Freie Hansestadt Bremen Schulnr.

Freie Hansestadt Bremen
Die Senatorin für Bildung und Wissenschaft
Abitur 2011 - Grundkurs Mathematik
Schulnr.:
Kursbezeichnung:
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Aufgabe 5 - zum Themenbereich Analytische Geometrie
Fische
In Anlehnung an den Animationsfilm „Findet Nemo“ beobachten wir die Fische Dori und Marlin bei ihren
Abenteuern. Alle Positionsangaben in 100 Metern. O bezeichnet den Koordinatenursprung an der
Oberfläche des Wassers.
⎛1⎞
G ⎜ ⎟
a) Dori bewegt sich von ihrem Startpunkt S ( −1 −2 −1) in Richtung des Vektors v = ⎜ 2 ⎟ .
⎜ −1⎟
⎝ ⎠
JJJG JJJG
G
Berechnen Sie OP = OS + t ⋅ v mit t = 3 und veranschaulichen Sie die Vektorgleichung, in dem Sie die
JJJG
JJJG
G
Punkte S und P , die Ortsvektoren OS und OP und den Vektor 3 ⋅ v vom Punkt S in das
Koordinatensystem (nächste Seite) einzeichnen.
G
Dori bewegt sich vom Startpunkt nahezu konstant pro Minute um den Vektor v .
JJJG
G
Interpretieren Sie das Ergebnis OP für den Fall, dass die Koordinaten von v in 100 Metern pro Minute
gegeben sind und die Zeit t in Minuten angegeben wird.
Geben Sie eine Gleichung der Geraden g an, die den Weg von Dori beschreibt.
(
)
Entscheiden Sie mit Hilfe einer Rechnung, ob Dori den Punkt B 5 10 −7 erreicht.
(8 Punkte)
⎛ −1 ⎞
⎛ −1 ⎞
G ⎜
⎟
⎜ ⎟
b) Der Hai Bruce schwimmt entlang der Geraden h : x = ⎜ −2,5 ⎟ + r ⋅ ⎜ −2 ⎟ und sieht in Dori seinen leckeren
⎜ −1,5 ⎟
⎜1⎟
⎝
⎠
⎝ ⎠
⎛1⎞
⎛ 2⎞
G ⎜ ⎟
⎜ ⎟
Hai-Happen. Dori bewegt sich entlang der Geraden k : x = ⎜ 2 ⎟ + s ⋅ ⎜ 4 ⎟ .
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ −3 ⎠
⎝ −2 ⎠
Zeigen Sie, dass die nicht identischen Geraden h und k , auf denen sich Bruce und Dori bewegen,
parallel verlaufen.
Dori will ihre Richtung ändern und Bruce entwischen.
Geben Sie zur Hilfe eine Gleichung einer beliebigen Geraden k1 an,
so dass k1 und h sich schneiden oder windschief sind.
(
(3 Punkte)
)
c) In der dunklen Tiefe lauert im Punkt W 5 8 −6 der Raubfisch Wayne, der seine Umgebung mit einer
Lampe ausleuchtet. Die Lampe macht Objekte in ca. 100 Meter Entfernung für ihn gerade noch sichtbar.
(
)
Dori befindet sich im Punkt D 4,5 9 −6,5 .
Entscheiden Sie, ob Wayne Dori sehen kann.
Wayne schwimmt vom Punkt W in Richtung des Punktes D .
G
Berechnen Sie den Winkel, mit dem Wayne Doris Schwimmrichtung v (siehe a) trifft.
(4 Punkte)
d) Die Front einer gefährlichen Quallenkolonie gleicht einer Wand und kann als Ausschnitt einer Ebene E
mit der Koordinatengleichung E : 2 x2 + x3 = 13 beschrieben werden.
Dori bewegt sich entlang der Geraden k (siehe b)) und achtet nicht auf ihren Weg.
Ermitteln Sie den Punkt Q , in dem Dori auf die Ebene E trifft.
(6 Punkte)
MAT-GK-TR-H
Aufgabe 5
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Abitur 2011 - Grundkurs Mathematik
(
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Kursbezeichnung:
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)
e) Marlin befindet sich im Punkt M 3 7 −5,5 .
Berechnen Sie seinen Abstand zur Ebene E (siehe d)).
(4 Punkte)
Material zur Aufgabe Fische
MAT-GK-TR-H
Aufgabe 5
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Die Senatorin für Bildung und Wissenschaft
Schriftliche Abiturprüfung 2011
Aufgabe 5
Lehrermaterialien Grundkurs Mathematik
Erwartungshorizont und Bewertung nach Anforderungsbereichen
Lösungsskizze
a)
Bewertung
I
II
5
3
1
2
III
⎛ −1 ⎞
⎛1⎞ ⎛ 2⎞
JJJG ⎜ ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
OP = ⎜ −2 ⎟ + 3 ⋅ ⎜ 2 ⎟ = ⎜ 4 ⎟ .
⎜ −1 ⎟
⎜ −1⎟ ⎜ −4 ⎟
⎝ ⎠
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
JJJG
OP ist der Ortsvektor zum Punkt P(2 4 −4) , den Dori nach drei Minuten erreicht.
⎛ −1 ⎞
⎛1⎞
G ⎜ ⎟
⎜ ⎟
g : x = ⎜ −2 ⎟ + r ⋅ ⎜ 2 ⎟ .
⎜ −1 ⎟
⎜ −1⎟
⎝ ⎠
⎝ ⎠
⎛ 5 ⎞ ⎛ −1 ⎞
⎛1⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ ⎟
Mit r = 6 gilt ⎜ 10 ⎟ = ⎜ −2 ⎟ + r ⋅ ⎜ 2 ⎟ . Also erreicht Dori den Punkt B .
⎜ −7 ⎟ ⎜ −1 ⎟
⎜ −1⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎝ ⎠
b)
⎛ −1 ⎞ ⎛ 2 ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
Weil −2 ⋅ ⎜ −2 ⎟ = ⎜ 4 ⎟ , sind die Richtungsvektoren von h und k Vielfache vonein⎜ 1 ⎟ ⎜ −2 ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
ander. Die Geraden k und h sind zueinander parallel.
⎛1⎞
⎛1⎞
G ⎜ ⎟
⎜ ⎟
k1 : x = ⎜ 2 ⎟ + r ⋅ ⎜ −2 ⎟ ist eine mögliche Gleichung der Geraden, weil der Rich⎜ −3 ⎟
⎜1⎟
⎝ ⎠
⎝ ⎠
⎛1⎞
⎛ 2⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
tungsvektor ⎜ −2 ⎟ kein Vielfaches von ⎜ 4 ⎟ ist. Also schneiden sich
⎜ ⎟
⎜1⎟
⎝ −2 ⎠
⎝ ⎠
k1 und h oder sie sind windschief.
MAT-GK-TR-H-L
Erwartungshorizont Aufgabe 5
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Die Senatorin für Bildung und Wissenschaft
Schriftliche Abiturprüfung 2011
c)
Lehrermaterialien Grundkurs Mathematik
JJJG
WD = (−0,5) 2 + 12 + (−0,5) 2 ≈ 1, 22 . Der Abstand zwischen Dori und Wayne beträgt ungefähr 122 Meter, d.h. Wayne sieht Dori nicht.
⎛ −0,5 ⎞ ⎛ 1 ⎞
⎜
⎟ ⎜ ⎟
⎜ 1 ⎟∗⎜ 2 ⎟
⎛ −0,5 ⎞
⎜ −0,5 ⎟ ⎜ −1⎟
JJJG ⎜
2
2
⎝
⎠ ⎝ ⎠
⎟
WD = ⎜ 1 ⎟ und cos(a) =
=
= ; α ≈ 48D
1,5 ⋅ 6 3
⎛ −0,5 ⎞ ⎛ 1 ⎞
⎜ −0,5 ⎟
⎝
⎠
⎜
⎟ ⎜ ⎟
⎜ 1 ⎟⋅⎜ 2⎟
⎜ −0,5 ⎟ ⎜ −1⎟
⎝
⎠ ⎝ ⎠
d)
2
2
1
4
1
1
2
1
10
13
2
x1 = 1 + 2s
⎛1⎞
⎛ 2⎞
G ⎜ ⎟
⎜ ⎟
Die Gleichung x = ⎜ 2 ⎟ + s ⋅ ⎜ 4 ⎟ entspricht dem LGS x2 = 2 + 4 s .
⎜ −3 ⎟
⎜ −2 ⎟
x3 = −3 − 2s
⎝ ⎠
⎝ ⎠
Setzt man x1 , x2 und x3 in die Koordinatengleichung der Ebene E ein, so erhält
(
)
man s = 2 und es ergibt sich der Punkt Q 5 10 −7 , in dem Dori auf die Ebene E
trifft.
e)
Eine mögliche Lösung:
Der Abstand d des Punktes M von der Ebene E berechnet sich durch:
d (M , E ) =
2 ⋅ 7 + −5,5 − 13
5
≈ 2,01 .
Der Abstand von Marlin zur Ebene E beträgt ungefähr 201 Meter.
Eine andere Lösungsmöglichkeit:
Aufstellen einer Gleichung der zu E orthogonalen Geraden (Lotgerade)
durch M . Berechnen der Koordinaten des Lotfußpunktes F der Lotgeraden mit der
Ebene E . Der Abstand vom Punkt M zur Ebene E ist dann gleich dem Betrag
JJJJG
des Vektors MF .
Verteilung der insgesamt 25 Bewertungseinheiten auf die Anforderungsbereiche
MAT-GK-TR-H-L
Erwartungshorizont Aufgabe 5
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