x) = ψ([x]) = ϕ(x) für alle x ∈ X. Daher gilt ψ ◦ ϕker(ϕ) = ϕ.
Aus ψ1 ◦ ϕker(ϕ) = ϕ = ψ2 ◦ ϕker(ϕ) folgt aber bereits ψ1 ([x]) = ψ2 ([x]) für alle
[x] ∈ X/ ker(ϕ), also ψ1 = ψ2 .
Beispiel 3.8 a) Die Abbildung sgn : (Sn , ◦) → ({1, −1}, ·), die jeder Permutation π ∈ Sn ihr Signum sgn(π) zuordnet, ist ein Epimorphismus. Der Kern von
sgn ist gerade die alternierende Gruppe An .
b) Es sei V ein K-Vektorraum über einem Körper (K, +, ·) und GL(V ) die Gruppe der K-linearen Automorphismen von V , die volle lineare Gruppe über V . Für
ϕ ∈ GL(V ) und w ∈ V sei γϕ,w : V → V durch
(29) γϕ,w (v) = ϕ(v) + w für alle v ∈ V
41
definiert. Dann ist
(30) AGL(V ) = {γϕ,w | ϕ ∈ GL(V ), w ∈ V }
eine Untergruppe von (SV , ◦), die affin lineare Gruppe auf V . Diese Gruppe
enthält ihrerseits die Untergruppe T = {γιV ,w | w ∈ V }, die offensichtlich zur
additiven Gruppe (V, +) isomorph ist. Wegen
(31) γιV ,w ◦ γϕ,w0 = γϕ,w0 ◦ γιV ,ϕ−1 (w)
für alle γϕ,w0 ∈ AGL(V ) ist T sogar ein Normalteiler, der Translationennormalteiler von AGL(V ).
Spezialfälle hiervon für V = K n sind die affin linearen Gruppen AGLn (K) =
AGL(K n ), die für endliche Körper K selbst immer endlich sind. So erhält man
etwa für n = 1 und K = Z/(3) die Gruppe
AGL1 (Z/(3)) = {ax + b | a, b ∈ Z/(3), a 6= 0}
der Ordnung 6, die isomorph zur symmetrischen Gruppe S3 ist, und für K = Z/(5)
entsprechend
AGL1 (Z/(5)) = {ax + b | a, b ∈ Z/(5), a 6= 0}
eine Gruppe der Ordnung 20.
c) In der vollen linearen Gruppe GL(V ) bildet das Zentrum Z(GL(V )) einen
Normalteiler, der isomorph zur multiplikativen Gruppe (K \ {0}, ·) des Skalarenkörpers ist. Die Faktorgruppe P GL(V ) = GL(V )/Z(GL(V )) nennt man die
projektive lineare Gruppe von V .
d) Für V = K n ist die Determinantenfunktion det : GLn (K) → K ∗ ein Homomorphismus und damit SLn (K) = ker(det) eine Untergruppe, die spezielle lineare Gruppe. In ihr ist das Zentrum Z(SLn (K)) = SLn (K) ∩ Z(GLn (K)) wieder
ein Normalteiler und P SLn (K) = SLn (K)/Z(SLn (K)) heißt projektive spezielle lineare Gruppe oder kurz spezielle projektive Gruppe. Für endliche Körper
sind diese Gruppen natürlich ebenfalls endlich. Außer für n = 2 in den Fällen
K = Z/(2) und K = Z/(3), d. h. P SL2 (Z/(2)) ∼
= S3 und P SL2 (Z/(3)) ∼
= A4 ,
sind die Gruppen P SLn (K) für endliche Körper einfach. Weitere Isomorphien
zwischen den speziellen projektiven und den symmetrischen bzw. alternierenden Gruppen sind nur noch P SL2 (Z/(5)) ∼
= A5 , P SL4 (Z/(3)) ∼
= A8 und
∼
P SL2 (GF (9)) = A6 , wobei GF (9) den Körper mit 9 Elementen bezeichnet.
Die kleinste unter den nicht-alternierenden speziellen projektiven Gruppen ist
daher P SL2 (Z/(7)) ∼
= P SL3 (Z/(2)) mit 168 Elementen, während A5 die kleinste
nicht-abelsche einfache Gruppe ist.
42
Folgerung 3.9 Die Gruppe (Z, +) ist bis auf Isomorphie die einzige unendliche
zyklische Gruppe. Die Restklassengruppe (Z/(n), +) ist bis auf Isomorphie die
einzige zyklische Gruppe der Ordnung n.
Man schreibt oft Cn für die endliche zyklische Gruppe der Ordnung n und C∞ für
die unendliche zyklische Gruppe.
Beweis: Sei G = (X, ·) zyklische Gruppe mit X = hai für ein a ∈ X. Dann
ist ϕ : (Z, +) → (hai, ·) gemäß ϕ(m) = am ein surjektiver Homomorphismus.
Nach dem Homomorphiesatz gilt also (X, ·) = (ϕ(Z), ·) ∼
= (Z/ker(ϕ), +). Nun ist
∼
ker(ϕ) = nZ für ein geeignetes n ∈ N0 und daher G = (Z/(n), +). Genau für
n = 0 ist ker(ϕ) = {0} und daher ϕ bijektiv, also G ∼
= (Z, +) eine unendliche
∼
zyklische Gruppe. Für n ≥ 1 dagegen ist G = (Z/(n), +) endlich und |G| = n. Satz 3.10 Es sei ϕ : G → G 0 ein surjektiver Gruppenhomomorphismus. Für jede
Untergruppe U 0 von G 0 ist dann ϕ−1 (U 0 ) = {x ∈ X | ϕ(x) ∈ U 0 } ⊇ ker(ϕ) Untergruppe von G. Die Abbildung ψ(U 0 ) = ϕ−1 (U 0 ) definiert eine Bijektion zwischen
der Menge aller Untergruppen von G 0 und der Menge aller Untergruppe von G,
die ker(ϕ) enthalten.
Satz 3.11 (Erster Isomorphiesatz für Gruppen) Es sei G = (X, ·) eine Gruppe,
U = (U, ·) eine Untergruppe und N = (N, ·) ein Normalteiler von G. Dann gilt
(32) U/(U ∩ N ) ∼
= (U N )/N.
Beweis: Wegen Aufgabe 2.64 ist U ∩ N Normalteiler von U , also die linke Seite von (32) definiert. Aus derselben Aufgabe folgt, daß N Normalteiler der Untergruppe U N ist, also auch die rechte Seite sinnvoll ist. Sei nun
ϕ : (X, ·) → (X/N, ·) der kanonische Epimorphismus gemäß Beispiel 3.2. Dann
ist die Einschränkung ϕ|U : (U, ·) → (ϕ(U ), ·) ebenfalls ein Epimorphismus
und das gleiche gilt für die Einschränkung ϕ|U N : (U N, ·) → (ϕ(U ), ·) wegen
ϕ(un) = ϕ(u)ϕ(n) = ϕ(u)e0 = ϕ(u), wobei e0 das Einselement von (X/N, ·)
bezeichnet. Mit dem Homomorphiesatz folgt
U/ker(ϕ|U ) ∼
= ϕ(U ) ∼
= U N/ker(ϕ|U N ).
Nun ist aber offensichtlich ker(ϕ|U ) = U ∩ N und wegen N ⊆ U N folgt
ker(ϕ) = N ⊇ ker(ϕ|U N ) ⊇ N , also auch N = ker(ϕ|U N ). Also zeigen die
obigen Isomorphien bereits (32).
43
Satz 3.12 (Zweiter Isomorphiesatz für Gruppen) Es seien G1 = (X1 , ·) und
G2 = (X2 , ·) Gruppen und Ni = (Ni , ·) Normalteiler von Gi . Ist ϕ : G1 → G2
Epimorphismus mit ϕ−1 (N2 ) = N1 , so gilt
(33) X1 /N1 ∼
= X2 /N2 .
Beweis: Es sei ϕ2 : (X2 , ·) → (X2 /N2 , ·) der kanonische Epimorphismus. Dann
ist auch ϕ2 ◦ ϕ : (X1 , ·) → (X2 /N2 , ·) ein Epimorphismus und nach dem Homomorphiesatz gilt
X1 /ker(ϕ2 ◦ ϕ) ∼
= ϕ2 ◦ ϕ(X1 ) = X2 /N2 .
Es bleibt also noch N1 = ker(ϕ2 ◦ ϕ) zu zeigen. Nun ist aber für alle x ∈ X1
die Inklusion x ∈ ker(ϕ2 ◦ ϕ) gleichwertig zu ϕ2 ◦ ϕ(x) = N2 , was wiederum
äquivalent zu ϕ(x) ∈ N2 ist. Wegen der Voraussetzung ϕ−1 (N2 ) = N1 ist dies
aber gleichwertig zu x ∈ N1 .
Folgerung 3.13 Sind (N1 , ·) und (N2 , ·) Normalteiler einer Gruppe G = (X, ·)
mit N1 ⊆ N2 , so gilt
(34) (X/N1 )/(N2 /N1 ) ∼
= X/N2 .
Beweis: Definiere ϕ : X/N1 → X/N2 gemäß ϕ([x]1 ) = [x]2 für alle [x]1 ∈ X/N1 .
Wegen [x]1 = [y]1 ⇐⇒ xy −1 ∈ N1 ⊆ N2 =⇒ [x]2 = [y]2 ist ϕ wohldefiniert
und ersichtlich surjektiv. Wegen ϕ([x]1 [y]1 ) = ϕ([xy]1 ) = [xy]2 = [x]2 [y]2 =
ϕ([x]1 )ϕ([y]1 ) ist ϕ auch ein Homomorphismus. Schließlich zeigt ϕ([x]1 ) = [x]2 =
N2 ⇐⇒ x ∈ N2 ⇐⇒ [x]1 ∈ N2 /N1 noch ϕ−1 (N2 ) = N2 /N1 . Nun liefert der zweite
Isomorphiesatz die Behauptung.
Satz 3.14 (Satz von Cayley, Arthur Cayley, 1821 - 1895) Jede Gruppe ist zu
einer Permutationsgruppe isomorph.
Beweis: Sei G = (X, ·) eine beliebige Gruppe. Für jedes x ∈ X sei tx : X →
X die Linkstranslation gemäß tx (y) = x · y für alle y ∈ X definiert. Wegen
der Invertierbarkeit von x ist tx bijektiv mit t−1
x = tx−1 und liegt damit in der
symmetrischen Gruppe (SX , ◦). Definiere ϕ : G → SX durch ϕ(x) = tx für alle
x ∈ X. Dann ist ϕ injektiv, denn ϕ(x) = ϕ(x0 ) bedeutet die Gleichheit tx = tx0
der beiden Translationen, also insbesondere die Gleichheit tx (e) = tx0 (e) für das
Einselement e von G, was natürlich x = x0 liefert. Außerdem gilt für beliebige
Elemente x, x0 ∈ X und alle y ∈ X auch
txx0 (y) = (xx0 )y = x(x0 y) = (tx ◦ tx0 )(y),
44
woraus ϕ(xx0 ) = txx0 = tx ◦ t0x = ϕ(x) ◦ ϕ(x0 ) folgt. Daher ist ϕ sogar ein Homomorphismus und damit G isomorph zu der Untergruppe ϕ(X) von SX .
Satz 3.15 Jede Halbgruppe ist isomorph zu einer Unterhalbgruppe einer geeigneten Transformationshalbgruppe
Beweis: Siehe Aufgabe 3.26
Definition 3.16 Eine Gruppe, die von zwei Involutionen erzeugt wird, heißt eine
Diedergruppe.
Satz 3.17 Es sei G eine Gruppe. Dann sind äquivalent:
a) G ist eine Diedergruppe.
b) G = hg, ti, wobei hgi ein zyklischer Normalteiler vom Index 2 und t eine
Involution mit g t = g −1 ist.
Beweis: b) =⇒ a): Aus g −1 = g t = tgt−1 = tgt, da t als Involution t = t−1
erfüllt, folgt tgtg = g −1 g = e, d. h. tg ist ebenfalls eine Involution. Offensichtlich
gilt htg, ti ⊆ hg, ti. Wegen g = t · tg ∈ htg, ti gilt auch die umgekehrte Inklusion.
Also wird G = hg, ti von den beiden Involutionen t und tg erzeugt.
a) =⇒ b): Gelte G = ht1 , t2 i = {x1 · · · xn | n ∈ N, xi ∈ {t1 , t2 }} mit Involutionen
ti . Sei g = t1 t2 = t1 t−1
2 , also t1 = gt2 ∈ hg, t2 i. Dies zeigt G = ht1 , t2 i ⊆ hg, t2 i und
−1 −1
−1 −1
−1
damit G = hg, t2 i. Weiterhin folgt g t1 = t1 gt−1
=
1 = t1 t1 t2 t1 = t2 t1 = (t1 t2 )
−1
t2
−1
k
g (und analog g = g ). Sei U = hgi = {(t1 t2 ) | k ∈ Z}, also zyklische
Untergruppe von G. Aus t1 t−1
2 = g ∈ U folgt t1 U = t2 U . Ist nun x1 · · · xn ∈ G mit
n > 1, so folgt hieraus für die Linksnebenklasse x1 · · · xn U sowohl für xn = t1 als
auch für xn = t2
x1 · · · xn−1 t1 U = x1 · · · xn−1 t2 U = x1 · · · xn−2 U = . . . =
U
t1 U = t2 U
je nachdem, ob n gerade oder ungerade ist. Damit gibt es aber nur zwei Linksnebenklassen von U , d. h. U ist nach Lemma 2.22 Normalteiler.
Beispiel 3.18 a) Die Deckabbildungen eines regelmäßigen n-Ecks bilden eine
Diedergruppe Dn . Man kann für t eine Spiegelung an einer der Achsen des nEcks nehmen und für g eine Drehung um das Zentrum des n-Ecks um den Winkel
2π/n.
45
b) Die Transformationen s, t : Z → Z mit t(x) = x + 1 und s(x) = −x jeweils für
alle x ∈ Z sind bijektiv, erzeugen also eine Untergruppe D∞ = hs, ti von (SZ , ◦).
Wegen (s ◦ t)(x) = s(x + 1) = −x − 1 = t−1 (−x) = (t−1 ◦ s)(x) für alle x ∈ Z gilt
D∞ = hs ◦ t, si, und s2 = idZ sowie (s ◦ t)2 = s ◦ t ◦ t−1 ◦ s = idZ zeigen, daß D∞
eine unendliche Diedergruppe ist.
Die Abbildung s0 = t ◦ s ∈ D∞ , also mit s0 (x) = −x + 1 für alle x ∈ Z, ist wegen
(s0 ◦ s0 )(x) = −(−x + 1) + 1 = x für alle x ∈ Z ebenso wie s eine Involution in D∞ .
Da aber s0 ◦s = t keine endliche Ordnung hat, ist die unendliche Diedergruppe ein
Beispiel für eine nicht abelsche Gruppe, in der die Elemente endlicher Ordnung
keine Untergruppe bilden (vgl. Aufgabe 2.79).
Folgerung 3.19 Ist G eine Gruppe der Ordnung 2p für ein p ∈ P, so ist G
entweder zyklisch oder eine Diedergruppe.
Beweis: Für p = 2, also Gruppen der Ordnung 4, ist der Satz richtig, weil es
dann nur die zyklische Gruppe C4 und die Kleinsche Vierergruppe V4 = D2 gibt.
Im folgenden sei daher p eine ungerade Primzahl. Existiert in G ein Element g
der Ordnung 2p, so ist G = hgi zyklisch und nichts mehr zu beweisen. Es darf
daher ord(g) ∈ {2, p} für alle g 6= e aus G vorausgesetzt werden. Gilt sogar
ord(g) = 2 für alle derartigen Elemente aus G, dann existieren wegen 2p > 2
mindestens zwei verschiedene dieser Elemente, etwa a 6= b. Diese erzeugen aber
eine Untergruppe U = ha, bi, die isomorph zur Kleinschen Vierergruppe ist, also
die Ordnung 4 hat. Nach dem Satz von Lagrange wäre daher 4 ein Teiler von 2p,
was wegen p 6= 2 bereits ausgeschlossen ist. Es gibt daher wenigstens ein Element
g 6= e aus G der Ordnung p, das die Untergruppe U = {e, g, g 2 , . . . , g p−1 } der
Ordnung p erzeugt. Diese hat nach dem Satz von Lagrange den Index 2 in G,
ist also ein Normalteiler, und die Faktorgruppe G/U ist die zyklische Gruppe
der Ordnung 2. Für jedes a ∈ G \ U ist [a] 6= [e] = [a]2 in dieser Faktorgruppe
und daher [ap ] = [a]p = [a] 6= [e], da p ungerade ist. Also ist ap 6= e in G und
somit ord(a) = 2. Da U Normalteiler in G ist, gilt aga−1 = aga = g k für einen
Exponenten k mit 0 ≤ k ≤ p − 1. Aus k = 0 würde aga = e = aa und daher
g = e folgen, was unmöglich ist. Aus k = 1 würde aga = g und damit ag = ga
folgen. Dann ergäbe ord(ag) = 2 wegen e = agag = gg den Widerspruch p = 2,
und ord(ag) = p ergäbe den Widerspruch e = (ag)p = ap g p = ap . Man hat
2
daher 1 < k ≤ p − 1. Nun gilt aber g k = (g k )k = (aga)k = ag k a = g und
2
damit g k −1 = e. Also teilt p den Exponenten k 2 − 1 = (k − 1)(k + 1). Wegen
1 ≤ k − 1 < p − 2 und k + 1 ≤ p bedeutet dies p = k + 1 und damit k = p − 1.
Also gilt aga = g k = g p−1 = g −1 . Dies zeigt, daß G = hg, ai eine Diedergruppe
ist.
Aufgabe 3.20 Bestimmen Sie sämtliche nicht-isomorphen Gruppoide der Ordnung 2.
46
Aufgabe 3.21 Es sei M eine Menge und ∆ die symmetrische Differenz auf der
Potenzmenge P(M ). Durch A∇B = M \ (A∆B) für alle A, B ∈ P(M ) werde eine
weitere binäre Verknüpfung auf dieser Potenzmenge definiert. Zeigen Sie, daß
(P(M ), ∇) isomorph zu der abelschen Gruppe (P(M ), ∆) ist (vgl. Beispiel 1.9 e)).
Aufgabe 3.22 Es sei M eine nichtleere endliche Menge mit n = |M |. Zeigen
Sie, daß die Gruppen (P(M ), ∆) und das direkte Produkt (Z/(2)n , +) isomorph
zueinander sind.
Aufgabe 3.23 Es sei n ∈ N eine natürliche Zahl.
a) Bestimmen Sie bis auf Isomorphie sämtliche homomorphen Bilder der zyklischen Gruppe Cn .
b) Beweisen oder widerlegen Sie: Es gibt einen Epimorphismus ϕ : (Z/(15), +) →
(Z/(9), +).
Aufgabe 3.24 Es sei G = (X, ·) ein Gruppoid, Y sei eine Menge und f : X → Y
eine bijektive Abbildung. Auf Y wird gemäß
∀y1 , y2 ∈ Y :
y1 ? y2 := f (f −1 (y1 ) · f −1 (y2 ))
eine binäre Operation ? eingeführt. Zeigen Sie, daß dann H = (Y, ?) ein zu G isomorphes Gruppoid ist. Mit G ist daher auch H eine (kommutative, idempotente,
kürzbare) Halbgruppe oder (abelsche) Gruppe.
Aufgabe 3.25 Es seien N und M gleichmächtige Mengen. Beweisen Sie, daß
dann die symmetrischen Gruppen (SN , ◦) und (SM , ◦) isomorph sind.
Aufgabe 3.26 Beweisen Sie Satz 3.15, indem Sie den Beweis des Satzes von
Cayley verallgemeinern.
Aufgabe 3.27 Ist a ∈ X Element einer Gruppe G = (X, ·), so definiert ϕa :
X → X gemäß ϕa (x) = axa−1 für alle x ∈ X einen Automorphismus von G.
Derartige Automorphismen werden innere Automorphismen genannt. Die Menge
Inn(G) der inneren Automorphismen von G bildet einen Normalteiler von Aut(G).
Eine Untergruppe U von G ist genau dann ein Normalteiler, wenn ϕa (U ) ⊆ U für
alle a ∈ X gilt.
47
Aufgabe 3.28 Für jede Gruppe G gilt Inn(G) ∼
= G/Z(G). Ist also Inn(G) oder
sogar Aut(G) zyklisch, so ist G abelsch.
Aufgabe 3.29 Eine Untergruppe U einer Gruppe G heißt charakteristisch, wenn
ϕ(U ) ⊆ U für jeden Automorphismus ϕ ∈ Aut(G) gilt. Jede charakteristische
Untergruppe ist Normalteiler. Jede charakteristische Untergruppe eines Normalteilers von G ist bereits selbst Normalteiler von G.
Aufgabe 3.30 Es seien G = (X, ·) eine Gruppe, a ∈ X und ϕ ∈ Aut(G). Dann
gilt ord(a) = ord(ϕ(a)). Hieraus folgen ord(a) = ord(bab−1 ) und ord(ab) =
ord(ba) für alle b ∈ X.
Aufgabe 3.31 Ist G eine Gruppe der Ordnung n, so ist die Ordnung von Aut(G)
ein Teiler von (n − 1)!.
Aufgabe 3.32 Zeigen Sie, daß die volle lineare Gruppe GL2 (Z/(2)) isomorph zur
speziellen linearen Gruppe SL2 (Z/(2)) und zur Diedergruppe D3 ist. In welchem
Verhältnis stehen GLn (Z/(2)) und SLn (Z/(2)) für n > 2?
Aufgabe 3.33 Man bestimme die Automorphismengruppen der zyklischen
Gruppen (Z/(2), +), (Z/(3), +), (Z/(4), +), (Z/(6), +), (Z/(8), +) und (Z/(9), +).
Aufgabe 3.34 Man bestimme die Automorphismengruppe der zyklischen Gruppe (Cp , ·) für eine Primzahl p.
Aufgabe 3.35 Man bestimme die Automorphismengruppe der Kleinschen Vierergruppe.
Aufgabe 3.36 Man bestimme die Automorphismengruppe der symmetrischen
Gruppe (S3 , ◦).
Aufgabe 3.37 Es seien Gi = (Xi , ·) Gruppen und Ni ⊆ Gi Normalteiler für
i = 1, 2. Dann ist N1 ×N2 Normalteiler von G1 ×G2 und es gilt G1 ×G2 /N1 ×N2 ∼
=
G1 /N1 × G2 /N2 .
Aufgabe 3.38 Ein Normalteiler N einer Gruppe G ist genau dann maximal,
wenn die Faktorgruppe G/N einfach ist.
48
Aufgabe 3.39 Für Elemente a, b ∈ X einer Gruppe G = (X, ·) heißt [a, b] =
aba−1 b−1 der Kommutator von a und b. Für alle Kommutatoren gelten daher
ab = [a, b]ba und [a, b]−1 = [b, a]. Die Elemente a und b sind also genau dann
vertauschbar, wenn für ihren Kommutator [a, b] = e gilt. Die Kommutatorgruppe
K(G) von G ist dann die von allen Kommutatoren erzeugte Untergruppe von G.
Man zeige, daß zu a, b, x ∈ X stets a0 , b0 ∈ X existieren mit x[a, b]x−1 = [a0 , b0 ].
Daher ist K(G) ein Normalteiler von G, für den die Faktorgruppe G/K(G) abelsch
ist. Ist andererseits N ein beliebiger Normalteiler von G, für den G/N abelsch ist,
so gilt bereits K(G) ⊆ N .
Aufgabe 3.40 Es seien G = (X, ·) und G 0 = (X 0 , ) Gruppen, ϕ : X → X 0 ein
Homomorphismus und End(G 0 ) die Menge aller Endomorphismen von G 0 . Auf
der Menge M = X × End(G 0 ) werde die binäre Relation % gemäß
(x, ψ) % (y, χ) ⇐⇒ ψ(ϕ(x−1 )) χ(ϕ(y)) = e0
für alle (x, ψ), (y, χ) ∈ M definiert, wobei e0 das Einselement von G 0 bezeichne.
Zeigen Sie, daß % eine Äquivalenzrelation ist.
Aufgabe 3.41 Es sei G = (X, ·) eine Gruppe und H = {(a, b) | a · b = b · a} ⊆
X 2 die Menge kommutierender Paare aus G. Weiterhin sei (Z2 , +) das direkte
Produkt der unendlichen zyklischen Gruppe (Z, +) mit sich selbst. Zeigen Sie,
daß die Mengen H und Hom(Z2 , G) aller Homomorphismen von Z2 in G gleiche
Mächtigkeit haben. (Hinweis: Betrachten Sie die Abbildung ψ : Hom(Z2 , G) →
X 2 mit ψ(ϕ) = (ϕ(1, 0), ϕ(0, 1)) für alle Homomorphismen ϕ ∈ Hom(Z2 , G).)
Aufgabe 3.42 Es sei H∗ die Menge der Quaternionen ohne Null. Da (H, +, ·)
ein Schiefkörper ist, handelt es sich bei (H∗ , ·) um die (nicht abelsche) Gruppe
der Einheiten von (H, ·). Bezeichnet außerdem R+ die Menge aller positiven reellen Zahlen, so bildet auch (R+ , ·) eine (abelsche) Gruppe. Weiterhin sei eine
Abbildung ϕ : H∗ → R+ gemäß ϕ(x) = x · x für alle x ∈ H∗ gegeben, wobei
x := x1 − x2 i − x3 j − x4 k das konjugierte Quaternion zu x = x1 + x2 i + x3 j + x4 k
bezeichnet.
a) Zeigen sie, daß ϕ tatsächlich nur Bilder in R+ besitzt.
b) Verifizieren Sie die Rechenregel x · y = y · x für beliebige x, y ∈ H.
c) Beweisen Sie, daß ϕ ein Homomorphismus ist und geben Sie dessen Kern an.
Aufgabe 3.43 Es seien G1 = (X, ·) und G2 = (Y, ) Gruppen und ϕ : X → Y
c = (ϕ(N ), )
ein Homomorphismus. Zeigen Sie, daß das homomorphe Bild N
49
eines Normalteilers N = (N, ·) von G1 ein Normalteiler von (ϕ(X), ) ist und
begründen Sie die Isomorphie
X/ϕ−1 (ϕ(N )) ∼
= ϕ(X)/ϕ(N ).
Aufgabe 3.44 Auf der Menge R3 wird gemäß der folgenden Definition ersichtlich
eine binäre Operation ~ eingeführt:

 

x1
y1

  
∀  x2  ,  y2  ∈ R3 :
x3
y3






x1
y1
x1 + y 1

  


x2 + y 2
 x2  ~  y2  := 
.
1
x3
y3
x3 + y3 + 2 (x1 y2 − x2 y1 )
Es sei H = (X, ∗) die Heisenberggruppe über (R, +, ·) (vgl. Aufgabe 1.31) und
ϕ : X → R3 die Abbildung gemäß


1 a b


∀  0 1 c  ∈ X:
0 0 1




1 a b
a




ϕ  0 1 c  = 
c
.
1
0 0 1
b − 2 ac
Zeigen Sie, daß ϕ ein Isomorphismus zwischen H und G = (R3 , ~) ist, womit
es sich insbesondere bei G um eine zur Heisenberggruppe H isomorphe Gruppe
handelt.
Aufgabe 3.45 Zeigen Sie die folgenden Isomorphien.
a) Es sei H = (N0 , +) die Halbgruppe der natürlichen Zahlen mit Null versehen
mit der gewöhnlichen Addition. Dann ist deren Grothendieckgruppe G(H) (vgl.
Aufgabe 1.56) isomorph zu (Z, +), der additiven Gruppe der ganzen Zahlen.
b) Es sei K = (Z \ {0}, ·) die Halbgruppe der ganzen Zahlen ohne Null versehen
mit der gewöhnlichen Multiplikation. Dann ist deren Grothendieckgruppe G(K)
isomorph zu (Q \ {0}, ·), der multiplikativen Gruppe der rationalen Zahlen ohne
Null.
Aufgabe 3.46 Es sei G = (X, ·) eine Gruppe und N = (N, ·) ein Normalteiler
von G. Weiterhin sei für jede nichtleere Menge U ⊆ X die Menge AutU (G) wie
folgt definiert:
AutU (G) := {ϕ ∈ Aut(G) | ϕ(U ) = U }.
50
a) Zeigen Sie, daß (AutU (G), ◦) eine Untergruppe der Automorphismengruppe
(Aut(G), ◦) von G ist.
b) Beweisen Sie AutZ(G) (G) = Aut(G) für das Zentrum Z(G).
c) Gegeben sei die Abbildung Ψ : AutN (G) → TX/N gemäß:
∀ϕ ∈ AutN (G) ∀x · N ∈ X/N :
Ψ(ϕ)(x · N ) = ϕ(x) · N.
Zeigen Sie, daß es sich bei Ψ um eine wohldefinierte Abbildung handelt, deren
Bild in Aut(G/N ) enthalten ist. Beweisen Sie anschließend, daß es sich bei Ψ
sogar um einen Homomorphismus handelt.
Aufgabe 3.47 Es sei G = (X, ·) eine beliebige Gruppe, ϕ ∈ End(G) ein fixierter
Endomorphismus und Xϕ := {x ∈ X|ϕ(x)x−1 ∈ Z(G)}. Zeigen Sie, daß (Xϕ , ·)
eine Untergruppe von G ist.
Aufgabe 3.48 Es sei G = (X, ·) eine Gruppe mit neutralem Element e und
x 6= y seien Elemente aus X \ {e} mit den Eigenschaften x2 = y 2 = (xy)2 = e.
Zeigen Sie, daß h{x, y}i ∼
= (Z2 × Z2 , +) gilt.
Aufgabe 3.49 Es sei G = (X, ·) eine Gruppe mit neutralem Element e und
x 6= y seien Elemente aus X \ {e} mit den Eigenschaften x2 = y, y 2 = e und
(xy)2 = y. Zeigen Sie, daß h{x, y}i ∼
= (Z4 , +) gilt.
Aufgabe 3.50 Es sei X 6= ∅ eine beliebige Menge, % = {(xi xj , xj xi ) | xi , xj ∈
X} Relation auf dem freien Monoid (X ∗ , ·) und κ = κ% die von ihr erzeugte
Kongruenzrelation. Dann ist das Restklassenmonoid (X ∗ /κ, ·) ein kommutatives
Monoid. Es wird das freie kommutative Monoid auf X genannt.
Zeigen Sie, daß für eine abzählbar unendliche Menge X = {xi | i ∈ N} dieses
freie kommutative Monoid isomorph zum Monoid (N, ·) ist. Vergleichen Sie dieses
Monoid auch mit dem Monoid aus Aufgabe 2.56.
Aufgabe 3.51 Es sei G = (X, ·) eine endliche abelsche Gruppe der Ordnung n.
Für jede Zahl k ∈ Z∗n sei die Abbildung ϕk : X → X gemäß ϕk (x) := xk für
alle x ∈ X definiert. Weiter sei X := {ϕk ∈ TX | k ∈ Z∗n }. Zeigen Sie, daß (X , ◦)
eine Untergruppe von (Aut(G), ◦) und homomorphes Bild von (Z∗n , ·) ist. Ist G
die zyklische Gruppe der Ordnung n, gilt sogar Aut(Cn ) ∼
= Z∗n .
51
Aufgabe 3.52 Es sei G = (X, ·) eine beliebige Gruppe. Für ϕ ∈ TX bezeichne
Fix(ϕ) = {x ∈ X | ϕ(x) = x} die Menge aller Fixpunkte von ϕ.
a) Ist ϕ ein Endomorphismus, so ist (Fix(ϕ), ·) eine Untergruppe von G.
b) Begründen Sie die Beziehung Z(G) =
T
ψ∈Inn(G)
Fix(ψ).
Aufgabe 3.53 Es sei G = (X, ·) eine beliebige Gruppe und für ϕ ∈ TX sei wieder
Fix(ϕ) = {x ∈ X | ϕ(x) = x} die Menge aller Fixpunkte von ϕ. Weiterhin sei
AutFix
U (G) := {ϕ ∈ Aut(G) | U ⊆ Fix(ϕ)}
für jede Menge U ⊆ X definiert.
a) Zeigen Sie, daß (AutFix
U (G), ◦) stets eine Untergruppe der Automorphismengruppe (Aut(G), ◦) ist.
b) Es sei U = (U, ·) eine charakteristische Untergruppe von G. Beweisen Sie, daß
dann (AutFix
U (G), ◦) ein Normalteiler der Automorphismengruppe (Aut(G), ◦) ist.
Aufgabe 3.54 Es sei G = (X, ·) eine beliebige Gruppe, deren Automorphismengruppe (Aut(G), ◦) zyklisch ist. Beweisen Sie, daß dann G abelsch sein muss.
Aufgabe 3.55 Es seien G = (X1 , ·) und H = (X2 , ?) Gruppen und ϕ : X1 → X2
sei ein Epimorphismus. Beweisen Sie, daß H genau dann abelsch ist, wenn für
alle x, y ∈ X1 gerade xyx−1 y −1 ∈ ker(ϕ) gilt, d.h. wenn die Kommutatorgruppe
von G eine Untergruppe von (ker(ϕ), ·) ist.
Aufgabe 3.56 Es seien Gi = (Xi , ·) (für i = 1, 2) Gruppen mit den Einselementen ei und ϕ : X2 → Aut(G1 ) ein Homomorphismus. Definiert man auf X1 × X2
eine Multiplikation gemäß
(x1 , x2 )
(y1 , y2 ) = (x1 · (ϕ(x2 ))(y1 ), x2 · y2 )
für alle (x1 , x2 ), (y1 , y2 ) ∈ X1 × X2 , so wird (X1 × X2 , ) eine Gruppe, das verschränkte oder semidirekte Produkt G1 oϕ G2 (bezüglich ϕ). Ist hierbei ϕ(x2 ) = idX1
für alle x2 ∈ X2 der identische Automorphismus, so erhält man offensichtlich das
gewöhnliche direkte Produkt G1 × G2 als Spezialfall.
52
Aufgabe 3.57 Es sei G1 oϕ G2 das in Aufgabe 3.56 definierte semidirekte Produkt.
Die Abbildung ι1 : X1 → X1 × X2 gemäß ι1 (x1 ) = (x1 , e2 ) definiert einen injektiven Homomorphismus von G1 in G1 oϕ G2 .
Auch ι2 : X2 → X1 × X2 gemäß ι2 (x2 ) = (e1 , x2 ) ist ein injektiver Homomorphismus von G2 in G1 oϕ G2 .
Man kann also G1 und G2 als Untergruppen von G1 oϕ G2 auffassen. Für alle
xi ∈ Xi gilt x2 x1 = (ϕ(x2 ))(x1 ) x2 .
Es ist dann sogar G1 ein Normalteiler von G1 oϕ G2 .
Aufgabe 3.58 Es sei ϕ1 : Z/(3) → Z/(3) der durch ϕ1 (a) = −a für alle a ∈
Z/(3) gegebene nicht-triviale Automorphismus von (Z/(3), +) (vgl. Aufgabe 3.33).
Der Homomorphismus ϕ : Z/(2) → Aut(Z/(3)) sei durch ϕ(b) = ϕb1 für b ∈
Z/(2) = {0, 1} definiert. Geben Sie die Cayley-Tafel des semidirekten Produktes
Z/(3) oϕ Z/(2) an und prüfen Sie, zu welcher bekannten Gruppe der Ordnung 6
dieses semidirekte Produkt isomorph ist. Das Ergebnis zeigt, daß das semidirekte
Produkt nicht kommutativ ist.
Aufgabe 3.59 Es seien µ2 = µ2 (C) und µn = µn (C) die abelschen Gruppen
der zweiten bzw. n-ten Einheitswurzeln für n > 2 und der Homomorphismus
ϕ : µ2 → Aut(µn ) sei definiert durch ϕ(1) = idµn und ϕ(−1) = ϕ1 mit ϕ1 (z) =
z −1 für alle z ∈ µn . Dann ist das semidirekte Produkt µn o µ2 isomorph zur
nicht-kommutativen Diedergruppe Dn . (Aufgabe 3.58 ist für n = 3 in additiver
Schreibweise hierin enthalten!)
Aufgabe 3.60 In der symmetrischen Gruppe Sn für n > 1 werde die Untergruppe G2 = hτ i durch eine Transposition τ = (i j) mit 1 ≤ i < j ≤ n erzeugt.
Weiterhin sei G1 = An die alternierende Gruppe der Ordnung n. Ist ϕτ : An → An
der innere Automorphismus gemäß ϕτ (π) = τ ◦ π ◦ τ −1 für alle π ∈ An , dann werde der Homomorphismus ϕ : hτ i → Aut(An ) durch ϕ(τ ) = ϕτ definiert. Zeigen
Sie, daß Sn isomorph zum semidirekten Produkt An oϕ hτ i ist.
Aufgabe 3.61 Die Abbildung ϕ1 : Z/(8) → Z/(8) gemäß ϕ1 (a) = 3a für alle a ∈ Z/(8) ist ein nicht-trivialer Automorphismus von (Z/(8), +). Daher ist
ϕ : Z/(2) → Aut((Z/(8), +)) gemäß ϕ(b) = ϕb1 für b ∈ Z/(2) = {0, 1} ein
Homomorphismus und das semidirekte Produkt Z/(8) oϕ Z/(2) ist eine nichtkommutative Gruppe der Ordnung 16 und enthält eine Untergruppe, die isomorph zur Diedergruppe D4 ist. Sie wird Quasi-Diedergruppe der Ordnung 16
genannt.
53
Aufgabe 3.62 Es sei Gi für i = 1, 2 die Gruppe (R, +). Definiert man für a 6= 0
aus R die Abbildung ϕa : R → R durch ϕa (x) = a · x für alle x ∈ R, dann gilt
ϕa ∈ Aut((R, +)). Zeigen Sie dies und weiter, daß auch ϕ : G2 → Aut(G1 ) gemäß
ϕ(x) = ϕex für alle x ∈ R ein Automorphismus ist.
Daher ist U = {0}×R ∼
= G2 eine Untergruppe des semidirekten Produktes G1 oϕ G2 .
Geben Sie die Nebenklassen (a, 0)U und U (a, 0) für ein beliebiges Element (a, 0) ∈
G1 oϕ G2 an und zeigen Sie dadurch, daß U kein Normalteiler von G1 oϕ G2 ist.
4 Lösungen zu ausgewählten Aufgaben
4
54
Lösungen zu ausgewählten Aufgaben
Lösung zu Aufgabe 1.22
a) Ist al linksabsorbierendes und ar rechtsabsorbierendes Element eines Gruppoids, so folgt bereits aus diesen beiden Eigenschaften a` = a` · ar = ar . Also sind
beide Elemente gleich und dieses eine Element ist absorbierend. Dieselbe Überlegung gilt aber erst recht für zwei absorbierende Elemente, da jedes von ihnen
sowohl links- als auch rechtsabsorbierend ist.
Für Einselemente schließt man analog: Ist e` ein Linkseinselement und er ein
Rechtseinselement, so folgt er = e` · er = e` , d. h. beide stimmen überein und sind
damit ein Einselement. Zwei Einselemente stimmen daher ebenfalls erst recht
überein.
b) Sind a0 und a∗ Elemente eines Monoids (X, ·) mit dem Einselement e, so daß
a0 · a = e und a · a∗ = e für ein a ∈ X gelten, so folgt wegen der Assoziativität
a0 = a0 · e = a0 · (a · a∗ ) = (a0 · a) · a∗ = e · a∗ = a∗ . Speziell stimmen also zwei zu
a inverse Elemente überein.
Die Gleichung a−1 ·a = e = a·a−1 zeigt nicht nur, daß a−1 invers zu a ist, sondern
auch, daß a (eindeutig bestimmtes) Inverses zu a−1 ist. Also gilt (a−1 )−1 = a.
Aus a−1 · a = e = a · a−1 und b−1 · b = e = b · b−1 folgt wegen der Assoziativität
(a · b) · (b−1 · a−1 ) = a · e · a−1 = e und (b−1 · a−1 ) · (a · b) = b−1 · e · b = e, d. h.
b−1 · a−1 ist eindeutig bestimmtes Inverses zu a · b.
Die im Beweis dieser Aussagen verwendete Assoziativität ist entscheidend, denn
es gibt Beispiele für nichtassoziative Gruppoide mit Einselement, in denen keine
dieser Aussagen zutrifft:
·
1
a
b
c
1
1
a
b
c
a b
a b
1 1
1 b
1 a
c
c
1
a
c
Dieses Gruppoid ist kommutativ und hat das Einselement 1. Wegen a · a =
1 = a · b und der Kommutativität sind a und b invers zu a, d. h. a besitzt kein
eindeutig bestimmtes Inverses. Dagegen besitzen sowohl b als auch c das eindeutig
bestimmte Inverse a. Daher gilt b−1 = a = c−1 , aber (b−1 )−1 und (c−1 )−1 existieren
nicht. Ebenso wenig existiert (b · c)−1 = a−1 .
55
Wegen x y = x · y für alle x, y ∈ X und e x0 = x0 e = x0 für alle x0 ∈
X 0 = X ∪ {e}, also speziell auch e e = e ist zweistellige Verknüpfung auf X 0
und daher (X 0 , ) ein Gruppoid. Wegen x y = x · y ∈ X für alle x, y ∈ X ist
(X, ·) = (X, ) Untergruppoid von (X 0 , ) und e ist offensichtlich Einselement
von (X 0 , ). Gelten x x = x, x y = y x oder x (y z) = (x y) z für
alle x, y, z ∈ X 0 , dann natürlich auch in dem Untergruppoid (X, ·) = (X, ). Es
bleibt also jeweils nur die Umkehrung zu zeigen.
Gilt x = x · x = x x für alle x ∈ X dann gilt wegen e e = e auch x = x x
für alle x ∈ X 0 .
Gilt x y = x · y = y · x = y x für alle x, y ∈ X, dann gilt wegen x e = e x
für alle x ∈ X 0 auch x y = y x für alle x, y ∈ X 0 .
Gelte x (y z) = x · (y · z) = (x · y) · z = (x y) z für alle x, y, z ∈ X. Für
x = e und y, z ∈ X 0 gilt aber (x y) z = y z = x (y z) für alle y, z ∈ X 0 .
Entsprechend gilt das Assoziativgesetz in den Fällen y = e und z = e. Damit ist
es aber für alle x, y, z ∈ X 0 erfüllt.
Ist a ∈ X und b = e, so gilt a x ∈ X und daher a x 6= b für jedes x ∈ X, aber
auch a e = a 6= b, d. h. die Gleichung a x = e hat in (X 0 , ) keine Lösung.
Daher ist (X 0 , ) keine Quasigruppe und a nicht invertierbar. Aber natürlich ist
e = e e invertierbar in (X, ) und daher das einzige invertierbare Element.
Ist schließlich (X, ·) eine Gruppe mit dem Einselement 1 ∈ X so gilt 1 1 = 1 =
1 e und wegen 1 6= e ist 1 nicht linkskürzbar in (X 0 , ).
Wegen x y = x · y für alle x, y ∈ X und 0 x0 = x0 0 = 0 für alle x0 ∈ X 0 =
X ∪ {0}, also speziell 0 0 = 0 ist zweistellige Verknüpfung auf X 0 und daher
(X 0 , ) ein Gruppoid. Wegen xy = x·y ∈ X für alle x, y ∈ X ist (X, ·) = (X, )
Untergruppoid von (X 0 , ) und 0 ist offensichtlich absorbierendes Element von
(X 0 , ). Gelten x x = x, x y = y x oder x (y z) = (x y) z für
alle x, y, z ∈ X 0 , dann natürlich auch in dem Untergruppoid (X, ·) = (X, ). Es
bleibt also jeweils nur die Umkehrung zu zeigen.
Gilt x = x · x = x x für alle x ∈ X dann gilt wegen 0 0 = 0 auch x = x x
für alle x ∈ X 0 .
Gilt x y = x · y = y · x = y x für alle x, y ∈ X, dann gilt wegen x 0 = 0 x
für alle x ∈ X 0 auch x y = y x für alle x, y ∈ X 0 .
Gelte x (y z) = x · (y · z) = (x · y) · z = (x y) z für alle x, y, z ∈ X. Für
x = 0 und y, z ∈ X 0 gilt aber (x y) z = 0 z = 0 = x (y z) für alle
56
y, z ∈ X 0 . Entsprechend gilt das Assoziativgesetz in den Fällen y = 0 und z = 0.
Damit ist es aber für alle x, y, z ∈ X 0 erfüllt.
Für x ∈ X gilt 0 x = 0 = 0 0 und x 6= 0. Daher ist 0 nicht linkskürzbar und
(X 0 , ) keine Quasigruppe.
Aus der eindeutigen Lösbarkeit der Gleichung ax = b folgt sofort die Linkskürzbarkeit der Quasigruppe, aus der eindeutigen Lösbarkeit der Gleichung ya = b
entsprechend die Rechtskürzbarkeit.
Da in jeder Gruppe die Gleichungen ax = b durch x = a−1 b und ya = b durch y =
ba−1 eindeutig lösbar sind, ist jede Gruppe eine assoziative Quasigruppe und sogar
eine Loop, da sie ein Einselement besitzt. Umgekehrt sind in jeder assoziativen
Quasigruppe (erst recht in jeder assoziativen Loop) diese Gleichungen lösbar. Mit
Satz 1.11 folgt daher, daß es sich um eine Gruppe handelt.
Mit (ab)a = b für alle a, b ∈ X gilt auch (ba)b = a und durch Multiplikation mit
ba von rechts folgt a(ba) = ((ba)b)(ba) = b ebenfalls für alle a, b ∈ X, also die
Semisymmetrie. Dual folgt hieraus aber ebenso (ab)a = b für alle a, b ∈ X. Daher
ist jede der Gleichungen ax = b und ya = b durch x = ba bzw. y = ab lösbar.
Aus ax = b folgt aber x = (ax)a = ba und aus ya = b folgt y = a(ya) = ab,
also auch die Eindeutigkeit dieser Lösungen. Daher ist (X, ·) eine Quasigruppe.
Ist e Linkseinselement dieser Quasigruppe, so folgt b = (eb)e = be für alle b ∈ X,
d. h. e ist auch Rechtseinselement. Analog ist jedes Rechtseinselement auch ein
Linkseinselement.
Die Surjektivität der Linkstranslation λa besagt also gerade X = λa (X) = aX
und entsprechend folgt X = Xa aus der Surjektivität der Rechtstranslation %a .
Das Gruppoid (X, ·) ist daher genau dann linkseinfach (rechtseinfach), wenn alle
Rechtstranslationen (Linkstranslationen) surjektiv sind.
Die Injektivität von λa (%a ) besagt offensichtlich, daß a linkskürzbar (rechtskürzbar) ist. Das Gruppoid (X, ·) ist also genau dann linkskürzbar (rechtskürzbar),
wenn alle Linkstranslationen (Rechtstranslationen) injektiv sind.
Quasigruppen sind daher genau die Gruppoide, in denen alle Links- und alle
Rechtstranslationen bijektiv sind.
57
Ist (X, ·) semisymmetrisch, so folgt für jedes a ∈ X und alle x ∈ X bereits
λa (%a (x)) = a(xa) = (ax)a = %a (λa (x)), d. h. es gilt λa ◦ %a = %a ◦ λa im
Transformationsmonoid (TX , ◦).
Ersichtlich ist jedes Linkseinselement e` wegen e` · e` = e` idempotent und wegen
e` · a = e` · b ⇒ a = e` · a = e` · b = b linkskürzbar auch ohne Benutzung der
Assoziativität.
Sei umgekehrt e = e · e linkskürzbar. Dann folgt mit der Assoziativität e · a =
(e · e) · a = e · (e · a) und hieraus mit der Linkskürzbarkeit a = e · a, d. h. e ist
Linkseinselement.
Damit ist in einer kürzbaren Halbgruppe jedes idempotente Element bereits ein
Einselement und da dieses eindeutig bestimmt ist, kann es nur ein idempotentes
Element geben.
Ist e idempotentes Element eines linkskürzbaren Gruppoids und er ein Rechtseinselement, so folgt e · e = e = e · er und mit der Linkskürzbarkeit daher e = er .
Die folgende kommutative und idempotente Quasigruppe zeigt, daß in einem
(links)kürzbaren Gruppoid aber kein (Rechts)einselement existieren muß und es
daher mehrere idempotente Elemente geben kann. Die Assoziativität ist für den
ersten Teil der Aufgabe also wesentlich.
·
a
b
c
a b
a c
c b
b a
c
b
a
c
Lösung zu Aufgabe 1.30 Wegen
a b
b a
·
c d
d c
=
ac + bd ad + bc
bc + ad bd + ac
für alle a, b, c, d ∈ R und der Kommutativität von (R, +) ist die Matrizenmultiplikation eine Verknüpfung auf X, und da die Matrizenmultiplikation in M2,2 (R)
assoziativ ist, ist (X, ·) eine Halbgruppe. Mit (R, ·) ist auch diese Halbgruppe
kommutativ. Setzt man speziell b = d = 0, so sieht man an dem entstehenden
Matrizenprodukt, daß die Kommutativität von (X, ·) auch umgekehrt die Kommutativität von (R, ·) impliziert.
Ist 1 ∈ X Einselement des Ringes (R, +, ·), so ist ersichtlich die Einheitsmatrix
E=
1 0
0 1
58
Einselement von (X, ·) und daher ebenso wie die Nullmatrix idempotent. Zur
Bestimmung weiterer idempotenter Elemente im Fall eines Körpers (R, +, ·) betrachte man
2
a + b2
2ab
a b 2
=
.
2ab
a 2 + b2
b a
Dann muß also 2ab = b und a2 + b2 = a gelten. Entweder ist also b = 0 und
a2 = a oder b 6= 0 und 2a = 1. Im ersten Fall ist entweder auch a = 0 oder a
idempotent in der multiplikativen Gruppe des Körpers R, was a = 1 nach sich
zieht. Dies führt auf die bereits bekannten idempotenten Matrizen. Der zweite
Fall kann nur eintreten, wenn die Charakteristik des Körpers von 2 verschieden
ist. Dann folgt zunächst a = 21 , und b 6= 0 ist folglich Lösung der quadratischen
2
Gleichung b2 = a − a2 = a(1 − a) = 21 , also b = 12 oder b = − 12 . In diesem Fall
existieren daher genau zwei weitere idempotente Matrizen:
1
2
1
2
1
2
1
2
− 12
1
2
und
− 21
1
2
.
Im Integritätsbereich (Z, +, ·) existieren daher nur die ersten beiden idempotenten
Elemente in H.
Es gilt für alle a, b, c, e, f, g ∈ R

 



1 a b
1 e f
1 a + e f + ag + b

 


1
g+c 
0 1 c · 0 1 g  = 0
,
0 0 1
0 0 1
0
0
1
also ist (X, ·) eine Unterhalbgruppe von (M3,3 (R), ·), die die Einheitsmatrix
enthält. Weiterhin ist


1 −a ac − b


1
−c  ∈ X
0
0 0
1
Inverse zu der ersten Matrix. Also ist (X, ·) Untergruppe von (M3,3 (R), ·).
Für n = 2 zeigen die Matrizen
A2 =
1 0
, B2 =
1 1
1 1
0 1
mit A2 ·B2 =
1
1
1 1+1
6=
1+1 1
1
1
= B2 ·A2
wegen 1 + 1 6= 1 die Behauptung. Im Fall n > 2 sei En−2 die (n − 2) × (n − 2)Einheitsmatrix, O2,n−2 bzw. On−2,2 die entsprechenden Nullmatrizen und
An =
A2
On−2,2
O2,n−2
, Bn =
En−2
B2
On−2,2
O2,n−2
En−2
59
die n × n-Blockmatrizen. Dann gilt auch An · Bn 6= Bn · An .
Die Anzahl der invertierbaren n×n-Matrizen A mit Koeffizienten aus dem Körper
(K, +, ·) mit |K| = q = pk für ein k ∈ N wird dadurch bestimmt, daß die Möglichkeiten für die Wahl der linear unabhängigen Spaltenvektoren von A gezählt werden.
Für den ersten Spaltenvektor kommt jeder vom Nullvektor verschiedene Vektor
aus K n in Frage. Wegen |K n | = q n gibt es daher q n − 1 Möglichkeiten für diesen
Spaltenvektor.
Sind jetzt bereits die ersten ν linear unabhängigen Spaltenvektoren von A
gewählt, so sind für den ν + 1-ten Spaltenvektor genau sämtliche Linearkombinationen der ersten ν Spaltenvektoren zu vermeiden. Dies sind aber genau q ν
Stück, da es genau so viele verschiedene Möglichkeiten gibt, die Linearfaktoren
vor diesen ν linear unabhängigen Spaltenvektoren zu wählen. Für den ν + 1-ten
Spaltenvektor bleiben daher noch genau q n − q ν Möglichkeiten.
Insgesamt ergeben sich also für die Wahl der n linear unabhängigen Spaltenvektoren von A
(q n − 1) · (q n − q) · · · (q n − q n−1 )
Möglichkeiten, also die Behauptung.
Selbst im einfachsten Fall K = Z/(2) wachsen die Gruppenordnungen recht
schnell: |GL1 (2)| = 1, |GL2 (2)| = 6, |GL3 (2)| = 168, |GL4 (2)| = 20160, . . .
Für K = Z/(3) ergeben sich |GL1 (3)| = 2, |GL2 (3)| = 48, |GL3 (3)| = 11232, . . .
In dem Artikel On the Keyspace of the Hill Cipher haben J. Overbey, W. Traves
und J. Wojdylo für den Fall des Restklassenringes R = Z/(pk ) gezeigt:
2
n−1 n
|GLn (Z/(pk ))| = p(k−1)n Πν=0
(p − pν ).
Es wird dort sogar die allgemeine Formel für |GLn (Z/(m))| angegeben.
Sind a1 , . . . , an sämtliche Elemente der endlichen Halbgruppe (X, ·) und sind
a, b ∈ X beliebig, so sind die Produkte aai wegen der Linkskürzbarkeit paarweise
verschieden und damit genau alle n Elemente von X. Daher hat die Gleichung
ax = b (genau) eine Lösung in (X, ·). Dual folgt aus der Rechtskürzbarkeit die
(eindeutige) Lösbarkeit der Gleichung ya = b. Nach Satz 1.11 ist (X, ·) daher eine
Gruppe.
Da die Assoziativität nur im Satz 1.11 benötigt wird, hat man auch gezeigt, daß
jedes endliche kürzbare Gruppoid bereits eine Quasigruppe ist.
60
Aus der Lösung zu Aufgabe 1.33 folgt, daß in jeder endlichen linkskürzbaren
Halbgruppe (X, ·) für alle a, b ∈ X die Gleichung ax = b eine eindeutige Lösung
hat. Die Linkseinfachheit besagt aber gerade, daß auch die Gleichung ya = b eine
Lösung besitzt. Mit Satz 1.11 folgt daher, daß (X, ·) eine Gruppe ist.
Ist e ∈ X das Einselement des Monoids (X, ·), so folgt aus der Unipotenz bereits
a · a = e · e = e für alle a ∈ X, d. h. jedes Element ist sein eigenes Inverses
und daher (X, ·) eine Gruppe. Sind a und b beliebige Elemente dieser Gruppe, so
gilt wegen der Unipotenz auch abab = e. Durch Multiplikation mit a von links
folgt hieraus zunächst a = aabab = bab und dann durch Multiplikation mit b von
rechts weiter ab = babb = ba, also die Kommutativität.
Gelte also ak bk = (ab)k , ak+1 bk+1 = (ab)k+1 und ak+2 bk+2 = (ab)k+2 für eine
natürliche Zahl k. Dann folgt aus der letzten Gleichung aak+1 bk+1 b = a(ba)k+1 b
durch Kürzen und wegen der zweiten Gleichung (ab)k+1 = ak+1 bk+1 = (ba)k+1 .
Ebenso folgt aus der zweiten und der ersten Gleichung (ab)k = ak bk = (ba)k .
Damit hat man aber (ab)(ab)k = (ab)k+1 = (ba)k+1 = (ba)(ba)k = (ba)(ab)k .
Wiederum durch Kürzen erhält man ab = ba. Umgekehrt folgt hieraus natürlich
ak bk = (ab)k für alle Exponenten.
Es sei G 0 = {0, e} die aus der einelementige Gruppe {e} entstehende Nullgruppe
mit der Verknüpfungstafel
· 0
0 0
e 0
e
0
e
und L = {x, y} die Linkszerohalbgruppe mit der Verknüpfungstafel
·
x
y
x
x
y
y
x
y
Dann ergibt sich für G 0 × L = {(0, x), (0, y), (e, x), (e, y)} die Verknüpfungstafel
·
(0,x)
(0,y)
(e,x)
(e,y)
(0,x)
(0,x)
(0,y)
(0,x)
(0,y)
(0,y)
(0,x)
(0,y)
(0,x)
(0,y)
(e,x)
(0,x)
(0,y)
(e,x)
(e,y)
61
(e,y)
(0,x)
(0,y)
(e,x)
(e,y)
Mit den Abkürzungen a = (0, x), b = (0, y), c = (e, x), d = (e, y) kann man diese
Tafel noch etwas übersichtlicher schreiben
·
a
b
c
d
a b
a a
b b
a a
b b
c d
a a
b b
c c
d d
Man kann aus den Blöcken dieser Tafel noch deutlich die Strukturen der beiden
Faktoren des direkten Produktes ablesen.
Für alle x, y, z ∈ X gilt x ∗ (y ∗ z) = xa(y ∗ z) = xa(yaz) = (xay)az = (x ∗
y)az = (x ∗ y) ∗ z. Also ist (X, ∗) eine Halbgruppe. Wegen x ∗ a−1 = xaa−1 =
x und a−1 ∗ y = a−1 ay ist a−1 Einselement von (X, ∗) und zu jedem x ∈ X
ist (axa)−1 = a−1 x−1 a−1 ∈ X wegen x ∗ (axa)−1 = xaa−1 x−1 a−1 = a−1 und
(axa)−1 ∗ x = a−1 x−1 a−1 ax = a−1 Inverses. Also ist (X, ∗) eine Gruppe.
Für a ∈ M sei die konstante Abbildung ca : M → M definiert durch ca (m) = a
für alle m ∈ M . Dann gilt für jede Transformation g ∈ TM und alle m ∈ M
bereits ca ◦ g(m) = ca (g(m)) = a = ca (m). Also hat man ca ◦ g = ca und ca ist
damit linksabsorbierend.
Ist umgekehrt f ∈ TM linksabsorbierend, dann gilt f ◦ g = f für alle g ∈ TM .
Sind a, m ∈ M beliebig, so folgt f (m) = f ◦ ca (m) = f (a), d. h. alle Werte f (m)
stimmen überein. Also ist f eine konstante Abbildung.
Ist f ∈ TM linkskürzbar und gilt f (a) = f (b) für a, b ∈ M , so folgt f ◦ ca (m) =
f (a) = f (b) = f ◦cb (m) für alle m ∈ M , also f ◦ca = f ◦cb . Mit der Linkskrzbarkeit
folgt ca = cb und daher a = b. Also ist f injektiv.
Sei f ∈ TM injektiv und es gelte f ◦ g = f ◦ h für g, h ∈ TM . Dann gilt für alle
m ∈ M auch f (g(m)) = f (h(m)) und wegen der Injektivität dann g(m) = h(m).
Also hat man g = h.
62
Ist f : M → M eine Transformation auf M mit A = f (X), so definiere man
g : X → X für x ∈ X \ A beliebig und zu jedem a ∈ A wähle man ein ya ∈
f −1 ({a}) 6= ∅ fest und setze g(a) = ya . Dann gilt für alle a ∈ A schon f ◦
g(a) = f (g(a)) = f (ya ) = a und damit für alle x ∈ X wegen f (x) ∈ A auch
f ◦ g ◦ f (x) = f (x). Daher ist f regulär.
Jede freie Halbgruppe ist kürzbar, aber keine Gruppe. Daher kann sie nach Aufgabe 1.40 nicht regulär sein.
Gilt a3 = a, so ist x = a selbst ein Element mit a = axa = xax. Umgekehrt folgt
aus diesen beiden Gleichungen sofort a3 = (xax)a(xax) = x(axa)xax = xaxax =
xax = a.
a) =⇒ b): Gilt a = axa = aya, so sind x0 = xax und x00 = yay Inverse von a und
daher in der inversen Halbgruppe bereits gleich.
b) =⇒ a): Sind x, y ∈ X Inverse zu a ∈ X, so gelten a = axa = aya und x = xax
sowie y = yay. Mit b) folgt hieraus aber bereits x = xax = yay = y, also die
Eindeutigkeit der Inversen.
a) =⇒ c): Sind e, f ∈ E(X) für eine inverse Halbgruppe (X, ·), dann bezeichne
a ∈ X das eindeutig bestimmte Inverse zu ef , also a = aef a und ef = ef aef .
Dann gelten auch ae = aef ae = aeef ae und ef = ef aef = ef aeef sowie
f a = f aef a = f aef f a und ef = ef aef = ef f aef , d. h. auch ae und f a sind
Inverse von ef . Wegen der Eindeutigkeit gilt also a = ae = f a. Dies impliziert
aber a2 = aef a = a und damit a ∈ E(X). Also ist a sein eigenes Inverses.
Dies zeigt ef = a ∈ E(X). Durch Vertauschung von e und f erhält man ebenso
f e ∈ E(X) und daher sind beide Elemente ihre eigenen Inversen. Andererseits
zeigen ef f eef = ef ef = ef und f eef f e = f ef e = f e, daß beide Elemente invers
zueinander sind. Wegen der Eindeutigkeit zeigt dies aber ef = f e.
c) =⇒ a): Seien x0 , x00 ∈ X Inverse von a ∈ X. Dann ist x0 = x00 zu zeigen.
Nun gilt x0 = x0 ax0 = x0 (ax00 a)x0 = x0 (ax00 )(ax0 ) = x0 (ax0 )(ax00 ) = x0 ax00 , da ax0
und ax00 idempotent in (X, ·) sind. Analog erhält man x0 = x00 ax0 . Dies impliziert
x0 = x0 ax0 = (x00 ax0 )a(x0 ax00 ) = x00 ax00 = x00 .
Seien a, b ∈ X mit ax = bx für alle x ∈ X und gelte a = ax0 a und x0 = x0 ax0 sowie
b = bx00 b und x00 = x00 bx00 . Dann folgt a = ax0 a = bx0 a = bx00 bx0 a = bx00 ax0 a =
bx00 a = ax00 a und x00 = x00 bx00 = x00 ax00 . Also gilt x0 = x00 wegen der Eindeutigkeit
63
des Inversen. Dann sind aber auch a und b die eindeutig bestimmten Inversen zu
x0 und daher gleich. Also ist H linksreduktiv. Dual folgt die Rechtsreduktivität
und damit die Reduktivität.
Für a, b ∈ E(X) betrachte x = aba und y = ba. Dann gilt x2 = abaaba =
ababa = xy und yx = baaba = baba = y 2 und mit i) folgt aba = x = y = ba.
Durch Vertauschen von a und b erhält man entsprechend bab = ab. Setzt man
jetzt x = ab und y = ba, so gilt x2 = abab = bab und yx = baab = bab = x2 sowie
xy = abba = aba = baba = y 2 . Mit ii) folgt daher ab = x = y = ba.
Außerdem folgt aus bab = ab und aba = ba noch abab = bab = ab, also ab ∈ E(X).
Im Fall E(X) 6= ∅ ist (E(X), ·) also eine kommutative und idempotente Unterhalbgruppe von (X, ·). Die kürzbare und damit separative Halbgruppe (N \ {1}, ·)
zeigt, daß der Fall E(X) = ∅ durchaus eintreten kann.
Aus x2 = x und xy = xzy folgt sofort x = x2 = xzx. Umgekehrt ergibt sich aus
x = xyx zunächst x = x3 und x = x4 , was x = x4 = x3 x = x2 nach sich zieht.
Andererseits folgt auch y = yxzy und daher auch xy = xyxzy = xzy.
Ist (X, ·) rektangulär, so folgt aus xy = yx zunächst x = xyx = yxx = yx und
y = yxy = xyy = xy, also insgesamt x = yx = xy = y.
Umgekehrt folgt wegen der Gültigkeit der Implikation aus xxx = xxx zunächst
x = xx, also die Idempotenz. Dann gilt aber xxyx = xyx = xyxx und hieraus
folgt mit der Implikation bereits x = xyx.
Ist (X, ·) kommutative Halbgruppe, so gilt für alle x, y ∈ X bereits (xy)n =
(yx)n = y(xy)n−1 x und damit die Behauptung für alle n > 1 und z = (xy)n−1 .
Ist (X, ·) eine beliebige Gruppe, so gilt für alle x, y ∈ X bereits xy = yy −1 xyx−1 x,
also die Behauptung für n = 1 und z = y −1 xyx−1 .
Da 0 neutrales Element in (X.+) ist, folgt aus der Distributivität für x ∈ X
zunächst 0 ∗ x = (0 + 0) ∗ x = 0 ∗ x + 0 ∗ x, d. h. 0 ∗ x ist idempotentes Element
in der Gruppe (X, +). Dies impliziert bereits 0 = 0 ∗ x und 0 ∗ x = 0 folgt dual.
64
Für x, y ∈ X gilt daher (−x) ∗ y + x ∗ y = ((−x) + x) ∗ y = 0 ∗ y = 0 und damit
(−x) ∗ y = −(x ∗ y) in der kommutativen Gruppe (X, +). Wegen x ∗ (−y) + x ∗ y =
x ∗ ((−y) + y) = x ∗ 0 = 0 folgt auch x ∗ (−y) = −(x ∗ y).
Ist nun (X, +, ∗) nullteilerfrei, so gilt x ∗ y ∈ X \ {0} für alle x, y ∈ X \ {0} =
6 ∅,
d h. es gilt X = {0} oder (X \ {0}, ∗) ist Untergruppoid von (X, ∗). Ist im
letzten Fall X endlich, dann auch dieses Untergruppoid. Für a ∈ X \ {0} ist
dann (X \ {0}) ∗ a Teilmenge von X \ {0} und für x, y ∈ X \ {0} folgt aus
x ∗ a = y ∗ a sofort 0 = x ∗ a − y ∗ a = x ∗ a + (−y) ∗ a = (x + (−y)) ∗ a und
daher x + (−y) = 0, also x = y. Die Produkte x ∗ a für x ∈ X \ {0} sind daher
paarweise verschieden. Dies impliziert (X \ {0}) ∗ a = X \ {0} und daher ist die
Gleichung x ∗ a = b stets eindeutig lösbar. Dual folgt die eindeutige Lösbarkeit
von a ∗ y = b.
Es sei f : H → N eine planare Funktion und R = {(x, f (x)) | x ∈ H}. Dann
gilt jedenfalls |R| = |H| = |N | = n und |D| ≤ n(n − 1) für D = {r − r0 | r 6= r0
aus R}. Sei (a, b) ∈ G \ ({0} × N ), also a 6= 0 aus H. Da δa : H → N bijektiv
ist, existiert genau ein x ∈ H mit b = δa (x) = f (x + a) − f (x). Es folgt, daß die
Elemente (x + a, f (x + a)) 6= (x, f (x)) beide in R liegen und daher ihre Differenz
(a, f (x + a) − f (x)) = (a, b) in D. Also gilt G \ ({0} × N ) ⊆ D, was wegen
|G \ ({0} × N )| = n2 − n bereits die Gleichheit zeigt. Daher ist R eine relative
(n, n, n, 1)-Differenzmenge mit verbotener Untergruppe {0} × N .
Sei umgekehrt R ⊆ G = H × N eine derartige Menge und x ∈ H. Dann kann
es keine zwei verschiedenen Elemente y 6= y 0 aus N geben mit r = (x, y), r0 =
(x, y 0 ) ∈ R, da sonst r − r0 = (0, y − y 0 ) ∈ {0} × N in D = {r − r0 | r 6= r0
aus R} = G \ ({0} × N ) liegen würde. Wegen |R| = n = |H| muß es aber auch
mindestens ein y ∈ N mit (x, y) ∈ R geben. Definiert man nun f : H → N durch
f (x) = y für das durch x eindeutig bestimmte y ∈ H mit (x, y) ∈ R, so ist diese
Funktion wohldefiniert und es gilt R = {(x, f (x)) | x ∈ H}. Sei jetzt a 6= 0 aus
H und δa : H → N gemäß δa (x) = f (x + a) − f (x) definiert. Für jedes b ∈ N gilt
dann (a, b) ∈ D und es gibt eindeutig bestimmte r = (y, f (y)), r0 = (x, f (x)) ∈ R
mit (a, b) = r − r0 = (y − x, f (y) − f (x)). Hieraus folgt in H zunächst y = x + a
und dann in N weiter f (x + a) − f (x) = b. Also ist δa surjektiv und wegen
|H| = n = |N | sogar bijektiv.
a) Es ist D = {r − r0 | r =
6 r0 aus R} = {(1, 1), (2, 1), (2, 2), (1, 0), (1, 2), (2, 0)} =
G \ ({0} × N ), also R eine relative (3, 3, 3, 1)-Differenzmenge mit verbotener
Untergruppe {0} × N .
65
b) Es ist
D = {(0, 1), (1, 3), (3, 0), (0, 3), (1, 2), (3, 3), (3, 1), (3, 2), (2, 1), (1, 0), (1, 1), (2, 3)}
und G \ D = N 0 = {(0, 0), (0, 2), (2, 0), (2, 2)} ist Untergruppe von G.
Wegen (0, 0) ⊕ (x0 , y 0 ) = (x0 , y 0 + 0 ∗ x0 ) = (x0 , y 0 ), da 0 im Quasikörper (X, +, ∗)
absorbierend ist, und ebenso (x, y) ⊕ (0, 0) = (x, y) ist jedenfalls (0, 0) neutrales
Element in dem Gruppoid (G, ⊕). Weiterhin gilt (x, y) ⊕ (−x, −y + x ∗ x) =
(0, y − y + x ∗ (−x) + x ∗ x) = (0, 0) und (−x, −y + x ∗ x) + (x, y) = (0, −y + x ∗ x +
y+(−x)∗x) = (0, 0), da (X, +) abelsche Gruppe ist und die Distributivgesetze im
Quasikörper gelten. Also ist jedes Element in (G, ⊕) invertierbar. Es bleibt daher
noch die Assoziativität von ⊕ zu zeigen. Seien dazu (x, y), (x0 , y 0 ), (x00 , y 00 ) ∈ G.
Dann gilt ((x, y) ⊕ (x0 , y 0 )) ⊕ (x00 , y 00 ) = (x + x0 , y + y 0 + x ∗ x0 ) ⊕ (x00 , y 00 ) = (x + x0 +
x00 , y +y 0 +x∗x0 +y 00 +(x+x0 )∗x00 ) = (x+x0 +x00 , y +y 0 +y 00 +x∗x0 +x∗x00 +x0 ∗x00 )
und entsprechend (x, y) ⊕ ((x0 , y 0 ) ⊕ (x00 , y 00 )) = (x + x0 + x00 , y + y 0 + y 00 + x ∗ x0 +
x ∗ x00 + x0 ∗ x00 ). Dies zeigt, daß (G, ⊕) eine Halbgruppe und damit eine Gruppe
ist. Offensichtlich ist (x, y) ⊕ (x0 , y 0 ) = (x0 , y 0 ) ⊕ (x, y) für alle (x, y), (x0 , y 0 ) ∈ G
wegen der Kommutativität von (X, +) gleichwertig mit x ∗ x0 = x0 ∗ x für alle
x, x0 ∈ X. Wegen (0, y) ⊕ (0, y 0 ) = (0, y + y 0 ) und −(0, y) = (0, −y) ist schließlich
{0} × X Untergruppe von G.
Seien jetzt (H, +) = (N, +) = (X, +) sowie R = {(x, x ∗ x) | x ∈ X} und
D = {r − r0 | r 6= r0 aus R}. Aus |X| = n folgen dann |H| = |N | = |R| =
n. Zum Nachweis, daß R eine (n, n, n, 1)-Differenzmenge von G mit verbotener
Untergruppe {0}×N ist, bleibt noch D = G\({0}×X) zu zeigen. Für r = (x, x∗x)
und r0 = (x0 , x0 ∗ x0 ) aus R gilt −r0 = (−x0 , −(x0 ∗ x0 ) + x0 ∗ x0 ) = (−x0 , 0) und
daher r − r0 = r ⊕ (−r0 ) = (x, x ∗ x) ⊕ (−x0 , 0) = (x − x0 , x ∗ x + x ∗ (−x0 )) =
(x − x0 , x ∗ (x − x0 )). Aus r 6= r0 folgt x 6= x0 und somit r − r0 ∈ G \ ({0} × X),
also D ⊆ G \ ({0} × X). Es ist |G \ ({0} × X)| = n2 − n = n(n − 1) und nach
Definition von D wegen |R| = n auch D ≤ n(n − 1). Daher reicht es zu zeigen,
daß die Elemente r − r0 ∈ D für r 6= r0 aus R paarweise verschieden sind.
Gelte also ri = (xi , xi ∗ xi ) 6= ri0 = (x0i , x0i ∗ x0i ) für i = 1, 2 und r1 − r10 = r2 − r20 . Es
folgt (x1 − x01 , x1 ∗ (x1 − x01 )) = (x2 − x02 , x2 ∗ (x2 − x02 )) und daher x1 − x01 = x2 − x02
sowie x1 ∗ (x1 − x01 ) = x2 ∗ (x2 − x02 ) = x2 ∗ (x1 − x01 ). Wegen der Distributivität
und Nullteilerfreiheit des Quasikörpers (X, +, ∗) folgt hieraus x1 = x2 und dann
weiter in der Gruppe (X, +) aus x1 − x01 = x2 − x02 auch x01 = x02 , also insgesamt
r1 = r2 und r10 = r20 .
Zunächst wird durch Induktion gezeigt, daß wegen
66
(*) zu i, j ∈ I existiert stets ein k ∈ I mit Ui ∪ Uj ⊆ Uk
zu je endlichen vielen Elementen a1 , . . . , an ∈ U =
a1 , . . . , an ∈ Uin .
S
i∈I
Ui ein in ∈ I existiert mit
Für n = 1 ist dies nach Definition der Vereinigung U trivial und für n = 2
folgt es direkt aus (*). Gelte die Behauptung also für ein n ∈ N und seien
a1 , . . . , an , an+1 ∈ U . Dann existiert ein in ∈ I mit a1 , . . . , an ∈ Uin und ein
j ∈ I mit an+1 ∈ Uj . Wegen (*) existiert daher ein k ∈ I mit Uin ∪ Uj ⊆ Uk . Für
in+1 = k gilt damit a1 , . . . , an+1 ∈ Uin+1 .
Diese Aussage ist eine rein mengentheoretische und unabhängig davon, ob die Ui
Teilmengen einer gemeinsamen Menge X sind und ob eine Multiplikation existiert
oder nicht.
Sind jetzt alle (Ui , ·) Untergruppoide von (X.·) und a, b ∈ U , so gibt es ein k ∈ I
mit a, b ∈ Uk und daher a · b ∈ Uk ⊆ U . Daher ist auch (U, ·) ein Untergruppoid.
Sind weiter alle (Ui , ·) Quasigruppen, dann existieren eindeutig bestimmte x, y ∈
Uk ⊆ U mit ax = b und ya = b. Gäbe es weitere x0 , y 0 ∈ U mit ax0 = b und
y 0 a = b, so wären nach der oben bewiesenen Hilfsaussage a, b, x, x0 , y, y 0 in einer
der Quasigruppen (Ui , ·) enthalten und dort würde x = x0 und y = y 0 folgen.
Daher sind die Lösungen x und y der beiden Gleichungen auch in (U, ·) eindeutig.
Also ist (U, ·) eine Quasigruppe.
Sind jetzt alle (Ui , ·) Halbgruppen, so gibt es wieder wegen der oben bewiesenen
Hilfsaussage zu a, b, c ∈ U eine Halbgruppe (Ui , ·) mit a, b, c ∈ Ui . Dort gilt
dann aber (ab)c = a(bc) und damit auch in (U, ·). Also ist (U, ·) ebenfalls eine
Halbgruppe.
Durch Kombination der beiden bewiesenen Aussagen erhält man natürlich die
analoge Aussage für Gruppen.
a) Ist U V Untergruppe, so folgt für alle u ∈ U und v ∈ V wegen u−1 ∈ U und
v −1 ∈ V dann (vu)−1 = u−1 v −1 ∈ U V und daher vu ∈ U V . Dies zeigt V U ⊆ U V
und die umgekehrte Inklusion folgt dual. Hat man umgekehrt U V = V U , so
gelten U V · U V = U U V V ⊆ U V und (U V )−1 = V −1 U −1 ⊆ V U = U V . Also ist
U V eine Untergruppe.
b) Sind U und V echte Teilmengen von X, so folgt aus U ⊆ V bereits U ∪ V =
V ⊂ X und aus V ⊆ U bereits U ∪ V = U ⊂ X, also die Behauptung. Man darf
daher die Existenz von u ∈ U \ V und v ∈ V \ U annehmen. Aus X = U ∪ V
würde dann aber uv ∈ U ∪ V folgen. Aus uv ∈ U folgt jedoch der Widerspruch
67
v = u−1 (uv) ∈ U , aus uv ∈ V der Widerspruch u = (uv)v −1 ∈ V . Daher gilt
X 6= U ∪ V .
c) Wäre auch V = hX \ U i echte Untergruppe von G, so würde aus X = (X \
U ) ∪ U ⊆ hX \ U i ∪ U ⊆ X, also X = U ∪ V , ein Widerspruch zu b) folgen. Daher
gilt X = hX \ U i.
a) Es sei U = {an | n ∈ N}. Dann liegt für an , am ∈ U auch an ·am = an+m = am ·an
in U und U ist eine (kommutative) Unterhalbgruppe von (X, ·), die a = a1 enthält.
Also ist die kleinste Unterhalbgruppe hai dieser Art in U enthalten. Andererseits
enthält jede Unterhalbgruppe von (X, ·), die a enthält, auch alle Potenzen an und
damit schon ganz U . Dies zeigt hai = U .
Sind nun alle Potenzen aus U = hai paarweise voneinander verschieden, so gilt
natürlich |hai| = ∞. Existieren dagegen m < k aus N mit am = ak , so kann man
ein minimales m dieser Art wählen und zu diesem wiederum ein minimales k. Es
ist dann 1 ≤ m < k. Daher gilt n = k − 1 ∈ N und die Potenzen a1 , a2 , . . . , an
sind paarweise verschieden. Für die Vorperiode v = m − 1 ∈ N0 gilt weiter
av+1 = am = ak = an+1 .
Sei G = {av+1 , . . . , an }. Dann gilt |G| = n − v = k − m. Schränkt man die durch
λa (x) = a · x für alle x ∈ X definierte Linkstranslation λa (vgl. Aufgabe 1.28)
auf G ein, so gilt λa |G(ai ) = ai+1 ∈ G für i = v + 1, . . . , n − 1 und λa |G(an ) =
an+1 = av+1 ∈ G. Diese Abbildung λ = λa |G ist also eine surjektive und wegen
der Endlichkeit von G sogar bijektive Transformation von G.
Dasselbe gilt natürlich für sämtliche Potenzen λi für i ∈ N. Es gilt aber λi (x) =
ai · x für alle x ∈ G. Zu gegebenen ai , aj ∈ G gibt es also genau ein x ∈ G
mit ai · x = aj . Wegen der Kommutativität von U (und damit von G) ist G
nach Satz 1.11 a) eine Gruppe, deren Einselement ein idempotentes Element von
(X, ·) sein muß. Gibt es andererseits ein idempotentes Element e von (X, ·), so
ist hei = {e} natürlich endlich.
b) Ist hai kürzbare Halbgruppe, so folgt aus av+1 = an+1 sofort av = an und
damit v = m − 1 < m. Wegen der minimalen Wahl von m in N kann dies nur
für v = 0 eintreten. Im Fall einer Gruppe (X, ·) muß natürlich auch a−1 und
damit a−n für alle n ∈ N, also insgesamt {an | n ∈ Z} in jeder Untergruppe, die
a enthält, enthalten sein. Diese Menge liegt also in hai. Umgekehrt bildet diese
Menge natürlich eine Untergruppe, die a enthält. Sie umfaßt somit hai.
Aus am = ak für m, k ∈ Z mit m < k folgt für m < 0 sofort durch Multiplikation
0
0
mit a|m|+1 für m0 = m+|m|+1 und k 0 = k +|m|+1 aus N die Gleichheit am = ak
68
und man kann wie in a) auf die Existenz der Gruppe G = {av+1 , . . . an } schließen,
die wegen der Kürzbarkeit von (X, ·) G = {a, . . . , an } erfüllen muß und damit a
enthält.
Wegen |X| = 2n ≥ 2 gibt es eine ungerade Anzahl k = 2n − 1 ≥ 1 von Elementen
a 6= e in (X, ·).
Ist a 6= e ein Element ungerader Ordnung, so ist wegen ord(a−1 ) = ord(a) auch
a−1 6= a ein von e verschiedenes Element ungerader Ordnung. Derartige Elemente
treten also stets paarweise auf. Es muß daher mindestens ein Element a 6= e mit
gerader Ordnung 2m geben. Dann ist aber am ein Element der Ordnung 2, also
U = {e, am } eine Untergruppe der Ordnung 2. Hierbei wurde die Kommutativität
von (X, ·) nicht benutzt.
Ein Beispiel für diese Situation ist die (nicht kommutative) symmetrische Gruppe
(S3 , ◦) der Ordnung 6 = 2 · 3 mit k = 5 vom Einselement (1) verschiedenen
Permutationen. Die Elemente ungerader Ordnung sind dann genau die Zyklen
(1 2 3) und (1 3 2), die invers zueinander sind. Es gibt also noch drei Elemente
gerader Ordnung, nämlich die Involutionen (1 2), (1 3) und (2 3). Jede von ihnen
bildet zusammen mit der Identität eine Untergruppe der Ordnung 2. Daher gibt
es in diesem nicht-kommutativen Fall mehrere Untergruppen der Ordnung 2.
Sei jetzt G kommutativ.
Sind U1 = {e, a} und U2 = {e, b} Untergruppen der Ordnung 2 von (X, ·), so
würde aus a 6= b sofort a · b 6∈ {a, b} folgen, denn a · b = a würde b = e,
also |U2 | = 1, und a · b = b entsprechend |U1 | = 1 implizieren, und a · b = e
würde a 6= b widersprechen. Dann wäre wegen der Kommutativität von (X, ·)
aber U = {e, a, b, a · b} eine Untergruppe von (X, ·) der Ordnung 4, also 4 ein
Teiler von 2n, was unmöglich ist, da n ungerade ist. Es gibt also höchstens eine
Untergruppe der Ordnung 2.
Diese Situation tritt dagegen für die andere Gruppe der Ordnung 6 ein, die zyklische (und daher abelsche) Gruppe (Z/(6), +). Von den k = 5 von der Restklasse
[0] verschiedenen Elementen haben [1] und −[1] = [5] die ungerade Ordnung 5,
[2] und −[2] = [4] die ungerade Ordnung 3 und nur [3] = −[3] ist eine Involution,
hat also gerade Ordnung. Diese Involution bildet zusammen mit der Restklasse
[0] die einzige Untergruppe der Ordnung 2.
Man beachte, daß schon die Notation g∈X g 2 die Kommutativität von (X, ·)
voraussetzt, da sonst das Produkt von der Reihenfolge der Faktoren abhängen
Q
69
könnte. So ist etwa in der nicht kommutativen symmetrischen Gruppe (S3 , ◦)
Q
das Produkt π∈S3 π wegen (1)(1 2 3)(1 3 2)(1 2)(1 3)(2 3) = (1 3) und
(1)(1 2 3)(1 3 2)(1 2)(2 3)(1 3) = (2 3) nicht eindeutig bestimmt.
Die endlich vielen Elemente von X seien wie folgt numeriert. Es sei g1 = e das
Einselement von G, g2 , . . . , gn seien sämtliche Elemente mit ord(gi ) 6= 2, also alle
von e verschiedenen Nicht-Involutionen, und gn+1 = h1 , . . . gn+k seien sämtliche
Elemente mit ord(gi ) = 2, also alle Involutionen. Dann gilt also gi 6= gi−1 für
i = 2, . . . , n und gi = gi−1 für i = n + 1, . . . , n + k. Außerdem ist für die NichtInvolutionen gi dann gi−1 nur ein von gi verschiedenes Element gj mit ord(gj ) =
ord(gi ) 6= 2.
−1
n
n
2
2
= en−1 = e, wobei im vorletzten
Daher gilt n+k
i=2 gi · gi
i=2 gi =
i=1 gi =
Schritt die Kommutativität von (X, ·) ausgenutzt wurde, um jeweils gi und gi−1
als Faktoren nebeneinander zu bringen.
Q
Q
Q
Ist |X| ungerade, so kann es kein Element g ∈ X mit g 2 = e geben, da sonst
U = {e, g} eine Untergruppe von G der Ordnung 2 wäre, was nach dem Satz
von Lagrange unmöglich ist. In diesem Fall ist daher k = 0 und damit bereits
Q
Q
e = ee(n−1)/2 = e ni=2 gi = ni=1 gi , denn unter den gi 6= e kommt ja mit jedem
g ∈ X auch g −1 genau einmal vor.
In der zyklischen Gruppe (Z/(4), +) haben die Restklassen [1] und [3] = −[1] die
Ordnung 4, und nur die Restklasse [2] = −[2] ist eine Involution. Man hätte also
etwa g1 = [0], g2 = [1], g3 = [3] und g4 = [2] mit n = 3 und k = 1. Es ist (in
P
additiver Schreibweise) 4i=1 2gi = 2[0] + 2[1] + 2[3] + 2[2] = [0 + 2 + 6 + 4] =
P
[12] = [0], aber ni=1 gi = [0] + [1] + [3] + [2] = [6] = [2] 6= [0], da die Ordnung ja
auch nicht ungerade ist.
Dagegen gilt in der zyklischen Gruppe (Z/(5), +) bereits [0] + [1] + [4] + [2] + [3] =
[10] = [0].
Da M endlich ist, ist eine Transformation f : M → M genau dann bijektiv, wenn
sie injektiv ist, also genau dann singulär, wenn verschiedene Elemente m1 6= m2
aus M mit f (m1 ) = f (m2 ) existieren. Ist dann g : M → M eine weitere derartige
Transformation, so folgt auch g(f (m1 )) = g(f (m2 )), d. h. auch g ◦ f ist singulär.
Also ist TM \ SM für |M | > 1 eine Unterhalbgruppe von TM . Wegen |TM | = nn
und |SM | = n! ist |TM \ SM | = nn − n! klar.
Ist f : D → M eine partielle Abbildung von D ⊆ M in M und A = f (D), so
kann man g : A → M wie in der Lösung zu Aufgabe 1.42 definieren, d. h. zu
70
a ∈ D sei ya ∈ f −1 (a) fest gewählt und es werde g(a) = ya gesetzt. Man erhält
dann ebenfalls f (g(a)) = f (ya ) = a für alle a ∈ A = f (D) und daher f ◦g ◦f = f .
Die binären Relationen % auf der Menge M = {1, 2} werden als 2 × 2-Matrizen
R = (ri,j ) über dem Booleschen Halbring B = {0, 1} dargestellt, wobei genau
dann ri,j = 1 gilt, wenn (i, j) in % liegt.
Dann entspricht der identischen Relation die Einheitsmatrix E =
1 0
0 1
und
0 1
. Diese beiden
1 0
Matrizen bilden zusammen eine Gruppe, die isomorph zu S{1,2} ist.
der Permutation, die 1 mit 2 vertauscht, die Matrix P =
Die weiteren (singulären) Transformationen aus T{1,2} werden dann dargestellt
1 0
durch die Matrizen T1 =
, welche die Projektion auf die Teilmenge {1}
1 0
0 1
darstellt, und T2 =
für die Projektion auf die Teilmenge {2}.
0 1
Damit hat man die folgende Cayley-Tafel für T{1,2} .
·
E
P
T1
T2
E
E
P
T1
T2
P
P
E
T2
T1
T1
T1
T1
T1
T1
T2
T2
T2
T2
T2
Man sieht hieran, daß {T1 , T2 } nicht nur eine Unterhalbgruppe von T{1,2} sondern
sogar ein Ideal ist. Wegen T1 T2 6= T2 T1 sind diese beiden idempotenten Elemente
nicht vertauschbar, also ist T{1,2} insbesondere keine inverse Halbgruppe.
Als Definitionsbereiche für die echten partiellen Abbildungen aus P{1,2} kommen
nur die Mengen ∅, {1} und {2} in Frage. Auf der
ersten
ist nur die leere Abbildung
0 0
definiert, ihr entspricht die Nullmatrix O =
. Auf der Menge {1} sind
0 0
genau zwei Abbildungen möglich, der 1 kann entweder die 1 zugeordnet
werden
1 0
oder die 2. Diese Abbildungen werden durch die Matrizen Q1 =
und
0
0
0 1
Q2 =
dargestellt. Entsprechend gehören zu den beiden Abbildungen auf
0 0
0 0
0 0
{2} die Matrizen R1 =
und R2 =
.
1 0
0 1
Damit ergibt sich die Cayley-Tafel für P{1,2} :
·
E
P
T1
T2
Q1
Q2
R1
R2
O
E
E
P
T1
T2
Q1
Q2
R1
R2
O
P
P
E
T2
T1
Q2
Q1
R2
R1
O
T1
T1
T1
T1
T1
Q1
Q1
R1
R1
O
T2
T2
T2
T2
T2
Q2
Q2
R2
R2
O
Q1
Q1
R1
T1
O
Q1
O
R1
O
O
Q2
Q2
R2
T2
O
Q2
O
R2
O
O
R1
R1
Q1
O
T1
O
Q1
O
R1
O
71
R2
R2
Q2
O
T2
O
Q2
O
R2
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
In dieser Halbgruppe sind alle Elemente bis auf P , Q2 und R1 idempotent, also
insbesondere regulär. Wegen P 3 = P ist aber auch P sein eigenes Inverses und
wegen Q2 R1 Q2 = Q2 und R1 Q2 R1 = R1 sind beide Elemente invers zueinander.
Dies zeigt noch einmal explizit, daß P{1,2} eine reguläre Halbgruppe ist. Es ist aber
Q2 nur mit sich selbst, E und O vertauschbar. Da dies keine Inversen von Q2 sind,
ist Q2 mit keinem seiner Inversen vertauschbar, so daß P{1,2} keine vollständig
reguläre Halbgruppe ist.
Außerdem bildet P{1,2} \T{1,2} = {O, Q1 , Q2 , R1 , R2 } die Menge aller echten partiellen Abbildungen eine Unterhalbgruppe von P{1,2} . Dies läßt sich ganz allgemein
für PM \ TM zeigen.
Schließlich lassen sich die binären Relationen, die nicht rechtseindeutig sind, durch
die folgenden Matrizen darstellen.
1 1
1
, dann die linkstotalen Relationen A =
1
1
1
1 1
0 1
1 1
1
B=
,C =
und D =
, und schließlich noch F =
0 1
1 1
1 0
0
0 0
sowie G =
.
1 1
Die Allrelation I =
Für die Cayley-Tafel von B{1,2} erhält man damit
0
,
1 1
0
·
E
P
T1
T2
Q1
Q2
R1
R2
O
A
B
C
D
F
G
I
E
E
P
T1
T2
Q1
Q2
R1
R2
O
A
B
C
D
F
G
I
P
P
E
T2
T1
Q2
Q1
R2
R1
O
C
D
A
B
F
G
I
T1
T1
T1
T1
T1
Q1
Q1
R1
R1
O
T1
T1
T1
T1
Q1
R1
T1
T2
T2
T2
T2
T2
Q2
Q2
R2
R2
O
T2
T2
T2
T2
Q2
R2
T2
Q1
Q1
R1
T1
O
Q1
O
R1
O
O
T1
Q1
R1
T1
Q1
R1
T1
Q2
Q2
R2
T2
O
Q2
O
R2
O
O
T2
Q2
R2
T2
Q2
R2
T2
R1
R1
Q1
O
T1
O
Q1
O
R1
O
R1
T1
T1
Q1
Q1
R1
T1
72
R2
R2
Q2
O
T2
O
Q2
O
R2
O
R2
T2
T2
Q2
Q2
R2
T2
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
A
A
D
T1
I
Q1
F
R1
G
O
A
I
I
D
F
G
I
B
B
C
I
T2
F
Q2
G
R2
O
I
B
C
I
F
G
I
C
C
B
T2
I
Q2
F
R2
G
O
C
I
I
B
F
G
I
D
D
A
I
T1
F
Q1
G
R1
O
I
D
A
I
F
G
I
F
F
G
I
O
F
O
G
O
O
I
F
G
I
F
G
I
G
G
F
O
I
O
F
O
G
O
G
I
I
F
F
G
I
I
I
I
I
I
F
F
G
G
O
I
I
I
I
F
G
I
Die Elemente I, A, B, F und G sind idempotent und daher regulär. Wegen
CDC = AC = C und DCD = BD = D sind aber C und D invers zueinander
und damit ebenfalls regulär. Insgesamt ist daher B{1,2} eine reguläre Halbgruppe
im Gegensatz zu der Behauptung in Exercise 15 auf Seite 63 in John M. Howie,
Fundamentals of Semigroup Theory, Oxford Science Publications, 1995.
Man kann allerdings zeigen, daß die Matrix


0 0 1


1 1 0
0 1 1
eine Relation aus B{1,2,3} darstellt, die nicht regulär ist.
Die Menge B{1,2} \ P{1,2} aller “echten” Relationen bildet wiederum eine Unterhalbgruppe von B{1,2} , was sich ebenfalls ganz allgemein zeigen läßt.
Eine andere Unterhalbgruppe wird von {E, A, B, C, D, I} gebildet. Dieses Monoid wird auch als Perkins-Monoid bezeichnet (P. Perkins, Bases for equational
theories of semigroups, J. Algebra 11 (1968), 298 - 314). Hieraus erhält man
weitere Unterhalbgruppen, indem man beispielsweise noch die Mengen {O} oder
{P } oder {F, G} hinzunimmt.
f in
Jedenfalls liegt die identische Abbildung in SM
⊆ TMf in und diese Mengen sind
damit nichtleere Teilmengen von SM bzw. TM , die das Einselement enthalten.
Für f ∈ SM gilt f (m) = m genau dann, wenn f −1 (m) = m ist. Also stimmen
73
die Fixpunktmengen F ix(f ) = {m ∈ M | f (m) = m} und F ix(f −1 ) überein.
f in
f in
f in
Dies zeigt f ∈ SM
⇐⇒ f −1 ∈ SM
. Also enthält SM
mit jedem Element auch
f in
sein Inverses. Sind nun f, g ∈ TM und m ∈ F ix(f ) ∩ F ix(g), so folgt f (g(m)) =
f (m) = m, also F ix(f )∩F ix(g) ⊆ F ix(f ◦g). Mit M \F ix(f ) und M \F ix(g) ist
daher auch M \F ix(f ◦g) ⊆ M \(F ix(f )∩F ix(g)) ⊆ (M \F ix(f ))∪(F \F ix(g))
endlich, also f ◦ g ∈ TMf in . Also ist TMf in Untermonoid von TM . Die restlichen
Behauptungen folgen, da SM Untergruppe von TM ist.
Bezeichnen [w] für w ∈ X ∗ die Kongruenzklassen bezüglich κ% , dann gilt also
in dem Monoid (X ∗ /κ% , ·) die Gleichung [a][b] = [ab] = [ba] = [b][a], woraus
[x1 · · · xn ] = [x1 ] · · · [xn ] = [xπ(1) · · · [xπ(n) ] für jede Permutation π ∈ Sn folgt.
Insbesondere ist (X ∗ /κ% , ·) also kommutativ.
Es gilt speziell [x1 · · · xn ] = [ai bn − i] = [ai ][bn−i ] = [a]i [b]n−i für einen Index
i ∈ {0, . . . , n}, wobei [a]0 = [a0 ] = [e] = [b0 ] = [b]0 ist. Wegen [a][a] = [a2 ] = [e]
gilt [ai ] = [e], falls i gerade ist, und [ai ] = [a], falls i ungerade ist. Damit ist jede
Restklasse [x1 · · · xn ] gleich einer der vier Klassen aus X ∗ /κ% = {[e], [a], [b], [ab]}
ist. In diesem Monoid sind [a] und [b] invertierbar und haben, wie gesehen, die
Ordnung 2. Wegen [ab]2 = [abab] = [a2 b2 ] = [e] gilt dies aber auch für das vierte
Element und daher ist (X ∗ /κ% , ·) tatsächlich eine Boolesche Gruppe, nämlich die
Kleinsche Vierergruppe.
Üblicherweise läßt man die Klammern der Kongruenzklassen weg und rechnet nur
mit den Repräsentanten. Die Paare aus % werden daher einfach als Gleichungen
geschrieben, z. B. schreibt man (a2 , e), was ja in (X ∗ /κ% , ·) zu [a2 ] = [e] wird,
einfach als a2 = e.
Geht man auf diese Weise von den Gleichungen a3 = e, b2 = e und ba = a2 b
aus, so erhält man X ∗ /κ% = {e, a, a2 , b, ab, a2 b} und rechnet nach, daß man eine
nicht-kommutative Gruppe der Ordnung 6 erhält.
Geht man dagegen von den Gleichungen an = e, b2 = e und ba = an−1 b aus, so
erhält man X ∗ /κ% = {e, a, . . . , an−1 , b, ab, . . . an−1 b}, also eine nicht-kommutative
Gruppe der Ordnung 2n. Diese Gruppen Dn heißen Diedergruppen (vgl. Definition 3.16).
Mit a = cos(π n) + i sin(π n) und b = j folgt ab = j cos(π n) + k sin(π n) und dann
(ab)2 = − cos2 (π n) + i cos(π n) sin(π n) − i sin(π n) cos(π n) − sin2 (π n)
= −(cos2 (π n) + sin2 (π n)) = −1.
74
Hieraus, also abab = −1 ergibt sich dann bab = −a−1 und weiter −ba = −a−1 b.
iπ
Wegen an = (e n )n = eiπ = −1 gilt a2n = 1 und daher a−1 = a2n−1 sowie
ba = a2n−1 b. Man kann also jeden Faktor b vor einem oder mehreren Faktoren a
hinter diese bringen, wenn man die Faktoren a durch geeignete Potenzen ersetzt
und diese dann wieder modulo 2n reduziert. Wegen b2 = −1 = an kann man
höhere Potenzen von b dabei ignorieren. Es bleiben in Dicn daher tatsächlich nur
die 4n paarweise verschiedenen Elemente aν und aν b für ν = 0, . . . , 2n − 1.
Man kann die dizyklische Gruppe auch aus dem freien Monoid (X ∗ , ·) über dem
Alphabet X = {a, b} mit Hilfe der Relation % = {(a2n , e), (b2 , an ), (aba, b)} als
Restklassenmonoid (X ∗ /κ% , ·) konstruieren, ohne die Quaternionen zu Hilfe zu
nehmen.
Für g = e erhält man x = exe−1 , also ist ∼ reflexiv. Gilt y = gxg −1 , so folgt
x = g −1 yg mit h = g −1 ∈ G, also x = hyh−1 . Daher ist ∼ auch symmetrisch. Aus
y = gxg −1 und z = hyh−1 folgt z = hgxg −1 h−1 = hgx(hg)−1 , also ist ∼ auch
transitiv. Die Äquivalenzklasse von x besteht aus genau den y mit y = gxg −1 für
ein g ∈ G. Dies sind aber genau die Elemente der Konjugiertenklasse xG .
Ersichtlich ist ∼L reflexiv, symmetrisch und transitiv, da die rechte Seite durch
eine Äquivalenzrelation definiert wird. Gilt nun u ∼L v und ist w ∈ X beliebig, so
ist (xw)uy ∈ L gleichwertig zu (xw)vy ∈ L für alle x, y ∈ X, was bereits wu ∼L
wv zeigt. Analog folgt aber auch uw ∼L vw, womit ∼L eine Kongruenzrelation
S
ist. Stets gilt L ⊆ u∈L [u] für die Äquivalenzklassen [u] = {v ∈ X | v ∼L u}.
Besitzt (X, ·) ein Einselement e, so ist aber mit u ∈ L auch jedes v ∈ [u] wegen
S
u = eue ∈ L ⇐⇒ v = eve ∈ L bereits in L enthalten. Man hat also L = u∈L [u].
Wegen U S ⊆ U und e ∈ U gilt eae, ebe, ece ∈ U für alle a, b, c ∈ U . Da κ reflexiv
ist, gilt (eae, eae) ∈ κ, also ist auch % reflexiv. Da κ symmetrisch ist, folgt aus
(eae, ebe) ∈ κ stets (ebe, eae) ∈ κ. Daher ist auch % symmetrisch. Da κ transitiv
ist, folgt aus (eae, ebe) ∈ κ und (ebe, ece) ∈ κ auch (eae, ece) ∈ κ. Also ist auch
% transitiv und insgesamt eine Äquivalenzrelation auf S. Es existieren daher die
Restklassenmengen S/% und U/κ.
Ist nun κ sogar eine Kongruenzrelation auf (U, ·), dann ist jedenfalls (U/κ, ·) mit
der Multiplikation [x]κ · [y]κ = [xy]κ für alle x, y ∈ U eine Halbgruppe. Sei jetzt
[e]κ Einselement dieser Halbgruppe. Für alle a, b, c ∈ U gilt wegen U S ⊆ U und
SU ⊆ U auch ea, eb, ec, ae, be, ce ∈ U . Es folgt [ec]κ = [ec]κ · [e]κ = [ece]κ , also
(ece, ec) ∈ κ und damit auch (eceae, ecae) ∈ κ sowie (ecebe, ecbe) ∈ κ.
75
Für (a, b) ∈ % gilt also (eae, ebe) ∈ κ und daher (eceae, ecebe) ∈ κ. Mit der
Symmetrie und Transitivität von κ ergibt sich (ecae, ecbe) ∈ κ und folglich
(ca, cb) ∈ %. Links-rechtsdual ergibt sich (ac, bc) ∈ κ und daher ist % Kongruenzrelation auf (S, ·).
Eine Untergruppe U einer Gruppe (G, ·) ist genau dann Normalteiler, wenn U g =
gU für alle g ∈ G gilt, wenn also U = gU g −1 für alle g ∈ G gilt. Wegen U g =
gU g −1 ist dies aber gerade die Behauptung.
Sei G = (X, ·) eine Gruppe, U eine Untergruppe und V ein Normalteiler von G.
S
S
Dann gilt U V = u∈U uV = u∈U V u = V U . Hieraus folgt U V · U V = U V U V =
U U V V = U V sowie (U V )−1 = (V U )−1 = U −1 V −1 = U V da U und V jeweils
Untergruppen sind. Also ist U V ebenfalls eine Untergruppe von G. Ist jetzt noch
U ein Normalteiler, so gilt für alle x ∈ X sogar xU V = U xV = U V x, d. h. U V
ist auch ein Normalteiler.
Sei G = (X, ·) Gruppe, U Untergruppe und N sogar Normalteiler von G.
1) Jedenfalls ist U ∩ N ⊆ U als Durchschnitt von zwei Untergruppen eine Untergruppe von G und damit auch Untergruppe von U . Für u ∈ U ⊆ X und
n ∈ U ∩N ⊆ N existiert ein n0 ∈ N mit un = n0 u. Hieraus folgt n0 = (un)u−1 und
dieses Produkt liegt in U , da ja auch n ∈ U gilt. Dies zeigt u(U ∩ N ) ⊆ (U ∩ N )u.
Links-rechts-dual wird (U ∩ N )u ⊆ u(U ∩ N ) gezeigt. Also ist U ∩ N Normalteiler
von U .
2) Wegen e ∈ U und e ∈ N für das Einselement e von G und die Untergruppen
U und N , gilt e = e · e ∈ U N 6= ∅. Zu u, v ∈ U und n, m ∈ N existiert ein
n0 ∈ N mit nv = vn0 , Hieraus folgt un · vm = uvn0 m ∈ U N . Also ist U N
Unterhalbgruppe von G. Weiterhin existiert ein m0 ∈ N mit n−1 u−1 = u−1 m0 ,
weil N Normalteiler von U ist. Dies zeigt (un)−1 = n−1 u−1 = u−1 m0 ∈ U N . Also
ist U N sogar Untergruppe.
3) Falls N ⊆ U gilt, so ist nach 1) N = U ∩ N Normalteiler von U . Da speziell
N = {e}N ⊆ U N gilt und U N nach 2) selbst Untergruppe von G ist, ist N
Normalteiler von U N .
Es sei A0 = {a ∈ X | a ∈ A oder a−1 ∈ A}. Wegen xA ⊆ Ax für alle x ∈ X
existiert also zu a ∈ A stets ein b ∈ A mit xa = bx, woraus b−1 x = xa−1 folgt.
76
Also hat man auch xA0 ⊆ A0 x für alle x ∈ X. Ebenso folgt A0 x ⊆ xA0 aus
Ax ⊆ xA.
Wegen A ⊆ A0 ⊆< A > gilt aber < A >⊆< A0 >⊆<< A >>=< A >. Daher
reicht es, die Behauptung der Aufgabe für solche Teilmengen A zu zeigen, die
a ∈ A ⇐⇒ a−1 ∈ A erfüllen.
Für derartige Mengen ist aber < A >= {a1 · · · an | ai ∈ A}. Wegen xA ⊆ Ax
existiert zu ai ∈ A jeweils ein a0i ∈ A mit xai = a0i x und daher x(a1 · · · an ) =
(a01 · · · a0n )x. Dies zeigt x < A >⊆< A > x. Ebenso folgt < A > x ⊆ x < A > aus
Ax ⊆ xA.
Mit S3 = {(1), (12), (13), (23), (123), (132)} hat man außer den trivialen Untergruppen S3 und {(1)}, die Normalteiler sind, noch die folgenden Möglichkeiten,
Untergruppen mit einem von (1) verschiedenen Element zu erzeugen:
(1 2) erzeugt die Untergruppe U12 = {(1), (12)}. Die Linksnebenklassen sind U12 ,
(13)U12 = {(13), (132)} = (132)U12 und (23)U12 = {(23), (123)} = (123)U12 ,
die Rechtsnebenklassen U12 , U12 (13) = {(13), (123)} = U12 (123) und U12 (23) =
{(23), (132)} = U12 (132). Also handelt es sich um keinen Normalteiler, diese
nichtkommutative Gruppe ist also keine Hamiltongruppe.
(1 3) erzeugt die Untergruppe U13 = {(1), (13)}, die ebenfalls kein Normalteiler
ist.
(2 3) erzeugt die Untergruppe U23 = {(1), (23)}, die wiederum kein Normalteiler
ist.
(1 2 3) erzeugt die Untergruppe U123 = {(1), (123), (132)} der Ordnung 3, die
daher den Index 2 in S3 hat und somit ein Normalteiler ist. Dieselbe Untergruppe
wird natürlich von (1 3 2) erzeugt.
Erzeugt man eine Untergruppe U mit mindestens zwei Transpositionen oder mit
einer Transposition und einem Dreierzyklus, so erhält man in U sofort mindestens
4 Elemente, was nach dem Satz von Lagrange sofort U = S3 bedeutet. Daher gibt
es genau die angegebenen drei Normalteiler und die drei weiteren Untergruppen
der Ordnung 2.
Für die Normalteiler ist der Normalisator immer die ganze Gruppe S3 . Für die
anderen drei Untergruppen U ist der Normalisator NS3 selbst eine echte Untergruppe von S3 , die U umfasst. Nach dem Satz von Lagrange muß ihre Ordnung
ein echter Teiler von 3! = 6 sein und ein Vielfaches von |U | = 2. Dies erzwingt
77
aber bereits die Ordnung 2. Daher sind die Untergruppen jeweils ihre eigenen
Normalisatoren.
Man kann die Quaternionengruppe als Untergruppe der Gruppe GL(2, C) aller invertierbaren 2×2-Matrizen über dem Körper C der komplexen Zahlen realisieren,
indem man folgende Bezeichnungen benutzt:
E=
1 0
,I =
0 1
0 i
,J =
i 0
0 1
,K =
−1 0
−i 0
0 i
und die Entgegengesetzten −E, −I, −J und −K. Schreibt man dann 1 für E
und i, j, k für I, J, K, so erhält man für die Quaternionengruppe die folgende
Cayley-Tafel.
·
1
-1
i
−i
j
−j
k
−k
1
1
-1
i
−i
j
−j
k
−k
-1
-1
1
−i
i
−j
j
−k
k
i
i
−i
−1
1
−k
k
j
−j
−i
−i
i
1
−1
k
−k
−j
j
j
j
−j
k
−k
−1
1
−i
i
−j
−j
j
−k
k
1
−1
i
−i
k
k
−k
−j
j
i
−i
−1
1
−k
−k
k
j
−j
−i
i
1
−1
Da die Quaternionengruppe die Ordnung 8 hat, sind nur die Untergruppen zu
betrachten, welche die Ordnungen 4 oder 2 haben. Jede Untergruppe der Ordnung
4 hat aber nach dem Satz von Lagrange den Index 2 und ist daher bereits ein
Normalteiler. Jede Untergruppe der Ordnung zwei enthält außer der 1 noch genau
ein weiteres Element. Daher kommt hierfür nur noch U = {1, −1} in Frage. Diese
beiden Elemente sind aber mit allen anderen Elementen vertauschbar, so daß
xU = U x gilt. Daher ist auch U ein Normalteiler.
Man kann die Cayley-Tafel aufstellen (hier aus Platzgründen in zwei Teilen):
78
·
1
−1
e1
−e1
e2
−e2
e3
−e3
e4
−e4
e5
−e5
e6
−e6
e7
−e7
1
1
−1
e1
−e1
e2
−e2
e3
−e3
e4
−e4
e5
−e5
e6
−e6
e7
−e7
−1
−1
1
−e1
e1
−e2
e2
−e3
e3
−e4
e4
−e5
e5
−e6
e6
−e7
e7
e1
e1
−e1
−1
1
−e3
e3
e2
−e2
e7
−e7
e6
−e6
−e5
e5
−e4
e4
−e1
−e1
e1
1
−1
e3
−e3
−e2
e2
−e7
e7
−e6
e6
e5
−e5
e4
−e4
e2
e2
−e2
e3
−e3
−1
1
−e1
e1
e5
−e5
−e4
e4
e7
−e7
−e6
e6
−e2
−e2
e2
−e3
e3
1
−1
e1
−e1
−e5
e5
e4
−e4
−e7
e7
e6
−e6
e3
e3
−e3
−e2
e2
e1
−e1
−1
1
e6
−e6
−e7
e7
−e4
e4
e5
−e5
−e3
−e3
e3
e2
−e2
−e1
e1
1
−1
−e6
e6
e7
−e7
e4
−e4
−e5
e5
·
1
−1
e1
−e1
e2
−e2
e3
−e3
e4
−e4
e5
−e5
e6
−e6
e7
−e7
e4
e4
−e4
−e7
e7
−e5
e5
−e6
e6
−1
1
e2
−e2
e3
−e3
e1
−e1
−e4
−e4
e4
e7
−e7
e5
−e5
e6
−e6
1
−1
−e2
e2
−e3
e3
−e1
e1
e5
e5
−e5
−e6
e6
e4
−e4
e7
−e7
−e2
e2
−1
1
e1
−e1
−e3
e3
−e5
−e5
e5
e6
−e6
−e4
e4
−e7
e7
e2
−e2
1
−1
−e1
e1
e3
−e3
e6
e6
−e6
−e5
e5
−e7
e7
e4
−e4
−e3
e3
−e1
e1
−1
1
−e2
e2
−e6
−e6
e6
e5
−e5
e7
−e7
−e4
e4
e3
−e3
e1
−e1
1
−1
e2
−e2
e7
e7
−e7
e4
−e4
e6
−e6
−e5
e5
−e1
e1
e3
−e3
−e2
e2
−1
1
−e7
−e7
e7
−e4
e4
−e6
e6
e5
−e5
e1
−e1
−e3
e3
e2
−e2
1
−1
Da jedes Element in jeder Zeile und jeder Spalte genau einmal vorkommt, handelt
es sich bei (G, ·) um eine Quasigruppe. Wegen (e1 · e2 ) · e6 = e3 · e6 = e4 und
e1 · (e2 · e6 ) = e1 · (−e7 ) = −e4 ist (G, ·) nicht assoziativ, also keine Gruppe.
Ersichtlich bildet U = {±ei | i = 0, 1, 2, 3} eine Untergruppe von (G, ·), die zur
Quaternionengruppe Q8 isomorph ist.
Man kann aber die Eigenschaft der Quasigruppe auch dadurch zeigen, daß man
79
aG = G = Ga für alle a ∈ G nachweist. Dabei sind die Fälle a = e0 = 1 und a =
−e0 = −1 wegen der Vorzeichenregeln klar. Ebenfalls wegen der Vorzeichenregeln
reicht es, für alle a, b ∈ {e1 , . . . , e7 } mit a 6= b die Existenz von x, y ∈ G mit
a · x = b und y · a = b zu zeigen. Es gibt aber in der projektiven Ebene auf
der durch a und b bestimmten Gerade immer genau einen weiteren Punkt z. Für
diesen gilt dann a · z = b oder z · a = b. Im ersten Fall wähle x = z und y = −z,
im zweiten Fall x = −z und y = z.
Schreibt man i = e1 , j = e2 und k = e3 , so sieht man, daß für diese Elemente
genau die Multiplikationsregeln wie in der Quaternionengruppe gelten.
Dasselbe gilt, wenn man anstelle von e1 , e2 , e3 jeweils drei Elemente ei , ej , ek
nimmt, die in dieser Reihenfolge auf einer gerichteten Geraden der Fano-Ebene
liegen.
Da für ein idempotentes Element e eines Gruppoids (X, ·) das von e erzeugte
Untergruppoid die einelementige Gruppe {e} ist, ist jedes idempotente Gruppoid
bereits potenz-assoziativ.
Jedes kommutative Gruppoid (X, ·) ist wegen a(ba) = (ba)a = (ab)a für alle
a, b ∈ X flexibel, jedes flexible Gruppoid ist idem-assoziativ.
Ist (X, ·) di-assoziativ, so gilt für alle a, b ∈ X in der Halbgruppe h{a, b}i bereits
a(ab) = aab = (aa)b und a(bb) = abb = (ab)b, d. h. (X, ·) ist sowohl links- als
auch rechtsalternativ (und damit alternativ), und wegen a(ba) = aba = (ab)a
auch flexibel.
Das kommutative Gruppoid mit X = {a, b} und der Cayley-Tafel
· a
a b
b a
b
a
a
ist daher flexibel und idem-assoziativ, aber wegen a(ab) = b 6= a = (aa)b nicht
linksalternativ und daher auch nicht rechtsalternativ und nicht alternativ und
nicht di-assoziativ. Wegen a2 = b ∈ h{a}i ist es auch nicht potenz-assoziativ.
Auf der Menge X = N der natürlichen Zahlen definiert die Potenzierung m ∗ n =
mn eine zweistellige Verknüpfung. Das Gruppoid (X, ∗) ist wegen 3 ∗ (3 ∗ 3) =
3 ∗ 27 = 7625597484987 6= 19683 = 27 ∗ 3 = (3 ∗ 3)∗ nicht einmal idem-assoziativ
und hat daher keine der sieben Eigenschaften.
Das Gruppoid mit X = {a, b, c} und der Cayley-Tafel
· a b
a c b
b c c
c c a
80
c
c
a
a
ist idem-assoziativ wegen a(aa) = ac = c = ca = (aa)a, b(bb) = bc = a = cb =
(bb)b und c(cc) = ca = c = ac = (cc)c, aber nicht flexibel wegen b(ab) = bb = c 6=
a = cb = (ba)b, nicht linksalternativ (und damit nicht alternativ) wegen a(ab) =
ab) = b 6= a = cb = (aa)b, nicht rechtsalternativ wegen a(cc) = aa = c 6= a =
cc = (ac)c, nicht potenz-assoziativ wegen (aa)(aa) = cc = a 6= c = ac = a(a(aa))
in h{a}i und daher auch nicht di-assoziativ.
In dem Gruppoid mit X = {a, b, c} und der Cayley-Tafel
·
a
b
c
a
a
a
a
b
a
a
a
c
a
c
c
erzeugen die idempotenten Elemente a und c die einelementigen Gruppen h{a}i =
{a} und h{c}i = {c}, und das Element b erzeugt wegen b2 = a und ab = ba = a
die Zerohalbgruppe h{b}i = {a, b}. Daher ist das Gruppoid potenz-assoziativ.
Wegen c(bc) = cc = c 6= a = ac = (cb)c ist es nicht flexibel und daher auch nicht
di-assoziativ, wegen b(bc) = bc = c 6= a = ac = (bb)c ist es nicht linksalternativ
und daher auch nicht alternativ. Das duale Gruppoid ist daher ebenfalls potenzassoziativ, aber nicht flexibel, nicht rechtsalternativ und nicht alternativ.
Es ist g ∈ ZG (x) genau dann, wenn xg = gx gilt. Also liegt g genau dann im
T
Zentrum Z(G), wenn g in jedem ZG (x) liegt. Dies zeigt Z(G) = x∈X ZG (x). Aus
xg = gx und xh = hx folgen aber g −1 x = xg −1 und ghx = gxh = xgh, also ist
ZG (x) stets Untergruppe. Wegen xe = exe−1 = x gilt |xG | = 1 genau dann, wenn
xG = {x} gilt, d. h. xg = gxg −1 = x für alle g ∈ G. Dies bedeutet aber gerade
gx = xg für alle g ∈ G, also x ∈ Z(G) oder eben auch G = ZG (x).
Lösung zu Aufgabe 2.73 Wegen










1 a b
1 e f
1 a + e f + ag + b




0
1
c
0
1
g
=
1
g+c 



0

0 0 1
0 0 1
0
0
1
und
1 e f
1 a b
1 e + a b + ec + f




1
c+g 
0 1 g 0 1 c = 0

0 0 1
0 0 1
0
0
1
81
muß also ag = ec für alle e, g ∈ Z gelten. Für g = 0 und e = 1 ergibt sich c = 0,
für e = 0 und g = 1 auch a = 0. Setzt man diese Werte ein, so erkennt man, daß
b ∈ Z beliebig gewählt werden kann. Das gesuchte Zentrum besteht also aus allen
Matrizen der Form


1 0 b


 0 1 0  , b ∈ Z.
0 0 1
Offensichtlich gelten die Rechnungen für jeden Ring R mit Einselement anstelle
von z.
Die Bestimmung des Zentrums erfolgt mit den analogen Rechnungen zur Lösung
von Aufgabe 2.73. Im Zentrum liegen dieselben Matrizen, nur diesmal mit b ∈
Z/(3).
Es wird nur noch die Behauptung über die Ordnungen gezeigt. Für a, b, c ∈ Z/(3)
gilt





1 a b
1 a b
1 2a 2b + ac





2c 
0 1 c0 1 c = 0 1
0 0 1
0 0 1
0 0
1
und damit







1 a b
1 2a 2b + ac
1 3a 2b + ac + 2ac + b
1 0 0







2c  =  0 1
3c
0 1 c0 1
 = 0 1 0
0 0 1
0 0
1
0 0
1
0 0 1
Es ist gh = hg für alle Elemente g und h aus G zu zeigen. Da für gh = e bereits
h = g −1 und damit hg = e folgt, ist nur gh 6= e zu betrachten. Dann gilt aber
ghgh = e = ee = gghh und hieraus folgt durch Kürzen bereits die Behauptung.
Sei G = (X, ·) abelsche Gruppe und U = {x ∈ X | ord(x) = |hxi| < ∞}. Wegen
ord(e) = 1 ist das Einselement e von G in U . Wegen ord(x) = hxi = hx−1 i =
ord(x−1 ) liegt mit x auch das Inverse x−1 in U . Seien nun x, y ∈ U mit ord(x) = n
und ord(y) = m. Dann gilt wegen der Kommutativität (xy)nm = (xn )m (y m )n =
em en = e, also ord(xy) ≤ nm < ∞. Damit ist U Untergruppe.
Das folgende geometrische Beispiel zeigt, daß diese Aussage für nicht-kommutative Gruppen nicht mehr richtig sein muß. Sei G die Menge aller Drehungen der
82
Ebene um einen festen Punkt O zusammen mit allen Spiegelungen an Geraden
durch O. Die Verknüpfung auf G ist natürlich die Verkettung dieser geometrischen
Abbildungen. Die Verkettung einer Drehung und einer Spiegelung ist dabei eine
Spiegelung an einer gedrehten Geraden, die Verkettung zweier Drehungen ist
eine Drehung und die Verkettung zweier Spiegelungen ist eine Drehung um den
doppelten Winkel zwischen den Spiegelungsachsen. Es handelt sich also um eine
Halbgruppe. Da jede dieser Abbildungen bijektiv ist, sogar um eine Gruppe. Jede
Spiegelung hat hierbei die Ordnung 2, eine Drehung um einen Winkel α hat genau
dann endliche Ordnung, wenn α rational ist. Schließen also zwei Spiegelachsen
einen nicht-rationalen Winkel ein, so hat die Drehung, die sich als Verkettung
dieser beiden Spiegelungen ergibt, keine endliche Ordnung mehr.
Ein anderes Beispiel liefert die unendliche Diedergruppe aus Beispiel 3.18.
Es sei k = ord(ab). Dann ist e = (ab)km = akm bkm = bkm , also n|km, und wegen
ggT (m, n) = 1 sogar n|k. Analog folgt m|k. Wiederum wegen ggT (m, n) = 1
hat man sogar mn|k. Da aber andererseits (ab)mn = amn bmn = e gilt, folgt auch
k|mn. Also erfüllt in diesem Fall c = ab die Bedingung ord(c) = kgV (m, n).
Seien nun p1 , . . . , p` sämtliche Primteiler von mn, sowie m = pα1 1 · · · pα` ` bzw.
n = pβ1 1 · · · pβ` ` die Primfaktorzerlegungen von m bzw. n. Mit γi = max(αi , βi )
hat man kgV (m, n) = pγ11 · · · pγ` ` . Jeder Faktor ti = pγi i ist Teiler von m oder n.
Daher hat man ord(am/ti ) = ti = pγi i oder ord(bn/ti ) = ti = pγi i . In jedem Fall
gibt es ein Element ci ∈ X mit ord(ci ) = pγi i . Wendet man nun den ersten Teil
der Aufgabe mehrfach an, so erhält man, daß c = c1 . . . c` ∈ X die Bedingung
ord(c) = kgV (m, n) erfüllt.
Wegen der Endlichkeit von G existiert ein Element a ∈ X mit m = ord(a) =
max{ord(x) | x ∈ X}. Für jedes b ∈ X gilt daher n = ord(b) ≤ m. Es bleibt
also n|m zu zeigen. Wäre n kein Teiler von m, so gäbe es nach Aufgabe 2.80 ein
c ∈ X mit ord(c) = kgV (m, n) > m, was unmöglich ist.
In A4 hat die Permutation (1 2)(3 4) die Ordnung 2 und der Zyklus (1 2)(1 3) =
(1 3 2) die Ordnung 3. Gäbe es ein Element π ∈ A4 der Ordnung 6, so hätte die
von π erzeugte Untergruppe < π > die Ordnung 6, was nach Bemerkung 2.12
unmöglich ist. Ein analoges Beispiel stellt die symmetrische Gruppe S3 dar, die
nicht zyklisch (weil nicht kommutativ) ist, aber neben dem Dreierzyklus (1 3 2)
auch die Transposition (1 2) enthält.
83
Es werden alle nicht-isomorphen Gruppoide (X, ·) auf der Menge X = {a, b} bestimmt. Dazu wird eine Fallunterscheidung nach den jeweils idempotenten Elementen durchgeführt.
1. Fall: Jedes Element aus X ist idempotent, also a · a = a und b · b = b.
2. Fall: Genau eines der beiden Elemente, etwa o. B. d. A. a, ist idempotent, also
a · a = a = b · b, d. h. es liegt Unipotenz vor.
3. Fall: Keines der beiden Elemente ist idempotent, also a · a = b und b · b = a.
Da jede endliche Halbgruppe ein idempotentes Element besitzt, wird dieser Fall
nur nicht-assoziative Gruppoide liefern.
In jedem dieser drei disjunkten Fälle sind dann zwei ebenfalls disjunkte Unterfälle
zu betrachten:
a) Die Multiplikation ist kommutativ.
b) Die Multiplikation ist nicht kommutativ.
Fall 1.a: Eventuell nach Vertauschung von a und b darf a·b = b·a = a angenommen
werden. Daher gibt es bis auf Isomorphie genau eine mögliche Cayley-Tafel:
· a
a a
b a
b
a
b
Hierbei handelt es sich bis auf Isomorphie um die Halbgruppe (Z/(2), ·), also den
Halbverband der Ordnung 2.
Fall 1.b: Wegen a · b 6= b · a ist eines dieser Produkte gleich a und das andere
b. Es gibt daher genau zwei mögliche Verknüpfungstafeln, die links-rechts-dual
zueinander sind:
· a
a a
b b
b
a
b
· a
a a
b a
b
b
b
Die erste Tafel liefert die Linkszerohalbgruppe auf X, die zweite die Rechtszerohalbgruppe.
Insbesondere ist jedes zweielementige idempotente Gruppoid bereits eine Halbgruppe.
Fall 2.a: Es gibt genau die zwei Möglichkeiten ab = ba = a oder ab = ba = b:
· a
a a
b a
b
a
a
· a
a a
b b
84
b
b
a
Die erste Tafel liefert eine Zerohalbgruppe auf X, die zweite offensichtlich eine
zur Gruppe (Z/(2), +) isomorphe Gruppe.
Fall 2.b: Wie im Fall 1.b ergeben sich zwei links-rechts-duale Möglichkeiten:
· a
a a
b b
b
a
a
· a
a a
b a
b
b
a
Im ersten Gruppoid ist a ein Rechtseinselement, im zweiten ein Linkseinselement.
Wegen b(ab) = ba = b 6= a = bb = (ba)b und dual (ba)b = ab = b 6= a = bb = b(ab)
sind beide Gruppoide nicht assoziativ.
Fall 3.a: Wie im Fall 1.a darf (eventuell nach Vertauschung der Elemente) ab =
ba = a angenommen werden. Es gibt also wiederum nur eine Möglichkeit:
· a
a b
b a
b
a
a
Fall 3.b: Wie schon in den Fällen 1.b und 2.b ergeben sich zwei links-rechts-duale
Möglichkeiten:
· a
a b
b b
b
a
a
· a
a b
b a
b
b
a
Damit gibt es neben den fünf nicht-isomorphen Halbgruppen der Ordnung 2,
unter denen sich genau eine Gruppe befindet, noch fünf weitere nicht-isomorphe
Gruppoide, die nicht assoziativ sind. Keines dieser nicht assoziativen Gruppoide
ist eine Quasigruppe, erst recht keine Loop.
Definiere ϕ : P(M ) → P(M ) durch ϕ(A) = A0 = M \ A für alle A ⊆ M als
mengentheoretisches Komplement. Diese Abbildung ist wegen ϕ(ϕ(A)) = (A0 )0 =
A eine Involution und daher bijektiv. Weiterhin gilt A0 ∆B 0 = (A0 ∩(B 0 )0 )∪((A0 )0 ∩
B 0 ) = (A0 ∩ B) ∪ (A ∩ B 0 ) = A∆B und daher ϕ(A∆B) = (A∆B)0 = (A0 ∆B 0 )0 =
A0 ∇B 0 = ϕ(A)∇ϕ(B). Also ist ϕ ein Isomorphismus.
85
Es sei M = {m1 , m2 , . . . , mn }. Definiere ϕ : P(M ) → Z/(2)n durch ϕ(A) =
(a1 , . . . , an ) mit ai = 1, falls mi ∈ A und ai = 0, falls mi ∈
/ A. Offensichtlich ist
ϕ bijektiv.
Weiterhin gilt für i = 1, . . . , n dann
mi ∈ A∆B ⇐⇒ (mi ∈ A ∧ mi ∈
/ B) ∨ (mi ∈ B ∧ mi ∈
/ A)
⇐⇒ (ai = 1 ∧ bi = 0) ∨ (bi = 1 ∧ ai = 0)
⇐⇒ ai + bi = 1.
Daher gilt ϕ(A∆B) = (a1 , . . . , an ) + (b1 , . . . , bn ) = ϕ(A) + ϕ(B), also ist ϕ ein
Homomorphismus und insgesamt ein Isomorphismus.
Es sei H = (X, ·) eine beliebige Halbgruppe. Falls H ein Monoid mit dem Einselement 1 ist, sei X 1 = X, sonst sei X 1 = X ∪ {1} mit einem Element 1 6∈ X.
Für jedes a ∈ X sei ta : X 1 → X 1 definiert durch ta (1) = a und ta (x) = ax für
x ∈ X \ {1}. Dann ist ta eine Transformation auf X 1 und die Abbildung f : X →
TX 1 gemäß f (a) = ta ist injektiv wegen ta = tb =⇒ ta (1) = tb (1) =⇒ a = b. Sie
ist aber auch ein Homomorphismus wegen f (ab) = tab = ta ◦ tb = f (a) ◦ f (b), da
tab (1) = ab = ta (b) = (ta ◦ tb )(1) und tab (x) = abx = ta (tb (x)) = (ta ◦ tb )(x) für
alle x ∈ X \ {1} gelten.
Wegen fa−1 (fa (x)) = a−1 axa−1 a = x und damit auch fa (fa−1 (x)) = x für alle
x ∈ X ist jede Abbildung fa bijektiv, wegen fa (xy) = axya−1 = axa−1 aya−1
für alle x, y ∈ X ein Homomorphismus, also insgesamt ein Automorphismus von
(X, ·). Wegen (fa )−1 = fa−1 und fa ◦ fb = fab ist Inn(G) eine Untergruppe von
SX . Die Abbildung f : X → Inn(G) gemäß f (a) = fa ist ein Homomorphismus
von G in Inn(G) ⊆ Aut(G). Dieser Homomorphismus muß kein Isomorphismus
sein, da beispielsweise für jede kommutative Gruppe G = (X, ·) wegen fa (x) = x
für alle x ∈ X jeder innere Automorphismus bereits die identische Abbildung ist.
Ist ϕ ∈ Aut(G) und ϕa ∈ Inn(G) so gilt ϕ ◦ ϕa ◦ ϕ−1 (x) = ϕ(a · ϕ−1 (x) ·
a−1 ) = ϕ(a)xϕ(a−1 ) = ϕ(a)xϕ(a)−1 = ϕϕ(a) (x) für alle x ∈ X. Daher gilt
ϕ ◦ ϕa ◦ ϕ−1 ∈ Inn(G) und Inn(G) ist Normalteiler von Aut(G). Die Faktorgruppe Out(G) = Aut(G)/Inn(G) wird auch äußere Automorphismengruppe genannt.
Jeder Automorphismus ϕ ∈ Aut(G) \ Inn(G) heißt ein äußerer Automorphismus
von G.
86
U ist genau dann Normalteiler, wenn aU = U a bzw. gleichwertig aU a−1 = U
für alle a ∈ X gilt. Dies ist offensichtlich gleichwertig dazu, daß ϕa (U ) = U für
alle inneren Automorphismen ϕa gilt. Insbesondere gilt dann ϕa (U ) ⊆ U für alle
inneren Automorphismen.
Ist andererseits ϕa (U ) ⊆ U für alle inneren Automorphismen erfüllt, dann auch
ϕa−1 (U ) ⊆ U , was aber U = ϕa (ϕa−1 (U )) ⊆ ϕ(U ) ⊆ U impliziert. Also gilt
ϕa (U ) = U für alle inneren Automorphismen und U ist Normalteiler.
Es sei G = (X, ·) eine Gruppe. Die Abbildung Ψ : X → Aut(G) die jedem
a ∈ X gemäß Ψ(a) = ϕa ∈ Inn(G)) den inneren Automorphismus ϕa zuordnet,
erfüllt Ψ(X) = Inn(G). Wegen ϕa ◦ ϕb (x) = a(bxb−1 )a−1 = (ab)x(ab)−1 für alle
a, b, x ∈ X gilt ϕa ◦ ϕb = ϕab und folglich ist Ψ ein Homomorphismus. Nach dem
Homomorphiesatz gilt also Inn(G) ∼
= G/ker(Ψ). Nun gilt aber Ψ(a) = ϕa = idX
genau dann, wenn axa−1 = x für alle x ∈ X erfüllt ist, wenn also ax = xa
für alle x ∈ X gilt. Dies ist genau für a ∈ Z(G) der Fall. Dies zeigt ker(Ψ) =
Z(G) und damit die erste Behauptung. Der Rest folgt mit Satz 2.38 a) und
Folgerung 2.28 a).
Jede der drei gesuchten Automorphismengruppen enthält natürlich die identische
Abbildung ϕ0 .
Jeder Automorphismus ϕ ist eine bijektive Abbildung und erfüllt ϕ([0]) = [0] für
das neutrale [0] der jeweiligen Gruppe.
Im Fall von Z/(2) = {[0], [1]} muß daher auch ϕ([1]) = [1] gelten und folglich ist ϕ
schon die identische Abbildung. Es ist also Aut((Z/(2), +)) = ({ϕ0 }, ◦) isomorph
zur einelementigen Gruppe.
Im Fall von Z/(3) = {[0], [1], [−1]} muß jeder Automorphismus ϕ1 6= ϕ0 bereits
ϕ1 ([1]) = [−1] und ϕ1 ([−1]) = [1], also ϕ1 ([a]) = −[a] für alle [a] ∈ Z/(3) erfüllen.
Wegen ϕ1 ([a] + [b]) = ϕ1 ([a + b]) = −[a + b] = −[a] + −[b] = ϕ1 ([a]) + ϕ1 ([b]) ist
dies auch (sogar in jeder zyklischen Gruppe (Z/(n), +)) ein Homomorphismus.
Also ist Aut((Z/(3), +)) = ({ϕ0 , ϕ1 }, ◦) isomorph zur zyklischen Gruppe C2 .
Im Fall von Z/(4) = {[0], [1], [2], [−1]} ist [2] = [−2] einziges Element der Ordnung
2, muß also wegen Aufgabe 3.30 von jedem Automorphismus auf sich selbst abgebildet werden. Neben ϕ0 gibt es daher auch in diesem Fall genau einen weiteren
Automorphismus ϕ1 , der durch ϕ1 ([a]) = −[a] für alle a ∈ Z/(4) definiert ist. In
87
diesem Fall ist ebenfalls Aut((Z/(4), +)) = ({ϕ0 , ϕ1 }, ◦) isomorph zur zyklischen
Gruppe C2 .
Im Fall von (Z/(6), +) erhält man durch analoge Überlegungen Aut((Z/(6), +)) ∼
=
C2 .
Im Fall von (Z/(8), +) erhält man analog Aut((Z/(8), +)) ∼
= V4 , also die Kleinsche
Vierergruppe.
Im Fall von (Z/(9), +) erhält man analog Aut((Z/(9), +)) ∼
= C3 .
Es können also nicht-isomorphe Gruppen (verschiedener Ordnung) isomorphe
Automorphismengruppen besitzen. Außerdem kann die Automorphismengruppe
von kleinerer Ordnung sein, als die Gruppe selbst.
Wegen ϕ((1)) = (1) für jeden Automorphismus ϕ ∈ Aut(S3 ) und die identische Permutation (1), sowie (1 2)(1 3) = (1 3 2), (1 3)(1 2) = (1 2 3) sowie
(1 2)(1 3)(1 2) = (2 3) ist jeder Automorphismus der S3 bereits durch die Bilder
der beiden Transpositionen (1 2) und (1 3) festgelegt, und für diese Bilder kommen nur die drei Transpositionen in Frage. Neben ϕ1 = idS3 gibt es daher die
folgenden fünf Bijektionen
ϕ2
ϕ3
ϕ4
ϕ5
ϕ6
(1
(1
(2
(1
(1
(2
2)
2)
3)
3)
3)
3)
(1
(2
(1
(1
(2
(1
3)
3)
3)
2)
3)
2)
(2
(1
(1
(2
(1
(1
3)
3)
2)
3)
2)
3)
(1
(1
(1
(1
(1
(1
3
2
3
2
3
3
2)
3)
2)
3)
2)
2)
(1
(1
(1
(1
(1
(1
2
3
2
3
2
2
3)
2)
3)
2)
3)
3)
Wegen ϕ5 = ϕ2 ◦ ϕ3 , ϕ6 = ϕ3 ◦ ϕ2 und ϕ4 = ϕ2 ◦ ϕ3 ◦ ϕ2 reicht es, die Homomorphieeigenschaft von ϕ2 und ϕ3 zu zeigen.
Mit dem ersten Faktor (1 2) und ϕ2 ergeben sich folgende Möglichkeiten
ϕ2 ((1 2)(1 3)) = ϕ2 ((1 3 2)) = (1 2 3) = (1 2)(2 3) = ϕ2 ((1 2))ϕ2 ((1 3))
ϕ2 ((1 2)(2 3)) = ϕ2 ((1 2 3)) = (1 3 2) = (1 2)(1 3) = ϕ2 ((1 2))ϕ2 ((2 3))
ϕ2 ((1 2)(1 2 3)) = ϕ2 ((2 3)) = (1 3) = (1 2)(1 3 2) = ϕ2 ((1 2))ϕ2 ((1 2 3))
ϕ2 ((1 2)(1 3 2)) = ϕ2 ((1 3)) = (2 3) = (1 2)(1 2 3) = ϕ2 ((1 2))ϕ2 ((1 3 2))
Analoge Gleichungen erhält man für (1 3) als ersten Faktor. Daher ist ϕ2 ein
Automorphismus. Auf die gleiche Weise ergibt sich dieselbe Aussage für ϕ3 . Daher
88
besteht die Automorphismengruppe der S3 aus diesen sechs Abbildungen und ist
isomorph zur Gruppe S3 selbst.
Mit der vorhergehenden Aufgabe sieht man ebenfalls, daß nicht-isomorphe Gruppen dieselbe Automorphismengruppe besitzen können.
Da ϕ und ψ Homomorphismen sind, gilt ψ(ϕ(x−1 )) = ψ(ϕ(x)−1 ) = ψ(ϕ(x))−1 .
Daher kann die Relation auch definiert werden durch (x, ψ)%(y, χ) ⇐⇒ ψ(ϕ(x)) =
χ(ϕ(y)).
Damit ist sie aber ersichtlich reflexiv, symmetrisch und transitiv.
a) Für x = x1 + x2 i + x3 j + x3 k folgt aus den Distributivgesetzen, der Kommutativität der Addition und der Vertauschbarkeit reeller Zahlen xi mit den
drei Basiselementen i, j, k sowie i2 = j 2 = k 2 = −1 sofort ϕ(x) = x · x =
x21 + x22 + x23 + x24 ≥ 0. Dieses Produkt ist für x 6= 0 aber positiv und liegt daher
in R+ .
b) Es ist unter Verwendung derselben Rechenregeln wie bei a) und der Multiplikation der Basiselemente in der Quaternionengruppe
x·y =
x1 y1 + x1 y2 i + x1 y3 j + x1 y4 k
− x2 y2 + x2 y1 i − x2 y4 j + x2 y3 k
− x3 y3 + x3 y4 i + x3 y1 j − x3 y2 k
− x4 y4 − x4 y3 i + x4 y2 j + x4 y1 k,
sowie unter zusätzlicher Berücksichtigung der Vorzeichenregeln für reelle Zahlen
y·x=
x1 y1 − x1 y2 i − x1 y3 j − x1 y4 k
− x2 y2 − x2 y1 i + x2 y4 j − x2 y3 k
− x3 y 3 − x3 y 4 i − x3 y 1 j + x3 y 2 k
− x4 y4 + x4 y3 i − x4 y2 j − x4 y1 k.
Durch Vergleich liest man x · y = y · x ab.
c) Aus b) folgt für alle x, y ∈ H sofort ϕ(x · y) = (x · y) · (x · y) = (x · y) · (y · x) =
x · (y · y) · x = (x · x) · (y · y) = ϕ(x) · ϕ(y), wobei in der vorletzten Gleichheit
89
ausgenutzt wurde, daß y · y nach a) eine positive reelle Zahl ist und daher mit x
vertauscht werden darf.
Jedenfalls ist (ϕ(N ), ) eine Untergruppe von (ϕ(X), ). Seien y ∈ ϕ(X) und
m ∈ ϕ(N ) sowie x ∈ X mit y = ϕ(x) und n ∈ N mit m = ϕ(n). Dann existiert
ein n0 ∈ N mit xn = n0 x. Es folgt y m = ϕ(x) ϕ(n) = ϕ(xn) = ϕ(n0 x) =
ϕ(n0 ) ϕ(x) = ϕ(n0 ) y ∈ ϕ(N ) y. Es gilt daher y ϕ(N ) ⊆ ϕ(N ) y. Analog
zeigt man ϕ(N ) y ⊆ y ϕ(N ). Also ist ϕ(N ) ein Normalteiler von ϕ(X).
Ist nun π : ϕ(X) → ϕ(X)/ϕ(N ) der kanonische Homomorphismus von ϕ(X) auf
die Restklassengruppe ϕ(X)/ϕ(N ), die das Einselement e0 = ϕ(N ) besitzt, dann
gilt π −1 (e0 ) = ϕ(N ). Für den Epimorphismus π ◦ϕ : X → ϕ(X)/ϕ(N ) (beide Homomorphismen sind surjektiv!) gilt ker(π ◦ ϕ) = (π ◦ ϕ)−1 (e0 ) = ϕ−1 (π −1 (e0 )) =
ϕ−1 (ϕ(N )). Aus dem Homomorphiesatz ergibt sich nun die behauptete Isomorphie.
Die Abbildung ϕ ist surjektiv. Zu gegebenem (x, y, z)T ∈ R3 setze a = x, c = y
und b = z + 21 xy. Dann gilt




1 a b
x




ϕ  0 1 c  = 
y
.
0 0 1
z + 12 xy − 12 xy
Die Abbildung ϕ ist injektiv. Aus der Gleichheit von Bildern (a, c, b − 12 ac)T =
(a0 , c0 , b0 − 12 a0 c0 )T in R3 folgt für die ersten beiden Koordinaten a = a0 , c = c0 und
damit ac = a0 c0 . Aus der dritten Koordinate folgt mit b− 12 ac = b0 − 12 a0 c0 = b0 − 12 ac
dann aber auch b = b0 , also die Gleichheit der Originale in H.
Dem Produkt zweier Matrizen





1 a b
1 d e
1 a + d b + e + af





1
c+f 
0 1 c0 1 f  = 0
0 0 1
0 0 1
0
0
1
wird durch ϕ der Vektor (a + d, c + f, b + e + af − 21 (a + d)(c + f ))T zugeordnet.
Das Produkt der zugeordneten Vektoren (a, c, b − 12 ac)T und (d, f, e − 12 df )T ist
gleich dem Vektor (a + d, c + f, b + e − 21 (ac + df ) + 21 (af − cd))T .
Ein Vergleich dieser Vektoren zeigt die Gleichheit und damit die Homomorphie
von ϕ.
90
a) Definiere ϕ : N20 / ∼→ Z durch ϕ([(a, b)]∼ ) = a − b.
Aus ϕ([(a, b)]) = ϕ([(c, d)]) folgt dann a − b = c − d, also a + d + 0 = c + b + 0 und
daher (a, b) ∼ (c, d). Dies zeigt [(a, b)] = [(c, d)] und daher die Injektivität von ϕ.
Sei z ∈ Z gegeben. Im Fall z ≥ 0 setze a = z und b = 0. Dann gilt ϕ([(a, b)]) =
a − b = a = z. Im Fall z < 0 setze a = 0 und b = −z > 0. Dann gilt ebenfalls
ϕ([(a, b)]) = a − b = 0 + z = z. Also ist ϕ auch surjektiv.
Für [(a, b)], [(c, d)] ∈ N20 / ∼ gilt ϕ([(a, b)] + [(c, d)]) = ϕ([(a + c, b + d)]) = a +
c − (b + d) = (a − b) + (c − d) = ϕ([(a, b)]) + ϕ([(c, d)]). Also ist ϕ auch ein
Homomorphismus.
b) Definiere ϕ : (Z \ {0})2 / ∼→ Q \ {0} durch ϕ([(a, b)]∼ ) = ab .
Aus ϕ([(a, b)]) = ϕ([(c, d)]) folgt dann ab = dc , also a · d · 1 = c · b · 1 und daher
(a, b) ∼ (c, d). Dies zeigt [(a, b)] = [(c, d)] und daher die Injektivität von ϕ.
Sei ab ∈ Q \ {0} gegeben. Dann gilt a, b ∈ Z \ {0} und ϕ([(a, b)]) = ab . Also ist ϕ
auch surjektiv.
Für [(a, b)], [(c, d)] ∈ Z \ {0})2 / ∼ gilt ϕ([(a, b)] · [(c, d)]) = ϕ([(a · c, b · d)]) =
a c
· = ϕ([(a, b)]) · ϕ([(c, d)]). Also ist ϕ auch ein Homomorphismus.
b d
ac
bd
=
a) Der identische Automorphismus ϕ = ιX erfüllt für jede nichtleere Teilmenge U
von X sicherlich ϕ(U ) = U und liegt somit in AutU (G) 6= ∅. Sind ϕ, ψ Automorphismen aus AutU (G) so ist ψ◦ϕ ein Automorphismus, der ψ◦ϕ(U ) = ψ(ϕ(U )) =
ψ(U ) = U erfüllt und damit wieder in AutU (G) liegt. Damit ist (AutU (G), ◦) ein
Untermonoid der Automorphismengruppe. Für ϕ ∈ AutU (G) ist auch ϕ−1 ein
Automorphismus und aus U = ϕ(U ) folgt ϕ−1 (U ) = ϕ−1 (ϕ(U )) = U . Daher ist
(AutU (G), ◦) sogar Untergruppe.
b) Die Behauptung AutZ(G) (G) = Aut(G) ist offensichtlich gleichwertig damit,
daß für jeden Automorphismus ϕ ∈ Aut(G) schon ϕ(Z(G)) = Z(G) gilt.
Es seien ϕ ∈ Aut(G), u ∈ Z(G) und x ∈ X beliebig, sowie x0 = ϕ−1 (x). Dann
gilt ϕ(u)x = ϕ(u)ϕ(x0 ) = ϕ(ux0 ) = ϕ(x0 u) = ϕ(x0 )ϕ(u) = xϕ(u). Es folgt
ϕ(u) ∈ Z(G), also ϕ(Z(G)) ⊆ Z(G).
Da ϕ als Automorphismus bijektiv ist, reicht es nun zu zeigen, daß ϕ(X \Z(G)) ⊆
X \ Z(G) gilt. Sei also x ∈ X \ Z(G) und y ∈ X mit xy 6= yx, aber ϕ(x)z = zϕ(x)
91
für alle z ∈ X. Insbesondere gilt dann ϕ(xy) = ϕ(x)ϕ(y) = ϕ(y)ϕ(x) = ϕ(yx)
und durch Anwendung von ϕ−1 würde hieraus der Widerspruch xy = yx folgen.
c) Seien x, y ∈ X mit xN = yN . Für jeden Automorphismus ϕ ∈ AutN (G)
gilt ja nach Definition ϕ(N ) = N . Hieraus folgt dann ϕ(x)N = ϕ(x)ϕ(N ) =
ϕ(xN ) = ϕ(yN ) = ϕ(y)ϕ(N ) = ϕ(y)N . Daher ist die rechte Seite der Definition
Ψ(ϕ)(xN ) = ϕ(x)N eindeutig bestimmt und die Abbildung Ψ(ϕ) : X/N →
X/N eindeutig durch ϕ bestimmt. Also ist die Abbildung Ψ : AutN (G) → TX/N
wohldefiniert.
Für xN, yN ∈ X/N gilt Ψ(ϕ)(xN · yN ) = Ψ(ϕ)(xyN ) = ϕ(xy)N =
ϕ(x)ϕ(y)N N = ϕ(x)N ϕ(y)N = Ψ(ϕ)(xN )Ψ(ϕ)(yN ), also Ψ(ϕ) ein Endomorphismus auf G/N .
Da ϕ als Automorphismus von G surjektiv ist, durchläuft ϕ(x)N mit x ∈ X alle
Restklassen von X/N . Damit ist auch Ψ(ϕ) surjektiv.
Aus Ψ(ϕ)(xN ) = Ψ(ϕ)(yN ), also ϕ(x)N = ϕ(y)N folgt wegen ϕ(N ) = N dann
weiter ϕ(xN ) = ϕ(x)ϕ(N ) = ϕ(x)N = ϕ(y)N = ϕ(y)ϕ(N ) = ϕ(yN ). Nach
Anwendung der Umkehrabbildung hat man also xN = yN , was die Injektivität
von Ψ(ϕ) zeigt.
Für ϕ, ψ ∈ AutN (G) und alle xN ∈ X/N gilt Ψ(ϕ ◦ ψ)(xN ) = (ϕ ◦ ψ)(x)N =
(ϕ(ψ(x))N = Ψ(ϕ)(ψ(x)N ) = Ψ(ϕ)(Ψ(ψ)(xN )) = (Ψ(ϕ)◦Ψ(ψ))(xN ). Dies zeigt
Ψ(ϕ ◦ ψ) = Ψ(ϕ) ◦ Ψ(ψ), d. h. Ψ ist ein Homomorphismus.
Es sei Z∗n = {1 ≤ k ≤ n − 1 | ggT(k, n) = 1} die prime Restklassengruppe in
(Zn , ·). Zu k ∈ Z∗n existiert daher ein eindeutig bestimmtes k 0 ∈ Z∗n mit kk 0 ≡
1 mod n, d. h. kk 0 = 1 + mn für ein eindeutig bestimmtes m ∈ Z. Mit ϕk liegt
0
daher auch ϕk0 in X und für alle x ∈ X gilt (ϕk ◦ ϕk0 )(x) = (xk )k = x1+mn =
xxmn = x, da xn = e für die Gruppenordnung n und das Einselement e von G
gilt. Daher ist jede Abbildung ϕk bijektiv und ihr Inverses liegt ebenfalls in X .
Für alle x, y ∈ X gilt ϕk (xy) = (xy)k = xk y k = ϕk (x)ϕk (y) wegen der Kommutativität von (X, ·). Also ist ϕk ein Automorphismus von G.
Für beliebige i, j, k ∈ Z∗n mit i · j = k in Z∗n existiert also wieder ein m ∈ Z mit
ij = k + mn in Z. Es folgt für alle x ∈ X damit (ϕi ◦ ϕj )(x) = ϕi (ϕj (x)) =
(xj )i = xij = xk+mn = xk = ϕk (x). Dies zeigt ϕi ◦ ϕj = ϕk = ϕi·j . Die Abbildung
Ψ : Z∗n → Aut(G) gemäß Ψ(k) = ϕk ist also ein Homomorphismus. Daher ist das
homomorphe Bild X = Ψ(Z∗n ) eine abelsche Untergruppe von (Aut(G), ◦).
Ist G = Cn = hai, so wird jeder Automoorphismus bereits durch das Bild ϕ(a) =
ak ∈ hai bestimmt und erfüllt dann ϕ(x) = xk für alle x ∈ hai, d. h. Ψ ist sogar
92
ein Isomorphismus. Ist speziell n eine Primzahl, so ergibt sich noch einmal die
Aussage von Aufgabe 3.34.
a) Da ϕ(e) = e für jeden Endomorphismus ϕ gilt, hat man e ∈ F ix(ϕ) 6= ∅.
Für x, y ∈ F ix(ϕ) folgt ϕ(xy) = ϕ(x)ϕ(y) = xy, also xy ∈ F ix(ϕ). Damit ist
(F ix(ϕ), ·) Untermonoid von G. Es ist aber auch ϕ(x−1 ) = ϕ(x)−1 = x−1 und
damit x−1 ∈ F ix(ϕ). Also ist F ix(ϕ) sogar Untergruppe.
b) Es ist Inn(G) = {fa | a ∈ X}, wobei der innere Automorphismus fa : X → X
gemäß fa (x) = axa−1 für alle x ∈ X definiert ist (vgl. Aufgabe 3.27).
Damit gilt x ∈ Z(G) ⇐⇒ ax = xa für alle a ∈ X ⇐⇒ axa−1 = x für alle
T
a ∈ X ⇐⇒ x ∈ F ix(fa ) für alle a ∈ X ⇐⇒ x ∈ ψ∈Inn(G) F ix(ψ).
Mit Aut(G) ist auch die Untergruppe Inn(G) der inneren Automorphismen von
G zyklisch. Daher ist nach Aufgabe 3.28 die Faktorgruppe G/Z(G) zyklisch. Mit
Folgerung 2.28 ergibt sich hieraus, daß G abelsch ist.
Nach Aufgabe 3.39 ist die Kommutatorgruppe N1 = K(G) ein Normalteiler von
G und die Faktorgruppe X1 /N1 kommutativ. Nach dem Homomorphiesatz ist
N2 = ker(ϕ) ebenfalls Normalteiler von G und H ist isomorph zu X1 /ker(ϕ) =
X1 /N2 .
Liegen nun alle Kommutatoren xyx−1 y −1 in N2 , so auch die Kommutatorgruppe
N1 . Man hat also die Voraussetzungen von Folgerung 3.13. Definiert man wie im
zugehörigen Beweis die Abbildung ψ : X1 /N1 → X1 /N2 gemäß ψ([x]1 ) = [x]2 für
alle [x]1 ∈ X1 /N1 , so ist diese Abbildung wohldefiniert und ein Epimorphismus.
Also ist X/N2 als epimorphes Bild der kommutativen Gruppe X/N1 ebenfalls
kommutativ und damit auch die dazu isomorphe Gruppe H.
Ist umgekehrt (X2 , ?) abelsch, so folgt für alle Kommutatoren in (X1 , ·) sofort
ϕ(xyx−1 y −1 ) = ϕ(x) ? ϕ(y) ? ϕ(x−1 ) ? ϕ(y −1 ) = ϕ(x) ? ϕ(x−1 ) ? ϕ(y) ? ϕ(y −1 ) = e2
für das Einselement e2 von H. Also liegen alle Kommutatoren im Kern von ϕ
und daher die gesamte Kommutatorgruppe N1 .
Da ϕ(x2 ) für alle x2 ∈ X2 ein Automorphismus von (X1 , ·) ist, liegt (ϕ(x2 ))(y1 )
in X1 und damit ebenso x1 · (ϕ(x2 ))(y1 ). Daher ist eine Verknüpfung auf dem
93
kartesischen Produkt X1 × X2 und damit (X1 × X2 , ) ein Gruppoid, sogar für
beliebige Gruppoide (X1 , ·) und (X2 , ·).
Ist nun e2 ein idempotentes Element in (X2 , ·), also beispielsweise ein Einselement,
so gilt ϕ(e2 ) = ϕ(e2 · e2 ) = ϕ(e2 ) ◦ ϕ(e2 ), d. h. ϕ(e2 ) ist idempotentes Element
in der Automorphismengruppe (Aut(G1 ), ◦) und damit die identische Abbildung
auf X1 . Also gilt
(x1 , e2 ) (y1 , e2 ) = (x1 · y1 , e2 )
für alle x1 , y1 ∈ X1 und ι1 : X1 → X1 × X2 gemäß ι1 (x1 ) = (x1 , e2 ) definiert
einen injektiven Homomorphismus von G1 in G1 oϕ G2 . Man darf dann G1 als
Untergruppoid von G1 oϕ G2 auffassen (vgl. den ersten Teil von Aufgabe 3.57).
Ist sogar ϕ(x2 ) = idX1 die identische Abbildung für alle x2 ∈ X2 , so gilt immer
(x1 , x2 )
(y1 , y2 ) = (x1 · y1 , x2 · y2 )
und G1 oϕ G2 stimmt mit dem direkten Produkt G1 × G2 überein. Wegen Aufgabe 3.33 ist dies speziell für die zyklische Gruppe G1 ∼
= C2 stets der Fall, da deren
Automorphismengruppe einelementig ist.
Sind ei ∈ Xi Einselemente in (Xi , ·), so gilt (ϕ(x2 ))(e1 ) = e1 für jeden Automorphismus ϕ(x2 ) aus Aut(G1 ) und damit (e1 , e2 ) (y1 , y2 ) = (e1 · y1 , e2 · y2 ) sowie
(x1 , x2 ) (e1 , e2 ) = (x1 · e1 , x2 · e2 ) = (x1 , x2 ). Daher ist dann (e1 , e2 ) Einselement
von G1 oϕ G2 .
Sind nun (Xi , ·) Halbgruppen und (x1 , x2 ), (y1 , y2 ), (z1 , z2 ) ∈ X1 × X2 , so gilt
((x1 , x2 )
(y1 , y2 ))
(z1 , z2 ) =
=
=
=
=
=
=
(x1 (ϕ(x2 ))(y1 ), x2 y2 ) (z1 , z2 )
(x1 (ϕ(x2 ))(y1 )(ϕ(x2 y2 ))(z1 ), x2 y2 z2 )
(x1 (ϕ(x2 ))(y1 )(ϕ(x2 ) ◦ ϕ(y2 ))(z1 ), x2 y2 z2 )
(x1 (ϕ(x2 ))(y1 )(ϕ(x2 ))((ϕ(y2 ))(z1 )), x2 y2 z2 )
(x1 (ϕ(x2 ))(y1 (ϕ(y2 ))(z1 ), x2 y2 z2 )
(x1 , x2 ) (y1 (ϕ(y2 ))(z1 ), y2 z2 )
(x1 , x2 ) ((y1 , y2 ) (z1 , z2 )).
Daher ist auch G1 oϕ G2 eine Halbgruppe.
Handelt es sich jeweils um Gruppen Gi , so ist wegen
−1
−1 −1
−1
(x1 , x2 ) ((ϕ(x2 ))−1 (x−1
1 ), x2 ) = (x1 · (ϕ(x2 ))((ϕ(x2 )) (x1 )), x2 · x2 ) = (e1 , e2 )
−1
((ϕ(x2 ))−1 (x−1
1 ), x2 ) ein Rechtsinverses zu (x1 , x2 ) im Monoid G1 oϕ G2 und das
semidirekte Produkt daher dann ebenfalls eine Gruppe.
94
Mit Z/(3) × Z/(2) = {(0, 0), (1, 0), (−1, 0), (0, 1), (1, 1), (−1, 1)} ergeben sich die
“Produkte” in Z/(3)oϕ Z/(2), indem man in der zweiten Komponente in (Z/(2), +)
addiert und in der ersten Komponente zunächst den zweiten Summanden durch
sein Entgegengesetztes ersetzt, falls die zweite Komponente des ersten Summanden gleich 1 ist, und anschließend in (Z/(3), +) addiert.
Beispielsweise gilt (1, 0) (1, 1) = (1 + 1, 0 + 1) = (−1, 1) und (1, 1)
(1 + (−1), 1 + 1) = (0, 0).
(1, 1) =
Auf diese Weise erhält man die folgende Cayley-Tafel
(0, 0)
(0, 0)
(0, 0)
(1, 0)
(1, 0)
(−1, 0) (−1, 0)
(0, 1)
(0, 1)
(1, 1)
(1, 1)
(−1, 1) (−1, 1)
(1, 0)
(1, 0)
(−1, 0)
(0, 0)
(−1, 1)
(0, 1)
(1, 1)
(−1, 0)
(−1, 0)
(0, 0)
(1, 0)
(1, 1)
(−1, 1)
(0, 1)
(0, 1)
(0, 1)
(1, 1)
(−1, 1)
(0, 0)
(1, 0)
(−1, 0)
(1, 1)
(1, 1)
(−1, 1)
(0, 1)
(−1, 0)
(0, 0)
(1, 0)
(−1, 1)
(−1, 1)
(0, 1)
(1, 1)
(1, 0)
(−1, 0)
(0, 0)
Diese nicht-kommutative Gruppe der Ordnung 6 ist daher isomorph zur symmetrischen Gruppe S3 und auch zur Diedergruppe D3 . Im ersten Fall muß man
den Elementen (1, 0) und (−1, 0) die beiden Zyklen der Länge 3 zuordnen und
den Elementen (0, 1), (1, 1) und (−1, 1) die drei Transpositionen. Im zweiten Fall
ordnet man (1, 0) die Drehung um 120o und (−1, 0) die Drehung um 240o zu,
während die anderen drei Elemente der Ordnung drei die Achsenspiegelungen in
der D3 werden.
Die Untergruppe aus den drei ersten Elementen ist im ersten Fall isomorph zur
alternierenden Gruppe A3 , im zweiten Fall zur Drehgruppe C3 .
Vertauscht man im semidirekten Produkt die beiden Faktoren Z/(3) und
Z/(2) miteinander, dann ist wegen der einelementigen Automorphismengruppe Aut((Z/(2), +)) (vgl. Lösung zu Aufgabe 3.33) jedes semidirekte Produkt
Z/(2) oϕ Z/(3) bereits das direkte Produkt Z/(2) × Z/(3) und damit eine abelsche
Gruppe. In diesem Sinn ist also das semidirekte Produkt nicht kommutativ.
Index
p-Element, 26
p-Gruppe, 24
p-Sylow-Untergruppe, 24
linksabsorbierendes, 54
linksinvertierbares, 4
linkskürzbares, 4, 10
linksneutrales, 2
Abbildungen
rechtskürzbares, 20
partielle, 32
rechtsneutrales, 2
Adjunktion eines Einselementes, 9
reguläres, 12
Alphabet, 4
Endomorphismenhalbgruppe, 39
Automorphismengruppe, 39, 47, 86–88, Endomorphismus, 38, 39
93
Epimorphismus, 38, 40, 42, 43
Automorphismus, 38, 40, 47, 85, 87
kanonischer, 38, 40, 42
äußerer, 85
Erster Isomorphiesatz, 42
innerer, 46, 85
Erzeugendensystem, 18
Eulersche ϕ-Funktion, 17, 26
Band, 2, 12
Exponent, 26, 28, 36
rektanguläres, 9
Blockcode, 4
Buchstaben, 4
Carmichael-Funktion, 26, 28
Carmichael-Zahl, 28
Cayley-Tafel, 60, 70, 71, 77, 83, 94
Code, 4
Diedergruppe, 44, 52, 94
Differenz
symmetrische, 3, 84
Einheitengruppe, 17, 39
Einheitskreis, 18
Einheitswurzel, 18
Einselement, 2, 7, 9, 23, 38, 54, 57
Element
absorbierendes, 4
anti-inverses, 13
coreguläres, 13
erzeugendes, 18, 28
idempotentes, 2, 10, 12, 67
inverses, 54
invertierbares, 5, 7
konjugiertes, 24
Faktorgruppe, 22, 25, 38, 40, 85
Grothendiekgruppe, 15
Gruppe, 6, 9, 21–23, 61
abelsche, 5–7, 9, 23, 25, 36
affin lineare, 41
alternierende, 17, 21, 23, 24, 40, 52,
94
Boolesche, 13, 32, 36
Dedekindsche, 23
dizyklische, 19, 32
einfache, 23, 41
elementar abelsche, 9
Hamiltonsche, 23
lineare, 47
projektive lineare, 41
spezielle lineare, 41, 47
spezielle projektive, 41
symmetrische, 6, 17, 24, 32, 47, 52,
94
torsionsfreie, 26
volle lineare, 11, 40, 59
von Primzahlordnung, 23, 25
zyklische, 18, 19, 23, 25, 26, 28, 42,
45, 47, 86, 93
95
INDEX
Gruppoid, 2–10, 18, 21
assoziatives, 2, 6, 54
di-assoziatives, 35
flexibles, 35
idem-assoziatives, 35
idempotentes, 2
kommutatives, 2
linkseinfaches, 56
linkskürzbares, 4, 10, 56
nirgends kommutatives, 14
potenz-assoziatives, 35
semisymmetrisches, 10, 57
unipotentes, 2
Halbgruppe, 2–6, 8, 9, 18
anti-inverse, 13
coreguläre, 13
der binären Relationen, 3
freie, 4, 13, 31, 62
inverse, 13, 62
kürzbare, 11, 31, 57, 67
kommutative, 7
linkseinfache, 6, 9, 60
linkskürzbare, 6
linksreduktive, 13
monogene, 18
rechtseinfache, 6
rechtskürzbare, 9
reguläre, 12
schwach kommutative, 14
separative, 14
zyklische, 18
Halbverband, 2, 83
Heisenberggruppe, 11, 35, 36, 49, 58, 80,
89
Homomorphiesatz, 40, 42, 43
Homomorphismus, 38, 88
kanonischer, 38
natürlicher, 38
Ideal, 33
Index, 21, 44
Inverses, 5
96
Involution, 13, 26, 44, 84
Isomorphiesatz
Erster, 42
Zweiter, 43
Isomorphismus, 38, 84
Kern, 40
Klassengleichung, 25, 30
Klassenlänge, 24
Kleiner Fermatscher Satz, 28
Kleinsche Vierergruppe, 17, 23, 47
Kommutatorgruppe, 92
Kongruenz
syntaktische, 33
Kongruenzrelation, 21, 33
Konjugiertenklasse, 24, 33
Konkatenation, 4
Kroneckerhalbgruppe, 5
Linkseinselement, 2, 10, 38, 57
Linksgruppe, 9
Linksinverses, 4
Linksloop, 7
Linksnebenklasse, 21, 24
Linkstranslation, 10, 43, 56, 67
Linkszerohalbgruppe, 5, 9, 60, 83
Loop, 7, 14
Magma, 2
Matrix, 11, 37, 49, 57, 58, 70, 77, 81, 89
Monoid, 2, 10
freies, 4, 50
freies kommutatives, 50
syntaktisches, 33
unipotentes, 60
Monomorphismus, 38
Normalisator, 24
Normalteiler, 22–24, 26, 41–44, 46, 47,
86
Nullgruppe, 10
Ordnung, 27
eines Elementes, 26
INDEX
eines Gruppoids, 2
97
reguläre, 33
Pauli-Matrizen, 37
Permutationsgruppe, 6, 17, 43
Potenzmenge, 3, 5, 46
Primzahl, 19, 24, 27–29
Produkt, 2
direktes, 9, 61, 93
semidirektes, 51, 93, 94
verschränktes, 51
Projektion, 3
Pseudo-Primzahl, 28
Torsionselement, 26, 36
Torsionsgruppe, 26
Transformationen
linksabsorbierende, 61
linkskürzbare, 61
singuläre, 32
Transformationshalbgruppe, 3, 13, 17,
44, 61
Transformationsmonoid, 57
Translationennormalteiler, 41
Quasi-Diedergruppe, 52
Quasigruppe, 7, 56, 57, 59
Quasikörper, 14
Quaternionen, 19, 23, 48
Quaternionengruppe, 23, 37, 77, 88
verallgemeinerte, 19
Untergruppe, 16, 22, 23
charakteristische, 47
konjugierte, 24
Untergruppoid, 16
Unterhalbgruppe, 16
Verknüpfung
Rechtseinselement, 2
assoziative, 2
Rechtsnebenklasse, 21, 24
idempotente, 2
Rechtstranslation, 10, 20
kommutative, 2
Rechtszerohalbgruppe, 9
unipotente, 2
Relation
Wort, 4
binäre, 3
Länge eines Wortes, 4
Relationenprodukt, 3
leeres, 4
Restklassengruppe
prime, 17, 26
Zahlen
Restklassengruppe modulo n, 7, 23, 42,
ganze, 7, 23, 42
86
natürliche, 6
Restklassenring modulo n, 7
Zentralisator, 24
Ring, 7, 11, 14, 35, 37
Zentrum, 17, 25, 30, 81
Zerohalbgruppe, 5, 80, 84
Satz von Cauchy, 29
Zweiter Isomorphiesatz, 43
Satz von Cayley, 43, 46
Satz von Euler, 28
Satz von Fermat, 28
Satz von Lagrange, 21, 25, 28, 30
Satz von Sylow, 29
Signum, 40
Sprache
erkennbare, 33
formale, 4, 33

Gruppentheorie

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