Mathematikwettbewerb Känguru e.V. X. Mathematik

Hochschule Bremen
Fachbereich E-Technik & Informatik
Mathematikwettbewerb Känguru e.V.
X. Mathematik-Wettstreit 2004
für Schüler und Studenten
Prof. Dr. Th. Risse
Sinn & Zweck: In Rahmen unserer Bemühungen um
die Mathematik-Ausbildung sind Schüler und Studierende
(nicht nur) an der Hochschule Bremen aufgefordert, sich
am Mathematik-Wettbewerb Känguru des Känguru Vereins e.V. zu beteiligen. Dieses Dokument soll – wie andere
in www.weblearn.hs-bremen.de/risse/MAI/docs – Spaß
machen und so der Vorbereitung und dem Training dienen.
c 2004 [email protected]
Letzte Änderung: 26. August 2009
Version 0.1
Abschnitt 1: Einführung
2
1. Einführung
Bei Kangourou 2004 handelt es sich um einen jährlichen MathematikWettbewerb des Känguru Vereins e.V., Berlin, den es für unterschiedliche Altergruppen gibt. Die vorliegenden Aufgaben sind für Schüler der
11.–13. Klassen und für Studierende gedacht. Dieses Dokument mit
meinen Lösungen (ohne Gewähr ;-)) ist Bestandteil der Bemühungen
von vier Hochschullehrern der Hochschule Bremen,
Prof. Dr. Jörg Buchholz
Prof. Dr. Lazlo Hinsenkamp
Prof. Dr. Thomas Risse,
Studierende (in spe) für Mathematik zu begeistern.
Wenn Ihnen dieses Dokument Spaß gemacht hat, probieren Sie doch
mal die Dokumente zum Vorkurs, zur Numerik, zu Zahlentheorie,
Kryptographie, Codierung und Wahrscheinlichkeitsrechnung usw. aus,
alle unter http://www.weblearn.hs-bremen.de/risse/MAI/docs.
Viel Erfolg!
Abschnitt 2: Aufgaben mit Lösungen
3
2. Aufgaben mit Lösungen
Der Quizz besteht aus 10 leichteren, 10 mittelleichten/mittelschweren
und 10 schwereren Aufgaben. Beim Wettbewerb wird selbstverständlich nicht erwartet, daß Sie alle 30 gestellten Probleme in anderthalb
Stunden lösen.
Alle Aufgaben sind ohne weitere Hilfsmittel zu bearbeiten. (Allerdings
haben schon wir drei Hochschullehrer verschiedene Meinungen zur
Frage, ob Taschenrechner zugelassen sein sollten!)
Selbstverständlich sind alle Lösungsstrategien erlaubt: Natürlich dürfen Sie Fragestellungen in einem multiple choice test durch Ausschluß
beantworten. Im ersten Test einfach auf die richtige Antwort clicken!
Aufgabe
1. Mathematik ist
(a) fun
(b) cool
(c) out
(d) in
Auf die Plätze – fertig – los!
(e) voll krass
Abschnitt 2: Aufgaben mit Lösungen
4
Aufgabe
1. Wenn Sie m Stifte für jeweils n e und n Stifte für jeweils m e
kaufen, wie groß ist dann der mittlere Preis pro Stift?
2
2
mn
(a) 1 e
(b) m+n
(e) m 2n e
e (c) 2m+n
e (d) m n e
2
2. Eine Pyramide besteht aus 17 Flächen. Wieviele Kanten hat sie?
(a) 16
(b) 17
(c) 18
(d) 32
(e) 34
3. Die kleinste reelle Zahl x, die die Ungleichung x2 − 2004 ≤ 0
erfüllt, lautet:
√
√
(a) -2004
(b) 2004
(c) 0
(d) 2004 (e) − 2004
4. Jeder Marsianer hat einen, zwei oder drei Tentakel auf seinem
Kopf. Genau 1% der Marspopulation besteht aus Individuen mit
drei Tentakeln, genau 97% der Marsianer besitzen zwei Tentakel
und die übrigen 2% haben einen Tentakel. Wieviel Prozent der
Marsianer hat mehr Tentakel auf dem Kopf als der Mittelwert
der gesamten Marsbevölkerung?
(a) 1%
(b) 3%
(c) 97%
(d) 98%
(e) 99%
Abschnitt 2: Aufgaben mit Lösungen
5
5. s ist eine ungerade ganze Zahl. In einem
Quadrat der Kantenlänge s wurden einige Quadrate der Kantenlänge 1 grau markiert (s. Bild). Wie groß ist die weiße
Fläche?
(a) s2 +1−2s (b) s2 +4−4s (c) 2 s2+1−4s(d) s2 −1−2s (e) s2 −2s
6. Wie viele aus zwei Ziffern bestehende Zahlen gibt es, deren zweite
und dritte Potenz mit derselben Ziffer enden?
(a) 1
(b) 9
(c) 10
(d) 21
(e) > 30
7. Ein Quadrat besteht aus 18 kleinen Quadraten, von denen 17 eine
Kantenlänge von 1 besitzen. Wie groß ist die Fläche des großen
Quadrates?
(a) 25
(b) 49
(c) 81
(d) 100
(e) 225
8. Wie viele rechtwinklige Dreiecke können Sie bilden, indem Sie
jeweils drei Ecken eines regelmäßigen 14-Ecks miteinander verbinden?
(a) 72
(b) 82
(c) 84
(d) 88
(e) sonst
Abschnitt 2: Aufgaben mit Lösungen
6
9. Auf einer Wiese stehen 15 Schafe und eine bestimme Anzahl von
Schafhirten. Als die Hälfte der Hirten und ein Drittel der Schafe
verschwinden, verbleiben noch 50 Beine auf der Wiese. Wie viele
Beine standen zu Beginn auf der Wiese?
(a) 60
(b) 72
(c) 80
(d) 90
(e) 100
10. Einem Kreis mit Radius r ist ein
Dreieck einbeschrieben. Der Winkel
∠(XY A) ist ein rechter Winkel. Wie
groß ist dann α = ∠(XAY ) ?
A
α
r
X
(a) 22.5o
(b) 30o
(c) 45o
(d) 60o
Y
(e) 90o
11. Wie viele Quadrate mit der Ecke A = (−1, −1) gibt es, für die
mindestens eine der Koordinatenachsen eine Symmetrieachse ist?
(a) 2
(b) 3
(c) 4
(d) 5
(e) 6
12. In einem undurchsichtigen Umschlag befinden sich 100 Karten,
die mit den natürlichen Zahlen von 1 bis 100 nummeriert sind.
Auf jeder Karte befindet sich eine andere Zahl. Welches ist die
Abschnitt 2: Aufgaben mit Lösungen
7
kleinste Anahl an Karten, die Sie zufällig aus dem Umschlag ziehen müssen, um sicher zu sein, dass das Produkt der Zahlen auf
den gezogenen Karten durch vier teilbar ist?
(a) 51
(b) 52
(c) 53
(d) 54
(e) 55
13. Auf welcher Graphik befindet sich die Menge der Punkte (x, y),
die die Bedingungen x · y ≤ 0 und x2 + y 2 = 4 erfüllt?
y
y
1
y
1
1
x
1
1
x
(a)
5 3
3
x
4+5 3
3
x
(d)
1
x
(e)
A
E
B
√
(c) 3
1
1
√
(b)
y
1
1
(a)
(b)
(c)
14. Im Bild haben die beiden gleichseitigen Dreiecke ∆(ABC) und
∆(ECD) die Seitenlängen 2 bzw.
1. Wie groß ist die Fläche des
Vierecks ABCE?
√
y
6+ 3
4
als ao 30
(d)
15. Wie viele positive ganze Zahlen können
D
C
√
(e)
3 3
2
+ a1 31 + a2 32 +
Abschnitt 2: Aufgaben mit Lösungen
8
a3 33 + a4 34 = ao + 3 a1 + 9 a2 + 27 a3 + 81 a4 geschrieben werden,
wenn a0 , a1 , a2 , a3 und a4 Elemente der Menge {−1, 0, 1} sind?
(a) 5
(b) 80
(c) 81
(d) 121
(e) 243
p
p
√
√ 2
16. Für die Zahl x =
22 + 12 2 − 22 − 12 2 gilt
(a) x < 0
(b) x = 0
(c)
√
√
4
x ∈ N (d) x = 11 2 (e) 5|x ∈ N
17. Wie viele Ecken hat ein regelmäßiges n-Eck, dessen Summe der
Innenwinkel ein Siebentel der Innenwinkelsumme eines regelmäßigen 16-Ecks beträgt?
(a) 3
(b) 4
(c) 6
(d) 7
(e) 10
18. Das Bild zeigt einen Kreis K, der
einem Viertelkreis mit dem Radius 6 einbeschrieben ist. Wie groß
ist der Radius des Kreises K?
(a)
√
6− 2
2
6
R
√
(b)
3 2
2
(c) 2.5
(d) 3
K
√
(e) 6 2 − 6
19. Für eine geometrische Reihe (an )n≥1 ist die folgende Ungleichung
Abschnitt 2: Aufgaben mit Lösungen
9
erfüllt: a3 < a2 < a4 . Dann gilt:
(a) a3 · a4 > 0 (b) a2 · a3 < 0 (c) a2 · a4 < 0 (d) a2 > 0
20. Welches ist die vorletzte Ziffer von z = 112004 ?
(a) 0
(b) 1
(c) 2
(d) 3
(e) a2 · a2 > 0
(e) 4
21. In Stadthausen wurden Wahlen abgehalten. Jeder Wähler, der
für die Brokkoli-Partei gestimmt hat, hat schon einmal Brokkoli gegessen. 90% der übrigen Wähler, die für eine andere Partei
gestimmt haben, haben noch nie Brokkoli gegessen. Wieviel Prozent der Stimmen hat die Brokkoli-Partei bekommen, wenn genau
46% aller Wähler schon einmal Brokkoli gegessen haben?
(a) 40%
(b) 41%
(c) 43%
(d) 45%
(e) 46%
22. Ein Parallelogramm ist, wie im
Bild dargestellt, in vier Dreiecke
aufgeteilt. Welche Flächenaufteilung der Dreiecke kann richtig
sein?
(a) 4,5,8,9
(b) 5,6,7,12 (c) 10,11,12,19 (d)
11,13,15,16 (e)
sonst
Abschnitt 2: Aufgaben mit Lösungen
10
23. Das Bild zeigt die Graphen zweier reeller Funktionen f und g.
Welche Gleichung ist für jede reelle Zahl x erfüllt?
(a)
f (x) =
−g(x)+2
(b)
f (x) =
−g(x)−2
(c)
f (x) =
−g(x+2)
y
f
1
1
x
g
(d)
f (x+2) =
− g(x)
(e)
f (x+1) =
−g(x−1)
24. Gegeben sei ein gleichseitiges Dreieck ∆(ABC) mit einer Seitenlänge von 4. Wie groß ist der Radius des Kreisbogens mit
dem Mittelpunkt bei A, der das Dreieck in zwei Teile mit gleicher Fläche aufteilt?
q √
q √
q √
q √
√
(a) 12π 3 (b) 24π 3 (c) 30π 3 (d) 6 π 3
(e) 48π 3
25. Gegeben seien 200 natürliche Zahlen. Am Anfang sind alle Zahlen
null. Im ersten Schritt wird 1 zu jeder Zahl addiert. Im zweiten
Schritt wird (von links beginnend) 1 zu jeder zweiten Zahl addiert. Im dritten Schritt wird 1 zu jeder dritten Zahl addiert,
usw. Welche Zahl steht nach 200 Schritten an der 120. Stelle von
links?
Abschnitt 2: Aufgaben mit Lösungen
(a) 16
(b) 12
(c) 20
26. Wie viele (nicht entartete)
Dreiecke gibt es, deren Ecken
in den 18 dargestellten Punkten liegen?
(a) 816
(b) 711
(c) 777
11
(d) 24
(e) 32
(d) 717
(e) 811
27. Wenn die Summe der Zahlen, die durch die Permutation der drei
Ziffern 0 < a < b < c gebildet werden, 1554 beträgt, wie groß ist
dann c ?
(a) 3
(b) 4
(c) 5
(d) 6
(e) 7
999mal
z }| {
28. Die Zahl m = 9 . . . 9 besteht aus 999 Neunen. Wie groß ist dann
die Quersumme von m2 ?
(a) 8982
(b) 8991
(c) 9000
(d) 9009
(e) 9018
29. sin8 75o − cos8 75o = ?
√
√
(a) 23
(b) 3
(c)
√
7 3
16
(d) 1
(e) 0
Abschnitt 2: Aufgaben mit Lösungen
30. ABCD sei ein konvexes Viereck mit Flächeninhalt 1 FE (eine Flächeneinheit). AB und AB
sind die Grundlinien der beiden gleichschenkligen Dreiecke
∆(ABD) und ∆(BCD). Gegeben sei ∠(ADB) = 20o und
∠(BCD) = 100o (s. Bild).
Das √Produkt AC ·√BD ist dann
√
(a) 33
(b) 2 3 3
(c) 3
12
D
20o
A
(d)
√
4 3
3
100o
C
B
(e) anderes
Lösungen der Aufgaben
13
Lösungen der Aufgaben
Lösung zu Aufgabe: Wegen eigener Befangenheit hier nur ein paar
Hinweise auf Literatur, die die Bibliothek und/oder ich gern leihweise
zur Verfügung stellen:
• Albrecht Beutelspacher: Mathematik für die Westentasche; Piper Verlag 2001 120 S. 9.90 e
und viele weitere Titel
• P.J. Davis, Reuben Hersh: Erfahrung Mathematik; Birkhäuser 1985
ISBN 3-7643-1359-5
• Udo Hebisch: Bücher über Mathematik – umfangreiche (link) list;
www.mathe.tu-freiberg.de/~hebisch/cafe/cafebuecher.html
• John A. Paulos: Innumeracy – Mathematical Illiteracy and its Consequences; Penguin 1988 ISBN 0-14-012255-9
• Wilhelm Sternemann: Neue Fraktale aus platonischen Körpern; Spektrum der Wissenschaft 11/2000, www.wissenschaft-online.de/abo/spekt
Weitere Literatur-Hinweise finden sich in den oben genannten Dokumenten, s. http://www.weblearn.hs-bremen.de/risse/MAI/docs.
Ende Aufgabe
Lösungen der Aufgaben
14
Lösung zu Aufgabe: Die m + n Stifte kosten zusammen 2 m n e,
also Antwort c.
Ende Aufgabe
Lösungen der Aufgaben
15
Lösung zu Aufgabe: Die Pyramide hat also neben der Grundfläche
noch weitere 16 Flächen. Die Grundfläche hat also 16 Kanten und 16
Ecken. Jede dieser Ecken ist über eine Kante mit der Spitze verbunden. Insgesamt hat die Pyramide 32 Kanten, also Antwort d.
Ende Aufgabe
Lösungen der Aufgaben
16
Lösung
zu Aufgabe:
x2 − 2004 ≤ 0 ⇐⇒ x2 ≤ 2004 ⇐⇒ |x| ≤
√
√
2004 d.h. x = − 2004, also Antwort e.
Ende Aufgabe
Lösungen der Aufgaben
17
Lösung zu Aufgabe: Die durchschnittliche Anzahl von Tentakeln
ist (3 · 1 + 2 · 97 + 1 · 2)/100 = (3 + 194 + 2)/100 = 199/100 < 2. Also
haben die Marsianer mit 2 oder drei Tentakeln mehr Tentakel als der
Durchnitt, nämlich 97%+1%=98%, also Antwort d.
Ende Aufgabe
Lösungen der Aufgaben
18
Lösung zu Aufgabe:
Von der Gesamtfläche s2 sind zwei Diagonalen der Fläche s zu subtrahieren. Dabei wird das Quadrat der Fläche 1 in der Mitte doppelt
subtrahiert und muß deshalb wieder addiert werden, also Antwort a.
Ende Aufgabe
Lösungen der Aufgaben
19
Lösung zu Aufgabe: Offensichtlich spielen nur die Endziffern eine
Rolle.
n 1 2
3
4
5
6
7
8
9
10
n2 1 4
9 16
25
36
49
64 81 100
n3 1 8 27 64 125 216 343 512 729 1000
hit ∗
∗
∗
∗
Da nur die Endziffern eine Rolle spielen, haben alle zweistelligen Zahlen mit Endziffern 1, 5, 6 und 0 die geforderte Eigenschaft, also Antwort e.
Ende Aufgabe
Lösungen der Aufgaben
20
Lösung zu Aufgabe: Gesucht ist die Seitenlänge n > 1 des einzigen
andersartigen Quadrates, so daß alle 18 Quadrate zusammen wieder
ein Quadrat der Seitenlänge N bilden: 17 + n2 = N 2 . Per Ausschluß
Ende Aufgabe
ergibt sich n = 8 und N = 81, also Antwort c.
Lösungen der Aufgaben
21
Lösung zu Aufgabe: Die Eckpunkte des 14-Ecks seien o.B.d.A.
ej i 2π/14 für i = 0, 1, 2, . . . , 13.
y
x
Wegen das Satzes von Thales sind die Hypotenusen der rechtwinklige Dreiecke jeweils Durchmesser des (Um-) Kreises. Die Hypotenusen
oder eben Durchmesser können sieben verschiedene Positionen einnehmen und zu jeder Hypotenuse gehören 12 rechtwinklige Dreiecke
(in jedem der beiden durch den Durchmesser spezifizierten Halbraum
je sechs Dreiecke). Insgesamt gibt es also 7 · 12 = 84 rechtwinklige
Dreiecke, also Antwort c.
Ende Aufgabe
Lösungen der Aufgaben
22
Lösung zu Aufgabe: Zu Anfang befinden sich 15 Schafe und s
Schäfer auf der Weide. Die Hälfte der Schäfer und ein Drittel, nämlich
5 der Schafe ziehen weiter. Es verbleiben s/2 Schäfer und 10 Schafe
mit zusammen 2 s/2 + 4 · 10 = s + 40 = 50 Beinen. Damit ist s = 10
und zu Anfang befanden sich 20 + 4 · 15 = 80 Beine auf der Weide,
Ende Aufgabe
also Antwort c.
Lösungen der Aufgaben
23
Lösung zu Aufgabe:
A
α
r
X
Y
Wegen des Satzes des Thales ist XA ein Durchmesser. Das einbeschriebene, regelmäßige Sechseck hat die Seitenlänge r. Das einbeschriebene, regelmäßige Sechseck mit Eckpunkten X und Y hat also auch
den Eckpunkt A. Damit ist der Winkel ∠(AXY ) auch Winkel eines
der sechs gleichseitigen Dreiecke des einbeschriebenen, regelmäßigen
Sechsecks und damit ∠(AXY ) = 60o sowie α = ∠(XAY ) = 30o , also
Antwort b.
Ende Aufgabe
Lösungen der Aufgaben
24
Lösung zu Aufgabe:
y
y
x
y
x
x
(−1, −1)
(−1, −1)
(−1, −1)
y
y
x
(−1, −1)
also Anwort d.
x
(−1, −1)
Ende Aufgabe
Lösungen der Aufgaben
25
Lösung zu Aufgabe: Das Produkt ist durch vier teilbar genau dann,
wenn sich in der Ziehung zwei Karten mit einer geraden Nummer
befinden. Nachdem im schlechtesten Fall alle Karten mit ungeraden
Nummern gezogen wurden, müssen nur noch zwei Karten mit dann
notwendigerweise geraden Nummern gezogen werden, damit insgesamt 52 Karten, also Antwort b.
Ende Aufgabe
Lösungen der Aufgaben
26
Lösung zu Aufgabe: Die Bedingungen x · y ≤ 0 und |x|2 + |y|2 = 4
oder eben x2 + y 2 = 4 bedeuten, daß erstens x und y verschiedene
Vorzeichen haben und damit die Punkte (x, y) im zweiten und vierten
Quadranten und zweitens auf dem Kreis um den Ursprung mit Radius
2 liegen, also Antwort c.
Ende Aufgabe
Lösungen der Aufgaben
27
Lösung zu Aufgabe: Verdoppeln des Dreiecks ∆(ACE) ergänzt das
Viereck (ABDE) zum gleichseitigen Dreieck ∆(BDF ).
F
A
E
B
C
D
√
Das Dreieck ∆(BDF ) hat die Fläche |∆(BDF )| = 43 (2 + 1)2 =
√
√
√
√
9 43 = 43 22 + 43 12 + 2|∆(ACE)| = 5 43 + 2|∆(ACE)| und damit
√
|∆(ACE)| = 23 , so daß sich der Flächeninhalt des Vierecks ABDE
√
√
√
zu 43 22 + 23 = 32 3 bestimmt, also Antwort e.
Ende Aufgabe
Lösungen der Aufgaben
28
Lösung zu Aufgabe: Die Menge M = {ao + 3 a1 + 9 a2 + 27 a3 +
81 a4 ∈ N : ai ∈ {−1, 0, 1} für i = 0, 1, 2, 3, 4} läßt sich als Baum
darstellen (hier nur a0 + 3a1 + 9a2 ):
−10
−5
0
M
z
}|
{
Wegen 1 + 3 + 9 + 27 + 81 = 121 ist offensichtlich {ao + 3 a1 +
9 a2 + 27 a3 + 81 a4 ∈ N : ai ∈ {−1, 0, 1} für i = 0, 1, 2, 3, 4} =
{−121, −120, . . . , 0, . . . , 120, 121} und damit |M | = 121, also Antwort
d.
Ende Aufgabe
Lösungen der Aufgaben
29
Lösung zu Aufgabe: Es gilt
q
q
√
√ 2
x =
22 + 12 2 − 22 − 12 2
q
q
√
√
√
√
= (22 + 12 2) − 2 22 + 12 2 22 − 12 2 + (22 − 12 2)
q
√
√
= 22 − 2 (22 + 12 2)(22 − 12 2) + 22
p
√
√
= 44 − 2 222 − 144 · 2 = 44 − 2 484 − 288 = 44 − 2 196
= 44 − 2 · 14 = 44 − 28 = 16 = 24
also Antwort c.
Ende Aufgabe
Lösungen der Aufgaben
30
Lösung zu Aufgabe: Das regelmäßige 16-Eck besteht aus 16 identischen spitzen Dreiecken mit kleinstem Winkel α = 360/16 = 45/2 =
22.5o und β = γ = (180o − α)/2 = 78.25o . Die Innenwinkelsumme s
ist damit s = 16(180o − α) = 16 · 180o − 360o = 7 · 360o . Ein Siebtel
dieser Innenwinkelsumme ist 360o , nämlich zugleich die Innen- und
Außenwinkelsumme von Vierecken, also Antwort b.
Ende Aufgabe
Lösungen der Aufgaben
31
Lösung zu Aufgabe: Sei R = 6.
6
R
r
K
r
r
√
√
Gesucht ist also
r mit R = r + r 2 = r( 2 + 1). Daher gilt r =
√
√
R( 2−1)
√R
√
= (√2+1)(
= 6( 2 − 1), also Antwort e.
Ende Aufgabe
2+1
2−1)
Lösungen der Aufgaben
32
Lösung zu Aufgabe: Wegen an = q n−1 a1 für n > 0 folgt aus q 2 a1 =
a3 < a2 = q a1 = a2 < a4 = q 3 a1 bei Division durch q a1 eben
q < 1 < q 2 falls q a1 > 0 oder q > 1 > q 2 falls q a1 < 0. Letzte
Alternative ist unmöglich, so daß sich q < 0, sogar q < −1 und a1 < 0
ergibt. Das heißt insbesondere a3 · a4 = q 5 a21 < 0 und damit scheidet
Antwort a aus. Des weiteren ist a2 · a3 = q 3 a21 < 0, also Antwort b.
Ende Aufgabe
Lösungen der Aufgaben
33
Lösung zu Aufgabe: Die ersten Potenzen von 11
n
11n
1
11
2
121
3
1331
4
14641
5
161051
6
1771561
7
19487171
n
8
9
10
11
11n 214358881 2357947691 25937424601 285311670611
legen die Hypothese nah, daß die vorletzte Ziffer von 11n mit der
letzten Ziffer von n übereinstimmt, wie sich per Induktion zeigen läßt:
die letzte Ziffer von Potenzen von 11 ist 1 und bei jeder Multiplikation
mit 11 wird nämlich die vorletzte Ziffer
modulo 10 inkrementiert:
Für
n = 2004 ist somit (11n ) mod 100 /10 = (112004 ) mod 100 /10 =
Ende Aufgabe
2004 mod 10 = 4, also Antwort e.
Lösungen der Aufgaben
34
Lösung zu Aufgabe: Die Wähler verteilen sich wie folgt:
46%
54%
Broccoli-Esser
Broccoli-Partei
10% derjenigen, die nicht Broccoli-Partei wählen, essen Broccoli. Sei x
der Stimmen-Anteil für die Broccoli-Partei. Dann gilt x + 0.1(1 − x) =
0.46, also x + 0.1 − 0.1 x = 0.46 oder eben 0.9 x = 0.36, d.h. x = 0.4
oder eben ein Stimmen-Anteil von 40% für die Broccoli-Partei, also
Antwort a.
Ende Aufgabe
Lösungen der Aufgaben
35
Lösung zu Aufgabe: Durch eine Scherung kann das Parallelogramm
in ein Rechteck mit Seiten a und b überführt werden. Dabei ändern
sich die Flächen des Parallelogramms und der Dreiecke nicht. Weil sich
die Höhen gegenüberliegender Dreiecke jeweils zu a oder zu b summieren, summieren sich die Flächen gegenüberliegender Dreiecke zu 12 a b.
Dieser Umstand entsprechen die Verhältnisse der Dreiecksflächen
4,5,8,9
5,6,7,12
10,11,12,19
11,13,15,16
also Antwort a.
da 4 + 9 = 13 = 5 + 8
nicht, da 5 + 12 = 17 6= 13 = 6 + 7
nicht, da 10 + 19 = 29 6= 23 = 11 + 12
nicht, da 11 + 16 = 27 6= 28 = 13 + 15
Ende Aufgabe
Lösungen der Aufgaben
36
Lösung zu Aufgabe: Verschieben des Graphens von f um eine Einheit nach rechts und Spiegeln an der x-Achse überführt den Graphen
von f in den um eine Einheit nach links verschobenen Graphen von
Ende Aufgabe
g, also Antwort e.
Lösungen der Aufgaben
37
Lösung zu Aufgabe: Das gleichseitige Dreieck ∆(ABC)
mit Sei√
√
tenlänge a = 4 hat den Flächeninhalt |∆(ABC)| = 43 a2 = 4 3.
C
A
B
Der Kreissektor ∠(r, 60o ) mit Radius r und Zentrumswinkel 60o hat
den Flächeninhalt |∠(r, 60o )| = π6 r2 .
√
Gesucht ist also r mit |∠(r, 60o )| = π6 r2 = 12 |∆(ABC)| = 2 3, d.h.
q
√
√
r2 = 12
3 und damit r = 12
3, also Antwort a.
Ende Aufgabe
π
π
Lösungen der Aufgaben
38
Lösung zu Aufgabe: Die ersten paar Schritte gehen so:
Position
initial
1.Schritt
2.Schritt
3.Schritt
4.Schritt
1
0
1
1
1
1
2
0
1
2
2
2
3
0
1
1
2
2
4
0
1
2
2
3
5
0
1
1
1
1
6
0
1
2
3
3
7
0
1
1
1
1
8
0
1
2
2
3
9
0
1
1
2
2
10
0
1
2
2
2
. . . 120 . . . 200
... 0
... 0
... 1
... 1
... 2
... 2
... 3
... 2
... 3
... 3
..
..
.
.
Relevant sind also nur die ersten 120 Schritte: dabei wird der Zähler
an der Position 120 so oft inkrementiert, wie es Teiler von 120 gibt.
Wegen 120 = 23 · 3 · 5 gibt es 4 · 2 · 2 = 16 nicht notwendig echte Teiler,
Ende Aufgabe
also Antwort a.
Lösungen der Aufgaben
39
Lösung zu Aufgabe: Auf jeder Seite des Ausgangsdreiecks liegen 6
Punkte. Der 7. Punkt jeder Seite gehört also zu ¨nächsten¨ Seite.
Es gibt zwei verschiedene Arten von Punkt-Verbindungsdreiecken:
1. Alle Punkte des Dreiecks liegen auf verschiedenen Seiten des
Ausgangsdreiecks: ein Punkt von jeder Seite, d.h. 63 = 216 Dreiecke (Variation mit Wiederholung).
2. Zwei Punkte liegen auf einer Seite des Ausgangsdreiecks und
ein Punkt liegt auf einer anderen Seite des Ausgangsdreiecks:
zwei Punkte auf einer Seite zu wählen, ergibt 62 = 6·5
1·2 = 15
(Kombination ohne Wiederholung) Dreiecke. Der dritte Punkt
liegt dann auf einer der anderen beiden Seiten. Das sind aber
nicht 12 sondern nur 11 Positionen, da die 12. Position ja wieder
auf der ersten Seite liegt! Das Ganze mal drei (für jede Seite, auf
der die ersten beiden Punkte liegen können), ergibt 15 · 11 · 3 =
495 Dreiecke.
Zusammen gibt es 216 + 495 = 711 Dreiecke, also Antwort b.
Ende Aufgabe
Lösungen der Aufgaben
40
Lösung zu Aufgabe: Wegen
123 + 132 + 213 + 231 + 312 + 321 = 1332
und
124 + 142 + 214 + 241 + 412 + 421 = 1554
sowie spaßeshalber
134 + 143 + 314 + 341 + 413 + 431 = 1776
gilt also Antwort b.
Ende Aufgabe
Lösungen der Aufgaben
41
Lösung zu Aufgabe: Sei q(n) die Quersumme von n. Ausprobieren
m
9
m2
81
q(m2 ) 9
99
9801
18
999
9999
99999
999999
998001 99980001 9999800001 999998000001
27
36
45
54
 n

 999

z }| {2
z }| {2
liefert die Hypothese q  9 . . . 9  = 9 n und so q  9 . . . 9  =
9 · 999 = 8991, also Antwort b.
Ende Aufgabe
Lösungen der Aufgaben
42
Lösung zu Aufgabe: Sei y = sin 75o und x = cos 75o gesetzt, so daß
√
√
1 − cos 150o
1 + 3/2
2+ 3
2
y =
=
=
2
2
4
√
√
o
1
−
2
−
1
+
cos
150
3/2
3
2
=
=
x =
2
2
4
folgt. Der Binomische Lehrsatz liefert
√ 4
√
√ 2
√ 3 √ 4
3)
1
y 8 = (2+256
= 256
16 + 4 · 8 3 + 6 · 4 3 + 4 · 2 3 + 3
√ 4
√
√ 2
√ 3 √ 4
1
16 − 4 · 8 3 + 6 · 4 3 − 4 · 2 3 + 3
x8 = (2−2563) = 256
√ 3
√
1
y 8 − x8 = 128
4·8 3+4·2 3
und damit
√
√ 7 3
1 √
y −x =
4 3+3 3 =
16
16
8
also Antwort c.
8
Ende Aufgabe
Lösungen der Aufgaben
43
Lösung zu Aufgabe:
Wegen ∠(ADB) = 20o , ∠(BCD) = 100o ,
D
∠(DAB) = ∠(ABD) = 80o und ∠(CDB) =
∠(DBC) = 40o ergänzen sich gegenüberliegende Winkel im Viereck zu 180o . Dann exis20o
100o
C
tiert ein Umkreis: das Viereck ist ein SehnenM
viereck. Sei M der Mittelpunkt des Umkreises. M liegt auf der Winkelhalbierenden von
∠(ADB). Dann ist ∠(AM D) = 160o und damit ∠(ACD) = 80o , so daß für den SchnittA
B
winkel der Diagonalen ϕ = 60o gilt.
Das Viereck (ABCD) hat die Fläche 1 = A = 12 |AC| · |BD| sin ϕ =
√
3
4 |AC| · |BD|, so daß sich
4
4√
|AC| · |BD| = √ =
3
3
3
ergibt, also Antwort d.
Ende Aufgabe