Das Prinzip von Cavalieri
Transcrição
Das Prinzip von Cavalieri
thema VERITAS-VERLAG, Linz/Nina Autengruber Das Prinzip von Cavalieri Es ist anschaulich klar, dass die drei Stöße gleich vieler 2-Cent-Stücke gleiches Volumen haben. Bereits im 17. Jahrhundert formulierte Bonaventura Francesco Cavalieri diese Grundidee in folgendem Prinzip. Prinzip von Cavalieri: paralZwei Körper haben das gleiche Volumen, wenn jede Schnittebene en gleich lel zur Grundebene in gleicher Schnitthöhe beider Körper den Flächeninhalt hat. Volumen schiefer Pyramiden und Kegel h q (y) Wir können das gleiche Prinzip auf den Rauminhalt von geraden und schiefen Drehkegeln mit gleichem Basisradius und gleicher Höhe anwenden: Sie hah ben alle das gleiche Volumen V = chen q (y) übereinstimmen. ∫ q (y) dy, da sie in allen Querschnittsflä- 0 h q (y) 1/8 l 1/8 l h q (y) 2 Vergleiche mit dem Flächeninhalt von Dreiecken und formuliere dieses Prinzip für Dreiecke mit gleicher Basislänge c und gleicher Höhe hc! Shotshop.com/Uwe Moser 1 Formuliere einen analogen Satz für das Volumen schiefer Prismen und schiefer Pyramiden! 72 22818_ThemaMathe8.indb 72 05.12.12 17:57 Volumen einer Halbkugel Wir berechnen das Volumen einer Halbkugel, indem wir einen gleich hohen Körper mit gleicher Grundfläche, nämlich einen Drehzylinder wählen. Aus ihm schneiden wir einen auf der Spitze stehenden Drehkegel aus, dessen Basiskreis mit dem Deckkreis des Drehzylinders übereinstimmt. r h R Nun wollen wir zeigen, dass der Flächeninhalt jeder Schnittfigur in gleicher Höhe für beide Körper gleich groß ist. Die Schnittfigur in einer bestimmten Höhe ist bei den Abbildungen rechts als rote Strecke eingezeichnet. Für die Schnittfläche der Halbkugel gilt: 2 A = r 2 ∙ π = (√ R2 − h2) π = (R2 − h2) π Für die Schnittfläche des Vergleichskörpers gilt: A = R2 π − h2 π = (R2 − h2) π Die beiden Schnittfiguren haben den gleichen Flächeninhalt! R h h Somit haben beide Körper das gleiche Volumen. Wir berechnen dieses durch das Volumen des Drehzylinders abzüglich des R 2 2 R3 π Volumens des Drehkegels: VHalbkugel = R2 π ∙ R − R π ∙ R = 3 3 3 Für das Volumen der Kugel erhalten wir das bekannte Ergebnis: VKugel = 4 R π 3 Volumen allgemeiner Rotationskörper Das obige Beispiel legt nahe, das Prinzip von Cavalieri auch für Flächeninhalte anzuwenden. Dazu bestimmen wir den Inhalt einer von zwei Kurven begrenzten Fläche: Die Schnittpunkte der Kurven f (x) und g (x) legen das gemeinsame Intervall [a; b] fest. Somit werden alle Flächeninhalte über diesem Intervall berechnet. y f picturedesk.com/Österr. Nationalbibliothek g h=f−g x 3 Begründe die Beziehung Af − Ag = Af−g analog zum Prinzip von Cavalieri. 4 Vergleiche mit dem bestimmten Integral: b b b ∫ [f (x) − g (x)] dx = ∫ f (x) dx − ∫ g (x) dx a a a 5 Gib eine analoge Formel für das bestimmte Integral an, mit dem der Rauminhalt eines von zwei Kurven f(x) und g(x) festgelegten Rotationskörpers berechnet wird! Der italienische Mathematiker Bonaventura Francesco Cavalieri (1598–1647) entwickelte schon zu seiner Zeit Grundideen zur Integralrechnung. Das Prinzip von Cavalieri ist seit langer Zeit bekannt. Bereits Archimedes und Kepler bereiteten die Überlegungen von Cavalieri in Bezug auf das Kugelvolumen vor. 73 22818_ThemaMathe8.indb 73 05.12.12 17:57