finanzmathematik

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Finanzmathematik
FINANZMATHEMATIK
1. Zinsen und Zinseszinsen
Die Zinsen als Preis für die Zurverfügungstellung von Geld bilden das
zentrale Element in der Finanzmathematik. Hierbei sind verschiedene
Arten der Verzinsung zu unterscheiden.
Einteilung der Verzinsung nach der Kapitalisierung:
— Bei den einfachen Zinsen bleibt die Berechnungsbasis für die Zinsen während der gesamten Verzinsungsdauer unverändert (lineares Wachstum).
— Bei den Zinseszinsen erhöht sich die Berechnungsbasis für die Zinsen jeweils um die in der voran
gegangenen Periode gutgeschriebenen Zinsen (exponentielles Wachstum).
Einteilung der Verzinsung nach dem Zeitpunkt der Fälligkeit:
— Bei der dekursiven Verzinsung sind die Zinsen am Ende der Verzinsungsperiode fällig.
— Bei der antizipativen Verzinsung sind die Zinsen am Beginn der Verzinsungsperiode fällig.
Einteilung der Verzinsung nach der Dauer der Verzinsungsperiode:
— Bei der ganzjährigen Verzinsung dauert die Verzinsungsperiode ein Jahr.
— Bei der unterjährigen Verzinsung dauert die Verzinsungsperiode kürzer als ein Jahr, d. h. ein Jahr
umfasst mehrere Verzinsungsperioden.
Da die antizipative Verzinsung in der Praxis eher selten vorkommt, wollen
wir uns in den Beispielen und Aufgaben auf die Behandlung der
dekursiven Verzinsung beschränken.
Weiters soll – wenn nicht anders angegeben – davon ausgegangen
werden, dass die jeweiligen Einzahlungen zu Jahresbeginn erfolgen.
Beispiel:
Ein Betrag von € 100,— wird zu 3 % p. a.1) d. h. mit einfacher
Verzinsung angelegt. Man gebe eine Zahlenfolge für das Guthaben
nach einem, zwei, drei, ..., zwölf Monaten an.
Lösung:
Die Verzinsungsperiode beträgt ein Jahr. Da es sich um einfache Zinsen
handelt, also um ein lineares Wachstum, kann dieses durch eine
arithmetische Folge beschrieben werden.
Für € 100,— betragen die Zinsen für das ganze Jahr 3 % von
1
€ 100,— = € 3,— bzw. für einen Monat 12
von € 3,— = € 0,25.
Das Guthaben nach einem Monat beträgt daher € 100,25, nach zwei
Monaten € 100,50, nach drei Monaten € 100,75, ... , nach zwölf
Monaten € 103,—.
Für das Guthaben nach einem, zwei, drei, ..., zwölf Monaten können wir
daher die Zahlenfolge 〈100,25, 100,50, 100,75, 101, 101,25, 101,50,
101,75, 102, 102,25, 102,50, 102,75, 103〉 angeben.
1)
pro anno (lat.) = für ein Jahr.
Historische Bemerkungen zu
Zinsen:
Bereits in der Antike waren Zinsen
als Preis für die Leihe von Geld
oder Naturalien bekannt. Allerdings
wurde die Erlaubnis, Zinsen zu
nehmen, immer wieder durch
Zinsverbote beschränkt. Das aus
dem Gebot der christlichen
Bruderliebe abgeleitete kanonische
Zinsverbot führte dazu, dass im
Mittelalter Darlehen, für die Zinsen
zu zahlen sind, als „Wucherdarlehen“ angesehen wurden. Vor
diesem Hintergrund wurde die
antizipative Verzinsung entwickelt,
bei der die Zinsen bereits im Voraus
vom Kreditbetrag abgezogen
werden. Der Kreditnehmer erhält
gleich den um die Zinsen
verringerten Betrag ausbezahlt,
und zahlt dann bei Fälligkeit den
vollen Kreditbetrag an den
Kreditgeber. Da bei dieser Methode
keine unmittelbare Zahlung von
Zinsen vom Kreditnehmer an den
Kreditgeber erfolgt, hat man auf
diese Weise das früher geltende
Zinsverbot umgangen.
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Finanzmathematik
Wir wollen die im vorigen Beispiel angestellten Überlegungen verallgemeinern:
p
Für ein Anfangskapital K0 betragen die Zinsen für das ganze Jahr K0 ⋅ 100
p
1 .
bzw. für einen Monat K0 ⋅ 100
⋅ 12
Das Guthaben nach einem Monat beträgt daher
(
p
p
)
1 = K ⋅ 1+
K0 + K0 ⋅ 100 ⋅ 12
⋅ 1 .
0
100 12
Das Guthaben nach zwei Monaten beträgt dann
( p )
p
3 = K ⋅ 1+ p ⋅ 3 , usw.
K0 + K0 ⋅ 100 ⋅ 12
0 (
100 12 )
p
2 = K ⋅ 1+
K0 + K0 ⋅ 100 ⋅ 12
⋅ 2 , nach drei Monaten
0
100 12
Einfache Zinsen:
(
)
p
Kn = K0 ⋅ 1+ 100 ⋅ n
Setzt man für n die Zeitdauer in Jahren (hier demnach als Bruchteil eines
(
)
p
Jahres) ein, so erhält man für ein Endkapital Kn = K0 ⋅ 1+ 100
⋅n .
Beispiel:
Ein Betrag von € 500,— wird zu 2 % p. a. Zinsen 3 Jahre angelegt. Man gebe eine Zahlenfolge für das
Guthaben nach einem, zwei, drei Jahren an.
Lösung:
Die Verzinsungsperiode beträgt ein Jahr, die Anlagedauer 3 Jahre.
Wir rechnen mit Zinseszinsen, d. h. es liegt ein exponentielles Wachstum vor, das durch eine geometrische
Folge beschrieben werden kann.
Die Berechnungsbasis für die Zinsen im ersten Jahr ist € 500,—.
Die Zinsen für das erste Jahr sind somit 2 % von € 500,— = € 10,—. Das Guthaben am Ende des ersten
Jahres beträgt daher € 510,—.
Die Berechnungsbasis für die Zinsen im zweiten Jahr ist € 510,—.
Die Zinsen für das zweite Jahr sind somit 2 % von € 510,— = € 10,20.
Das Guthaben am Ende des zweiten Jahres beträgt daher € 520,20.
Die Berechnungsbasis für die Zinsen im dritten Jahr ist € 520,20.
Die Zinsen für das dritte Jahr sind somit 2 % von € 520,20 = € 10,40.
Das Guthaben am Ende des dritten Jahres beträgt daher € 530,60.
Für das Guthaben nach einem, zwei, drei Jahren können wir daher die Zahlenfolge 〈510, 520,20, 530,60〉
angeben.
Wir wollen auch die Überlegungen des zuletzt gezeigten Beispiels verallgemeinern:
Für ein Anfangskapital K0 betragen die Zinsen (p % p. a.) für das erste Jahr
p
K0 ⋅ 100
Das Guthaben am Ende des ersten Jahres beträgt daher
p
p
K0 + K0 ⋅ 100 = K0 ⋅ 1+ 100 .
(
)
Das Guthaben am Ende des zweiten Jahres beträgt dann
2
p
p
K0 ⋅ 1+ 100 ⋅ 1+ 100 bzw. K0 ⋅ 1+ p .
[ (
Zinseszinsen:
(
p
Kn = K0 ⋅ 1 + 100
)
n
)] (
)
(
100
)
Das Guthaben am Ende des dritten Jahres beträgt dann
p 2⎤
p
⎡
p 3
⎢⎣K0 ⋅ 1+ 100 ⎥⎦ ⋅ 1+ 100 bzw. K0 ⋅ 1+ 100 .
(
) (
)
(
)
(
)
p n
Das Guthaben am Ende des n-ten Jahres beträgt dann Kn = K0 ⋅ 1+ 100 .
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Finanzmathematik
Die folgende Tabelle gibt eine Übersicht über die Zusammenhänge
zwischen Anfangskapital K0 und Endkapital Kn nach n Jahren bei einer
Verzinsung von p % p. a.:
dekursive Verzinsung
( p )
p n
Kn = K0 ⋅ (1+ 100 )
Kn = K0 ⋅ 1+ 100 ⋅ n
einfache Zinsen
Zinseszinsen
In der Praxis kommt es oft vor, dass die Veranlagungsdauer nicht einer
vollen Anzahl an Verzinsungsperioden entspricht. In diesem Fall rechnet
man für volle Verzinsungsperioden Zinseszinsen und für den verbleibenden Teil einfache Zinsen.
Wird also z. B. ein Kapital bei ganzjähriger Verzinsung 4 Jahre und 9 Monate lang angelegt, rechnet man für 4 Jahre Zinseszinsen und für 0,75 Jahre
einfache Zinsen. Diese Berechnungsart wird gemischte Verzinsung genannt.
Zinserträge gehören in Österreich
zu den steuerpflichtigen Einkünften.
Von allen Zinsgutschriften müssen
die Banken 25 % an Kapitalertragsteuer (KESt) einbehalten und an
das Finanzamt abliefern.
Bei einer Verzinsung von 2 %
verbleiben dem Sparer nur 34 von
2 % = 1,5 %, die restlichen 0,5 %
entfallen auf die KESt. Einer
„Bruttoverzinsung“ von 2 %
entspricht also eine „Nettoverzinsung“ von 1,5 %.
Aus Vereinfachungsgründen wollen
wir bei den Beispielen und
Aufgaben auf die Berücksichtigung
der KESt verzichten.
Beispiel:
Zu Beginn eines Jahres werden € 600,— auf ein mit 3,5 % p. a.
verzinstes Sparbuch gelegt. Wie hoch ist das Guthaben nach a) 5
Monaten b) 3 Jahren c) 55 Monaten?
Lösung:
a) Da die Anlagedauer weniger als ein Jahr ist, werden einfache
Zinsen berechnet. Wir setzen für K0 = 600, für p = 3,5 und für
5 ein:
n = 12
(
)
3,5 5
Kn = 600 ⋅ 1+ 100
⋅ 12 = 608,75 €
b) Da die Anlagedauer mehrere Jahre beträgt, werden Zinseszinsen
berechnet. Wir setzen für K0 = 600, für p = 3,5 und für n = 3 ein:
(
3,5
Kn = 600 ⋅ 1+ 100
)
3
Kn =
(
)
p
Zinseszinsen:
(
p
Kn = K0 ⋅ 1+ 100
)
n
Gemischte Verzinsung:
) ⋅(
4 Jahre
(
Kn = K0 ⋅ 1+ 100 ⋅ n
= 665,23 €
c) Die Anlagedauer beträgt 4 Jahre und 7 Monate. Es werden daher
zunächst für 4 Jahre Zinseszinsen und dann für die restlichen 7
Monate einfache Zinsen berechnet:
3,5 4
600 ⋅ 1+ 100
1424
3
Einfache Zinsen:
) = 702,57 €
3,5 7
1+ 100
⋅ 12
14
4244
3
7 Monate
Bei den bisher gezeigten Beispielen war jeweils das Endkapital zu berechnen.
Ist dieses gegeben und das Anfangskapital oder der Zinssatz oder die Anlagedauer zu bestimmen, so ist die jeweilige Formel entsprechend umzuformen.
Grundsätzlich reicht meist die Formel für die Berechnung des Endkapitals,
nur bedarf es bei manchen Fragestellungen einer Umformung dieser Gleichung. Bei manchen Umformungen sind Kenntnisse der bisher gezeigten
Rechengesetze für Potenzen und Logarithmen nötig.
(
p
Kn = K0 ⋅ 1+ 100
) ⋅ (1 + 100p ⋅ nr)
nv
nv ..... Anzahl der vollen Verzinsungsperioden
nr ..... restliche Zeit als Teil der
vollen Verzinsungsperiode
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Finanzmathematik
Allgemeine Berechnung des
Anfangskapitals:
Kn = K0 ⋅ 1+ 100
(
)
Kn
p
100
)
⇔ K0 =
p
(
1+
n
⇔
n
Bei einfachen Zinsen bzw. bei
gemischter Verzinsung erfolgt die
Umformung der betreffenden
Formel analog.
Beispiel:
Welchen Betrag muss man zu 3 % p. a. anlegen, um nach 4 Jahren
über ein Guthaben von € 1200,— verfügen zu können?
Lösung:
Es ist K0 mit Hilfe der Zinseszins-Formel zu berechnen, wenn
Kn = 1200, p = 3 und n = 4 gegeben sind.
3
1200 = K0 ⋅ (1+ 100
) ⇔ K0 =
4
1200
= 1066,18 €
3
(1 + 100
)
4
Beispiel:
Mit wie viel Prozent p. a. wird ein Konto verzinst, wenn ein
Anfangskapital von € 800,— in 5 Jahren auf € 961,68 anwächst?
Allgemeine Berechnung des
Zinssatzes bei ganzjähriger
Kapitalisierung:
(
)
Kn
K
p n
p
= 1+ 100 ⇔ 1+ 100 = n n
K0
K0
K
p
⇔ 100 = n n − 1 ⇔
K0
K
⇔ p = 100 ⋅ ⎛ n n − 1⎞
⎝ K0
⎠
Lösung:
Es ist p mit Hilfe der Zinseszins-Formel zu berechnen, wenn
Kn = 961,68, K0 = 800 und n = 5 gegeben sind.
(
p
961,68 = 800 ⋅ 1+ 100
⇔
5 961,68
800
)
5
(
)
p 5
⇔ 961,68
= 1+ 100 ⇔
800
p
= 1+ 100 ⇔
5 961,68
800
− 1=
⇔ p = 100 ⋅ ⎛ 5 961,68
− 1⎞ = 3,75
800
⎝
⎠
p
100
⇔
p = 3,75 % p. a.
Beispiel:
Mit wie viel Prozent p. a. wird ein Konto verzinst, wenn ein
Anfangskapital von € 1 000,— in 14 Monaten auf € 1 029,27
anwächst?
Lösung:
Das nebenstehende Beispiel für die
Berechnung des Zinssatzes bei
gemischter Verzinsung führt auf
eine quadratische Gleichung, für
deren exakte Lösung wir bereits
entsprechende Formeln kennen
gelernt haben.
Oftmals führt die Frage nach dem
Zinssatz auf eine Gleichung
höheren Grades, für deren Lösung
es mehr oder weniger komplizierte
Näherungsverfahren gibt.
Moderne Hilfsmittel erlauben es,
auch bei solchen Fragestellungen
ohne großen Aufwand die Lösung
zu bestimmen, weshalb wir auf die
Darstellung von Näherungsverfahren hier verzichten.
Eine Anlagedauer von 14 Monaten bedeutet bei ganzjähriger
Kapitalisierung eine volle Verzinsungsperiode und eine restliche Zeit
von 2 Monaten.
Es ist p mit Hilfe der Formel für gemischte Verzinsung zu berechnen,
wenn Kn = 1029,27, K0 = 1000, nv = 1 und nr =
(
1029,27 = 1000 ⋅ 1+
) (1+
p 1
⋅
100
p
⋅ 2
100 12
2
Durch Umformung erhalten wir
p
60 000
)
+
7p
600
−
2
12
gegeben sind.
29,27
1000
=0
2
bzw. p + 700p − 1756,2 = 0
und lösen diese quadratische Gleichung mit Hilfe der bekannten
Formel:
p1,2 = −350 ± 122500 + 1756,2 = K
Wir erhalten die Lösungen p1 = 2,49993 und p2 = –702,49993.
Es ist nur die positive Lösung brauchbar. Auf Grund der Rundung
von Geldbeträgen kann man den Zinssatz daher mit 2,5 % p. a.
angeben.
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Finanzmathematik
Beispiel:
Wie lange dauert es, bis ein Anfangskapital von € 1200,— bei einer
Verzinsung von 3 % p. a. auf € 1 350,61 anwächst?
Lösung:
Es ist n mit Hilfe der Zinseszins-Formel zu berechnen, wenn
Kn = 1350,61, K0 = 1200 und p = 3 gegeben sind.
3
1350,61 = 1200 ⋅ (1+ 100
)
n
1350,61 = 1200 ⋅ 1,03n
Logarithmieren
ln 1350,61 = ln 1200 + n ⋅ ln 1,03
Allgemeine Berechnung der
Anlagedauer bei ganzjähriger
Kapitalisierung:
(
)
p
ln Kn = ln K0 + n ⋅ ln (1+ 100 )
p
ln Kn − ln K0 = n ⋅ ln (1+ 100 )
n=
ln 1350,61 − ln 1200
ln 1,03
= 3,99999
Auf Grund der Rundung von Geldbeträgen können wir die Anlagedauer
mit 4 Jahren angeben.
n
ln Kn − ln K 0
ln 1350,61 − ln 1200 = n ⋅ ln 1,03
n=
p
Kn = K0 ⋅ 1+ 100
(
ln 1+
p
100
)
Man beachte: Die Berechnung der
Anlagedauer führt auf eine
Exponentialgleichung, die durch
Logarithmieren zu lösen ist.
Beispiel:
Wie lange dauert es, bis ein Anfangskapital von € 1 500,— bei einer
Verzinsung von 2 % p. a. auf € 1 568,40 anwächst?
Lösung:
(1) Es ist n mit Hilfe der Zinseszins-Formel zu berechnen, wenn
Kn = 1568,40, K0 = 1500 und p = 2 gegeben sind.
2
Durch Umformung von 1568,40 = 1500 ⋅ (1+ 100
)
n
n=
ln 1568,40 − ln 1500
ln 1,02
erhält man:
Berechnung der nicht-ganzjährigen
Anlagedauer (gemischte Verzinsung):
= 2,25177
(2) Im Gegensatz zum vorigen Beispiel haben wir hier ganz
offensichtlich keine ganzjährige Anlagedauer, sondern eine
Anlagedauer von 2 Jahren und einer restlichen Zeit.
Wir müssen daher für die vollen Verzinsungsperioden Zinseszinsen
und für die restliche Zeit einfache Zinsen berücksichtigen und berechnen daher zunächst, auf welchen Betrag das Anfangskapital in
2 Jahren anwächst:
2
1500 ⋅ (1+ 100
) = 1560,60
2
n=
100
2
⋅
(
1568,40
1560,60
)
(2) Berechnung des Guthabens
am Ende der letzten vollen
Verzinsungsperiode
(3) Berechnung der Anlagedauer
bei einfachen Zinsen
(3) Dieser Wert steht am Ende des 2. Jahres zur Verfügung. Nun ist n
mit Hilfe der Formel für einfache Zinsen zu berechnen, wenn
Kn = 1568,40, K0 = 1560,60 und p = 2 gegeben sind.
Durch Umformung von 1568,40 = 1560,60 ⋅ (1+
(1) Berechnung der Anzahl der
vollen Verzinsungsperioden
mit Hilfe der umgeformten
Zinseszins-Formel
2
100
⋅ n) erhält man:
− 1 = 0,249904
0,249904 Jahren entsprechen 90 Tage, also 3 Monate.
Die gesamte Anlagedauer beträgt daher 2 Jahre und 3 Monate.
Bemerkung: Banken rechnen bei Sparguthaben üblicherweise das
Jahr mit 360 Tagen und jeden Monat einheitlich mit 30 Tagen.
Allgemeine Berechnung der
Anlagedauer bei einfachen Zinsen:
(
)
p
Kn = K0 ⋅ 1+ 100 ⋅ n
Kn
p
= 1+ 100 ⋅ n
K0
Kn
p
− 1 = 100 ⋅ n
K0
(
)
Kn
n = 100
p ⋅ K0 − 1
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Finanzmathematik
Beispiel:
Jemand eröffnet zu Jahresbeginn ein mit 3 % p. a. verzinstes Sparbuch
mit einer Ersteinlage von € 300,—. Zwei Jahre später werden € 250,—
und weitere drei Jahre später € 150,— auf dieses Sparbuch eingezahlt.
Wie hoch ist der Guthabenstand 8 Jahre nach Eröffnung des Sparbuchs?
Bei mehreren zu verschiedenen
Zeitpunkten zahlbaren Beträgen
empfiehlt sich die Darstellung
anhand einer Zeitlinie.
Lösung:
Wir stellen den Sachverhalt anhand einer Zeitlinie dar:
1
2
300
Aufzinsen:
(
p
Kn = K0 ⋅ 1+ 100
)
n
3
4
5
250
8 Jahre aufzinsen
6
7
8
150
3 Jahre aufzinsen
6 Jahre aufzinsen
Kn = 300 ⋅ 1,038 + 250 ⋅ 1,036 + 150 ⋅ 1,033 = 842,45 €
Beispiel:
Für ein Grundstück liegen von zwei Interessenten Kaufangebote vor.
Interessent A bietet an, € 10 000,— sofort und € 120 000,— nach zwei
Jahren zu zahlen. Interessent B bietet € 100 000,— sofort und je
€ 10 000,— nach einem und nach zwei Jahren.
a) Welches Angebot ist günstiger, wenn dem Vergleich eine Verzinsung von 4 % p. a. zugrunde gelegt wird.
Vergleich zweier Angebote:
Um zu verschiedenen Zeitpunkten
fällige Zahlungen vergleichbar zu
machen, sind sie auf den selben
Zeitpunkt zu beziehen, d. h.
entsprechend auf- oder abzuzinsen.
b) Welches Angebot ist günstiger, wenn dem Vergleich eine Verzinsung von 6 % p. a. zugrunde gelegt wird.
c) Bei welchem Jahreszinssatz wären beide Angebote gleichwertig?
Lösung:
Wir berechnen den heutigen Wert der einzelnen Zahlungen und stellen
für beide Angebote eine Zeitlinie auf:
Angebot von A
1
Abzinsen:
K0 =
Kn
p
1+
100
(
Angebot von B
2
10 000
1
120 000 100 000
)
2
10 000
n
1 Jahr abzinsen
2 Jahre abzinsen
2 Jahre abzinsen
Welches Angebot günstiger ist,
kann auch von dem zugrunde
gelegten Zinssatz abhängen.
= 120 946,75 €
a) KA = 10 000 + 120 000
2
1,04
KB = 100 000 +
10 000
1,04
+ 10 000
2 = 118 860,95 €
1,04
Bei 4 % p. a. ist Angebot A günstiger.
b) KA = 10 000 + 120 000
= 116 799,57 €
2
1,06
KB = 100 000 +
10 000
1,06
+ 10 000
2 = 118 333,93 €
1,06
Bei 6 % p. a. ist Angebot B günstiger.
10 000
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Finanzmathematik
p
c) Wir setzen r = 1+ 100
und KA = KB:
10 000 + 120 2000 = 100 000 + 10 000
+ 10 000
2
r
r
r
Durch Umformung erhalten wir 9r2 + r – 11 = 0
r1,2 =
−1 ±
1 + 396
18
=K
Das nebenstehende Beispiel für die
Berechnung des Zinssatzes, bei
dem beide Angebote gleichwertig
sind, führt auf eine quadratische
Gleichung. Allerdings können auch
derartige Fragestellungen auf eine
Gleichung höheren Grades führen.
Wir erhalten die Lösungen r1 = 1,05138 und r2 = –1,16249.
p
Es ist nur die positive Lösung brauchbar. Aus r = 1+ 100
ermitteln
wir den gesuchten Zinssatz mit 5,138 %.
AUFGABEN
Bei den folgenden Aufgaben ist stets dekursive Verzinsung anzunehmen und – wenn nicht anders angegeben –
davon auszugehen, dass die jeweiligen Einzahlungen zu Jahresbeginn erfolgen:
244. € 800,— werden auf ein mit 2,5 % p. a. verzinstes Sparbuch gelegt. Wie hoch ist das Guthaben nach
a) 7 Monaten b) 2 Jahren c) 38 Monaten?
245. Man berechne, auf welchen Wert a) ein Anfangskapital von € 2 700,— bei 2,75 % p. a. in 3 Jahren
b) ein Anfangskapital von € 3 800,— bei 3,25 % p. a. in 5 Jahren anwächst.
246. Welchen Betrag muss man zu 2 % p. a. anlegen, um nach 2 Jahren über a) € 1 300,— b) € 1 800,—
verfügen zu können?
247. Welchen Betrag muss man zu 2,25 % p. a. anlegen, um nach a) 11 Monaten b) 3 Jahren c) 40 Monaten über
ein Guthaben von € 1 500,— verfügen zu können?
248. Welches Anfangskapital ist erforderlich, um a) bei einer Verzinsung von 3 % p. a. in 3 Jahren einen Betrag
von € 1 803,— und b) bei einer Verzinsung von 4 % p. a. in 7 Jahren einen Betrag von € 2 900,—
anzusparen?
249. Mit wie viel Prozent p. a. wird ein Konto verzinst, wenn ein Anfangskapital von € 1 250,— in 3 Jahren auf
a) € 1 326,51 b) € 1 346,11 anwächst?
250. Mit wie viel Prozent p. a. wird ein Konto verzinst, wenn ein Anfangskapital von € 1 200,— in
a) 8 Jahren b) 10 Jahren auf € 1 462,— anwächst?
251. Mit wie viel Prozent p. a. wird ein Konto verzinst, wenn ein Anfangskapital von € 1 600,— in 19 Monaten auf
a) € 1 638,21 b) € 1 651,04 anwächst?
252. Man berechne, mit wie viel Prozent p. a. ein Sparbuch verzinst wird, wenn a) ein Anfangskapital von
€ 2 800,— in 6 Jahren auf € 3 492,10 b) ein Anfangskapital von € 5 000,— in 8 Jahren auf € 6 842,85
anwächst.
253. Zu wie viel Prozent p. a. müsste man sein Geld anlegen, damit sich dieses in a) 18 Jahren b) 23 Jahren
verdoppelt?
254. Wie lange dauert es, bis ein Anfangskapital von € 800,— bei 2,5 % p. a. auf a) € 883,05 b) € 950,95
anwächst?
255. Wie lange dauert es, bis ein Anfangskapital von € 1 000,— bei 2 % p. a. auf a) € 1 040,40
b) € 1 050,80 anwächst?
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Finanzmathematik
256. Wie lange dauert es, damit a) ein Anfangskapital von € 4 720,— bei einer Verzinsung von 3,5 % p. a. auf
€ 5 416,30 b) ein Anfangskapital von € 600,— bei einer Verzinsung von 4 % p. a. auf € 960,62 anwächst?
257. Wie lange dauert es, bis sich ein zu a) 3,5 % p. a. b) 4 % p. a. angelegtes Kapital verdoppelt?
258. Jemand eröffnet zu Jahresbeginn ein mit 2,75 % p. a. verzinstes Sparbuch mit einer Ersteinlage von
€ 720,—. 2 Jahre später werden € 800,— und weitere 4 Jahre später € 500,— auf dieses Sparbuch
eingezahlt.
Wie hoch ist der Guthabenstand 9 Jahre nach Eröffnung des Sparbuchs?
259. Für ein Grundstück liegen von zwei Interessenten Kaufangebote vor. Interessent A bietet an, € 40 000,—
sofort und € 60 000,— in 7 Jahren zu zahlen. Interessent B bietet eine in 4 Jahren fällige Zahlung von
€ 100 000,— an.
Welches Angebot ist günstiger, wenn dem Vergleich eine Verzinsung von a) 2,5 % p. a. b) 3,5 % p. a.
zugrunde gelegt wird?
260. Eine Schuld von € 780 000,—, die mit 6 % p. a. verzinst wird, ist durch drei Raten, die nach 3, 5 und
7 Jahren fällig sind, zu tilgen. Die erste Rate beträgt € 325 000,—, die zweite € 395 000,—. Wie hoch ist die
dritte Rate?
261. Zu welchem Jahreszinssatz sind folgende Angebote für einen Gebrauchtwagen gleichwertig?
A: € 600,— sofort, € 2 520,— nach einem Jahr, € 480,— nach zwei Jahren
B: € 1 000,— sofort, € 300,— nach einem Jahr, € 2 370,— nach zwei Jahren
Bemerkung: Diese Aufgabe führt auf eine quadratische Gleichung. Es ist zu begründen, warum eine der
beiden Lösungen zwar theoretisch möglich, in der Praxis jedoch unrealistisch ist.
262. Bei einer Bank war ein bestimmter Betrag zu 6,75 % p. a. angelegt. Bei dieser Verzinsung wäre er in
15 Jahren auf € 80 000,— angewachsen. Nach 9 Jahren wurde aber der Zinssatz herabgesetzt. Um
dennoch in der vorgesehenen Zeit den vollen Endwert zu erreichen, wurde zum Zeitpunkt der
Zinssatzänderung ein Betrag von € 5 636,65 zur Einzahlung gebracht.
Man berechne a) die Höhe des Anfangkapitals b) mit welchem Jahreszinssatz ab dem Beginn des
10. Jahres gerechnet wird.
Die Aufgaben 263. bis 265. führen auf Gleichungen höheren Grades, die mit Hilfe eines grafikfähigen
Taschenrechners zu lösen sind1):
263. Jemand eröffnet zu Jahresbeginn ein Sparbuch mit einer Ersteinlage von € 300,—. Ein Jahr später werden
€ 250,— und weitere zwei Jahre später € 150,— auf dieses Sparbuch eingezahlt. Mit wie viel Prozent p. a.
wird dieses Sparbuch verzinst, wenn das Guthaben 8 Jahre nach Eröffnung dieses Sparbuchs € 861,40
beträgt?
264. Jemand eröffnet zu Jahresbeginn ein Sparbuch mit einer Einlage von € 1 000,—. Mit wie viel Prozent p. a.
wird dieses Sparbuch verzinst, wenn das Guthaben nach a) 26 Monaten € 1 043,90 b) 33 Monaten
€ 1 063,10 beträgt?
265. Für ein Grundstück liegen von 2 Interessenten Kaufangebote vor. Interessent A bietet an, € 20 000,— sofort
und € 80 000,— nach 3 Jahren zu zahlen. Interessent B bietet an, jeweils € 50 000,— sofort und nach
5 Jahren zu zahlen. Bei welcher Verzinsung in Prozent p. a. wären beide Angebote gleichwertig?
1)
Im Abschnitt „ Der grafikfähige Taschenrechner Voyage 200“ finden sich Beispiele zur Lösung derartiger
Gleichungen.
89
Finanzmathematik
2. Unterjährige Verzinsung
Bei unterjähriger Verzinsung (m Verzinsungsperioden pro Jahr) ist in den
bisher verwendeten Formeln statt n (Anzahl der Jahre) jeweils der Wert
m ⋅ n (Anzahl der Verzinsungsperioden in n Jahren) einzusetzen.
Beispiel:
€ 500,— waren 7 Jahre lang zu einem Jahreszinssatz 6 % angelegt.
Wie hoch ist das Guthaben, wenn die Kapitalisierung a) ganzjährig
b) halbjährlich c) vierteljährlich erfolgt ist?
Lösung:
a) Wir berechnen Zinseszinsen für K0 = 500, für p = 6 und für n = 7:
6
K7 = 500 ⋅ (1+ 100
) = 500 ⋅ 1,067 = 751,82 €
7
b) Bei einem Jahreszinssatz von 6 % und halbjährlicher Kapitalisierung haben wir pro Jahr 2 Verzinsungsperioden zu 3 % Zinsen:
2 ⋅7
3
K7 = 500 ⋅ (1 + 100
)
= 500 ⋅ 1,0314 = 756,29 €
c) Bei einem Jahreszinssatz von 6 % und vierteljährlicher Kapitalisierung haben wir pro Jahr 4 Verzinsungsperioden zu 1,5 % Zinsen:
(
1,5
K7 = 500 ⋅ 1+ 100
)
4 ⋅7
= 500 ⋅ 1,01528 = 758,61 €
Ganzjährige Kapitalisierung:
(
p
Kn = K0 ⋅ 1+ 100
)
n
Unterjährige Kapitalisierung:
(
p
m
Kn = K0 ⋅ 1+ 100
)
m ⋅n
p
mit pm = m
m ..... Anzahl der Verzinsungsperioden im Jahr
pm ..... unterjähriger Zinssatz
Beispiel:
€ 600,— waren 4 Jahre und 9 Monate zu einem Jahreszinssatz von 4 %
angelegt.
Wie hoch ist das Guthaben, wenn die Kapitalisierung a) ganzjährig
b) halbjährlich c) vierteljährlich erfolgt ist?
Lösung:
a) Es werden für 4 Jahre Zinseszinsen und für 9 Monate einfache
Zinsen berechnet:
Kn = 600 ⋅ (1+
) (1+
4 4⋅
100
4 ⋅ 9
100 12
) = 722,97 €
b) Bei einem Jahreszinssatz von 4 % und halbjährlicher Kapitalisierung haben wir pro Jahr 2 Verzinsungsperioden zu 2 % Zinsen. Bei
einer Anlagedauer von 4 Jahren und 9 Monaten sind das 9 volle
Verzinsungsperioden, für die Zinseszinsen berechnet werden, und
weitere 3 Monate, für die einfache Zinsen berechnet werden:
2 ⋅ 3 = 724,23 €
2
Kn = 600 ⋅ (1+ 100
) ⋅ (1+ 100
6)
9
c) Bei einem Jahreszinssatz von 4 % und vierteljährlicher Kapitalisierung haben wir pro Jahr 4 Verzinsungsperioden zu 1 % Zinsen. Bei
einer Anlagedauer von 4 Jahren und 9 Monaten sind das 19 volle
Verzinsungsperioden, für die Zinseszinsen berechnet werden:
1
Kn = 600 ⋅ (1 + 100
)
19
= 724,87 €
Gemischte Verzinsung:
(
p
Kn = K0 ⋅ 1+ 100
) ⋅ (1 + 100p ⋅ nr)
nv
nv ..... Anzahl der vollen Verzinsungsperioden
nr ..... restliche Zeit als Teil der
vollen Verzinsungsperiode
Bei unterjähriger Kapitalisierung ist
die Formel für die gemischte Verzinsung zu verwenden, wenn die
Anlagedauer kein ganzzahliges
Vielfaches einer Verzinsungsperiode umfasst.
90
Finanzmathematik
Wir erkennen: Der Endbetrag ist bei gleichem Jahreszinssatz umso höher,
je kürzer die Verzinsungsperiode ist.
Es stellt sich daher die Frage, wie hoch ein Halbjahres-, Quartals- oder
Monatszinssatz sein muss, um gegenüber einem gegebenen Jahreszinssatz zu einem gleich hohen Endbetrag zu führen.
Wir wollen diesen Zinssatz als äquivalenten Zinssatz bezeichnen.
Beispiel:
Wie hoch ist der zu einem Zinssatz 4 % p. a. äquivalente a) Halbjahreszinssatz b) Quartalszinssatz c) Monatszinssatz?
Lösung:
a) Gesucht ist ein Zinssatz, bei dem in zwei Verzinsungsperioden der
gleich hohe Endwert entsteht wie bei einem Zinssatz von 4 % in
einer Verzinsungsperiode:
Allgemein gilt für einen Jahreszinssatz p und einen unterjährigen
Zinssatz pm (bei m Verzinsungsperioden pro Jahr):
1+
p
100
(
= 1+
(
)
pm m
100
(
⇔
p
pm = 100 ⋅ m 1+ 100 − 1
p
4 = 1+ 2
1+ 100
100
)
)
2
⇒ p2 = 1,98 % p. s.1)
b) Gesucht ist ein Zinssatz, bei dem in 4 Verzinsungsperioden der
gleich hohe Endwert entsteht wie bei einem Zinssatz von 4 % in
einer Verzinsungsperiode:
Die Berechnung des äquivalenten
Zinssatzes dient nicht nur dem
Vergleich von ganz- und unterjähriger Verzinsung. Sie wird uns in
der Rentenrechnung immer dann
begegnen, wenn die Renten- und
die Verzinsungsperiode nicht
übereinstimmen.
(
p
4 = 1+ 4
1+ 100
100
)
4
⇒ p4 = 0,98534 % p. q.2)
c) Gesucht ist ein Zinssatz, bei dem in 12 Verzinsungsperioden der
gleich hohe Endwert entsteht wie bei einem Zinssatz von 4 % in
einer Verzinsungsperiode:
(
p
4 = 1+ 12
1+ 100
100
)
12
⇒ p12 = 0,32737 % p. m.3)
Beispiel:
Welchen Betrag muss man zu 0,75 % p. s. anlegen, um nach 2,5
Jahren über € 600,— verfügen zu können?
Lösung:
Auch bei unterjähriger Verzinsung
ist die Formel für die Berechnung
des Endkapitals umzuformen, wenn
das Endkapital gegeben und
entweder das Anfangskapital oder
der Zinssatz oder die Anlagedauer
zu bestimmen ist.
Es ist K0 mit Hilfe der Zinseszins-Formel zu berechnen, wenn Kn, pm, m
und n gegeben sind:
(
600 = K0 ⋅ 1+
)
0,75 2 ⋅ 2,5
100
600 = K0 ⋅ 1,00755 ⇔ K0 =
1)
600
1,00755
= 578 €
pro semestro = für ein Halbjahr.
pro quartalo = für ein Vierteljahr (Quartal).
3) pro mense = für einen Monat.
2)
91
Finanzmathematik
Beispiel:
Ein Kapital von € 20 000,—, das zuerst mit 0,25 % p. m. und dann mit
1,25 % p. s. verzinst wurde, wuchs in 7 Jahren auf € 24 415,91 an.
Nach welcher Zeitdauer fand die Zinssatzänderung statt?
Lösung:
Wenn wir die Zeitdauer (in Jahren) bis zur Zinssatzänderung mit x
bezeichnen, erhalten wir folgenden Ansatz:
20 000 ⋅ 1,002512x ⋅ 1,0125 2 ⋅ (7 – x) = 24 415,91
Diese Exponentialgleichung lösen wir durch Logarithmieren:
ln 20 000 + 12 x ⋅ ln 1,0025 + (14 − 2x) ⋅ ln 1,0125 = ln 24 415,91
Nach x aufgelöst ergibt sich
x=
ln 24415,91 − ln 20000 − 14 ⋅ ln1,0125
12 ⋅ ln1,0025 − 2 ⋅ ln1,0125
= 4,999 96
Daher kann man die Zeitdauer bis zur Zinssatzänderung mit 5 Jahren
angeben.
AUFGABEN
266. € 750,— werden zu einem Jahreszinssatz von 6 % angelegt. Wie hoch ist das Guthaben nach
8 Jahren, wenn die Kapitalisierung a) ganzjährig b) halbjährlich c) vierteljährlich erfolgt?
267. € 900,— werden zu einem Jahreszinssatz von 4 % angelegt. Wie hoch ist das Guthaben nach
28 Monaten, wenn die Kapitalisierung a) ganzjährig b) halbjährlich c) vierteljährlich erfolgt?
Anleitung: Man beachte bei den unterschiedlichen Kapitalisierungen, wie viele Monate jeweils volle
Verzinsungsperioden bilden.
268. Wie hoch ist der zu einem Zinssatz 3,5 % p. a. äquivalente a) Halbjahreszinssatz b) Quartalszinssatz
c) Monatszinssatz?
269. Welchen Betrag muss man zu einem Jahreszinssatz von 4 % anlegen, um bei a) ganzjähriger
b) halbjährlicher c) vierteljährlicher Kapitalisierung nach 5 Jahren über ein Guthaben von € 2 000,—
verfügen zu können?
270. Welchen Betrag muss man zu einem Jahreszinssatz von 3 % anlegen, um bei a) ganzjähriger
b) halbjährlicher c) vierteljährlicher Kapitalisierung nach 34 Monaten über ein Guthaben von € 2 400,—
verfügen zu können?
Anleitung: Man beachte bei den unterschiedlichen Kapitalisierungen, wie viele Monate jeweils volle
Verzinsungsperioden bilden.
271. Eine Schuld von € 215 000,— ist durch 4 gleich hohe Zahlungen, von denen die erste sofort, die zweite
nach 14 Monaten, die dritte nach 3,25 Jahren und die vierte nach 23 Quartalen fällig ist, zu begleichen.
Wie groß ist eine Zahlung, wenn während der gesamten Laufzeit eine Verzinsung von 0,75 % p. m. erfolgt?
272. Ein Kapital von € 55 000,—, das zuerst mit 4 % p. s. und dann mit 1,5 % p. q. verzinst wurde, wuchs in 10
Jahren auf € 111 742,77 an.
Nach welcher Zeitdauer fand die Zinssatzänderung statt?
273. Ein Kapital, das 6 Jahre zu 2,5 % p. s. angelegt war und dann durch eine Einlage von € 12 000,—
aufgestockt wurde, brachte nach weiteren 4,5 Jahren einen Endwert von € 66 822,93, wobei die
Verzinsung anlässlich der Kapitalaufstockung auf 2,75 % p. s. erhöht wurde.
Wie groß war das Kapital ursprünglich?
92
Finanzmathematik
3. Regelmäßige Zahlungen (Renten)
Unter einer Rente versteht man Zahlungen, die in gleicher Höhe und in
gleichen Zeitabständen erfolgen. Der Zeitraum zwischen zwei Zahlungen
heißt Rentenperiode.
Einteilung der Renten nach dem Zahlungstermin:
— Bei vorschüssigen Renten erfolgen die Zahlungen jeweils am Anfang der Rentenperiode.
— Bei nachschüssigen Renten erfolgen die Zahlungen jeweils am Ende der Rentenperiode.
Einteilung der Renten nach dem Zahlungszweck:
— Bei einer Ansparung erfolgen Zahlungen, um nach einer gewissen Zeit über einen Endwert zu verfügen.
— Bei einer Abzahlung erfolgen Zahlungen, um nach einer gewissen Zeit einen Barwert (z. B. Kreditbetrag) auszugleichen bzw. einen vorhandenen Betrag zu verbrauchen.
Einteilung der Renten nach der Dauer der Rentenperiode:
— Bei ganzjährigen Renten erfolgt jährlich eine Zahlung.
— Bei unterjährigen Renten erfolgen jährlich mehrere Zahlungen.
Beispiel:
Jemand zahlt 5 Jahre lang jeweils am Jahresende € 500,— auf ein mit
3,5 % p. a. verzinstes Sparbuch ein. Wie hoch ist der Endwert E am
Ende des 5. Jahres?
Lösung:
Wir stellen den Sachverhalt anhand einer Zeitlinie dar:
500
Für den Aufzinsungsfaktor r gilt
bei dekursiver ganzjähriger Verzinsung:
p
r = 1+ 100
3
2
1
500
4
500
5
500
500
1 Jahr
aufzinsen
2 Jahre aufzinsen
3 Jahre aufzinsen
4 Jahre aufzinsen
E = 500 ⋅ 1,0354 + 500 ⋅ 1,0353 + 500 ⋅ 1,0352 + 500 ⋅ 1,035 + 500
Allgemein kann man für den
Endwert E einer nachschüssigen
Rente mit dem Rentenbetrag R,
dem Aufzinsungsfaktor r und der
Anzahl n der Rentenzahlungen
folgende Formel angeben:
n
E = R ⋅ rr
−1
− 1
E = 500 ⋅ (1,0354 + 1,0353 + 1,0352 + 1,035 + 1)
Die in der Klammer stehende Summe kann mit Hilfe der Summenformel für geometrische Reihen berechnet werden, wobei das
Anfangsglied b1 = 1, der Quotient q = 1,035 und die Anzahl der Glieder
n = 5 ist.
5
− 1
E = 500 ⋅ 1,035
= 2681,23 €
1,035 − 1
93
Finanzmathematik
Beispiel:
Jemand zahlt 5 Jahre lang jeweils am Jahresanfang € 500,— auf ein
mit 3,5 % p. a. verzinstes Sparbuch ein. Wie hoch ist der Endwert E am
Ende des 5. Jahres?
Lösung:
Wir stellen den Sachverhalt anhand einer Zeitlinie dar:
3
2
1
500
500
4
500
5
500
500
1 Jahr
aufzinsen
2 Jahre aufzinsen
3 Jahre aufzinsen
4 Jahre aufzinsen
5 Jahre aufzinsen
E = 500 ⋅ 1,0355 + 500 ⋅ 1,0354 + 500 ⋅ 1,0353 + 500 ⋅ 1,0352 + 500 ⋅ 1,035
Allgemein kann man für den
Endwert E einer vorschüssigen
Rente mit dem Rentenbetrag R,
dem Aufzinsungsfaktor r und der
Anzahl n der Rentenzahlungen
folgende Formel angeben:
n
E = R ⋅ r ⋅ rr −− 11
E = 500 ⋅ 1,035 ⋅ (1,0354 + 1,0353 + 1,0352 + 1,035 + 1)
Die in der Klammer stehende Summe wurde bereits im vorigen Beispiel mit Hilfe der Summenformel für geometrische Reihen berechnet.
5
E = 500 ⋅ 1,035 ⋅ 1,035
1,035
− 1
− 1
= 2775,08 €
Beispiel:
Über welchen Barwert B muss man verfügen, um bei einer Verzinsung
von 3 % p. a. 5 Jahre lang jeweils am Jahresende € 500,— beheben zu
können?
Lösung:
Wir stellen den Sachverhalt anhand einer Zeitlinie dar:
3
2
1
500
4
500
500
5
500
500
1 Jahr
abzinsen
2 Jahre abzinsen
Für den Abzinsungsfaktor v gilt
bei dekursiver ganzjähriger Verzinsung:
v=
3 Jahre abzinsen
1
1+
p
100
4 Jahre abzinsen
5 Jahre abzinsen
1 + 500 ⋅
B = 500 ⋅ 1,035
1
2
1,035
+ 500 ⋅
1
3
1,035
+ 500 ⋅
1
4
1,035
+ 500 ⋅
1
5
1,035
Durch analoge Überlegungen bezüglich der Summe einer geometrischen Reihe kommt man zu der in der Außenspalte angeführten
Barwertformel für nachschüssige Renten.
1
B = 500 ⋅ 1,035
⋅
1
( 1,035
)
1 − ( 1 )
1,035
1 −
Allgemein kann man für den
Barwert B einer nachschüssigen
Rente mit dem Rentenbetrag R,
dem Abzinsungsfaktor v und der
Anzahl n der Rentenzahlungen
folgende Formel angeben:
5
= 2257,53 €
n
B = R ⋅ v ⋅ 11 −− vv
94
Finanzmathematik
Beispiel:
Über welchen Barwert B muss man verfügen, um bei einer Verzinsung
von 3 % p. a. 5 Jahre lang jeweils am Jahresanfang € 500,— beheben
zu können?
Lösung:
Wir stellen den Sachverhalt anhand einer Zeitlinie dar:
3
2
1
500
500
4
500
5
500
500
1 Jahr
abzinsen
2 Jahre abzinsen
3 Jahre abzinsen
4 Jahre abzinsen
Allgemein kann man für den
Barwert B einer vorschüssigen
Rente mit dem Rentenbetrag R,
dem Abzinsungsfaktor v und der
Anzahl n der Rentenzahlungen
folgende Formel angeben:
n
B = R ⋅ 11 −− vv
1 + 500 ⋅
B = 500 + 500 ⋅ 1,035
1
2
1,035
+ 500 ⋅
1
3
1,035
+ 500 ⋅
1
4
1,035
Durch analoge Überlegungen bezüglich der Summe einer geometrischen Reihe kommt man zu der in der Außenspalte angeführten Barwertformel für vorschüssige Renten.
1
( 1,035
)
B = 500 ⋅
1
1 − (
1,035 )
1 −
5
= 2336,54 €
Die Zusammenhänge zwischen der Rentenzahlung R, der Anzahl der
Rentenperioden n, dem Auf- bzw. Abzinsungsfaktor und dem Endwert E
bzw. dem Barwert B sind in der folgenden Tabelle zusammengefasst:
vorschüssige Rente
nachschüssige Rente
n
n
Endwert E
E = R ⋅ r ⋅ rr −−11
E = R ⋅ rr −−11
Barwert B
n
B = R ⋅ 11−− vv
n
B = R ⋅ v ⋅ 11−− vv
Beispiel:
Welchen gleich bleibenden Betrag R muss man bei einer Verzinsung
von 3 % p. a. 6 Jahre lang jeweils am Jahresende einzahlen, um am
Ende des 6. Jahres über ein Guthaben von € 25 000,— verfügen zu
können?
Bei der Rentenrechnung ist die
Formel für die Berechnung des
Endwerts umzuformen, wenn der
Endwert gegeben und entweder
der Rentenbetrag oder der Zinssatz
oder die Laufzeit zu bestimmen ist.
Lösung:
Es ist R mit Hilfe der Formel für den Endwert einer nachschüssigen
Rente zu berechnen, wenn E = 25000, r = 1,03 und n = 6 gegeben sind.
6
25 000 = R ⋅ 1,03
1,03
− 1
− 1
⇔
R=
25 000 ⋅ 0,03
1,036 − 1
= 3864,94 €
95
Finanzmathematik
Beispiel:
Ein mit 7,5 % p. a. verzinster Kredit von € 20 000,— ist in 8 gleich
hohen, jeweils am Jahresende fälligen Raten zu tilgen. Wie hoch ist
eine Kreditrate?
Lösung:
Gesucht ist die Höhe der nachschüssigen Jahresrente, wenn
1 und n = 8 gegeben sind:
B = 20 000, v = 1075
,
1
( 1,075
)
1 − ( 1 )
1,075
1 − ( 1 )
1,075
R = 20 000 ⋅ 1,075 ⋅
1 − ( 1 )
1,075
1 ⋅
20 000 = R ⋅ 1,075
8
1 −
8
⇔
Wenn der Barwert gegeben und
entweder der Rentenbetrag oder
der Zinssatz oder die Laufzeit zu
bestimmen ist, ist die Barwertformel entsprechend umzuformen.
= 3414,54 €
Beispiel:
Ein mit 8 % p. a. verzinster Kredit von € 15 000,— soll durch
nachschüssige Jahresraten von € 2 000,— getilgt werden. Wie viele
derartige Zahlungen und welcher ein Jahr nach der letzten Rate fällige
Restbetrag sind dazu erforderlich?
Lösung:
(1) Zunächst wird n berechnet, wenn B = 15 000, R = 2000 und
1 gegeben sind:
v = 1,08
n
1 ⋅
15 000 = 2000 ⋅ 1,08
1
( 1,08
)
1 − ( 1 )
1,08
1 −
⇒ n = 11,9059
Zur Tilgung des Kredites sind 11 Vollraten und ein Restbetrag
erforderlich.
(2) Wir berechnen den Barwert der 11 Vollraten:
1 ⋅
B = 2000 ⋅ 1,08
1
( 1,08
)
1 − ( 1 )
1,08
1 −
11
= 14 277,93 €
Die 11 Vollraten reichen zur Abdeckung eines Kreditbetrages von
€ 14277,93,—.
(3) Der Restbetrag von € 722,07,— (= € 15 000 – € 14 277,93) wird
durch eine Zahlung ein Jahr nach der letzten Vollrate – also am
Ende des 12. Jahres – getilgt. Es ist daher für 12 Jahre aufzuzinsen:
722,07 ⋅ 108
, 12 = 1818,30 Euro
Zur Tilgung des Kredits sind daher 11 Vollraten zu € 2000,— und
eine Zahlung von € 1818,30 erforderlich.
Die bisher gezeigten Formeln der Rentenrechnung gelten für ganzjährige
Renten bei ganzjähriger Verzinsung.
In der Praxis erfolgen Zahlungen bzw. Behebungen oftmals nicht jährlich, sondern in kürzeren Intervallen, z. B. halbjährig, vierteljährlich oder monatlich. Wir
können die uns bekannten Formeln der Rentenrechnung auch in diesem
Fall verwenden, sofern die Rentenperioden mit den Verzinsungsperioden
übereinstimmen und n – unabhängig von der Dauer der Renten- bzw.
Verzinsungsperiode – immer die Anzahl der Rentenzahlungen ist.
Stimmen Renten- und Verzinsungsperiode nicht überein, muss man an
Stelle des tatsächlichen Zinssatzes den äquivalenten Zinssatz verwenden.
Hat man z. B. monatliche Raten und vierteljährliche Verzinsung, muss man
den Quartalszinssatz durch den äquivalenten Monatszinssatz ersetzen.
Schuldtilgung mit Restrate:
(1) Berechnung der Anzahl der
Vollraten durch Umformung der
Barwertformel und Auflösung
nach n (Exponentialgleichung)
(2) Berechnung des Barwerts der
Vollraten = der durch die Vollraten abgedeckte Kreditanteil
(3) Berechnung des durch die
Vollraten nicht gedeckten
Betrages und Aufzinsen dieses
Betrages bis zur Fälligkeit der
Restrate
96
Finanzmathematik
Beispiel:
Vorgangsweise bei der Bestimmung
des Endwerts von unterjährigen
Renten:
(1) Bestimmung des äquivalenten
unterjährigen Zinssatzes (z. B.
Monatszinssatz bei Monatsrenten)
(2) Einsetzen des Rentenbetrags,
des äquivalenten Zinssatzes
und der Anzahl der Rentenzahlungen in die Endwertformel
Jemand zahlt jeweils zu Monatsbeginn € 100,— auf ein mit 3 % p. a.
verzinstes Sparbuch ein. Über welches Guthaben kann es am Ende
des 4. Jahres verfügen?
Lösung:
(1) Wir bestimmen den zu 3 % p. a. äquivalenten Monatszinssatz.
(
p
12
1,03 = 1+ 100
)
12
⇒ p12 = 0,246 626 98 % p. m.
(2) Dann setzen wir R = 100, p12 = 0,246 626 98 und n = 48 (Anzahl der
monatlichen Zahlungen in einem Zeitraum von 4 Jahren.) in die
Endwertformel für vorschüssige Renten ein:
48
Ist der Endwert einer unterjährigen
Rente gegeben, ist zunächst
analog vorzugehen und dann die
Endwertformel entsprechend
umzuformen.
4662698
E = 100 ⋅ 1,002 4662698 ⋅ 1,002
1,002 4662698
− 1
− 1
= 5101,56 €
Bemerkung: Je nach Rechnergenauigkeit können hier Differenzen
im Centbereich auftreten.
Beispiel:
Vorgangsweise bei der Bestimmung
des Barwerts von unterjährigen
Renten:
(1) Bestimmung des äquivalenten
unterjährigen Zinssatzes (z. B.
Monatszinssatz bei Monatsrenten)
(2) Einsetzen des Rentenbetrags,
des äquivalenten Zinssatzes
und der Anzahl der Rentenzahlungen in die Barwertformel
Ist der Barwert einer unterjährigen
Rente gegeben, ist zunächst
analog vorzugehen und dann die
Barwertformel entsprechend
umzuformen.
Ein mit 6 % p. a. verzinster Kredit von € 12 000,— ist in drei Jahren
durch nachschüssige Monatsraten zu tilgen. Wie hoch ist eine solche
Monatsrate?
Lösung:
(1) Wir bestimmen den zu 6 % p. a. äquivalenten Monatszinssatz.
(
)
12
p
12
1,06 = 1+ 100
⇒ p12 = 0,486755 06 % p. m.
(2) Nun setzen wir B = 12 000, p12 = 0,486 755 06 und n = 36 (Anzahl
der monatlichen Zahlungen in einem Zeitraum von 3 Jahren.) in die
Barwertformel für nachschüssige Renten ein und formen diese um:
1
12 000 = R ⋅ 1,004 867
5506
1
( 1,004 867
5506 )
⋅
1
1 − (
1,004 867 5506 )
1 −
36
⇒ R = 364,20 €
Beispiel:
Wie hoch wäre im vorigen Beispiel die monatliche Rate, wenn die
Kapitalisierung vierteljährlich (also mit 1,5 % p. q. ) erfolgt?
Lösung:
Liegt eine unterjährige Rente mit
unterjähriger Verzinsung vor und
stimmen Renten- und Verzinsungsperiode nicht überein, muss
ebenfalls eine Berechnung eines
äquivalenten Zinssatzes erfolgen.
Man muss in diesem Fall beachten,
in welchem Verhältnis Renten- und
Verzinsungsperiode stehen.
So umfasst z. B. ein Halbjahr
6 Monate bzw. ein Quartal drei
Monate.
(1) Wir bestimmen den zu 1,5 % p. q. äquivalenten Monatszinssatz,
wobei wir berücksichtigen, dass ein Quartal drei Monate umfasst.
(
p
)
3
12
1,015 = 1+ 100
⇒ p12 = 0,497 520 63 % p. m.
(2) Nun setzen wir B = 12 000, p12 = 0,497 520 63 und n = 36 (Anzahl
der monatlichen Zahlungen in einem Zeitraum von 3 Jahren.) in die
Barwertformel für nachschüssige Renten ein und formen diese um:
1
12 000 = R ⋅ 1,004 9752063
1
( 1,004 9752063
)
⋅
1
1 − (
1,004 9752063 )
1 −
36
⇒ R = 364,90 €
97
Finanzmathematik
In letzter Zeit hört man immer Schlagworte wie „Altersvorsorge“, „Zusatzpension“ usw. Dabei handelt es sich meist um Sparformen, bei denen eine
gewisse Zeit lang regelmäßig Einzahlungen – sogenannte Ansparraten –
geleistet werden, um nach Ende der Ansparzeit entweder auf Lebenszeit1)
oder für einen vorab festgelegten Zeitraum regelmäßig Beträge beheben
zu können.
Beispiel:
Jemand zahlt 25 Jahre lang jeweils zu Jahresbeginn € 1 000,— auf ein
mit 5 % p. a. verzinstes Konto ein, um nach Ablauf der Ansparzeit das
Guthaben in 15 gleich hohen Jahresraten zu verbrauchen. Wie hoch ist
eine dieser Jahresraten?
Lösung:
(1) Zunächst wird der Endwert der Ansparraten berechnet:
25
−1 = 50 113,45 €
E = 1000 ⋅ 1,05 ⋅ 1,05
1,05 −1
(2) Der Endwert der Ansparraten entspricht dem Barwert der 15 Jahresraten. Die Höhe einer solchen Rate wird mit Hilfe der Barwertformel berechnet:
R = 50113,45 ⋅
1
( 1,05
)
1
1− (
)
1,05
1−
15
= 4 598,14 €
Berechnung der Rentenzahlung bei
gegebener Höhe der Ansparrate:
(1) Berechnung des Endwerts der
Ansparraten (= Barwert der
Rentenzahlungen)
n
E = R ⋅ r ⋅ rr −−11
(2) Berechnung der Rentenzahlung durch Umformung
der Barwertformel
R = B ⋅ 1− vn
1− v
Beispiel:
Welche Ansparraten sind 20 Jahre lang bei 4,5 % p. a. jeweils zu
Jahresbeginn zu entrichten, um nach Ablauf der Ansparzeit 15 Jahre
lang eine Jahresrente von € 5 000,— beziehen zu können?
Lösung:
(1) Zunächst wird der Barwert der Rentenzahlungen berechnet:
B = 5 000 ⋅
1
( 1,045
)
1− ( 1 )
1,045
1−
15
= 56 114,13 €
(2) Der Barwert der Rentenzahlungen entspricht dem Endwert der
Ansparraten. Die Höhe der Ansparraten wird mit Hilfe der Endwertformel berechnet:
R=
56114,13 1,045 − 1
⋅
1,045
1,045 20 − 1
= 1711,68 €
Wir wollen an dieser Stelle auf Folgendes hinweisen: In diesem Abschnitt
wurden Methoden entwickelt, die bei einem vertretbaren Rechenaufwand
möglichst genaue Ergebnisse liefern. Tatsächlich ist es unmöglich, immer
genau am Monats- bzw. Quartalsersten einzuzahlen, zumal die Banken an
Samstagen, Sonn- und Feiertagen geschlossen sind. Der 1. Jänner ist in
Österreich ein gesetzlicher Feiertag. Wenn dieser auf einen Freitag fällt, ist
der erste Banktag des Jahres erst der 4. Jänner. Allgemeine Berechnungen gehen immer davon aus, dass Zeitpunkte wie „Monatsanfang“, „Jahresende“ usw. uneingeschränkt für Ein- und Auszahlungen
genützt werden können. Daher ist in der Praxis jedes Konto individuell
abzurechnen.
1) Die Berechnung von auf Lebenszeit zahlbaren Renten erfordert Kenntnisse der
Versicherungsmathematik, die die Anforderungen der Lehrpläne von berufsbildenden Schulen übersteigen.
Berechnung der Ansparrate bei
gegebener Höhe der Rentenzahlung:
(1) Berechnung des Barwerts der
Rentenzahlungen (= Endwert
der Ansparraten)
n
B = R ⋅ 11−−vv
(2) Berechnung der Ansparrate
durch Umformung der
Endwertformel
R = Er ⋅ rn−1
r −1
98
Finanzmathematik
AUFGABEN
274. Jemand zahlt 6 Jahre lang jeweils zu Jahresbeginn € 750,— auf ein mit 3,25 % p. a. verzinstes Sparbuch
ein. Wie hoch ist das Guthaben am Ende des 6. Jahres?
275. Jemand zahlt jeweils zu Quartalsbeginn € 160,— auf ein mit 3,5 % p. a. verzinstes Sparbuch ein. Welcher
Betrag ist bis zum Ende des 5. Jahres angespart?
276. Über welches Guthaben muss jemand verfügen, um bei einer Verzinsung von 3 % p. a. 3 Jahre lang jeweils
am Jahresende € 400,— beheben zu können?
277. Welcher Betrag wird angespart, wenn jemand 5 Jahre lang jeweils am a) Jahresbeginn b) Jahresende
€ 400,— auf ein mit 4 % p. a. verzinstes Sparbuch einlegt?
278. Welchen Betrag muss jemand 4 Jahre lang jeweils am a) Jahresbeginn b) Jahresende auf ein mit 3,5 %
p. a. verzinstes Sparbuch legen, um am Ende des 4. Jahres über ein Guthaben von € 5 000,— zu
verfügen?
279. Über welches Guthaben muss man verfügen, um bei einer Verzinsung von 3,25 % p. a. 4 Jahre lang jeweils
€ 2 000,— beheben zu können, wenn diese Behebungen jeweils am a) Jahresbeginn b) Jahresende
erfolgen und das Guthaben am Ende des 4. Jahres aufgebraucht ist?
280. Welche gleich bleibenden Beträge kann jemand, der über ein Guthaben von € 9 000,— auf einem mit
2,5 % p. a. verzinsten Konto verfügt, 4 Jahre lang jeweils am a) Jahresanfang b) Jahresende beheben, um
dieses Guthaben zu verbrauchen?
281. Beim Kauf eines Grundstücks wurde vertraglich festgelegt, dass der Käufer 12 Jahre lang jeweils am Ende
des Quartals € 32 000,— zu zahlen hat. Nachdem der Käufer seinen Verpflichtungen 5 Jahre hindurch
nachgekommen ist, sollen die noch ausständigen Zahlungen durch einen nach weiteren zwei Jahren
fälligen einmaligen Betrag beglichen werden. Wie hoch ist dieser, wenn mit einer Verzinsung von 2 % p. q.
gerechnet wird?
282. Eine Schuld von € 40 000,— ist in 16 Jahren durch gleichbleibende, jeweils am Ende jedes Halbjahrs
fällige Zahlungen bei 4 % p. s. zu tilgen. Nachdem diese Zahlungen 5 Jahre lang entrichtet wurden, wird
drei Jahre lang mit den Zahlungen ausgesetzt und nachher wieder regelmäßig weiter gezahlt. Um welchen
Betrag ist die ursprüngliche Rate nach Wiederaufnahme der Zahlungen zu erhöhen, wenn die Schuld
termingerecht beglichen werden soll?
283. Aus einem Vertrag ergibt sich der Anspruch, ab sofort 9 Jahre lang zu Jahresbeginn € 4000,— beheben
zu dürfen. Der Begünstigte verzichtet in den ersten zwei Jahren, behebt jedoch zu den folgenden zwei Terminen jeweils € 6 000,—. Welche gleich bleibenden Jahresraten können ab Beginn des
5. Jahres behoben werden, wenn dem Geschäft eine Verzinsung von 6 % p. a. zugrunde gelegt wird?
284. Ein bei einer Bank zu 6,5 % p. a. angelegtes Kapital wäre bei dieser Verzinsung in 7 Jahren auf € 48 000,—
angewachsen. Nach Ablauf von drei Jahren wurde die Verzinsung auf 6 % p. a. verringert. Um in der vorgesehenen Zeit das Sparziel zu erreichen entschließt sich der Anleger, ab dem Zeitpunkt der Zinssatzreduktion sein Sparguthaben jeweils am Jahresanfang um einen gleich hohen Betrag zu erhöhen. Wie
groß ist dieser?
285. Bei einer Bank, die mit 6,5 % p. a. verzinst, werden 15 Jahre lang jeweils am Jahresende € 3 500,—
eingezahlt, um ab Beginn des 18. Jahres 10 Jahre lang eine Rente beziehen zu können. Welche Höhe hat
der Betrag der Rente, wenn für die Rente eine Verzinsung von 2 % p. a. verrechnet wird.
Finanzmathematik
99
286. a) Welcher Betrag ist am Beginn jedes Jahres einzuzahlen, um bei einer Verzinsung von 6 % p. a. nach
16 Jahren über € 10 000,— zu verfügen?
b) Nach 6 Jahren verringert die Sparkasse den Zinssatz auf 2 % p. a. Wie hoch sind die Beträge, die unter
dieser Bedingung vom Beginn des 7. Jahres an zu entrichten sind?
287. Ein Anleger hat bei einer Verzinsung von 4 % p. a. Anspruch, 12 Jahre lang jeweils zu Jahresende über
€ 12 000,— zu verfügen. Auf welchen Wert erhöht sich dieser jährlich fällige Betrag, wenn mit der ersten
Abhebung 5 Jahre zugewartet wird?
288. 9,25 Jahre lang werden jeweils zu Quartalsbeginn € 1 000,— zu 1 % p. q. angelegt. Wie groß ist das
Guthaben ein Quartal nach der letzten Einlage?
289. Bei einer Bank, die mit 4 % p. a. verzinst, werden zu Jahresbeginn einmalig € 40 000,— eingezahlt, um
am Ende jeden Jahres € 4 000,— zu beheben.
a) Wie viele Jahre lang kann man dies tun?
b) Welcher Restbetrag ist ein Jahr nach der letzten Abhebung von € 4 000,— übrig?
290. Wie viele Zahlungen von je € 500,— am Anfang eines jeden Jahres und welcher gemeinsam mit der letzten Zahlung notwendige Restbetrag sind erforderlich, um bei 6 % p. a. ein Kapital von € 15 000,— anzusammeln?
291. Wie groß ist ein zu 4 % p. a. angelegtes Kapital, wenn von diesem jeweils am Jahresende € 1117,40 behoben werden und nach 8 Jahren noch € 1 200,— übrig bleiben?
292. Jemand zahlt 28 Jahre lang jeweils zu Jahresbeginn € 800,— auf ein mit 4,75 % p. a. verzinstes Konto ein,
um nach Ablauf der Ansparzeit das Guthaben in 20 gleich hohen Jahresraten zu verbrauchen. Wie hoch ist
eine dieser Jahresraten?
293. Jemand zahlt 30 Jahre lang jeweils zu Jahresbeginn € 750,— auf ein mit 5 % p. a. verzinstes Konto, um
nach Ablauf der Ansparzeit das Guthaben in gleich hohen Jahresraten von € 5 000,— zu verbrauchen. Wie
viele derartige Jahresraten und welcher ein Jahr nach der letzten Jahresrate fällige Restbetrag können
bezogen werden?
294. Welche Ansparraten sind 35 Jahre lang bei 5,5 % p. a. jeweils zu Jahresbeginn zu entrichten, um nach
Ablauf der Ansparzeit 15 Jahre lang eine Jahresrente von € 6 000,— beziehen zu können?
295. Am 1.1. 2005 wurde ein Kapital von € 250000,— zu 5 % p. a. angelegt, um, beginnend mit 31.12. 2010,
jeweils am letzten Tag des Jahres € 25 000,— zu beheben.
a) Wann kann dies letztmalig erfolgen?
b) Wie groß ist der Restbetrag ein Jahr danach?
296. Jemand hat von 1978 bis 2001 jeweils zu Jahresbeginn 10 000,— Schilling auf ein mit 4,5 % p. a. verzinstes
Konto eingezahlt, um das angesparte Guthaben ab 2002 in gleich hohen Jahresraten zu verbrauchen.
a) Welcher Betrag in Schilling wurde bis Ende 2001 angespart?
b) Wie lange können ab Anfang 2002 Jahresraten zu je € 2 500,— bezogen werden?
c) Welcher Restbetrag kann ein Jahr nach der letzten Jahresrate bezogen werden?
Bemerkung: 1 € = 13,7603 Schilling
100
Finanzmathematik
4. Schuldtilgung
In diesem Abschnitt wollen wir uns mit Aufgabenstellungen befassen, die
im Zusammenhang mit der Verzinsung und der in mehreren Teilbeträgen
(den sogenannten Annuitäten) erfolgenden Rückzahlung (= Tilgung) einer
Schuld stehen.
Da für den jeweils aushaftenden Kreditbetrag Zinsen zu bezahlen sind,
dient nur ein Teil der Annuitäten der Tilgung der Schuld. Daher setzen sich
die Annuitäten aus zwei Komponenten zusammen: dem Zinsenanteil und
dem Tilgungsanteil.
Als Service für ihre Kunden stellen Banken mitunter sogenannte
Tilgungspläne auf, aus denen eine Aufteilung der Annuitäten in Zinsenund Tilgungsanteil hervor geht.
Die wichtigsten Formen der Schuldtilgung sind die Ratenschuld und die
Annuitätenschuld.
Bei einer Ratenschuld ist der Tilgungsanteil während der gesamten
Laufzeit gleich hoch.
Bei einer Annuitätenschuld sind die Annuitäten während der gesamten
Laufzeit gleich hoch.
Beispiel:
Ein mit 7 % p. a. verzinster Kredit von € 28 000,— ist in 14 Jahren durch
jeweils am Jahresende fällige, gleich hohe Tilgungsanteile zurück zu
zahlen. Der Tilgungsplan ist aufzustellen.
Lösung:
Da der Kreditbetrag von € 28 000,— durch 14 gleich hohe Tilgungsanteile zurück zu zahlen ist, beträgt ein Tilgungsanteil € 2 000,—.
Jahr
Der Tilgungsplan wird – ausgehend
von einer Zeile „Jahr 0“, wo der
volle Kreditbetrag als „aushaftender Betrag“ aufscheint –
schrittweise entwickelt.
0
1
2
Die Annuität setzt sich aus Zinsenund Tilgungsanteil zusammen.
3
Die Zinsen werden jeweils vom
aushaftenden Kreditbetrag des
Vorjahres berechnet.
5
Der Tilgungsanteil verringert den
aushaftenden Kreditbetrag.
4
6
7
8
9
10
11
12
13
14
Zinsenanteil
Tilgungsanteil
Annuität
aushaftender
Betrag
0,00
1960,00
1820,00
1680,00
1540,00
1400,00
1260,00
1120,00
980,00
840,00
700,00
560,00
420,00
280,00
140,00
0,00
2000,00
2000,00
2000,00
2000,00
2000,00
2000,00
2000,00
2000,00
2000,00
2000,00
2000,00
2000,00
2000,00
2000,00
0,00
3960,00
3820,00
3680,00
3540,00
3400,00
3260,00
3120,00
2980,00
2840,00
2700,00
2560,00
2420,00
2280,00
2140,00
28000,00
26000,00
24000,00
22000,00
20000,00
18000,00
16000,00
14000,00
12000,00
10000,00
8000,00
6000,00
4000,00
2000,00
0,00
Bemerkung: Bei einer Ratenschuld sind für die Erstellung des
Tilgungsplans keine Formeln der Rentenrechnung erforderlich.
101
Finanzmathematik
Beispiel:
Ein mit 6 % p. a. verzinster Kredit von € 15 000,— ist in 4 gleich hohen,
jeweils am Jahresende fälligen Annuitäten zu tilgen. Der Tilgungsplan
ist aufzustellen.
Lösung:
Bei einer Annuitätenschuld verwenden wir die Barwertformel der
Rentenrechnung, um die Höhe einer Annuität (= nachschüssige Rente)
zu berechnen. Der Kreditbetrag entspricht dabei dem Barwert dieser
nachschüssigen Rente.
15 000 =
1
1,06
Jahr
1
( 1,06
)
⋅
1 − ( 1 )
1,06
1 −
Zinsenanteil
4
⇔ R = 15 000 ⋅ 1,06 ⋅
Tilgungsanteil
1
( 1,06
)
1 − ( 1 )
1,06
1 −
4
Annuität
= 4328,87 €
aushaftender Betrag
0
0,00
0,00
0,00
15000,00
1
900,00
3428,87
4328,87
11571,13
2
694,27
3634,60
4328,87
7936,53
3
476,19
3852,68
4328,87
4083,85
4
245,03
4083,84
4328,87
0,01
Der Tilgungsanteil vermehrt sich
jährlich genau um den Betrag, um
den sich die Zinsen verringern. Die
Annuitäten bleiben während der
gesamten Laufzeit gleich hoch.
Bedingt durch Rundungen kann sich am Ende der Laufzeit eine Centdifferenz ergeben.
Beispiel:
Ein mit 6,5 % p. a. verzinster Kredit von € 12 000,— soll durch jährlich
fällige nachschüssige Annuitäten von € 4 000,— getilgt werden. Der
Tilgungsplan ist aufzustellen.
Lösung:
Da hier die Annuitäten gegeben sind, können wir gleich mit der schrittweisen Entwicklung des Tilgungsplans beginnen.
Jahr
Zinsenanteil
Tilgungsanteil
Annuität
aushaftender Betrag
0
0,00
0,00
0,00
12000,00
1
780,00
3220,00
4000,00
8780,00
2
570,70
3429,30
4000,00
5350,70
3
347,80
3652,20
4000,00
1698,50
4
110,40
1698,50
1808,90
0,00
Im 4. Jahr entspricht der Tilgungsanteil dem am Ende des 3. Jahres noch
aushaftenden Betrag. Die Annuität setzt sich in diesem Jahr daher aus
diesem Betrag und den darauf entfallenden Zinsen zusammen.
Beim nebenstehenden Beispiel ist
zu beachten, dass die Laufzeit des
Kredits (und somit die Anzahl der
Zeilen des Tilgungsplans) nicht
vorab gegeben sind und sich
diese – ebenso wie die Höhe der
Restrate – erst im Laufe der
zeilenweisen Berechnungen ergibt.
Durch eine Berechnung in Analogie
zum letzten Beispiel von Seite 95
kann man die Höhe dieser Restrate
überprüfen, wobei sich auch hier
rundungsbedingte Centdifferenzen
ergeben können.
102
Finanzmathematik
Beispiel:
Ein mit 1,5 % p. q. verzinster Kredit von € 12 000,— ist in einem Jahr
durch jeweils am Monatssende fällige, gleich hohe Annuitäten zu
tilgen. Der Tilgungsplan ist aufzustellen.
Bei unterjährigen Annuitäten bzw.
bei unterjähriger Verzinsung
müssen wir für die Annuitätenberechnung eine Vorgangsweise
einschlagen, die bereits bei der
Berechnung der unterjährigen
Rente bei gegebenem Barwert
gezeigt wurde.
(1) Bestimmung des äquivalenten
unterjährigen Zinssatzes
(z. B. Monatszinssatz bei
monatlichen Annuitäten)
(2) Einsetzen des Barwerts
(= Kreditbetrag), des äquivalenten Zinssatzes und der
Anzahl der Zahlungen in die
Barwertformel
Danach wird der Tilgungsplan
aufgestellt, wobei für jede Zahlung
eine Zeile verwendet wird. So
haben wir z. B. bei monatlichen
Zahlungen eine Zeile pro Monat.
Lösung:
(1) Wir bestimmen den zu 1,5 % p. q. äquivalenten Monatszinssatz,
wobei wir berücksichtigen, dass ein Quartal drei Monate umfasst.
(
p
12
1,015 = 1+ 100
)
3
⇒ p12 = 0,497 520 63 % p. m.
(2) Nun setzen wir B = 12 000, p12 = 0,49752063 und n = 12 (Anzahl
der monatlichen Zahlungen in einem Zeitraum von einem Jahr.)
in die Barwertformel für nachschüssige Renten ein und formen
diese um:
12
1
12 000 = R ⋅ 1,004 9752063
⋅
1
( 1,004 9752063
)
1
1 − (
1,004 9752063 )
1 −
⇒ R = 1032,63 €
Im Tilgungsplan verwenden wir eine Zeile pro Monat.
Monat
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Zinsenanteil
0,00
59,70
54,86
50,00
45,11
40,20
35,26
30,30
25,31
20,30
15,26
10,20
5,11
Tilgungsanteil
Annuität
aushaftender
Betrag
0,00
972,93
977,77
982,63
987,52
992,43
997,37
1002,33
1007,32
1012,33
1017,37
1022,43
1027,52
0,00
1032,63
1032,63
1032,63
1032,63
1032,63
1032,63
1032,63
1032,63
1032,63
1032,63
1032,63
1032,63
12000,00
11027,07
10049,30
9066,67
8079,15
7086,72
6089,35
5087,02
4079,70
3067,37
2050,00
1027,57
0,05
Bemerkung: Auch hier erhalten wir eine rundungsbedingte Cent-Differenz.
AUFGABEN
297. Ein mit 7,75 % p. a. verzinster Kredit von € 15 000,— ist durch 10 gleich hohe, jeweils am Jahresende
fällige a) Tilgungsanteile b) Annuitäten zu tilgen. Der Tilgungsplan ist aufzustellen.
298. Ein mit 8,5 % p. a. verzinster Kredit von € 40 000,— ist durch gleich hohe, jeweils am Jahresende fällige
Annuitäten von € 4 000,— zu tilgen. a) Wie viele derartige Zahlungen und welcher ein Jahr nach der letzten
derartigen Zahlung fällige Restbetrag sind dazu erforderlich? b) Der Tilgungsplan ist aufzustellen.
299. Ein mit 7,5 % p. a. verzinster Kredit von € 20 000,— ist in zwei Jahren durch gleich hohe, jeweils am
a) Jahresende b) Monatsende fällige Annuitäten zu tilgen. Der Tilgungsplan ist aufzustellen.
300. Ein mit 2 % p. q. verzinster Kredit von € 24 000,— ist in drei Jahren durch gleich hohe, jeweils am
a) Quartalsende b) Monatsende fällige Annuitäten zu tilgen. Der Tilgungsplan ist aufzustellen.