y f x

Wirtschaftsmathematik
S18
Seminar 18: Elementare Funktionen
Wiederholung:
Funktion (einer reelen Variablen):
Zuordnungsvorschrift f, die jedem x ∈ D f ⊆ \ einen Wert y ∈ \
zuordnet. Symbolisch f : D f → \ , f : x 6 y
D f Definitionsbereich von f
W f = { y = y ( x) x ∈ D f } Wertebereich von f
Darstellungsarten:
• Explizite Funktionsgleichung y = f ( x )
• Wertetabelle, z. B.
x 0 1 2 …
y 3 -2 4 …
•
Bild (grafische Darstellung), z. B.
•
Implizite Darstellung F ( x, y ) = 0 , z. B. f ′( x) − 3 f ( x) − x 2 − 1 = 0
Wichtige Operationen / Eigenschaften / Kenngrößen:
Verknüpfung (z. B. Addition), Hintereinanderausführung (Schachtelung) /
Beschränktheit, Monotonie, Symmetrie, Periodizität, Stetigkeit /
Nullstellen, Polstellen, Extremstellen, Unstetigkeitsstellen
Elementare Funktionstypen:
Siehe Tafelwerk
• Potenz- und Wurzelfunktionen
• Polynome
• Rationale Funktionen
• Exponential- und Logarithmusfunktionen
• Trigonometrische Funktionen und deren Umkehrfunktionen
• Hyperbelfunktionen und deren Umkehrfunktionen
Wirtschaftsmathematik
Seminar 18
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Aufgaben:
1. Für welche reellen x ist f(x) definiert?
a) f ( x) = x 2 − 2
2+ x
c) f ( x) = ln
2− x
b) f ( x) = x − x3
 x
d) f ( x) = arcsin  lg 
 10 
2. Welche Funktionen sind gerade bzw. ungerade?
a) y = f ( x) = 3 x + 7
x
x
b) y = f ( x) = 2sin + 2 3 cos
2
2
3. Skizzieren Sie das Bild folgender Funktion:
π

y = 5sin  2 x − 
2

4. Nachfolgend ist eine ebene Kurve durch ihre Parameterdarstellung
angegeben. Geben Sie jeweils die dadurch definierte Funktion in der
impliziten Form F ( x, y ) = 0 an! Skizzieren Sie die Kurve!
x = x(t ) = 2 + 3cos t
x = x(t ) = 8t 2 − 7
b)
a)
y = y (t ) = −3 + 4sin t
y = y (t ) = 16t 2 + 4
5. Berechnen Sie folgende Funktionswerte der Funktion
f ( x) = cos ( arcsin x ) ohne Taschenrechner: f (− 12 ), f (1), f (
2
)
2
6. Zeigen Sie, dass die Funktion y = f ( x) = 4 ( x − 5)3 auf ihrem
Definitionsbereich D f streng monoton ist. Geben Sie die inverse
funktion f −1 sowie D f −1 an!
7. Bestimmen Sie die Umkehrfunktion!
a) f ( x) = ( x − 1)3
b) f ( x) = 3e −2 x
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Seminar 18
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