PV - Universität Hamburg

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Finanzierung
Kapitel 4: Der Zeitwert des Geldes
von
Prof. Dr. Michael Adams
Sommersemester 2010
Universität Hamburg
Institut für Recht der Wirtschaft
Grundlegendes zur Investitionstheorie
• Jedes Investitionsprojekt kann abstrakt als eine zeitliche
Verteilung von Cash-Flows betrachtet werden.
werden
Zeitpunkt
0
1
2
3
4
5
...
Cash‐In‐
/Out‐Flow
/Out
Flow
‐100
100
20
‐20
20
30
10
15
...
• Eine Investition, die mit einer Auszahlung beginnt und in
den Folgeperioden nur noch Einzahlungen erwirtschaftet
wird “Normalinvestition” genannt (“es gibt nur einen
Vorzeichenwechsel im Cashflow-Profil”).
• Die Beträge dürfen nicht direkt miteinander addiert
werden: Verzicht auf Kapital heute ist nicht kostenlos. Der
Preis des Geldes ist der Zinssatz.
Finanzierung
• Zinssatz: Prozentualer Betrag eines verliehenen
Kapitalbetrages Üblicherweise in Dezimalschreibweise
Kapitalbetrages.
notiert .
• Zinsfaktor: 1 + Zinssatz
• Einfache Verzinsung (Simple Interest) – Zinsen, die nur
auf den ursprünglichen Anlagebetrag verdient werden.
• Zinseszins (Compound Interest) – Zinsen, die auf Zinsen
verdient werden.
Finanzierung
• Endwert (Future Value) – Betrag, auf den eine Investition
einschließlich Zinsen nach einer bestimmten Zeit
(üblicherweise das zeitliche Ende der mit der Investition
verbundenen Unternehmung) anwächst.
• Barwert (Present Value) – Wert, den eine zukünftige
Zahlung heute besitzt
• Mithilfe
Mithilf der
d Zinsrechnung
Zi
h
können
kö
Endwerte
E d
t in
i Barwerte
B
t
und umgewandelt werden.
Finanzierung
Endwerte (Future Values)
Beispiel zur einfachen Verzinsung und Berücksichtigung
von Zinseszinsen
Zinsen, die auf eine für 5 Jahre angelegte Summe von 100 bei 6% Zinsen
verdient werden.
Zeitpunkt
Cashflow
Wert der Anlage bei einfacher Verzinsung Wert der Anlage bei Berücksichtigung von Zinseszinsen Universität Hamburg
0
100
1
6
2
6
3
6
4
6
5
6
100
106
112
118
124
130
100
106
112,36 119,1016 126,247696 133,822558
Finanzierung
Endwerte (Future Values)
Der Endwert bzw. Futurevalue von $100 errechnet sich unter
Berücksichtigung von Zinseszinsen gemäß:
FV $100 (1 r))
FV=$100×(1+
t
Siehe Beispiel:
FV = $100 × (1 + .06) = $133 .82
5
Finanzierung
Endwerte bei Zinseszins
7000
Zinssätze:
6000
0%
FV of $1
100
5%
5000
10%
4000
15%
5%
Endwerte nach 30 Jahren
100
432,194238
1744,94023
6621,1772
0%
5%
10%
15%
3000
2000
1000
30
28
26
24
22
20
18
16
14
12
10
8
6
4
2
0
0
Number of Years
Finanzierung
Der Verkauf der Insel Manhattan
Peter Minuit kaufte 1626 Manhattan Island für $24 von den
dort lebenden Indianern. Um zu beantworten, ob sich das
G häf gelohnt
Geschäft
l h hat,
h muss man dden Endwert
E d
d 24 $ im
der
i
Jahr 2003 berechnen. Unterstellt werden 8% jährlicher
Zinssatz.
Zinssatz
377
FV = $24 × (1 + .08)
= $ 95.712.147.424.566
Probleme: Finde den richtigen Zinssatz und berücksichtige
spätere Cashflows
Cashflows.
Finanzierung
Barwerte (Present Values)
Barwert: Der heutige Wert eines zukünftigen
Geldbetrages.
g
Diskontierungsrate: Zinssatz, der benutzt wird um
den Barwert zukünftiger
g Zahlungen
g zu errechnen.
Diskontierungsfaktor: Der Barwert von 1$
zukünftiger
g Zahlung
g
PV
=
Wert
nach t
- Perioden
(1 + r) t
Finanzierung
Present Values
Beispiel
Sie haben heute einen neuen Computer gekauft. Die Zahlungsbedingungen
sehen vor, dass sie in 2 Jahren 3000 € bezahlen müssen. Wie viel Geld
müssen sie heute anlegen, um bei einem Zinssatz von 8% die in zwei
Jahren fällige
g Zahlung
g aufzubringen?
g
PV =
3000
(1.08 ) 2
Finanzierung
= $2,572
Present Values – Diskontierungsfaktoren
Der Diskontierungsfaktor (DF) multipliziert mit dem
Futurevalue eines Cashflows ergibt seinen
Presentvalue. Er hängt von der Zeitspanne und
dem Zinssatz ab
ab.
DF =
1
(1+ r ) t
Finanzierung
Der Zeitwert von Geld (Time Value of Money)
• Die Barwertformel hat viele Anwendungen. Hat man die
Angaben bis auf eine,
eine kann man die Gleichung nach der
verbliebenen Variablen lösen.
PV=FV×
1
(1+r)t
Finanzierung
Barwert mehrfacher Kapitalströme
Beispiel
Ihr Autohändler gibt Ihnen die Wahl, ob sie $15,500 heute bar zahlen, oder drei
Zahlungen machen mit $8,000 jetzt und jeweils $4,000 am Ende der folgenden
zwei Jahre. Wenn Sie ihr Geld 8% kostet, was werden sie bevorzugen?
8 , 000
PV 0 = Zahlungheu te =
= 8 , 000
0
(1 + 08 )
PV 1 =
4 , 000
(1 + . 08 )1
PV 2 =
4 , 000
(1 + . 08 ) 2
Total PV
= 3, 703 . 70
= 3, 429 . 36
= $15,133.06
$15 133 06
Finanzierung
Barwert mehrerer Geldzahlungen
• Barwerte können addiert werden, um so den Wert
mehrerer Geldzahlungen zu bewerten
bewerten.
• Barwerte müssen natürlich auf den selben Zeitpunkt
bezogen
g sein!
PV = (1+r)1 + (1+r)2 + ....
C1
Finanzierung
C2
Sonderfälle des Cashflow-Profils:
Ewige Renten und Annuitäten(Perpetuities & Annuities)
Ewige Rente (Perpetuity):
Ein Strom von gleichen, äquidistanten Geldzahlungen, der
niemals endet.
Annuität (Annuity):
Ein gleichmäßiger Strom von Geldzahlungen für eine
begrenzte
g
Anzahl von Perioden.
Finanzierung
Perpetuities & Annuities
Annahme: Sie zahlen heute 100€ auf ein Tagesgeldkonto ein
und bekommen 3% Zinsen p
p.a.
a
Solange Sie das Kapital nicht abziehen, erhalten Sie jedes
Jahr 3€. Bankinsolvenz, Zinsänderungen
g ausgeschlossen.
g
Die 100€ können dann bei einem Zinssatz von 3% p.a. als
Barwert einer ewigen Rente von 3 € interpretiert werden.
Daher ergibt sich der Barwert einer ewigen Rente als:
PV =
C
r
C = Geldzahlung (cash payment)
r = Zinssatz (interest rate )
Finanzierung
Beispiel – Ewige Rente
Um eine Vermögensausstattung zu erzielen
erzielen, die ewig $100
$100,000
000 pro
Jahr erzielt, muss wieviel Geld heute zur Seite gelegt werden,
wenn der Zinssatz 10% beträgt?
PV =
100 ,000
.10
= $1,000 ,000
Finanzierung
Fortsetzung des Beispiels
Wenn die erste Zahlung der ewigen Rente erst in drei Jahren von
heute an gerechnet beginnen soll, wieviel Geld muss man dann
heute beiseite legen?
PV =
1,000 ,000
3
(1+ 10 )
(1+.10
= $751, 315
Finanzierung
Der Barwert einer Annuität ergibt sich wie folgt:
Zeitpunkt
PV der ewigen Rente
PV einer verzögerte
ö
n ewigen Rente
PV der Annuität
0
0
1
2
6
6
3
6
4
6
5
6
...
6
0
0
0
0
6
6
6
0
6
6
6
0
0
0
PV = C
[
1
r
−
1
r (1 + r ) t
Finanzierung
]
PV =
C
r
PV =
C
r (1+ r ) 3
PV = Cr − r (1C+ r )3
Der Barwert einer Annuität ergibt sich wie
folgt:
C = Geldzahlung
(cash payment)
r = Zinssatz
Zi
(i
(interest
rate))
t = Anzahl der Jahre, in der die Geldzahlung
anfällt
Barwert Annuitätsfaktor (PV Annuity Factor (PVAF)):
Der Barwert von einem Dollar pro Jahr für jedes von t Jahren
Jahren.
PVAF =
[
1
r
−
Finanzierung
1
r (1 + r ) t
]
Beispiel Annuität:
Sie kaufen ein neues Auto.
Auto Sie müssen drei jährlich gleichhohe
Zahlungen von $4,000 pro Jahr entrichten. Wie hoch ist der
Preis / Barwert des Autos bei einem Zinssatz von 10% heute?
PV = 4 , 000
[
1
.10
−
1
.10
10 (1 + .10
10 ) 3
]
PV = $ 9 , 947 .41
Finanzierung
Beispiele für Anwendungen der Formel:
• Wert von Zahlungen
• Implizite Zinssätze für eine Annuität
• Berechnung von periodischen Zahlungen
¾ Hypothekenkredite (Mortgage payment)
¾ Jährliche Einnahmen aus einer Investition
¾ Der Endwert von jährlichen Zahlungen
FV = [C × PVAF ] × (1+ r)
Finanzierung
t
Beispiel: der Endwert von jährlichen Zahlungen
Sie planen 20 Jahre lang jedes Jahr $4,000
$4 000 zu sparen
sparen, um dann in
den Ruhestand zu treten. Bei einem Zinssatz von 10%, wie
hoch wird der Wert ihres Konto sein, wenn sie sich in 20 Jahren
zur Ruhe setzen?
FV = 4 , 000
[
1
.10
10
−
1
.10
10 (1 + .10
10 ) 20
]
× ((1 + .10 ) 20
FV = $ 229 ,100
Finanzierung
Annuitäten und ewige Renten
• In Deutschland hatten sich die Begriffe etabliert:
¾
¾
¾
¾
Annuität * Rentenbarwertfaktor = Barwert
Annuität = Wiedergewinnungsfaktor * Barwert
Annuität * Endwertfaktor = Endwert
Endwert * Tilgungsfaktor = Annuität
• ACHTUNG: Bislang haben wir nachschüssige Cash
Cash-Flows
Flows
betrachtet. Bei direkter / vorschüssige
Zahlungskonsequenz
g
q
muss jjede Zahlung
g mit 1+r
multipliziert werden (annuity due!)
Finanzierung
Inflation
Inflation – Rate, zu der die Preise in einer Volkswirtschaft / in
einem Währungsraum ansteigen.
Nominale Zinsrate – Rate, mit der das investierte Geld nominal
wächst.
Reale Zinsrate – Rate, mit der die Kaufkraft des investierten
Geldes wächst.
Es besteht ein Zusammenhang zwischen nominaler und realer
Zinsrate!
Dieser wurde von I.Fisher zur Erklärung des “FisherEffektes” formuliert:
Finanzierung
Inflation
1 + real interestrate =
1+nominalinterestrate
1+inflationrate
Approximation:
1 + Realer
R l Zinssatz
Zi
t ≈ 1 + Nominaler
N i l Zinssatz
Zi
t – (erwartete)
(
t t ) Inflationsrate
I fl ti
t
Finanzierung
Dr. Tobias Effertz
Inflation
Beispiel
B
i i l
Wenn der Zinssatz für einjährige Regierungsschuldverschreibungen
5.0% beträgt
g und die Inflationsrate ist 2.2%,, wie hoch ist dann die
reale Verzinsung?
.050
050
1 + reall interest
i
rate = 11++ .022
1 + reall interest
i
rate = 1.027
1 027
reall interest
i t
t rate
t = .027
027 or 2.7%
2 7%
Approximation
i i
= .050
050 - .022
022 = .028
028 or 2.8%
2 8%
Finanzierung
Dr. Tobias Effertz
Effektiver Zinssatz
• Effektiver Jahreszins (Effective Annual Interest Rate):
Jahresverzinsungg unter Zinseszins-Berücksichtigung
g g der
periodenbezogenen Einzelzinsen
Beispiel: 1% pro Monat = 1,01^12
Effektiver Jahreszins = 12,68%
• Annual Percentage Rate – Jahreszinssatz ohne Berücksichtigung
von Zinseszinseffekten. (US-Besonderheit)
Beispiel 1% pro Monat = 12%
Finanzierung
Effektiver Zinssatz
• Insbesondere Kreditinstitute haben zusätzlich die
Möglichkeit durch das sog
sog. Agio (Aufgeld) bzw
bzw. Disagio
(auch Damnum) die effektive Verzinsung einer
Forderung/Kredit zu steuern.
• Kreditinstitute sind dazu verpflichtet, zum Schutze der
Gläubiger/Anleger/Kreditnehmer den effektiven Zinssatz
anzugeben bzw.
bzw auszuweisen,
auszuweisen um eine (mögliche)
Fehlorientierung der Anleger/Kreditnehmer zu vermeiden.
§ 492 I,5
, BGB
Finanzierung
Effektiver Zinssatz
• Durch eine häufigere Verzinsung kann ebenfalls der
effektive Zinssatz geändert werden:
Finanzierung
Beispiel – Effektiver Jahreszins
• Die Lüneburger-Krösus-Bank vergibt einen Kredit in Höhe
von 5000€,, der in 24 Monatsraten à 217,82€
,
zu tilgen
g ist.
Wie hoch ist der Monatszins und der „effektive ZweiJahreszins“.
Beispiel – Effektiver Jahreszins 2
•
•
Die Lüneburger-Krösus-Bank vergibt einen Kredit in Höhe von
5000€, der in 24 Monatsraten à 217,82€ zu tilgen ist. Als
effektiver Jahreszins sind 4,4% angegeben.
Wie hoch ist der Monatszins und der „effektive Zwei-Jahreszins“.
1
12
= 1,00359474
1 , 044
1 044
1,044
•
2
= 1 , 089936
Die monatliche Verzinsung
g beträgt
g 0,3594
,
%, der effektive
Zweijahrszins liegt bei 8,9936. Der Endwert Liegt bei 5449,68€.

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