23 Induktion

Induktion
1. Induktion Phänomenologie
2. Induktion in einem zeitlich veränderlichen
Magnetfeld:
i. Induktionsgesetz
ii. Lenzsche Regel
iii. Wirbelströme
3. Induktivität einer Leiteranordnung:
i. Gegeninduktivität
ii. Selbstinduktivität
iii. Schalten von Strömen bei Induktivitäten
4. Anwendungen
5. Maxwellscher Verschiebungsstrom
Induktion Grundversuche
Ausschlag hängt ab:
Geschwindigkeit der Änderung
Stärke des Magnetfeldes
Anzahl der Windungen
Vorzeichen bzw. Richtung der Änderung
1
Induktion mit Elektromagneten
Zeitlich konstantes Magnetfeld
Spule von Gleichstrom durchflossen
U
U (t )
Spannung wird in zweiter Spule induziert, wenn:
Spule bewegt wird
Spule gedreht wird
Magnetfeld ein bzw. aus geschalten wird
Was wird induziert Strom oder Spannung?
Erzeugt der Induktionsvorgang einen
a) Stromstoß Q = ∫ I dt
b) Spannungsstoß Φ = ∫ U dt
Falls
a) Strom unabhängig von Widerstand R
Uind
A
R
b) Strom abhängig von Widerstand R
Es trifft b zu ⇒ Spannung wird induziert
2
Magnetischer Fluss Φ
Magnetischer Fluss Φ ist ein Maß für die Anzahl der Feldlinien, die eine
Fläche A durchsetzen
B
A
Φ: = ∫ B d A
A
[Φ] = [A] [B] = m2 Vs/m2 = Vs = Wb (Weber)
In einem homogenen Magnetfeld gilt
A
B
rr
Φ = BA
Φ = BA cos( B A) = Bn A
Steht das Magnetfeld nicht senkrecht auf die Fläche A, spielt für den
Betrag des Flusses nur die Normalkomponente von B eine Rolle
Faradaysches Induktionsgesetz
Ein Magnetfeld induziert in einer Leiterschleife
eine Spannung Uind, wenn
1. das von der Leiterschleife umschlossene
Magnetfeld B sich verändert,
2. die Fläche A der Leiterschleife, die von dem
Magnetfeld durchsetzt wird, sich verändert.
Faraday'sches Induktionsgesetz:
Die in einer Leiterschleife induzierte Spannung
Uind ist gleich der zeitlichen Änderung des
magnetischen Flusses durch die Leiterschleife
.
U ind
dΦ
= −N
dt
M. Farady
1791-1867
N Anzahl der Leiterschleifen bzw. Windungszahl der Spule
3
Wie macht man Flussänderung?
1. Flussänderung durch Änderung des Magnetfeldes
i) Änderung eines Spulenstromes
ii) Änderung von Abstand oder Orientierung eines zeitlich
konstanten Magnetfeldes
2. Flussänderung durch Änderung der Fläche
Leiterschleife bzw. Spule mit Fläche A in
homogenen Magnetfeld B gedreht
2
L
1
jϕ
r v
Φ = ∫ B ⋅ dA = B ⋅ A ⋅ cos ϕ
U ind = −
dΦ
= +B ⋅ A ⋅ ω sin ωt
dt
r
B
3
ϕ = ωt
r
4
ω
Induktionsspannung durch Bewegung
,w
=0
eil
st
kon
=
B
Induzierte Spannung Uind = - dΦ/dt= - (B dA/dt + A dB/dt)
Leiter bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit in x-Richtung
⇒ Fläche A ändert sich
A1 = ℓ x → A2 = ℓ (x + dx) mit dx = vx dt und N Windungen
Uind = -N B dA/dt = -N B ℓ vx
In Leiter wird Spannung induziert, auch wenn er sich mit konstanter
Geschwindigkeit im Magnetfeld bewegt
4
Bewegter Leiter im Magnetfeld
Gerader Leiter wird im Magnetgeld bewegt: Lorentzkraft auf Elektronen
Ladungstrennung
Elektrisches Feld
Kräftegleichgewicht
elektrische Kraft = Lorentzkraft
Uind
qE = qvB
E = vB
U
E ∝ = vB
l
U ind = l v B
Fmagn
Das heißt: ein bewegter Beobachter (Elektron) sieht beim Flug durch ein
Magnetfeld ein elektrisches Feld. Aber der ruhende Beobachter im
Labor nicht!
Ein zeitlich veränderliches B-Feld ist umgeben von einem
elektrischen Wirbelfeld
Wirbelfeld
Elektrostatik
Induktion
-
+
ds
E
Feldlinien gehen von + nach Quellenfeld
Integral längs geschlossenen Weges
r r
∫ Ed s = 0
Uind
Potenzial: keine Arbeit wenn
geschlossene Kurve,
Potenzialdifferenz U = 0
wegen (W=eU)
E
Magnet
v
Feldlinien sind geschlossen:
Wirbelfeld
Integral längs geschlossenen Weges
r r
dΦ
E
∫ ds = Uind = −N dt ≠ 0
Potenzial keine richtige
Beschreibung mehr
Potenzialdifferenz ≠ 0 nach
vollständigem Umlauf
5
Wirbelfeld
E
A
Magnet
v
A
Strom fließt wenn:
Stromkreis geschlossen
Spannungsquelle vorhanden
Strom fließt wenn:
Stromkreis geschlossen
Stromkreis von zeitlich veränderlichem
Fluss Φ durchsetzt wird
„keine Spannungsquelle“ notwendig
Differenzielles Induktionsgesetz
dΦ
Einsetzen der Definitionen
dt
r r
d r r
=
−
E
d
s
Bd A
∫
dt ∫
Stokescher Integralsatz
r r
r
r
d
=
−
rot
E
d
A
B
d
A
∫
dt ∫
r
r
dB
Gilt immer
rotE = −
dt
U ind = −
r
rotE = 0
Gilt nur in der Elektrostatik
6
Elektrisches Wirbelfeld
Das elektrische Feld, das Uind erzeugt existiert unabhängig
von der Leiterschleife!
r
E
r
B (t )
r
E
dΦ
>0
dt
r
B (t )
dΦ
<0
dt
Ein zeitlich veränderliches B-Feld ist umgeben
von einem elektrischen Wirbelfeld
r
B (t )
Lenzsche Regel
Leiterschleife Fläche A
Änderung des Flusses Φ(t) = B(t) A
Spannung wird induziert: Uind = -dΦ/dt
Strom fließt in Leiterschleife Iind= Uind/R
Induziertes Magnetfeld Bind
durch Iind erzeugt
Heinrich Friedrich
Emil Lenz
( 1804-1865 )
Induzierter Strom Iind
Der in einer Schleife induzierte Strom erzeugt selbst einen
magnetischen Fluss, der so gerichtet ist, dass er der Änderung
des ursprünglichen Flusses entgegenwirkt:
Lenz‘sche Regel
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Thomsonscher Ring
Magnetfeld ein
Spannung in Ring induziert
Stromrichtung entsprechend Lenzscher Regel
Bspule
Strom im
Ring
I = Uind /R
Alu Ring
Strom in Spule
Spule
Gegensinnig fließende Ströme stoßen
einander ab
Geschlitzter Ring: kein Strom Ring wird nicht beschleunigt
Waltenhofen‘sches Pendel
Kupferplatte
geschlitzt
Kupferplatte
Kupferplatte
Adalbert von
Waltenhofen
( 1828 - 1914 )
Massive Kupferplatte Magnetfeld ein: starke Bremswirkung
Geschlitzte Kupferplatte, Magnetfeld ein: schwache Bremswirkung
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Waltenhofensches Pendel
Modell für Bremswirkung
Ring tritt in Magnetfeld mit v ein
⇒ Kraft auf Ladungsträger Bewegung mit v
⇒ Stromfluss I (techn. Stromrichtung)
⇒ Kraft F* auf stromdurchflossenen Leiter
F* = L I B entgegen der Bewegungsrichtung
⇒ Bremswirkung Wirbelstrombremse
Ring ganz im Magnetfeld: keine Kraftwirkung
Ring verlässt Magnetfeld mit v
bremsende Wirkung (siehe oben)
Waltenhofensches Pendel
Beim Eintauchen der Platte in Magnetfeld bilden sich Wirbelströme
Bremswirkung durch Wirbelstrom
Schlitze verhindern Ausbildung von
Wirbelstrom schwache (keine)
Bremswirkung
Wirbelströme: Verschleissfreie Bremse (ICE)
Verluste (Stromwärme) in Transformatoren (Lamellierung)
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Induktivität einer Leiteranordnung
Leiterschleife 1
Leiterschleife 2
U2 = Uind
I1(t)
U1(t)
Experiment: In Leiterschleife 1 fließt ein zeitlich veränderlicher Strom
Zeitlich veränderliches Magnetfeld induziert Spannung in Schleife 2
Wie groß ist die induzierte Spannung U2?
Induktivität
Spule 1 erzeugt ein Magnetfeld mit der Flussdichte B1:
B1(t ) ∝ I1 (t )
Magnetfeld erzeugt in Spule 2 einen Fluss Φ2(t)
Es fehlt genaue Kenntnis über die Überlappung, aber es gilt
Φ2 proportional zu I1 : Φ2 = L12 I1
L12 Gegeninduktivität Maß für die Felddurchsetzung von Spule 2
[L] = Vs/A = 1 H (= 1 Henry)
Ändert sich Strom in Spule 1, ändert sich Φ in Spule 2 und es wird
dort eine Spannung induziert:
d Φ 2 (t )
U 2 ( t ) = −N 2
dt
d I1(t )
dt
Induzierte Spannung U2 proportional zu Änderung von Strom I1
Einfach messbare Größen, Information über Geometrie usw stecken in L12
U 2 (t ) = −L12
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Berechnung der Gegeninduktivität
s1
Schleife 1
dF
r12
ds1
Schleife 2
I1
s2
r1
r2
Strom in Schleife 1 verursacht Magnetfeld bzw. Vektorpotenzial A
an Stelle r2 (Berechnung mit Biot-Savart)
r
v
µ I ds
A(r 2 ) = 0 1 ∫ 1
4π s1 r12
Magnetfeld führt zu Fluss Φ m = ∫ BdF = ∫ rot (A )dF = ∫ Ads2
F
F
s2
r r
µ0I1 ds2ds1
Φm =
= L12I1
4π s∫1 s∫2 r12
r r
ds ds
L12 = L21 = ∫ ∫ 2 1
r12
s1 s2
Selbstinduktion
Was passiert wenn sich der Strom in
einer Spule ändert?
I(t)
Uind(t)
Es ändert sich das Magnetfeld und somit auch der Fluss
Flussänderung bedeutet induzierte Spannung Uind
Wie hängen Uind(t) und I(t) zusammen?
11
Selbstinduktion
Ändert sich Φ, so wird in einer Spule eine Spannung induziert
U ind = − N
dΦ
dt
Φ = LI
U ind = − L
Fluss proportional zu Strom
L Selbstinduktionskoeffizient
dI
dt
Die Selbstinduktivität (oder Induktivität) L bewirkt infolge der
Lenz‘schen Regel eine Hemmung der Veränderung des Stromes
(Der Strom durch eine Spule ist stetig, er springt nicht)
[L] = Vs/A = 1Ωs =1 H (= 1 Henry)
Schaltzeichen von Spulen Induktivitäten
Mechanisches Analogon
Geschwindigkeit v
Masse m
S
Kraft F
U0
L
I
m Masse
F Kraft
v Geschwindigkeit
F = m dv/dt
L Induktivität
U Potenzialdifferenz
I Strom
U = L dI/dt
mv Impuls
½ mv2 kinetische Energie
LI Impuls (??)
½ LI2 Energie (???)
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Induktivität einer Zylinderspule
Länge l
Windungszahl N
Querschnittsfläche A
Strom I
I
B = µ0N
l
⇒ Φ = BA
L proportional zu Gesamtfluss Ψ
Alle N Windungen werden von Φ durchsetzt
⇒ Ψ = NΦ
L=
Ψ NΦ µ0N 2 A
=
=
I
I
l
Induktivität einer Spule
Selbstinduktivität einer Doppelleitung
d
I1
2r0
I2
l
Zwei parallele Leiter
Hin- und Rückleitung
Ströme gleich groß und antiparallel
Wie groß ist L?
1. Berechnung des Magnetfeldes außerhalb und
innerhalb des Drahtes aufgrund der beiden
Ströme
2. Magnetischer Fluss durch Doppelleitung durch
Fläche l 2r0 (Beiträge B von anderen Draht, B
im Draht B außerhalb Draht)
3. L = Fluss durch Strom
L=
d − r0 ⎞
µ0 l ⎛ 1
⎜⎜ + ln
⎟
r0 ⎟⎠
π ⎝2
Wann ist Induktivität minimal? Lösung d = 2 r0 Lmin = L(d = 2r0 ) =
µ0l
2π
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Strom-Spannungsverlauf bei L
Maschenregel : U 0 = −U ind = L
S
U0
L
Uind
⇒ I (t ) =
t2
1
Udt
L t∫1
0 < t < t 1 : U = U 0 ⇒ I (t ) =
I
Spannung U0 t = 0 angelegt
t = t1: Spannung abgeklemmt
dI
dt
t 1 < t : I (t ) =
U0
t
L
U0
t 1 = konst .
L
?
I(t)
U0(t)
t
0
t1
Induktivität setzt sich Stromänderung entgegen
Einschalten einer Induktivität
Einschalten
+
RG1
Schalter geschlossen:
Welche Glühlampe leuchtet
bzw. wie ist die zeitliche
Reihenfolge?
R
10 Ohm
RG2
1000 Wdg
Induktivität
36 mH
L = 36mH
14
Einschalten einer Induktivität
t < 0 Schalter offen
Stromkreis offen kein Strom fließt
t= 0 Schalter geschlossen
1. Masche
Ohmscher Widerstand
IR = U0 / (R+RG1) Strom fließt sofort
⇒ Glühlampe leuchtet
I/I0
IR
1
I L = I 0 (1 − exp(− t / τ ))
0.63
0
0
2. Masche
U0 = IL RG2 - Uind = IL RG2 + L dIL/dt
Lösung der DG
IL(t) = I0 (1 - exp(-t/τ)) mit I0 = U0/RG2 und τ = L/R
⇒ Strom steigt langsam
Glühlampe beginnt verzögert zu leuchten
1
2
3
t/τ
Ausschalten einer Induktivität
Ausschalten
Spannung ein
Glühlampen leuchten
+
U0
I
R = RG1 + RG2
Spannung aus
Glühlampen leuchten zuerst heller
und dann noch eine gewisse Zeit nach
L
1000 Wdg
36 mH
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Ausschalten einer Induktivität
t<0
eingeschwungener Zustand
Strom durch Glühlampen I = U0/R
Strom springt?
I0
t= 0 Schalter wird geöffnet
I(t<0) = U0/R
Maschenregel für t>0
0 = I R - Uind = I R + L dI/dt
Ansatz I = I0 exp(- t/τ) mit τ = L/R
Nach Öffnen des Schalters Lampen leuchten heller
⇒ kurzfristig muss ein höherer Strom fließen d.h. I0 ≠ I(t<0)
Stromüberhöhung hängt von genauem Verlauf des Schaltvorgangs ab
Energie des magnetischen Feldes
Wieviel Energie wird im Magnetfeld gespeichert?
Ausschalten der Induktivität:
Strom fließt weiter, obwohl Spannungsquelle abgetrennt
Energie die im Verbraucher (Glühlampen) umgesetzt wird
muss aus Magnetfeld kommen
∞
∞
0
0
Wmagn = ∫ IUdt = ∫ I 2R dt
∞
1
Wmagn = ∫ I02 exp( −2t / τ )R dt = I02L
2
0
Die im Magnetfeld gespeicherte Energie = 1/2 L I2
wobei I ein stationär fließender Strom ist
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Energiedichte Magnetfeld
∞
Wmagn = ∫ I 2 (t )R dt =
0
1 2
L I0
2
Energiedichte wmagn = Energie pro Volumen
w magn
W
1 B2
= magn =
2 µ0
V
Vergleich E-Feld
1
Wel = CU 2
2
1
w el = ε 0E 2
2
2
⎛N ⎞
L = µ0 ⎜ ⎟ V
⎝l⎠
⎛N ⎞
B = µ0 ⎜ ⎟I
⎝l⎠
Typische Werte
Wm 400J
≈
Vol 0.1l
Wel 10 −3 J
≈
elektrosta t. Energie
Vol
0.1l
Wchem 10 5 J
≈
chemische Energie
Vol
0.1l
magn. Energie
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