Arithmetisches, geometrisches und harmonisches Mittel

Arithmetisches,
g eo metrisches und
ha rmo nisches M ittel
Seminararbeit
Studienrichtung „Mathematik Lehramt“
Paris Lodron Universität Salzburg
Eingereicht
von Peter Baxrainer Matr.Nr. 0120058
bei ao. Univ. Prof. Ferdinand Österreicher
im Rahmen der Lehrveranstaltung
„Mathematisches Seminar I für Lehramt“ (2 SSt.)
im Sommersemester 2003
Zusammenfassung
Die vorliegende Arbeit befasst sich mit der parametrischen Darstellung
eindimensionaler Daten, einem Teilgebiet der beschreibenden Statistik. Dabei
beschränkt sich die Darstellung auf die drei Parameter arithmetisches Mittel x ,
geometrisches Mittel xG und harmonisches Mittel x H , die zuerst jeweils definiert
und erklärt werden, um danach ihre mathematischen Eigenschaften zu betrachten.
Abschließend wird der Zusammenhang x ≥ xG ≥ x H mit Hilfe der vollständigen
Induktion nach Cauchy bewiesen.
Inhaltsverzeichnis
1
Aufgaben und Merkmale von Mittelwerten
3
2
2.1
Das arithmetische Mittel
Eigenschaften des arithmetischen Mittels
4
5
3
3.1
Das geometrische Mittel
Eigenschaften des geometrischen Mittels
7
8
4
4.1
Das harmonische Mittel
Eigenschaften des harmonischen Mittels
10
12
5
Die Ungleichung der Mittelwerte
12
Bibliografie
15
2
1 Aufgaben und Merkmale von Mittelwerten
Das arithmetische, geometrische und harmonische Mittel sind Parameter oder
Kenngrößen eindimensionaler Daten, also Maßzahlen, die in komprimierter Form
möglichst gut die Lage eines gesamten Datensatzes einer statistischen Erhebung
charakterisieren sollen. Sie haben daher dieselbe Dimension wie das durch die
Daten erfasste Material. So lassen sich insbesondere große Datensätze leichter
miteinander vergleichen, als durch eine Gegenüberstellung ihrer Häufigkeitsverteilungen und Häufigkeitssummenfunktionen.
Formal lässt sich ein Parameter θ für einen Datensatz als Funktion definieren, die
den Beobachtungen x1 , L , x n oder den Merkmalsausprägungen x1 , L , x m und
ihren absoluten Häufigkeiten n1 , L , n m genau eine reelle Zahl zuordnet.
θ = θ ( x1 , L , x n ) bzw. θ = θ ( x1 , L , x m , n1 , L , n m )
Für solche Lageparameter werden bestimmte Mindestanforderungen aufgestellt,
die intuitiv plausibel sind und die axiomatische Grundlage für deren Konstruktion
bilden.
1. Identitätsaxiom
Haben bei einem Datensatz alle n Beobachtungen denselben Wert c, soll auch
der Lageparameter θ diesen Wert annehmen.
x1 = x 2 = L = x n = c ⇒ θ = c .
2. Inklusionsaxiom
Der Parameter soll zwischen der kleinsten und größten Beobachtung liegen.
x(1) = min x j ≤ θ ≤ max x j = x(n )
j =1, ,n
j =1, , n
3. Translationsaxiom
Eine Verschiebung des gesamten Datensatzes um d ≠ 0 soll den Parameter θ
ebenfalls um d verschieben.
θ ( x1 + d , L , x n + d ) = θ ( x1 , L , x n ) + d
3
4. Homogenitätsaxiom
Eine Veränderung aller absoluten Häufigkeiten ni mit i = 1, L, m mit dem
Faktor λ > 0 soll sich nicht auf den Lageparameter auswirken. Dieses Axiom
sichert, dass Datensätze mit gleichen relativen Häufigkeitsverteilungen auch
gleiche Lageparameter besitzen.
θ ( x1 , L , x m , n1 , L , n m ) = θ ( x1 , L , x m , λn1 , L , λn m )
Die Konstruktion von Parametern hängt wesentlich von der Fragestellung und der
Skalierung der statistischen Variablen ab. Es werden vorwiegend Parameter für
Merkmale erstellt, die metrisch skaliert sind. Neben Median und Modus sind das
arithmetische, das geometrische und das harmonische Mittel die wichtigsten Lageparameter, die im Folgenden untersucht werden.
2 Das arithmetische Mittel
Der Lageparameter, der am häufigsten Verwendung findet, ist das arithmetische
Mittel x , das auch als Durchschnittswert, Stichprobenmittel oder Mittelwert
bezeichnet wird. Es ist definiert als Summe aller Beobachtungen, dividiert durch
ihre Anzahl. Je nach Datenlage lassen sich für die Berechnung des arithmetischen
Mittels unterschiedliche Formeln angeben.
Sind die Daten als Einzelbeobachtungen x j mit j = 1, L , n gegeben, gilt
x=
1 n
∑xj ,
n j =1
sind sie als Häufigkeitsverteilung ( x i , ni ) mit i = 1, L , m gegeben, gilt
x=
m
1 m
x
n
=
xi hi ,
∑ i i ∑
n i =1
i =1
(*)
da die absoluten Häufigkeiten ni nach Division durch n in relative Häufigkeiten hi
übergehen. Diese erleichtern zwar den Vergleich verschiedener Datensätze, jedoch
geht die Information über die Anzahl n der Beobachtungen verloren.
4
∑n
n
Es gelten
i =1
i
= n und
∑h
n
i
i =1
= 1.
Nach (*) berechnet man also das arithmetische Mittel, indem jede Merkmalsausprägung xi des Datensatzes mit ihrer relativen Häufigkeit hi multipliziert wird.
Man bezeichnet diese Gleichung auch als die gewogene Form des arithmetischen
Mittels. Hilfreich und wichtig für ein angemessenes Verständnis und die sinnvolle
Anwendung dieses Parameters sind seine Eigenschaften.
2.1 Eigenschaften des arithmetischen Mittels
1. Werden alle Beobachtungen als Abweichungen vom arithmetischen Mittel
(x
j
− x ) gemessen, hat die Summe aller Abweichungen den Wert null.
∑ (x
n
j =1
j
− x ) = 0 , da
∑x
n
j =1
j
= nx . Diese Eigenschaft des arithmetischen Mittels heißt Nulleigenschaft oder
Schwerpunkteigenschaft.
2. Transformiert man die Originaldaten x j linear in y j = α + β x j , unterliegt auch
x dieser Transformation, sodass y = α + β x gilt. Dies lässt sich ebenso
einfach wie die Schwerpunkteigenschaft beweisen. Aus
∑ y j =∑ (α + β x j ) = nα + β ∑ x j
n
n
n
j =1
j =1
j =1
folgt nach Division durch n
y =α + β
1 n
∑xj =α + β x . n j =1
3. Die Minimierungseigenschaft des arithmetischen Mittels besagt, dass von
keinem anderen Wert die Summe der Abstandsquadrate der x j geringer ist als
von x . Bildet man die Summe S der quadrierten Abweichungen aller Beobachtungen von einer beliebigen Zahl a, erhält man S = ∑ (x j − a ) 2 .
n
j =1
5
Um zu zeigen, dass diese Funktion in a ein Minimum hat, wenn a dem
arithmetischen Mittel der Beobachtungen x j entspricht, ermittelt man die
kritischen Stellen der Funktion, also die Werte für a, bei denen die erste
Ableitung null wird. Ausgehend von folgender Gleichung
n
dS
= −2∑ (x j − a ) = 0 .
da
j =1
1 n
∑ x j = x . Da S eine
n j =1
nichtnegative quadratische Funktion in a ist, muss sie an der kritischen Stelle
erhält man nach a aufgelöst das arithmetische Mittel a =
a = x ein Minimum besitzen. Dies zeigt aber auch das Vorzeichen der zweiten
Ableitung an, da
d 2S
= 2n > 0 ∀a ist. da 2
Die Einhaltung der ersten drei Axiome durch das arithmetische Mittel ist bereits
mit dem Nachweis seiner Eigenschaften gezeigt. Aus der Schwerpunkteigenschaft
folgen die ersten beiden Axiome, das dritte resultiert für α = d und β = 1 aus der
Transformationseigenschaft. Das vierte Axiom ist schließlich definitionsgemäß
erfüllt, weil eine proportionale Änderung aller absoluten Häufigkeiten die relativen
Häufigkeiten unverändert lässt.
Das arithmetische Mittel reagiert empfindlich auf statistische Ausreißer und kann,
wenn solche vorkommen, irreführend sein. Wegen seiner Eigenschaft, die Summe
der quadrierten Abweichungen, nicht aber die der Beträge zu minimieren, üben
große bzw. sehr kleine Beobachtungen einen starken Einfluss auf x aus. Lässt sich
begründen, dass die Ausreißer untypisch sind und nur selten vorkommen, ist es
ratsam, sie zu eliminieren oder ihren Einfluss durch eine geringe Gewichtung zu
reduzieren. Man erhält auf diese Weise robuste arithmetische Mittel. Sollen aus
einem Datensatz α ⋅ 100 % der kleinsten und α ⋅ 100 % der größten Beobachtungen
bei der Berechnung ausgeschlossen werden, bestimmt man die Anzahl der zu
eliminierenden Beobachtungen mit g = int (αn ) .1 Aus den der Größe nach
1
Die Abkürzung int steht für Integer (ganze Zahl); so ist z.B. int(2,1) = 2 und int (6,92 ) = 6 .
6
geordneten Daten x (1) , L , x ( n ) werden jetzt die g kleinsten und g größten
Beobachtungen entfernt und das arithmetische Mittel der verbleibenden n − 2 g
Daten berechnet.
xα =
1
n − 2g
∑x
n− g
j = g +1
( j)
Man bezeichnet xα als das α-getrimmte arithmetische Mittel.
3 Das geometrische Mittel
Trotz seines breiten Anwendungsbereiches gibt das arithmetische Mittel bei
bestimmten Merkmalen nicht den richtigen Durchschnitt an. Dies ist bei zeitabhängigen Messzahlen der Fall, wo zwei Beobachtungen mit unterschiedlichem
Zeitbezug, aber für dieselbe statistische Variable in Verhältnis gesetzt werden.
Solche Messzahlen heißen Wachstums- bzw. Aufzinsungsfaktoren, wobei sie
meist für äquidistante Zeitpunkte erstellt werden. Liegen äquidistant erhobene
Beobachtungen y 0 , y1 ,L, y n vor, sind die entsprechenden Wachstumsfaktoren aa
xj
y
pro Periode j definiert als x j = j mit j = 1, L, n . Der Gesamtwachstumsy j −1
y
faktor beträgt n . Wegen
y0
yn
y
y y
= 1 ⋅ 2 ⋅ L ⋅ n = x1 ⋅ x 2 ⋅ L ⋅ x n
y 0 y 0 y1
y n −1
lässt sich y n darstellen als
n
yn = y0 ∏ x j .
j =1
Der durchschnittliche Wachstumsfaktor ist nun derjenige Vervielfachungskoeffizient xG , der über alle Perioden konstant bleibt und y 0 auf den Endwert y n
anwachsen lässt. Für diesen gilt y 0 ( x G ) n = y n , oder nach xG aufgelöst
 n
n
xG = n x1 ⋅L ⋅ xn =  ∏ x j  .
 j =1 
1
7
Man bezeichnet
xG als geometrisches Mittel. Oft finden sich auch die
Schreibweisen x̂ , x̂ n oder g. Es ist nur für x1 , L , x n ≥ 0 definiert, d.h. wenn die
Beobachtungen y j über die Zeit j monoton wachsen. Das geometrische Mittel lässt
sich jedoch auch bei monoton fallenden Beobachtungsreihen berechnen. Anstelle
der jetzt negativen Wachstumsfaktoren verwendet man ihren Betrag | x j |.
Sind einige Wachstumsfaktoren gleich groß, kann statt den Beobachtungen x j
wieder die Häufigkeitsverteilung ( x i , ni ) mit i = 1, L , m angegeben werden. Das
gewogene geometrische Mittel berechnet man sodann nach
 m n
xG =  ∏ xi i
 i =1
m
n
h
 = ∏ xi i .
i =1

1
3.1 Eigenschaften des geometrischen Mittels
Das geometrische Mittel lässt sich durch Logarithmustransformation auf das
arithmetische Mittel zurückführen. Aus der Definition folgt dann nach den
Rechenregeln des Logarithmus
ln xG =
1 n
∑ ln x j .
n j =1
(**)
Der Logarithmus des geometrischen Mittels entspricht also dem arithmetischen
Mittel der logarithmierten Beobachtungen. Aufgrund dieses Zusammenhangs
lassen sich die Eigenschaften des geometrischen Mittels aus denen des
arithmetischen Mittels entwickeln. Dies sei für zwei wichtige Eigenschaften
gezeigt. Wegen der Schwerpunkteigenschaft von x muss gelten

∑  ln x
n
j =1

j
−

1 n
ln x j  = 0 .
∑
n j =1

Bei Substitution nach Gleichung (**) erhält man
∑ (ln x
n
j =1
j
− ln xG ) = 0 ,
8
n
entlogarithmisiert ergibt sich daraus
xj
∏x
j =1
= 1.
G
Werden also alle Beobachtungen durch das geometrische Mittel dividiert, ist das
Produkt der so gebildeten Verhältniszahlen gleich eins.
Auch die Minimierungseigenschaft kann auf diese Weise erkannt werden. Die
Summe S = ∑ (ln x j − ln a ) 2
n
wird minimal bezüglich a, wenn ln a dem arith-
j =1
metischen Mittel der logarithmierten Beobachtungen entspricht. Nach Gleichung
(**) ist dies bei a = xG der Fall. Das lässt sich durch Ableiten von S nach a auch
wie folgt direkt zeigen.
dS
2 n
= − ∑ (ln x j − ln a ) = 0
da
a j =1
⇔
∑ ln x
n
j =1
⇔
j
− n ln a = 0
ln a =
1 n
∑ ln x j = ln xG
n j =1
∑ (x
n
So wie das arithmetische Mittel die Summe
j =1
j
− a ) 2 für a = x minimiert,
 xj
minimiert also das geometrische Mittel die Summe ∑  ln
a
j =1 
n

 für a = xG .

2
Das geometrische Mittel erfüllt das Identitäts-, Inklusions- und Homogenitätsaxiom, nicht jedoch das Translationsaxiom. Da dieses Mittel, wie wir bereits
gesehen haben, aus Verhältniszahlen
xj =
yj
y j −1
berechnet wird, ist das
Translationsaxiom aus sachlogischen Erwägungen überflüssig. Ein dazu analoges
Axiom für Verhältniszahlen müsste fordern, dass eine Vervielfachung aller
9
Wachstumsfaktoren mit dem Faktor λ ≠ 0 auch das geometrische Mittel mit
diesem Faktor erhöht.
n
λx1 ⋅ λx 2 ⋅ L ⋅ λx n = λxG
Dieses für Verhältniszahlen modifizierte Translationsaxiom wird von xG erfüllt.
4 Das harmonische Mittel
Zahlreiche Beobachtungsmerkmale besitzen eine Dimension, die als Quotient
zweier anderer Dimensionen entsteht. Das Merkmal „Geschwindigkeit“ hat
beispielsweise im Zähler die Dimension „Länge“ und im Nenner die Dimension
„Zeit“. Bei solchen Merkmalen können die Häufigkeiten die Dimension des
Zählers oder des Nenners aufweisen. Haben sie die Dimension des Zählers, ist das
harmonische Mittel heranzuziehen. Es setzt voraus, dass das Merkmal nur positive
Werte für x1 , L, x n > 0 annimmt. Das harmonische Mittel ist bei Einzelbeobachtungen bzw. häufigkeitsverteilten Daten auf die zwei Arten
n
xH =
1
∑
j =1 x j
und
xH =
n
=
ni
∑
i =1 xi
1
hi
∑
i =1 xi
n
m
m
definierbar.
Es finden sich auch die Bezeichnungen ~
x und h für das harmonische Mittel.
Das folgende Beispiel verdeutlicht die Zusammenhänge. Ein Auto fährt eine
Strecke von 1000 km mit den in der folgenden Tabelle festgehaltenen
Geschwindigkeiten und der dazugehörigen Dauer.
km/h
Stunden
km
60
1,5
90
100
3
300
10
110
5
550
120
0,5
60
Kennt man von dieser Tabelle die ersten zwei Zeilen, ist die Durchschnittsgeschwindigkeit als gewogenes arithmetisches Mittel zu berechnen, da die Dauer,
mit der eine bestimmte Geschwindigkeit gefahren wird, in der Dimension Zeit
vorliegt, die das Merkmal Geschwindigkeit im Nenner hat. Da die gesamte Fahrzeit
n = 10 Stunden beträgt, ergibt sich
x=
1 4
1
1
xi ni = (60 ⋅1,5 + 100 ⋅ 3 + 110 ⋅ 5 + 120 ⋅ 0,5) = 1000 = 100 (km/h).
∑
n i =1
10
10
Liegen die Angaben so vor, dass man die erste und dritte Zeile kennt, stellen die
gefahrenen Kilometer die Häufigkeiten der vier Merkmalsausprägungen dar. Da
diese Häufigkeiten die Dimension Länge aufweisen, die bei dem Merkmal
Geschwindigkeit im Zähler steht, ist die durchschnittliche Geschwindigkeit mit
dem harmonischen Mittel zu berechnen.
xH =
n
1000
=
= 100 (km/h)
90
300
550 60
ni
+
+
+
∑
60 100 110 120
i =1 xi
4
Nach dem arithmetischen Mittel erhält man
x=
1
(60 ⋅ 90 + 100 ⋅ 300 + 110 ⋅ 550 + 120 ⋅ 60) = 103,1 (km/h).
1000
Dies ist offensichtlich falsch, da die gesamte Fahrzeit 10 Stunden beträgt und so
mit dem arithmetischen Mittel als Durchschnittsgeschwindigkeit nicht 1000 km,
sondern 1031 km zurückgelegt würden. Andere Merkmale, bei denen das
harmonische Mittel zum Einsatz kommen kann, sind die Dichte ρ (V ) =
Stromstärke
I ( R) =
U
R
m
V
, die
, die Wellenlänge bei harmonischen Schwingungen
T ( f ) = 1f , die physikalische Leistung P(t ) = Wt , das nominale Sozialprodukt mit
den Dimensionen „Geld“ im Zähler und „Zeit“ im Nenner und viele mehr.
11
4.1 Eigenschaften des harmonischen Mittels
Das harmonische Mittel ist definitionsgemäß gleich dem Kehrwert des arithmetischen Mittels der Kehrwerte der Beobachtungen.
1 n 1
xH = n
= ∑
1  n j =1 x j
∑
j =1 x j
n




−1
Aufgrund dieses Zusammenhangs folgt aus den entsprechenden Eigenschaften des
arithmetischen Mittels, dass
 1
∑  x
n
j =1

−
j
1
xH
 1 1
 − 
∑

a 
j =1  x j
n

=0


gilt, und dass die Summe
2
für a = x H ein Minimum annimmt.
Auch das harmonische Mittel erfüllt das Identitäts-, das Inklusions- und das
Homogenitätsaxiom. Aus den gleichen Gründen wie beim geometrischen Mittel
gilt das Translationsaxiom nur in abgewandelter Form. Multipliziert man alle
Beobachtungen x j mit λ > 0 , erhöht sich auch x H um diesen Faktor.
n
1
∑
j =1 λ x j
n
=
n
1
∑
λ j =1 x j
1
n
=λ
n
1
∑
j =1 x j
n
= λ xH
5 Die Ungleichung der Mittelwerte
Behauptung:
x ≥ xG ≥ x H , d.h. für positive Beobachtungswerte x1 , L , x n > 0 gilt
 n
n
1 n
∏ x j  ≥
x
≥
∑
j


n j =1
 j =1 
1
n
∑x
n
j =1
mit Gleichheit genau dann, wenn x1 = x 2 = L = x n .
12
1
j
Beweis:
Um diese Ungleichungskette zu beweisen, reicht es, die Ungleichung x ≥ xG zu
xG ≥ x H
betrachten, da die Ungleichung
mit der Ungleichung zwischen
1
arithmetischem und geometrischem Mittel der Kehrwerte y j =
mit j = 1,L , n
xj
identisch ist.
x H ≤ xG
 n
n

≤
x
∏ 
n
1  j =1 j 
∑
j =1 x j
1
n
⇔
n
⇔
≤
∑ yj
n
j =1
1
 n
n
∏ y j 


 j =1 
1
⇔
 n
n
1
∏ y j 
y
≥
∑
j


n j =1
 j =1 
⇔
y ≥ yG .
1
n
Der von Cauchy stammende Beweis für die Ungleichung zwischen arithmetischem
und geometrischem Mittel verwendet zunächst das Prinzip der vollständigen
Induktion für n = 2 m , um daraus den allgemeinen Fall abzuleiten.2
Für den Fall n = 2 m , ist zunächst zu zeigen, dass
2

∏ y j 
 j =1 


m
1 / 2m
1
≤ m
2
∑y
2m
j =1
j
.
Induktionsanfang m = 1 (n = 2) :
y1 y 2 ≤ ( y1 + y 2 ) / 2
⇔
⇔
y1 y 2 ≤ ( y1 + y 2 ) / 4
2
0 ≤ ( y1 − y 2 )
2
2
Es existiert dazu eine Fülle von Beweisvarianten; eine Auswahl bietet Bullen, P.S. et al (Hg.):
Means and Their Inequaltities, Dordrecht 1988.
13
Induktionsschluss m → m + 1 (2 m → 2 m+1 ) :
1  1 2
1
y =
y + m
m +1 ∑ j
m ∑ j

2
2  2 j =1
2
j =1
1
2 m +1
m
 1 2

≥  m ∑ y j 
 2 j =1 
1/ 2
m
2

≥  ∏ y j 
 j =1 
m
1 / 2 m +1
∑y
2 m +1
j
j = 2 m +1
 1
⋅ m
2






∑m y j 
j = 2 +1 
2 m +1
 2 m+1 
⋅  ∏ yj 
 m 
 j = 2 +1 
1 / 2 m +1
1/ 2
2

=  ∏ y j 
 j =1 
m +1
1 / 2 m +1
Im ersten Schritt wird die Summe aufgespalten, um auf die beiden Teile den
Induktionsanfang anzuwenden. Danach findet die Induktionsvoraussetzung zwei
Mal Verwendung, wobei sicherzustellen ist, dass auch die zweite Summe von
j = 2m + 1 bis 2m +1 genau 2m Summanden hat.
2m +1 − (2m + 1) + 1 = 2m +1 − 2m = 2m
Fasst man schließlich die Produkte zusammen, ist y ≥ yG für n = 2m bewiesen.
Nun definieren wir die positiven, reellen Zahlen y1 ,L, yn folgenderweise.
xj


y j :=  1 n
xj
 n∑
j =1

für j = 1 ,L , n
für j = n + 1,L,2 n
Vom bewiesenen Spezialfall kommen wir zur gewünschten Ungleichung, indem
wir in den ersten beiden Umformungen zunächst die y j substituieren und die
Ausdrücke vereinfachen. Danach multiplizieren wir mit n1−n / 2 > 0 , dividieren
n
anschließend durch die linke Summe, und durch Vereinfachen und Potenzieren mit
2n
in der letzten Umformung erreichen wir die gewünschte Form.
n
14
2

∏ yj 
 j =1 


n
⇔


∏ xj 


 j =1 
1/ 2n
n
 n

∏ xj 


 j =1 
1

⋅  ∑ x j 
 n j =1 
⋅
 n

∏ xj 


 j =1 
1/ 2n
⇔
2n −n
1 n
2n − n n 

≤ n ∑ xj +
∑ xj 
2  j =1
n i =1 
2n
 n 
∑ xj 


 j =1 
n
 n 
⋅  ∑ x j 
 j =1 
≤
1 n
∑ xj
n j =1
≤
1
1− n / 2 n
 n

∏ xj 


 j =1 
1/ 2n
⇔
n
1− n / 2 n
1
n1− n / 2
1 2
≤ n ∑ yj
2 j =1
n
1/ 2n
⇔
1/ 2n
 n

∏ xj 


 j =1 
⇔
j =1
j
1  n 
≤ n / 2 n  ∑ x j 
n
 j =1 
1/ n
⇔
nn / 2
∑x
n
n
≤
n / 2n
1 n
∑ xj
n j =1
xG ≤ x
Bibliografie
Assenmacher, W.: Deskriptive Statistik, Berlin Heidelberg New York 1996.
Bamberg, G., Baur, F.: Statistik, München Wien 81993.
Bullen, P.S. et al (Hg.): Means and Their Inequaltities, Dordrecht 1988.
Härtter, E.: Wahrscheinlichkeitsrechnung, Statistik und mathematische Grundlagen.
Begriffe, Definitionen und Formeln, Göttingen 1987.
Pinnekamp, H.-J., Siegmann, F.: Deskriptive Statistik. Mit einer Einführung in das
Programmpaket Statgraphics, München 31993.
Plachky, D.: Mathematische Grundbegriffe und Grundsätze der Stochastik, Berlin 2001.
Schlittgen, R.: Einführung in die Statistik, München Wien 51995.
15