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Vektoralgebra Aufgaben
September 14, 2015
1
Inhalte
• Vektoren: Notation (Zeile, Spalte), Interpretationen (Pfeile, Punkte, Verschiebungen, Kräfte,
Geschwindigkeiten, etc.)
• Addition und Skalarmultiplication: Linearkombination, geometrische and physikalische Interpretationen
• Lineare (Un)Abhängigkeit: geometrische Interpretation, Berechnung
• Inneres Produkt: Berechnung, geometrische and physikalische Interpretationen, Länge, Abstand,
Winkel, Arbeit
• Kreuzprodukt: Berechnung, geometrische and physikalische Interpretationen, Fläche, Orthogonalität
• Konstruktion geometrischer Objekte: Geraden und Ebenen in Parameter- und Normalform,
Kreise
• Methoden und Tricks:
–
–
–
–
–
2
Rotation von Vektoren in der Ebene um 90 Grad
Schneiden geometrischer Objekte
Lösen linearer Gleichungssysteme
quadratische Gleichung, quadratisches Ergänzen
etc.
Aufgaben
2.1
Lineare (Un)Abhängigkeit
Sei a =
2
4
und b =
.
−1
3
• Berechnen und zeichnen Sie a + b, a − b, 3a + b!
• Zeichnen und beschreiben Sie alle zu a linear abhängingen Vektoren.
• Zeichnen und beschreiben Sie alle zu a linear unabhängingen Vektoren.
Lösung
6
−2
10
• a+b=
, a−b=
, 3a + b =
2
−4
0
• Alle skalierten Vektoren {v ∈ R2 : v = λa mit λ ∈ R}, d.h., die Gerade durch den Ursprung und in
Richtung von a.
• Alle Vektoren, die keine skalierte Version von a sind: {v ∈ R2 : v 6= λa mit λ ∈ R}.
1
2.2
Aufgabe
3
−2
und g =
greifen an einem Massenpunkt an. Welche dritte Kraft h muss
1
2
zusätzlich auf den Massenpunkt einwirken, damit dieser nicht beschleunigt?
Die zwei Kräfte f =
Lösung
2.3
Aus der Bedingung des Kräftegleichgewichts f + g + h = 0 folgt, dass h = −f − g =
−1
.
−3
Aufgabe
Morgens
um 8:00 Uhr verläßt ein Schiff den Hafen H = (−4, −2) und fährt mit konstanter Geschwindigkeit
2
v=
km/h los.
3
• Wo ist das Schiff um 9:30 Uhr?
• Wann erreicht es den Zielhafen D = (4, 10)?
• Wann und wo ist es der Insel I = (0, 1) am nächsten?
Lösung
• (−1, 2.5)
• nach 4 Stunden um 12:00
• um ca. 9:18 Uhr am Ort (−1.38, 1.92)
2.4
Aufgabe
Liegen die Punkte P1 = (3|0|4), P2 = (1|1|1), und P3 = (−7|5| − 11) auf einer Linie? Begründen Sie Ihre
Antwort mit einer Rechnung!
Lösung
2.5
Ja
Aufgabe
Gegeben sei die Kraft f =
0
.
7
• Zerlegen Sie f in die zwei Richtungen d1 =
2
−3
und d2 =
!
1
7
• Zeichnen Sie alle drei Kräfte und check überprüfen Sie Ihr Ergebnis!
Lösung
2.6
f=
21
17 d1
+
14
17 d2
Aufgabe
Berechnen Sie den Schwerpunkt der Massenpunkte A = (4, 1) (3 kg) und B = (−2, 2) (7 kg)!
Lösung
2.7
3
10 A
+
7
10 B
= (−0.2, 1.7)
Aufgabe
Berechnen Sie die Gleichung jener Geraden, die orthogonal zu 2x−y = −1 ist und durch den Punkt P = (2, 5)
geht!
2
Lösung
2.8
Parameterform: X =
2
2
+λ
with λ ∈ R, Normalform: x + 2y = 12
5
−1
Aufgabe
Ein Dreieck hat die Ecken A = (−4, −1), B = (2, −2), und C = (1, 3).
• Berechnen Sie alle Winkel des Dreiecks!
• Addieren sich die Winkel zu 180◦ ?
Lösung
• α = 48.12◦ , β = 69.23◦ , γ = 62, 65◦
• ja
2.9
Aufgabe
−1
Sonnenlicht scheint in die Richtung s =
und fällt auf eine um 30◦ geneigte schiefe Ebene, die als die
−7
um 30◦ geneigte x-Achse modelliert wird. Berechnen Sie den Anteil des Sonnenlichts, der im Vergleich zu
einem rechtwinkligen Einfall auf die Ebene fällt!
Lösung
2.10
cos(φ) = 78, 66%, wobei φ der Winkel zwischen den Vektoren s und n =
tan(30◦ )
−1
ist.
Aufgabe
Eine Kraft des Betrags F = 85 N verschiebt einen Massenpunkt entlang einer geraden Strecke um s = 32 m
und verrichtet dabei die Arbeit W = 1360 J. Unter weclchen Winkel greift die Kraft an?
Lösung
2.11
60◦
Aufgabe
Berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks mit den Ecken A = (−2, 0, 3), B = (−6, 4, −1), und C =
(4, −1, 2)!
Lösung
2.12
17,66
Aufgabe
• Leiten Sie die allgemeine Gleichung des Kreises in R2 und der Kugel in R3 her!
• Bestimmen Sie den Mittelpunkt und den Radius des Kreises k mit der Gleichung x2 +y 2 −2x−4y+1 = 0!
• Berechnen Sie alle Schnittpunkte des Kreises k mit der Geraden g : y = x + 1!
• Wie viele mögliche Schnittpunkte können ein Kreis und eine Gerade haben? Wie viele Lösungen kann
eine quadratische Gleichung haben?
3
Lösung
• Die Länge des Differenzvektors zwischen M = (xM , yM ) (M = (xM , yM , zM )) und einem Punkt P =
(x, y) (P = (x, y, z)) uaf dem Kreis (der Kugel) muss gleich dem Radius r sein. Daraus folgt (x −
xM )2 + (y − yM )2 = r2 für den Kreis und (x − xM )2 + (y − yM )2 + (z − zM )2 = r2 für die Kugel.
• M = (1, 2), r = 2
√
√
√
√
• S1 = (1 + 2, 2 + 1 + 2) und S2 = (1 − 2, 2 − 2)
• für beide Fragen: keine, eine oder zwei
2.13
Aufgabe
 
 
1
−2
Berechnen Sie den Schnittpunkt der Geraden g : X = 1 +λ  3  und der Ebene ε : 4x1 −3x2 +x3 = 18!
1
1
Lösung S = (3, −2, 0)
2.14
Aufgabe
Wie liegen die Geraden g1 und g2 zueinander? Berechnen Sie, falls möglich, Abstand, Schnittpunkt und
Schnittwinkel!
• g1 geht durch die Punkte P1 = (3, 4, 6) und P2 = (−1, −2, 4).
• g2 geht durch die Punkte P3 = (3, 7, −2) und P4 = (5, 15, −6).
Lösung Die Geraden sind windschief und haben einen Abstand von 2,04.
2.15
Aufgabe
Berechnen Sie den Schnittpunkt folgender drei Ebenen!
Lösung
x1 − 2x2 + 3x3
=0
3x1 + 4x2 − 2x3
=9
2x1 − x2 + 5x3
=5
S = (1, 2, 1)
4
Funktionen und Kurven Aufgaben
September 17, 2015
1
Inhalte
• Funktionen: Definition, Funktionsgleichung, Definitionsmenge, Zielmenge, Werte/Bildmenge,
gerade und ungerade Funktionen, Symmetrien, Nullstellen, Pole, Monotonie, Hintereinanderausführung/Verkettung, Umkehrfunktion
• Graphen: Wertetabelle, Plot, Skalieren und Verschieben
• Spezielle Funktionen: Polynome, Wurzel, trigonometrische Funktionen (cos, sin, tan, cot),
Exponential- und Logarithmusfunktion
• Methoden und Tricks:
– Linearfaktoren von Polynomen
– Definition von cos und sin: Einheitskreis, Reihententwicklung
2
Aufgaben
In [2]: %pylab inline
Populating the interactive namespace from numpy and matplotlib
2.1
Aufgabe
Bestimmen
Sie die größtmögliche Definitionsmenge und die zugehörige Wertemenge zur Funktionsgleichung
√
y = 2x + 6! Erstellen Sie eine Wertetabelle, und zeichnen Sie den Graphen!
Lösung: Die größtmögliche Definitionsmenge ist [−3, ∞). Die zugehörige Wertemenge ist [0, ∞).
In [3]: x = linspace(-3, 2)
y = sqrt(2*x+6)
figure(figsize=(4,4))
plot(x,y)
xlabel(’x’)
ylabel(’y’)
grid()
1
2.2
Aufgabe
Welche der folgenden Funktionen ist gerade oder ungerade?
1. f (x) = 4x2 − 16
x3
2. f (x) = 2
x +1
3. f (x) = sin(x) cos(x)
4. f (x) = sin(x) + cos(x)
1
5. f (x) =
x−1
Lösung:
1.
2.
3.
4.
5.
gerade
ungerade
ungerade
weder gerade noch ungerade
weder gerade noch ungerade
In [4]: figure(figsize=(4,4))
x = linspace(-2, 2)
y = x**3/(x**2 + 1)
plot(x,y)
grid()
2
In [5]: figure(figsize=(4,4))
x = linspace(-3, 3)
y = sin(x) + cos(x)
plot(x,y)
grid()
3
2.3
Aufgabe
• Wie ändert sich die Funktionsgleichung y = x2 − sin(x) + 3, wenn deren Graph um drei Einheiten in
die positive x-Richtung und um zwei Einheiten in die negative y-Richtung verschoben wird?
• Macht es einen Unterschied, ob man y = x2
– zuerst um den Faktor zwei in x-Richtung skaliert und danach drei Einheiten in die positive xRichtung verschiebt, oder
– zuerst drei Einheiten in die positive x-Richtung verschiebt und danach um den Faktor zwei in
x-Richtung skaliert?
Stimmt die Antwort allgemein für jede Funktion?
Lösung:
• y = (x − 3)2 − sin(x − 3) + 1
• Ja, was allgemein stimmt.
2.4
Aufgabe
Zerlegen Sie das Polynom f (x) = 2x2 + 4x − 6 in seine Linearfaktoren und bestimmen Sie seine Nullstellen!
Lösung: f (x) = 2(x − 1)(x + 3), x1 = 1, x2 = −3
2.5
Aufgabe
Wie sind cos und sin mit Hilfe des Einheitskreises definiert?
Lösung: Siehe z.B Einheitskreis auf Wikipedia.
2.6
Aufgabe
• Zeichnen Sie ex und ln(x) in einem Graphen!
• Welche Symmetrie beobachten Sie?
Lösung:
• siehe Code
• Spiegelsymmetrie an der Geraden y = x.
In [8]: x1
y1
x2
y2
=
=
=
=
linspace(-3, 3)
exp(x1)
linspace(0.001, 3)
log(x2)
figure(figsize=(5,5))
plot(x1,y1,’r’, label=’$e^x$’)
plot(x2,y2,’g’, label=’$\ln(x)$’)
plot(x1,x1,’m’, label=’Symmetrieachse’)
grid()
xlim(-3,3)
ylim(-3,3)
xlabel(’x’)
ylabel(’y’)
legend(loc = "best");
4
5
Differentialrechnung Aufgaben
September 17, 2015
1
Inhalte
• Ableitung: Definition; Differentialquotient, geometrische, ökononomische und physikalische Interpretationen
• Rechenregeln:
Summenregel, Skalierungsregel,
Ableitungen spezieller Funktionen
Produktregel,
Quotientenregel,
Kettenregel,
• Anwendungen: Tangente, Linearisierung, Kurvendiskussion, Optimiierung
2
Aufgaben
In [1]: %pylab inline
Populating the interactive namespace from numpy and matplotlib
2.1
Aufgabe
Berechnen Sie die Ableitung von folgenden Funktionen!
√
3
1. f (x) = 4 x5 − 4ex + sin(x)
2. f (x) = 2x2 ln(x)
10x
3. f (x) = 2
x +1
4. f (x) = 3e−4x
5. f (x) = sin2 (2x − 4)
6. f (t) = sin(ωt) (erste und zweite Ableitung)
Lösung:
√
3
1. f 0 (x) = 20
x2 − 4ex + cos(x)
3
0
2. f (x) = 4x ln(x) + 2x
10(1 − x2 )
3. f 0 (x) =
(x2 + 1)2
0
4. f (x) = −12e−4x
5. f 0 (x) = 4 sin(2x − 4) cos(2x − 4)
6. f 0 (x) = ω cos(ωt) und f 00 (t) = −ω 2 sin(ωt)
2.2
Aufgabe
Skizzieren Sie den Graph und bestimmen Sie die Gleichung der Tangente an die Funktion y =
der Stelle x = 4.
Lösung: y = − 43 x +
25
3
1
√
25 − x2 an
2.3
Aufgabe
Skizzieren Sie den Graphen der Funktion y =
Nullstellen, Pole, Maxima und Minima.
x2 + 1
und bestimmen Sie die maximale Definitionsmenge,
x−3
Lösung: Die maximale Definitionsmenge besteht aus allen reellen Zahlen außer dem Pol x = 3, keine
Nullstellen, lokales Maximum bei x = −0, 162, lokales Minimum bei x = 6, 16.
In [2]: figure(figsize=(4,4))
x = linspace(-5, 2.99, 100)
y = (x**2 + 1) /(x-3)
plot(x,y,’k’)
x = linspace(3.01, 10, 100)
y = (x**2 + 1) /(x-3)
plot(x,y,’k’)
ylim(-100, 100)
xlim(-5, 10)
xlabel(’x’)
ylabel(’y’)
grid()
print(3 + sqrt(10))
print(3 - sqrt(10))
6.16227766017
-0.162277660168
2
2.4
Aufgabe
Die Bremskraft einer Scheibenbremse ist gegeben durch K(v) =
Scheibe angibt und a und b Konstanten sind.
a2 v
, wobei v die Geschwindigkeit der
+ b2
v2
• Skizzieren Sie den Graphen von K ohne eine Wertetabelle zu verwenden!
• Bei welcher Geschwindigkeit ist die Bremskraft maximal?
• Berechnen Sie die maximale Bremskraft!
Lösung:
• Siehe Abbildung mit a = 1 and b = 2.
• v=b
2
• K(b) = a2b
In [8]: a
b
v
K
=
=
=
=
1
2
linspace(0, 20, 100)
a**2*v/(v**2 + b**2)
figure(figsize=(4,4))
plot(v,K,’k’)
ylim(0,0.3)
xlabel(’v’)
ylabel(’K’)
grid()
3
2.5
Aufgabe
Zwei Massenpunkte A und B bewegen sich entlang der beiden Koordinatenachsen mit den Geschwindigkeiten
vA = 0, 5 m/s und vB = 0, 6 m/s in die Richtung des Koordinatenursprungs. Zu Beginn zum Zeitpunkt t = 0
sind sie an den Orten xA (0) = 15 m und yB (0) = 12 m. Nach welcher Zeit ist ihr Abstand am kleinsten?
Lösung: Zur Zeit t = 24, 1 bei einem Abstand von 3, 84.
4
Integralrechnung Aufgaben
September 17, 2015
1
Inhalte
• Integral: Definition des bestimmten und des unbestimmten Integrals, geometrische und physikalische
Interpretationen, Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
• Rechenregeln: Summenregel, Skalierungsregel, partielle Integration, Substitutionsregel, spezielle
Funktionen, (siehe z.B. folgende Integraltafel), Vertauschen der Integrationsgrenzen
• Anwendungen: Berechnung von Flächeninhalten, Arbeit, Rotationsvolumen, etc.
2
Aufgaben
In [4]: %pylab inline
Populating the interactive namespace from numpy and matplotlib
2.1
Aufgabe
Berechnen Sie die unbestimmten Integrale folgender Funktionen! Überprüfen Sie Ihre Ergebnisse durch
Ableiten!
•
•
•
•
2
3
f (x) = 1−2x2x−4x + 3
f (t) = 2et − 2 sin t + 1
−2
f (x) = √1−x
− cos12 (x)
2
1
f (x) = 3x − 2√
x
Lösung:
• F (x) = 21 ln |x| − 12 x2 − 23 x3 + 3x + C
• F (t) = 2et + 2 cos(t) + t + C
• F (t) = √
−2 arcsin(x) − tan(x) + C
3x
• ln(3)
− x+C
2.2
Aufgabe
Berechnen Sie folgende bestimmte Integrale!
R2
• π cos(ϕ)dϕ
Re
• 1 1t dt
Lösung:
• 0.909
• 1
1
2.3
Aufgabe
Berechnen Sie die Fläche zwischen dem Graphen von y = −0, 25x2 + 4 und der x-Achse!
Lösung: 21,33
2.4
Aufgabe
Berechnen Sie folgende Integrale mittels partieller Integration!
R
• R x ln(x)dx
• e−x x2 dx
Lösung:
2
• x2 (ln(x) − 12 ) + C
• −e−x (x2 + 2x + 2) + C
2.5
Aufgabe
Berechnen Sie folgende Integrale mittels Substitution!
R√
•
5x + 12dx
R1
t
• −1 √1+t
dt
2
R
2
• x sin(x )dx
Lösung:
p
2
(5x + 12)3
• 15
• 0
• − 21 cos(x2 ) + C
2.6
Aufgabe
Bestimmen Sie den Ort s(t) und die Geschwindigkeit v(t) als Funktionen der Zeit t für ein Fahrzeug mit
einer konstanten Beschleunigung a = −2 m/s2 und Anfangsbedingungen s(0) = 0 m und v(0) = 30 m/s!
Lösung: s(t) = −t2 + 30t, v(t) = −2t + 30
2.7
Aufgabe
Welche Arbeit ist notwendig, um eine Hookesche Feder mit Federkonstante c = 8.45 · 105 N/m um 17, 3 cm
zusammenzudrücken?
Lösung: 12645,0 J
In [1]: 8.45e5*0.5*0.173**2
Out[1]: 12645.002499999999
2.8
Aufgabe
Ein als ideal modelliertes Gas hat das Volumen V1 = 2.75 m3 und den Druck p1 = 1250 N/m2 in seinem
Anfangszustand. Es wird isotherm auf ein Volumen V2 = 0.76 m3 komprimiert. Welche Arbeit wird an dem
Gas verrichtet?
2
Lösung: 4420,8 J
In [6]: V1 = 2.75
p1 = 1250
V2 = 0.76
# m^3
# N/m^2
# m^3
p1*V1*log(V2/V1)
Out[6]: -4420.7547909945752
2.9
Aufgabe
Berechnen Sie das Rotationsvolumen, das entsteht, wenn die Kurve y =
x-Achse und (b) y-Achse rotiert!
Lösung:
(a) 46,08 und (b) 180,1
In [7]: print(pi*(5.**3/3-45-9+27))
print(pi*(64./3+36))
46.07669225265029
180.1179788058148
2.10
Aufgabe
Berechnen Sie die folgenden uneigentlichen Integrale, falls sie existieren!
R∞
• 0 e−x dx
R∞ 1
• 1 x dx
R∞
• 1 x12 dx
Lösung:
• 1
• existiert nicht
• 1
3
√
x2 − 9 für 3 ≤ x ≤ 5 um die (a)
Komplexe Zahlen Aufgaben
September 17, 2015
1
Inhalte
• Kartesiche Darstellung: geometrische Interpretation, komplexe Zahlen als 2er-Vektoren plus Multiplikationsregel, Real- und Imaginärteil, Addition und Multiplikation, komplexe Konjugation, Norm
• Polardarstellung: geometrische Interpretation, Eulersche Formel reiϕ = r(cos(ϕ) + i sin(ϕ)), Radius
und Phase, Multiplikation als kombinierte Rotation und Dilatation, komplexe Konjugation, Norm
2
Aufgaben
In [4]: %pylab inline
Populating the interactive namespace from numpy and matplotlib
2.1
Aufgabe
Verwenden Sie die komplexen Zahlen z1 = −4i, z2 = 3 − 2i und z3 = −1 + i, um folgende Ausdrücke zu
berechnen!
•
•
•
•
z1 − 2z2 + 3z3
||z2 ||
2z3 z¯2
z¯1 z2
z3
• Im(z2 ), R(z3 )
Lösung:
•
•
•
•
•
2.2
−9
√ + 3i
13
−10 + 2i
2 − 10i
−2, −1
Aufgabe
Berechnen Sie das Produkt z1 z2 für z1 = 2 + 2i und z2 = 1 − i in der kartesischen und in der polaren
Darstellung! Zeichnen Sie die komplexen Zahlen z1 , z2 und z1 z2 in der komplexen Ebene R2 mittels der
kartesischen und der polaren Darstellung!
Lösung: z1 z2 = 4
1
2.3
Aufgabe
Betrachten Sie das Dreieck mit den Ecken A = (2|1), B = (5|2), C = (4|4)] in der komplexen Ebene. Eine
kombinierte Rotation-Dilatation transformiert die Ecke A in den Punkt A1 = (−3|1).
• Berechnen Sie die transformierten Punkte B1 und C1 .
• Berechnen Sie den Rotationswinkel ϕ und den Dilatationsfaktor λ.
Lösung:
• B1 = (−7|3),√C1 = (−8|0)
2
• ϕ = 3π
4 , λ=
2.4
Aufgabe
Berechnen Sie alle Lösungen der komplexen quadratischen Gleichung z 2 − (5 + i)z + 8 + i = 0!
Hinweis:
Die Quadratwurzeln
einer komplexen
Zahl z = a + ib können z.B. mit der Formel
q
hq
i
1
1
±
(||z||
+
a)
+
i
·
sign(b)
(||z||
−
a)
berechnet
werden, wobei sign(x) das Vorzeichen von x ist, das
2
2
+1, -1, oder 0 sein kann. Allgemeine Wurzeln werden in der Polardarstellung berechnet.
Lösung: z1 = 3 + 2i, z2 = 2 − i
2.5
Aufgabe
3π
• Schreiben Sie z = 2e−i 2 in kartesicher Form.
• Schreiben Sie z1 = 3 − i und z2 = −6 + 8i in Polarform.
Lösung:
• 2i √
• z1 = 10e−0.322i , z2 = 10e(−0.927+π)i
In [5]: phi = arctan(-1./3)
print(phi)
r = sqrt(10)
print(r*exp(phi*1J))
phi = arctan(8./-6)
phi = phi +pi
print(phi)
r = 10
print(r*exp(phi*1J))
-0.321750554397
(3-1j)
2.21429743559
(-6+8j)
2
Potenzreihenentwicklung Aufgaben
January 6, 2016
1
Inhalte
• Arithmetic and Geometric Series: summation formulas, financial examples
• Power Series Expansions: coefficients, convergence
• Taylor Series: approximation of functions, special functions (sin, cos, exp)
2
Aufgaben
In [4]: %pylab inline
Populating the interactive namespace from numpy and matplotlib
2.1
Aufgabe 1
Compute the sum of the arithmetic series 2 + 5 + 8 + 11 + 14
• explicitly
• using the summation formula Sn =
Lösung
2.2
n
2 (a1
+ an ).
40
Aufgabe 2
Using the summation formula
n−1
X
q k = 1 + q + q 2 + . . . + q n−1 =
k=0
compute the sum of the following geometric series
P∞ 1
•
k=0 2k ,
7
7
7
7
• 0.7777 . . . = 10
+ 100
+ 1000
+ 10000
+ · · ·.
Lösung
• 2
• 79
In [5]: 7/9
Out[5]: 0.7777777777777778
1
1 − qn
.
1−q
2.3
Aufgabe 3
Compute the net present value of a constant cash flow of 200 EUR per year starting today for 11 years.
Assume a yearly interest rate of 5%.
Lösung
1744.35 EUR
In [6]: q = 1/1.05
200*( (1 - q**11)/(1 -q) )
Out[6]: 1744.3469858369617
2.4
Aufgabe 4
Compute the Taylor Series to the second order of
• f (x) = √
cos(x) at x0 =
• f (x) = x at x0 = 1
π
3
Lösung
√
• f (x) = √
cos(x) = 12 − 23 (x − π3 ) − 14 (x − π3 )2 + · · ·
• f (x) = x = 1 + 21 (x − 1) − 18 (x − 1)2 + · · ·
2.5
Aufgabe 5
Linearize the gravitational potential U (r) = −G MEr m of a mass m on the surface of the earth and compare
your result with the well known formula mgh, where g = 9.81 sm2 denotes the gravitational acceleration and
h the height above the earth’s surface.
Hints:
• gravitational constant G = 6.67428 · 10−11
• mass of the earth ME = 5.9736 · 1024 kg
• radius of the earth rE = 6.371 · 106 m
m3
kg s2 ,
In [7]: G = 6.67428e-11 # [m^3/(kg s^2)]
M_E = 5.9736e24 # [kg]
r_E = 6.371e6 # [m]
g = G*M_E/r_E**2
print(g)
9.82257492940132
In [ ]:
2
Wahrscheinlichkeitsrechnung Aufgaben
January 6, 2016
1
Inhalte
• Relative Frequency Interpretation: Laplace experiment, combinatorics
• Kolmogorov Axioms: events, event space, probability, union and intersection, and and or, event
tree, complement, conditional probability
• Discrete Random Variables: expected value, variance and standard deviation, probability distribution, distribution function
2
Aufgaben
In [1]: %pylab inline
Populating the interactive namespace from numpy and matplotlib
In [2]: from scipy.misc import comb
2.1
Aufgabe 1
In a shipment 4 of a total of 20 bulbs are broken. Three bulbs are chosen randomly without replacement.
• Calculate the probability that none of the three bulbs is broken.
• Calculate the probability that at least one of the three bulbs is broken.
Lösung:
16
•
3
20
3
= 0.4912
• 1 - 0.4912 = 0.5088
In [3]: comb(16,3)/comb(20,3)
Out[3]: 0.49122807017543857
2.2
Aufgabe 2
A dice is manipulated such that even numbers occur with a 4 times higher probability than odd numbers.
• Calculate the probability to dice an even number.
• Calculate the probability to dice an odd number.
• Calculate the probabilities of the events A = {1, 2, 3}, B = {1, 6}, C = {2, 4, 6}, D = C̄, E = B ∪ C,
F =B∩C
1
Lösung:
• 54
• 15
• P (A) = 25 , P (B) = 31 , P (C) = 45 , P (D) = 15 , P (E) =
2.3
13
15 ,
P (F ) =
4
15
Aufgabe 3
A shipment consists of 250 capacitors which were manufactured on 3 machines with
machine
A
B
C
quantity
rejects
80
2
50
1
120
3
Calculate the probability that
• a randomly chosen capacitor is broken.
• a randomly chosen broken capacitor was manufactured on machine C.
Lösung:
• 0.024
• 0.5
In [4]: 6./250
Out[4]: 0.024
2.4
Aufgabe 4
Calculate the expected value E(X), the variance σ 2 = Var(X), and the standard deviation σ of the random
variable X with the following probability distribution.
xi
-2
2
4
6
8
pi
1/4
1/6
1/4
1/4
1/12
Draw the stem plot of the probability distribution of X and the distribution function of X.
Lösung: E(X) = 3, σ 2 = 11, σ 2 = 3.317
In [5]: x = array([-2, 2, 4, 6, 8])
p = array([1/4, 1/6, 1/4, 1/4, 1/12])
mu = sum(x*p)
print(mu)
var = sum((x - mu)**2*p)
print(var)
s = sqrt(var)
print(s)
3.0
11.0
3.31662479036
2
In [6]: figure(figsize=(6,4))
x = array([-2, 2, 4, 6, 8])
p = array([1/4, 1/6, 1/4, 1/4, 1/12])
stem(x, p, linefmt=’b-’, markerfmt=’bo’, basefmt=’w-’, label=’prob. distr.’)
x = concatenate(([-3], x, [10]))
p = concatenate(([0], p, [0]))
step(x, cumsum(p), where=’post’, color=’r’, linestyle=’-’, linewidth=1, label=’distr. fct.’)
xlim((-3,9))
xlabel(’x’)
ylim((-0.1,1.1))
ylabel(’probability’)
legend(loc=’best’, numpoints=1)
grid()
2.5
Aufgabe 5
Three coins are tossed.
• Determine the probability distribution of the random variable X = number of heads. Draw the stem
plot of the probability distribution of X and the distribution function of X.
• Calculate the expected profit E(f (X)) using the following profit table. Would you play this game when
you have to pay 4 EUR per game?
3
numberof heads xi
0
1
2
3
profit f (xi )
1 EUR
2 EUR
2 EUR
8 EUR
Draw the stem plot of the probability distribution of f (X) and the distribution function of f (X).
Lösung:
• The probability distribution of X is given by
xi
0
1
2
3
pi
1/8
3/8
3/8
1/8
• E(f (X)) = 2.5 EUR. No.
In [7]: x = array([0, 1, 2, 3])
p = array([1/8,3/8,3/8,1/8])
figure(figsize=(6,4))
stem(x, p, linefmt=’b-’, markerfmt=’bo’, basefmt=’w-’, label=’prob. distr.’)
x = concatenate(([-1], x, [4]))
p = concatenate(([0], p, [0]))
step(x, cumsum(p), where=’post’, color=’r’, linestyle=’-’, linewidth=1, label=’distr. fct.’)
xlim((-1,4))
xlabel(’x’)
ylim((-0.1,1.1))
ylabel(’probability’)
legend(loc=’best’, numpoints=1)
grid()
4
In [8]: x = array([0, 2, 8])
p = array([1/8, 6/8, 1/8])
E = dot(x,p)
print("Expected value E(f(X)) = %.2f" %E)
figure(figsize=(6,4))
stem(x, p, linefmt=’b-’, markerfmt=’bo’, basefmt=’w-’, label=’prob. distr.’)
x = concatenate(([-1], x, [10]))
p = concatenate(([0], p, [0]))
step(x, cumsum(p), where=’post’, color=’r’, linestyle=’-’, linewidth=1, label=’distr. fct.’)
xlim((-1,10))
xlabel(’x’)
ylim((-0.1,1.1))
ylabel(’probability’)
legend(loc=’best’, numpoints=1)
grid()
Expected value E(f(X)) = 2.50
5
6