Aufgaben zur Festigkeitslehre

Hochschule Karlsruhe
Technische Mechanik
Festigkeitslehre
Aufgaben zur Festigkeitslehre
F1: Maximale Länge eines Drahtes
l
Wie lang darf ein Stahldraht mit Rm =420
N/mm2 maximal sein, damit er nicht abreißt ?
Dichte von Stahl ρ=7850 kg/m3
F 2: Zugspannung in 2 Drähten
1
Eine Masse m hängt an zwei gleich langen Drähten mit
gleichen Querschnitten. Draht 1 ist aus Kupfer
(E1 = 125.000 N/mm2) und
Draht 2 aus Stahl (E2 = 210.000N/mm2 )
a)
Welche Zugkraft hat jeder Draht zu übertragen ?
2
b)
Wie verhalten sich die Spannungen σ2 / σ1 = ?
m =100 kg
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Festigkeitslehre
F 3: Passform bei Wärmeausdehnung in Alu und Stahl
Ein Wälzlager aus Stahl mit Außendurchmesser D = 150 mm wird in ein Alu-Gehäuse mit Bohrung D =
150 mm eingebaut. Wie verhalten sich Bohrung und Wälzlager bei einer Temperaturerhöhung um 100
K?
Wärmeausdehnungskoeffizienten: αSt = 12·10-6 K-1 , αAl = 24·10-6 K-1 .
F 4: Ausdehnung und Kräfte in einem Oberleitungsfahrdraht
Ein Oberleitungsfahrdraht von 1 km Länge ist an einem Ende fest verankert, am anderen Ende durch
ein Gewicht über eine Rolle gespannt. Bei der Montage beträgt die Temperatur T1 = 25 °C. Für den
Fall einer Außentemperatur von T2 = -10 °C ist folgendes zu ermitteln:
a)
b)
c)
Um welchen Betrag verkürzt sich der Draht?
Wie groß wird die Zugspannung im Fahrdraht durch die Abkühlung, wenn das
Gewicht verklemmt ist und so die Verankerungen starr sind?
Welche zusätzliche Zugkraft tritt hierdurch auf?
Daten des Drahtes: A = 100 mm² , αT = 17·10-6 K-1 , E = 125.000 N/mm²
F 5: Dimensionierung verschiedener Biegeträger bei vorgegebenem
Biegemoment
Ein Biegeträger ist mit einem maximalen Biegemoment MB = 400 Nm belastet. Die zulässige
Biegespanung beträgt σzul = 200 N/mm². Welche Abmessungen sind vorzusehen, wenn der Träger ...
a)
b)
c)
einen runden
einen rechteckigen (h/b = 2)
einen rohrförmigen (di = 0,9 · da)
... Querschnitt hat?
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F 6:
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Festigkeitslehre
Flächenmoment 2. Ordnung und Widerstandsmoment zusammengesetzter Flächen
Berechnen Sie die Flächenmomente und Widerstandsmomente der beiden
Querschnitte bezogen auf die Schwerpunktachsen x und y . (Maße in mm)
b)
a)
y
y
100
90
100
100
x
S
x
10
10
6
10
50
100
60
F 7 maximale Länge eines Balkens, den mittig die Kraft F belastet
Ein Träger mit konstantem Querschnitt „Ι 200“ ist durch die Kraft F = 8 kN belastet.
F
l
l/2
1
2
y
Auszug aus DIN 1025 für “I200”:
x
x
y
b
a)
b)
h
b= 90 mm
A= 33,4 cm2
Ix =2140 cm4
Iy = 117 cm4
h=200 mm
G= 26,2 kg/m
W x = 214 cm3
W y = 26,0 cm3
Welche Länge l darf der Balken in aufrechter 1 und liegender 2 Position maximal haben,
wenn die zulässige Spannung σzul = 240 N/mm² ?
Welche Durchbiegungen ergeben sich in beiden Fällen? (E = 210.000 N/mm²)
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Festigkeitslehre
F 8: Torsionswinkel und max Torsionsspannung
Eine Welle mit 8 mm Durchmesser überträgt auf eine Länge von 30 cm ein Drehmoment von 50 Nm
(G = 83.000 N/mm²).
a)
b)
Wie groß ist der Torsionswinkel?
Welche maximale Torsionsspannung tritt auf?
F 9: Schubspannungen in den Stiften eines Regals
Ein Regalbrett, das auf zwei Leisten aufliegt, ist mit einer Kraft F = 1.250 N symmetrisch belastet.
Welche Schubspannung liegt in den Nägeln vor, wenn jede Leiste mit zwei Nägeln (Durchmesser d = 2
mm) befestigt ist?
Reibung kann vernachlässigt werden.
F
d
F 10: Schraubzwinge, Festigkeit eines Bügels
Berechnen Sie den Bügelquerschnitt der Schraubzwinge auf Festigkeit.
Schnitt x-x
x
Presskraft F = 20 kN
σzul = 120 N/ mm²
x
80
110
30
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Maße in mm
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F11: Kurbelwelle
F
l
B
a
l/2
b
d
A
x
K
An einer Kurbelwelle ist für die gezeichnete Stellung folgendes zu bestimmen:
a)
b)
c)
Welches Drehmoment gibt die Kurbelwelle an der Kupplung K ab?
Wie groß sind die Auflagekräfte in A und B?
Wie groß ist die Vergleichsspannung (GE-Hypothese) an der Stelle x?
Daten der Kurbelwelle:
F = 1500 N, l = 300 mm, a = 100 mm, b = 80 mm, d = 20 mm, x = 100 mm
F 12: Schraubenschlüssel
Ein Schraubenschlüssel aus
Rund- stahl wird zum Festziehen
einer Radmutter benutzt.
a)
Berechnen Sie die mechanischen Spannungen an der
Stelle , dem Anschluss des
Rundstahls an den Schraubkopf.
b)
Berechnen Sie die mechanischen Spannungen an der
Stelle unmittelbar links
neben dem 90° Knick im
Schraubenschlüssel. Die
Abmessungen des Knicks
sollen vernachlässigt
werden.
c)
Wie groß muss die zulässige
Spannung für den verwendeten Stahl sein?
Verwenden Sie die
GE-Hypothese.
25 cm
∅ 22 mm F = 300 N
50 cm
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4 cm
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Festigkeitslehre
F13: Ausknicken einer Stütze
F
Eine Stütze besteht aus gelenkig
verbundenen Stäben. Die Stäbe haben
runden Querschnitt und bestehen aus
dem gleichen Werkstoff.
1
d1
l1
2
d2
l2
a) Wie verformt sich die Stütze, wenn
Stab 1 zuerst knickt?
b) Wie verformt sich die Stütze, wenn
Stab 2 zuerst knickt?
c) Wie verhalten sich die Durchmesser
(d1 /d2 ), wenn in beiden Stäben die
gleiche Sicherheit gegen Ausknicken
herrschen soll und l 2 = 2 l 1 ist?
F14: Wärmeaustauscher
Ein Wärmeaustauscher besteht aus einem Innenrohr (Index 1) und einem Außenrohr
(Index 2), die beide aus Stahl gefertigt sind (E = 210000 N/mm², αT = 11 10-6 K-1,
Innendurchmesser: d1 = 15 mm, d2 = 40 mm, Außendurchmesser: D1 = 20 mm, D2 =
42 mm, Länge l = 2000 mm).
Bei welcher Temperaturdifferenz zwischen Innen- und Außenrohr besteht die Gefahr
des Ausknickens für das Innenrohr? Eine Verformung der Verschlußplatten ist
ausgeschlossen und die Rohre haben jeweils überall die gleiche Temperatur.
l
2
1
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Festigkeitslehre
Ergebnisse:
F 1:
l = 5454 m
F 2:
a) F1 = 366 N; F2 = 615 N;
F 3:
∆Dst = 0,18 mm; ∆DAl = 0,36 mm;
F 4:
a) ∆l = 0,595 m;
F 5:
a) d = 27,3 mm;
b) b = 18,17 mm h = 36,34 mm; h = 28,84 mm b = 14,42 mm;
c) da = 38,98 mm; di = 35,08 mm;
F 6:
a) Ix = 432,2 cm4; W x = 86,44 cm3; Iy= 166,7 cm4; W y = 33,4 cm3
b) Ix = 234,5 cm4 ; W x = 40,8 cm3; Iy = 132 cm4; W y = 44 cm3
F 7:
a) l1max = 25,7 m; l2max = 3,12 m;
F 8:
a) φ = 25,70 ;
F 9:
τ= 99,47 N mm-2;
F 10:
σ = 102,08 N mm-2 ;
F 11:
a) M = 150 Nm;
F 12:
a)
b)
c)
F 13:
a)
F 14:
T 1 > T 2:
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b) σ2 / σ1 = 1,68;
b) σ = 74,375 Nmm-2;
c) F = 7437,5 N;
b) f1max = 0,63m; f2max = 0,02 m;
b) τ = 497 N mm -2 ;
 ≤ zul ;
b) FAy = FAx = F / 2 = 750 N;
c) σV = 194,56 N mm-2 ;
σZ1 = 0 N / mm2; σB1 = 11,5 N/mm² ; τT1 = 71,8 N/mm² ; τQ1 = 0,8 N/mm² ;
0 N/mm2 ; τQ2 = 0,7 N/mm² ;
σZ2 = 0,4 N/mm² ; σB2 = 143,5 N/mm² ; τT2 =
2
Punkt 1: σV 126,3 N / mm ;
Punkt 2: σV = 143,9 N / mm2 ;
b)
∆ T = 72,45 K
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c)
d1 / d2 = 0,5