Das Prinzip des Cavalieri bei der Einführung der

Das Prinzip des Cavalieri bei
der Einführung der
Volumenformel für eine
Pyramide
Kristin Hille und Axel Heider
Vergleicht die Körper. Was lässt
sich über die einzelnen Volumina
aussagen?
Integralrechnung
Gruppenarbeit
Der Satz von Fubini
K – Körper im (n+1)-dim. Raum
f ( x, y ), x ∈ ℜ , y ∈ ℜ
p
q
Betrachte Intervalle I x ⊂ ℜ , I y ⊂ ℜ
sodass
p
q
K ⊂ I = I x × I y × [α , β ] ⊂ ℜ , p + q = n
Zerlege I x und I y in i bzw. j Abschnitte
⇒Viele kleine „Kästchen“ K ij
n +1
Der Satz von Fubini
Zerlegung Z:
Der Satz von Fubini
„Säule über einem Feld“:
Der Satz von Fubini
Minima mij =
∆ xi
ij
i
∆ xi bei
f ( x, y )dx
Alle „Flächen“ über
festem y ∈ ∆ y j
∑m
Ix
| ∆ xi | ≤ ∫ f ( x, y )dx
Ix
f ( x, y )
x∈∆xi , y∈∆y j
„Fläche“ über einem
festem y ∈ ∆ y j
mij | ∆ xi |≤ ∫
min
bei
Der Satz von Fubini
Integration über ∆ y j :
∑m
ij
i
∫ ∑m
∆y j
∑m
ij
i
ij
i
| ∆ xi | ≤ ∫ f ( x, y )dx
Ix
|∫
∆y j
| ∆ xi | ≤ ∫ ( ∫ f ( x, y )dx)dy
∆y j
Ix
| ∆ xi || ∆ yi | ≤ ∫ ( ∫ f ( x, y )dx)dy
∆y j
Ix
Der Satz von Fubini
Der Satz von Fubini
Integration über ∆ y j :
∑m
ij
| ∆ xi | ≤ ∫ f ( x, y )dx
Ix
i
∫ ∑m
∆y j
∑m
ij
ij
∆y j
i
Ix
| ∆ xi || ∆ y j | ≤ ∫ ( ∫ f ( x, y )dx)dy
∆y j
Ix
Summierung über alle ∆ y j :
s ( Z ) = ∑ mij | ∆ xi × ∆ y j | ≤ ∫ ( ∫ f ( x, y )dx)dy
i, j
∆y j
| ∆ xi | ≤ ∫ ( ∫ f ( x, y )dx)dy
i
|∫
Iy
Ix
Der Satz von Fubini
Analog für die
Obersumme:
∫ (∫
Iy
Ix
f ( x, y )dx)dy
≤ ∑ M ij | ∆ xi × ∆ y j |
i, j
= S (Z )
Der Satz von Fubini
s ( Z ) ≤ ∫ ( ∫ f ( x, y ) dx) dy ≤ S ( Z )
Iy
Ix
Zerlegungsnullfolge
lim s ( Z ) = lim S ( Z )
∆xi , ∆y j → 0
∆xi , ∆y j →0
s ( Z ) = ∫ ( ∫ f ( x, y ) dx) dy = S ( Z )
Iy
Ix
Der Satz von Fubini
Satz: Ist f über I = I x × I y integrierbar, so
∫ f ( x, y)dxdy = ∫ (∫
I
Iy
Ix
f ( x, y )dx) dy = ∫ ( ∫ f ( x, y )dy ) dx
Ix
Iy
Sei x = ( x1 , x2 ) mit x1 ∈ ℜ r , x2 ∈ ℜ s , r + s = p
I x = I x1 × I x2
Corollar:
Ist f über I = [a1 , b1 ] ×⋯ × [ an , bn ] ⊂ ℜ n
integrierbar, so gilt
b1
bn
a1
an
∫ f ( x)dx = ∫ ⋯ ∫
I
f ( x1 ,… , xn )dxn ⋯ dx1
Die charakteristische Funktion
1, falls x ∈ M
cM (x) =
0, sonst
∫c
I
b
M
b
= ∫ cM = ∫ 1 = b − a
a
= vol (1) ( M )
a
b
d
a
c
∫∫
cM = ∫
b
a
d
b
c
a
∫ 1= ∫
(d − c)
= (b − a)(d − c) = vol ( 2) ( M )
Die charakteristische Funktion
∫ cM = ∫
I
b
a
d
∫∫
c
e
f
cM = (b − a)(d − c)( f − e) = vol (3) ( M )
Die charakteristische Funktion
vol ( M ) = ∫ cM
( 3)
I
Das Cavalierische Prinzip
K – Körper im ℜ
2
P = ( x, y , t ), ( x, y ) ∈ ℜ , t = [α , β ]
3
K t = {( x, y ) ∈ ℜ : ( x, y, t ) ∈ K }
2
„Ebenenschnitt“
2
Sei I x × I y ⊂ ℜ ein Intervall, sodass
K ⊂ I x × I y × [α , β ] =: I
∫c
I
Fubini
K
( x, y, t )dxdydt =
β
∫α (∫
I x ×I y
cK ( x, y, t )dxdy) dt
Das Cavalierische Prinzip
∫c
I
Fubini
K
( x, y, t )dxdydt =
β
∫α (∫
I x ×I y
cK ( x, y, t )dxdy) dt
c K ( x, y , t ) = 1
⇔ ( x, y ) ∈ K t ⇔ c K ( x, y ) = 1
t
vol ( 3) ( K )
= ∫ cK ( x, y, t )dxdydt
I
β
= ∫ (∫
α
I x ×I y
β
= ∫ (∫
α
I x ×I y
cK ( x, y, t )dxdy) dt
- K als gesamter Körper
cKt ( x, y )dxdy ) dt
- K t ⊂ K als " Ebenenschnitt"
Das Cavalierische Prinzip
Satz:
Besitzen zwei Körper mit gleicher Höhe
und gleichem Grundflächeninhalt in
jeder zur Grundfläche parallelen Ebene
eine gleich große Schnittfläche, so sind
sie stets volumengleich.
Wege zur Vermutung einer
Volumenformel für Pyramiden
Arbeitsaufträge
Arbeitsauftrag 1
Arbeitsauftrag 2
Arbeitsauftrag 3
Arbeitsauftrag 4
Pyramidenvolumen V=1/3·
V=1/3· A(G)· h
Satz:
Zwei Pyramiden mit gleicher Höhe und
gleich großem Grundflächeninhalt
besitzen das gleiche Volumen.
Volumenvergleich zweier
Pyramiden
AD = AR ; D, R ⊂ E1 ; S , T ∈ E2 ; E1 || E2 || E ′
• S , T : Zentren
zentrischer Streckung
mit Streckfaktor k =
h∗
h
• D → D′, R → R′
• D und D′, R und R′ sind
ähnlich
• Ähnlichkeitsfaktor k
AD′ = k 2 ⋅ AD = k 2 ⋅ AR = AR′
Cavalieri ⇒ Satz
Beweis der Volumenformel für
Pyramiden
Guido Fubini
* 1879
† 1943
Bonaventura
Francesco Cavalieri
* 1598 † 1647
Diskussion
Inwieweit lässt sich das Prinzip des
Cavalieri im Unterricht begründen? Ist
eine exakte Begründung überhaupt
erforderlich?