Musterlösung zur Klausur Lineare Algebra I

Musterlösung zur Klausur Lineare Algebra I
Aufgabe 1, Version A (5 Punkte):
Welche der folgenden Aussagen sind wahr bzw. falsch? Setzen Sie in jeder Zeile
genau ein Kreuz. Für jede korrekte Antwort erhalten Sie 0,5 Punkte, für jede falsche
0 Punkte. Eine Begründung ist nicht erforderlich.
wahr
falsch
X
¤
¤
X
¤
X
X
¤
¤
X
Eine Abbildung f : M → M ist genau dann surjektiv,
wenn f ◦ f surjektiv ist.
X
¤
Es gibt einen R-Vektorraum mit genau 13 Elementen.
¤
X
Für alle Matrizen M, M ′ ∈ R2×2 gilt
M · M′ = M′ · M.
¤
X
Es existiert ein R-Untervektorraum U von R2 , so dass
U ⊕ ⟨(1, 0)⟩ = R2 und U ⊕ ⟨(0, 1)⟩ = R2 gilt.
X
¤
Sei U ein R-Untervektorraum eines R-Vektorraums V .
Dann gilt dimR (V /U ) = dimR (V )/ dimR (U ).
¤
X
(
1
2
) (
,
2
3
) (
,
3
4
)
ist ein Erzeugendensystem
des R-Vektorraums R2 .
(
1
i
) (
,
−i
1
)
ist eine Basis des C-Vektorraums C2 .
In jedem Körper gilt 1 + 1 ̸= 0.
Die Relation auf Z
x ∼ y :⇐⇒ x + y ist gerade (x, y ∈ Z)
ist eine Äquivalenzrelation.
Die Abbildung Q2 → R, (q1 , q2 ) 7→ q1 + q2 ·
ist nicht injektiv.
√
2
Aufgabe 1, Version B (5 Punkte):
Welche der folgenden Aussagen sind wahr bzw. falsch? Setzen Sie in jeder Zeile
genau ein Kreuz. Für jede korrekte Antwort erhalten Sie 0,5 Punkte, für jede falsche
0 Punkte. Eine Begründung ist nicht erforderlich.
wahr
falsch
X
¤
X
¤
X
¤
¤
X
X
¤
Eine Abbildung f : M → M ist genau dann surjektiv,
wenn f ◦ f surjektiv ist.
X
¤
Es gibt keinen R-Vektorraum mit genau 13 Elementen.
X
¤
Es gibt Matrizen M, M ′ ∈ R2×2 mit
M · M ′ ̸= M ′ · M .
X
¤
Es existiert ein R-Untervektorraum U von R2 , so dass
U ⊕ ⟨(1, 0)⟩ = R2 und U ⊕ ⟨(0, 1)⟩ = R2 gilt.
X
¤
Sei U ein R-Untervektorraum eines R-Vektorraums V .
Dann gilt dimR (V /U ) = dimR (V )/ dimR (U ).
¤
X
(
1
2
) (
,
2
3
) (
,
3
4
)
ist ein Erzeugendensystem
des R-Vektorraums R2 .
(
1
i
) (
,
−i
1
)
ist keine Basis des C-Vektorraums C2 .
Es gibt einen Körper, in dem 1 + 1 = 0 gilt.
Die Relation auf Z
x ∼ y :⇐⇒ x + y ist gerade (x, y ∈ Z)
ist keine Äquivalenzrelation.
Die Abbildung Q2 → R, (q1 , q2 ) 7→ q1 + q2 ·
ist injektiv.
√
2
Aufgabe 2, Version A (5 Punkte):
Geben Sie das richtige Ergebnis an. Eine Begründung ist nicht erforderlich.
a) Bestimmen

1
 2

Rang(
 1
2
Sie den Rang folgender reeller Matrix.

1 0 1
3 1 2 

) = 3
2 3 4 
(1 P.)
2 4 8
b) Bestimmen Sie die inverse Matrix in R2×2 .
(
)−1 (
)
2 3
2 −3
=
1 2
−1 2
(1 P.)
c) Geben Sie einen Vektor b ∈ R3 an, für den das Gleichungssystem


2 3
1


 3 −2 −2  · x = b
5 1 −1
(x ∈ R3 )

1

b= 0
0
keine Lösung besitzt.



(1 P.)
(Korrekte Lösungen sind die Vektoren (b1 , b2 , b3 ) mit b1 + b2 ̸= b3 .)
d) Bestimmen Sie das Signum folgender Permutation.
(
)
1 2 3 4 5
sgn
= −1
4 5 2 1 3
e) Berechnen Sie das Produkt folgender reeller Matrizen.




(
)
1 2
5 2 1
1 0 1




= 4 1 2 
 2 1 ·
2 1 0
1 1
3 1 1
f) dimR (R4×5 ) = 20
(1 P.)
(0,5 P.)
(0,5 P.)
Aufgabe 2, Version B (5 Punkte):
Geben Sie das richtige Ergebnis an. Eine Begründung ist nicht erforderlich.
a) Bestimmen

1
 2

Rang(
 1
2
Sie den Rang folgender reeller Matrix.

1 0 1
3 1 2 

) = 4
2 3 4 
(1 P.)
2 4 9
b) Bestimmen Sie die inverse Matrix in R2×2 .
(
)−1 (
)
3 2
−1 2
=
2 1
2 −3
(1 P.)
c) Geben Sie einen Vektor b ∈ R3 an, für den das Gleichungssystem


3 2 1


 −2 3 −2  · x = b
1 5 −1
(x ∈ R3 )

1

b= 0
0
keine Lösung besitzt.



(1 P.)
(Korrekte Lösungen sind die Vektoren (b1 , b2 , b3 ) mit b1 + b2 ̸= b3 .)
d) Bestimmen Sie das Signum folgender Permutation.
(
)
1 2 3 4 5
sgn
= −1
5 4 2 3 1
e) Berechnen Sie das Produkt folgender reeller Matrizen.




(
)
1 1
3 1 1
1 0 1




= 4 1 2 
 2 1 ·
2 1 0
1 2
5 2 1
f) dimR (R5×3 ) = 15
(1 P.)
(0,5 P.)
(0,5 P.)
Aufgabe 3 (3,5 Punkte):
Für a ∈ R definieren wir die Abbildung
fa : R2 → R2 , (x, y) 7→ (ax + y, x + ay).
a) Zeigen Sie, dass die Abbildungen fa (a ∈ R) R-linear sind.
(1 P.)
b) Bestimmen Sie det(fa ) in Abhängigkeit von a.
Für welche a ∈ R gilt det(fa ) = 0?
(1 P.)
c) Erläutern Sie kurz, warum mit der vorherigen Teilaufgabe Bild(fa ) = R2 für
alle a ∈ R \ {±1} folgt.
(0,5 P.)
d) Bestimmen Sie jeweils eine Basis für Bild(f1 ) und Bild(f−1 ).
(1 P.)
Lösung:
a) Die Abbildung fa ist R-linear, da für alle x1 , x2 , y1 , y2 , r ∈ R gilt:
(
)
fa (x1 , y1 ) + (x2 , y2 ) = fa (x1 + x2 , y1 + y2 ) =
(
)
a(x1 + x2 ) + (y1 + y2 ), (x1 + x2 ) + a(y1 + y2 ) =
(ax1 + y1 , x1 + ay1 ) + (ax2 + y2 , x2 + ay2 ) = fa (x1 , y1 ) + fa (x2 , y2 ) (0,5 P.)
(
)
fa r(x1 , y1 ) = fa (rx1 , ry1 ) = (arx1 + ry1 , rx1 + ary1 ) =
r(ax1 + y1 , x1 + ay1 ) = rfa (x1 , y1 )
(0,5 P.)
(
)
a 1
b) det(fa ) = det(
) = a2 − 1
(0,5 P.)
1 a
det(fa ) = 0 ⇐⇒ a ∈ {±1}
(0,5 P.)
c) a ∈ R \ {±1} =⇒ det(fa ) ̸= 0 =⇒ fa bijektiv =⇒ fa surjektiv,
d.h. Bild(fa ) = R2
(0,5 P.)
¯
¯
{
} {
}
d) Bild(f1 ) = (x + y, x + y) ¯ x, y ∈ R = (z, z) ¯ z ∈ R
Basis für Bild(f1 ): (1, 1)
(0,5 P.)
(Korrekte Lösungen sind auch alle anderen Vektoren (z, z) mit z ̸= 0.)
¯
¯
{
} {
}
Bild(f−1 ) = (−x + y, x − y) ¯ x, y ∈ R = (z, −z) ¯ z ∈ R
Basis für Bild(f−1 ): (1, −1)
(0,5 P.)
(Korrekte Lösungen sind auch alle anderen Vektoren (z, −z) mit z ̸= 0.)
Aufgabe 4 (3 Punkte):
Auf der Menge G := {(x1 , x2 , x3 ) ∈ Q3 | x1 ̸= 0 und x3 ̸= 0} ist die Multiplikation
(x1 , x2 , x3 ) · (y1 , y2 , y3 ) := (x1 y1 , x1 y2 + x2 y3 , x3 y3 ) definiert.
a) Zeigen Sie, dass G bezüglich dieser Multiplikation eine Gruppe ist.
(Tipp: Prüfen Sie zunächst, ob (1, 0, 1) das neutrale Element ist.)
(1,5 P.)
b) Geben Sie ein x ∈ G mit x · (1, 1, 1) ̸= (1, 1, 1) · x an.
(0,5 P.)
c) Beweisen oder widerlegen Sie:
Es gibt unendlich viele Elemente x ∈ G mit x · x = (1, 0, 1).
(1 P.)
Lösung:
a) (1, 0, 1) ist das neutrale Element, denn für alle (x1 , x2 , x3 ) ∈ G gilt
(x1 , x2 , x3 ) · (1, 0, 1) = (x1 · 1, x1 · 0 + x2 · 1, x3 · 1) = (x1 , x2 , x3 ) und
(1, 0, 1) · (x1 , x2 , x3 ) = (1 · x1 , 1 · x2 + 0 · x3 , 1 · x3 ) = (x1 , x2 , x3 ).
(0,5
−1
−1
−1
Das inverse Element von (x1 , x2 , x3 ) ∈ G ist (x1 , −x1 x2 x3 , x3 −1 ),
denn (x1 , x2 , x3 ) · (x1 −1 , −x1 −1 x2 x3 −1 , x3 −1 ) =
(x1 x1 −1 , −x1 x1 −1 x2 x3 −1 + x2 x3 −1 , x3 x3 −1 ) = (1, 0, 1)
und (x1 −1 , −x1 −1 x2 x3 −1 , x3 −1 ) · (x1 , x2 , x3 ) =
(x1 −1 x1 , x1 −1 x2 − x1 −1 x2 x3 −1 x3 , x3 −1 x3 ) = (1, 0, 1).
(0,5
Assoziativität: Für alle (x1 , x2 , x3 ), (y1 , y2 , y3 ), (z1 , z2 , z3 ) ∈ G gilt
(
)
(x1 , x2 , x3 ) · (y1 , y2 , y3 ) · (z1 , z2 , z3 ) =
(x y , x y + x2 y3 , x3 y3 ) · (z1 , z2 , z3 ) =
( 1 1 1 2
)
x1 y1 z1 , x1 y1 z2 + (x1 y2 + x2 y3 )z3 , x3 y3 z3 =
(
)
x1 y1 z1 , x1 (y1 z2 + y2 z3 ) + x2 y3 z3 , x3 y3 z3 =
(x1 , x2 , x3 ) · (y1 z1 , y1 z2 + y2 z3 , y3 z3 ) =
(
)
(x1 , x2 , x3 ) · (y1 , y2 , y3 ) · (z1 , z2 , z3 ) .
(0,5
(Es wurde nicht erwartet, dass die Abgeschlossenheit der Menge G bzgl.
Multiplikation nachgeprüft wird.)
P.)
P.)
P.)
der
b) Für x := (1, 1, 2) gilt x · (1, 1, 1) = (1, 2, 2) ̸= (1, 3, 2) = (1, 1, 1) · x. (0,5 P.)
(Korrekte Lösungen sind auch alle anderen (x1 , x2 , x3 ) ∈ G mit x1 ̸= x3 .)
c) Es gibt unendlich viele x ∈ G mit x · x = (1, 0, 1),
denn für alle r ∈ Q gilt (1, r, −1) · (1, r, −1) = (1, 0, 1).
(Es gibt noch weitere Elemente x ∈ G mit x · x = (1, 0, 1).)
(0,5 P.)
(0,5 P.)
Aufgabe 5 (2,5 Punkte):
Sei f : R2 → R2 eine R-lineare Abbildung. Wir definieren
¯
{
}
Uf := (x, y) ∈ R2 ¯ f (x, y) = (y, x) .
a) Zeigen Sie, dass Uf ein R-Untervektorraum von R2 ist.
b) Beweisen Sie: Uf ∩ Kern(f ) = {(0, 0)}
(1,5 P.)
(1 P.)
Lösung:
a) Wegen f (0, 0) = (0, 0) gilt (0, 0) ∈ Uf und somit Uf ̸= ∅.
(0,5 P.)
Für (x1 , y1 ), (x2 , y2 ) ∈ Uf gilt f (x1 , y1 ) = (y1 , x1 ) und f (x2 , y2 ) = (y2 , x2 ).
Wegen der Linearität von f folgt f (x1 + x2 , y1 + y2 ) = f (x1 , y1 ) + f (x2 , y2 ) =
(y1 , x1 ) + (y2 , x2 ) = (y1 + y2 , x1 + x2 ) und somit (x1 , y1 ) + (x2 , y2 ) = (x1 +
x2 , y1 + y2 ) ∈ Uf .
(0,5 P.)
Für r ∈ R und (x, y) ∈ Uf gilt (wegen der Linearität von f ) f (rx, ry) =
rf (x, y) = r(y, x) = (ry, rx) und daher r(x, y) = (rx, ry) ∈ Uf .
(0,5 P.)
b) “⊆”: Sei (x, y) ∈ Uf ∩ Kern(f ). Dann folgt (y, x) = f (x, y) = (0, 0) und somit
(x, y) = (0, 0).
(0,5 P.)
“⊇”: Da Uf , Kern(f ) ⊆ R2 Untervektorräume sind, gilt (0, 0) ∈ Uf und (0, 0) ∈
Kern(f ). Es folgt (0, 0) ∈ Uf ∩ Kern(f ).
(0,5 P.)
Benotung der Klausur:
Die Klausur ist bestanden, falls insgesamt mindestens 7,5 Punkte und bei den
Aufgaben 3 bis 5 zusammen mindestens 3 Punkte erreicht wurden. Bei bestandener
Klausur wird die Note gemäß folgender Tabelle festgelegt:
Punkte
18,5 - 19
17,5 - 18
16,5 - 17
15,5 - 16
14,5 - 15
13,5 - 14
12,5 - 13
11,5 - 12
10,5 - 11
7,5 - 10
Note
1,0 (sehr gut)
1,3 (sehr gut –)
1,7 (gut +)
2,0 (gut)
2,3 (gut –)
2,7 (befriedigend +)
3,0 (befriedigend)
3,3 (befriedigend –)
3,7 (ausreichend +)
4,0 (ausreichend)
Die Klausur ist nicht bestanden, falls insgesamt weniger als 7,5 Punkte oder bei
den Aufgaben 3 bis 5 zusammen weniger als 3 Punkte erreicht wurden. In diesem
Fall wird die Klausur mit 5,0 (nicht ausreichend) benotet.