Zusammenfassung: Magnetfelder - Lehrer-Uni
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Zusammenfassung: Magnetfelder - Lehrer-Uni
LGÖ Ks Ph 12 4-stündig 16.08.2012 Zusammenfassung: Magnetfelder Wiederholung: Magnetismus Magnetfelder Definition: In der Umgebung eines Magneten oder eines stromdurchflossenen Leiters ist ein Magnetfeld; dort erfahren andere Magnete (magnetische) Kräfte. Die Richtung der Kraft in einem Magnetfeld beschreibt man durch Feldlinien. Ein gedachter „Probenordpol“ erfährt eine Kraft tangential zu den Feldlinien in Feldlinienrichtung. Da es keinen einzelnen Nordpol gibt, bestimmt man die Feldlinien in der Praxis 1. mit Eisenfeilspänen; diese werden magnetisiert und stellen sich tangential zu den Feldlinien ein. Die Richtung der Feldlinien kann man allerdings nicht bestimmen. 2. mit einer Magnetfeldsonde, d. h. einem kleinen, allseits drehbaren Stabmagneten. Er stellt sich tangential zu den Feldlinien ein, wobei sein Nordpol in Richtung der Feldlinien weist. Wichtige Magnetfelder: • Feld eines Stabmagneten • Feld eine Hufeisenmagneten: Zwischen den Schenkeln verlaufen die Feldlinien parallel (vom Randfeld abgesehen). • Erdmagnetfeld: Das Erdmagnetfeld ist ähnlich dem Feld eines Stabmagneten, dessen Nordpol in der Nähe des geografischen Südpols und dessen Südpol in der Nähe des geografischen Nordpols liegt. • Feld eines geraden stromdurchflossenen Leiters: Die Feldlinien bilden Kreise in Ebenen senkrecht zum Leiter mit dem Leiter als Kreismittelpunkt. Die Richtung der Feldlinien ergibt sich aus der Linken-Faust-Regel: Halte den Daumen an Stelle des Leiters in Richtung der Elektronenbewegung. Dann weisen die gekrümmten Finger in Richtung der Feldlinien. Achtung: Die Elektronen in einem Stromkreis bewegen sich vom Minuspol der Stromquelle zum Pluspol, während die technische Stromrichtung umgekehrt definiert ist. • Feld einer stromdurchflossenen Leiterschleife • Feld einer stromdurchflossenen Spule: Im Innern der Spule verlaufen die Feldlinien parallel zur Spulenachse. Außerhalb der Spule ist das Feld ähnlich dem Feld eines Stabmagneten. Bei den von Strömen erzeugten Magnetfeldern sind die Feldlinien geschlossen sind, d. h. sie haben keinen Anfang und kein Ende; insbesondere kann man nicht von einem Nord- oder Südpol reden. Die Richtung von Feldlinien, die senkrecht zur Zeichenebene verlaufen, kennzeichnet man folgendermaßen: Die Feldlinie weist in die Zeichenebene hinein. (Das Zeichen soll an einen gefiederten Pfeil erinnern, der von hinten betrachtet wird.) Die Feldlinie weist aus der Zeichenebene heraus. (Das Zeichen soll an eine Pfeilspitze erinnern.) Es wäre nahe liegend, in Analogie zur elektrischen Feldstärke die „magnetische Feldstärke“ folgendermaßen zu definieren: Kraft auf einen „Probenordpol“, geteilt durch die „Stärke“ des Nordpols. Dies kann man aber nicht als Definition nehmen, da es keinen einzelnen Nordpol (und schon gar kein Maß für die „Stärke“ eines Nordpols) gibt. 09a_zus_magnetfelder 1/6 LGÖ Ks Ph 12 4-stündig 16.08.2012 Kraft auf einen stromdurchflossenen Leiter im Magnetfeld und magnetische Flussdichte Ein stromdurchflossener Leiter, der senkrecht zu den Feldlinien eines Magnetfelds verläuft, erfährt eine Kraft, die senkrecht zum Leiter und senkrecht zu den Feldlinien wirkt. Die Richtung der Kraft ergibt sich aus der Dreifingerregel der linken Hand: Halte den Daumen an Stelle des Leiters in Richtung der Elektronenbewegung und den Zeigefinger in Richtung der Magnetfeldlinien. Dann zeigt der Mittelfinger in Richtung der Kraftwirkung. Zwei Anwendungen dieser Kraftwirkung sind der Elektromotor und der Lautsprecher. Zur Untersuchung des Betrags der Kraft befestigt man eine rechteckige Leiterschleife an einem empfindlichen Kraftmesser. Der untere Teil der Leiterschleife wird senkrecht von einem räumlich begrenzten Magnetfeld durchsetzt, dessen Feldlinien horizontal verlaufen. Die Kräfte F1 und F2 auf die seitlichen Leiterabschnitte heben sich gegenseitig auf. Wirksam ist nur die auf den unteren Leiterabschnitt wirkende Kraft F . Für die Kraftwirkung spielt also nur die Länge dieses Leiterabschnitts, die sog. „wirksame F1 Leiterlänge“ s, eine Rolle. Man weist mit dieser Anordnung nach, dass der Betrag F der Kraft • proportional zu wirksamen Leiterlänge s ist (das ist auch anschaulich klar) und • proportional zur Stromstärke I ist Also gilt F ∼ Is bzw. F = Proportionalitätsfaktor ⋅ Is . I F2 F s Der Proportionalitätsfaktor in dieser Beziehung ist ein Maß für die Stärke des Magnetfelds. Aus historischen Gründen nennt man ihn nicht „magnetische Feldstärke“, sondern „magnetische Flussdichte“: Definition: Ein von einem Strom I durchflossener Leiter der wirksamen Leiterlänge s, der senkrecht zu den Feldlinien eines Magnetfelds verläuft, erfährt eine Kraft F. Der Quotient F B= Is heißt Betrag der magnetischen Flussdichte. N Einheit: 1 T = 1 (Tesla) Am Definition: Die magnetische Flussdichte B ist eine Vektorgröße, deren 1. Betrag gerade definiert wurde; 2. Richtung in einem Feldpunkt die Richtung der Kraft auf einen gedachten Probenordpol an diesem Feldpunkt ist. Merke: Der Betrag von B ist über die Kraftwirkung auf einen stromdurchflossenen Leiter definiert, und die Richtung von B ist über die Kraftwirkung auf einen gedachten Probenordpol definiert. Ein Magnetfeld heißt homogen, wenn die Flussdichte B (nach Betrag und Richtung) überall gleich ist. Beispielsweise ist das Magnetfeld im Innern einer langgestreckten Spule homogen. 09a_zus_magnetfelder 2/6 LGÖ Ks Ph 12 4-stündig 16.08.2012 Aus der Definition des Betrags der magnetischen Flussdichte folgt unmittelbar: Ein von einem Strom I durchflossener Leiter der wirksamen Leiterlänge s, der senkrecht zu den Feldlinien eines Magnetfelds der Flussdichte B verläuft, erfährt die Kraft F = IBs . Merke: „Fibs“ Verläuft ein stromdurchflossener Leiter in einem Magnetfeld nicht senkrecht zu den Feldlinien, dann gilt: • Verläuft der Leiter parallel zu den Feldlinien, dann erfährt er keine Kraft. • Verläuft der Leiter schräg zu den Feldlinien, dann zerlegt man das Magnetfeld B in eine Komponente B⊥ senkrecht zum Leiter und in eine Komponente B parallel zum Leiter. Für die Kraftwirkung spielt nur die Komponente B⊥ eine Rolle. Lorentzkraft Bewegen sich geladene Teilchen (beispielsweise Elektronen in einer Braunschen Röhre) senkrecht zu den Feldlinien eines Magnetfelds, dann erfahren sie eine Kraft, die sog. Lorentzkraft FL . Die Kraft auf einen stromdurchflossenen Leiter in einem Magnetfeld ist die Summe der Lorentzkräfte auf die im Leiter fließenden Elektronen. Also gilt für die Richtung der Lorentzkraft das Gleiche wie für die Richtung der Kraft auf einen stromdurchflossenen Leiter im Magnetfeld: • Die Lorentzkraft FL wirkt senkrecht zur Bewegungsrichtung der Teilchen und senkrecht zu den Feldlinien. • Die Richtung von FL auf negativ geladene Teilchen ergibt sich aus der Dreifingerregel der linken Hand. • Auf positiv geladene Teilchen wirkt FL in entgegengesetzter Richtung. Für den Betrag FL der Lorentzkraft auf ein Teilchen der Ladung q, das sich mit der Geschwindigkeit vs senkrecht zu den Feldlinien eines Magnetfelds der Flussdichte B bewegt, gilt FL = qvs B . Herleitung: siehe „Für Experten“. Es ist üblich, in dieser Gleichung vs zu schreiben, um daran zu erinnern, dass diese Gleichung nur gilt, wenn sich das Teilchen senkrecht zu den Feldlinien bewegt. Halleffekt Wird ein stromdurchflossenes Plättchen senkrecht von einem Magnetfeld der P B Flussdichte B durchsetzt, dann wirkt auf die in dem Plättchen fließenden Elektronen eine Lorentzkraft. In der h nebenstehenden Anordnung werden die Elektronen nach unten abgelenkt. Q Dadurch wird die Unterseite des Plättchens negativ und die Oberseite des Plättchens positiv. Zwischen den Punkten P und Q entsteht also eine Spannung, die Hallspannung U H . 09a_zus_magnetfelder 3/6 UH LGÖ Ks Ph 12 4-stündig 16.08.2012 Durch die Überschussladungen entsteht im Innern des Plättchens ein elektrisches Feld der Feldstärke E, das auf die Elektronen eine elektrische Kraft nach oben bewirkt. Nach kurzer Zeit stellt sich ein stationärer Zustand ein, in dem sich die Lorentzkraft FL und die elektrische Kraft Fel gegenseitig aufheben. Hat das Plättchen die Höhe h und fließen die Elektronen mit der Driftgeschwindigkeit vs , dann gilt: Fel = FL eE = evs B E = vs B UH = vs B h U H = hvs B Merke: U H ∼ B Den Proportionalitätsfaktor bestimmt man, indem man die Hallspannung U H in einem Magnetfeld bekannter Flussdichte B misst. N . Hier ist eine andere Am Einheit zweckmäßiger (die auch in der Formelsammlung angegeben wird): J 1 2 N J VC VC Vs m =1 =1 =1 2 . 1 1 1 = 2 = 2 C 2 Am Am A⋅m A⋅m m ⋅m s J J 1: 1 J = 1 Nm , also 1 N = 1 ; 2 : 1 V = 1 , also 1 J = 1 VC C m Die Einheit der magnetischen Flussdichte B ist bekanntlich 1 T = 1 Den Halleffekt nutzt man in einem Teslameter zur Messung des Betrags der magnetischen Flussdichte. Magnetfeld einer langgestreckten Spule und magnetische Feldkonstante Man weist experimentell nach, dass das Magnetfeld im Innern einer langgestreckten stromdurchflossenen Spule (näherungsweise) homogen ist. Für Experten: An den Spulenenden ist die magnetische Flussdichte nur halb so groß wie im Innern, was man sich anschaulich überlegen kann. Man weist experimentell nach, dass der Betrag B der magnetischen Flussdichte im Innern einer stromdurchflossenen langgestreckten Spule • unabhängig vom Spulenquerschnitt ist; • proportional zur Stromstärke I ist; (Diese Stromstärke nenn man auch die Erregerstromstärke.) • proportional zur Anzahl n der Windungen ist; • umgekehrt proportional zur Länge l der Spule ist. Die beiden letztgenannten Abhängigkeiten kann man zusammenfassen: B ist proportional zur n Windungsdichte . l 09a_zus_magnetfelder 4/6 LGÖ Ks Also gilt B ∼ Ph 12 4-stündig 16.08.2012 n n I bzw. B = Proportionalitätsfaktor ⋅ I . l l Vs Vs ⋅m 2 Bl Tm Vs hat die Einheit 1 Der Proportionalitätsfaktor =1 m =1 m =1 . nI A A A Am Definition: Dieser Proportionalitätsfaktor heißt magnetische Feldkonstante µ 0 ; es ist Tm Vs µ 0 = 1, 26 ⋅ 10−6 = 1, 26 ⋅ 10−6 . A Am Vs . Für Experten: Der genaue Wert ist µ0 = 4π ⋅ 10−7 Am Bestimmung der magnetischen Feldkonstanten µ 0 : Schließe eine langgestreckte Spule der Länge l mit n Windungen an eine Spannungsquelle an und miss die Stromstärke I (mit einem Amperemeter). Miss mit einem Teslameter die magnetische n Bl Flussdichte B im Innern der Spule. Es ist B = µ0 I , also µ0 = . nI l Füllt man das Innere der Spule mit einem ferromagnetischen Stoff, dann wird dieser magnetisiert, und die magnetische Flussdichte wird größer. Wie stark sie sich vergrößert, hängt vom Stoff ab. Für Experten: Auch andere als ferromagnetische Stoffe verändern die magnetische Flussdichte ein wenig. Definition: Die Permeabilitätszahl µ r eines Stoffes gibt an, auf das Wievielfache sich die magnetische Flussdichte im Vergleich zu Vakuum vergrößert. In Luft gilt µr ≈ 1 . Also hat die magnetische Flussdichte im Innern einer langgestreckten Spule der Länge l mit n Windungen, die mit einem Stoff der Permeabilitätszahl µ r gefüllt ist und durch die ein Strom der Stärke I fließt, den Betrag n B = µ0 µ r I . l Für Experten Herleitung des Betrags FL der Lorentzkraft: In einem Leiterstück der Länge s seien N Elektronen frei beweglich. Sie strömen mit der (durchschnittlichen) Drifts geschwindigkeit v in der Zeit t = durch den (im Bild v dunkel schraffierten) Leiterquerschnitt am Ende des Leiterstücks und tragen durch ihn die Ladung Q = Ne . Also ist die Stromstärke Q Ne Nev . I= = = s t s v 09a_zus_magnetfelder 5/6 s LGÖ Ks Ph 12 4-stündig 16.08.2012 Das Leiterstück erfährt in einem Magnetfeld der Flussdichte B, dessen Feldlinien senkrecht zum Leiter sind, die Kraft Nev F = IBs = ⋅ Bs = NevB . s Diese Kraft ist die Summe der Lorentzkräfte auf die N Elektronen im Leiterstück. Also ist die Lorentzkraft auf ein einzelnes Elektron F NevB FL = = = evB . N N Analog erfährt ein Teilchen der Ladung q eine Lorentzkraft vom Betrag FL = qvB . 09a_zus_magnetfelder 6/6