A distribuiç ˜ao Weibull inversa generalizada na

A distribuição Weibull inversa generalizada na modelagem de
dados de sobrevivência: uma aplicação a dados de
dependentes quı́micos
Priscilla dos Santos Cabral 1
Tiago Almeida de Oliveira 2
Marcelino Alves Rosa de Pascoa 3
Anderson Castro Soares de Oliveira 4
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Introdução
A distribuição Weibull inversa generalizada (WIG), com três parametros foi proposta recentemente por Gusmão et al. (2011). A distribuição WIG tem a capacidade de modelar funções
de risco com forma unimodal e decrescente, que são bastante comuns em estudos biológicos e
de confiabilidade, e é uma generalização da distribuição Weibull inversa discutida por Drapella
(1993).
A função densidade de probabilidade (x > 0), de sobrevivência e de risco são dadas, respectivamente por:
α β
,
exp −γ
x
(1)
α β
S(x) = 1 − F(x) = 1 − exp −γ
x
(2)
β −(β+1)
f (x) = γ β α x
e
β −(β+1)
h(x) = γ β α x
−1
α β
α β
exp −γ
1 − exp −γ
,
x
x
(3)
em que γ, β, α > 0.
O objetivo deste trabalho foi através do método de máxima verossimilhança, estimar os
parâmetros da distribuicão WIG, utilizando dados de depêndência quı́mica e comparar seu
ajuste com o estimador de Kaplan-Meier.
1 UEPB.
e-mail: [email protected]
e-mail: [email protected]
3 UFMT. e-mail: [email protected]
4 UFMT. e-mail: [email protected]
2 UEPB.
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2
Material e métodos
Para ilustrar a aplicação da distribuição WIG foi utilizado um conjunto de dados fornecido
pela Associação Mãe Admirável, situada na cidade de Caratinga-MG e estudados por Pascoa
(2008). Foram avaliados 141 residentes, dependentes quı́micos, no perı́odo de 2000 a 2005. A
variável resposta foi o tempo de permanência na comunidade até a desistência do tratamento,
considerando que cada residente permanece na comunidade por um perı́odo máximo de 270
dias, sem qualquer contato com as drogas. Quem alcançou essa meta foi considerado, neste
trabalho, como um dado censurado.
Uma forma empı́rica de determinar o comportamento da função risco se dá por meio da
construção do gráfico do tempo total em teste (curva TTT ), proposto por Aarset (1987). A
curva TTT é obtida construindo um gráfico de
r
r
=
G
n
∑ Ti:n + (n − r)Tr:n
i=1
por
n
∑ Ti:n
r
n
i=1
em que n é o tamanho da amostra, r = 1, . . . , n e Ti:n , i = 1, . . . , n são estatı́sticas de ordem da
amostra.
A estimação dos parâmetros foi feita pelo método de máxima verossimilhança. Para que
fosse possı́vel realizar inferências fundamentadas no modelo, foi necessário obter a função
de verossimilhança, logo considere uma amostra x = (x1 , ..., xn ) de n observações independentes, e seja F o conjunto do logaritmo dos tempos de vida e C o conjunto do logaritmo
dos tempos de censura. Assim, o logaritmo da função de verossimilhança para o vetor de
(c)
parâmetros θ = (γ, β, α)T para o modelo (1) tem a forma l(θ) = ∑ li (θ) + ∑ li (θ), em que
i∈F
i∈C
(c)
li (θ)
li (θ) = log[ f (xi )],
= log[S(xi )], f (xi ) é a função densidade de probabilidade (1) e S(xi )
é a função de sobrevivência (2). Dessa forma, o logaritmo da função de verossimilhança para θ
é:
l(θ) = r [log(γ) + log(β) + β log(α)] + β log(α) − (β + 1) ∑ log(xi ) − γ αβ
i∈F
α β
.
+ ∑ log 1 − exp −γ
x
i∈C
Os componentes do vetor score U =
relação aos parâmetros, logo:
−β
∑ xi
i∈F
(4)
∂l ∂l ∂l
∂γ , ∂β , ∂α
são obtidos por diferenciação de θ em
rβ
−β
−β 1 − ui
β−1
β−1
Uα (θ) =
−γβα
,
∑ xi + γ β α ∑ xi
α
ui
i∈F
i∈C
2
r
α
α
1 − ui
−β
−β
β
β
Uβ (θ) =
+ r log(α) − ∑ log(xi ) − γ α ∑ xi log
+ γ α ∑ xi log
β
xi
xi
ui
i∈F
i∈F
i∈C
e
r
−β
−β 1 − ui
β
β
Uγ (θ) =
− α ∑ xi + α ∑ xi
,
γ
ui
i∈F
i∈F
h
β i
em que ui = 1 − exp −γ αx
.
As estimativas dos parâmetros são soluções simultâneas das equações Uα (θ) = 0, Uβ (θ) = 0
e Uγ (θ) = 0. As análises foram implementadas no software estatı́stico R.
3
Resultados e discussões
0.0
0.2
0.4
TTT
0.6
0.8
1.0
A Curva TTT para o conjunto de dados de tempo de dependência quı́mica, encontra-se na
Figura 1 e indica uma função risco na forma decrescente. Assim, como a distribuição WIG
modela a função risco na forma decrescente ela é apropriada para analisar esse conjunto de
dados.
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
i/n
Figura 1: Curva TTT para os dados de dependência quı́mica.
Na Tabela 1 são apresentadas as estimativas de máxima verossimilhança de cada parâmetro
com os respectivos erros padrões (entre parenteses) para a distribuição WIG. A Figura 2 apresenta a comparação das estimativas da função de sobrevivência segundo Kaplan-Meier e segundo os modelo WIG, para os dados de dependência quı́mica. Observa-se pela figura que
3
a distribuição WIG nos fornece um ajuste satifatório para os dados em estudo, pelo fato de
modelar a função risco na forma decrescente.
Tabela 1: Ajuste final do modelo WIG, para os dados de dependência quı́mica.
Modelo
WIG
1.0
α
β
γ
0.0944
0.0493
12.1134
(0.0185) (0.0009) (0.1564)
0.3
0.4
0.5
0.6
S(x)
0.7
0.8
0.9
Kaplan−Meier
WIG
0
50
100
150
200
250
x
Figura 2: Estimativas da função de sobrevivência segundo Kaplan-Meier e segundo os modelo
WIG, para os dados de dependência quı́mica.
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Conclusão
Conclui-se que a distribuição Weibull inversa generalizada proposta por Gusmão (2011),
apresentou um bom ajuste para os dados de dependência quı́mica, segundo a comparação com
o estimador de Kaplan-Meier.
Referências
[1] AARSET, M. V. How to identify bathtub hazard rate. Transactions on Reliability. v. 36,
p. 106-108, 1987.
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[2] DRAPELLA, A. Complementary Weibull distribution: unknown or just forgotten. Quality
and Reliability Engineering International. v. 9, p. 383-385, 1993.
[3] GUSMÃO, F. R. S.; ORTEGA, E. M. M.; CORDEIRO, G. M. The generalized inverse
Weibull distribution. Statistical Papers. v. 52, n. 3, p. 591-619, 2011.
[4] PASCOA, M. A. R. Intervalos de credibilidade para a razão de riscos do modelo de
Cox, considerando estimativas pontuais bootstrap. 2008. 71 p. Dissertação (Mestrado
em Ciências), Universidade Federal de Lavras, Lavras, 2008.
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