1 Die Cramersche Regel

Abbildungsverzeichnis
Inhaltsverzeichnis
1
Die Cramersche Regel
Man betrachte das Lineare Gleichungssystem Ax = b mit der Koeffizientenmatrix A und dem
Lösungsvektor b.
Die Cramersche Regel ist nur anwendbar, falls die Determinante der Koeffizientenmatrix ungleich Null ist.
Bei Anwendung der Cramerschen Regel werden Spalten der Koeffizientenmatrix durch den
Lösungsvektor des Linearen Gleichungssystems ersetzt.
Man erhält die Matrix Ai , indem man die i.Spalte der Koeffizientenmatrix durch den Lösungsvektor
des Linearen Gleichungssystems ersetzt.
Die Lösungen xi des Linearen Gleichungssystems berechnen sich dann zu
|Ai |
, dabei bezeichnet |A| die Determinante der Koeffizientenmatrix A, |A| = det(A),
|A|
und |Ai | die Determinante der Matrix Ai .
xi =
1.1
Aufgabe 1
Für welchen Wert des Parameters λ gibt es eine, keine, genau eine bzw. unendlich viele
Lösungen? Begründen Sie mit Hilfe der Cramerschen Regel und berechnen Sie die Lösung in
Abhängigkeit von λ.
λ 2
x1
3
=
4 5
x2
6
λ 2
3 2
λ 3
Sei A =
, A1 =
, A2 =
4 5
6 5
4 6
Für die Cramersche Regel sind die Determinanten |A|, |A1 |, |A2 | zu bestimmen.
Bestimmung der Determinante einer (2, 2)-Matrix
a11 a12
Sei A =
a21 a22
Dann gilt:
|A| = a11 · a22 − a12 · a21 .
Bestimmung der Determinanten von A, A1 , A2
|A| = λ · 5 − 2 · 4 = 5λ − 8
|A1 | = 3 · 5 − 2 · 6 = 15 − 12 = 3
1
|A2 | = λ · 6 − 3 · 4 = 6λ − 12
Bestimmung der Lösungen in Abhängigkeit des Parameters λ
(1) Das lineare Gleichungssystem ist eindeutig lösbar, falls |A| =
6 0 gilt.
8
Es folgt: |A| =
6 0 impliziert 5λ − 8 6= 0, 5λ 6= 8, λ 6=
5
Hierfür existieren die eindeutig bestimmten Lösungen
|A2 |
|A1 |
, x2 =
|A|
|A|
3
6λ − 12
x1 =
, x2 =
5λ − 8
5λ − 8
8
(2) Für λ = gibt es keine eindeutig bestimmte Lösung.
5
x1 =
Untersuchung der Aufgabe für λ =
8
5
8
Die erweiterte Koeffizientenmatrix des Linearen Gleichungssystem lautet für λ =
5
8
2 3
5
4 5 6
Multiplikation der ersten Zeile mit 5 und der zweiten Zeile mit −2 ergibt
8
10 15
−8 −10 −12
Addition der ersten zur zweiten Zeile ergibt
8 10 15
0 0 3
Für dieses Gleichungssystem gibt es keine Lösung.
2
Abbildungsverzeichnis
Abbildungsverzeichnis
3
Inhaltsverzeichnis
1 Die Cramersche Regel
1.1 Aufgabe 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1
1