Lösung 8

Karlsruher Institut für Technologie (KIT)
Institut für Analysis
Priv.-Doz. Dr. Gerd Herzog
Dr. Andreas Helfrich-Schkarbanenko
Sommersemester 2013
Höhere Mathematik II (Analysis) für die Fachrichtung Informatik
8. Übungsblatt
Abgabe bis Freitag, 14.6.2013, 12.30 Uhr
Themen: Integration, Normalbereich, Satz von Fubini, Prinzip von Cavalieri
Aufgabe 22 (K). Sei B Normalbereich sowohl bezüglich der x- als auch der y-Achse, i.e. es existieren
Intervalle [a, b], [c, d] ⊆ R sowie stetige Funktionen φ1 , φ2 : [a, b] → R, ψ1 , ψ2 : [c, d] → R, so dass
B = {(x, y) ∈ R2 : x ∈ [a, b], y ∈ [φ1 (x), φ2 (x)]}
= {(x, y) ∈ R2 : y ∈ [c, d], x ∈ [ψ1 (y), ψ2 (y)]}.
Sei ferner f : B → R stetig. Aus der Vorlesung ist bekannt, dass der Satz über die Vertauschung der
Integrationsreihenfolge gilt:
∫ b∫
∫
φ2 (x)
d ∫ ψ2 (y)
f (x, y) dy dx =
a
φ1 (x)
f (x, y) dx dy.
c
(∗)
ψ1 (y)
Bestimmen Sie in den nachfolgenden Integrationen die Funktionen φ1 , φ2 , ψ1 , ψ2 auf entsprechenden
Intervallen und vertauschen Sie die Integrationsreihenfolge gemäß (∗). f sei dabei eine stetige Funktion.
∫
1∫ x
(i)
∫
f (x, y) dy dx
0
∫
f (x, y) dy dx
x
√
∫ 1 ∫ 1−y2
(iv)
f (x, y) dx dy
1
f (x, y) dx dy
0
Lösung 22
(ii)
0
π/2 ∫ sin y
(iii)
4∫ 2
0
0
√
1−y 2
Aufgabe 23 (K).
(a) Skizzieren Sie die Menge B ⊆ R2 bzw. C ⊆ R3 und berechnen Sie deren Flächeninhalt bzw. deren
Volumen. Hinweis: Prinzip von Cavalieri.
(a.1) B = {(x, y) ∈ R2 :
1 2
4x − 1 ≤ y
3
R : r 2 ≤ x2 +
≤ 2 − x}
(a.2) C = {(x, y, z) ∈
y 2 + z 2 ≤ R2 } (0 < r < R)
(b) Skizzieren Sie die Integrationsbereiche der folgenden Integrale und berechnen Sie deren Wert.
Hinweis: Satz von Fubini.
∫
2
2
(b.1) D = {(x, y) ∈ R : y ∈ [0, 1], y ≤ x ≤ 1},
ex d(x, y)
D
∫
2
2
(b.2) D = {(x, y) ∈ R : y ∈ [0, 1], y ≤ x ≤ y + 1},
x2 y d(x, y)
D
Lösung 23
(a.1) Für x ∈ R sei
{
Bx := {y ∈ R : (x, y) ∈ B} =
∅
[ 14 x2 − 1, 2 − x]
,x ∈
/ [−6, 2]
.
, x ∈ [−6, 2]
Nach dem Prinzip von Cavalieri folgt
∫ 2
∫ 2
[
]2
1
1
64
1
|B| =
|Bx | dx =
(2 − x − x2 + 1) dx = 3x − x2 − x3 ) −6 = .
4
2
12
3
−6
−6
(a.2) Es gilt C = BR (0) \ Br (0) und Br (0) ⊂ BR (0), also
4
4
4
|C| = |BR (0)| − |Bζ (0)| = πR3 − πζ 3 = π(R3 − ζ 3 )
3
3
3
(b.1) .
(b.2) Für alle y ∈ [0, 1] gilt y ≤ y 2 + 1. Es folgt nach Fubini
∫
∫ 1 ∫ y2 +1
2
x2 y dx dy
x y d(x, y) =
B
0
∫
=
0
y
1
1
y · ((y 2 + 1)3 − y 3 ) dy
3
∫
1 1 7
=
(y + 3y 5 + 3y 3 + y − y 4 ) dy
3 0
1 1 3 3 1 1
= ·( + + + − )
3 8 6 4 2 5
67
=
.
120
Aufgabe 24.
(a) Skizzieren Sie die Menge B ⊆ R2 bzw. C ⊆ R3 und berechnen Sie deren Flächeninhalt bzw. deren
Volumen. Hinweis: Prinzip von Cavalieri.
(a.1) B = {(x, y) ∈ R2 : y ≥ 0, y 2 ≤ x ≤ 4 − y 2 }
√
x2 + y 2 ≤ 1 − z, 0 ≤ z ≤ 1}
(a.2) C = {(x, y, z) ∈ R3 :
(b) Skizzieren Sie die Integrationsbereiche der folgenden Integrale und berechnen Sie deren Wert.
Hinweis: Satz von Fubini.
∫
(b.1) D = {(x, y, z) ∈ R3 : x, y ≥ 0, x2 + y 2 ≤ z ≤ 2},
x d(x, y, z)
D
∫
sin x
(b.2) D = {(x, y, z) ∈ R3 : x ≤ 1 , y ≥ 0, y ≤ x, 0 ≤ z ≤ 1},
d(x, y, z)
D x
Lösung 24
(a.1) Für y ∈ R sei
{
By := {x ∈ R : (x, y) ∈ B} =
Nach dem Prinzip von Cavalieri folgt
∫ √2
∫
|B| =
|By | dy =
0
√
2
∅
[y 2 , 4 − y 2 ]
√
,y ∈
/ [0, 2]
√ .
, y ∈ [0, 2]
(4 − 2y 2 ) dy =
0
(a.2) Für z ∈ R sei
{
Cz := {(x, y) ∈ R : (x, y, z) ∈ C} =
2
∅
B1−z (0)
8√
2.
3
,z ∈
/ [0, 1]
,
, z ∈ [0, 1]
√
wobei Br (0) = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 < r}. Bereits nach Vorlesung bekannt: |Br (0)| = πr2 .
Nach dem Prinzip von Cavalieri folgt
∫ 1
∫ 1
∫ 1
π
2
|C| =
|Cz | dz =
π(1 − z) dz = π
z 2 dz = .
3
0
0
0
(b.1) Bei Teilaufgabe (b) sind alle Integrationsbereiche messbar. Die Integrationsbereiche sind kompakt
und alle Integranden sind stetig auf diesen und somit integrierbar.
D ist ein Viertel eines Rotationsparaboloids mit der Höhe 2.
(b.2) D ist ein Prisma mit einer dreieckigen Grundfläche und Höhe 1.