Variáveis de Estado e Equações de Estado Desenvolvimento de

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Variáveis de Estado e Equações de Estado
Desenvolvimento de Modelos Matemáticos
Modelos Matemáticos (CP1)
www.professores.deq.ufscar.br/ronaldo/cp1
DEQ/UFSCar
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Roteiro
1
Variáveis de Estado e Equações de Estado
Variáveis de Estado
Equações nas Variáveis de Estado
2
Desenvolvimento de Modelos Matemáticos
Estado Estacionário
Comportamento Dinâmico
3
Exemplos
Tanque de Nível
Tanque de Mistura
Tanque de Mistura Térmica
Reator Bioquímico
4
Atividades Complementares
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Variáveis e Equações de Estado
A caracterização do comportamento de um sistema requer:
1
quantidades dependentes fundamentais: descrevem o estado
do sistema
2
equações nas variáveis fundamentais: descrevem como o
estado do sistema varia com o tempo e no espaço
(comportamento dinâmico e no espaço)
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Variáveis de Estado
Quantidades fundamentais de interesse na Engenharia Química:
massa
energia
momento
nem sempre
medidas direta e
convenientemente
⇐=
massa específica, pressão
concentração, vazão
temperatura, etc
podem ser medidas
convenientemente para
determinar as
quantidades
fundamentais
VARIÁVEIS
DE ESTADO
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Equações de Estado
Relacionam as variáveis de estado (variáveis dependentes) com o
tempo e a posição (variáveis independentes):
princípio de conservação
−→
(massa, energia, momento)
EQUAÇÕES E
VARIÁVEIS
DE ESTADO
−→
EQUAÇÕES
DE
ESTADO
modelo matemático
do
processo
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Equações de Estado
continuação
Como resultado obtém-se:
comportamento dinâmico: equações diferenciais (+ algébricas)
comportamento estacionário: equações algébricas (+ diferenciais:
posição)
Na representação de muitos processos químicos com equações e variáveis de estado (Espaço de Estados), todas as equações diferenciais ordinárias não-lineares do modelo matemático do sistema são
equações de primeira ordem. O número dessas equações diferenciais é igual a ordem do sistema.
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Modelos Matemáticos
O projeto de controladores requer uma representação matemática dos
fenômenos físicos e químicos envolvidos.
Portanto, a modelagem é uma etapa muito importante no controle de
processos.
A modelagem pode ser realizada através dos seguintes enfoques:
1. experimental: perturba-se o processo já existente e observa-se o
seu comportamento
dispendioso (pode requerer um grande número de experimentos)
lento e cansativo, podendo ser perigoso
sistema pode ainda não existir
validade limitada (válido somente para as condições dos
experimentos)
pouca informação física do processo (parâmetros com pouco ou
nenhum significado físico)
modelo é fácil de construir e usar
eqs. de diferença
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continuação
2. teórico: o comportamento é obtido a partir da aplicação dos
princípios básicos da engenharia química
(termodinâmica, cinética, fenômenos de transporte, etc)
valores dos parâmetros físicos desconhecidos ou com erros
processo muito complexo (dificuldade na aplicação dos princípios
básicos)
faixa ampla de aplicação
balanços de quantidade de movimento,
energia e massa
⇓
eqs. diferenciais e algébricas (DAE)
entrada
| {z }
através das
fronteiras do
sistema
+
geração
| {z }
dentro do
sistema
-
saída
| {z }
através das
fronteiras do
sistema
-
consumo
| {z }
dentro do
sistema
=
acúmulo
| {z }
dentro do
sistema
3. híbrido: teoria associada ao experimento
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estudo de caso
Tanque de Aquecimento com Agitação
Estudo de Caso
quantidades fundamentais
1
2
T
massa total de líquido no tanque
energia total no tanque
F
i1
T
i1
1
2
3
massa total: m = ρV = ρAh
energia total: E = U + K + P
dP
dE
tanque estático: dK
dt = dt = 0 → dt =
dH
para líquidos: dU
dt ≈ dt com
H – entalpia total e
H = ρVCp (T − Tref ) = ρVCp T
onde Cp – calor específico e Tref –
temperatura de referência: Tref = 0
variáveis de estado: h e T
T
Q
variáveis de estado
dU
dt
h
F
i2
i2
F , T
T
C o n d e n s a d o
s t
F
s t
V a p o r
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estudo de caso (continuação)
parâmetros constantes: ρ, A, Cp
equações de estado
1. balanço de massa total (BM)
Estudo de Caso
T
F
i1
T
i1
T
Q
d(ρAh)
= ρFi1 + ρFi2 − ρF
dt
A
dh
= Fi1 + Fi2 − F
dt
h
F
i2
i2
F , T
T
C o n d e n s a d o
s t
F
s t
V a p o r
observe que, segundo o modelo, T não afeta h! (e também Ti1, Ti2 e
Fst não afetam h)
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Estudo de Caso
2. balanço de energia total (BE)
T
F
i1
T
i1
d(ρAhCp T )
= ρCp Fi1Ti1+ρCp Fi2Ti2+Q−Cp ρFT
dt
A
Q
d(hT )
= Fi1Ti1 + Fi2Ti2 +
− FT
dt
ρCp
aplicando a regra da multiplicação:
Ah
dT
dt
= Fi1Ti1 + Fi2Ti2 +
d(hT )
dt
T
Q
h
F
i2
i2
F , T
T
C o n d e n s a d o
s t
F
s t
V a p o r
dT
= T dh
dt + h dt
Q
− FT −Fi1T
− {z
Fi2T + FT}
|
ρCp
BM:−TAdh/dt
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Ah
Q
dT
= Fi1(Ti1 − T ) + Fi2(Ti2 − T ) +
dt
ρCp
observe que, segundo o modelo, h afeta T ! (e também Fi1, Fi2
afetam T )
equações adicionais (constitutivas)
equações que expressam o equilíbrio termodinâmico, taxas de
reação, transportes de calor, massa e quantidade de movimento,
etc:
transporte de energia: Q = UAt (Tst − T ), com UAt = aFst b
√
transporte de quantidade de movimento: F = k h
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Após a inclusão das equações constitutivas tem-se:
dh
dt
dT
dt
√
k h Fi1 Fi2
= −
+
+
→ BM
A
A
A

aFst b
1  Fi1 + Fi2 + ρCp 
1 Fi1Ti1
T+
= −
A
h
A h
+
1 Fi2Ti2 1 aFst b Tst
+
→ BE
A h
A ρCp h
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Estado Estacionário ("Steady-State")
Solução das equações (algébricas) obtidas do modelo dinâmico
fazendo-se ẋ = 0:
0 = f(xs , us )
onde
f é linear: solução única e trivial
f é não-linear:
solução pode não ser única (múltiplos estados estacionários →
CSTR)
pode exigir métodos numéricos adequados
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graus de liberdade
Análise do Número de Graus de Liberdade
O número de graus de liberdade disponível para a solução de um
conjunto de equações é igual a
f = V(ariáveis) − E(quações)
Pode-se ter:
f < 0: em geral não há solução para o modelo
f = 0: o modelo pode ser resolvido para as n variáveis
dependentes xi . Normalmente, as m entradas são especificadas.
f > 0: infinitas soluções são possíveis
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estudo de caso
equações estacionárias
hs =
Ts =
1
(Fi1s + Fi2s )2
k2
1
Fi1s + Fi2s +
aFstsb
ρCp
aFstsb
Fi1s Ti1s + Fi2s Ti2s +
Tsts
ρCp
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número de graus de liberdade
V: Fi1s , Ti1s , Fi2s , Ti2s , Fsts , Tsts , hs , Ts
=
8
E: f1 (xs , us ) = 0, f2 (xs , us ) = 0
=
2
(−)
f
=
6
especificando Fi1s , Ti1s , Fi2s , Ti2s , Fsts , Tsts → f = 0,
calcula-se hs , Ts
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parâmetros:
k = 2 · 10−1 m5/2 /min
a = 3, 556 · 103 kcal/min2/3 .m.o C
b = 1/3
ρ = 1 · 103 kg/m3
Cp = 1 kcal/kg.o C
A = 1 m2
especificações:
Fi1s = 1 · 10−1 m3 /min
Ti1s = 18 o C
Fi2s = 1 · 10−1 m3 /min
Ti2s = 20 o C
Fsts = 3 · 10−2 m3 /min
Tsts = 120 o C
Como resultado do sistema de equações:
hs = 1m e Ts = 104, 5o C
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comportamento estacionário
∆hs = 0, 1025m
∆Ts = −0, 6580o C
∆hs = 0m
∆Fsts = 50% Fsts
∆Ts = 1, 6898o C
∆hs = −0, 0975m
∆Fi1s = −10% Fi1s
∆Ts = 0, 6681o C
∆hs = 0m
∆Fsts = −50% Fsts
∆Ts = −3, 2763o C
∆Fi1s = 10% Fi1s
Sobre não-linearidades:
são observadas em ambas as variáveis h e T , para ambas as
perturbações em Fi1 e Fst
quanto maior a amplitude da perturbação, mais a não-linearidade
se destaca
DEQ/UFSCar
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Estado Dinâmico
Resolução do modelo dinâmico conhecendo-se parâmetros e
condições iniciais.
modelo dinâmico
dh
dt
dT
dt
√
k h Fi1 Fi2
= −
+
+
A
A
A

aFst b
Fi1
+
Fi2
+
1
ρCp
 T + 1 Fi1Ti1
= − 
h
A h
A
+
1 Fi2Ti2 1 aFst b Tst
+
A h
A ρCp h
condições iniciais: h(t = 0) = hs , T (t = 0) = Ts
parâmetros: ρ, A, Cp , k , a, b
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Estado Dinâmico
estudo de caso
Degrau em Fi1 (± 10%)
1.15
h (m)
1.1
degrau +
degrau −
1.05
1
0.95
0.9
0
10
20
30
t (min)
40
50
60
105.5
T (oC)
105
degrau +
degrau −
104.5
104
103.5
0
10
20
30
t (min)
40
50
60
DEQ/UFSCar
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Estado Dinâmico
Degrau em Fst (± 50%)
1.1
degrau +
degrau −
h (m)
1.05
1
0.95
0.9
0
10
20
30
t (min)
40
50
60
107
106
T (oC)
105
degrau +
degrau −
104
103
102
101
0
10
20
30
t (min)
40
50
60
DEQ/UFSCar
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Estado Dinâmico
Sobre não-linearidades:
as não-linearidades ficam também evidentes a partir da análise
dinâmica do sistema, principalmente com uma maior amplitude
da perturbação
DEQ/UFSCar
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Exemplo: Tanque de Nível
Obtenha o modelo de um tanque de nível de seção reta uniforme de
área A, ao qual é adaptado uma resistência ao fluxo, tal como uma
válvula. Suponha que a vazão volumétrica F , através da √
resistência,
se relaciona com a altura de líquido h pela relação F = k h. Uma
vazão volumétrica Fo de líquido e massa específica constante ρ
alimenta o tanque.
DEQ/UFSCar
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Exemplo (continuação)
F
o
h
(A )
F = k h
Figura: Tanque de nível
DEQ/UFSCar
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Solução
Balanço de Massa Global
dm
dt
d(ρAh)
dt
dh
ρA
dt
dh
dt
= ρFo − ρF , com m = ρV = ρAh
= ρFo − ρF
= ρFo − ρF
=
Fo
F
−
A
A
DEQ/UFSCar
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continuação
Equações Auxiliares: fenômenos de transporte
√
F =k h
Modelo Não-Linear: equação de estado (espaço de estado)
√
dh
Fo
k h
=
−
, h(0) = hs
dt
A
A
√
onde k h é um termo não-linear.
DEQ/UFSCar
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Exemplo: Tanque de Mistura
Obtenha o modelo de um tanque de mistura de volume constante V ,
do qual uma corrente contendo sal dissolvido escoa com uma vazão
volumétrica constante F . Uma corrente de líquido com concentração
de sal Co alimenta o tanque.
DEQ/UFSCar
28 / 39
C
F
o
C
F
C
(V )
Figura: Tanque de mistura
DEQ/UFSCar
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Solução
Balanço de Massa por Componente: sal
dm
dt
d(VC)
dt
dC
V
dt
dC
dt
= FCo − FC, com m = VC
= F (Co − C)
= F (Co − C)
=
F
(Co − C)
V
Modelo Linear: equação de estado (espaço de estado)
dC
dt
=
F
(Co − C), C(0) = Cs
V
DEQ/UFSCar
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Exemplo: Tanque de Mistura Térmica
Obtenha o modelo de um tanque de mistura térmica de volume
constante V , do qual uma corrente escoa com uma vazão volumétrica
constante F . Uma corrente de líquido com temperatura To alimenta o
tanque.
DEQ/UFSCar
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T
F
o
T
F
T
(V )
Figura: Tanque de mistura térmica
DEQ/UFSCar
32 / 39
Solução
Balanço de Energia Total
considerando
energia total: E = U + K + P
tanque estático:
dK
dt
=
dP
dt
=0→
dE
dt
=
dU
dt
dH
para líquidos: dU
dt ≈ dt com H – entalpia total e
H = ρVCp (T − Tref ) = ρVCp T
onde Cp – calor específico e Tref – temperatura de referência:
Tref = 0
DEQ/UFSCar
33 / 39
continuação
Balanço de Energia Total
d(ρVCp T )
dt
dT
ρVCp
dt
dT
dt
= ρCp FTo − ρCp FT
= ρCp F (To − T )
=
F
(To − T )
V
Modelo Linear: equação de estado (espaço de estado)
dT
dt
=
F
(To − T ), T (0) = Ts
V
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Exemplo: Reator Bioquímico
Obtenha o modelo de um reator bioquímico tanque-contínuo com mistura perfeitamente agitada, isotérmico e com volume constante. Uma
corrente com substrato puro alimenta o reator.
F
S
f
V
X
F S
DEQ/UFSCar
35 / 39
Solução
Balanço de Massa por Componente: biomassa
dmX
dt
dVX
dt
dX
dt
= FXf − FX + VrX , com mX = VX
= FXf − FX + VrX
=
F
F
X − X + rX
V f V
Definindo D = F /V , taxa de diluição, e considerando nenhuma
biomassa na alimentação, Xf = 0, tem-se
dX
= −DX + rx
dt
DEQ/UFSCar
36 / 39
continuação
Balanço de Massa por Componente: substrato
dmS
dt
dVS
dt
dS
dt
dS
dt
= FSf − FS + VrS , com mS = VS
= FSf − FS − VrS
=
F
F
Sf − S − rS
V
V
= (Sf − S)D − rS
DEQ/UFSCar
37 / 39
continuação
Equações Auxiliares: cinética bioquímica
rX
Y
= µX , com µ =
rX
=
, com Y =
rS
µmáx S
km +S+k1 S 2
– inibição por substrato
biomassa produzida
substrato consumido
→ rS =
rX
Y
Modelo Não-Linear: equações de estado (espaço de estado)
dX
dt
dS
dt
= (µ − D)X , X (0) = Xs
= (Sf − S)D −
com µ =
µX
, S(0) = Ss
Y
µmáx S
km + S + k1 S 2
apresentando vários termos não-lineares: µX , S 2 .
DEQ/UFSCar
38 / 39
Leitura I
Leitura Complementar
Próxima aula:
apostila do Prof. Wua , capítulos 8 e 9 (volume I).
livro do Stephanopoulosb , capítulos 8 e 9.
livro do Seborg et al.c , capítulo 4.
a
Kwong, W. H., Introdução ao Controle de Processos Químicos com MATLAB.
Volumes I e II, EdUFSCar, São Carlos, Brasil, 2002.
b
Stephanopoulos, G., Chemical Process Control. An Introduction to Theory and
Practice. Prentice Hall, Englewood Cliffs, USA, 1984.
c
Seborg, D. E., Edgar, T. F., Mellichamp, D. A., Process Dynamics and Control. 1st
Edition, John Wiley, New York, USA, 1989.
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Variáveis de Estado e Equações de Estado Desenvolvimento de

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