Aufgaben zur Polynomdivision
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Aufgaben zur Polynomdivision
Mathematik * Aufgaben zur Polynomdivision * Jahrgangsstufe 11 1. Führen Sie die Polynomdivision durch! a) ( x3− 2 x 2 + 3x − 6 ):( x − 2) b) ( 2 x 4 − x 3 + 5 x − 30):( x + 2 ) c) x3 − 5 x 2 + 4 x + 6 2 x −6 d) x 4 − 5 x 2 − 500 x +5 e) 2 x 4 − 5 x3 + 3 x 2 − 2 x x2 − 2 x 2. Welchen Wert muss a haben, damit die Polynomdivision aufgeht? Setzen Sie diesen Wert für a ein und führen Sie die Division durch! a) (x3 + a x 2 + 2 x − 3):( x + 1) b) ( x 5 − 6 x + a ):( x − 2) c) x4− a x −3 d) x3 + x 2 + a x − 6 0,5 x + 1 x2 + x − 6 . x2 − 2 x Bestimmen Sie den maximalen Definitionsbereich D f von f . Vereinfachen Sie den Funktionsterm f(x) ! (Polynomdivision) Skizzieren Sie den Graphen von f . 3. Gegeben ist die Funktion f mit f ( x) = a) b) c) 4. Begründen Sie, dass die Polynomdivision (x3 − x 2 − 2 x + 1):( x − 2) nicht aufgehen kann. Zeigen Sie, dass man den Quotienten folgendermaßen schreiben kann: 1 (x3 − x 2 − 2 x + 1):( x − 2) = x 2 + x + (Polynomdivision mit Rest!) x−2 5. Führen Sie die folgenden Polynomdivisionen mit Rest durch. a) ( 2 x3 − x 2 + 3 x + 1):( x + 1) b) ( x 4 + x 2 − 2 x + 1):( x 2 − 1) c) x4− 2 x x +5 d) x3− x 2 + 2 x − 5 x2 − 3 Lösungen: 1. a) c) e) x2 + 3 0, 5 x 2 − x − 1 2 x2 − x + 1 b) d) 2 x 3 − 5 x 2 + 10 x − 15 x3 − 5 x 2 + 20 x − 100 2. a) c) a = 6 ; x2 + 5 x − 3 a = 81 ; x3 + 3 x 2 + 9 x + 27 b) d) a = - 20 ; x 4 + 2 x3 + 4 x 2 + 8 x + 10 a = - 5 ; 2 x2 − 2 x − 6 3. a) D f = R \ {0 ; 2} b) f ( x) = x+3 3 =1+ x x mit D f = R \ {0 ; 2} c) Hinweis: Der Graph hat an der Stelle x1 = 2 ein „Loch“, d.h. der Punkt P(2 / 2,5) fehlt beim Graphen. 4. x1 = 2 ist keine Nullstelle von f ( x) = x3 − x 2 − 2 x + 1 , deshalb geht die Division nicht auf! 5. a) 2 x2 − 3 x + 6 − 5 x +1 3 − 2x x2 − 1 b) x2 + 2 + c) x3 − 5 x 2 + 25 x − 127 + d) x −1 + 5x − 8 x2 − 3 635 x+5