Funktion und Umkehrfunktion

R. Brinkmann http://brinkmann-du.de
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27.03.2009
Funktion und Umkehrfunktion
Die Zuordnungsvorschrift f
wird ausgedrückt durch die
Funktionsgleichung wie z.B.
f=
{( x | y )
f
x1
}D×W
y2
x2
y = f ( x ) = 2x + 3
oder in Kurzform: y = f ( x ) = 2x + 3
y1
y3
x3
W
Bei der Eineindeutigkeit einer Funktion
existiert auch eine eindeutige
Zuordnung von f -1
D
f -1
x1
Diese Zuordnung wird Umkehrfunktion
oder inverse Funktion genannt, z.B.
y=f
−1
x 3
(x) = −
2 2
y1
y2
x2
y3
x3
W
D
Die Umkehrfunktion der linearen Funktion.
Gegeben ist die Funktion
y = f ( x ) = 2x + 3
Gesucht die Umkehrfunktion f
und ihr Graph.
Funktion;
–1
Die Funktion f hat die Steigung m = 2.
Sie schneidet mit ihrem Graph die
Abszissenachse im Punkt Px ( -1,5 | 0)
und die Ordinatenachse im
Punkt Py ( 0 | 3 ).
Ihr Graph ist eine Gerade.
Werden nun die Variablen der
Funktionsgleichung miteinander
vertauscht und nach y äquivalent
umgeformt, so erhält man die
Umkehrfunktion.
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y = f ( x ) = 2x + 3
x = f ( y ) ⇔ x = 2y + 3
⇔ 2y + 3 = x | −3
⇔ 2y = x − 3 |: 2
⇔y=
x 3
−
2 2
Umkehrfunktion :
y = f −1(x) =
x 3
−
2 2
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Der Graph der Umkehrfunktion ist die
Spiegelung des Funktionsgraphen an
der 45 0 – Achse.
3
2
Allgemein gilt:
1
f ( x)
Funktion:
u ( x)
y = f ( x ) = a1x + a0
3
2
1
s ( x)
0
1
2
3
1
2
Umkehrfunktion:
a
1
x+ 0
a1
a1
Der Einfachheit halber nennen wir die
Umkehrfunktion u(x).
y = f −1 ( x ) =
3
4
x
Die Umkehrfunktion der quadratischen Funktion.
Die Vorgehensweise ist die gleiche wie oben bei der linearen Funktion gezeigt.
y = f ( x ) = x2
4
vertauschen der Variablen x und y
3
x = f (y) = y ⇔ y = x
f ( x)
2
Wurzel ziehen
u1 ( x)
1
2
2
⇔ y = x⇔y= x
oder
y=− x
Es gibt also zwei Umkehrfunktionen:
y = u1 ( x ) = x und y = u2 ( x ) = − x
u2 ( x)
3
1
0
1
2
3
1
s ( x)
2
3
Bei der Bildung der Umkehrfunktionen
wurde die Definitionsmenge
eingeschränkt, damit eindeutige
Zuordnungen entstehen.
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x
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Die Umkehrfunktion der e- Funktion.
y = f ( x ) = ex
4
vertauschen der Variablen x und y
3
x = f (y) = e ⇔ e = x
y
y
2
logarithmieren
( ) = ln ( x )
⇒ ln e
y
1
f ( x)
3
2
1
0
⇔ y = ln ( x )
u ( x)
1
Umkehrfunktionen:
s ( x)
2
y = u ( x ) = ln ( x )
1
2
3
4
Bei der Bildung der Umkehrfunktionen
wurde die Definitionsmenge
eingeschränkt, denn der Logarithmus ist
nur für positive x- Werte definiert.
5
6
x
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