199 Estudo e Simulação do Processo de Geração de Speckle

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Estudo e Simulação do Processo de Geração de
Speckle Modulado Usando Matlab
R. K. Enjiu, Undergraduate Student Member, IEEE
Resumo—Speckle é uma imagem de aspecto granular que se
forma quando um feixe de luz coerente reflete de uma superfı́cie
rugosa ou atravessa um meio com variações no ı́ndice de refração.
Muitos sistemas de imageamento speckle vêm sendo propostos
na última década. Eles utilizam basicamente um difusor para
geração de speckle e uma lente positiva com uma máscara com
pupilas para modulação interna do padrão. Uma montagem
convencional para o imageamento speckle é estuda com base na
óptica de Fourier, e suas etapas de abstração para que possa ser
simulada no Matlab são apresentados, assim como um algorı́tmo
para a programação do mesmo. Os resultados obtidos estão de
acordo com o previsto teoricamente e aos apresentados pela
literatura, evidenciando a acurácia do modelo utilizado.
Index Terms—Speckle, modelagem,
simulação computacional, Matlab.
óptica
de
Fourier,
II. A N ÁLISE DO S ISTEMA
Um primeiro nı́vel de abstração do sistema estudado é
mostrando na Fig.1, que consiste numa montagem convencional em que a imagem resultante no plano imagem pode
ser incidida em um filme de alta resolução para o processo de
fotografia, ou em um cristal fotorefrativo para armazenamento.
A Fig.2 mostra a configuração dos planos do sistema. O
difusor, dif, localizado no plano x − y é iluminado por feixe
laser de HeNe de 632.8nm e cintura alargada para 25mm
, o padrão resultante incide em uma lente positiva L com
uma máscara com pupilas P que seleciona algumas regiões do
espectro, no plano ζ − η. A distância Z0 e ZC correspondem
as distâncias entre o difusor e lente, e entre a lente e o plano
imagem, respectivamente.
I. I NTRODUÇ ÃO
padrão aleatório de intensidade chamado de speckleé
uma imagem de aparência granular que ocorre quando
um feixe de luz coerente é refletida de uma superfı́cie rugosa
ou atravessa um meio com variações aleatórias do ı́ndice de
refração. Como a maioria das superfı́cies possuem rugosidades
na ordem dos comprimentos de onda visı́veis, quando um feixe
de luz coerente de um certo λ incide sobre tal superfı́cie,
os raios refletidos mandém sua coerência, embora sejam
espalhados de maneira desordenada devido as imperfeições da
superfı́cie. A interfência dos diversos componentes refletidos
resulta no padrão granular speckle. Podemos produzir o mesmo
fenômeno com um dispositivo que possua um ı́ndice de
refração variável, onde cada ponto do padrão resultante no
plano imagem é a contribuição coerente de diversas áreas do
dispositivo iluminado [1].
A simulação de sistemas com o uso de ferramentas computacionais tornou-se de grande importância no campo da
ciência e tecnologia. Pois possibilita o estudo do problema
em diversas condições sem a necessidade de complexos experimentos, reduzindo o custo e tempo dos projetos. Os trabalhos
realizados na simulação de sistemas speckle se restringem a
apenas sistemas simples de geração de speckle e interferometria devido a dupla exposição no deslocamento da matriz de
rugosidade [2], [3].
Como arranjos de sistemas de imagemento speckle com o
uso de um difusor e uma máscara com diversas configurações
de pupı́las para a modulação interna do padrão têm sido
propostos na última década [4]–[8], o presente trabalho se
dedica a simulação desses sistemas com o uso do Matlab.
O
Programa Institucional de Bolsas de Iniciação Cientı́fica - PIBIC/CNPq
R. K. Enjiu é aluno de graduação em Bacharelado em Ciência e Tecnologia
da UFABC, Santo André, SP, Brasil (e-mail: [email protected]).
Figura 1.
Sistema de imageamento speckle considerado
Seja U0 (x, y) o padrão complexo após o difusor, temos que
o padrão incidente em L é dado por
U1 (ζ, η) = U0 (x, y) ⊗ h1 (x, y, Z0 )
(1)
, onde ⊗ representa a operação de convolução e h1 (x, y, Z0 ) é
a resposta impulsiva da propagação livre, dada de forma geral
por
jk0 [ −jk0 (x2 +y2 ) ]
2z
h(x, y, z) = e(−jk0 z)
e
(2)
2πz
Figura 2.
Configuração dos planos do sistema
2
No plano ζ − η escrevemos a equação da transmitância da
k-ésima pupı́la da máscara como
(
2
1 (ζ − ζ (k) )2 + (η − η (k) )2 ≤ D4
(k)
(3)
P (ζ, η) =
0 caso contrário
P (m) P (n) ≡ 0
tal que m < n ∈ N
(4)
, onde D é o diâmetro da pupı́la centrada em (ζ (k) , η (k) ).
Temos que pela óptica de Fourier, uma transparência imediatamente atrás de uma lente iluminada por um campo complexo,
o padrão resultante em seu plano focal é proporcional a
transformada de Fourier do padrão
filtrado pela
PNincidente
(k)
máscara. Portanto, se P (ζ, η) =
P
é
a função da
k=1
máscara, então
U2 (u, v, z = f ) ∝ F {U1 .P }
(5)
, que é propagado até o plano X − Y
Ui (X, Y ) = U2 (u, v) ⊗ h2 (u, v, Zc − f )
(6)
Portanto, o padrão de intensidade é
IUi (X, Y ) ∝ kUi (X, Y )k2
(7)
Assim, um segundo nı́vel de abstração, em forma diagrama
de blocos da Fig.3, é feito e ó modelo que será usado para a
simulação.
III. S IMULAÇ ÃO
A ferramenta Matlab é utilizada para simular o sistema
previamente estudado. Por ser uma ferramenta computacional,
os dados a serem inseridos devem ser primeiro discretizados
para que possam ser tratados de forma numérica. O Matlab
representa imagens como uma matriz de valores, como mostra
a Fig.??, assim a primeira coisa a se fazer é tomar conhecimento das dimensões do sistema que será simulado, e definir
a freqüência de amostragem. Por simplicidade vamos fazer
o estudo em um caso unidimensional, o que não nos leva a
perde de generalidade, já que podemos facilmente estender os
conceitos para o caso bidimensional.
Suponha que queremos amostrar um sistema de coordenadas
espaciais oχ com um perı́odo de amostragem de ds metros,
isto é, a distância entre dois pontos consecutivos amostrados
é de ds . Assim, seja L a dimensão máxima a ser considerada
e N o número de amostradas a serem feitas, temos que
L
(8)
N
Observe que este processo de amostragem implica em uma
perda de informação, já que não consideramos os dados
existentes entre dois pontos consecutivos. Como apontado
ds =
Figura 3.
Diagrama de blocos do sistema estudado
Figura 4. Representação e sistema de coordenadas no Matlab, onde cada
ponto representa um pixel
por [2], perdemos as componentes que possuem freqüências
harmônicas maiores que a freqüência de amostragem fs =
1/ds .
No modelo considerado, primeiramente um feixe laser incide num difusor. Como a lente, o difusor somente introduz
uma transformação de fase no sinal de entrada, mas de
maneira aleatória. Para simular esse processo utilizamos a
função randn que retorna valores pseudoaleatórios com uma
distribuição padrão normal, e então escrevemos a função do
difusor como exp(j*k0*randn), onde k0 é o número de
onda, que é então multiplicado pontualmente ao laser.
Na análise do sistema, utilizamos a operação de convolução
para descrever o processo de propagação livre. Contudo se (1)
descreve a transmissão de um sinal por um sistema linear,
se F U1 , H1 e F U0 são as respectivas transformadas de
Fourier de U1 , h1 e F U0 , então a convolução no domı́nio
do espaço corresponde ao produto do sinal de entrada e
da resposta impulsiva no domı́nio da freqüência, ou seja,
F U1 (fX , fY ) = H1 (fX , fY ) · F U0 (fX , fY ).
Para o cálculo da transformada de Fourier fazemos uso
da transformada rápida de Fourier em duas dimensões, o
fft2, que retorna a tranformada discreta bidimensional de
Fourier computada com o algorı́tmo da transformação rápida.
Para obter a transformada inversa usamos o comando ifft2.
Portanto, o campo complexo incidente no plano ζ − η é
ifft2(FU1).
No segundo bloco, a programação da máscara assim como
a introdução do limite fı́sico da lente são feitas com o uso
de um loop duplo. Cada pupila da máscara é programada
separadamente segundo (3) e então somadas. Fazemos então
a composição da transmitância, t associada a lente, fazendo
o produto pontual da função do limite da lente e da máscara.
O padrão complexo U2 no plano focal é então computado,
fft2(U1.*t).
Por final, o padrão complexo do plano X − Y é calculado
fazendo o produto na freqüência de U2 e da propagação livre
do plano focal ao plano imagem. Para o cálculo do padrão
de intensidade usamos o comando abs(U).*abs(U). O comando imagesc(I) juntamente com o colormap(gray)
que retornam I como uma imagem de intensidade em preto
e branco, dimensionando os valores de I para que usem toda
a escala do colormap(gray), são usados para mostrar os
padrões de intensidade.
3
A. Verificação
Utilizando uma máscara com duas pupilas de diâmetro D =
2.5mm, distântes de d = 6mm uma da outra e simétricas em
relação a origem, simulamos o sistema com Z0 = 400mm,
f = 218mm e ZC = 480mm.
Figura 8. Padrão franjeado produzido pela modulação interna dos padrões
produzidos por ambas as pupilas
Figura 5.
Máscara com pupilas utilizada na verificação
No plano imagem, X − Y , os padrões speckle de cada
pupila são modulados internamente por um padrão de franjas.
O sistema de franjas resultante é perpendicular a linha que
liga o centro as duas pupilas, formando um ângulo φ =
atan[(ζ (m) − ζ (n) )/(η (m) − η (n) )] com o eixo X [7].
Através de um algorı́tmo simples, a curva de intensidade
em (N/2+1, :) de uma das pupilas é levantada, e então
a média das distâncias entre dois mı́nimos consecutivos é
feita. Nessas condições, o diâmetro médio teórico do grão é
de ≈ 148µm. Considerando que a incerteza da medida da
simulação é metade do perı́odo de amostragem, 50µm, temos
que o tamanho médio do grão calculado é de 183 ± 50µm,
o que está de acordo com a teoria. No padrão de franjas é
previsto teoricamente um perı́odo de p = ZC λ/d entre as
franjas. Nas condições simuladas, temos um perı́odo teórico
de ≈ 51µm. De modo análogo ao cálculo do diametro do
grão, obtemos um perı́odo médio calculado de 61 ± 50µm,
evidenciando a validade da simulação proposta.
IV. C ONCLUS ÕES
Figura 6.
Padrão speckle produzido pela pupila da esquerda
Um sistema de imageamento speckle é estudado e
abstrações sobre ele são feitas para se obter um modelo que
possar ser simulado em Matlab. Em cima do modelo proposto,
um algorı́tmo é montado passo-a-passo. Os resultados das
simulações estão de acordo com a análise teórica do sistema
e apresentam grande similaridade com os resultados apresentados pela literatura. Eviandênciando a acurácia do modelo
proposto e justificando seu uso para previsão de resultados.
R EFER ÊNCIAS
Figura 7.
Padrão speckle produzido pela pupila da direita
Teoricamente, o tamanho médio dos grãos de speckle formados por uma das pupilas é dado por ρ = 1.22λZC /D.
[1] J. Dainty, Laser speckle and related phenomena. Springer - Verlag,
1984.
[2] F. S. F. Gascón, “A simple method to simulate diffraction and speckle
patterns with a pc,” Optiks, vol. 117, pp. 49 – 57, 2006.
[3] ——, “Numerical computation of in-plane displacements and their detection in the near field by double-exposure objective speckle photography,”
Optics Communications, vol. 281, pp. 6097–6106, 2008.
[4] M. C. L. N. B. M. Tebaldi, L. A. Roro, “Image multiplexing by speckle
in a bso crystal,” Optics Communications, vol. 155, pp. 342 – 350, 1998.
[5] M. T. N. B. L. A. Toro, M. Tebaldi, “Optical operations based on speckle
modulation by using a photorefractive crystal,” Optics Communications,
vol. 168, pp. 55 – 64, 1999.
[6] M. T. M. T. N. B. L. A, Toro, “New multiple aperture arrangements for
speckle photography,” Optics Communications, vol. 182, pp. 95 – 105,
2000.
[7] M. T. N. B. L. A.Toro, M. Tebaldi, “Properties of speckle patterns
generated through multiaperture pupils,” Optics Communications, vol.
192, pp. 37 – 47, 201.
[8] N. B. A. Lencina, M. Tebaldi, “Analysis and applications of the speckle
patterns registered in a photorefractive bto crystal,” Optics Communications, vol. 202, pp. 257 – 270, 2002.