Numerische Modellierung von Fluid-Struktur

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9 783862 195459
Berichte des Instituts für Mechanik (Bericht 2/2014)
Numerische Modellierung von Fluid-Struktur-Wechselwirkungen an wellenbeaufschlagten Strukturen
Vilmar Fuchs
ISBN 978-3-86219-545-9
Institut
für
Mechanik
Vilmar Fuchs
Numerische Modellierung von
Fluid-Struktur-Wechselwirkungen an
wellenbeaufschlagten Strukturen
kassel
university
press
Berichte des Instituts für Mechanik
Bericht 2/2014
Vilmar Fuchs
kassel
university
press
Die vorliegende Arbeit wurde vom Fachbereich Maschinenbau der Universität Kassel als Dissertation zur
Erlangung des akademischen Grades eines Doktors der Ingenieurwissenschaften (Dr.-Ing.) angenommen.
Erster Gutachter: Prof. Dr.-Ing. Olaf Wünsch, Universität Kassel
Zweiter Gutachter: Prof. Dr.-Ing. Detlef Kuhl, Universität Kassel
Tag der mündlichen Prüfung:
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Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen
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Zugl.: Kassel, Univ., Diss. 2013
ISBN 978-3-86219-545-9
© 2014, kassel university press GmbH, Kassel
www.upress.uni-kassel.de
Umschlaggestaltung: Helena Friesen
Druck und Verarbeitung: Print Management Logistics Solutions, Kassel
Printed in Germany
17. Dezember 2013
Vorwort
Die vorliegende Arbeit entstand während meiner Tätigkeit als wissenschaftlicher Mitarbeiter
am Fachgebiet Strömungsmechanik am Institut für Mechanik der Universität Kassel.
An dieser Stelle möchte ich allen voran Herrn Prof. Dr.-Ing. Olaf Wünsch, der Betreuer und
Referent dieser Arbeit ist, für die umfangreiche fachliche Unterstützung und das vermittelte
Wissen im Bereich der Strömungsmechanik während des gesamten Zeitraums am Institut
für Mechanik meinen Dank aussprechen. Auch für die Möglichkeit, meine Ideen während der
Erstellungsphase dieser Arbeit umzusetzen, danke ich ihm recht herzlich.
Mein besonderer Dank richtet sich auch an Herrn Prof. Dr.-Ing. Detlef Kuhl für sein Interesse an meinem Forschungsthema und für das Begutachten dieser Dissertation. Gleichfalls
bedanke ich mich bei der Prüfungskommission, bestehend aus Herrn Prof. Dr.-Ing. Martin
Lawerenz und Herrn Dr.-Ing. Markus Rütten.
Meinen Kollegen und Freunden am Institut für Mechanik, Martin Lübke, Ammar Al-Baldawi,
Roman Gelmann und Ramdane Boukellif, danke ich für die schöne Zeit, die wir gemeinsam
in Kassel erlebt haben.
Unserer Fachgebietssekretärin Sandra Schiminski danke ich ebenso recht herzlich für die
großartige Hilfsbereitschaft bei der Organisation von Lehr- und Reiseplanungen.
Weiterhin bedanke ich mich bei all denjenigen, die bei mir eine Studien- oder Diplomarbeit
geschrieben haben. Sie haben einen wesentlichen Teil zur Gestaltung dieser Arbeit beigetragen.
Mein Dank geht an die Liebe meines Lebens, Olga Fuchs und an meinen Sohn, Arian Vilen
Fuchs, ohne deren vielseitige Unterstützung diese Arbeit nicht möglich gewesen wäre.
Mein aufrichtiger Dank gilt meiner Mutter Tatjana und meinem Vater Samuel Fuchs, deren
Liebe und Erziehung ich immer schätzen werde.
Zusammenfassung
Die vorliegende Arbeit behandelt die numerische Modellierung von Fluid-Struktur-Wechselwirkung (FSI) an wellenbeaufschlagten Strukturen mittels eines partitionierten Block-GaußSeidel-Lösungsverfahrens. Die Berechnung der Teilpartitionen der multiregionalen bzw. multiphysikalischen Berechnungsfelder basiert dabei auf der numerischen Finite-Volumen-Methode (FVM). Das Hauptaugenmerk der Arbeit liegt auf der Entwicklung eines Fluid-StrukturWechselwirkungs-Algorithmus zur Untersuchung von dämpfungsbegünstigten Eigenschaften
viskoser newtonscher und strukturviskoser nichtnewtonscher Flüssigkeiten. Die numerischen
Untersuchungen erfolgen am Beispiel eines Offshore-Dämpfungselement-Prototypen, bei dem
es sich um eine an die monopilen Offshore-Windkraftanlagen-Turmpfeiler integrierte Komponente handelt. Diese besteht im Wesentlichen aus einer dünnwandigen flexiblen Hülle, die
um die Offshore-Struktur in der Höhe des Wellengangs befestigt ist. In der Kammer zwischen der flexiblen und starren monopilen Wand befindet sich eine viskose Dämpfungsflüssigkeit, die die impulsartigen Belastungen infolge der Einwirkung extremer Wellenaufschläge
auf den Turmpfeiler dämpfen soll. Das für die Untersuchung generierte multiregionale FSISimulationsmodell des Dämpfungselementprototyps besteht dabei aus insgesamt drei Teilpartitionen, die implizit über einen Block-Gauß-Seidel-Kopplungsalgorithmus miteinander in
Wechselwirkung stehen. Die erste Teilpartition stellt, als äußere hydrodynamische Belastung
auf das Dämpfungselement, ein zweiphasiges Strömungsmodell einer brechenden Welle dar.
Das Offshore-Dämpfungselement selbst besteht aus der zweiten und dritten Teilpartition.
Diese beiden Teilpartitionen bilden die äußere flexible Strukturhülle und die viskose Dämpfungsflüssigkeit. Anhand von experimentellen Voruntersuchungen in einem Wasserkanal, einem Fluidoszillator und einem schwingenden elastischen Balken aus Kunststoff wird zunächst
die Leistungsfähigkeit der drei Teilpartitionen des FSI-Löser getestet und validiert. Die Validierung des multiregionalen FSI-Lösers erfolgte am Beispiel eines in der Literatur bekannten
Benchmarks eines brechenden Damms. Die Berechnung des Offshore-DämpfungselementPrototyps wird anschließend jeweils mit drei Parametersätzen hochviskoser newtonscher und
strukturviskoser nichtnewtonscher Flüssigkeiten vorgenommen. Schließlich werden die unterschiedlichen Wirkungsweisen der Dämpfungsflüssigkeiten anhand zeitlicher Entwicklung der
Druckverläufe und der Dissipationsleistung, die als das Volumenintegral über die Dissipationsfunktion definiert ist, analysiert und bewertet.
Summary
This work deals with the numerical modelling of multi-regional fluid-structure interaction
(FSI) on wave-impacted offshore structures using a partitioned block Gauss-Seidel solution
method. The partial partitions of the multi-regional or multi-physics computational fields
are solved with the numerical finite volume method (FVM). The main focus of the work is on
the development of a fluid-structure interaction algorithm for the investigation of damping
properties of high viscose Newtonian and non-Newtonian fluids. The numerical investigations
were done on the example of an offshore damping element prototype, which is a component
integrated on the mono-pile offshore wind turbine tower pillars. This mainly consists of a
thin-walled, flexible cover, which is fastened around the mono-pile offshore structure at wave
level. The chamber between the flexible and rigid mono-pile wall is filled with a viscous
damping fluid, which should damp the pulse-type loading caused by the effect of extreme
wave impacts on the tower pillars. The multi-regional FSI simulation model of the damping
element prototype generated for the investigation on damping features of fluids consists of
a total of three computational regions, which interact with each other implicitly via a block
Gauss-Seidel coupling algorithm. The first computational region represents a two-phase flow
model of a breaking wave, as an external hydrodynamic load on the damping element. The
offshore damping element itself consists of the second and third partial partition. These
two partial partitions form the exterior flexible structure cover and the viscous damping
liquid. Based on experimental preliminary tests in a water channel, a fluidic oscillator and
an oscillating elastic beam made of rubber, the capability of the three partial partitions
of the FSI solver are first tested and validated. The validation of the multi-regional FSI
solver is done in the example of a benchmark of a breaking dam well known in literature.
The calculation of the offshore damping element prototype is then carried out with each of
three parameter sets of high viscosity Newtonian and shear thinning non-Newtonian fluids.
Finally the various interactions of the damping liquids were analysed and assessed, based
on the chronological development of the pressure curves and the dissipation energy, which is
defined as the volume integral over the dissipation function.
VIII
Inhaltsverzeichnis
Inhaltsverzeichnis
Symbolverzeichnis
XI
Abkürzungsverzeichnis
XV
Abbildungsverzeichnis
XVI
Tabellenverzeichnis
XIX
1. Einleitung und Problemstellung
1
2. Kontinuumsmechanische Grundlagen
6
2.1. Klassische Kinematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
2.1.1. Beschreibungen der materiellen Punktbewegung . . . . . . . . . . . .
6
2.1.2. Deformations- und Verschiebungsgradient
. . . . . . . . . . . . . . .
9
2.1.3. Deformationsgeschwindigkeitsgradient . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
2.2. Kinetik und Bilanzgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
2.2.1. Globale Formulierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
2.2.2. Lokale Formulierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
2.3. Materialgesetze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
2.3.1. Newtonsche Fluide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
2.3.2. Nichtnewtonsche Fluide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
2.3.3. Kirchhoffsches Strukturmodell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
2.4. Lagrange-Euler-Formulierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
2.4.1. Klassische Formulierungen und die ALE-Methode . . . . . . . . . . .
21
2.4.2. Transformationsgradienten und Relativgeschwindigkeiten . . . . . . .
21
2.4.3. ALE Bilanzgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
2.5. Strömung der nicht mischbaren Fluide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
3. Numerische Methoden
28
3.1. Fluid-Diskretisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
3.1.1. Diskretisierung der konvektiven Flüsse . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
3.1.2. Approximation der Massenflüsse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
3.1.3. Approximation der Transportgröße . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
Inhaltsverzeichnis
IX
3.1.4. Approximation der Gradienten
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
3.1.5. Diskretisierung der diffusiven Flüsse . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
3.1.6. Approximation des Extraterms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
3.1.7. Diskretisierung des Gitterflusses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
3.1.8. Fluidgitterbewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
3.1.9. Zeitliche Diskretisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
3.2. Lösungsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
3.3. Randbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
3.4. Fluidberechnungs-Prozedur
41
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5. Struktur-Diskretisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44
3.6. Strukturberechnungs-Prozedur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46
4. Voruntersuchung und Numerische Validierung
49
4.1. Experimentelle Untersuchung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49
4.1.1. Versuchsstand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
50
4.1.2. Messsensorik
52
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.3. Messmethode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53
4.1.4. Messergebnisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
54
4.2. Numerisches Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
58
4.2.1. Modellbeschreibung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
59
4.2.2. Simulationsergebnisse und Validierung . . . . . . . . . . . . . . . . .
61
4.2.3. Berechnung der Dämpfungsmaße . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
69
4.2.4. Kraftübertragung durch newtonsche Flüssigkeiten . . . . . . . . . . .
71
4.2.5. Kraftübertragung durch nichtnewtonsche Flüssigkeiten . . . . . . . .
73
4.2.6. Betrachtung der Dissipationsenergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
78
4.2.7. Erhöhung der Scherentzähung und unregelmäßige Strömung . . . . .
78
4.2.8. Vergleich von scherentzähenden mit scherverzähenden Flüssigkeiten .
83
4.3. Erzeugung Gaußscher Wellenpakete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
88
4.3.1. Gaußsche Wellenpakete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
88
4.3.2. Numerische Implementierung Gaußscher Wellenpakete
90
. . . . . . . .
4.3.3. Validierung des Gaußschen Wellenpakets . . . . . . . . . . . . . . . .
91
4.3.4. Numerische Simulation eines Wellenaufschlag
99
. . . . . . . . . . . . .
4.4. Simulation eines oszillierenden elastischen Balkens . . . . . . . . . . . . . . . 105
4.4.1. Experimentelle Modellbeschreibung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
4.4.2. Numerische Modellbeschreibung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
4.4.3. Simulationsergebnisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
5. Fluid-Struktur-Interaktion (FSI)
112
5.1. Physikalische Problembeschreibung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
X
Inhaltsverzeichnis
5.2. Numerische Lösungsansätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
5.2.1. Partitionierte Lösungsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
5.2.2. Multiregionaler FSI-Kopplungsalgorithmus . . . . . . . . . . . . . . . 119
5.3. Validierung des FSI-Lösers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
5.3.1. Problembeschreibung Dammbruch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
5.3.2. Numerisches Modell
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
5.3.3. Ergebnisse der Validierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
6. Multiregionale FSI-Modellierung
129
6.1. Analytische Betrachtung des Wellenaufschlags . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
6.1.1. Ansätze zur Modellierung der Stoßkraft . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
6.1.2. Analytische Berechnung des Wellenaufschlags . . . . . . . . . . . . . 133
6.2. Numerische Simulation eines Druckschlages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
6.2.1. Numerisches Modell und Diskretisierung . . . . . . . . . . . . . . . . 141
6.2.2. Ergebnisse und Auswertung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
6.3. FSI-Simulationsmodell des Dämpfungselements . . . . . . . . . . . . . . . . 148
6.3.1. Numerisches Modell und Diskretisierung . . . . . . . . . . . . . . . . 149
6.3.2. Ergebnisse und Diskussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
7. Zusammenfassung und Ausblick
168
Literaturverzeichnis
173
A. Anhang
182
B. Anhang
183
Inhaltsverzeichnis
XI
Symbolverzeichnis
Griechische Buchstaben
α . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Phasenindikator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .[-]
αi . . . . . . . . . . . . . . . . . . Konturterme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [−]
αs . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kompression der Phasengrenzfläche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [−]
βi . . . . . . . . . . . . . . . . . . Beta Faktoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [−]
Γ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kopplungsrand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .[-]
γ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Diffusionskoeffizient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [−]
γ̇ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Scherrate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [1/s]
δ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Abklingkonstante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [−]
δt . . . . . . . . . . . . . . . . . . Zeitschrittweite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [s]
δu . . . . . . . . . . . . . . . . . . Inkrementeller Verschiebungsvektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [m]
δx . . . . . . . . . . . . . . . . . . Gitterweite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [m]
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . Abbruchkriterium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [-]
ζ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Wellenauslenkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [m]
η . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dynamische Viskosität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [P a s]
ηb . . . . . . . . . . . . . . . . . . Wassererhebung am Konturrand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [m]
ηg . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dynamische Viskosität der gasförmigen Phase . . . . . . . . . . . . . . . [P a s]
ηl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dynamische Viskosität der flüssigen Phase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [P a s]
ηv . . . . . . . . . . . . . . . . . . Volumenviskosität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [P a s3 ]
η0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dynamische Nullviskosität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [P a s]
η∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dynamische Grenzviskosität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [P a s]
κ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Oberflächenkrümmung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [m]
Λ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Logarithmisches Dekrement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [−]
λ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Erste Lamé -Konstante / Wellenlänge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [−] / [m]
μ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Zweite Lamé -Konstante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [−]
XII
Inhaltsverzeichnis
μk . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aitken-Faktor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [−]
ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kinematische Viskosität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [m2 /s]
ν0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kinematische Nullviskosität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .[m2 /s]
ν∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kinematische Grenzviskosität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [m2 /s]
ν∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . Querkontraktionszahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [-]
Π . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Druckverhältnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [−]
ρ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .[kg/m3 ]
ρg . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dichte der gasförmigen Phase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [kg/m3 ]
ρl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dichte der flüssigen Phase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [kg/m3 ]
ρw . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dichte des Wassers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [kg/m3 ]
σ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Oberflächenspannung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [N/m]
Φ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Beliebige physikalische Größe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [...]
φ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vektor der Unbekannten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [−]
χ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Materielle Koordinaten im Bezug auf die Gitterbewegung . . . . . . [m]
Ψf . . . . . . . . . . . . . . . . . . Teilbereich der Fluidpartition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [-]
Ωs . . . . . . . . . . . . . . . . . . Teilbereich der Strukturpartition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [-]
ω . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Winkelgeschwindigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [1/s]
ω k . . . . . . . . . . . . . . . . . . Relaxationsparameter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [−]
Lateinische Buchstaben
A . . . . . . . . . . . . . . . . . . Systemmatrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [−]
AD . . . . . . . . . . . . . . . . . Diagonalkomponenten der Systemmatrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [−]
AN . . . . . . . . . . . . . . . . . Nebendiagonalkomponenten der Systemmatrix . . . . . . . . . . . . . . . . . [−]
a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fläche eines Kontinuums in der Momentankonfiguration . . . . . . . [m2 ]
a0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . Wellenamplitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [m]
B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Linker Cauchy-Green Tensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [-]
B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kontinuum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .[-]
Bt . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kontinuum in der Momentankonfiguration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [-]
Bt0 . . . . . . . . . . . . . . . . . Kontinuum in der Referenzkonfiguration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .[-]
b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vektor der Bekannten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [−]
C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Rechter Cauchy-Green Tensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .[-]
Co . . . . . . . . . . . . . . . . . . Courant-Zahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [-]
c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Relative Geschwindigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [m/s]
Inhaltsverzeichnis
XIII
c0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Wellenfortschrittsgeschwindigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [m/s]
ċ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Geschwindigkeit der Wasserfront . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [m/s]
D . . . . . . . . . . . . . . . . . . Verzerrungsgeschwindigkeitstensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [1/s]
D . . . . . . . . . . . . . . . . . . Durchmesser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [m]
d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Wassertiefe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [m]
E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Green’scher Verzerrungstensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [-]
E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Elastizitätsmodul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [P a]
F . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Deformationsgradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [-]
F−1 . . . . . . . . . . . . . . . . . Räumlicher Deformationsgradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [-]
F d . . . . . . . . . . . . . . . . . . Druckkraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .[N]
Fg . . . . . . . . . . . . . . . . . . Gesamtkraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [N]
F r . . . . . . . . . . . . . . . . . . Reibungskraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [N]
f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Volumenkraftdichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .[kg/m2 s2 ]
g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Erdbeschleunigung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [m/s2 ]
H . . . . . . . . . . . . . . . . . . Verschiebungsgradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .[-]
H . . . . . . . . . . . . . . . . . . Charakteristische Höhe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [m]
h . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Höhe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [m]
I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Einheitsmatrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [-]
I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Impuls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .[Ns]
K . . . . . . . . . . . . . . . . . . Konsistenzparameter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .[s]
k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Wellenzahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [-]
k0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . Zentrale Wellenzahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [-]
L . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Geschwindigkeitsgradiententensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [1/s]
L . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Charakteristische Länge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .[m]
m . . . . . . . . . . . . . . . . . . Masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [kg]
ṁ . . . . . . . . . . . . . . . . . . Massenstrom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [kg/s]
n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Normalenvektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [-]
ns . . . . . . . . . . . . . . . . . . Normalenvektor der freien Oberfläche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [-]
n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fließindex/Zeitschritt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .[-]/[s]
P . . . . . . . . . . . . . . . . . . Zweiter Piola-Kirchhoffscher Spannungstensor . . . . . . . . . . . . . . [N/m2 ]
Pi . . . . . . . . . . . . . . . . . . Materielle Punkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [-]
Pirr . . . . . . . . . . . . . . . . . Dissipationsleistung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [W ]
p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Druck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [P a]
R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . äußerer Radius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .[m]
XIV
Inhaltsverzeichnis
Re . . . . . . . . . . . . . . . . . . Reynold-Zahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [-]
r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . innerer Radius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [m]
S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Cauchy’scher Spannungstensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [P a]
Sf . . . . . . . . . . . . . . . . . . Flächenvektor einer KV-Zelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [m2 ]
s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Standardabweichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [-]
T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Reibungsspannungstensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [P a]
T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Periode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [s]
t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Cauchy’scher Spannungsvektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [P a]
t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Zeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [s]
t0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Anfangsbedingung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [s]
Ur . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ursell-Zahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [-]
u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Verschiebungsvektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [m]
u̇Γ . . . . . . . . . . . . . . . . . . Geschwindigkeit am Kopplungsrand von Ωs . . . . . . . . . . . . . . . . . . [m/s]
V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Volumen des Kontinuums in der Referenzkonfiguration . . . . . . . . [m3 ]
v . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Geschwindigkeitsvektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [m/s]
v̂ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Gittergeschwindigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [m/s]
v Γ . . . . . . . . . . . . . . . . . . Geschwindigkeit am Kopplungsrand von Ψf . . . . . . . . . . . . . . . . . . [m/s]
v . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Volumen des Kontinuums in der Momentankonfiguration . . . . . . [m3 ]
vn . . . . . . . . . . . . . . . . . . Geschwindigkeit der Wassererhebung am Konturrand . . . . . . . . [m/s]
W . . . . . . . . . . . . . . . . . . Drehgeschwindigkeitstensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [1/s]
w . . . . . . . . . . . . . . . . . . Gitterbewegung in ALE-Koordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [m/s]
X . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ortsvektor in der Referenzkonfiguration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [m]
x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ortsvektor in der Momentankonfiguration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [m]
Inhaltsverzeichnis
XV
Abkürzungsverzeichnis
Abkürzung
Bezeichnung
ALE
Abb.
CDS
CFD
CG
CPS
CSS
DIC
ICCG
div
FD
FEM
FOAM
FSI
FVM
Gl.
grad
HRS
ISS
OF
PBiCG
PCG
PISO
S.
sp
Tab.
UDS
vgl.
VOF
WKA
WWEA
Arbitrary-Lagrangian-Eulerian
Abbildung
Central Differencing Scheme
Computational Fluid Dynamics
Conjugate-Gradient Method
Conventional Parallel Staggered
Conventional Serial Staggered
Diagonal-Incomplete-Cholesky
Incomplete-Cholesky-Preconditioned-CG
Divergenz
Finite-Difference
Finite-Element Methode
Fields Operation And Manipulation
Fluid-Struktur Interaktion
Finite-Volume Methode
Gleichung
Gradient
High Resolution Scheme
Iterative Serial Staggered
OpenFOAM
Preconditioned-Bi-Conjugate-Gradient
Preconditioned Conjugated Gradients
Pressure Implicit with Splitting of Operators
Seite
Spur
Tabelle
Upwind Differencing Scheme
vergleiche
Volume-of-Fluid Methode
Windkraftanlage
World Wind Energy Association
XVI
1.1. Installierte Gesamtleistung aus Windenergie . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.2. Prototyp des Dämpfungselements unter Wellenbelastung . . . . . . . . . . .
2
2.1. Anfangs und Momentankonfiguration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
2.2. Geschwindigkeiten zweier Teilchen in der Momentankonfiguration . . . . . .
11
2.3. Auf einen materiellen Körper einwirkende Kräfte . . . . . . . . . . . . . . . .
14
2.4. Typische scherentzähende und -entzähendes Stoffverhalten. . . . . . . . . . .
18
2.5. Klassische Formulierungen nach Euler und Lagrange, nach [42] . . . . . . . .
22
2.6. ALE Formulierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
2.7. Zusammenhang zwischen den Transformationsgradienten . . . . . . . . . . .
23
3.1. Hexaederförmiges Kontrollvolumen mit der üblichen Kompassnotation. . . .
29
3.2. Interpolationsverfahren zur Approximation der Massenflüsse. . . . . . . . . .
31
3.3. Konfiguration der Berechnungspunkte für das Van Leer Schema. . . . . . . .
32
3.4. Darstellung des Gitterflusses. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
3.5. Die zeroGradient Randbedingung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
3.6. Flussdiagramm des zweiphasigen Strömungslösers. . . . . . . . . . . . . . . .
43
3.7. Flussdiagramm des Strukturlösers.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47
4.1. Prinzipieller Aufbau des Fluidoszillators. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
50
4.2. Versuchsaufbau. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51
4.3. Funktionsprinzip der Piezosensoren. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52
4.4. Messzylinder mit Sensorik. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53
4.5. Schematische Darstellung des Messstandes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
54
4.6. Wegmessung mit Ultraschall. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
54
4.7. Kinematischer Bewegungsablauf des Fluidoszillators. . . . . . . . . . . . . .
55
4.8. Druckmessung an der Zylinder-Staulinie für für ν = 1 mm2 /s. . . . . . . . .
56
4.9. Druckmessung an der Zylinder-Staulinie für für ν = 102 mm2 /s. . . . . . . .
56
4.10. Druckmessung an der Zylinder-Staulinie für für ν = 103 mm2 /s. . . . . . . .
57
4
2
4.11. Druckmessung an der Zylinder-Staulinie für für ν = 10 mm /s. . . . . . . .
58
4.12. Experimentelle Druckwerte im Vergleich. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
58
4.13. Numerisches Modell des Fluidoszillators. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
59
XVII
4.14. Parametersätze strukturviskoser Flüssigkeiten. . . . . . . . . . . . . . . . . .
61
4.15. Gitterbewegung des numerischen F luidoszillator-Modells. . . . . . . . . . .
62
4.16. Numerische und experimentelle Ergebnisse im Vergleich für ν = 1mm2 /s. . .
64
4.17. Numerische und experimentelle Ergebnisse im Vergleich für ν = 102 mm2 /s. .
64
4.18. Numerische und experimentelle Ergebnisse im Vergleich für ν = 103 mm2 /s. .
65
4
2
4.19. Numerische und experimentelle Ergebnisse im Vergleich für ν = 10 mm /s. .
65
4.20. Numerische und experimentelle Druckwerte im Vergleich. . . . . . . . . . . .
66
4.21. Berechnetes Druckfeld für ν = 1 mm2 /s. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
67
4.22. Geschwindigkeitsvektorfeld für ν = 1 mm2 /s.
. . . . . . . . . . . . . . . . .
67
4.23. Berechnetes Druckfeld für ν = 102 mm2 /s. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
67
2
4.24. Geschwindigkeitsvektorfeld für ν = 1 mm /s.
. . . . . . . . . . . . . . . . .
67
68
4.26. Geschwindigkeitsvektorfeld für ν = 103 mm2 /s. . . . . . . . . . . . . . . . . .
68
68
4.28. Geschwindigkeitsvektorfeld für ν = 104 mm2 /s. . . . . . . . . . . . . . . . . .
68
4.29. Quellcodeabschnitt zur Berechnung von Pirr . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
70
4.30. Kraftverläufe an Γ1 u. Γ2 für unterschiedliche newtonsche Flüssigkeiten. . . .
72
4.31. Bereiche der Scherentzähung während der numerischen Simulation . . . . . .
73
73
74
4.34. Maximalwerte von Fg in Abhängigkeit von der Viskosität. . . . . . . . . . .
75
4.35. Kraftverläufe an Γ1 u. Γ2 fürd die Berechnungsreihe A. . . . . . . . . . . . .
76
4.36. Kraftverläufe an Γ1 u. Γ2 für die Berechnungsreihe B. . . . . . . . . . . . . .
77
4.37. Dissipationsleistung für unterschiedliche Flüssigkeiten. . . . . . . . . . . . . .
79
4.38. Parametersatz C der strukturviskosen Flüssigkeiten. . . . . . . . . . . . . .
80
4.39. Erhöhung des Zeitparameters K. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
80
4.40. Zeitliche Entwicklung des Geschwindigkeitsfeld bis zur Verzerrung. . . . . . .
81
4.41. Parametersatz D der strukturviskosen Flüssigkeiten.
82
. . . . . . . . . . . . .
4.42. Stabilität in Abhängigkeit von K und ν für n = 3. . . . . . . . . . . . . . . .
82
4.43. Parametersätze der scherent- und -verzähenden Flüssigkeiten.
. . . . . . . .
83
4.44. Dissipationsleistung unterschiedlicher Flüssigkeiten. . . . . . . . . . . . . . .
84
4.45. Kraftverläufe dilatanter, scherentzähender und newtonscher Flüssigkeiten. . .
85
4.46. Kraftverläufe dilatanter, scherentzähender und newtonscher Flüssigkeiten. . .
86
4.47. Betrag der maximalen Kraftwerte über Dissipationsleistung. . . . . . . . . .
87
4.48. Charakteristische Wellenparameter. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
89
4.49. Numerisches Modell des Wellenkanals. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
91
4.50. Algorithmus zur Gitterbewegung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
91
4.51. Numerische und experimentelle Ergebnisse des Gaußschen Wellenpakets. . .
94
4.52. Konvergenzverhalten des Druckfeldes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
96
XVIII
4.53. Konvergenzverhalten des Geschwindigkeitsfeld in Fortschrittsrichtung. . . . .
97
4.54. Numerische Simulation einer Sturzbrecherwelle. . . . . . . . . . . . . . . . .
98
4.55. Auslenkung der frei Oberfläche über der Zeit. . . . . . . . . . . . . . . . . .
99
4.56. Querschnittsansicht des CFD-Berechnungsmodells. . . . . . . . . . . . . . . . 100
4.57. Strukturiertes Berechnungsgitter in der Draufsicht. . . . . . . . . . . . . . . 101
4.58. Wellenaufschlag auf Zylinderstruktur und Position der Messpunkte. . . . . . 101
4.59. Vergleich experimenteller und numerischer Druckverläufe am Zylinder. . . . . 102
4.60. Maximalwerte des hydrodynamischen Drucks und des Gesamtdrucks. . . . . 103
4.61. 3-D Ansicht des Wellenaufschlags auf eine zylindrische Struktur. . . . . . . . 104
4.62. Modellbeschreibung des oszillierenden Balkens. . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
4.63. Berechnungsgitter im Initialzustand bei t = 0s. . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
4.64. Zeitlicher Verlauf der Verschiebung in z Richtung (t = 0 s bis t = 2 s). . . . . 107
4.65. Zeitlicher Verlauf der Verschiebung in z-Richtung t = 0 s bis t = 20 s. . . . . 107
4.66. Experiment und Simulation im etablierten Ruhezustand. . . . . . . . . . . . 108
4.67. Vergleich des abklingenden Schwingungsverlaufs. . . . . . . . . . . . . . . . . 109
4.68. Momentanaufnahmen aus der Amplitudenausschläge. . . . . . . . . . . . . . 110
5.1. Skizze eines FSI-Problems. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
5.2. Gliederung der Lösungsverfahren zur FSI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
5.3. Einfach gestaffelte FSI-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
5.4. Subcycling und iterative FSI-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
5.5. Block-SOR-Verfahren für multiregionale Fluid-Struktur-Wechselwirkungen . 120
5.6. Anfangskonfiguration des Dammbruch Modells. . . . . . . . . . . . . . . . . 123
5.7. Berechnungsgitter des Dammbruch Modells. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
5.8. Horizontale Verschiebung am Auswertungspunkt. . . . . . . . . . . . . . . . 126
5.9. Visueller experimenteller und numerischer Vergleich. . . . . . . . . . . . . . . 127
5.10. Visueller Vergleich der numerischen Simulationen. . . . . . . . . . . . . . . . 128
6.1. Schematische Darstellung des von Kármán Modells. . . . . . . . . . . . . . . 131
6.2. Schematische Darstellung des Wagner Modells. . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
6.3. 2D Schnittfläche zur Druckschlagberechnung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
6.4. Modell zur Berechnung des Druckschlags. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
6.5. Vergleich der exakten und approximativen Kreisgleichung. . . . . . . . . . . 135
6.6. Relative Abweichung der Kreisgleichung (6.10) zur Gl. (6.11). . . . . . . . . 136
6.7. Vergleich der Druckverläufe an der Stelle 0◦ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
6.10. Vergleich der c(t)-Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
6.11. Abweichung von der c(t)-Funktion über der Zeit . . . . . . . . . . . . . . . . 140
6.12. Vergleich der Linienkräfte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
XIX
6.13. Abweichung der Linienkraft über der Zeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
6.14. Zweidimensionales Berechnungsmodell des Druckschlags. . . . . . . . . . . . 142
6.18. Wellenfront trifft Struktur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
6.19. Vergleich der c(t)-Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
6.20. Vergleich der Linienkräfte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
6.21. Prototyp des Dämpfungselements unter Wellenbelastung . . . . . . . . . . . 148
6.22. Zweidimensionales Berechnungsmodell des Dämpfungselements. . . . . . . . 149
6.23. Parametersätze strukturviskoser Flüssigkeiten. . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
6.24. Zeitliche Entwicklung des Druckverlaufs an der flexiblen Struktur. . . . . . . 156
6.25. Zeitliche Entwicklung des Druckverlaufs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
6.30. Zeitliche Entwicklung der Dissipationsleistung. . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
6.31. Verschiebungen der flexiblen Hülle am Staupunkt . . . . . . . . . . . . . . . 163
6.32. Wellenfront trifft Struktur. Darstellung des Druckfelds. . . . . . . . . . . . . 164
6.33. Wellenfront trifft Struktur. Darstellung des Druckfelds. . . . . . . . . . . . . 165
6.34. Visualisierung der Viskositätsverteilung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
6.35. Visualisierung des Geschwindigkeitsfelds. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
B.1. Charakteristische Wellenparameter. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
B.2. Aufbau des Wellengenerators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
B.3. Versuchsaufbau Wellengenerator im Wasserkanal. . . . . . . . . . . . . . . . 185
XX
Tabellenverzeichnis
Tabellenverzeichnis
3.1. Basis-Typen zur Definition der Randbedingungen. . . . . . . . . . . . . . . .
40
3.2. Definition der verwendeten Randbedingungstypen in OpenFOAM. . . . . . .
40
4.1. Funktionskomponenten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51
4.2. Reynoldszahlen für niedrig- und hochviskoser Flüssigkeiten. . . . . . . . . . .
51
4.3. Ergebnisse aus der Druckwertmessung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
57
4.4. Randbedingungen am dreidimensionalen CFD-Modell des Fluidoszillators. .
60
4.5. Materialparameter der untersuchten Fluide. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
60
4.6. Berechnungsgitter mit Zellenanzahl n.
60
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.7. Ergebnisse aus numerischen Druckauswertung. . . . . . . . . . . . . . . . . .
63
4.8. Relative Abweichung der berechneten gegenüber gemessenen Werten. . . . .
63
4.9. Verhältnisse der Maximalwerte von Pirr unterschiedlicher Parametersätze. . .
83
4.10. Materialparameter verschiedener Flüssigkeiten. . . . . . . . . . . . . . . . . .
84
4.11. Parameter zur Erzeugung des Gaußschen Wellenpakets. . . . . . . . . . . . .
92
4.12. Berechnungsnetz mit n als Anzahl der Zellen. . . . . . . . . . . . . . . . . .
93
4.13. Fluideigenschaften. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
93
4.14. Randbedingungen des zweiphasigen Simulationsmodells.
. . . . . . . . . . .
93
4.15. Rechenzeit auf systematisch verfeinerten Gittern . . . . . . . . . . . . . . . .
95
4.16. Randbedingungen des CFD-Modells mit Welleneinschlag. . . . . . . . . . . . 100
4.17. Physikalische Stoffeigenschaften der elastischen Struktur. . . . . . . . . . . . 105
4.18. Berechnungsnetze mit n als Anzahl der KV-Zellen. . . . . . . . . . . . . . . 106
4.19. Vergleich der statischen Ruhelage aus dem Experiment mit Numerik. . . . . 108
4.20. Experiment und Simulation abklingende Schwingung im Zeitbereich. . . . . . 109
4.21. Rechenzeit auf systematisch verfeinerten Gittern. . . . . . . . . . . . . . . . 111
5.1. Verwendeten Materialpameter für die Simulation des Dammbruchs. . . . . . 124
5.2. Randbedingungen am Dammbruch. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
5.3. Vergleich der maximalen Verschiebungen am Auswertepunkt. . . . . . . . . . 126
6.1. Randbedingungen für die numerische Berechnung. . . . . . . . . . . . . . . . 142
6.2. Fluideigenschaften. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
6.3. Vergleich der maximalen Druckwerte pmax zur Referenzlösungen. . . . . . . . 145
Tabellenverzeichnis
XXI
6.4. Vergleich der Eintauchzeitpunkte te zur Referenzlösungen. . . . . . . . . . . 146
6.5. KV-Zellenanzahl des multiregionalen Berechnungsgitters. . . . . . . . . . . . 150
6.6. Materialparameter der untersuchten Fluide. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
6.7. Randbedingungen am Teilgebiet Ψf 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
6.8. Randbedingungen am Teilgebiet Ψf 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
6.9. Randbedingungen am Teilgebiet Ωs1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
6.10. Bewertung der Dämpfungseigenschaften für Flüssigkeiten. . . . . . . . . . . . 154
B.1. Bestimmung des Erzeugungsmechanismus
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
B.2. Funktionskomponenten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
1
Die Gewinnung von Energie aus natürlichen Ressourcen wie Wind ist, angetrieben durch
den Klimawandel, hohe Ölpreise und die jüngste Atomkatastrophe in Japan, zunehmend ins
öffentliche Interesse gerückt. Dies spiegelt sich in der zunehmenden Kommerzialisierung der
erneuerbaren Energien wider. In den letzten zehn Jahren hat sich die Energiekapazität aus
Windkraft um etwa 30% jährlich erhöht und die World Wind Energy Association (WWEA)
[109] prognostiziert weiterhin einen enormen Anstieg (s. Abb.1.1).
1.6
WWEA-Trendkurve [109]
Leistung in T W
1.4
1.2
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0
2000
2005
2010
2015
2020
Jahr
Abbildung 1.1.: Installierte Gesamtleistung aus Windenergie vom 2000 bis 2020 in T W . Entwicklung und
Prognostizierung nach [109].
In den zurückliegenden Jahren haben Windkraftanlagen (WKA) bei der Bereitstellung elektrischer Energie an Bedeutung gewonnen und die Wasserkraft, die bisher in Deutschland die
Bereitstellung regenerativer Energien angeführt hat, überholt. Neben der wachsenden Anlagenzahl sind kontinuierliche Steigerungen der Einheitsleistung für diesen Trend maßgebend
(vgl. [105]). Daher werden neue Standorte mit günstigen Windverhältnissen erschlossen, z.B.
vor der niedersächsischen Nordseeküste in der Deutschen Bucht mit dem Offshore-Windpark
alpha ventus1 .
Die zukünftige Entwicklung im Sektor der erneuerbaren Energie tendiert zunehmend zur
1
Der erste deutsche Offshore-Windpark s. [2].
2
Erweiterung von Offshore-Windparks. Doch mit diesem Trend entstehen neue technologische Probleme, denn die Windkraftanlagen auf See (Offshore-WKA) unterliegen extremen Witterungsbelastungen, die neue Herausforderungen mit sich bringen. Im Gegensatz
zu den Windkraftanlagen auf dem Land müssen Offshore-WKA nicht nur höheren Windlasten standhalten, sondern sind zusätzlich auch den Belastungen durch Meeresströmungen
ausgesetzt, wie z.B. wechselnden Meeresspiegelhöhen durch Gezeiten, dem Abtragen des
Meeresbodens durch Wasserströmungen oder Belastungen durch brechende und nicht brechende Wellen. Insbesondere stellen die Erforschung der hydrodynamischen Belastungen an
Offshore-Konstruktionen, die durch freak waves 2 oder Riesenwellen hervorgerufen werden,
ein im Küsten- und Schiffsingenieurwesen weit bekanntes Problem dar.
In Anbetracht dieser Tatsachen ist es wichtig, neue aktive Komponenten, welche die Küstenund Offshore-Konstruktionen sicherer und effizienter machen, zu konzipieren und technologisch weiter zu entwickeln. In dieser Arbeit wird eine Möglichkeit zur Dämpfung von wellenbeaufschlagten, zylindrischen Turmstrukturen, wie die einer Offshore-WKA, gezeigt. Dazu
wurde ein Prototyp eines Dämpfungselements (s. Abb. 1.2) konzipiert und mittels numerischer Wellen-Struktur-Interaktions-Modellierung untersucht.
Welle
Turmpfeiler
Offshore-WKA
Dämpfungsfluid
flexible Hülle
Abbildung 1.2.: Prototyp des Dämpfungselements unter der Last einer brechenden Welle [35].
Der Dämpfungselement-Prototyp - wie in Abbildung 1.2 zu sehen - besteht im Wesentlichen
aus einer dünnwandigen und elastischen Außenhülle, die an einer Offshorestruktur3 in der
2
Der erste wissenschaftliche Nachweis über die Existenz von freak waves wurde 1995 während eines Sturms
in der Nordsee an der norwegischen Ölbohrplattform Draupner-E mittels einer automatischen Wellenmessanlage erbracht (vgl. [44]).
3
einen WKA-Turmpfeiler in Form eines Zylinders.
3
Höhe des Wellengangs befestigt ist. Die Kammer zwischen der elastischen Hülle und der
Turmstruktur ist mit einer viskosen Flüssigkeit gefüllt. Die Flüssigkeit im Inneren soll die
impulsartigen Belastungen, die infolge von extremen Wellenaufschlägen auf den Turmpfeiler
einwirken, dämpfen. Das Hauptaugenmerk dieser Arbeit liegt darin, eine Analyse von Dämpfungseigenschaften unterschiedlich hochviskoser newtonscher und nichtnewtonscher Flüssigkeiten mittels eines numerischen Wellen-Struktur-Interaktions-Modells4 zu untersuchen. Die
Untersuchungen sollen einen Einblick in einen multiregionalen Wechselwirkungsprozess geben, um so das Dämpfungsverhalten von newtonschen und nichtnewtonschen Flüssigkeiten
besser zu verstehen.
Die ersten wichtigen Grundlagen auf dem Gebiet der Wellen-Struktur-Interaktion wurden im
vergangenen Jahrhundert durch HAVERLOCK [45], LAMB [64] und VON KÁRMÁN [98] erforscht. Ihre Untersuchungen zeigen, wie Integraltransformationen und Integralgleichungen
verwendet werden können, um die Beanspruchungen durch Wasserwellen mittels potenzialtheoretischer Ansätze von Fluidumströmungen einfacher, starrer, geometrischer Grundformen zu beschreiben. Basierend auf diesen Ansätzen entwickelte WAGNER [99] eine Theorie
der Stoß- und Gleitvorgänge an Oberflächen von Flüssigkeiten, um die beim Landen eines
Flugzeugs auf Wasser entstehenden Lasten zu ermitteln. FABULA [29] und COINTE ET
AL. [4] erweiterten die Theorie von WAGNER durch analytische Ansätze mit zusätzlichen
instationären Termen. Die Untersuchungen von MORISON [71] lieferten Ansätze zur Bestimmung quasistatischer Belastungen, die durch einen regulären Wellengang auf zylindrischen
Strukturen verursacht werden. Die aktuellen und ausführlichen theoretischen sowie experimentellen Analysen auf diesem Gebiet wurden von WIENKE [108] durchgeführt. Diese
beinhalten einen Überblick der Verfahren zur Analyse brechender Wellenlasten auf zylindrische Strukturen im großskaligen Maßstab. WIENKE’s Arbeit war die Grundlage für die
numerischen Simulationen von PEIL und CORTE [76], die einen hybriden Ansatz zur Untersuchung dreidimensionaler brechender Wellen auf Monopile-Strukturen vorgeschlagen haben.
CORTE und GRILLI [16] nutzen das Brechkriterium einer Flachwasserwelle, die den Brechvorgang ab einem Verhältnis von Wellenhöhe zu Wassertiefe ungefähr gleich eins einleitet.
Hierfür benutzten sie die Oberflächenauslenkung und die Verteilung des Geschwindigkeitspotentials einer von TANAKA [91] untersuchten solitären Welle als Anfangsbedingung für
die Simulation mittels einer Rand-Element-Methode (BEM). Diese Welle bewegt sich durch
einen Wasserkanal, dessen Tiefe kontinuierlich abnimmt, so dass die Flachwasserwelle zu
brechen beginnt. Um den Welleneinschlag auf eine zylindrische Struktur zu simulieren, wird
anschließend das ermittelte Geschwindigkeitsfeld der Wasserwelle mit einem Navier-StokesLöser gelöst. Weitere numerische Untersuchungen in diesem Bereich wurden von MA ET
AL. [65] durchgeführt. MA ET AL. generierten ein CFD Modell, das die Wellen-StrukturInteraktion auf der Basis der Finite-Elemente-Methode (FEM) berechnet. Damit werden die
4
welches eine Wechselwirkung von mehreren physikalischen Teilgebieten berücksichtigt.
4
Erzeugung eines dreidimensionalen und nichtlinearen Wellenzugs sowie die Interaktion der
erzeugten Welle mit starren zylindrischen Strukturen beschrieben. Eine Analyse der Anwendung von Hybrid-Finite-Elemente- und Finite-Volumen-Verfahren wurde von STÜCK [90]
durchgeführt, um die Auswirkungen von transienten Wellengruppen zu untersuchen.
Bei den zuvor genannten Untersuchungen wurden allerdings keine Verformungen der Struktur infolge eines Wellenaufschlags behandelt, da diese in den Modellen unberücksichtigt blieben. Aus diesem Grund bedarf es einiger Erweiterungen der numerischen Wellen-StrukturInteraktions-Modelle, die eine Strukturverformung mitberücksichtigen und somit eine weitreichende Untersuchung des impulsartigen Wellenaufschlags auf elastische Strukturen ermöglichen. Basierend darauf wird in dieser Arbeit ein mögliches Konzept eines multiregionalen
Schutzmechanismus in Form eines Dämpfungselements zur Verringerung von kontinuierlichen
Wellenlasten auf Offshorestrukturen vorgestellt und untersucht.
Eine experimentelle Voruntersuchung des Dämpfungselement-Prototyps wurde im Labormaßstab mit einem neu konzipierten und aufgebauten Messsystem an einem Versuchsstand
im Wasserkanal getestet. Die hydrodynamischen Lasten wurden dabei mittels Piezodrucksensoren an einer zylindrischen Konstruktion gemessen. Das Messsystem wurde durch verschiedene Wellenbeaufschlagungen getestet und mit dreidimensionalen numerischen Berechnungen validiert. Die Validierung des Wellenaufschlags ist in den eigenen Arbeiten [35, 36, 37]
und [38] dokumentiert und wird hier nicht weiter behandelt. Darin sind ein analytisches
und ein numerisches Modell zur Analyse impulsartiger Wellenlasten auf starre, zylindrische
Strukturen und ein vereinfachtes zweidimensionales Fluid-Struktur-Interaktions-Modell des
Dämpferelements mit unterschiedlichen teilgefüllten Viskositäten auf deren dämpfende Wirkung unter Wellenlast beschrieben.
Das Ziel der vorliegenden Dissertationsschrift liegt in der Entwicklung eines multiregionalen bzw. multiphysikalischen Fluid-Struktur-Wechselwirkungs-Algorithmus zur Untersuchung von dämpfungsbegünstigten Eigenschaften viskoser newtonscher und strukturviskoser
nichtnewtonscher Flüssigkeiten.
Im Folgenden wird die Gliederung der Arbeit in sechs weitere Hauptkapitel vorgestellt.
Das zweite Hauptkapitel beinhaltet zunächst die für diese Arbeit wichtigsten kontinuumsmechanischen Grundlagen der Strömungs- und Festkörpermechanik. Dabei werden neben den
Erhaltungsgleichungen in differenzieller und integraler Form auch die verwendeten Materialgesetze vorgestellt. Des Weiteren werden die Grundgleichungen zur mehrphasigen Strömung
in der Arbitrary-Lagrangian-Eulerian-Formulierung (ALE) aufgezeigt.
In Kapitel 3 werden die numerischen Methoden zur programmiertechnischen Umsetzung der
kontinuumsmechanischen Problematik in einer rechnerbasierenden Umgebung beschrieben.
Für die Implementierung und Berechnung der strömungs- und festkörpermechanischen Feldprobleme findet der von WELLER ET AL. [104] entwickelten Open Source Code OpenFOAM
5
(OF) Verwendung.
In Kapitel 4 wird zunächst eine numerische Voruntersuchung zur Analyse von Dämpfungseigenschaften unterschiedlich hochviskoser newtonscher und nichtnewtonscher Flüssigkeiten in
einem F luidoszillator durchgeführt. Der Fluidoszillator stellt in seinem wesentlichen Aufbau einen Prototyp des Offshore-Dämpfungselements dar. Ferner wird experimentell und
numerisch eine Möglichkeit zur Generierung von Oberflächenwellen mittels Gaußscher Wellenpakete gezeigt. Das Kapitel schließt mit der numerischen Validierung des Strukturlösers
am Beispiel eines freischwingenden Balkens ab.
Im Kapitel 5 werden die grundsätzlichen Lösungsprinzipien der breitspektrigen Problematik
zur Fluid-Struktur-Interaktion (FSI) erläutert. Basierend darauf wird ein multiregionaler
Wellen-Struktur-Interaktions-Algorithmus in OpenFOAM implementiert und anhand eines
in der FSI-Literatur bekannten Benchmarks eines brechenden Damms validiert.
Im Kapitel 6 wird ein multiregionales FSI-Konzept zur Modellierung eines wellenbeaufschlagten Dämpfungselements vorgestellt. Dazu wird zunächst ein analytisches Modell des Wellenaufschlags auf eine starre, zylindrische Turmstruktur, welche eine wichtige Referenz für die Simulation des FSI-Modells darstellt, betrachtet. Die Ergebnisse aus der FSI-Berechnungsreihe
von newtonschen und scherentzähenden nichtnewtonschen Dämpfungsflüssigkeiten werden
anschließend auf ihre dämpfende Wirkung bewertet und diskutiert. Zudem werden die in
den vorherigen Kapiteln gewonnen Erkenntnisse genutzt und zum Vergleich mit den FSIErgebnissen herangezogen.
Kapitel 7 fasst die wichtigsten Ergebnisse dieser Arbeit zusammen und gibt einen Ausblick
auf zukünftige Forschungsrichtungen.
6
Der folgende Abschnitt stellt die wesentlichen Grundlagen der klassischen Kontinuumsmechanik vor. In diesem Zusammenhang sind fundierte kontinuumsmechanische Grundkenntnisse für die Programmierung numerischer Berechnungen von Festkörpern, Strömungen und
deren Interaktionsprozessen1 unbedingt erforderlich. Das Kapitel beginnt mit der kinematischen Beschreibung von Punktbewegungen und endet mit den Erhaltungsgleichungen für
Masse und Impuls in Lagrange-Euler (ALE) Formulierung.
Für das Erstellen dieses Kapitels dienen insbesondere die Werke von HAUPT [43], TRUESDELL [92] und BÖHME [12] als essentielle Grundlagen, welche in der Arbeit2 von GUNDLACH [42] zusammengetragen wurden.
2.1. Klassische Kinematik
2.1.1. Beschreibungen der materiellen Punktbewegung
Die Kontinuumsmechanik3 befasst sich mit der Ursache und Wirkung von Deformationen auf
materielle Körper. Dabei wird angenommen, dass ein materieller Körper eine kontinuierlich
verteilte Menge an materiellen Teilchen P 4 auf einem bestimmten Gebiet B abbildet. Die
aktuelle Position eines einzelnen Teilchens in einem Koordinatensystem wird dabei durch die
Lage des Ortsvektors definiert:
x = x(P, t).
(2.1)
Jedes materielle Teilchen wird durch den Ortsvektor
x(P, t0 ) = X,
(2.2)
zur Zeit t0 gekennzeichnet. Dadurch, dass die Koordinate von x mit der Zeit t sich im Raum
ändert, wird diese auch Ortskoordinate genannt. Anderseits kennzeichnet X die Lage der
1
Dazu mehr im Kapitel 5.
Dies ist eine vom Autor wissenschaftlich angeleitete Diplomarbeit.
3
s. [43] u. [92].
4
Ein Parameter, der alle Partikel kennzeichnet.
2
7
materiellen Punkte zur Zeit t = t0 und wird deshalb auch als materielle Koordinate definiert. Wenn ein Körper verformt wird, verändern sich seine Form und seine Lage im Raum.
Folglich wechseln die materiellen Teilchen ihre Position, so dass die neue Konfiguration den
materiellen Punkten P bzw. X ihre aktuelle Position im Raum mit einen Ortsvektor zu
einem bestimmten Teilchen zuordnet:
x(X, t) ⇔ X(x, t).
(2.3)
Wie aus der Gl. (2.3) ersichtlich, ist die Position der materiellen Punkte von der Zeit abhängig. Für jeden Zeitschritt gibt es einen Konfigurations-Satz mit Konfigurationen für jedes
einzelne Partikel. Die Verformung eines materiellen Körpers bedeutet, dass dieser mindestens
einen oder mehrere Konfigurations-Sätze im Gebiet B durch verschiedene Formen erfährt.
Zwei von diesen Konfigurationen sind exemplarisch in der Abbildung 2.1 dargestellt. Dieses
zeigt eine Referenz- oder Anfangskonfiguration des materiellen Körpers Bt0 zum Zeitpunkt
t0 = 0, sowie eine Momentankonfiguration das Kontinuums Bt zur Zeit t > 0 im verformten
Zustand.
Referenzkonfiguration
dX
Momentankonfiguration
P2
Bahnlinie
P1
dx
P1
u(x, t)
Bt0
P2
X = x(X, t0 )
e2
x(X, t)
Bt
e1
e3
Abbildung 2.1.: Klassische Konfigurationen. P1 bewegt sich mit der Verschiebung u(x, t) von der Anfangs
zur Momentankonfiguration P2 , nach [43] .
Immer, wenn ein physikalisches Phänomen5 beschrieben wird, sind ebenfalls die verschiedenen physikalischen Größen für unterschiedliche materielle Punkte von B beschrieben.
Im Folgenden steht
Φ = Φ(P, t)
(2.4)
für eine beliebige physikalische Größe, definiert als Tensor beliebiger Ordnung. Dabei kann P
in zwei unterschiedlichen Betrachtungsweisen und in entsprechend geeigneten Koordinaten
beschrieben werden. Eine Möglichkeit ist, P in materieller bzw. substantieller Betrachtungsweise bzw. Koordinaten X auszudrücken:
Φ = Φ(X, t).
5
z.B. Strömung eines Fluids.
(2.5)
8
Die Gleichung (2.5) bedeutet, dass die Änderung einer Feldgröße6 für jeden materiellen
Punkt verfolgt wird. Diese Art der Formulierung ist auch als Lagrangesche Betrachtungsweise
bekannt.
Die zweite Möglichkeit ist die Betrachtung im räumlichen Koordinatensystem:
Φ = Φ(x, t).
(2.6)
Die Gleichung (2.6) besagt, dass die Änderungen einer Feldgröße Φ an jedem Ort verfolgt
wird. Diese Formulierung wird auch als Eulersche Betrachtungsweise bezeichnet. Die Eulersche und Lagrangesche Betrachtungsweisen sind durch die Zuordnung (s. Gl. (2.3)) mit
Φ(X, t) = Φ(X(x, t), t) = Φ(x, t)
(2.7)
gleichwertig. Ein Verformungsprozess einer Fluidströmung lässt sich für die unterschiedliche physikalische Größe durch einen zeitlich veränderlichen bzw. instationären Vorgang in
einer Bilanzgleichung beschreiben. Die Formulierung der zeitlichen Änderung der physikalischen Größe Φ(P, t) bezüglich des Punktes P, muss dabei sinngemäß formuliert werden.
Diese zeitliche Änderung wird auch als materielle Zeitableitung D/Dt bezeichnet7 . Die Berechnung erfordert die Anwendung der Produkt- und Kettenregel, so dass sich daraus ein
lokaler und konvektiver Anteil der zeitlichen Ableitung erzeugen lässt. In der Lagrangeschen
Beschreibung wird die Zeitableitung durch8 :
∂Φ(X, t) DΦ(X, t)
∂Φ(X, t) ∂X +
=
·
Dt
∂t
∂X
∂t X
X
lokaler Anteil
(2.8)
konvektiver Anteil
definiert. Da X unabhängig von der Zeit ist, verschwindet der konvektive Anteil, so dass die
lokale Zeitableitung der Lagrangeschen Beschreibung entspricht
DΦ(X, t)
∂Φ(X, t) .
=
Dt
∂t
X
(2.9)
Im Gegenteil dazu erhält man für die Eulersche-Beschreibung:
DΦ(x, t)
∂Φ(x, t) ∂x ∂Φ(x, t) +
.
=
·
Dt
∂t x
∂x
∂t X
lokaler Antel
(2.10)
konvektiver Anteil
Der erste Faktor des konvektiven Terms wird dabei als der Gradient einer physikalischen
Größe identifiziert, während der zweite Faktor die räumliche Geschwindigkeit eines materiellen Partikels darstellt
6
7
8
∂Φ(x, t)
= ∇x Φ,
∂x
tensorielle Feldgröße.
In der Literatur wird die materielle Zeitableitung oft mit D/Dt anstelle von d/dt gekennzeichnet.
(...)|X bedeutet: Halte X während der Differenzierung fest.
(2.11)
9
∂x = v(X, t).
∂t X
(2.12)
Schließlich, unter Berücksichtigung von
v(X, t) = v(X(x, t), t) = v(x, t)
(2.13)
wird die materielle Zeitableitung aus räumlicher Betrachtungsweise wie folgt eingeführt:
DΦ(x, t)
∂Φ(x, t) + ∇x Φ(x, t) · v(x, t).
=
Dt
∂t x
(2.14)
Diese Zeitableitung wird in den Bilanzgleichungen für kinematisch raumfeste Kontinua verwendet.
2.1.2. Deformations- und Verschiebungsgradient
Um die Änderung der Länge zwischen zwei bestimmten infinitesimal nah aneinander liegender Partikeln P1 und P2 zu beschreiben, muss ihre vektorielle Verknüpfung (Abb. 2.1)
betrachtet bzw. analysiert werden. Für t > t0 ist dx eine Funktion von X und t
dx = dx(X, t).
(2.15)
Die Gleichung (2.15) wird durch das totale Differential wie folgt dargestellt:
dx =
∂x(X, t) ∂x(X, t) dX +
dt = ∇X x dX + v dt.
∂X
∂t
t
X
(2.16)
Für eine feste Zeit t wird der Ausdruck v dt, der für die Translationsbewegung des Teilchens
steht, vernachlässigt und der Deformationsgradient kann als:
F = ∇X x =
dx
dX
(2.17)
definiert werden. F ist ein Tensor zweiter Stufe9 und vermittelt die Transformation von
Linien-, Flächen- und Volumenelementen10 von der Referenzkonfiguration in die Momentankonfiguration. Diese Transformation ist invertierbar für alle t. Das heißt, es gibt eine
inverse F−1 , die auch als räumliches Deformationsgradient bezeichnet wird. Diese rührt aus
der Differenzierung im Bezug auf den Ortsvektor x in der Momentankonfiguration:
F−1 = ∇x X =
9
dX
.
dx
Dieser wird auch als materieller Deformationsgradient bezeichnet.
Transformationsformeln für Oberflächen-und Volumenelemente siehe [43] S. 28.
10
(2.18)
10
Ein weiterer wichtiger kinematischer Tensor ist der Verschiebungsgradient H. Diesen erhält
man aus der totalen Differenzierung des Verschiebungsvektors u = x − X (s. Abb. (2.1))
H = ∇X u =
du
.
dX
(2.19)
Die Beziehung zu F ist gegeben durch
F = I + H.
(2.20)
Die vorgestellten Verformungsgradienten sind jedoch kein gutes Maß zur Beschreibung von
Dehnungen. Erstens sind die Tensoren nicht symmetrisch und zweitens bilden diese bei reiner
Translationsbewegung eine Einheitsmatrix. Eine Möglichkeit aus einem nicht symmetrischen
einen symmetrischen Tensor zu erhalten, ist die Multiplikation des transponierten Tensors
mit sich selbst. Mit dem materiellen Deformationsgradient führt dies zu dem sogenannten
rechten und linken Cauchy-Green Tensor
C = FT F,
B = FFT .
(2.21)
Somit kann daraus durch die Subtraktion der Einheitmatrix und Division des daraus entstandenen Ergebnisses durch 1/2, der allgemein bekannte Green-Lagrangescher Verzerrungstensor gebildet werden:
1
1
E = (FT F − I) = (H + HT + HT H).
2
2
(2.22)
Dieser ist im Zusammenhang mit den Stoffgesetzen für Festkörper unerlässlich. Für die
weitere Analyse (s. Kap. 2.3) ist es sinnvoll, den Green-Lagrangeschen Verzerrungstensor
mit dem Verschiebungsgradienten in Zusammenhang zu bringen.
2.1.3. Deformationsgeschwindigkeitsgradient
Bisher sind keine Aussagen über die Deformationsgeschwindigkeit formuliert worden. Diese
sind jedoch besonders für die Stoffeigenschaften von Flüssigkeiten und Festkörpern wichtig,
womit sich der Zusammenhang von den Deformationen mit den Spannungen beschreiben
lässt. Hierzu wird die relative Geschwindigkeit zwischen zwei infinitesimal benachbarten
Teilchen P1 , P2 , wie in der Abbildung 2.2 ersichtlich ist, analysiert11 . Eine Taylorreihenentwicklung um P1 liefert:
v(x + dx, t) = v(x, t) +
11
dv(x, t)
dx + (...).
dx
(2.23)
Die folgende Vorgehensweise ist geometrisch motiviert. Die Ableitung des Geschwindigkeitsgradienten kann
auch durch das totale Differential erfolgen (s. Gl. (2.16)).
11
P2 v(x + dx, t)
e2
X
x(
)+
,t
dx
P2 ∗
dx
v(x, t)
P1
x(X, t)
dx∗
P1 ∗
Bt
e1
e3
Abbildung 2.2.: Geschwindigkeiten zweier Teilchen in der Momentankonfiguration: Der Verbindungsvektor
dx ist transformiert in dx∗ . Variablen mit ()∗ gehören zum darauffolgenden infinitesimalen
Zeitschritt, nach [12].
Durch das Vernachlässigen der Terme höherer Ordnung in (2.23) und mit dv = v(x+dx, t)−
v(x, t) erhält man
dv = Ldx,
(2.24)
wobei
dv(x, t)
(2.25)
dx
den räumlichen Geschwindigkeitsgradient beschreibt. Der Tensor zweiter Ordnung L gibt
L = ∇x v =
Auskunft über die räumliche Änderung des Geschwindigkeitsfeldes. In der Abbildung 2.2
ist die Änderung der Verschiebung zwischen den beiden Teilchen P1 und P2 ersichtlich, so
dass dadurch der Verbindungsvektor dx∗ , der sich nach einem Zeitintervall von Δt ergibt,
betrachtet werden kann. Hierzu liefert die Taylorreihenentwicklung nach der Zeit:
dx∗ = dx + (v(x + dx, t) − v(x, t))Δt + (...).
(2.26)
Mit den Gleichungen (2.23) und (2.25) kann die Geschwindigkeitsdifferenz wie folgt beschrieben werden:
v(x + dx, t) − v(x, t) = Ldx.
(2.27)
Fügt man die obige Beziehung in (2.26) ein und dividiert diese durch Δt, so erhält man den
Differentialquotienten
D(dx)
= Ldx.
(2.28)
Dt
Die linke Seite der Gleichung (2.28) zeigt, wie der Geschwindigkeitsgradiententensor L auf
dx operierend diesen in die materielle Zeitableitung12 transformiert. Der Geschwindigkeitsgradient setzt sich aus den zwei Komponenten der Deformation- und Drehgeschwindigkeit
zusammen. Beide Geschwindigkeiten können durch eine additive Zerlegung13 in einen sym12
13
s. [12] S.32 ff.
Die additive Zerlegung kann durch polare Zerlegung von F in Teile der Dehnung und Drehung und anschließende Differenzierung abgeleitet werden. Siehe [92] S.52 ff.
12
metrischen und asymmetrischen Tensor gewonnen werden:
L=
1
1
L + LT +
L − LT = D + W.
2
2
(2.29)
Den asymmetrischen Teil W nennt man Dreh- oder Wirbeltensor, da seine Komponenten die
Drehgeschwindigkeit von materiellen Linien-, Flächen-, bzw. Volumenelementen beschreiben
werden können. Der symmetrische Anteil D kennzeichnet den Verzerrungsgeschwindigkeitstensor. Darin beschreiben die Diagonalkomponenten von D die Dehngeschwindigkeiten der
Linien-, Flächen, bzw. Volumenelemente. Die Komponenten der Nebendiagonale hingegen
sind die Schergeschwindigkeiten mit denen die Linien-, Flächen, bzw. Volumenelemente geschert werden. Die Summe der Diagonalkomponenten spD zeigt dabei eine wichtige Eigenschaft von Flüssigkeiten. Im Falle einer inkompressiblen Flüssigkeit, gilt der Ausdruck:
sp D = ∇x · v = 0.
(2.30)
2.2. Kinetik und Bilanzgleichungen
Im vorherigen Abschnitt wurde mittels der Kinematik die geometrischen Bewegungen und
Deformationen der materiellen Punkte und Körper, ohne die Ursache deren Bewegung zu
kennen, beschrieben. In diesen Abschnitt verknüpft die Kinetik die Bewegung mit den Einflüssen, die von außen auf den materiellen Körper B einwirken, um somit die Gleichgewichtsbedingung zu formulieren.
2.2.1. Globale Formulierung
Alle Gleichgewichtsbedingungen können in einer globalen und einer lokalen Form ausgedrückt werden, wobei beide Formen gleichwertig sind. Die globale Formulierung basiert auf
der Integration über ein Kontrollvolumen:
V (Bt0 ) =
dV
(2.31)
dv.
(2.32)
V
und in der Momentankonfiguration
v(Bt , t) =
v
Abhängig von der Art und Weise eines physikalischen Problems ist die Betrachtung der
Bilanzgleichungen für Masse, Impuls, Drehimpuls, Energie und Entropie erforderlich. Die
physikalischen Problemstellungen dieser Arbeit werden hierbei als isotherm betrachtet. Aufgrund dieser Modellannahme kann die Bewegung von Fluiden und Festkörpern durch das
13
Gleichgewicht von Masse und Impuls beschrieben werden. Im Folgenden wird zwischen der
Referenz- und Momentankonfiguration unterschieden. Von hier ab werden die Bilanzgleichungen eines Körper Bt in der Momentankonfiguration mit dem zeitabhängigen Volumen
v = v(t) eingeführt. Dadurch lässt sich die Darstellung für Flüssigkeiten bequemer ausdrücken.
Massenbilanz
Die Masse ist als Volumenintegral über die Massendichte ρ(x, t) definiert:
m(Bt , t) =
ρ(x, t)dv.
(2.33)
v
Für einen materiellen Körper ist diese zeitlich konstant:
Dm(Bt , t)
= 0.
Dt
Damit ergibt sich für die Massenbilanz in globaler Formulierung
D ρ(x, t)dv = 0,
Dt v
(2.34)
(2.35)
wobei die materielle Zeitableitung des Volumenintegrals in Gleichung (2.33) zu Null14 wird.
Impulsbilanz
Die Impulsbilanz rührt aus dem zweiten newtonschen Axiom (lex sekunda)15 . Dieses besagt, dass eine Kraft F (Bt , t), die auf einen materielle Körper ausgeübt wird, der zeitlichen
Änderung des Impulses I(Bt , t) entspricht. Der körpereigene Impuls wird durch seine Geschwindigkeit und Massendichte bestimmt:
I(Bt , t) =
ρ(x, t)v(x, t)dv.
(2.36)
v
Die Kräfte, die auf einen materiellen Körper einwirken, sind in Abbildung 2.3 dargestellt.
Somit ergibt sich das Kräftegleichgewicht auf ein beliebiges Kontrollvolumen
F (Bt , t) =
t(x, t)da +
f (x, t)dv.
(2.37)
v
∂v
Dieser besteht aus dem Oberflächenintegral mit dem Cauchyschen Spannungsvektor t als
Integrand sowie über das gesamte Kontrollvolumen integrierte Volumenkraftdichte f . Der
Spannungsvektor
t=S·n
14
(2.38)
Dies bezieht sich nur auf die Gesamtmasse eines Volumens. Wenn B aus mehreren Phasen besteht, dann
können einzelne Massenbilanzen für die unterschiedlichen Phasen betrachtet werden.
15
Isaac Newtons Grundgesetze der Bewegung Axiomata, sive leges motus.
14
tda
n
dv
da
f dm
v
Abbildung 2.3.: Auf einen materiellen Körper einwirkende Kräfte: Die resultierende Kraft ist die Summe
aus Volumen- und Oberflächekräften, nach [12].
ergibt sich aus der skalaren Multiplikation des Cauchyschen Spannungstensors S mit dem
Normalenvektor n. Dieser steht, wie in Abbildung 2.3 dargestellt, senkrecht auf einer beliebigen Schnittfläche eines Körpers und ist nach außen hin gerichteten. Für die meisten technischen Stoffe ist S symmetrisch und besteht aus sechs unabhängigen Komponenten. Diese
sind ausreichend, um den Spannungszustand für jede Schnittebene da in einem materiellen
Punkt vollständig zu beschreiben. Damit lässt sich, unter Berücksichtigung der Gleichungen
(2.36) bis (2.38), die Bilanzgleichung für die Impulserhaltung wie folgt formulieren:
D
Dt
ρvdv =
v
S · nda +
f dv.
(2.39)
v
∂v
Reynoldssche Transporttheorem
Die vorgestellten Bilanzgleichungen gelten für ein Kontrollvolumen, das aus gleichen materiellen Partikeln besteht. Entsprechend der thermodynamischen Aspekte gilt das Kontrollvolumen als ein geschlossenes System. Jedoch wird in der Fluiddynamik meistens ein physikalischer Prozess betrachtet, in dem der Austausch von Materie in einem offenen, raumfesten
Kontrollvolumen stattfindet. Für diese Art von Betrachtung müssen die Bilanzgleichungen
in eine andere Form umgeschrieben werden. Dies kann mit dem sogenannte Reynoldsschen
Transporttheorem16 in folgende Rechnungsvorschrift für die materielle Zeitableitung eines
Raumintegrals umgeschrieben werden:
D
Dt
Φ(x, t)dv =
v
v
∂Φ
dv +
∂t
Φv · nda.
(2.40)
∂v
Wie sich daraus kennen lässt, ist die zeitliche Änderung des Integranden in einen lokalen und
einen konvektiven Anteil aufteilen. Die lokale Änderung wird über das Volumenintegral der
partiellen Zeitableitung von Φ beschrieben, wobei der konvektive Anteil die Änderung des
Flußes von Φ über die Oberflächen des Kontrollvolumens ∂v beschreibt. Eine Transformation
16
Beweis s. HAUPT [43] S.133.
15
der Gleichungen (2.35) und (2.39) mit dem Reynoldsschen Transporttheorem führt schließlich
zu den Bilanzgleichungen von Masse und Impuls in raumfesten Kontinua:
∂ρ
dv = −
∂t
v
und
v
∂(ρv)
dv = −
∂t
ρv · nda
(2.41)
∂v
vρ(v · n)da +
∂v
S · nda +
∂v
f dv.
(2.42)
v
Diese Beziehungen sind der Ausgangspunkt der Finite-Volumen-Methoden (FVM), die insbesondere in der Strömungsmechanik zur Lösung vieler Probleme angewendet wird.
2.2.2. Lokale Formulierung
Die lokale Formulierung der Erhaltungsätze ist ebenfalls für die Analyse von Strömungen
wichtig. Damit lassen sich die unterschiedlichen physikalische Größen lokal betrachten. Die
Überführung von globalen in die lokalen Form lässt sich realisieren, indem die betrachtete
Größe Φ als kontinuierlich in Bezug auf die räumliche Koordinate x angenommen wird17 .
Dies ermöglicht ein Gleichgewicht für beliebige Teilvolumina von v zu formulieren, die im
Grenzfall v → 0 zu der lokalen Form führt. Vor der Grenzwertberechnung müssen noch die
Oberflächenintegrale der globalen Form in Volumenintegrale durch den Gaußschen Integralsatz überführt werden:
Φ · nda =
∇x · Φdv.
(2.43)
v
∂v
Mittels des Gaußschen Integralsatzes erhält man für die Massenbilanz
∂ρ
+ ∇x · (ρv) = 0,
∂t
(2.44)
∇x · (ρv) = (∇x ρ) · v + ρ∇x · v
(2.45)
woraufhin
zu
Dρ
= −ρ∇x · v
(2.46)
Dt
führt. Diese Differentialgleichung wird auch als Kontinuitätsgleichung bezeichnet. Für die
Impulserhaltung erhält man dementsprechend den folgenden Ausdruck:
ρ
17
s. [43] S.77.
Dv
= ∇x · S + f .
Dt
(2.47)
16
2.3. Materialgesetze
Die obigen hergeleiteten Bilanzgleichungen gelten allgemein für jede Art von Material- bzw.
Stoffgesetz. Die Stoffgesetze sind für die Lösbarkeit des Anfangs- und Randwertproblems der
Bilanzgleichungen erforderlich. Diese werden benötigt, um die kinematischen und kinetischen
Größen in einen Zusammenhang zu bringen. Die Materialgesetze sind mathematische Modelle
und sollen das tatsächliche bzw. reale Materialverhalten nachbilden.18
2.3.1. Newtonsche Fluide
Für Fluide lässt sich der Spannungstensor S in einen kugelsymmetrischen Druckanteil und
einen Restspannungsanteil unterteilen:
S = −pI + T.
(2.48)
Der Tensor T wird als Reibspannungstensor bezeichnet und wird auf verschiedene Weise in
Abhängigkeit von den Fluideigenschaften modelliert. Darin heißen die diagonalen Komponenten Normalspannungen und die nicht diagonalen Komponenten Schubspannungen. Das
am häufigsten verwendete Modell für Fluide ist das Modell der linearen-Viskosität, auch als
newtonsches Flüssigkeitsmodell bekannt. Dieses berücksichtigt die innere Reibung bzw. die
Dissipation im Reibspannungstensor:
T = 2ηD + ηv (sp D)I.
(2.49)
Wie man sehen kann, ist der Reibspannungstensor und der Dehngeschwindigkeitstensor D
miteinander durch zwei konstante Materialparameter linear verbunden. Der Parameter η ist
als Viskosität oder Scherviskosität bekannt und ηv bezeichnet die Volumenviskosität. Für
inkompressible Fluide wird der Ausdruck spD, wie in Gleichung (2.30) zu sehen, Null und
man erhält:
T = 2ηD.
(2.50)
Damit können Stoffgesetze für Flüssigkeiten wie Wasser, Alkohole, Mineralöle und andere niedermolekulare Flüssigkeiten ausreichend beschrieben werden. Die Beziehung (2.50),
eingesetzt in Gleichungen (2.48), (2.47) und (2.46), ergibt die sogenannten Navier-Stokes
Gleichungen für inkompressible Fluide. Sie sind ein System von vier partiellen Differentialgleichungen zur Bestimmung der drei Geschwindigkeitskomponenten v und dem Druck
p:
18
vgl. [43] S.177.
1
∂v
+ ∇x · (vv) = − ∇x p − η ∇2x v − f ,
∂t
ρ
∇x · v = 0.
(2.51)
(2.52)
17
Mit diesen Gleichungen und entsprechenden Rand- und Anfangsbedingungen kann ein geschlossenes Anfangs-Randwertproblem (neben einigen einfachen Spezialfällen) nur numerisch
gelöst werden. Die Anfangsbedingungen können dabei durch die Vorgabe der Geschwindigkeit
bzw. des Drucks im definierten Berechnungsgebiet zum Zeitpunkt t = 0 vorgegeben werden.
Wobei die Randbedingungen grundsätzlich vom kinematischen (Dirichletsche Randbedingung), dynamisch (Neumannsche Randbedingung) oder gemischten Typ sein können.
2.3.2. Nichtnewtonsche Fluide
Das Verhalten der Scherviskosität ist ein wichtiges Kriterium für die Unterscheidung zwischen newtonschen und nichtnewtonschen Flüssigkeiten. Laut BARNES ET AL. [5] werden
Flüssigkeiten als nichtnewtonsch bezeichnet, wenn diese vom newtonschen Verhalten abweichen. Sie werden mit folgenden Merkmalen definiert:
(i) Die einzige Spannung, die eine einfache Scherströmung erzeugt, ist die Schubspannung,
wobei die Normalspannungen Null sind.
(ii) Die Scherviskosität variiert nicht mit der Schergeschwindigkeit.
(iii) Die Viskosität der Flüssigkeit bleibt während der gesamten Scherzeit konstant und
die Spannungen im Fluid fallen sofort auf Null, wenn die Scherung einhält. In jeder
nachfolgenden Scherung, unabhängig davon wie lange der zeitliche Abstand zwischen
den Messungen beträgt, wird stets der gleiche Viskositätswert gemessen.
(iv) Die Viskositäten, gemessen auf unterschiedliche Art und Weise der Verformung, stehen
immer in einer einfachen Proportion zueinander. So ist z.B. die Viskosität, die in einer
einachsigen Dehnströmung gemessen wird, immer drei mal so groß wie der Wert, der
in einer einfachen Scherströmung ermittelt wird.
Diese Definition erlaubt eine vielfältige Deutung der nichtnewtonschen Flüssigkeiten, die sich
hauptsächlich als Gegensatz von den oben definierten Materialverhalten herauskristallisieren.
Deren mathematische Modellierung ist ein wichtiges Handlungsgebiet in der Strömungsmechanik. Das Hauptaugenmerk dieser Arbeit liegt auf der Art von Flüssigkeiten, die eine
niedrige bzw. höhere Viskosität für höhere Schergeschwindigkeiten zeigen. Diese werden als
scherverdünnende (strukturviskose) bzw. -verzähende (dilatante) Flüssigkeiten bezeichnet.
Diese Eigenschaften können in einigen Flüssigkeiten, wie z. B. Silikonöle bei hohen Schergeschwindigkeiten wieder gefunden werden. Wie in Abbildung 2.4 zu sehen ist die Viskosität
der scherverdünnende bzw. dilatante Flüssigkeiten η(γ̇) eine Funktion der Schergeschwindigkeit γ̇. Die Verläufe bzw. Fließgraphen bestimmter Flüssigkeiten werden in der Regel
experimentell ermittelt und mittels geeigneter Funktionen approximiert. In Abbildung 2.4
wird die Viskosität einer scherentzähenden bzw. -verzähenden Flüssigkeit, die bei niedrigen
18
Scherraten bzw. Schergeschwindigkeiten konstant bleibt, als Nullviskosität η0 bezeichnet.
Nach diesem Plateau und mit steigender Scherrate nimmt die Viskosität ab. Im doppellogarithmischen Diagramm ist die Viskosität über der Schergeschwindigkeit aufgetragen. Hier ist
die Abnahme für scherentzähende bzw. Zunahme scherverzähende Fluidviskositäten durch
die lineare Steigung gekennzeichnet. Diese geht, bis die unterste bzw. oberste Grenzviskosität η∞ erreicht ist und bleibt dort auf diesem Plateau konstant. Beide Viskositäten η0 sowie
η∞ werden häufig als unterer und oberer newtonscher Bereich bezeichnet. Der lineare gekennzeichnete Bereich in der Abbildung 2.4 ist dabei für ein Potenzgesetz bzw. Power-Law19
charakteristisch. Um ein scherverdünnendes oder dilatantes Verhalten von Flüssigkeiten zu
η
dilatant
newtonsch
η0
strukturviskos
η∞
γ̇
Abbildung 2.4.: Typische scherentzähende und -entzähendes Stoffverhalten.
beschreiben, wurden verschiedener Modelle in den Literatur vorgeschlagen. Einige Modelle
für die nichtnewtonschen Stoffgesetze können im Bereich großer Schergeschwindigkeiten mit
dem Potenzgesetz durch:
η(γ̇) = K γ̇ (n−1) ,
(2.53)
approximiert werden20 , wobei K der Konsistenzparameter und n den Fließindex kennzeichnen. Für den Fließindex 0 < n < 1, liegt ein strukturviskoses und für n > 1 ein dilatantes
Stoffverhalten vor. Ein Power-Law-Modell, welches für die Untersuchungen in dieser Arbeit
verwendet wird, ist das sogenannte Cross-Modell:
η(γ̇) =
η0 − η∞
+ η∞ .
1 + (K γ̇)n
(2.54)
Dieses Modell enthält vier Parameter. Der Zeitparameter K steuert, wann die Scherentzähung bzw. -verzähung beginnt, n bestimmt die Steigung und die oben erwähnten Viskositäten definieren die Grenzen von η. Üblicherweise werden alle Parameter aus experimentellen
Fließgraphen bestimmt, um anschließend die Funktionsverläufe beispielsweise mittels der
19
20
vgl. [75] S.78.
s. [83].
19
Methode der kleinsten Quadrate21 zu approximieren.
2.3.3. Kirchhoffsches Strukturmodell
In vielen technischen Anwendungen treten kleine Verzerrungen und große Verschiebungen bzw. Verformungen auf, wie z.B. bei der Verlegung bzw. Verformung einer OffshorPipeline oder flexiblen Steigleitungen einer Ölplattform. Diese Anforderung entspricht einem geometrisch nichtlinearen aber physikalisch linearen Modellansatz, welches aus dem
Zusammenhang zwischen dem zweiten Piola-Kirchhoff-Spannungstensor P und dem GreenLagrangeschen Verzerrungstensor E aus Gleichung (2.22) modelliert wird
P = 2μE + λ (spE) I.
(2.55)
Dieses wird auch Saint-Venant-Kirchhoff, oder kurz Kirchhoff Materialmodell genannt. Das
Kirchhoffsche Materialmodell ist eine Erweiterung des linear-elastischen Materialmodells22 ,
welches die Terme höherer Ordnung im Green-Lagrangeschen Verzerrungstensor mit berücksichtigt. Die Konstanten
λ=
Eν∗
(1 + ν∗ )(1 − 2ν∗ )
(2.56)
E
2(1 + ν∗ )
(2.57)
und
μ=
kennzeichnen die Lamé-Koeffizienten. E ist der Elastizitätsmodul und ν∗ kennzeichnet hierbei die Querkontraktionszahl. Der erste Summand in Gleichung (2.55) ist analog zum newtonschen Fluid der Reibspannungstensor. Der zweite Summand in Gleichung (2.55) ist ein
Skalarprodukt, gebildet aus dem Einheitstensor I und der Spur von E. Dieser entspricht
analog einem Kugeltensor. Zusammengefasst bewirkt der zweite Summand eine Volumenänderung, wobei der Koeffizient λ die Kompressibilität des modellierten Festkörpers nachahmt.
An dieser Stelle werden die hergeleiteten Gleichungen genutzt, um im Rahmen des AnfangRandwert-Problems zu lösende Erhaltungsgleichung zu formulieren. Die Erhaltungsgleichung
wird dabei in der Update-Lagrange-Formulierung23 ausgedrückt, da dieses später analog für
die numerische Implementierung verwendet wird. Ausgehend von der Ausgangskonfiguration24 im undeformierten Zustand 0 wird die Erhaltungsgleichung in Form
ρ0
21
D2u
= ∇X0 · P FT + ρ0 f
Dt2
(2.58)
s. dazu [18].
auch Hoocksches Materialmodell genannt.
23
In Anlehnung an [93].
24
Hierbei kennzeichnet der Indizes 0 die Ausgangskonfiguration, wobei für die Momentankonfiguration keine
Indizierung vergeben wird.
22
20
beschrieben. In Update-Lagrange-Formulierung überführt, wo die Identität
F=I
(2.59)
gilt, kann die Gleichung (2.58) in der inkrementellen Form wie folgt umgeschrieben werden:
ρ
D2 δu
= ∇X · FδP + PδFT + δPδFT + ρδf .
2
Dt
(2.60)
Und entsprechend in integraler Form:
ρ
v
D2 δu
dv =
n · FδP + PδFT + δPδFT da +
ρδf dv.
2
Dt
v
(2.61)
∂v
Die inkrementelle Formulierung des zweiten Piola-Kirchhoff-Spannungstensors sowie des
Green-Lagrangeschen Verzerrungstensors können dabei analog zu den Gleichungen (2.55)
und (2.22) als
und
δE =
δP = 2μδE + λsp (δE) I.
(2.62)
1
δH + (δH)T + δH · (δH)T
2
(2.63)
formuliert werden. Dabei ist
δH = ∇X δu
(2.64)
die inkrementelle Darstellung des Verschiebungsgradienten aus Gleichung (2.19). Die Gleichungen (2.62) bis (2.64) zeigen den Zusammenhang zwischen den inkrementellen Spannungsbzw. Verzerrungstensoren und der inkrementellen Verschiebung. Durch das Einsetzen der
Gleichngen (2.62) zusammen mit (2.63) in Gleichung (2.60) ergibt sich ein System von drei
partiellen Differentialgleichungen25 zur Bestimmung der Komponenten des inkrementellen
Verschiebungsvektors δu. Bei der Berechnung mit der Update-Lagrange-Methode erfährt
die Struktur eine stets inkrementellen Verschiebung δu von der Anfangs- in die Momentankonfiguration. Dieses gilt auch für den zweite Piola-Kirchhoff-Spannungstensor und GreenLagrangescher Verzerrungstensor, die sich aus dem obigen Zusammenhang mit δu ergeben.
Die Transformation des zweiten Piola-Kirchhoff-Spannungstensors von der Anfangs- in die
Momentankonfiguration erfolgt dabei über den Cauchyschen Spannungstensor
S=
1
FPFT ,
detF
(2.65)
bei dem der Spannungstensor S nach jedem Update aus der Momentankonfiguration wieder zu einem zweiten Piola-Kirchhoff-Spannungstensor als eine neue Anfangskonfiguration
gesetzt wird.
25
welche mit entsprechenden Rand- und Anfangsbedingungen gelöst werden können.
21
2.4. Lagrange-Euler-Formulierung
Die Beschreibung der Erhaltungsgleichungen (2.51) und (2.93) für Fluide sind für ein Kontinuum in einem raumfesten Bezugssystem (Euler) formuliert. Die Erhaltungsgleichung (2.58)
für den Festkörper ist für ein Kontinuum in einem mitbewegten Bezugssystem (Lagrange)
beschrieben. Beide Betrachtungsweisen können in einer Mischform miteinander kombiniert
werden. Diese Methode wird auch die Lagrange-Euler-Formulierung (ALE)26 genannt. Anwendung findet diese Formulierung bei der Finiten-Volumen-Methode (FVM) zur Gitterbewegung. Dabei ist das Kontrollvolumen (KV) nicht mehr raumfest und bewegt sich in
gewisser Maßen mit der Fluidströmung. Im folgenden Abschnitt werden die Grundlagen der
ALE-Kinematik erläutert und die dazu gehörigen Bilanzgleichungen formuliert.
2.4.1. Klassische Formulierungen und die ALE-Methode
Die Euler-Formulierung wird meist für die Beschreibung von Fluidströmungen verwendet.
Hiermit kann das nicht endliche Verformungsverhalten der Flüssigkeiten, die z.B. infolge
einer zeitlich konstanten Scherkraft aufgebaut wird, beschrieben werden. Dabei bleibt das
Berechnungsgitter, wie in der Abbildung 2.5(a) gezeigt, raumfest und die materiellen Punkte
bewegen sich durch die Netzgeometrie. Die Lagrangesche Formulierung dagegen wird zur Beschreibung von Festkörpern verwendet. Hier folgt jeder Knoten des Berechnungsgitters, wie
in der Abbildung 2.5(b) dargestellt, einem materiellen Punkt während der Netzbewegung.
Sowohl die Euler- als auch die Lagrange-Methode haben je nach Anwendungsgebiet Vor- und
Nachteile. Mit der Euler-Methode können beispielsweise keine Ränder oder Grenzflächen bewegt werden, wobei die Lagrangesche Methode sich nicht für die Beschreibung von großen
Verzerrungen eignet, ohne dass eine Änderung der Netztopologie stattfindet. Die Entwicklung der ALE-Methode27 verbindet dabei die Vorteile der klassischen Betrachtungsweisen
durch eine Kombination beider Formulierungen. In der ALE-Beschreibung bewegen sich die
Gitterpunkte relativ zum Kontinuum im bestimmten28 Rechengebiet, um somit die Vorteile
der Lagrange- und Euler-Methoden zu erreichen.
2.4.2. Transformationsgradienten und Relativgeschwindigkeiten
Bei der ALE-Methode muss sowohl die Gitterbewegung als auch die materielle Punktbewegung entsprechend in einer bestimmten Weise beschrieben werden. Dies erfordert die Einführung einer dritten Konfiguration, worin die referentielle bzw. ALE-Koordinate χ die Position
26
27
28
engl. Arbitrary Lagrangian-Eulerian Method.
s. Literatur von BELYTSCHKO und KENNEDY [28] und [89].
vom Programmierer eigens definiertes bzw. ausgewähltes Rechengebiet mit der Gitterbewegung.
22
t + Δt
t
t
t + Δt
(a) Eulersche Formulierung: Das Gitter ist
(b) Lagrangesche Formulierung: Jeder Knoten des
raumfest und die materiellen Punkte bewegen
sich durch die Netzgeometrie.
Rechengitters folgt einem materiellen Partikel während der Gitterbewegung.
Abbildung 2.5.: Klassische Formulierungen nach Euler und Lagrange, nach [42]
der Gitterpunkte definiert. Des Weiteren ist es sinnvoll, entsprechende Transformationsregeln
einzuführen, so dass zwischen den verschiedenen Konfigurationen, nach Euler oder Lagrange,
transformiert werden kann:
Fx =
dx
,
dχ
(2.66)
FX =
dX
.
dχ
(2.67)
Der Gradient Fx transformiert von den referentiellen zu räumlichen Koordinaten. Dieser
ist als die Bewegung der Gitterpunkte in räumlichen Koordinaten zu verstehen. Der zweite
Gradient FX transformiert die referentiellen in die materiellen Koordinaten. Die Inverse
von FX −1 ist als die Bewegung von materiellen Punkten in referentielle Koordinaten zu
verstehen. In der nachfolgenden Abbildung ist der Zusammenhang zwischen den Gradienten
und den unterschiedlichen Koordinaten gezeigt. F ist bereits als der Deformationsgradient
aus der Gleichung (2.17) bekannt. Neben den beiden Gradienten gibt es auch zwei wichtige
Relativgeschwindigkeiten, die wie folgt definiert sind:
v̂(χ, t) =
∂x ,
∂t χ
w(X, t) =
∂χ .
∂t X
(2.68)
(2.69)
Die Geschwindigkeit v̂ aus Gleichung (2.68) beschreibt die zeitliche Änderung der räumlichen Koordinaten x mit der festgesetzten ALE-Koordinate χ. Dieser Term wird auch als die
Netz- bzw. Gittergeschwindigkeit bezeichnet. Die Geschwindigkeit w aus Gleichung (2.69)
beschreibt die zeitliche Veränderung von referentiellen Koordinaten χ mit den festgelegten
23
t + Δt
t
Abbildung 2.6.: ALE Formulierung: Die Gitterpunkte bewegen sich relativ zum Kontinuum in einer willkürlichen Art und Weise, um die Vorteile beider klassischen Beschreibungsmethoden zu
erreichen, nach [42].
F
materielle Koordinaten X
räumliche Koordinaten x
FX
Fx
ALE Koordinaten χ
Abbildung 2.7.: Zusammenhang zwischen den Transformationsgradienten: Gradientenanordnung zwischen
den unterschiedlichen Koordinaten. Die Bewegung der ALE-Koordinaten, die in Verbindung mit dem Rechengitter stehen, sind unabhängig von der Bewegung materieller Punkte.
materiellen Koordinaten X. Aus diesem Grund kann w als Geschwindigkeit der materiellen
Punkte im Bezug auf das Rechengitter interpretiert werden. Diese Definitionen veranschaulichen, dass die Geschwindigkeit eines materiellen Partikels in den räumlichen Koordinaten
(2.12) vollständig unabhängig von der Netzgeschwindigkeit ist. Der Zusammenhang zwischen
den neu eingeführten Gradienten und den Deformationsgradienten sowie den Geschwindigkeiten aus Gleichung (2.68),(2.69) und v sind von großer Bedeutung für die Definition der
ALE-Methodik. Für die Gradienten wird diese Beziehung wie folgt aufgefasst:
F = Fx FX −1 ,
(2.70)
24
wobei die Verknüpfung zwischen den Geschwindigkeiten durch29 :
v = v̂ +
dx
w = v̂ + Fx w
dχ
(2.71)
definiert ist. Schließlich ergibt sich mit dieser Gleichung der Ausdruck für die konvektive
Geschwindigkeit
c = v − v̂ = Fx w.
(2.72)
Diese beschreibt die relative Bewegung zwischen den materiellen Partikeln und dem Rechengitter. Das Hauptaugenmerk liegt dabei auf dem Unterschied zwischen den Geschwindigkeiten w und c30 . Im Anschluss an die wichtigsten kinetischen Variablen sollen noch die drei
speziellen Fälle der konvektiven Geschwindigkeit aufgeführt werden:
• Fx = I:
c = w,
(2.73)
ausgehend von der Gleichung (2.72) ist daraus zu schließen, dass das Rechengitter nur
translatorische Bewegungen ohne Verzerrungen oder Drehungen ausführen kann.
• FX = I und X = χ:
c = 0,
(2.74)
ergibt sich mit v = v̂ aus den Gleichungen (2.12),(2.68) und (2.72). Damit ist die
Gittergeschwindigkeit und die Geschwindigkeit der materiellen Partikel identisch und
es liegt eine reine Beschreibung nach Lagrange vor.
• Fx = I und x = χ:
c = v,
(2.75)
dies ergibt sich (aus Gleichung (2.68)) wenn v̂ = 0 . Damit liegt eine reine Beschreibung
nach Euler vor.
Aus diesen Beispielen wird ersichtlich, dass die zwei klassischen Beschreibungen nach der
Euler- und Lagrange-Methode ebenfalls mittels der ALE-Methodik formuliert werden können.
2.4.3. ALE Bilanzgleichungen
In der ALE-Methodik ist der Zusammenhang zwischen materieller Zeitableitung von physikalischen Feldgrößen in den materiellen, räumlichen und referentiellen Koordinaten für die
29
30
Beweis s. [28].
w wird dabei aus den ALE-Koordinaten betrachtet, wobei c aus den räumlichen Koordinaten betrachtet
wird.
25
Formulierung der ALE-Bilanzgleichungen unerlässlich. Zusammen mit den Gleichungen (2.5)
und (2.6) ergibt sich eine dritte Darstellung einer physikalischen Feldgröße in ALE-Form:
Φ = Φ(χ, t)
(2.76)
Φ(X, t) = Φ(X(χ, t), t) = Φ(χ, t).
(2.77)
bzw.
Die materielle Zeitableitung in den ALE-Koordinaten kann entsprechend den Gleichungen
(2.8) und (2.10) wie folgt ausgedrückt werden:
∂Φ(χ, t) ∂χ ∂Φ(χ, t) DΦ(χ, t)
+
.
=
·
Dt
∂t χ
∂χ
∂t X
(2.78)
konvektiver Anteil
lokaler Anteil
Dadurch, dass der konvektive Anteil sich aus der Relativgeschwindigkeit (s. (2.69)) zusammensetzt, kann die materielle Zeitableitung wie folgt geschrieben werden:
∂Φ(χ(X(x, t), t), t)
DΦ(χ, t)
∂Φ(χ, t) +
=
·w
Dt
∂t χ
∂χ
Gl.(2.72)
=
∂Φ(χ, t) ∂Φ(χ, t)
+
·c
∂t χ
∂x
=
∂Φ(χ, t) + ∇x Φ(χ, t) · c.
∂t χ
(2.79)
Aufgrund der Äquivalenz der unterschiedlichen Darstellungen der materiellen Zeitableitung
kann eine zusammenhängende Verknüpfung der materiellen Zeitableitung in Form von einer
lokalen referentiellen Zeitableitung und den räumlichen Gradienten gebildet werden:
∂Φ DΦ =
+ ∇x Φ · c.
Dt X
∂t χ
(2.80)
Die obige Gleichung zeigt, dass die materielle Zeitableitung von Φ die Summe aus einem
lokalen Anteil mit festgelegtem Koordinatensystem χ und einem konvektiven Term infolge
der relativen Geschwindigkeit c bildet. Die Gleichung (2.80) ist auch als die fundamentale
ALE-Gleichung bekannt, die in Anlehnung an Gleichung (2.14) jedoch in den referentiellen
Koordinaten (χ, t) gebildet wird. Um die ALE-Form der eingeführten Bilanzgleichungen aus
(2.46) und (2.47) zu erhalten, muss nur noch die materielle Zeitableitung ersetzt werden.
Die rechte Seite bleibt mit der räumlichen Formulierung identisch. Daraus resultiert die
Massenbilanz
und die Impulsbilanz
∂ρ + (∇x ρ) · c = −ρ∇x · v
∂t χ
⎛
ρ⎝
(2.81)
⎞
∂v + (∇x v) · c⎠ = ∇x · S + f .
∂t χ
(2.82)
26
Schließlich erhält man mittels dem Reynoldsschen Transporttheorem die integralen Formen
als Ausgangspunkt für ein Diskretisierungsschema mit:
vχ
vχ
∂ρ dvχ = −
ρc · ndaχ ,
∂t χ
(2.83)
∂vχ
∂(ρv) dvχ = −
ρv(c · n)daχ +
S · ndaχ +
f dvχ .
∂t χ
v
∂vχ
∂vχ
(2.84)
χ
In diesem Fall kennzeichnet vχ das ALE-Kontrollvolumen und aχ die Ränder, die mit der
Gittergeschwindigkeit v̂ bewegt werden. Aus den obigen Gleichungen können auch optional
die Formulierungen nach Lagrange (v̂ = v (c = 0)) oder Euler v̂ = 0 (c = v) gewählt
werden. Die Grundvoraussetzung für die Nutzung der ALE-Technik ist die Definition einer
zusätzlichen Bilanzgleichung. Diese wird auch als Raumerhaltungsgleichung31 bezeichnet und
schreibt sich wie folgt:
vχ
∂ dvχ =
v̂ · ndaχ .
∂t χ
(2.85)
∂vχ
Diese Gleichung verlangt, dass die zeitliche Änderung des Volumens gleich den während
der Gitterbewegung überstrichenen Randflächen entspricht. Dabei darf gemäß der obigen
Definition kein Volumen verloren gehen. Damit lässt sich die zunächst unbekannte Gittergeschwindigkeit v̂ nun bestimmen.
2.5. Strömung der nicht mischbaren Fluide
In dieser Arbeit wird die so genannte Volume-of-Fluid Methode (VOF)32 zur Beschreibung
der nicht mischbaren, zweiphasigen und inkompressiblen Fluide33 verwendet. Diese basiert
auf der Behandlung des gesamten Strömungsgebiets mit einem Satz von Erhaltungsgleichungen, wobei an der Grenzfläche zwischen den zwei Phasen eine nicht kontinuierliche Verteilung
der jeweiligen Materialeigenschaften vorherrscht. Die Grenzfläche zwischen den zwei Phasen
wird hier gesondert behandelt. Dabei wird für das zweiphasige Strömungsgebiet ein Fluidanteil bzw. eine Transportgröße als Indikatorfunktion α vorgeschrieben. Hierfür gilt:
⎧
⎪
⎪
⎪
1,
⎪
⎪
⎨
Fluid a
α = ⎪0 < α < 1, Grenzfläche zwischen Fluid a und b
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩0,
31
32
33
Fluid b.
Im engl. auch Geometric Conservation Law (GCL).
Erstmals in der Arbeit von HIRT und NICHOLS [49] vorgestellte numerische Methode.
z.B. Wasser und Luft zur Modellierung von Oberflächenwellen.
(2.86)
27
Das mathematische Modell zur Berechnung nicht mischbarer Fluide in der ALE-Formulierung
kann analog zu den Gleichungen (2.83), (2.84) und zusammen mit der Transportgleichung
für α wie folgt geschrieben werden:
vχ
vχ
∂(ρv) dvχ +
∂t χ
vχ
∂ρ dvχ +
∂t χ
∂α dvχ +
∂t χ
ρv(c · n)daχ =
∂vχ
ρc · ndaχ = 0,
(2.87)
αc · ndaχ = 0,
(2.88)
∂vχ
∂vχ
S · ndaχ +
∂vχ
vχ
f dvχ . +
fs dvχ .
(2.89)
vχ
Unter Verwendung der Transportgröße der Phasen α, errechnet sich die Dichte aus der
Wichtung beider Fluiddichten a und b zu
ρ = αρa + (1 − α)ρb
(2.90)
und für die Viskosität erhält man in analoger Weise
η = αηa + (1 − α)ηb .
(2.91)
In der Gleichung (2.89) beschreibt der neu dazugekommene Term fs die Kräfte, die infolge
der Oberflächenspannung hervorgerufen werden. Dieser Term berechnet sich mit
fs = σκns ,
(2.92)
worin σ der Oberflächenspannungskoeffizient ist und κ die Oberflächenkrümmung, die sich
mit
κ = ∇x · ns
(2.93)
errechnet. Desweiteren ist ns der Normalenvektor der freien Oberfläche. Dieser lässt sich mit
ns =
berechnen.
∇x α
|∇x α|
(2.94)
28
In dieser Arbeit findet die programmiertechnische Umsetzung zur Lösung der kontinuumsmechanischen Bilanzgleichungen aus Kapitel 2 auf Basis der freien Software OpenFOAM
[104, 56, 73] statt. Die angewendete numerische Methode zur Berechnung der strömungsund festkörpermechanischen Feldprobleme basiert dabei auf der Finite Volumen Methode
(FVM) [3, 34, 96]. Diese wird nachfolgend für die zweiphasige Strömung nicht mischbarer
Flüssigkeiten in der integralen ALE-Betrachtungsweise formuliert.
3.1. Fluid-Diskretisierung
Zur Erhaltung der diskreten Bilanzgleichungen aus den integralen Gleichungen (2.83,2.84,2.85)
und (2.88) muss das Berechnungsgebiet räumlich in eine endliche Anzahl finiter Volumen und
eine zeitlich beliebigen Anzahl von Zeitschritten zerlegt werden. Zur Veranschaulichung der
räumlichen Diskretisierung ist im Bild 3.1 ein hexaederförmiges Kontrollvolumen (KV) bzw.
KV-Zelle in kartesischen Koordinaten dargestellt. Für die Kennzeichnung der Flächen und
Punkte innerhalb des Kontrollvolumens wird die für die FVM übliche Kompassnotation verwendet. Dabei bezeichnet P den Berechnungspunkt im Massenschwerpunkt1 der KV-Zelle,
die Seitenflächen werden mit Kleinbuchstaben t (top), b (bottom), n (north), s (south),
w (west) und e (east) gekennzeichnet, die Großbuchstaben T, B, N, S, W und E kennzeichnen die Berechnungspunkte der benachbarten Kontrollvolumen. Ferner, zur Veranschaulichung des Strömungsvorgangs zwischen zwei Kontrollvolumen, werden die KV-Flächen mit
f = n, e, s, w, t, b und die Berechnungspunkte der benachbarten Kontrollvolumen mit N gekennzeichnet. Damit kann S f als Flächenvektor an jeder KV-Zellenfläche definiert werden.
Dieser befindet sich im Zentrum der KV-Fläche und steht senkrecht auf der Zellenfläche
nach außen gerichtet. Die Länge des Vektors S f ist durch den Betrag der KV-Seiten bestimmt. Die Berechnungsprozedur der Strömungsgrößen (z.B. Druck und Geschwindigkeit)
im Zelleninneren erfolgt zunächst durch eine geeignete Diskretisierung der Bilanzgleichungen. Die Bilanzgleichungen für zweiphasige inkompressible Fluide lassen sich schließlich für
1
Die diskreten Berechnungspunkte werden in dieser Arbeit in der zellenorientierter Variablenanordnung
betrachtet.
29
jede einzelne KV-Zelle analog zu den oben genannten Erhaltungsgleichungen in der halbdiskretisierten Form wie folgt ausdrücken:
nf f
vχ
f
∂α dvχ +
∂t χ
f
vχ
f
∂(ρv) dvχ = −
∂t χ
f
n
zeitliche Änderung
(3.1)
αc · ndaχ = 0,
n
v̂ · ndaχ ,
(3.3)
∂vχ
ρv(c · n)daχ +
∂vχ
(3.2)
∂vχ
f
∂ dvχ =
∂t χ
f
vχ
n
ρc · ndaχ = 0,
∂vχ
nf f
∂vχ
Konvektionsterm
S · ndaχ +
Diffusionsterm
vχ
f̃ dvχ .
(3.4)
Extraterm
Die obigen Gleichungen sind immer noch exakt und diskretisieren nur das geometrische
Rechengebiet. Anhand der Gleichung (3.4) werden im Folgenden die wichtigsten Terme zur
örtlichen und zeitlichen Diskretisierung beschrieben.
T
St
N
t
P
W
Sw
w
s
S
y
x
e
Se
E
b
Ss
z
n
Sn
Sb
B
Abbildung 3.1.: Hexaederförmiges Kontrollvolumen mit der üblichen Kompassnotation.
Der erste Term kennzeichnet dabei die zeitliche Änderung der Strömungsgröße2 Φ, die als
Feldvariable im Zellzentrum eines Kontrollvolumens zu bestimmen ist. Der Konvektionsterm
repräsentiert hierbei den Transport von Φ infolge der Strömungsgeschwindigkeit, während
der Diffusionsterm den molekularen Transport bzw. die innere Reibung repräsentiert. Der
Extraterm beschreibt in diesen Fall die auf ein Kontrollvolumen einwirkenden Volumenkräfte. Als nächstes erfolgt die Diskretisierung der konvektiven- und diffusiven Terme in zwei
Schritten:
2
In Gl.(3.4) ist Φ = vρ.
30
1. Die Diskretisierung der Oberflächenintegrale erfolgt zunächst mittels der Gauß-Quadratur.
2. Die Gauß-Quadratur erfordert weiterhin mindestens einen Wert des Integranden an der
Fläche des KV. Die Werte auf den KV-Flächen werden durch Interpolation zwischen
den Werten der benachbarten KV-Zentren ermittelt.
Die numerische Integration für den ersten Punkt erfolgt in dieser Arbeit stets mittels der
Mittelpunktsregel. Die Behandlung des zweiten Punktes erfolgt entsprechend mit geeigneten
Diskretisierungsverfahren für die konvektiven und diffusiven Flüsse. Die hier verwendeten
Diskretisierungsmethoden werden im nächsten Abschnitt zusammen mit der Approximation
des Extraterms und der zeitlichen Änderung näher erläutert.
3.1.1. Diskretisierung der konvektiven Flüsse
Die Kontinuitätsgleichung (3.1), die nur aus einem Konvektionsterm besteht, kann in der
diskretisierten Form wie folgt geschrieben werden
nf f
ρc · ndaχ ≈
nf
Φc = 0
(3.5)
f
∂vχ
mit
Φc = (Φf − Φg ).
(3.6)
Φf = S f · v f
(3.7)
In Gleichung (3.6) beschreibt
den Fluss über die KV-Flächen. Somit setzt sich laut Gleichung (3.6) der Gesamtdurchfluss
an den KV-Flächen aus der Differenz zweier Flüsse zusammen. In der Literatur [34] werden
diese auch als Massenfluss und Gitterfluss bezeichnet. Anschaulich bewirkt die Bewegung
des Fluids, die durch Φf charakterisiert wird, den Massenfluss, während die Bewegung des
Gitters, durch Φg beschrieben, den Gitterfluss verursacht. Weitere konvektive Terme aus
der zweiphasigen Transportgleichung (3.2) und der Impulsgleichung (3.4) können analog in
diskreter Form mit
nf f
und
ρv(c · n)daχ ≈
f
∂vχ
Φc v f
(3.8)
f
∂vχ
nf nf
αc · ndaχ ≈
nf
Φc αf
(3.9)
f =1
dargestellt werden.
Für die Interpolation der Berechnungspunkte zu den Flächenzentren f gibt es verschiedene
31
Methoden in der Literatur [48, 85, 34]. Die in dieser Arbeit verwendeten Interpolationstechniken werden im nachfolgenden Abschnitt zusammengefasst und erläutert.
3.1.2. Approximation der Massenflüsse
Eine weit verbreitete Interpolationsmethode zur Approximation der Massenflüsse ist das
Upwind-Differenzen-Verfahren (UDS). In der Abbildung 3.2 a) ist prinzipiell die Funktion
dieser Methode anhand von zwei benachbarten KV-Berechnungspunkte N und P gezeigt.
Bei diesen Verfahren nimmt der Wert der Transportvariable Φf an der Oberfläche entweΦN
ΦN
Φf
ṁf > 0
a)
ṁf < 0
Φf
Φf
b)
ΦP
N
f
Sf
δx
N
f
δx
P
linkes KV
z
ΦP
Sf
P
linkes KV
rechtes KV
rechtes KV
y
x
Abbildung 3.2.: Interpolationsverfahren zur Approximation der Massenflüsse: a) UDS und b) CDS.
der den Wert an der Stelle N oder an der Stelle P in Abhängigkeit von der Richtung des
Massenstroms ṁf . Somit gilt:
Φf =
⎧
⎪
⎨ΦN ,
für ṁf = S f · (ρv)f > 0,
⎪
⎩Φ
für ṁf = S f · (ρv)f < 0.
P,
(3.10)
Das UDS besitzt eine Genauigkeit erster Ordnung, welche dadurch zwar uneingeschränkt stabil ist, jedoch aufgrund des Approximationsfehlers erster Ordnung diffusiv ist. Ein weiteres
Interpolationsschema, welches zur Approximierung der Massenflüsse verwendet wird, ist das
Zentraldifferenzen-Verfahren (CDS) (s. Abb.3.2 b). Das Zentraldifferenzen-Verfahren stellt
eine lineare Interpolation zwischen den Werten der Transportvariablen in den Massenmittelpunkten N und P dar, wobei beachtet werden muss, dass bei nicht orthogonalen Gittern die
Verbindungslinie δx = xP − xN nicht durch die Oberflächenmittelpunkte f geht, sondern je
nach Anordnung der Kontrollvolumen versetzt und mit f˜ gekennzeichnet ist. Daraus ergibt
sich für die Interpolation
Φf ≈
|xf˜ − xN |
|xP − xf˜|
ΦN +
ΦP .
|δx|
|δx|
(3.11)
Bei der Verwendung der aufgeführten Notation steht xN für den Massenmittelpunkt des
betrachteten Kontrollvolumens und xP wechselt bei der Summation zwischen den Mittelpunkten der jeweils betrachteten Nachbarkontrollvolumen. Das CDS ist ein Verfahren zweiter
32
Ordnung, mit dem sich eine genauere Approximation erreichen lässt, jedoch bei zu großen
Abständen der benachbarten KV-Zellen können Instabilitäten in der Lösung auftreten.
3.1.3. Approximation der Transportgröße
Bei der Diskretisierung des konvektiven Terms aus der zweiphasigen Transportgleichung (3.9)
wird das sogenannte High Resolution Scheme (HRS) nach Van Leer verwendet. Die Vorgehensweise bei der Interpolation der Transportgröße αf zur Berechnung der zweiphasigen
Fluidströmungen ist hierfür unerlässlich und wird anhand Abbildung 3.3 veranschaulicht.
v
benachbartes KV
NN
N
zentrales KV
f
P
Abbildung 3.3.: Konfiguration der Berechnungspunkte für das Van Leer Schema.
In Bezug auf ein HRS berechnet sich der Wert an der KV-Seite nach WATERSON ET
AL.[103] mit
1
(3.12)
αf = αN + B(r)(αN − αN N ).
2
Darin können mit der sogenannten Begrenzungsfunktion B(r) unterschiedliche Interpolationsschemata definiert werden. Die Variable r wird als Gradienten-Verhältnis bezeichnet und
lässt sich definieren als
αP − αN
.
αN − αN N
Darüberhinaus ist die Begrenzungsfunktion
r=
B(r) =
r + |r|
.
r+1
(3.13)
(3.14)
Für den Fall B(r) = 0 ist das HRS gleich dem UDS-Verfahren. Im Falle des Van Leer
Schemas wird jedoch ein nichtlinearer Ansatz verwendet. Dies erfolgt nur dann, wenn die
Werte für α nicht in der nachfolgenden Reihenfolge angeordnet sind
αP > αN > αN N .
(3.15)
Wenn jedoch die Größenordnung den α-Werten aus Gleichung (3.15) entspricht, dann ergibt
sich für den Flächenwert
αf = αN +
(αP − αN )(αN − αN N )
.
αN − αN N
(3.16)
Die Genauigkeit des Verfahrens laut [103] hängt von der lokalen Lösung der Transportgrößen
ab und variiert lokal zwischen erster und zweiter Ordnung.
33
3.1.4. Approximation der Gradienten
Die Approximierung der Gradiententerme in den Erhaltungsgleichungen findet in dieser Arbeit zum Einen über die Gaußintegration und zum Anderen über das ZentraldifferenzenVerfahren (CDS) für den Gradient in Richtung der Flächennormalen statt. Die Gaußintegration liefert dabei den Gradienten im KV-Zentren der Variablen Φ. Die Diskretisierung
erfolgt unter direkter Anwendung des Gaußschen-Satzes auf das Volumenintegral, wobei die
Diskretisierungsform
(∇Φ)P VP =
nf
S f Φf
(3.17)
f
gleichwertig ist. Bei der Approximation des Gradienten in Richtung der Flächennormalen
wird die Zentraldifferenzen-Methode verwendet
n · ∇f Φ = ∇⊥
fΦ =
ΦP − ΦN
.
δx
(3.18)
Dabei kennzeichnet der Operator ∇f den Gradienten auf den Flächen. Die Diskretisierung erzeugt einen Fehler zweiter Ordnung für orthogonale Gitter. Im Falle von nicht orthogonalem
Gitter reduziert sich die Ordnung, wie bei allen vorangegangenen Verfahren.
3.1.5. Diskretisierung der diffusiven Flüsse
Die Diskretisierung des diffusiven Terms aus Gleichung (3.4) ist von der Vorgehensweise ähnlich wie beim konvektiven Term. Somit folgt durch die Approximation des Flächenintegrals
mittels der Mittelpunktsregel
nf f
∂vχ
S · ndaχ ≈
nf
f
ηf S f · (∇ v)f + [(∇ v)P · (∇ η)P ]VP −
Term 2
Term 1
nf
f =1
|S f | ∇⊥
f pd .
(3.19)
Term 3
Diese approximierte Gleichung (3.19) besteht dabei aus drei Termen. Die ersten beiden Terme
rühren aus der Divergenz des Reibspannungstensors (vgl. Gl.(2.50)) und beschreiben damit
den Stofftransport von zweiphasigen Fluiden. Hierbei ist zu beachten, dass der zweite Term
zu Null wird, wenn es sich dabei um eine einphasige, newtonsche Fluidströmung handelt.
Dies ist der Fall, wenn die Viskosität anders als bei der zweiphasigen Strömung konstant
angenommen wird. Der dritte Term in Gleichung (3.19) ist der approximierte, kugelsymmetrische Druckanteil (vgl. dazu Gl.(2.48)). Dieser wird bei der Lösung von zweiphasigen
Strömungen für die numerische Implementierung in einer modifizierten Form in Analogie zu
RUSCHE [81] wie folgt definiert:
pd = p − ρ g · x.
(3.20)
Demnach ergibt sich pd aus der Subtraktion des physikalischen Drucks p von dem hydrostatischen Druck ρ g · x und kann unter Anwendung des Nabla-Operators zusammen mit der
34
Kettenregel auf die Gleichung (3.20) wie folgt umgeschrieben werden
∇pd = ∇p − ρ g − g · x ∇ρ.
(3.21)
Die letzten beiden Terme auf der rechten Gleichungseite kennzeichnen dabei die Volumenkräfte infolge der Erdbeschleunigung g. Die diskretisierte Darstellung der Gleichung (3.21)
kann nun wie bereits in Gleichung (3.19) gesehen vorgenommen werden.
3.1.6. Approximation des Extraterms
Der Extraterm in Gleichung (3.4) beschreibt die infolge der Oberflächenspannung auf der
Grenzfläche wirkenden Kräfte zwischen der flüssigen und gasförmigen Phase. Die Berechnung
des Extraterms lehnt sich hier an die von BRACKBILL ET AL. [9] entwickelte ContinuousSurface-Force Methode an. Die diskretisierte Form des Extraterms als eine kontinuierlich
wirkende Kraft im Übergangsbereich zwischen den beiden Phasen lässt sich demnach mit
f̃ dvχ ≈
nf
(σκ)f |S f | ∇⊥
fα
(3.22)
f =1
vχ
approximieren. Ferner wird die Oberflächenspannung σ als konstant angenommen. Die Oberflächenkrümmung κ wird hierfür gemäß nach Gleichung (2.93) bestimmt.
3.1.7. Diskretisierung des Gitterflusses
Wie bereits erwähnt, werden im Falle des Gitterflusses Φg nicht die Gittergeschwindigkeiten,
sondern die eingeführten Gitterströme berechnet. Zum Einen müssen die Gittergeschwindigkeiten nur an den Oberflächen und nicht im Kontrollvolumen-Mittelpunkt bekannt sein,
zum Anderen ist durch die Berechnung der Gittergeschwindigkeiten das Volumenerhaltungsgesetzes zu gewährleisten.
f t+δt
ft
z
y
x
Abbildung 3.4.: Darstellung des Gitterflusses.
Abbildung 3.4 zeigt, dass der Gitterfluss der zeitlichen Änderung des Volumens proportional
35
ist. An dieser Stelle wird Φg durch die Oberfläche f zwischen den benachbarten Kontrollvolumen beschrieben. Nach DEMIRDŽIĆ und PERIĆ [23] berechnet sich der Gitterfluss Φg als
das Volumen, das eine Fläche f in einem Zeitschritts δt überstreicht. Dabei ist die zeitliche
Änderung des Volumens geeignet zu approximieren. Die dafür verfügbare Methoden werden
nachfolgend im Rahmen der Diskretisierung des instationären Terms erläutert. Durch ein solches Vorgehen ist es möglich, den Gitterfluss unabhängig vom restlichen Gleichungssystem
zu berechnen und die Volumenerhaltung zu gewährleisten. Somit folgt für die Diskretisierung
von Φg für ein Kontrollvolumen
vχ
f
∂ dvχ =
∂t χ
f
n
∂vχ
v̂ · ndaχ ≈
nf
f =1
Φg =
VPt+δt − VPt
.
δt
(3.23)
3.1.8. Fluidgitterbewegung
Die Bewegung des Fluidgitters wird im Zusammenhang mit der partitionierten Fluid-StrukturWechselwirkung3 als das dritte Feld bezeichnet. Die Ansätze und Berechnungsmethoden in
Anlehnung an dieses Thema wurden bereits von mehreren Arbeitsgruppen erforscht [32,
87, 88]. Das Hauptaugenmerk bei der Lösung eines FSI-Problems auf Basis einer ALEFormulierung ist die Erhaltung einer guten Flexibilitätseigenschaft des Fluidnetzes. Das
Fluidgitter muss dabei die Bewegung der Struktur infolge der Strukturverschiebung an der
Interaktionsfläche mitverfolgen und dabei seine guten Qualitätseigenschaften beibehalten.
Im Allgemeinen gibt es drei Strategien, die zur Berechnung von Gitterbewegungen eingesetzt werden. Diese sind ausführlich von JASAK und TUKOVIĆ in [54] beschrieben. Dabei
basiert der erste Ansatz auf der ursprünglich von BLOM [8] entwickelten spring analogy
Methode. Hierbei werden alle Gitterpunktverbindungen durch Federn ersetzt. Leider hat es
sich erwiesen, dass dieser Ansatz nicht robust genug ist, um auf unterschiedliche Probleme
mit Gitterbewegung angewendet werden zu können, so dass hier zusätzliche Modifikationen
aus [20, 31] an dem grundlegenden Ansatz unternommen wurden, um die Flexibilität zu verbessern und gleichzeitig den Rechenaufwand zu verringern. Der zweite Ansatz wird nach [82]
als pseudo solid bezeichnet. Hierbei wird das Fluidgitter als ein künstliches elastisches Kontinuum repräsentiert. Bei dieser Methode wird das räumliche nichtlineare Problem auf ein
lineares Problemen reduziert, so dass die Fluidgitterbewegung nur für kleine Deformationen
anwendbar ist. Der dritte Ansatz beschreibt die Gitterbewegung mit einer Laplace-Gleichung
in Form von
∇ · (γ∇v̂) = 0.
(3.24)
Dieser Ansatz wurde von JASAK und TUKOVIĆ [54] zur Lösung der Fluidgitterbewegung
in OpenFOAM umgesetzt. Bei diesem Ansatz werden die am Rand des Berechnungsgebiets
3
mehr dazu s. Kapitel 5
36
vorgeschriebenen Bewegungsbedingungen mittels der Lösung der Laplace-Gleichung (3.24)
in das Innere des Berechnungsgitters übertragen. Die Bewegung der Gitterpunkte erfolgt
sinngemäß zur Gleichung (3.23) durch
xt+δt = xt + v̂δt.
(3.25)
Dabei kennzeichnen xt und xt+δt die alte und die neue Position der Fluidgitterpunkte. In
der Gleichung (3.24) steht γ für den Diffusionskoeffizienten. Dieser kann in OpenFOAM
optional entweder konstant oder variabel eingestellt werden (s. dazu mehr in [54]). In dieser
Arbeit hat sich die variable Einstellung des Diffusionskoeffizienten umgekehrt proportional
zum Abstand vom bewegten Rand als sinnvoll erwiesen.
3.1.9. Zeitliche Diskretisierung
Alle numerischen Modelle dieser Arbeit weisen instationäres bzw. transientes Verhalten auf.
Dieses erfordert eine geeignete Näherungslösung der zeitlichen Ableitung des instationären
Terms. Eine Möglichkeit für die Näherung der zeitlichen Ableitung ist die Verwendung des
Differentialquotienten mit einer Genauigkeit erster Ordnung. Diese Methode ist nach Euler4
benannt und kann entsprechend explizit oder implizit erfolgen
⎧
⎪
∂Φ
Φt+δt − Φt ⎨F (Φt , Φt−δt , ..)
≈
=
⎪
∂t
δt
⎩F (Φt+δt , Φt , Φt−δt , ..)
explizit
(3.26)
implizit.
Darin kennzeichnet der Ausdruck t den aktuellen Zeitschritt. Auf der rechten Seite der Gleichungen (3.26) stehen die örtlich- diskretisierten Terme, die für unterschiedliche Zeitschritte
berechnet werden. Die explizite Formulierung ermöglicht eine direkte Berechnung von Φt+δt
aus den Werten der aktuellen und vergangenen Zeit t − δt, während die implizite Form
mit den Werten für den neuen Zeitschritt t + δt auf beiden Seiten der Gleichung über ein
Gleichungssystem mit den bekannten Werten vom Rand gelöst werden muss. Daraus ergibt
sich die Möglichkeit, größere Zeitschritweite zu wählen, so dass sich ein wesentlich geringerer
Berechnungsaufwand im Vergleich zum expliziten Verfahren ergibt. Die explizite Methode
wird instabil, wenn die Courant-Zahl Co > 1 ist. Diese ist definiert als
Co =
vf
δt.
δx
(3.27)
Sie stellt das Verhältnis von der Zeitschrittweite δt zur Konvektionszeit δx/vf dar, die benötigt wird, um eine Strömung über die Distanz zwischen den Berechnungspunkten δx durch
Konvektion zu transportieren. Wegen dieses Nachteils bietet sich die Verwendung von impliziten oder Hybrid5 -Methoden an. Die implizite Methode wird fast ausschließlich in allen
4
5
Leonhard Euler
z.B. Crank-Nicolson Verfahren, zweiter Ordnung
37
Berechnungen dieser Arbeit angewendet, da diese im Vergleich zu den expliziten Verfahren
nicht an die Corant-Zahl gebunden ist. An dieser Stelle sei angemerkt, dass die zeitlichen
Diskretisierungsordnung des instationären Terms nicht von der gleichen Diskretisierungsordnung der räumlichen Konvektions-, Diffusions- oder anderen Quelltermen entsprechen
muss. Jeder Gleichungsterm kann unterschiedlich diskretisiert werden. Mit der Anwendung
der räumlichen Diskretisierungsverfahren und des impliziten Euler-Verfahrens auf Gleichung
(3.4) ergibt sich schließlich die vollständig diskretisierte Form zu
n
n
f
f
(ρvV )t+δt
P
+
Φc v t+δt
−
ηf S f · (∇ v)t+δt
=
f
f
δt
f =1
f =1
n
f
(ρvV )tP
+ [(∇ v)tP · (∇ η)P + f˜P ]VPt −
|S f | ∇⊥
f pd .
δt
f =1
(3.28)
Dabei kennzeichnet die linke Seite die impliziten Terme und die rechte Seite die expliziten Terme der diskretisierten Impulsgleichung. Die zeitliche und räumliche Diskretisierung
aller Bilanzgleichungen eines numerischen Modells führt schließlich zu einem großen linearen algebraischen Gleichungssystem. Die iterative Lösung dieses Systems ist in dieser Arbeit
ausschließlich mit Mehrgitterverfahren oder dem Verfahren der konjugierten Gradienten realisiert.
3.2. Lösungsverfahren
Die Diskretisierung und Linearisierung der Bilanzgleichungen führen zu einem linear algebraischen Gleichungssystem für das gesamte Kontrollvolumen. Die genaue Form dieser algebraischen Gleichungen hängt von der mathematischen Modellierung der Bilanzgleichung und den
verwendeten Diskretisierungsverfahren ab. Die gesuchten Größen ΦP im KontrollvolumenMittelpunkt hängen dabei von den Nachbarzellenwerten ΦN und den Quelltermen bP ab.
Für alle Kontrollvolumen des Bilanzraums i = 1, ..., n folgt daraus ein Gleichungssystem
aiP ΦiP −
aiN ΦiN = biP
für
i = 1, ..., n.
(3.29)
N
Damit stehen n Gleichungen zur Bestimmung von n unbekannten KV-Werten. Diese algebraischen Gleichungen können in der Matrix-Form wie folgt ausgedrückt werden:
A · φ = b.
(3.30)
Hierbei kennzeichnet A in der Regel eine dünn besetzte quadratische Matrix mit den aP als
Koeffizienten auf der Hauptdiagonale und aN als die Koeffizienten der Nebendiagonalen. φ
ist der Vektor der Unbekannten und auf der rechten Seite kennzeichnet b die bekannten Größen, die beispielsweise aus den Randbedingungen herrühren. Die Matrix der Koeffizienten
38
A kann des Weiteren in zwei Matrixkomponenten zerlegt werden. In eine Diagonalkomponente AD und eine Nebendiagonalkomponente AN , so dass sich aus der Addition der beiden
Komponenten
A = AD + AN
(3.31)
ergibt. Das algebraische Gleichungssystem (3.30) wird mit Hilfe eines geeigneten numerischen
Lösungsverfahrens zur Bestimmung des Vektors der Unbekannten φ gelöst. Die verschiedenen Techniken zur Lösung der algebraischen Gleichungssysteme können zusammengefasst
aus [69, 41] entnommen werden. Im Wesentlichen teilen sich die Lösungsalgorithmen in zwei
Hauptkategorien: direkte und iterative Verfahren. Direkte Verfahren liefern im Fall linearer
Systeme immer, abgesehen von numerischen Rundungsfehlern, die exakte Lösung des Gleichungssystems nach einmaligem Durchlaufen der gesamten Rechenvorschrift. Bei iterativen
Verfahren wird eine Lösung abgeschätzt und im Laufe des Verfahrens durch wiederholtes
Ausführen der Berechnungsvorschrift an die exakte Lösung angenähert. Für die direkten
Verfahren muss die Anzahl der Operationen, die notwendig sind, um eine Lösung von φ
zu erhalten, etwa mit der dritten Potenz der Anzahl der Gleichungen pro Unbekannten gerechnet werden. Diese Verfahren stellen somit einen enorm hohen Aufwand zur Lösung von
großen Gleichungssystemen [85]. Bei der Behandlung von diagonaldominanten, schwach besetzten und oft symmetrischen Matrizen, welche aus der Diskretisierung der Finite-VolumenMethode resultiert, zeigt das direkte Verfahren Nachteile. Zudem ist der Diskretisierungsfehler zumeist viel höher als die Rechengenauigkeit der direkten Verfahren, womit der Rechenaufwand unnötig hoch ist. Die aus der Diskretisierung entstandenen Eigenschaften der
Matrix machen die Verwendung von iterativen Gleichungslösern möglich und die Conjugate
Gradient (CG)-Methode, die ursprünglich von HESTENES und STIEFEL [47] entwickelt
wurde, wird hierbei des öfteren verwendet. Das originale CG-Verfahren gewährleistet, dass
die exakte Lösung des Gleichungssystems erreicht wird, wenn die Anzahl der durchlaufenen
Iterationen kleiner oder gleich der Anzahl von Gleichungen pro Unbekannte entspricht. Die
Konvergenzrate des Solvers hängt von der Verteilung der Eigenwerte der Matrix ab und
kann durch Vor- bzw. Präkonditionierung verbessert werden. Durch die in dieser Arbeit verwendete Softwareumgebung OpenFOAM stehen gleich mehrere Verfahren zur Lösung der
Gleichungssysteme zur Verfügung, welche jeweils auf eine Vielzahl von Lösungsverfahren zur
Vorkonditionierung oder Glättung zurückgreifen. Auf die einzelnen Verfahren wird nachfolgend nicht im Detail eingegangen und entsprechend auf die Referenzen [69, 34] verwiesen.
So wird zur Lösung der symmetrischen Matrizen das Preconditioned-Conjugate-Gradient
(PCG) Verfahren, zusammen mit dem Diagonal-Incomplete-Cholesky (DIC) Präkonditionierer, verwendet. Diese Kombination ist auch unter der Bezeichnung Incomplete-CholeskyPreconditioned-Conjugate-Gradient (ICCG) Verfahren bekannt und wurde von MEIJERINK
und VAN DER VORST [95] entwickelt sowie im Detail von JACOBS [52] beschrieben.
Zur Lösung der asymmetrischen Matrizen wird das Preconditioned-Bi-Conjugate-Gradient
39
(PBiCG) Verfahren mit Diagonal-Incomplete-LU (DILU) als Präkonditionierer verwendet
(s. dazu [95]). Das auf den Mehrgitterverfahren basierende Geometric-Algebraic-Multi-Grid
(GAMG) [57] Verfahren wird in dieser Arbeit zur Lösung der symmetrischen als auch asymmetrischen Systemmatrizen verwendet. Die Idee der Mehrgitterverfahren beruht auf der
Tatsache, dass ein iteratives Lösungsverfahren gerade die Fehlerkomponente einer approximierten Lösung sehr effizient eliminiert, deren Wellenlänge der Gitterweite entsprechen.
Dadurch steigt einerseits die Konvergenz des eingesetzten Verfahrens, andererseits sinkt die
Rechenzeit. Im Rahmen algebraischer Mehrgittermethoden werden Systemmatrizen für gröbere Gitter einzig durch algebraische Modifikationen des Gleichungssystems erstellt - ohne
das Netz tatsächlich anders definieren zu müssen. Des Weiteren erfordern die Mehrgitterverfahren eine Glättung des Fehlers, die hier betrachtete GAMG-Methode verwendet als Glätter
die Gauß-Seidel- sowie die DIC-Verfahren für symmetrische und DILU für asysmmetrische
Systemmatrizen, die entsprechend gute Glättungseigenschaften aufweisen6 .
3.3. Randbedingungen
Randbedingungen, die ein Berechnungsgebiet abgrenzen, müssen für jedes numerische Modell
durch eine Vorgabe bekannter Strömungsgrößen vorgeschrieben werden. Diese werden für
alle Strömungsgrößen, die in den Bilanzgleichungen stehen, entsprechend der physikalischen
Problembeschreibung, definiert. Für den Fall der zweiphasigen Strömungssimulation sind in
der OpenFOAM-Berechnungsumgebung folgende Strömungsgrößen vorzugeben:
• α, für die Transportvariable
• p, Druck
• v, Geschwindigkeitsvektor
• v̂, Gitterbewegung.
OpenFOAM beinhaltet eine große Auswahl an gemischten Randbedingungen. Fast alle lassen sich dabei aus zwei grundlegenden Basis-Typen herleiten. Dabei ist fixedValue vom Typ
der dirichletschen Randbedingung und zeroGradient vom Typ der neumannschen Randbedingung. Diese sind in der nachfolgenden Tabelle zusammengefasst und erläutert
6
vgl. dazu [34], S. 129
40
∂Φ
∂n
=0
Tabelle 3.1.: Basis-Typen zur Definition der
Randbedingungen.
Typ
Beschreibung im Bezug auf Φ
fixedValue
zeroGradient
Φ wird direkt vorgeschrieben
=0
Der Gradient ∂Φ
∂n
(s. Abb. 3.5)
ergibt sich z.B. aus der Summe
der Basis-Typen Φgem = Φ + ∂Φ
∂n
gemischte
Randbedingung
Abbildung 3.5.: Die Randbedingung zeroGradient
bedeutet, dass sich keine Änderung
von Φ in normaler Richtung zwischen
den Berechnungspunkten unmittelbar am KV-Rand und den Werten
am Rand einstellt.
Tabelle 3.2.: Definition der verwendeten Randbedingungstypen in OpenFOAM.
Definition des Typ
Bedeutung der Randbedingung
slip
Diese Randbedingung kann nur im Zusammenhang mit v und v̂ definiert werden. Dabei entspricht die Normalkomponente von vn bzw. v̂n der fixedValueBedingung mit dem Wert 0, die Tangentialkomponente vt bzw. v̂t entspricht
der zeroGradient-Bedingung.
movingWallVelocity
Wird nur für v definiert und beschreibt die Geschwindigkeit v m der Wand,
wobei der Fluss durch den Rand Null ist.
inletOutlet
Schaltet die Variablenwerte Φ zwischen zeroGradient und fixedValue in Abhängigkeit von der Richtung des Geschwindigkeitsvektors. Für die Geschwindigkeit v wird ein fest vorgegebener Einlasswert definiert, auf den zugegriffen
wird, wenn es einen Rückfluss ins Strömungsgebiet gibt.
pressureInletOutletVelocity
Ist nur anwendbar auf v. Schaltet ebenfalls zwischen Ein- und Auslasswert.
Wenn die Geschwindigkeit aus dem Strömungsgebiet fließt gilt zeroGradient,
ansonsten passt sich der Druck der Anströmungsgeschwindigkeit an.
oscillatingFixedValue
Φ oszilliert mit Φ(t) = a · cos(ωt). Hierfür kann eine vektorielle Amplitude a
und die Frequenz f = ω/2π entsprechend beliebig definiert werden.
Unter bestimmten physikalischen Voraussetzungen ist die Anwendung der oben genannten
Randbedingungen für jede Variable denkbar. Die Anwendung der Randbedingungen wird für
jede Berechnung vorgeschrieben, somit ist eine detaillierte physikalische Erklärung dieser für
die numerische Modellbildung unbedingt erforderlich. Die verwendeten Randbedingungstypen aus OpenFOAM sind in der Tabelle 3.2 aufgelistet und beschrieben. Einige dieser
Randbedingungstypen werden als intelligent7 bezeichnet, da sie in der Lage sind, ihr Verhalten den bestimmten charakteristischen Verläufen eines Strömungsfeldes anzupassen. Die
Wahl eines bestimmten Typs für jedes numerische Modell stellt einen entscheidender Faktor dar. Dieser entscheidet schließlich, ob die Berechnung physikalisch plausible und damit
brauchbare Ergebnisse liefert.
7
s. dazu [74].
41
3.4. Fluidberechnungs-Prozedur
Die in OpenFOAM implementierte Lösungsmethode zur Berechnung einer zweiphasigen, inkompressiblen und nicht mischbaren Fluidströmung basiert auf einer von WELLER8 entwickelten Interface-Capturing-Methode. WELLER definiert dabei die Kompression der Grenzfläche zwischen den zwei Fluidphasen9 durch eine Erweiterung der Indikatorfunktionsgleichung (3.2) derart, dass die ursprüngliche Transportgleichung, die von HIRT und NICHOLS
[49] vorgeschlagen wurde, nicht in ihrer Substanz verändert wird10 . Die diskretisierte Transportgleichung für die Indikatorfunktion lautet somit
f
f
t+δt
(αV )t+δt
(αV )tP
P
Φc (αf )t+δt +
Φr αf (1 − α)f
=
+
.
δt
δt
f =1
f =1
n
n
(3.32)
Dabei kennzeichnet Φr eine Art relativen Fluss. Dieser wird durch das Multiplizieren von Φs
mit dem Normalenvektor ns auf der Grenzfläche aus Gleichung (2.94) wie folgt berechnet
Φr = Φs ns .
(3.33)
Wobei Φs eine Art Phasengrenzfluss kennzeichnet und im Phasengrenzbereich durch ein
Minimum der zwei Funktionen von Φc definiert ist
Φs = min αs
|Φc |
|Φc |
, max
|S f |
|S f |
.
(3.34)
Darin kennzeichnet αs einen Koeffizienten, der die Kompression der Phasengrenzfläche beschreibt. In dieser Arbeit ist αs mit einem Wert von 1.2 eingestellt, dieser Wert liefert
erfahrungsgemäß gute Ergebnisse bei der Berechnung von freien Oberflächenwellen [35]. Im
Folgenden wird die Vorgehensweise zur Berechnung der zweiphasigen Fluidströmung erläutert.
In der Annahme einer inkompressiblen Strömung stellt die Berechnung des Druckfeldes ein
besonderes Problem dar. Dadurch, dass der Druck nur in der Impulsgleichung vorkommt,
entsteht ein Schließungsproblem aufgrund des fehlenden Drucks in der Kontinuitätsgleichung. Für die Handhabung dieses Problems gibt es verschiedene Methoden. Das in dieser Arbeit durchgehend verwendete Verfahren zur Druck-Geschwindigkeits-Kopplung ist das
PISO- (Pressure Implicit with Splitting of Operators) Verfahren nach [51]. Dabei wird in
einem iterativen Lösungsprozess zunächst ein geschätztes Geschwindigkeitsfeld aus der Impulsgleichung ohne den Druckgradient berechnet. Das Geschwindigkeitsfeld wird im Weiteren
zusammen mit dem Druck über eine Druckkorrektur korrigiert. Die Korrektur wird solange
durchgeführt, bis die Kontinuitäts- sowie die Impulsgleichung näherungsweise erfüllt sind.
8
9
s. [81] S.342 u.a. [94].
anders als die alternativ bekannten Verfahren z.B. [86].
s. hierzu Herleitung im Anhang A.
10
42
Während der Berechnungsprozedur wird zuerst eine Systemmatrix A, die aus der diskretisierten Impulsgleichung ohne Druckanteil und Quellterme resultiert, erstellt
A :=
nf
nf
1 1 (ρv)t+δt
P
+
Φc v t+δt
−
ηf S f · (∇ v)t+δt
−q
f
f
δt
VP f =1
VP f =1
(3.35)
mit
(ρv)tP
(3.36)
+ (∇ v)tP · (∇ η)P .
δt
An diesem Punkt wird das charakteristische Merkmal des PISO-Algorithmus, das iterative
q=
Splittingverfahren nach Jacobi, eingeführt. Dieses Verfahren stellt eine einfache Möglichkeit
dar, sich eine Näherungslösung aus einem algebraischen Gleichungssystem durch eine Iterationsvorschrift zu berechnen. Durch das Extrahieren der Systemmatrix A in die Diagonalund Nebendiagonalkomponenten lässt sich die Gleichung (3.35) in Form von
nf
AD v P =
AN v N + q − (∇pd )P
(3.37)
N =1
umschreiben11 . Hiermit folgt schließlich aus Gleichung (3.37) die Geschwindigkeitskorrektur
und Druckgleichung in Form von
vP =
AH
AD
mit
AH =
nf
−
P
∇pd
AD
(3.38)
P
AN v N + q.
(3.39)
N =1
Die Gleichung (3.38) zusammen mit den Termen aus Gleichung (3.28) kann schließlich in
Form von
vf =
AH
AD
−
f
∇pd
AD
−
f
1
AD
f
(f · x)f |S f | ∇⊥
fρ+
1
AD
f
(σκ)f |S f | ∇⊥
fα
(3.40)
umgeschrieben werden. Daraus lässt sich die Prädiktor-Korrekturgleichung für den Fluss
durch die Interpolation der Gleichung (3.40)12 wie folgt
Φ = Φ∗ −
1
AD
f
|S f | ∇⊥
f pd
(3.41)
ausdrücken. Φ∗ kennzeichnet dabei den geschätzten Volumenstrom. Dieser ergibt sich aus
Φ∗ =
11
12
AH
AD
· Sf −
f
1
AD
f
(f · x)f |S f | ∇⊥
fρ+
1
AD
f
(σκ)f |S f | ∇⊥
f α.
(3.42)
Der Index für die zeitliche Diskretisierung wird im Weiteren weggelassen, da dieser für das Verständnis
keine Bedeutung hat.
Die Berechnung der Flüsse erfolgt durch Multiplikation der interpolierten Geschwindigkeit an den Kontrollvolumenfläche mit den KV-Flächen.
43
Anschließend wird mit der Gleichung (3.41) und einem geschätzten Druckwert iterativ versucht die Bedingung für die Inkompressibilität bzw. Divergenzfreiheit zu erfüllen, so dass
man daraus die Druckkorrekturgleichung aus der Kontinuitätsgleichung erhält
nf f =1
1
AD
f
|S f | ∇⊥
f pd =
nf
Φ∗ .
(3.43)
f =1
Der daraus resultierende Algorithmus zur Berechnung der zweiphasigen Strömung lässt
Initialisierung
p = 0, v = 0
Berechnung des relativen
Flusses Φc = Φf − Φg
Gitterbewegung
nach Laplace-Gl.
Löse Transportgleichung
Löse Impulsgleichung
PISO Korrektur
k<n
Ja
Nein
Zeitschritt
erhöhen bis
t < tend
Nein
Ende
Addiere den hydrostatischen Druckanteil
Ja
Schätze den Fluss ab
Löse Druckgleichung
Erneuere Geschwindigkeitsfeld und aktualisiere
Randbedingungen
Korrigiere den Fluss
Abbildung 3.6.: Schematische Darstellung der Berechnungsprozedur des zweiphasigen Strömungslösers anhand eines Flussdiagramms.
sich, analog zur schematischen Darstellung in einem Flussdiagramm der Abbildung 3.6, in
folgenden Schritten unterteilen:
1. Beginne mit einem neuen Zeitschritt
2. Aktualisiere Gitterbewegung nach Gl. (3.24)
3. Berechne den relativen Fluss nach Gl. (3.6)
4. Löse die Transportgleichung für zweiphasige Strömung (3.32)
5. Erstelle die Systemmatrix, Gleichung (3.35)
6. Löse die Impulsgleichung (3.38) mit geschätztem Druckwert
7. Beginne mit der PISO-Schleife
8. Schätze den Fluss mit der Gleichung (3.42) ab
44
9. Erstelle und löse die Druckgleichung (3.43)
10. Korrigiere den Fluss mit Gleichung (3.41)
11. Erneuere das Geschwindigkeitsfeld und aktualisiere die Randbedingungen13
12. Ende PISO-Schleife
13. Berechne den Gesamtdruck
Die Reihenfolge des aufgeführten Lösungsalgorithmus wird nachfolgend zusammengefasst.
Zu Beginn eines jeden Zeitschrittes (Schritt 1) wird die Transportgleichung für die zweiphasige Strömung gelöst (Schritt 2). Im dritten Schritt wird die Systemmatrix A erstellt sowie
die Impulsgleichung gelöst (Schritt 4). Des Weiteren wird der PISO-Algorithmus in Schritt
5 bis 10 in einer Korrekturschleife, in der die Druckgleichung und die GeschwindigkeitsKorrekturgleichung auf der Basis der Druckänderung gelöst wird, solange durchgeführt, bis
die Kontinuitätsgleichung näherungsweise erfüllt wird. Anschließend wird im Schritt 11 der
physikalische Gesamtdruck mit
p = pd + ρ (g · x)
(3.44)
berechnet, indem der hydrostatische Druckanteil dazu addiert wird.
3.5. Struktur-Diskretisierung
In Analogie zur Fluidströmung basiert die numerische Diskretisierung der Impulserhaltungsgleichung (2.61) aus Abschnitt 2 für den Festkörper ebenfalls auf der Finite-Volumen-Methode.
Die Lösungsprozedur ist in ähnlicher Weise wie in DEMIRDŽIĆ und MUZAFERIJA [21] zu
finden und in Anlehnung an TUKOVIĆ und JASAK [93], die eine Lösungsmethode für elastische Festkörper mit großen Deformationen in der Update- Lagrangeschen-Formulierung auf
Basis der FVM entwickelt haben, umgesetzt. Demnach kann die Impulserhaltungsgleichung
in der diskretisierten Form wie folgt dargestellt werden
n
ρP VP
nf
f
δut+δt
P
−
(2μf + λf ) S f · (∇ δu)t+δt
=
f
2
δt
f =1
n
S f · qt+δt
+ ρP VP
f
f =1
f
δutP +
ρP VP δf t+δt .
δt2
f =1
(3.45)
In Gleichung (3.45) kennzeichnet q einen Tensor zweiter Stufe, der aus nichtlinearen Termen besteht. Dieser lässt sich durch das Einsetzen der Gleichung (2.63) in (2.62) wie folgt
13
z.B. zeroGradient in Gleichung (3.35).
45
schreiben
q = μ (∇ δu)T + λsp (∇ δu) I−
(μ + λ) ∇ δu + μ (∇ δu) · (∇ δu)T +
1 λ (∇ δu) · (∇ δu)T I + PδFT + δPδFT .
2
(3.46)
An dieser Stelle sei angemerkt, dass Gleichung (3.45) eine modifizierte Form der ursprünglichen Impulsbilanzgleichung darstellt. Die linke Seite dieser Gleichung zeigt den impliziten
und die rechte Seite den expliziten Anteil der Diskretisierung auf. Um die Stabilität und die
Effizienz der numerischen Lösung zu verbessern, wird von JASAK und WELLER [55] die Erweiterung des diffusiven Anteils um einen expliziten und einen impliziten Teil vorgeschlagen.
Dabei wird die ursprüngliche Erhaltungsgleichung (2.61) nicht in ihrer wesentlichen Substanz verändert, sondern nur mittels der Subtraktion des impliziten Anteils von der linken
Seite die Konditionierung der Koeffizientenmatrix verbessert. Bei der Approximation des
Gradienten in Richtung der Flächennormalen wird die Zentraldifferenzen-Methode analog
zum Abschnitt 3.1.4 verwendet. In diskretisierter Form lässt sich diese entsprechend nach
[55] wie folgt ausdrücken:
S f · (∇ δu)f = |S f |
δuP − δuN
.
δx
(3.47)
In dieser vereinfacht dargestellten Form gilt die Diskretisierung des Gradienten nur für den
Fall eines orthogonalen Gitters. Liegt jedoch eine Nicht-Orthogonalität in der örtlichen Diskretisierung vor, dann müssen nicht orthogonale Korrekturtherme berücksichtigt werden. Für
weitere Details zur Behandlung verschiedener Nicht-Orthogonalitäten wird an dieser Stelle
auf die Referenz [53] verwiesen14 . Des Weiteren wird die Methode der kleinsten Quadrate
nach [22] zur Berechnung des inkrementellen Verschiebungsgradienten für die Zellzentren
im Tensor q und der nicht orthogonalen Korrekturterme verwendet. Das Verfahren stellt
für die Approximation des Gradienten eine Genauigkeit zweiter Ordnung dar und ist unabhängig von der Gitterqualität [54]. Die zeitliche Diskretisierung wird entsprechend nach
Abschnitt (3.1.9) mittels dem impliziten Eulerverfahren durchgeführt. Obwohl die Verfahren
zweiter Ordnung etwas genauer als Eulerverfahren sind, gewährleisten diese dennoch nicht
die Erhaltung der differentiellen Form und können in der Anwendung zu unphysikalischen
Ergebnissen oder sogar zur Instabilität der Lösung führen [55]. Durch das Einsetzen der
Gleichung (3.47) in Gleichung (3.45) kann die vollständig diskretisierte Formulierung der
linearen Impulserhaltung in Form von algebraischen Gleichungen für jede einzelne KV-Zelle
wie folgt dargestellt werden
−
aP δut+δt
P
aN δut+δt
= bP .
N
(3.48)
N
14
Dabei wird in [53] die orthogonale Diskretisierung implizit und die nicht orthogonale Korrektur explizit
behandelt.
46
Darin sind die Koeffizienten auf der Hauptdiagonalen mit
n
aP =
f
ρP VP
−
(2μf + λf ) |S f |
2
δt
f =1
(3.49)
und die Koeffizienten auf der Nebendiagonalen mit
aN =
nf
(2μf + λf ) |S f |
(3.50)
f =1
definiert. Die Quellterme auf der rechten Seite der Gleichung (3.48) können schließlich mit15
n
bP = ρP VP
n
f
f
δutP
t+δt
+
S
·
q
+
ρP VP δf t+δt
f
f
δt2
f =1
f =1
(3.51)
ausgedrückt werden.
3.6. Strukturberechnungs-Prozedur
Aus der Gleichung (3.48) lässt sich für jede einzelne Zelle des Berechnungsgitters ein System
von algebraischen Gleichungen in Form von
Au = b
(3.52)
zusammenstellen.
Wobei A die aus den impliziten Koeffizienten zusammengesetzte Matrix darstellt16 , u ist
der Verschiebungsvektor für die drei Raumrichtungen eines kartesischen Koordinatensystems
und b der Quellterm auf der rechten Seite des Gleichungssystems.
Der Algorithmus zur Berechnung von elastischen Festkörperstrukturen mit großen Deformationen in der Update-Lagrangeschen-Formulierung lässt sich in folgende Schritte zusammenfassen:
1. Beginne mit einem neuen Zeitschritt
2. Berechne den Quellterm b auf der rechten Seite der diskretisierten Impulsgleichung
(3.48) mit dem zuletzt berechneten inkrementellen Verschiebungsvektor δut
3. Löse iterativ die Impulsgleichung und bestimme den neuen inkrementellen Verschiebungsvektor δut+δt
15
Zu den expliziten Quelltermen kommen noch in der Regel zusätzliche nicht orthogonale Korrekturterme,
die an dieser Stelle einfachheitshalber weggelassen sind.
16
Diese ist in der Regel symmetrisch und diagonaldominant.
47
4. Ist die Lösung auskonvergiert, dann summiere den neu berechneten inkrementellen
Verschiebungsvektor und den inkrementellen zweiten Piola-Kirchhoff-Spannungstensor
zum aktuellen Gesamtverschiebungsvektor
ut+δt = ut + δut+δt ,
(3.53)
und den gesamten zweiten Piola-Kirchhoff-Spannungstensor
Pt+δt = Pt + δPt+δt ,
(3.54)
5. Bewege die Punkte das Berechnungsgitter entsprechend der inkrementellen Verschiebung des aktuellen Zeitschritts
6. Nach der Gitterbewegung wird der zweiten Piola-Kirchhoff-Spannungstensor für die
Momentankonfiguration nach Gleichung (2.65) zum Cauchy-Spannungstensor überführt, wobei dieser für die Berechnung eines neuen Zeitschritts wieder als zweiter PiolaKirchhoff-Spannungstensor verwendet wird.
Die Reihenfolge des aufgeführten Lösungsalgorithmus (dessen schematische Darstellung als
Flussdiagram in Abbildung 3.7 veranschaulicht ist) wird nachfolgend kurz erläutert. Zu BeInitialisierung
Zeitschritt
erhöhen bis
t < tend
Nein
Ende
Ja
Berechne den Vektor b
aus Impulsgl. mit δut
Aktualisiere Pt+δt
Löse Impulsgleichung
Aktualisiere
Gitterbewegung
Nein
GAMG-Gleichungslöser
Konvergenz ?
Ja
ut+δt = ut + δut+δt
Pt+δt = Pt + δPt+δt
Abbildung 3.7.: Darstellung der Strukturberechnungsprozedur in einem Flussdiagramm.
ginn eines jeden Zeitschrittes - im Schritt 1 - erfolgt zunächst eine iterative Berechnung der
diskretisierten Impulsgleichung (3.48) in den Schritten 2 und 3. Die iterative Berechnung
der Impulsgleichung erfolgt aufgrund der im Quellterm b, wie in Gleichung (3.51) gezeigt,
48
beinhalteten nichtlinearen und gekoppelten Terme17 . Dabei wird im Schritt 2 zunächst der
Quellterm b - auf der rechten Seite der Impulsgleichung - mit einem aus dem vorherigen Zeitschritt ermittelten δut berechnet. In Schritt 3 erfolgt dann die Lösung der Impulsgleichung,
bei der jeweils einzeln nacheinander die drei inkrementellen Verschiebungsvektorkomponenten des neuen Zeitschritts berechnet werden. Die Lösung des Gleichungssystems (3.52) erfolgt mit einem GAMG-Gleichungslöser18 . In Schritt 4 wird das gesamte Verschiebungsfeld
zusammen mit dem gesamten zweiten Piola-Kirchhoff-Spannungstensor aufsummiert. Die
Gitterbewegung erfolgt im Schritt 5, dabei werden die Gitterpunkte entsprechend der inkrementellen Verschiebung δut+δt des aktuellen Zeitschritts bewegt. Anschließend erfolgt der
Update bzw. die Aktualisierung des zweiten Piola-Kirchhoff-Spannungstensor, wobei dieser
zunächst in der Momentankonfiguration zum Cauchy-Spannungstensor transformiert wird,
bevor er - zur Berechnung einer neuen Konfiguration als Anfangskonfiguration - wieder in
den zweiten Piola-Kirchhoff-Spannungstensor überführt wird.
17
18
die wiederum von einem neuen bzw. unbekannten Zeitschritt abhängen.
s. Abschnitt 3.2.
49
4. Voruntersuchung und Numerische
Validierung
Im ersten Abschnitt dieses Kapitels wird, neben der numerischen Validierung der einzelnen
FSI-Teilpartitionen der Fluid- und Strukturlöser, eine umfangreiche experimentelle und numerische Voruntersuchung zur Ermittlung der dissipativen Eigenschaften newtonscher und
nichtnewtonscher Flüssigkeiten in einem Fluidoszillator durchgeführt. Der Fluidoszillator
stellt in seinem wesentlichen Aufbau und seiner Funktionsweise einen Prototyp des OffshoreDämpfungselements1 unter Wellenbelastung dar. Dieser besteht - wie in Abbildung 4.1 zu
sehen - aus zwei koaxial ineinander stehenden Hohlzylindern. Die Kammer zwischen den
beiden zylindrischen Wänden wird für die Untersuchungszwecke mit verschiedenen Flüssigkeiten unterschiedlicher Viskosität gefüllt. Die Strömung der Flüssigkeit im Kammerinneren
wird durch eine oszillierende Bewegung der äußeren starren Zylinderwand vorgeschrieben.
Dadurch lässt sich ein auf das Dämpfungselement einwirkender Wellengang simulieren, der
die Flüssigkeit im Inneren in Schwingung versetzt, um so die am Fluidoszillator hervorgerufenen inneren Reibungs- und Druckkräfte zu ermitteln.
4.1. Experimentelle Untersuchung von dissipativen
Eigenschaften hochviskoser Flüssigkeiten
Die Abbildung 4.1 zeigt den prinzipiellen Aufbau des F luidoszillator in einer vertikalen und
horizontalen Ansicht. Dieser besteht im Wesentlichen aus einem beweglichen Hohlzylinder
(Pos.1), der mit einer Platte (Pos.2) am oberen Ende befestigt und auf zwei Gleitschienen
(Pos.3) führend gelagert ist. Einem äußeren Hohlzylindergehäuse (Pos.4), das die innere Flüssigkeiten zusammenhält und einem inneren Messzylinder (Pos.5), an dem Piezomesssensoren
(Pos.6) zur Druckaufnahme appliziert sind. Die Kammer zwischen den beiden zylindrischen
Wänden wird für die Untersuchungszwecke mit Flüssigkeiten unterschiedlicher Viskosität ν
gefüllt. Ziel der experimentellen Untersuchungen ist die messtechnische Ermittlung des lokalen Drucks an verschiedenen Stellen zu verschiedenen Zeiten. Diese Messwerte werden am
1
Beschreibung s. Kapitel 1.
50
feststehenden Messzylinder erfasst. Die für das Experiment festgelegten Abmaße in Abbildung 4.1 sind der innere Radius des oszillierenden Zylinders R = 0.04 m, der Außenradius
des Messzylinders r = 0.5R und die Füllhöhe der Flüssigkeiten H = 7.5R. Die Erfassung
der hydrodynamischen Druckverläufe erfolgt mittels eines Piezofolien Array, welches an der
Staulinie des Messzylinders platziert ist. Die Druckmessungen werden zur Validierung der
numerischen Rechenergebnisse des zweiphasigen Lösers aus Kapitel 3 herangezogen. Im Folgenden werden der Versuchsstand und die Messeinrichtungen beschrieben.
2
3
5
ν
ν
4
H
6
a)
1
b)
r
R
Abbildung 4.1.: Prinzipieller Aufbau des Fluidoszillators in vertikaler a) und horizontaler b) Schnittansicht.
4.1.1. Versuchsstand
Der Versuchsstand des F luidoszillators ist in der Abbildung 4.2 dargestellt. Die Funktionskomponenten der Anlage aus Abbildung 4.2 sind in der Tabelle 4.1 eingetragen. Im Folgenden
wird die Funktionsweise des Versuchsstands erläutert. Der F luidoszillator wird von einem
0.55 kW starken Elektromotor (Pos.1) angetrieben, der von einem Frequenzumrichter (Pos.2)
mit einer Frequenz f = 1 Hz angesteuert wird. Eine sinusförmige Bewegung des an der oberen
Platte befestigten mittleren Zylinders (Pos.5) lässt sich über eine an der Motorabtriebswelle
befestigten Exzenterscheibe (Pos.3) mit einer drehbar gelagerten Pleuelstange (Pos.4) generieren. Die Versuche werden mit vier unterschiedlich viskosen Flüssigkeiten durchgeführt.
51
Tabelle 4.1.: Funktionskomponenten
8
5
4
3
7
6
1
2
Position
Bauteileinheit
Pos.1
Pos.2
Pos.3
Pos.4
Pos.5
Pos.6
Pos.7
Pos.8
Elektromotor
Frequenzumrichter
Exzenterscheibe
Pleuelstange
Fluidoszillator
Ultraschallsensor
Messeinrichtung
Messrechner
Abbildung 4.2.: Versuchsaufbau.
Die Bewegungsfunktion des F luidoszillators wird entsprechend
einer Sinusfunktion
x̂(t) = a · sin(ωt)
(4.1)
vorgeschrieben. Diese wird mit einer Amplitude a = 0.01 m und einer Kreisfrequenz ω = 2πf
festgelegt. Somit kann in Zusammenhang mit der kinematischen Viskosität ν der Testflüssigkeiten und den geometrischen Gegebenheiten L = R − r die Strömungsform im
F luidoszillator über die Reynoldszahl
Re =
˙ ·L
x̂(t)
ν
(4.2)
abgeschätzt werden. In der Tabelle 4.2 sind die maximalen Reynoldszahlen für niedrig- und
hochviskose Flüssigkeiten verzeichnet. Unter diesen Bedingungen bleibt die Strömung immer
laminar.
Tabelle 4.2.: Reynoldszahlen für niedrig- und hochviskoser Flüssigkeiten.
Viskosität ν [mm2 /s]
max. Geschwindigkeit x̂˙ max [m/s]
Reynoldszahl Re [-]
1
2π/10−2
1260
102
2π/10−2
12.6
103
2π/10−2
1.26
104
2π/10−2
0.126
Das erste Experiment wird zur Referenzerfassung und Sensorkalibrierung mit einer Viskosität2 ν = 1 mm2 /s durchgeführt. Die drei weiteren Experimente werden mit Silikonölen
2
Wasser bei Raumtemperatur von 20◦ C.
52
(vgl. Tab. 4.2) durchgeführt, dessen Viskositäten deutlich höher liegen. Die Flüssigkeiten
werden in die Kammer zwischen dem Messzylinder und dem Oszillationszylinder gefüllt. Die
Füllhöhe H (vgl. Abb. 4.1) beträgt für alle Versuche 0.3 m. Zur Prüfung der Bewegungsfunktion wird ein SONY JOKER Präzisions-Ultraschallmesssystem der Fa. Format Messtechnik
GmbH verwendet. Das Messgerät ermittelt nach dem Puls-Echoverfahren Abstände zu schallreflektierenden Objekten. Die Abstandsmessung erfolgt an einer Aluminiumplatte, die an der
oberen Platte des F luidoszillators befestigt ist und in einem Abstand von 0.3 m zum Ultraschallsensor (Pos.6) angebracht wird. Die messtechnische Erfassung und Auswertung der
Messergebnisse wird im nachstehenden Abschnitt erläutert.
4.1.2. Messsensorik
Zur Messung der hydrodynamischen Druckkräfte wird ein in Zusammenarbeit mit der Fa. Mirow Systemtechnik GmbH konzipiertes piezoelektrisches Foliensensorsystem entwickelt und
zu Validierungszwecken eingesetzt. Die Piezoelementfolie besteht im Wesentlichen aus einem
polarisierten teilkristallinen thermoplastischen Polyolefin-Kunststoff Polypropylen (PP). Diese Piezoelementfolie ist ein dünnschichtiger (65 μm), aktiver elektromechanischer Wandler
zur Umwandlung von mechanischem Druck in elektrische Spannung. Infolge der mechanischen Belastung resultiert im Inneren der Elementarzellen eine mikroskopische Verschiebung
der positiv bzw. negativ geladenen Ladungsschwerpunkte. Dadurch entsteht eine Änderung
der Polarisation, die zu einer makroskopisch messbaren elektrischen Spannung an den beiden
Metalloberflächen-Elektroden führt (s. Abb. 4.3).
mech. Belastung
Metalloberflächen Elektrode
PP−Folie
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
− − − − − − − − −− − − − − − − −
aktiver Sensorbereich
Abbildung 4.3.: Funktionsprinzip der Piezosensoren.
Die Piezosensoren erlauben den Einsatz in einem enormen Dynamik- und Frequenzbereich,
in Dickenrichtung beispielsweise von 10−8 bis 210 N/mm2 und bei Frequenzen im Bereich
von 0.001 Hz bis zu mehreren GHz. Mit angepassten Miniaturverstärkern wird ein entsprechendes Multi-Sensorsystem erstellt. Damit lässt sich an gekrümmten Flächen, wie die des
zylindrischen Testobjekts, eine bestens geeignete Sensormesstechnik zur Messung des hydrodynamischen Drucks an viskosen Flüssigkeiten applizieren.
53
4.1.3. Messmethode
Zur Erfassung des elektrischen Messsignals infolge hydrodynamischer Druckbelastung werden an einem V2A Zylinderrohrstück mit einem Durchmesser von 40 mm und einer Länge
von 414 mm ein Piezofolien-Sensor Array mit 16 aktiven Messbereichen und integriertem
Verstärkermodul appliziert (s. Abb. 4.4). Dieser ist mit insgesamt 16 Mal 10x10 mm großen
Messbereichen im Abstand von je 5 mm in einer Reihe entlang der Zylinder-Staulinie positioniert. Als Signalgeber wird die im Abschnitt 4.1.2 beschriebene piezoelektrisch aufgeladene
Piezofolie mit Sensorfläche 10x10 mm.
Miniatur-Verstärkermodul
Zylinder-Staulinie
235 mm
Abbildung 4.4.: Messzylinder mit Sensorik.
Polypropylen-Folie verwendet, um dynamische Druckschwankungen mit hoher zeitlicher Auflösung in einer Abtastfrequenz von 2000 Hz zu erfassen. Die Konstruktion des Sensor-Arrays
besteht aus zwei 40 μm dünnen flexiblen Platinen, welche alle Kontakte von den Verstärkern
zu den Messflächen herstellen. In ihrer Mitte ist die eigentliche PP Piezo-Sensorfolie eingebettet. Die Sensor-Verstärkerplatine ist an die Krümmung der Zylinderwand angepasst, die
bei minimaler Konturverfälschung oberflächenbündig verklebt und gegen Flüssigkeitseintritt
abgedichtet ist. Pro Messfläche ist eine getrennte Miniatur-Verstärkerstufe integriert, welche
zu einem Verstärkermodul zusammengefasst und oberhalb des zu messenden Flüssigkeitsbereiches positioniert ist, so dass alle Anschlussverbindungen zur Datenerfassung nach oben hin
abgedichtet herausgeführt werden können. Die Signalausgänge sind über ein Flachbandkabel aus der Versuchsanlage herausgeführt und mit einem Spannungsadaptermodul und BNCKabelsplitter mit dem Datenaufzeichnungssystem Ni- USB 6229 verbunden. Für die Stromversorgung wird ein Adaptermodul mit +/-5 V , GND, 50 mA verwendet, welches direkt aus
der + 5 V Versorgung der Datenerfassungskarte gespeist werden kann. Diese wird entsprechend auf gleiche Weise wie die Flachbandkabelung zugeführt. Die maximale Aufdickung des
Zylinderrohres beträgt dabei ca. 0.15 mm im Bereich der Sensorflächen, sowie max. 2.5 mm
am Verstärkermodul. Das gesamte Sensormodul ist mit einer 25 μm Kapton-Klebeschicht, die
Übergänge und Anschlussstellen zusätzlich durch Silikonmasse, abgedichtet. Die gemessenen
Spannungsschwankungssignale werden als ASCII-Datensätze gespeichert und einer quasistatischen Korrekturrechnung zur grafischen Darstellung der zeitlichen Druckkraftverläufe
sowie der Kurzzeit-RMS-Werte unterzogen. Zum Entwurf der Sensoren wurde ein entsprechendes Simulationsprogramm mit der Entwicklungsumgebung LabView 9.0 zur Erfassung
und Aufbereitung von gemessenen Datensätzen entwickelt. In Abbildung 4.5 ist die oben beschriebene Messkette in einer schematischen Darstellung einmal für die Druckmessung (vom
1 0
RMS
RMS
RMS
RMS
RMS
POWER
RMS
RMS
RMS
RMS
RMS
RMS
RMS
RMS
RMS
RMS
RMS
RMS
RMS
RMS
1 0
POWER
RMS
RMS
Datenerfassungskarte
RMS
Spannungsversorger
RMS
Verstaerkermodul
RMS
54
Steuergeraet
DIGITAL OUTPUT
SERIAL
I/O
POWER
SENSOR2
SENSOR1
Spannungsversorger
Ultraschalsensor
Fluidoszilator
OUTPUT
+
POWER
1 0
Piezofolien Sensor−Array
−
Messrechner
Abbildung 4.5.: Schematische Darstellung des Messstandes.
Messzylinder bis hin zum Messrechner) und einmal für die Messung der Oszillationsbewegung
(vom Ultraschallsensor bis zum Messrechner) dargestellt.
4.1.4. Messergebnisse
Die Wegmessung wird für alle Versuche mittels eines Präzisions-Ultraschallmessgerät parallel
zur Druckmessung durchgeführt. Damit wird die Genauigkeit der Wiedergabe des Eingangssignals überprüft. In Abbildung 4.6 ist eine exemplarisch erfasste oszillierende Bewegung des
mittleren Zylinders dargestellt. Die Bewegung kommt einer exakten Sinusfunktion sehr nahe
Position in [10−3m]
und wird in der Amplitudenwertigkeit und Frequenz korrekt wiedergegeben. Die Druckwer15
Experiment
Sinusfunktion
10
5
0
-5
-10
-15
0
0.5
1
Zeit in [s]
1.5
2
Abbildung 4.6.: Wegmessung mit Ultraschall.
terfassung am Messzylinder erfolgt an einem lokalen Messbereich der Piezofolie. Dieser ist
mittig zur Füllhöhe bei H/2 (vgl. Abb.4.1) positioniert. Damit werden Messsignalstörungen,
55
die infolge von Spaltströmung am unteren Ende sowie durch Schwappen der freien Oberfläche am oberen Ende des Messzylinders entstehen, vermieden. In Abbildung 4.7 ist der
−δx
+δx
a)
b)
c)
Abbildung 4.7.: Kinematischer Bewegungsablauf des Fluidoszillators. a) Anfangsposition, b) äußerer Zylinder in der maximalen Auslenkung der Vorwärtsbewegung und c) äußerer Zylinder in
der maximalen Auslenkung der Rückwärtsbewegung.
kinematische Bewegungsablauf des F luidoszillators anhand einer Querschnittsansicht dargestellt. Darin stellt die Abbildung 4.7 a) die Null-Position, die der oszillierende Zylinder zu
den Zeitpunkten 0, 0.5 und 1 s in einer Periode durchläuft, dar. Die Abbildungen 4.7 b) und
c) stellen die maximale und minimale ±δx = ±0.01m Auslenkungspositionen zu den Zeiten
0.25 s und 0.75 s dar (vgl. zu Abb. 4.6). Die Bewegungsfunktion des oszillierenden Zylinders zusammen mit den Messergebnissen des Druckverlaufs für die unterschiedlich viskosen
Flüssigkeiten sind in den Abbildungen 4.8 bis 4.11 veranschaulicht. In allen Bilddiagrammen
sind die Druckverläufe links und die Bewegungsfunktionen rechts skaliert. Beide Verläufe
sind in drei Abschnitte einer Periode unterteilt. Der erste Abschnitt repräsentiert die Vorwärtsbewegung aus der Null-Position bis zur maximalen Auslenkung +δx. Die Bewegung des
zweiten Abschnitts repräsentiert eine Rückwärtsbewegung, die aus der Position der maximalen Auslenkung über die Null-Position bis hin zur minimalen Auslenkung −δx durchlaufen
wird. Der dritte Abschnitt stellt eine Vorwärtsbewegung von −δx bis zur Null-Position dar.
Das Meßergebnis für die Flüssigkeit mit der Viskosität ν = 1 mm2 /s (vgl. Abb. 4.8) zeigt
im ersten Abschnitt einen Druckabfall. Dies ist damit zu begründen, dass infolge des kleiner
werdenden Spaltquerschnitts zwischen dem äußeren und inneren Zylinder die Strömung im
Messbereich beschleunigt wird. Das Druckminimum wird dabei am Ende des ersten Bewegungsabschnitts bei der maximalen Auslenkung erreicht. Der minimale Druckwert an dieser
Position, bezogen auf die Referenz von 0 P a, beträgt ca. -29 P a. Ab diesen Zeitpunkt steigt
der Druckverlauf wieder an, so dass von hier aus die zweite Bewegungsphase (Rückwärtsbewegung) des oszillierenden Zylinders beginnt. In der Rückwärtsbewegung weitet sich der
Spaltquerschnitt auf, die Strömung in diesen Bereich wird dadurch verlangsamt, so dass daraus ein Anstieg des Druckverlaufs resultiert. Im Bereich zwischen der Null-Position bei 0.5
s und der minimalen Auslenkung bei 0.75 s fällt der Druckverlauf leicht ab. Dieser leichte
Druckabfall, resultiert aufgrund einer Wirbelströmung, wie später im Abschnitt 4.2.2 zu sehen, im Bereich der Druckmessstelle, welche sich infolge der Rückwärtsbewegung des äußeren
56
60
1
2
3
20
0.01
0
0
-20
Position in [m]
Druck in [P a]
40
Druckverlauf
Sinusbewegung
-0.01
-40
0
0.5
1
Zeit in [s]
1.5
2
Abbildung 4.8.: Druckmessung an der Zylinder-Staulinie für ν = 1 mm2 /s (Wasser).
Zylinders ergibt. Im dritten Bewegungsabschnitt, ab dem Zeitpunkt von 0.75 s, kommt es
zu einer Reorientierung des äußeren Zylinders in der Oszillationsbewegung und damit zu
einer Verlangsamung in der Strömung. Dadurch steigt der Druckverlauf an, bis der maximale Druckwert von ungefähr 24 P a bei ca. 0.85 s erfasst wird. Die Messergebnisse für die
60
1
2
Druckverlauf
Sinusbewegung
3
20
0.01
0
0
-20
Position in [m]
Druck in [P a]
40
-0.01
-40
-60
0
0.5
1
Zeit in [s]
1.5
2
Abbildung 4.9.: Druckmessung an der Zylinder-Staulinie für ν = 102 mm2 /s (Silikonöl).
Flüssigkeit mit der Viskosität ν = 102 mm2 /s in Abbildung 4.9 weisen im Hinblick auf die
zeitliche Entwicklung der Druckverläufe charakteristisch ähnliche Merkmale auf wie die aus
Abbildung 4.8. Der Unterschied zu der höherviskosen Flüssigkeit äußert sich in der Druckwertigkeit. Der minimale Druckwert im ersten Bewegungsabschnitt liegt in diesem Fall bei
57
ca. -45 P a und ist damit leicht niedriger als bei der niedrigviskosen Flüssigkeit von ν = 1
mm2 /s. Der maximale Druckwert befindet sich ebenfalls wie im niedrigviskosen Fall am Ende
des dritten Bewegungsabschnitts, ist jedoch leicht größer und beträgt ca. 26 P a. Betrachtet
man die gesamte Druckamplitude vom Maximum bis zum Minimum der beiden Flüssigkeiten mit pν1 = 53 P a und pν102 = 70 P a, so deutet sich eine Tendenz an, bei der der Druck
mit höher werdender Viskosität der Flüssigkeit und einem gleichbleibenden Bewegungsablauf ansteigt. Dieser Sachverhalt bestätigt sich bei der Betrachtung der Messergebnisse in
Bilddiagramm 4.10 und 4.11. Die Druckwerte mit zunehmender Viskosität werden deutlich
höher. Die maximalen und minimalen Druckwerte sowie die gesamten Druckamplituden mit
300
Druckverlauf
Sinusbewegung
Druck in [P a]
2
3
100
0.01
0
0
-0.01
-100
-200
Position in [m]
1
200
0
0.5
1.5
1
2
Zeit in [s]
den dazu gehörigen Viskositäten sind in der Tabelle 4.3 verzeichnet.
Tabelle 4.3.: Ergebnisse aus der Druckwertmessung.
max. Druckwert pmin [P a]
min. Druckwert pmin [P a]
ges. Amplitude pν [P a]
1
24
−29
53
102
26
−45
70
103
154
−137
291
104
1507
−1485
2992
In Abbildung 4.12 sind die Druckwertamplituden über Viskosität der einzelnen Flüssigkeiten
in einem logarithmischen Diagramm dargestellt. Dieses veranschaulicht den Druckanstieg
mit höher werdender Viskosität bei gleichbleibendem Bewegungsablauf. Die Messergebnisse
werden im folgenden Abschnitt zur Validierung mit numerischen CFD-Modellen auf der
Berechnungsbasis des im Kapitel 3.4 beschriebenen CFD-Lösers herangezogen.
58
3000
1
2
3
0.01
1000
0
0
-0.01
-1000
-2000
0
Position in [m]
Druck in [P a]
2000
Druckverlauf
Sinusbewegung
0.5
1
1.5
2
Zeit in [s]
Druckamplitude in [P a]
10 4
Experiment
10 3
10 2
10 1 0
10
10 1
10 2
10 3
2
Viskosität in [mm /s]
10 4
Abbildung 4.12.: Experimentelle Druckwerte im Vergleich.
4.2. Numerisches Modell
Die Untersuchung der dissipative Eigenschaften unterschiedlich viskoser, newtonscher und
nichtnewtonscher Fluid-Parametersätze erfolgt anhand eines dreidimensionalen numerischen
F luidoszillator-Modells. Die numerischen Berechnungen werden mittels dem in Kapitel 3.4
beschriebenen zweiphasigen Strömungslöser durchgeführt. Dadurch lassen sich die Ergebnisse aus der experimentellen Untersuchung im F luidoszillator validieren, wobei zur Konvergenzprüfung des numerischen Modells eine Gitterunabhängigkeitsstudie mit jeweils drei
59
systematisch verfeinerten Gittern herangezogen wird.
4.2.1. Modellbeschreibung
In Abbildung 4.13 sind zwei Ansichten des CFD-Simulationsmodells dargestellt. Die geometrischen Abmaße des Modells basieren dabei ebenfalls auf der Konstruktion des experimentellen Aufbaus. Das Modell berücksichtigt alleine nur das Strömungsgebiet und die
Abgrenzungen durch starre und translatorisch bewegte Wände. Demnach resultieren keine
Deformationen infolge der gegenseitigen Wechselwirkung zwischen der oszillierenden Flüssigkeit und den zylindrischen Wänden. Die Randbedingungen zum Simulationsmodell (vgl.
dazu Abb. 4.13) sind in der Tabelle 6.1 zusammengefasst. Die Randbedingung am Oszillationszylinder Γ2 wird durch die Gitterbewegung v̂(t) vorgeschrieben. Die Gitterbewegung ist
mit
v̂(t) = aω · cos(ωt)
(4.3)
definiert. Die Bewegungsamplitude a wird entsprechend dem Experiment auf 0.01 m und die
Kreisfrequenz ω = 2π/s gesetzt. Für den dreidimensionalen Fall wird ein Flüssigkeitsstand
von H = 0.3 m initialisiert. Für die Untersuchung der Dämpfungseigenschaften hochviskoser
Γ3
v̂ = aω · sin(ωt)
νg
Γ2
νf
Γ1
y
Γ2
Γ1
x
H
d
D
z
Γ4
Abbildung 4.13.: Modell des Fluidoszillators mit Rand- und Anfangsbedingungen.
Flüssigkeiten werden zwei Berechnungsreihen durchgeführt. In der ersten Berechnungsreihe
werden nur newtonsche Flüssigkeiten analysiert. In diesen Simulationen ist die kinematische
Viskosität ν die einzige Stoffeigenschaft, die verändert wird. Die zweite Reihe umfasst die
Berechnung von nichtnewtonscher Flüssigkeiten. Bei den nichtnewtonschen handelt es sich
um scherentzähende Flüssigkeiten. Für deren Simulation wird das vierparametriges CrossModell (Gl. 2.54) verwendet. Im Rahmen der numerischen Studie wird die Viskosität der
Flüssigkeit in Größenordnungen von ν = 10−6 m2 /s bis ν = 10−2 m2 /s verändert. Für den
60
Tabelle 4.4.: Randbedingungen am dreidimensionalen CFD-Modell des Fluidoszillators.
Rand
α
v in m/s
v̂ in m/s
p in N/m2
Γ1
∂α
∂n
=0
v=0
v̂ = 0
∂p
∂n
=0
Γ2
∂α
∂n
=0
vm
v̂ = aω · cos(ωt)
∂p
∂n
=0
Γ3
α=0
∂v
∂n
Γ4
∂α
∂n
v=0
=0
=0
v̂n =
∂ v̂t
∂n
=0
p=0
∂p
∂n
v̂ = 0
=0
nichtnewtonschen Fall entspricht dies der kinematischen Nullviskosität ν0 . Untersucht werden
neben den variierenden Nullviskositäten zwei weitere Cross-Modell-Parameter. Diese sind der
Zeitparameter K und der Fließindex n. Die Wahl der Parameter und deren Auswirkung auf
die Beziehung zwischen Schergeschwindigkeit und Viskosität werden in den Abbildungen
4.14(a) und 4.14(b) dargestellt. Die entsprechenden Materialparameter sind in den Tabelle
4.5 zusammengefasst.
Tabelle 4.5.: Parametersätze der scherentzähenden Flüssigkeiten A und B.
Partition
Nullviskosität
Grenzviskosität
Zeitparameter
Fließindex
Fließindex
Parametersatz A
Parametersatz B
ν0 [m2 /s]
ν∞ [m2 /s]
K [s]
n [-]
n [-]
Fluid 1
10−2
10−8
0.05
2
3
Fluid 2
10−3
10−8
0.05
2
3
Fluid 3
10−4
10−8
0.05
2
3
Fluid 4
10−5
10−8
0.05
2
3
Die Parameter wurden so gewählt, dass das nichtlineare Materialverhalten der nichtnewtonschen Flüssigkeit durch kleine Scherratenänderungen deutlich zum Vorschein kommt.
Anhand des scherentzähenden Effekts kann schließlich die Druckkraftübertragung an scherverdünnten Flüssigkeiten im F luidoszillator analysiert werden.
Um eine konvergente und gitterunabhängige numerische Lösung zu erhalten, werden drei
systematisch verfeinerte strukturierte Gitter erzeugt und berechnet. In der Tabelle 4.6 sind
diese mit entsprechenden Feinheitsstufen in grob, mittel und fein verzeichnet. Die örtliche
Auflösung erfolgt in der Reihenfolge Radius x Umfang x Länge.
Tabelle 4.6.: Berechnungsgitter mit Zellenanzahl n.
n
Grobes Gitter
Mittleres Gitter
Feines Gitter
5x40x50
10x80x100
20x160x200
In Abbildung 4.15 a) ist eine exemplarische Darstellung des mittelfeinen Gitters in der NullPosition zum Zeitpunkt 0 s veranschaulicht. Die Abbildungen 4.15 b) und c) zeigen das Gitter
61
−1
10
ν0
ν0
ν0
ν0
−2
10
ν(γ̇) in [m2/s]
−3
10
= 10−2
= 10−3
= 10−4
= 10−5
m2/s
m2/s
m22/s
m /s
−4
10
−5
10
−6
10
10−7
−8
10
10−9 −1
10
10 0
10 1
10 2
10 3
γ̇ in [1/s]
10 4
10 5
10 6
(a) Parametersatz A: n = 2
−1
10
ν0
ν0
ν0
ν0
−2
ν(γ̇) in [m2/s]
10
10−3
= 10−2
= 10−3
= 10−4
= 10−5
m2/s
m2/s
m2/s
m2/s
−4
10
−5
10
−6
10
10−7
10−8
10−9 −1
10
10 0
10 1
10 2
10 3
γ̇ in [1/s]
10 4
10 5
10 6
(b) Parametersatz B: n = 3
Abbildung 4.14.: Parametersätze strukturviskoser Flüssigkeiten nach Tabelle 4.5. Die Grenzviskosität wird
mit ν∞ = 10−8 m2 /s und der Zeitparameter K = 0.05 s gesetzt. Die Verläufe unterscheiden sich nur durch den Fließindex n (vgl. Gleichung 2.54). Der Parametersatz B zeigt
ein intensiveres strukturviskoses Verhalten.
in Vor- und Rückwärtsbewegung zu den Zeitpunkten 0.25 s und 0.75 s. Die Zeitschrittweite
δt wird von einer globalen Courant-Zahl von Co < 0.2 gesteuert und rangiert während der
Simulation am feinen Gitter zwischen 10−4 s bis 10−3 s. Alle Berechnungen werden auf einem
2.67 GHz Intel(R) Core(TM) i5 Rechner durchgeführt.
4.2.2. Simulationsergebnisse und Validierung
Zur Auswertung der numerischen Simulationsergebnisse werden hydrodynamische Druckverläufe gegenüber den experimentellen Messwerten herangezogen. Die Auswertung des Druckverlaufs erfolgt ebenfalls, wie im experimentellen Versuch, bei H/2. In den Abbildungen 4.16
62
a) t = 0 s
b) t = 0.25 s
c) t = 0.75 s
Abbildung 4.15.: Gitterbewegung des numerischen F luidoszillator-Modells. Zeitlicher Bewegungsablauf
in drei Konfigurationen zu den Zeitpunkten 0 s, 0.25 s und 0.75 s.
bis 4.19 sind die ausgewerteten numerischen gegenüber den experimentellen Ergebnissen in
einem Druck-Zeitverlauf dargestellt. Die numerischen Berechnungen zeigen eine gute Übereinstimmung mit den experimentell ermittelten Verläufen. Diese korrelieren im Vergleich zu
den experimentellen Ergebnissen für alle drei Gitter (s. Tab. 4.6) in der Wertigkeit, Form
und Phasenfrequenz. Die Verläufe unterscheiden sich nur geringfügig in der Form. Eine Abweichung bzw. Versetzung der Verläufe in Richtung der Druckachse stellt sich im ungefähren
Zeitintervall von 0.4 s bis 0.8 s ein. Der Grund hierfür könnten geringfügige systematische
Fehler des Sensorkonzepts sein. In diesem Zeitintervall befinden sich der äußere Zylinder
in der vollen Rückwärtsbewegung, so dass die Piezodrucksensoren durch das Strömungsfeld
nicht mehr auf Druck sondern auf Zug belastet werden. Dieser Sachverhalt kann im Weiteren
durch eine verbesserte Messmethode des Piezodrucksensorkonzepts sowie einen verbesserten
Experimentellenaufbau genauer analysiert werden.
Die numerische Lösung für die systematisch verfeinerten Gitter3 zeigt, dass eine gitterunabhängige und konvergente Lösung bereits am mittelfeinen Gitter erzeugt wird. Um
eine konvergente Lösung für steigende Viskositäten zu gewährleisten, müssen die PISOKorrekturen4 erhöht werden. Die Erhöhung der PISO-Korrekturen ist für die Berechnung
essentiell - werden diese nicht erhöht, so treten während der Berechnung unphysikalische
Druckverläufe mit starken Oszillationen auf. Die Folge dieser Oszillationen im Druckfeld
führt bei höher werdender Viskosität zur Divergenz. Die numerischen Ergebnisse für die
maximalen und minimalen Druckwerte sowie die gesamten Druckamplituden zu den jeweiligen Viskositäten sind in der Tabelle 4.7 zusammengefasst. Die relative Abweichung zu den
berechneten und gemessenen Werten werden nach Gleichung
pmess − pnum
Δrel =
pmess
3
(4.4)
Die Gitterstudie für alle drei Feinheitsstufen wird, um unnötigen Berechnungsaufwand zu vermeiden, nur
für die Flüssigkeiten mit ν = 1mm2 /s und ν = 104 mm2 /s durchgeführt. Damit sollte tendenziell das
Konvergenzverhalten von niedrig- bis hochviskos veranschaulicht werden.
4
In der Simulation sind diese auf den Wert 7 gesetzt.
63
berechnet und prozentual in der Tabelle 4.8 gegenübergestellt.
Tabelle 4.7.: Ergebnisse aus numerischen Druckauswertung.
max. Druckwerte pmax [P a]
min. Druckwerte pmin [P a]
1
17
−31
48
102
23
−45.5
68.5
ges. Amplitude pν [P a]
103
123
−156
279
104
1363
−1392
2755
Tabelle 4.8.: Relative Abweichung der berechneten gegenüber gemessenen Werten.
max. Druckabw. Δpmax [%]
min. Druckabw. Δpmin [%]
Abw. ges. Ampl. Δpν [%]
1
29.1
−6.9
9.4
102
11.5
−1.1
2.2
103
20.1
−13.8
4.1
104
9.55
6.3
7.9
In den Abbildungen 4.21 bis 4.28 sind die Druck- und Geschwindigkeitsvektorfelder der
zwei Berechnungsreihen visualisiert. Diese veranschaulichen sequenziell die Entwicklung des
Strömungsfeldes zu vier verschiedenen Zeitpunkten von 0.25 s bis 1 s. Im Weiteren ist anhand der dargestellten Isobaren-Konturplots die Korrelation der in den Abbildungen 4.16 bis
4.19 gezeigten Druckverläufe an der Auswerteposition ersichtlich. Demnach fällt der Druck
in der Vorwärtsbewegung des oszillierenden Zylinders ab (vgl. das Druckfeld zum Zeitpunkt
t = 0.25 s). Dieses lässt sich durch die Beschleunigung der Strömung infolge der Querschnittsverengung begründen. In der Rückwärtsbewegung dagegen weitet sich der Spaltquerschnitt
auf (vgl. das Druckfeld zum Zeitpunkt t = 0.75 s). Die Strömung in diesem Bereich wird dadurch verlangsamt, so dass daraus ein Anstieg des Druckverlaufs resultiert. Zur Betrachtung
der Geschwindigkeitsvektorfelder werden die Vektorpfeile zur besseren Darstellung gleich
lang dargestellt. Durch die oszillierende Bewegung des äußeren Zylinders liegt in der vertikalen Ebene eine Hauptströmung in radiale Richtung vor. Eine Sekundärströmung entwickelt
sich in der horizontalen Ebene durch die Umströmung der sich periodisch veränderlichen
zylinderförmigen Geometrie. Die Sekundärströmung in der horizontalen Ebene zu den Zeitpunkten 0.25 s und 0.75 s besteht aus zwei Wirbeln. Insbesondere sind die Wirbel für die
Strömung mit der Re = 1260 im Vergleich zur Strömung mit niedrigeren Reynoldszahlen
von Re = 12.6 bis Re = 0.126 deutlich mehr ausgebildet.
In Abbildung 4.20 sind sowohl die numerischen als auch experimentellen Druckwertamplituden über die Viskosität der Flüssigkeiten in einem logarithmischen Diagramm dargestellt.
Dieses veranschaulicht, dass bei gleich bleibender Bewegung des äußeren Zylinders sich der
Druck mit steigender Viskosität erhöht.
64
40
5 x 40 x 50
10 x 80 x 100
20 x 160 x 200
Experiment
30
Druck in [P a]
20
10
0
-10
-20
-30
-40
0
0.5
1
Zeit in [s]
1.5
2
Abbildung 4.16.: Numerische und experimentelle Ergebnisse an der Stelle H/2 im Vergleich für ν =
1mm2 /s.
40
5 x 40 x 50
10 x 80 x 100
Experiment
Druck in [P a]
20
0
-20
-40
-60
0
0.5
1
Zeit in [s]
1.5
2
102 mm2 /s.
Abschließend zu diesem Abschnitt kann gesagt werden, dass die experimentell ermittelten
und numerisch berechneten Ergebnisse, trotz geringer Abweichungen, gut übereinstimmen.
Die Berechnungen können demnach in Hinblick auf eine gute Übereinstimmung der Druckverläufe, bezogen auf ihre Form, Wertigkeit und Phasenfrequenz als validiert betrachtet werden.
200
65
5 x 40 x 50
10 x 80 x 100
Experiment
150
Druck in [P a]
100
50
0
-50
-100
-150
-200
0.5
0
1
Zeit in [s]
1.5
2
103 mm2 /s.
2000
5 x 40 x 50
10 x 80 x 100
20 x 160 x 200
Experiment
1500
Druck in [P a]
1000
500
0
-500
-1000
-1500
-2000
0
0.5
1
Zeit in [s]
1.5
2
104 mm2 /s.
66
Druckamplitude in [P a]
10 4
Experiment
Numerik
10 3
10 2
10 1 0
10
10 1
10 2
10 3
Viskosität in [mm2/s]
10 4
Abbildung 4.20.: Numerische und experimentelle Druckwerte im Vergleich.
67
p in [Pa]
20
0
t = 0.25 s
t = 0.5 s
t = 0.75 s
t=1s
−30
Abbildung 4.21.: Berechnetes Druckfeld für ν = 1mm2 /s zu den Zeitpunkten ab 0.25 s bis 1 s.
v in [ ms ]
0.15
t = 0.25 s
t = 0.5 s
t = 0.75 s
t=1s
0
Abbildung 4.22.: Geschwindigkeitsvektorfeld für ν = 1mm2 /s zu den Zeitpunkten ab 0.25 s bis 1 s.
p in [Pa]
25
0
t = 0.25 s
t = 0.5 s
t = 0.75 s
t=1s
−45
Abbildung 4.23.: Berechnetes Druckfeld für ν = 102 mm2 /s zu den Zeitpunkten ab 0.25 s bis 1 s.
v in [ ms ]
0.15
t = 0.25 s
t = 0.5 s
t = 0.75 s
t=1s
0
Abbildung 4.24.: Geschwindigkeitsvektorfeld für ν = 102 mm2 /s zu den Zeitpunkten ab 0.25 s bis 1 s.
68
p in [Pa]
155
0
t = 0.25 s
t = 0.5 s
t = 0.75 s
t=1s
−155
v in [ ms ]
0.15
t = 0.25 s
t = 0.5 s
t = 0.75 s
t=1s
0
p in [Pa]
1400
0
t = 0.25 s
t = 0.5 s
t = 0.75 s
t=1s
−1400
v in [ ms ]
0.15
t = 0.25 s
t = 0.5 s
t = 0.75 s
t=1s
0
69
4.2.3. Berechnung der Dämpfungsmaße
Die Analyse der Dämpfungseigenschaften viskoser Flüssigkeiten wird in dieser Arbeit durch
zwei Untersuchungsgrößen bestimmt. Sowohl die Übertragung von Druck- und Reibungskräften am Fluidoszillator, als auch die Dissipationsleistung infolge der inneren Reibung im
Fluid werden für die Untersuchungen herangezogen.
Definition der Kräfte
Die Kraftübertragung ist im Hinblick auf die Dämpfungseigenschaften ein wesentliches charakteristisches Kriterium. Die über den gesamten Strömungsprozess wirkenden Druck- und
viskosen Reibungskräfte resultieren dabei aus:
Fd =
p · ndA
(4.5)
T · ndA.
(4.6)
A
und
Fr =
A
Dabei kennzeichnet p den Druck und T kennzeichnet gemäß Gleichung (2.29) den Reibspannungstensor. Die gesamte resultierende Kraft ergibt sich aus der Summe der beiden Kräfte
zu:
F g = F d + F r.
(4.7)
Definition der Dissipationsleistung
Die Dissipationsleistung Pirr wird durch das Volumenintegral über die Dissipationsfunktion
sp(T · D) wie folgt beschrieben (s. [12]):
Pirr =
V
sp(T · D)dV =
sp(2ηD2 )dV,
(4.8)
V
wobei
1
(4.9)
D = [∇v + (∇v)T ]
2
gemäß Gleichung (2.50) den Verzerrungsgeschwindigkeitstensor kennzeichnet. Die Dissipationsfunktion gibt die durch inneren Reibung im Fluid irreversibel dissipierte Leistungsdichte
(volumenbezogen) an5 . Gleichung (4.8) beschreibt die Dissipationsleistung eines inkompressiblen und isothermen Fluids. Diese Gleichung wird zur Bestimmung der gesamten Verlustleistung im Kontrollvolumen der Dämpfungsflüssigkeit verwendet. Dadurch lässt sich die
mechanische Energie, die infolge der oszillierenden Bewegung des äußeren Zylinders an die
5
s. BÖHME [12] S. 105.
70
Flüssigkeit übertragen wird, bilanzieren. Für scherent- bzw. scherverzähende Flüssigkeiten
gilt der Zusammenhang gemäß der Definition in Gleichung (2.53). Damit hängt die Viskosität der obigen Gleichung (4.8) von der Scherrate γ̇ ab. Der Ausdruck für die Scherrate wird
in OpenFOAM (OF) wie folgt definiert6 :
γ̇ =
2spD2 =
√
2D : D.
(4.10)
Die Berechnung der Dissipationsleistung Pirr wird in OF zusätzlich in den zweiphasigen
Strömungslöser implementiert. In Abbildung 4.29 ist ein Quellcodeabschnitt zur Berechnung
von Pirr dargestellt. Die einzelnen Berechnungsschritte werden nachfolgend erläutert.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
const v o l T e n s o r F i e l d L ( f v c : : grad (U ) ) ;
const v o l S c a l a r F i e l d nu = t w o P h a s e P r o p e r t i e s . nu ( ) ;
volSymmTensorField D = symm (L ) ;
s c a l a r en er g y =0;
f o r A l l (D, i )
{
ene r gy += t r (2 ∗ rho [ i ] ∗ nu [ i ] ∗ (D[ i ] & D[ i ] ) ) ∗ mesh .V ( ) [ i ] ;
}
d a t e i << runTime . timeName ( ) << tab << en er g y << e n d l ;
Abbildung 4.29.: Quellcodeabschnitt zur Berechnung von Pirr .
In Zeile 1 erfolgt die Berechnung des Geschwindigkeitsgradienten L, welcher mit dem entsprechenden Objekt volTensorField - dieser steht für die Initialisierung eines Tensorfelds definiert wird. In Zeile 3 erfolgt die Initialisierung der Viskosität für die zweiphasige Strömung. Basierend auf der Definition in Zeile 1 wird in der Zeile 5 eine Funktion zur Berechnung des Verzerrungsgeschwindigkeitstensors D erzeugt. In der Zeile 7 wird das Objekt
energy mit dem Wert Null initialisiert. Von der Zeile 9 bis 12 wird eine OF spezifische
for-Schleife verwendet, welche die Dissipationsleistung für die einzelnen Zellpunkte i in den
zuvor initialisierten energy aufsummiert. Im Einzelnen werden die Anteile der Dissipationsleistung in jeder Zelle über die entsprechenden Zellvolumen (mesh.V()[i]) gewichtet und
aufsummiert, so dass daraus die Dissipationsleistung für das gesamte Berechnungsgebiet resultiert. Anschließend wird in Zeile 14 der Wert von energy in einer Datei gespeichert. Die
obige Berechnung muss schließlich in jedem Zeitschritt einmal berechnet werden. Um das
zu realisieren, wird der Quellcodeabschnitt innerhalb der Zeitintegrationsschleife des Strömungslösers implementiert.
6
Diese stellt eine Definition der Scherrate für Materialmodelle in OF dar.
71
4.2.4. Kraftübertragung durch newtonsche Flüssigkeiten
In Abbildung 4.30 ist die Kraftübertragung der newtonschen Flüssigkeit an der äußeren Zylinderwand Γ2 (vgl. Abb. 4.13) zur inneren Zylinderwandung Γ1 für die verschiedenen Viskositäten aufgetragen. In diesen Bilddiagrammen sind die Verläufe der Druck- und viskosen
Reibungskräfte sowie die resultierende Kräfte im Einzelnen veranschaulicht. An dieser Stelle
sei angemerkt, dass im Weiteren einzig nur die Kraftkomponente in x-Richtung in Betracht
gezogen wird, da die Kraftkomponenten in y- und z-Richtung im Vergleich zur Wertigkeit
der x-Komponente vernachlässigbar klein sind. Um die Kräfte an den äußeren und inneren
Zylinderwänden in einer Relation miteinander zu vergleichen, werden diese an der äußeren
Wand durch einen Faktor von 2.0 dividiert. Dieser Faktor stellt ein Flächenverhältnis der
Randflächen von Γ1 zu Γ2 dar. Für die niedrigviskose Flüssigkeit von ν = 10−5 m2 /s befindet
sich der Maximalwert der resultierenden Kraft Fx,g für beide Randflächen ungefähr bei 0.25
s und 0.75 s. Die Reibungskräfte sind verschwindend gering, so dass die resultierende Kraft
fast ausschließlich durch die Druckkraft dominiert wird. Die maximalen Amplituden von
Fx,g an der inneren Wand sind insgesamt geringfügig niedriger im Vergleich zu der Äußeren.
Dies ändert sich, sobald die Viskosität zu ν = 10−4 m2 /s erhöht wird. Mit steigender Viskosität beobachtet man einen Anstieg der resultierenden Kräfte. In der Relation betrachtet,
wird es ersichtlich, dass die gesamten Kräfte im Inneren den äußeren Kräften überwiegen.
Die Druckkraft Fx,d am äußeren Rand Γ2 wird niedriger als an der Randfläche von Γ1 , da
der Reibungswiderstand mit zunehmender Viskosität ansteigt und durch eine Überlagerung
mit dem Druckkraftanteil reduziert wird. Der Überlagerungseffekt wird noch stärker mit
zunehmender Viskosität. Dieser Effekt äußert sich durch die Phasenverschiebung von Fx,r .
Die Spitzen der Druckkraftverläufe flachen mit zunehmender Viskosität ab und verschieben
sich allmählich mit der Zeit um t ≈ 0.5 s weiter. Die Maximalwerte von Fx,g steigen von
ν = 10−4 m2 /s auf ν = 10−2 m2 /s deutlich an. Die Überlagerung der Reibungs- und Druckkräfte für die höchste Viskosität ν = 10−2 m2 /s äußert sich mit einer noch größeren resultierenden Kraft. Der Kraftanstieg mit zunehmender Viskosität korreliert demnach analog
zu den experimentellen Untersuchungen. Während die Wertigkeit der Gesamtkraft zwischen
den niedrigeren Viskositäten eher klein ist, ist diese von ν = 10−3 m2 /s auf ν = 10−2 m2 /s
um eine Zehnerpotenz gewachsen (vgl. auch Abb. 4.34). Die Kraftübertragung durch newtonsche Flüssigkeiten stellt im Wesentlichen eine Referenzbasis zu den Untersuchungen mit
scherent- und -verzähenden Flüssigkeiten unterschiedlicher Parametersätze dar. Die Ergebnisse dieser Untersuchungen werden im nachfolgenden Unterkapitel mit den hier vorliegenden
Ergebnissen gegenübergestellt und diskutiert.
Fx,g , Fx,d , Fx,r in [N ]
72
1.5
Fx,d
Fx,r
Fx,g
Fx,d
Fx,r
Fx,g
1
0.5
an
an
an
an
an
an
Γ1
Γ1
Γ1
Γ2
Γ2
Γ2
0
-0.5
-1
0
0.5
1
Zeit in [s]
2
1.5
(a) ν = 10−5 m2 /s
1.5
Fx,d
Fx,r
Fx,g
Fx,d
Fx,r
Fx,g
1
0.5
an
an
an
an
an
an
Γ1
Γ1
Γ1
Γ2
Γ2
Γ2
0
-0.5
-1
0
0.5
2
1.5
1
Zeit in [s]
(b) ν = 10−4 m2 /s
6
Fx,d
Fx,r
Fx,g
Fx,d
Fx,r
Fx,g
4
2
an
an
an
an
an
an
Γ1
Γ1
Γ1
Γ2
Γ2
Γ2
0
-2
-4
0.5
0
1
Zeit in [s]
2
1.5
(c) ν = 10−3 m2 /s
60
Fx,d
Fx,r
Fx,g
Fx,d
Fx,r
Fx,g
40
20
an
an
an
an
an
an
Γ1
Γ1
Γ1
Γ2
Γ2
Γ2
0
-20
-40
0
0.5
1
Zeit in [s]
1.5
2
(d) ν = 10−2 m2 /s
Abbildung 4.30.: Kraftverläufe an Γ1 und Γ2 für unterschiedliche newtonsche Flüssigkeiten.
73
4.2.5. Kraftübertragung durch nichtnewtonsche Flüssigkeiten
Im Bild 4.31 wird der Bereich der Scherentzähnung für die Berechnungsreihen A und B (vgl.
Tab. 4.5) betrachtet. Der gesamte Viskositätsbereich, der durch die zwei unterschiedlichen
Berechnungsreihen abgedeckt wird, ist in der logarithmischen Darstellung aufgetragen. Im
Gegensatz zu den newtonschen Berechnungen erfolgt bei den nichtnewtonschen scherentzähenden Flüssigkeiten eine lokale Verringerung um gut 2 Zehnerpotenzen der Viskosität
10−2
10−3
10−4
10−5
10−6
10−7
Scherentzähung
10−5
10−4
10−3
10−2
Nullviskosität ν0
Viskosität ν(γ̇) in [m2 /s]
Viskosität ν(γ̇) in [m2 /s]
infolge der Abhängigkeit vom Geschwindigkeitsgradienten.
10−1
10−2
10−3
10−4
10−5
10−6
10−7
10−8
(a) Set A
Scherentzähung
10−5
10−4
10−3
10−2
Nullviskosität ν0
(b) Set B
Abbildung 4.31.: Bereiche der Scherentzähung während der numerischen Simulation.
Wie erwartet, ist der Bereich der Scherentzähung für die Berechnungsreihe B größer abgedeckt als für A. Der Unterschied beträgt etwa eine Dekade der Nullviskosität. Betrachtet
man die Abbildung 4.32, so ist ersichtlich, dass die niedrigeren Viskositäten unmittelbar an
der Randfläche des inneren Zylinders (Γ1 ) auftreten.
ν in [m2 /s]
10−3
10−4
10−5
Parametersatz A
Parametersatz B
Das ist auch die Stelle, an der sich der maximale Geschwindigkeitsgradient befindet. Die
Geschwindigkeitsfelder und folglich die Größe der Verzerrungsgeschwindigkeiten (vgl. auch
74
die Abb. 4.33) in den beiden Fällen sind in etwa gleich, obwohl sich die Fluide in ihren
Eigenschaften deutlich unterscheiden. Die Änderung der Viskosität, wie in der Abbildung
4.32 dargestellt, ist für den Zwischenraum einer Dekade nur durch eine optische Vergrößerung
in der unmittelbaren Nähe von Γ1 sichtbar.
Vergleich zwischen den Cross-Modellen (A und B) mit newtonscher Flüssigkeit
Trotz der ungefähr gleichen Geschwindigkeitsfelder bei steigender Viskosität in beiden Berechnungsfällen, unterscheiden sich die Kräfteverläufe an den Randflächen voneinander. Die
Bilddiagramme 4.35 und 4.36 zeigen die Kraftverläufe an den Randflächen von Γ1 und Γ2
für unterschiedliche Parametersätze des Cross-Modells. Wie schon bei der Auswertung im
oberen Unterabschnitt werden auch hier die Kraftverläufe am Γ2 in der Relation der beiden
Randflächenverhältnisse betrachtet. Der Unterschied zwischen den beiden Berechnungsreihen lässt sich anhand der größeren Reibungskräfte des Parametersatzes B gegenüber dem
Parametersatz A (vgl. Abb. 4.35 und 4.36) feststellen. Unabhängig davon, dass die Viskosität
geringer ist, steigen die Kräfte des Parametersatzes B an. Die einzige Erklärung hierzu liegt
in der Betrachtung unterschiedlicher Verzerrungsgeschwindigkeiten D. In Abbildung 4.33
sind exemplarisch zwei Berechnungen der Verzerrungsgeschwindigkeit für die Nullviskosität
ν = 10−3 m2 /s veranschaulicht.
|D| in [1/s]
70
35
0
Parametersatz A
Parametersatz B
Betrachtet man dazu die Gleichung (4.6) bzw. (2.29), so wird deutlich, dass der Reibspannungstensor T grundsätzlich mit steigender Verzerrungsgeschwindigkeit D größer wird. Daraus resultiert ein Anstieg der Reibungskräfte wie in den Abbildungen 4.35 und 4.36 zu sehen
ist. Die Kraftverläufe newtonscher im Vergleich zu scherentzähenden Flüssigkeiten unterscheiden sich wie folgt: Für die niedrigste Viskosität von ν0 = 10−5 m2 /s gibt es keine
75
signifikante Abweichung zur newtonschen Flüssigkeit. Bei steigender Nullviskosität jedoch
wird der Einfluss der Reibungskräfte deutlich sichtbar. An den Randflächen Γ1 steigt die
Gesamtkraft aufgrund der höher werdenden Reibungskräfte an. Im Gegensatz dazu sinkt
Fx,g an den Randflächen der äußeren Zylinderwand Γ2 ab. Der Druckkraftanteil Fx,d , der
bei den newtonschen Flüssigkeiten überwiegt, verliert demnach an Relevanz, wenn dazu die
Gesamtkraft in Betracht gezogen wird, die aus den scherentzähenden Fluiden aufgrund des
höheren Reibungskraftanteils resultiert. Die Form der Druckkraftverläufe unterscheidet sich
zu den newtonschen Flüssigkeiten bei höheren Nullviskositäten. Diese flachen ab und ähneln
je nach Belastungsrichtung einem Rechteck. Der oben beschriebene Überlagerungseffekt tritt
erneut infolge der Phasenverschiebung von Fx,r auf. Die Phasenverschiebung resultiert dabei
aus dem zunehmenden Reibungswiderstand. Insgesamt führt dies bei steigender Viskosität
zu einem viel kleineren Maximalwert von Fx,g am Γ2 und einem etwas höheren Gesamtkraftniveau am Γ1 im Vergleich zu den newtonschen Berechnungen. Die Maximalwerte aus der
oben beschriebenen Entwicklung der Kraftübertragung sind in einem logarithmischen Bilddiagramm 4.34 zusammengestellt. Für eine newtonsche Flüssigkeit mit einer Nullviskosität
von ν0 = 10−2 m2 /s ist die resultierende Kraft an der inneren Randfläche Γ1 in etwa doppelt
so groß wie die an der äußeren7 . Für die nichtnewtonschen Flüssigkeiten beider Parametersätze A und B gleicher Nullviskosität resultiert sogar eine achtmal so große Gesamtkraft an
der inneren Randfläche Γ1 als die an der äußeren von Γ2 .
102
Fx,g an Γ1
Fx,g an Γ2
101
Fx,g in [N ]
Fx,g in [N ]
101
100
10−1
102
Fx,g an Γ1
Fx,g an Γ2
10−5 10−4
10−2
10−3
Viskosität in [m2/s]
100
10−1
Fx,g an Γ1
Fx,g an Γ2
101
Fx,g in [N ]
102
10−5 10−4
10−2
10−3
100
10−1
10−5 10−4
10−2
10−3
Abbildung 4.34.: Maximalwerte von Fg aufgetragen über die Viskosität der newtonschen und nichtnewtonschen Flüssigkeiten.
7
Der äußere Rand Γ2 wird weiterhin mit einem Flächenverhältniss von 2.0 skaliert.
76
1.5
Fx,d
Fx,r
Fx,g
Fx,d
Fx,r
Fx,g
1
0.5
an
an
an
an
an
an
Γ1
Γ1
Γ1
Γ2
Γ2
Γ2
0
-0.5
-1
0
0.5
1
Zeit in [s]
2
1.5
(a) ν0 = 10−5
1.5
Fx,d
Fx,r
Fx,g
Fx,d
Fx,r
Fx,g
1
0.5
an
an
an
an
an
an
Γ1
Γ1
Γ1
Γ2
Γ2
Γ2
0
-0.5
-1
0
0.5
1
Zeit in [s]
2
1.5
(b) ν0 = 10−4
6
Fx,d
Fx,r
Fx,g
Fx,d
Fx,r
Fx,g
4
2
an
an
an
an
an
an
Γ1
Γ1
Γ1
Γ2
Γ2
Γ2
0
-2
-4
0.5
0
1
Zeit in [s]
2
1.5
(c) ν0 = 10−3
60
Fx,d
Fx,r
Fx,g
Fx,d
Fx,r
Fx,g
40
20
an
an
an
an
an
an
Γ1
Γ1
Γ1
Γ2
Γ2
Γ2
0
-20
-40
0
0.5
1
Zeit in [s]
1.5
2
(d) ν0 = 10−2
Abbildung 4.35.: Kraftverläufe an den Randflächen Γ1 u. Γ2 für unterschiedliche Nullviskositäten der
scherentzähenden Flüssigkeiten der Berechnungsreihe A.
1.5
77
Fx,d
Fx,r
Fx,g
Fx,d
Fx,r
Fx,g
1
0.5
an
an
an
an
an
an
Γ1
Γ1
Γ1
Γ2
Γ2
Γ2
0
-0.5
-1
0
0.5
1
Zeit in [s]
2
1.5
(a) ν0 = 10−5
1.5
Fx,d
Fx,r
Fx,g
Fx,d
Fx,r
Fx,g
1
0.5
an
an
an
an
an
an
Γ1
Γ1
Γ1
Γ2
Γ2
Γ2
0
-0.5
-1
0
0.5
1
Zeit in [s]
2
1.5
(b) ν0 = 10−4
6
Fx,d
Fx,r
Fx,g
Fx,d
Fx,r
Fx,g
4
2
an
an
an
an
an
an
Γ1
Γ1
Γ1
Γ2
Γ2
Γ2
0
-2
-4
0.5
0
1
Zeit in [s]
2
1.5
(c) ν0 = 10−3
60
Fx,d
Fx,r
Fx,g
Fx,d
Fx,r
Fx,g
40
20
an
an
an
an
an
an
Γ1
Γ1
Γ1
Γ2
Γ2
Γ2
0
-20
-40
0
0.5
1
Zeit in [s]
1.5
2
(d) ν0 = 10−2
Abbildung 4.36.: Kraftverläufe an den Randflächen Γ1 u. Γ2 für unterschiedliche Nullviskositäten der
scherentzähenden Flüssigkeiten der Berechnungsreihe B.
78
4.2.6. Betrachtung der Dissipationsenergie
Die im Abschnitt 4.2.3 eingeführte Dissipationsleistung Pirr wird als ein weiteres Dämpfungsmaß für die Analyse von Dämpfungseigenschaften viskoser Fluide betrachtet. Die Berechnung
von Pirr erfolgt dabei gemäß dem Programmcode in Abbildung 4.29. Die Ergebnisse der berechneten Dissipationsleistung über die Zeit sind in der Abbildung 4.37 veranschaulicht. Die
Berechnungsergebnisse zeigen, dass eine Absenkung der Viskosität gleichermaßen zu einer
Verringerung von Pirr führt. Das kann nur dann vorausgesetzt werden, wenn sich die Verzerrungsgeschwindigkeit D für jede Berechnungsreihe insgesamt nur geringfügig ändert. Für die
nichtnewtonsche Flüssigkeiten befindet sich Pirr im Vergleich zu den newtonschen Flüssigkeiten auf einem niedrigeren Niveau, da sich die Viskosität lokal aufgrund der Scherverdünnung
verkleinert. Die Maximalwerte des Pirr im Vergleich zwischen den Parametersätzen A zu B
sind mit einem Faktor von ungefähr 1.12 eindeutig geringfügig im Gegensatz zur Dissipationsleistung der newtonschen Flüssigkeiten. Hierfür liegt der Faktor bei ungefähr 2.5. Das
hängt mit der Scherentzähung zusammen, denn je scherentzähender die Flüssigkeit ist, desto
geringer ist das Niveau von Pirr .
4.2.7. Erhöhung der Scherentzähung und unregelmäßige Strömung
Im oberen Unterkapitel wurden verschiedene Parametersätze des Cross-Modells, darunter die
Nullviskosität ν0 und der Fließindex von n = 2 und n = 3, untersucht. Hierbei stellte sich
heraus, dass der Fließindex im Wesentlichen keine signifikanten Änderungen auf die Dissipationsleistung und resultierenden Kräfte ergab. Offenbar ist die Scherrate im F luidoszillator
nicht ausreichend hoch, um niedrigere Viskositäten zu erreichen. Daher wird ein weiterer
Parameter des Cross-Modells, dieser ist der Zeitparameter8 K, in eine Untersuchung mit
einer festgelegten Nullviskosität von ν0 = 10−5 m2 /s in einen neuen Parametersatz C systematisch variiert. Damit soll der Einfluss von K auf Pirr analysiert werden. Die nachfolgende
Abbildung 4.38 zeigt das scherentzähende Verhalten der Flüssigkeiten für verschiedene Zeitparameter K. Mit einer systematischen Erhöhung von K soll dementsprechend eine frühe
Scherentzähung bei niedrigeren Scherraten bewirkt werden. Dadurch wird eine höhere Scherentzähung der Flüssigkeit gewährleistet. In der Abbildung 4.39 sind die Ergebnisse aus der
Berechnung des Parametersatzes C gegenübergestellt. Anhand des Dissipationsverlaufs lässt
sich eine unregelmäßige bzw. instabile Strömung zwischen K = 0.1 s und K = 0.2 s. feststellen. Das gesamte Strömungsfeld schwankt, was zu einer unausgewogenen und asymmetrischen Viskositätsverteilung führt. Das Problem dieser unregelmäßigen Strömung tritt nicht
zu Beginn einer Berechnung auf, sondern im zeitlich fortgeschrittenen Simulationsverlauf.
Während K = 0.1 s den bereits bekannten periodischen Dissipationsverlauf darstellt, zeigt
8
Mit dem Zeitparameter lässt sich der Beginn der Scherentzähung variieren.
79
Pirr in [W ]
1
10
2
10
1
10
0
ν
ν
ν
ν
= 10−2m2/s
= 10−3m2/s
= 10−4m2/s
= 10−5m2/s
-1
10
-2
10
-3
10
-4
10
-5
10
0
0.5
1
1.5
2
Zeit in [s]
Pirr in [W ]
(a) Newtonsch
10
2
10
1
10
0
ν0
ν0
ν0
ν0
= 10−2m2/s
= 10−3m2/s
= 10−4m2/s
= 10−5m2/s
-1
10
-2
10
-3
10
-4
10
-5
10
0
0.5
1
1.5
2
Zeit in [s]
Pirr in [W ]
(b) Cross A
10
2
10
1
10
0
ν0
ν0
ν0
ν0
= 10−2m2/s
= 10−3m2/s
= 10−4m2/s
= 10−5m2/s
-1
10
-2
10
-3
10
-4
10
-5
10
0
0.5
1
1.5
2
Zeit in [s]
(c) Cross B
Abbildung 4.37.: Dissipationsleistung für unterschiedliche hochviskosen Flüssigkeiten.
die Berechnung mit K = 0.2 s einen Verlauf der allmählich abflacht und aperiodisch wird.
Dies stellt sich für die Flüssigkeit mit dem Parameter K = 0.3 s noch intensiver und früher
80
−4
10
K
K
K
K
−5
ν(γ̇) in [m2/s]
10
= 0.05 s
= 0.1 s
= 0.2 s
= 0.3 s
−6
10
−7
10
−8
10
−9
10
−1
10
10 0
10 1
10 2
10 3
10 4
γ̇ in [1/s]
Abbildung 4.38.: Parametersatz C . Der Zeitparameter K variiert zwischen 0.05 und 0.3. Die Nullviskosität
beträgt ν0 = 10−5 m2 /s, die Grenzviskosität ist ν∞ = 10−8 m2 /s und der Fließindex ist
auf n = 3 gesetzt.
ein. Demnach lässt sich mit dem Zeitparameter ein stabiles und ein instabiles Strömungsfeld
beeinflussen. Die Entstehung des instabilen Strömungsfelds ist nicht nur auf die nichtnewton-
Pirr in [W ]
10−2
K
K
K
K
= 0.05 s
= 0.1 s
= 0.2 s
= 0.3 s
10−3
10−4
10−5
0
0.5
1
Zeit in [s]
1.5
2
Abbildung 4.39.: Dissipationsleistung Pirr nach Erhöhung des Zeitparameters K für ν = 10−5 .
sche Simulationen begrenzt. Als Vergleichsrechnung wird hierzu eine newtonsche Flüssigkeit
mit einer Viskosität von ν = 10−8 m2 /s durchgeführt. Dabei wird angenommen, dass sich
während der Berechnung im Durchschnitt eine ungefähr ähnliche Viskositätsverteilung bei
der scherentzähenden Flüssigkeit einstellt, wie der festgelegte Viskositätswert der newtonschen Flüssigkeit. In Abbildung 4.40 sind die Geschwindigkeitsfelder der strukturviskosen
und newtonschen Flüssigkeiten gegenüber gestellt. Anfangs (bei t = 0.01 s) scheint das Geschwindigkeitsfeld immer noch stabil zu sein. Zu diesem Zeitpunkt nehmen die Dissipationsleistungsverläufe einen scheinbar periodischen Formverlauf an. Bereits eine Sekunde später
t = 0.01 s
ν = 10−8 m2 /s
t = 1.01 s
81
t = 2.01 s
v in [m/s]
0.15
ν0 = 10−5 m2 /s
K = 0.3 s
0
n=3
Abbildung 4.40.: Zeitliche Entwicklung des Geschwindigkeitsfeld bis zur Verzerrung.
wird das Geschwindigkeitsfeld für beide Fluide verzerrt. Dieser Zustand entspricht dem Beginn der Abflachung der Dissipationsleistung, wie in Bilddiagramm 4.39 zu sehen ist. In den
nächsten Zeitschritten (s. Abb. 4.40) ist eine Zunahme der Verzerrung beider Flüssigkeiten
zu beobachten. Das unregelmäßige Strömungsfeld tritt demnach nicht nur bei nichtnewtonschen Flüssigkeiten auf, sondern auch, wie im newtonschen Fall, aufgrund der niedrigen
Viskosität. Um den Zusammenhang zwischen der Instabilität des Strömungsfeldes und der
Viskosität herauszufinden, wird eine zusätzliche Berechnungsreihe für nichtnewtonsche Flüssigkeiten mit den variierenden Nullviskositäten von ν0 = 10−4 m2 /s bis ν0 = 10−2 m2 /s und
Zeitparametern von K = 0.05 s bis K = 0.3 durchgeführt. Diese Berechnungsreihe stellt
in der Abbildung 4.41(a) den Parametersatz D dar. Das Ergebnis dieser Untersuchung ist
im Bilddiagramm 4.42 zusammengefasst. Die in Abbildung 4.42 dargestellte Grafik zeigt
eine Stabilitätsgrenze, die aus der Abhängigkeit von K und ν0 resultiert. Unterhalb dieser
Grenze stellt sich ein stabiles Strömungsfeld ein, während oberhalb Unregelmäßigkeiten in
der Strömung zu erwarten sind. An dieser Stelle sei angemerkt, dass die oben ausgewertete
Stabilitätsgrenze nur für den Viskositätsbereich von 10−5 bis 10−2 m2 /s und einen festen Fließindex von n = 3 gilt. Die Ursache für die Unregelmäßigkeit im Strömungsfeld liegt demnach
eindeutig bei niedrig werdenden Viskositäten, die infolge einer Erhöhung des Zeitparameters
zu einer früher eintretenden Scherentzähung erfolgt. Denn mit sinkender Viskosität steigt die
Reynoldszahl (vgl. Gl. 4.2) an, so dass sich dadurch eine turbulente Strömung innerhalb des
F luidoszillators einstellt. Die charakteristische Reynoldszahl für eine strukturviskose Flüssigkeit mit einer Nullviskosität ν0 = 10−2 m2 /s beträgt Re = 12600 und liegt damit in einem
turbulenten Bereich. Diese ist im Vergleich zu einer Rohrströmung, bei der sich bereits eine
turbulente Strömungen ab Re = 2300 voll ausbildet, durchaus groß. Das Bilddiagramm 4.42
kann demnach auch als eine Grenze zwischen laminarer und turbulenter Strömung gedeutet
82
−1
10
K
K
K
K
−2
10
ν(γ̇) in [m2/s]
−3
10
= 0.4 s
= 0.2 s
= 0.1 s
= 0.05 s
−4
10
−5
10
−6
10
−7
10
−8
10
10−9 −1
10
10 0
10 1
10 2
10 3
10 4
γ̇ in [1/s]
(a) Parametersatz D: n = 3
Abbildung 4.41.: Der Zeitparameter K variiert zwischen 0.05 und 0.3. Die Nullviskosität beträgt ν = 10−5 ,
die Grenzviskosität ist ν∞ = 10−8 m2 /s und der Fließindex ist auf n = 3 gesetzt. Die
Verläufe unterscheiden sich nur durch den Fließindex n.
0.5
Stabilitätsgrenze
K in [s]
0.4
0.3
stabiler Bereich
0.2
instabiler Bereich
0.1
0
10−5
10−3
10−4
2
ν0 in [m /s]
Abbildung 4.42.: Stabilität in Abhängigkeit von K und ν für n = 3.
werden.
10−2
83
4.2.8. Vergleich von scherentzähenden mit scherverzähenden
Flüssigkeiten
In diesem Abschnitt wird vollständigkeitshalber zur Untersuchung der scherentzähenden
Flüssigkeiten ein Parametersatz mit scherverzähenden bzw. dilatanten Flüssigkeiten untersucht. Damit wird der gesamte Bereich hochviskoser Flüssigkeiten abgedeckt und das Verhalten der scherentzähenden und newtonschen Fluide aus den vorherigen Abschnitten in
einem Vergleich zu den dilatanten Fluiden gestellt. Dazu sind im Bilddiagramm 4.43 insgesamt vier Parametersätze des Cross-Modells für scherent- und -verzähende Fluide, sowie zwei
newtonsche Flüssigkeiten aufgestellt (Parameter s. Tab. 4.10). Die Ergebnisse dieser Berech-
108
106
scherentzähend ν0 = 102−2
scherentzähend ν0 = 102
scherverzähend ν0 = 10−2
scherverzähend ν0 2= 10
newtonisch ν = 10−2
newtonisch ν = 10
ν(γ̇) in [m2/s]
104
102
100
10-2
10-4
10-6
10-8 0
10
102
101
103
104
105
γ̇ in [1/s]
Abbildung 4.43.: Parametersätze der scherent- und -verzähenden Flüssigkeiten.
nungsreihe sind in den Abbildungen 4.44 bis 4.47 dargestellt. In Bilddiagramm 4.44 sind die
Dissipationsleistungsverläufe verschiedener Flüssigkeiten gegenübergestellt. Die Pirr -Verläufe
des hochviskosen Parametersatzes mit der Nullviskosität von ν0 = 10 m2/s liegen deutlich
über den Werten des Parametersatzes mit ν0 = 10−2 m2 /s. Die Verhältnisse der Maximalwerte von Pirr unterschiedlicher Parametersätze sind in der Tabelle 4.9 verzeichnet. Darin
Tabelle 4.9.: Verhältnisse der Maximalwerte von Pirr unterschiedlicher Parametersätze.
S /P D N /P D N D
ΠND
ΠSD −2 = max Pirr
ΠND −2 = max Pirr
ν=10 = max Pirr /Pirr
irr
irr
D S
ΠSD
ν=10 = max Pirr /Pirr
0.37
ν=10
0.65
ν=10
0.28
0.59
sind die ins Verhältnis gesetzten Maximalwerte der scherentzähenden zur dilatanten Flüssig-
84
S
D
dargestellt. Das Verhältnis der newtonschen zu dilatanten
keiten9 mit ΠSD
= max Pirr
/Pirr
ν
D
N
D
definiert. Die gebilde= max Pirr
/Pirr
Flüssigkeiten wird dabei in analoger Weise mit ΠN
ν
ten Verhältnisse zeigen ein charakteristisches Merkmal der scherentzähenden Flüssigkeiten,
welches sich in einer deutlich niedrigeren Dissipationsleistung gegenüber den beiden anderen
Parametersätzen äußert. Im Gegensatz dazu äußert sich das Verhalten der scherverzähenden
Flüssigkeit mit steigender Dissipationsleistung. Die Ergebnisse der Kräfteverläufe an den
Tabelle 4.10.: Parametersätze der scherentzähenden und dilatanten Flüssigkeiten.
Partition
Nullviskosität
Grenzviskosität
Zeitparameter
Fließindex
ν0 [m2 /s]
ν∞ [m2 /s]
K [s]
n [-]
Scherentzähend
10−2
10−7
Scherentzähend
1010
10−7
Dilatant
10−2
109
10−3
3
Dilatant
1010
103
10−4
3
108
3
5·
10−2
3
Dilatant
Scherentz.
Newtonsch
Dilatant
Scherentz.
Newtonsch
6
10
104
Pirr in [W ]
5·
10−2
ν = 10m2/s
ν = 10m2/s
ν = 10m2/s
ν = 10−2m2/s
ν = 10−2m2/s
ν = 10−2m2/s
102
100
10-2
10-4
10-6
0
0.5
1
Zeit in [s]
1.5
2
Abbildung 4.44.: Dissipationsleistung unterschiedlich hochviskoser Flüssigkeiten.
Randflächen Γ1 und Γ2 sind in den Bilddiagrammen 4.45 und 4.46 dargestellt. Darin zeigen
dilatante Flüssigkeiten im Vergleich zu den scherentzähenden und newtonschen Flüssigkeiten insgesamt höhere Werteverläufe auf. Diese resultieren infolge einer Scherverzähung der
Flüssigkeiten, bei denen die Viskosität zunehmend ansteigt. Das Bilddiagramm 4.47 zeigt
den Betrag der maximalen Druck- und Reibungskräfte über die Maximalwerte von Pirr . Der
Anstieg der Kräfte an Randflächen von Γ1 ist im strukturviskosen Fall signifikant größer
9
Für die entsprechenden Viskositäten von ν von 10−2 bis 10 m2 /s
85
im Vergleich zu den dilatanten und newtonschen Flüssigkeiten. Dies ist auf die lokal hohen
Geschwindigkeitsgradienten an der inneren Randfläche zurückzuführen (vgl. dazu Abschnitt
4.2.5). Hieraus resultiert eine hohe Verzerrungsgeschwindigkeit D und ein insgesamt größerer Reibungskraftanteil. Damit überwiegt hier der Reibungskraftanteil Fx,r gegenüber dem
Druckkraftanteil Fx,d. Das Absinken der Kräfte an der Außenwand Γ2 im strukturviskosen
Fall ist dagegen auf die hohen Scherraten bzw. relativ hohen Geschwindigkeit der Außenwand zurückzuführen. Das hat zur Folge, dass die Reibungskraft mit der Verringerung der
Viskosität sinkt und der Druckkraftanteil dadurch im Verhältnis größer wird.
60
Fx,d
Fx,r
Fx,g
Fx,d
Fx,r
Fx,g
40
20
an
an
an
an
an
an
Γ1
Γ1
Γ1
Γ2
Γ2
Γ2
0
-20
-40
0
0.5
1
Zeit in [s]
2
1.5
(a) Dilatant ν0 = 10−2 m2 /s
8.0e4
Fx,d
Fx,r
Fx,g
Fx,d
Fx,r
Fx,g
6.0e4
4.0e4
an
an
an
an
an
an
Γ1
Γ1
Γ1
Γ2
Γ2
Γ2
2.0e4
0
-2.0e4
-4.0e4
0
0.5
1
Zeit in [s]
1.5
2
(b) Dilatant ν0 = 10 m2 /s
Abbildung 4.45.: Kraftverläufe an Γ1 u. Γ2 dilatanter, scherentzähender und newtonscher Flüssigkeiten.
86
8.0e4
Fx,d
Fx,r
Fx,g
Fx,d
Fx,r
Fx,g
6.0e4
4.0e4
an
an
an
an
an
an
Γ1
Γ1
Γ1
Γ2
Γ2
Γ2
2.0e4
0
-2.0e4
-4.0e4
0
0.5
1
Zeit in [s]
1.5
2
(a) Newtonsch ν0 = 10 m2 /s
6.0e4
Fx,d
Fx,r
Fx,g
Fx,d
Fx,r
Fx,g
4.0e4
2.0e4
an
an
an
an
an
an
Γ1
Γ1
Γ1
Γ2
Γ2
Γ2
0
-2.0e4
-4.0e4
0
0.5
1
Zeit in [s]
1.5
2
(b) Scherentzähend ν0 = 10 m2 /s
Abbildung 4.46.: Kraftverläufe an Γ1 u. Γ2 dilatanter, scherentzähender und newtonscher Flüssigkeiten.
max|Fx,d, Fx,r | in [N ]
2.5e4
2.0e4
87
max|Fx,d| an Γ1
max|Fx,r | an Γ1
max|Fx,d| an Γ2
max|Fx,r | an Γ2
1.5e4
1.0e4
5.0e3
0
1
10
102
max|Pirr | in [W ]
103
(a) Dilatant
2.5e4
2.0e4
max|Fx,d| an Γ1
max|Fx,r | an Γ1
max|Fx,d| an Γ2
max|Fx,r | an Γ2
1.5e4
1.0e4
5.0e3
0
1
10
102
max|Pirr | in [W ]
103
(b) Newtonsch
2.5e4
2.0e4
max|Fx,d| an Γ1
max|Fx,r | an Γ1
max|Fx,d| an Γ2
max|Fx,r | an Γ2
1.5e4
1.0e4
5.0e3
0
1
10
102
max|Pirr | in [W ]
103
(c) Scherentzähend
Abbildung 4.47.: Betrag der maximalen Kraftwerte über die Maximalwerte der Dissipationsleistung.
88
4.3. Erzeugung Gaußscher Wellenpakete
Für die Untersuchungen von Wellen-Struktur-Interaktionsprozessen an Offshore-Bauwerken
werden Wasserkanäle mit Wellengeneratoren im Labormaßstab eingesetzt. Die Generierung
bzw. Simulation eines natürlichen Seegangs, der auf Ozeanen durch Windfelder erzeugt wird,
erfordert daher ein bestimmte Vorgehensweise. Laut BERGMANN [7], der die Gaußschen
Wellenpakete erstmals in einer Analyse des Seegangverhaltens meerestechnischer Konstruktionen untersuchte, kann durch die Variation der Parameter eines Gaußschen Funktionsausdrucks eine Wellengruppen im Experiment gezielt erzeugt werden. Mit dem Gaußschen
Wellenpaket lassen sich neben den nicht brechenden disspersive Wellen auch brechende Wellen infolge der Überlagerung von hoch- mit niederfrequenten Wellengruppen generieren. In
diesem Abschnitt werden experimentelle und numerische Verfahren zur Generierung brechender Gaußscher Wellenpakete gezeigt, sowie deren Auswirkung auf eine zylindrische Struktur
numerisch berechnet und experimentell validiert.
4.3.1. Gaußsche Wellenpakete
Die Erzeugung eines Gaußschen Wellenpakets basiert auf den Erfahrungen aus den experimentellen Versuchen im Wasserkanal10 . Diese Art der Wellenerzeugung ist durch folgenden
charakteristischen Merkmale motiviert:
• Die Verwendung der reinen Sinus- bzw. Cosinus-Funktionen mit unterschiedlich hohen
Frequenzen und Amplituden erfordert eine große Einlauflänge bei der Erzeugung von
brechenden Wellen. Daraus resultiert eine vergleichsweise hoher Rechenaufwand mit
längeren Erzeugungszeiten.
• In Versuchen wurden die Auslenkung des Wellenblatts (s. Abb. 4.48) mittels einer
Gaußschen Verteilungsfunktion reguliert. Im Zuge der Untersuchungen kann diese Art
der Bewegung zur Erzeugung einer dispersive Welle, die zu einer Wellenbrechung infolge der Überlagerung von hoch- mit niederfrequenten Wellenpaketen zustande kommt,
erzeugt werden. Darüber hinaus kann durch die Einstellung der Funktionsparameter eine nahezu genaue Position des Brechvorgangs entlang der Wellenausbreitungsrichtung
bestimmt werden.
Die allgemeine Definition des Oberflächenprofils eines Wellenpakets nach KINSMAN [58]
wird durch den Ausdruck
∞
i kx−ωt
a(k)e
ζ(x, t) =
dk
(4.11)
−∞
10
Der experimentelle Aufbau zur Validierung der Gaußscher Wellenpakete befindet sich im Anhang B.
89
beschrieben. Das Oberflächenprofil ζ(x, t) ist die Auslenkung des Ruhewasserspiegels an der
Stelle x zur Zeit t. In dieser Gleichung (4.11) steht a(k) für das Amplitudenspektrum, k ist
die Wellenzahl und ω die Frequenz des Wellenpakets. Nach COULSON [17] ergibt sich ein
c
Wellenblatt
ζ(x, t)
g
z
x
λ=
2π
k
d
Abbildung 4.48.: Charakteristische Parameter zur Definition einer Welle: Wellenzahl k, Länge λ =
2π
k ,
Gruppengeschwindigkeit c und Tiefe d.
Gaußsches Wellenpaket aus dem Ansatz bei dem das Amplitudenspektrum einer Gaußverteilung mit dem Ausdruck
a0 −(k−k2 0 )2
e 2s
a(k) = √
2πs
(4.12)
folgt.
Darin kennzeichnen a0 die maximale Amplitude, k0 die zentrale Wellenzahl und s die Standardabweichung der Gaußverteilung. Das Einsetzen der Gleichung (4.12) in Gleichung (4.11)
führt zu einer Lösung, wenn die Frequenz ω von der Wellenzahl k abhängt11 . Mit anderen
Worten, wenn die einzelnen Wellen des Wellenpakets unterschiedliche Fortschrittsgeschwindigkeiten bzw. Ausbreitungsgeschwindigkeiten haben, ist eine direkte Integration der Gleichung (4.11) nicht möglich. Eine Möglichkeit zur Näherungslösung des Integrals kann nach
[17] mittels der Taylorentwicklung zweiter Ordnung der Frequenz um k0 mit
ω(k) = ω(k = k0 ) +
ω0
dω 1 d2 ω 2
·δk +
·δk
dk k0
2 dk 2 k0
A
B
(4.13)
durchgeführt werden.
Die Anwendung der eulerschen Relation und Integration führt zu einer komplexen Form12
Re
Im
11
12
s2
1
−1
(x−At)2
· e 2 1+s4 B2 t2
1 + s4 B 2 t2
arctan(−s2 Bt)
· cos
sin k0 x − ω0 t +
2
1 s4 Bt
2
(x − At) .
+
2 1 + s4 B 2 t2
{ζ(x, t)} = a0
4
dies wird durch die Dispersionsrelation ω = ω(k) in DINGEMANS [27] beschrieben.
Eine detaillierte Herleitung siehe KINSMAN [58].
(4.14)
90
Hier unterscheiden sich die reellen und imaginären Teile nur in der trigonometrischen Basisfunktion. Beide Teile dienen zur Beschreibung des dispersiven Gaußschen Wellenpakets. Für
die Dispersionsrelation gilt:
ω(k) =
gk tanh(kd).
(4.15)
Die Parameter A und B in Gl. (4.13) lassen sich durch die Ableitung von ω nach k wie folgt
angeben:
2k0 d
c0
1+
,
A=
2
sinh(2k0 d)
1 − 2k0 d coth(2k0 d)
1
B = c0 d
−
sinh(2k0 d)
2 sinh(2k0 d)
sinh(2k0 d)
2k0 d
1
−
−
.
2sinh(2k0 d)
2k0 d
sinh(2k0 d)
Darin definiert
c0 =
(g/k0) tanh(k0 d)
(4.16)
(4.17)
(4.18)
die charakteristische Phasengeschwindigkeit des Wellenpakets, d kennzeichnet die Wassertiefe
und g die Erdbeschleunigung.
4.3.2. Numerische Implementierung Gaußscher Wellenpakete
Die numerischen Generierung des Gaußschen Wellenpakets erfolgt analog zum experimentellen Teil (s. Anhang B) über den reellen Funktionsausdruck der Gleichung (4.14). Der
Funktionsausdruck zur Auslenkung der freien Oberfläche wird dabei über die Gitterpunktbewegung eines Randgebiets im Quellcode des zweiphasigen Strömungslösers implementiert.
Bei diesem Ansatz wird die Anregung der freien Oberfläche nicht mit den Punkten direkt an
der beweglichen Wandung vorgeschrieben, sondern auf einem vorher definierten Teilbereich.
Dadurch können optional Gitterpunkte innerhalb einer bestimmten Bereichsgrenze xmb , wie
in Abbildung 4.49 gezeigt, bewegt werden. Die Berechnung der Netzbewegung wird mit dem
Ausdruck:
xin+1 = xin + ζ̇
xmb − (xin − xn0 )
δt
xmb
(4.19)
vorgeschrieben.
Darin kennzeichnet n den Zeitschritt und i die Gitterpunkte des definierten Teilgebiets mit
der Bereichsgrenze xmb . Mit der Gleichung (4.19) wird die Bewegung der randnahen Gitterpunkte Γ4 (xn0 ) über die Geschwindigkeitsfunktion13 ausgedrückt. Die Bereichsgrenze xmb
darf dabei die maximalen Amplitudenauslenkung a0 nicht unterschreiten, da ansonsten die
13
Diese ergibt sich aus der zeitlichen Ableitung von Gleichung (4.14).
91
xin+1
Γ3
ρl , ν l
Γ4
Γ2
ρw , ν w
z
x xmb
Γ1
Abbildung 4.49.: Numerisches Modell des Wellenkanals.
Bewegungsfunktion nicht richtig umgesetzt wird. Zwischen Γ4 und xmb wird die Gitterbewegung linear interpoliert. In Abbildung 4.50 ist der Algorithmus zur Gitterbewegung in einem
Quellcodeabschnitt dargestellt.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
bool g a u s s W e l l e : : update ( )
{
g a u s s w e l l e n p a k e t ( a0 , k0 , s , d , x , tend ) ;
double v e l = w e l l e n p a k e t . c a l c u l a t e _ v e l ( time ( ) . v a l u e ( ) ) ;
i n t ID = fvMesh : : boundaryMesh ( ) . f i n d P a tch ID ( " gamma4 " ) ;
f v P a tch gamma4 = fvMesh : : boundaryMesh ( ) [ ID ] ;
double x0 = gamma4 . C ( ) [ 0 ] . x ( ) ;
p o i n t F i e l d newPoints = fvMesh : : p o i n t s ( ) ;
f o r A l l ( newPoints , i )
{
p o i n t& p = newPoints [ i ] ;
i f ( p . x ( ) < xmb)
{
p . x ( ) += v e l ∗ (xmb − ( p . x() − x0 ) ) / xmb∗ time ( ) . delaT ( ) . v a l u e ( ) ;
}
}
...
return f a l s e ;
}
Abbildung 4.50.: Algorithmus zur Gitterbewegung.
4.3.3. Validierung des Gaußschen Wellenpakets
Für die numerische Validierung des oben beschriebenen Algorithmus werden zwei Konfigurationen eines Gaußschen Wellenpakets erzeugt (siehe Tab. 4.11). Die Parameter der erste
Konfiguration stellen ein fortschreitendes Wellenpaket dar, das zunächst eine divergierende
92
Form bildet. Durch die Überlagerung von hoch- mit niederfrequenten Wellengruppen bricht
das Paket im Konzentrationspunkt14 . Anschließend bildet das Wellenpaket eine konvergierende Form. Als Brechkriterium wird dabei das von WIEGEL [106] aufgestellt Verhältnis ζb /Hb
von der maximalen Wasserspiegelauslenkung ζb zu der Brecherhöhe Hb herangezogen. Dieses
rangiert in einem Bereich von 0.5 bis 0.95. Im Gegensatz zur ersten Konfiguration erfolgt die
Wellenbrechung der zweiten Konfiguration nicht durch Überlagerung einzelner Wellengruppen, sondern bedingt durch eine kurze Erzeugungszeit tend der Gaußfunktion (siehe Tabelle
4.11). Damit kann für nachfolgende Untersuchungen zur Wellen-Struktur-Interaktion eine
brechende Welle an einem bestimmten Ort und zu einer bestimmten Zeit definiert werden
und gleichzeitig ein hoher Rechenaufwand vermieden werden. Die Berechnungen erfolgen in
einem zweidimensionalen Modell des numerischen Wasserkanals (siehe Abb. 4.49). Dieser ist
von den Abmaßen her identisch mit dem experimentellen Versuchsstand15 . Die Annahme des
zweidimensionalen Modells ist soweit gerechtfertigt, da das experimentell erzeugte Wellenpaket keine Reflexionen in die dritte Ebene aufweist und nur der Wellenfortschrittsrichtung
folgt. Darüber hinaus werden Turbulenzeffekte vernachlässig. Die Berechnungen eines dispersiven Gaußsches Wellenpakets mit einem turbulenten Strömungsmodell sind in der Referenz
[35] zu finden. Die Ergebnisse dieser Arbeit zeigen keine signifikanten Änderungen turbulenter und laminarer Strömung im Hinblick auf die Auslenkung der freien Oberfläche und des
gesamten Strömungfelds. Um eine konvergente und gitterunabhängige numerische Lösung
Tabelle 4.11.: Parameter zur Erzeugung des Gaußschen Wellenpakets.
Parameter
1. Konfig.
2. Konfig.
Einheit
a0
x
0.12
-0.2
m
4.0
-1.5
m
tend
7.0
1.5
s
s
2.7
2.7
-
k0
2.0940
1.3628
-
xmb
0.6
0.6
m
d
0.25
0.25
m
zu erhalten, werden drei systematisch verfeinerte Netze entsprechend Tabelle 4.12 erzeugt.
Die Zeitschrittweite δt wird von einer globalen Courant-Zahl von Co < 0.2 gesteuert und
rangiert während der Simulation am feinen Gitter zwischen 10−4 s bis 10−3 s.
Die Fluideigenschaften der zweiphasigen Strömung für Wasser und Luft können anhand
der Tabelle 6.2 entnommen werden. Der Wert für die Gravitationsbeschleunigung wird mit
14
15
Das ist der Ort an dem das Wellenpaket die maximale Amplitude annimmt.
s. experimenteller Aufbau im Anhang B.
93
Tabelle 4.12.: Berechnungsnetz mit n als Anzahl der Zellen.
Grobes Netz
Mittleres Netz
Feines Netz
22x200
45x400
90x800
n
g = 9.81m/s2 festgelegt.
Tabelle 4.13.: Fluideigenschaften.
Wasser
Dichte
ρw =
103
νw = 10−6
Viskosität
Luft
Einheit
ρl = 1
kg
m3
νl = 1.5 · 10−5
m2
s
Die Randbedingungen des zweiphasigen Simulationsmodells sind in der Tabelle 4.14 zusammengefasst. An dieser Stelle soll darauf hingewiesen werden, dass die Randbedingung für
die Gitterbewegung v̂ undefiniert bleibt, da diese im Sinne des Bewegungs-Algorithmus aus
dem obigen Abschnitt vorgeschrieben wird. Als Anfangsbedingung wird für die Feldgröße
α = 1 (dies entspricht der Phase für das Wasser) ein Ruhewasserspiegelstand von d = 0.25 m
über die ganze Kanallänge initialisiert. Die Berechnungen der Simulationsmodelle erfolgt auf
einem Intel(R) Core(TM) i5 CPU, 2.67GHz Prozessor.
Tabelle 4.14.: Randbedingungen des zweiphasigen Simulationsmodells.
Rand
α
Γ1
∂α
∂n
Γ2
∂α
∂n
=0
=0
Γ3
α=0
Γ4
∂α
∂n
=0
v in m/s
v̂ in m/s
v=0
v̂ = 0
v=0
∂v
∂n
=0
vm
v̂n =
∂ v̂t
∂n
=0
v̂n =
∂ v̂t
∂n
=0
v̂ = 0
p in N/m2
∂p
∂n
=0
∂p
∂n
=0
p=0
∂p
∂n
=0
In der Abbildung 4.51 sind die ausgewerteten numerischen und experimentellen Ergebnisse
in einem Diagramm der freien Oberflächenauslenkung über der Zeit dargestellt. Die Messung
der freien Oberflächenauslenkung im Versuch erfolgt mittels der Ultraschallsensoren (siehe
Kap. 4.1.2). Das Wellenprofil wird dabei ausgehend von der Ausgangsposition des Wellenblatt
an den Positionen 2 m, 3 m und 4 m in x−Richtung erfasst. Die numerischen Ergebnisse aller
drei Gitter korrelieren im Vergleich mit den experimentellen Ergebnissen näherungsweise mit
der Phasenfrequenz und den Werten der Wellenamplituden. Die Berechnung auf dem gröbste
Gitter zeigt qualitativ gute Ergebnisse bei allen drei Positionen der Wellenauslenkung.
94
8
22x200
45x600
90x800
Experiment
ζw [10−2 m]
6
2m
4
2
0
-2
-4
0
2
4
6
8
10
12
14
t [s]
8
22x200
45x600
90x800
Experiment
ζw [10−2 m]
6
3m
4
2
0
-2
-4
0
2
4
6
8
10
12
14
t [s]
8
22x200
45x600
90x800
Experiment
ζw [10−2 m]
6
4m
4
2
0
-2
-4
0
2
4
6
8
10
12
14
t [s]
Abbildung 4.51.: Numerische und experimentelle Ergebnisse des Gaußschen Wellenpakets (1. Konf.). Das
Wellenprofil wurde jeweils von der Ausgangsposition des Wellenblatt an den Positionen
2 m, 3 m und 4 m in x−Richtung erfasst.
95
Ferner zeigen die Ergebnisse eine charakteristische Entwicklung des Gaußschen Wellenpakets. Zunächst bildet das Wellenpaket eine divergierende Form der Wellenauslenkung, die an
der ausgewerteten Position 2m in Abbildung 4.51 zu sehen ist. Danach überholen die niederfrequenten Wellen die hochfrequenten. Infolge der Überlagerung steilt sich eine Wellenfront
im Konzentrationspunkt auf und erreicht kurz vor der Wellenbrechung ihren maximalen Amplitudenwert bei ca. 3m. Im Konzentrationspunkt kommt es schließlich zur Wellenbrechung.
Mit der Wellenbrechung entlädt sich die Wellenenergie des Pakets und das Profil der freien
Oberfläche nimmt eine konvergierende Form an (vgl. Pos. 4m in Abb.4.51). Das Brechkriterium der Simulation liegt mit einem Wert von ζb /Hb ≈ 0.725 im Bereich der experimentellen
Untersuchungen nach WIEGEL [106].
In Abbildung 4.52 und 4.53 ist das Konvergenzverhalten der Druck- und Geschwindigkeitsfelder dargestellt. Die Auswertung erfolgt über eine integrale Mittelwertbildung der Strömungsgrößen an den Querschnitten der Auswertepositionen 2 bis 4m. Die Querschnitte stellen dabei die Iso-Flächen der flüssigen Phase dar. Wie in Abbildung 4.52 zu sehen ist, stellt
sich zu Beginn am groben Gitter, im Vergleich zu den mittleren und feinen Gittern, ein höher
liegendes Druckniveau ein. Dies resultiert aufgrund der ungenauen Auflösung des Oberflächenprofils zwischen den beiden Phasen. Eine genauere Auflösung der freien Oberfläche wird
am mittleren Gitter erreicht. Dieses zeigt im Vergleich zu dem feinen Gitter ein analoges
Konvergenzverhalten. Im Gegensatz zum Druckfeld ergibt sich für das Geschwindigkeitsfeld,
wie im Bilddiagramm 4.53 zu sehen, bereits am groben Gitter ein gutes Konvergenzverhalten.
Die Berechnungszeiten der drei Gitter sind in der Tabelle 4.15 zusammengefasst. Anhand
der Rechenzeiten wird deutlich, dass der Berechnungsaufwand mit einem systematisch verfeinerten Netz in etwa um eine Zehnerpotenz zunimmt.
Tabelle 4.15.: Rechenzeit auf systematisch verfeinerten Gittern.
Gitter
Grob (22x200)
Mittel (45x600)
Fein (90x800)
Rechenzeit
160 s
1500 s
13200 s
96
2.9
22x200
45x600
90x800
2.8
2m
p [kP a]
2.7
2.6
2.5
2.4
2.3
2.2
2.1
0
2
4
6
8
10
12
14
t [s]
2.9
22x200
45x600
90x800
2.8
3m
p [kP a]
2.7
2.6
2.5
2.4
2.3
2.2
2.1
0
2
4
6
8
10
12
14
t [s]
2.9
22x200
45x600
90x800
2.8
4m
p [kP a]
2.7
2.6
2.5
2.4
2.3
2.2
2.1
0
2
4
6
8
10
12
t [s]
Abbildung 4.52.: Konvergenzverhalten des Druckfeldes.
14
0.4
97
22x200
45x600
90x800
0.3
2m
v [m/s]
0.2
0.1
0
-0.1
-0.2
-0.3
0
2
4
6
8
10
12
14
t [s]
0.4
22x200
45x600
90x800
0.3
3m
v [m/s]
0.2
0.1
0
-0.1
-0.2
-0.3
0
2
4
6
8
10
12
14
t [s]
0.4
22x200
45x600
90x800
0.3
4m
v [m/s]
0.2
0.1
0
-0.1
-0.2
-0.3
0
2
4
6
8
10
12
14
t [s]
Abbildung 4.53.: Konvergenzverhalten des Geschwindigkeitsfeld in Fortschrittsrichtung.
98
Neben der ersten Konfiguration, die auf dem Überlagerungsprinzip mehrerer Wellen beruht,
wird mit der zweiten Konfiguration nach Tabelle 4.11 eine Möglichkeit gezeigt eine solitäre
brechende Welle, die aufgrund einer Gegenströmung hervorgerufen wird, zu erzeugen. Diese
bewirkt eine Aufsteilung der Wellenfront, die zum Überschreiten des Brechkriteriums (ζb /Hb )
und schließlich zur Wellenbrechung führt.
Die Berechnung der zweiten Konfiguration erfolgt mit den gleichen Rand- und Anfangsbedingungen analog zur ersten Konfiguration, jedoch in einem insgesamt kürzeren Wasserkanal. Die Kanallänge des numerischen Modells wird auf L = 1.4 m und eine Höhe von
H = 0.4 m festgelegt. Das gesamte Berechnungsgebiet wird mit einer Gitterauflösung von
HxL = 40x150 Kontrollvolumenzellen diskretisiert.
Die Entstehung der freien Oberflächenwelle, als Ergebnis aus der numerischen Simulation,
ist in der Abbildung 4.54 visualisiert.
t = 1s
t = 1.8s
t = 1.3s
t = 1.85s
t = 1.5s
t = 1.9s
t = 1.7s
t = 1.95s
t = 1.75s
t = 2s
Abbildung 4.54.: Numerische Simulation einer Sturzbrecherwelle zu den Zeitpunkten t = 1s bis t = 2s.
In einer zeitlichen Ablaufsequenz von t = 1s - 2s wird der Brechungsprozess veranschaulicht. Die erzeugte Wellenform ist nach BRINKMANN [10] als eine Sturzbrecherwelle zu
klassifizieren. Eine klassische Sturzbrecherwelle bildet laut [10] eine Brecherzunge, die in das
Wellental stürzt, wobei Luft zwischen den Wassermassen eingeschlossen wird. Dieser Vorgang
ist ab dem Beginn der Brecherzungenbildung zum Zeitpunkt t = 1.7s bis hin zu den Lufteinschlüssen im Brechungsprozess t = 2s in der Abbildung 4.54 verdeutlich. Die Validierung der
numerischen Ergebnisse erfolgt mit einer Ultraschallaufnahme des Wellenprofils, ausgehend
von der Nullposition des Generator-Wellenblatts in Fortschrittsrichtung bei einer Position
99
von x = 0.65 m. Im Bilddiagramm 4.55 sind die numerischen und experimentellen Ergebnisse
ζw [10−2 m]
des Oberflächenprofils der erzeugten Sturzbrecherwelle über der Zeit gegenübergestellt.
12
10
8
6
4
2
0
-2
-4
-6
Experiment
Numerik
0
0.5
1
1.5
2
2.5
t [s]
Abbildung 4.55.: Auslenkung der freien Oberfläche über die Zeit (numerische und experimentelle Ergebnisse).
Die numerischen Ergebnisse korrelieren im Vergleich mit den experimentellen Ergebnissen
und zeigen eine gute Übereinstimmung im Werteverlauf. Die Berechnungszeiten auf dem relativ feinem Gitter (mit HxL = 40x150 Kontrollvolumenzellen) beläuft sich auf 840s. Damit
lässt sich im Gegensatz zur ersten Konfiguration, die eine längere Erzeugungszeit erfordert,
ein relativ hoher Rechenaufwand vermeiden.
Als Abschluss zur Validierung des zweiphasigen CFD-Solvers wird ein Aufschlag der Welle
des zweiten Parametersatzes auf eine starre zylindrische Struktur simuliert. Die numerischen
Ergebnisse werden anschließend mit den experimentell erfassten Druckverläufen zur Validierung herangezogen.
4.3.4. Numerische Simulation eines Wellenaufschlag auf eine starre
zylindrische Struktur
In diesem Abschnitt wird ein dreidimensionales numerisches Simulationsmodell eines Wellenaufschlags auf eine starre zylindrischen Struktur berechnet und mit experimentell ermittelten
Druckwerten validiert. Die validierten Ergebnisse aus der CFD-Simulation dienen später als
Referenz für die Berechnungen eines Fluid-Struktur-Wechselwirkungsprozesses mit einem
Offshore-Dämpfungselementprototypen. Die Abbildung 4.56 zeigt das dreidimensionale Berechnungsmodell zur Wechselwirkung von Welle und Struktur in einer Querschnittsansicht.
Der zylindrische Pfeiler steht, wie in der Abbildung gezeigt, in einem Wasserkanal und ist
unmittelbar vor einer Sturzbrecherwelle plaziert.
100
Γ3
ρLuf t
Γ4
Γ5
Γ2
2/7 L
ζw
Γ6
RW S
Γ7
ρW asser
z
Γ1
x
5/8 L
R
3/14 L
L
Abbildung 4.56.: Querschnittsansicht des dreidimensionalen numerischen Berechnungsmodells.
Die Gesamtlänge des Kanals wird auf L = 1.4 m festgelegt. Die Höhe und Breite HxB,
bezogen auf die Kanallänge, betragen 2/7L x 3/14L. Die axiale Position des inneren Zylinders
befindet sich bei 5/8L. Der Radius R der schlanken zylindrischen Struktur beträgt 1/70L
und der Ruhewasserspiegel (RW S) bzw. die Wassertiefe des Kanals entspricht 1/5L. Die
Randbedingungen des Modells für diese Berechnung können der Tabelle 4.16 entnommen
werden.
Tabelle 4.16.: Randbedingungen des CFD-Modells Welleneinschlag auf eine zylindrische Struktur.
Rand
α
Γ1
∂α
∂n
Γ2
∂α
∂n
Γ3
=0
=0
α=0
v in m/s
v̂ in m/s
v=0
v̂ = 0
v=0
∂v
∂n
=0
v̂n =
∂ v̂t
∂n
=0
v̂n =
∂ v̂t
∂n
=0
p in N/m2
∂p
∂n
=0
∂p
∂n
=0
p=0
Γ4
∂α
∂n
=0
vm
v̂ = 0
∂p
∂n
=0
Γ5
∂α
∂n
=0
v=0
v̂ = 0
∂p
∂n
=0
Γ6
∂α
∂n
=0
v=0
v̂ = 0
∂p
∂n
=0
Γ7
∂α
∂n
=0
v=0
v̂ = 0
∂p
∂n
=0
Das Rechengitter ist in Abbildung 4.57 dargestellt und besteht aus insgesamt aus 37440
KV-Zellen. Die Simulation der Sturzbrecherwelle erfolgt gemäß der zweiten Konfiguration
nach Tabelle 4.11.
Die experimentelle Validierung erfolgt in analoger Weise wie im Abschnitt 4.1. Dazu wird
der Messzylinder mit der Piezosensorik entsprechend dem numerischen Modell bei 5/8L vom
Rand der bewegten Wand plaziert. Die Auswertung der Druckverläufe erfolgt, wie in Abbildung 4.58 zu sehen ist, an drei Piezosensor-Elementen, die im Staupunkt des zylindrischen
Testobjekts positioniert sind. Diese drei Sensoren sind im Intervall Δ(d/H) = 0.075 oberhalb
des Ruhewasserspiegels von d/H = 0.625 angeordnet.
101
Abbildung 4.57.: Strukturiertes Berechnungsgitter in der Draufsicht.
(d/H)3
(d/H)2
ζ3
ζ2
ζ1
(d/H)1
z
x
Abbildung 4.58.: Wellenaufschlag auf Zylinderstruktur und Position der Messpunkte.
In Abbildung 4.59 sind die Druck-Zeit-Verläufe der experimentell ermittelten gegenüber den
numerisch berechneten Ergebnissen dargestellt. Der impulsartige Druckanstieg im Moment
des Aufschlags ist ein charakteristisches Merkmal einer brechenden Welle auf eine Struktur.
Ein ähnliches Aufprallverhalten des Wassers auf Hindernisse wird in den Untersuchungen
von PEREGRINE [77], WIENKE [108], sowie KJELDSEN und MURHAUG [59] beobachtet
und diskutiert. Der maximale Druck-Peak in Abbildung 4.59 wird in der unmittelbaren Nähe
der Brecherzunge bei einer Höhe von (d/H)2 = 0.725 lokalisiert. Unterhalb der Brecherzunge an der Position (d/H)1 = 0.65 ist der Druckanstieg um 55 % geringer in Bezug auf den
maximalen Druck-Peak bei (d/H)2 = 0.725. Oberhalb der Position (d/H)3 = 0.8 verringert
sich der Druck um ungefähr 72 % im Bezug auf den maximalen Druck-Peak. Nachdem der
Aufschlag erfolgt ist, fallen die Druckwerte aller drei Verläufe auf ein niedrigeres Niveau ab.
Dieser Druckabfall erfolgt rasch nach dem die Welle am Hindernis vorbeiläuft und ihre Energie während des Brechprozesses entlädt. Die maximalen Druck-Peaks aus den numerischen
Ergebnissen weichen in etwa 4 bis 9 % von experimentellen Werten ab. Die gute Übereinstimmungen der numerischen Ergebnisse gegenüber den experimentell erfassten Messwerten
102
1.8
Exp.
Num.
(d/H)1
1.6
1.4
p [kP a]
1.2
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
1.6
1.65
1.7
1.75 1.8
t [s]
4.0
1.9
1.95
Exp.
Num.
(d/H)2
3.5
3.0
p [kP a]
1.85
2.5
2.0
1.5
1.0
0.5
0
-0.5
1.6
1.65
1.7
1.75 1.8
t [s]
1.2
1.85
1.9
1.95
Exp.
Num.
1.0
(d/H)3
p [kP a]
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
1.6
1.65
1.7
1.75 1.8
t [s]
1.85
1.9
1.95
Abbildung 4.59.: Vergleich experimenteller und numerischer Druckverläufe am Zylinder.
103
liefern damit ein relativ gutes dreidimensionales Berechnungsmodell des Wellenaufschlags.
In der Abbildung 4.60 sind die maximalen hydrodynamische pdyn und die totalen Druckwerte
ptot = pdyn + pstat aus dem Experiment und Numerik aufgetragen. Anhand der aufgetragenen
Maximalwerte in Abbildung 4.58 ist zu erkennen, dass der hydrodynamische Druckanteil pdyn
infolge eines kurzzeitig einwirkenden Impulsstoßes der Welle gegenüber dem hydrostatischen
Druckanteil pstat deutlich überwiegt. Der hydrostatischen Druckanteil ergibt sich dabei aus
pistat = ρgζi
mit
i = 1, 2, 3.
(4.20)
Darin kennzeichnen ζi die Wellenauslenkung in Bezug auf die drei Messpunkte (vgl. Abb.
4.58). Der hydrodynamische Druckanteil pdyn ist im Moment des Aufschlags in etwa zwölfmal
größer als der hydrostatische Druck pstat .
1
Experiment
pdyn
experiment
pd
Experiment
ptotps
experiment
Numerik
pdyn pd
numeric
Numerik
ptot ps
numeric
d/H [−]
0.9
0.8
0.7
0.6
0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
3.5
4.0
4.5
[Pa]a]
Druckp [kP
Abbildung 4.60.: Maximalwerte des hydrodynamischen Drucks und des Gesamtdrucks aus der experimentellen und numerischen Untersuchung (vgl. Messstelle Abb. 4.58.).
In der Abbildung 4.61 ist der Aufschlag in verschiedenen Zeitraffersequenzen A − F visualisiert. Die dargestellten Konturplots veranschaulichen dabei die signifikanten Stellen mit
maximalen (rot) und minimalen (blau) Druckverteilung am Zylinder. In dieser Perspektive
ist anhand der Zeitsequenz B (t ≈ 1.665s) deutlich die höchste Druckbelastung im Moment
des Wellenaufpralls zu erkennen.
Die Simulationszeit des dreidimensionalen numerischen Modells, auf einem Intel(R) Core(TM) i5 CPU, 2.67GHz Prozessor, beträgt ca. 4700 s für ein strukturiertes Rechengitter
mit 37.440 Kontrollvolumen-Zellen (vgl. Abb. 4.57). Die validierten Ergebnisse des Wellenaufschlags auf eine monopile Struktur geben eine gute Referenzbasis für Untersuchungen mit
einem Fluid-Struktur-Wechselwirkungsmodell eines Fluid-Dämpfungselements.
104
A
D
B
E
C
F
Druck in [Pa]
Abbildung 4.61.: 3-D Ansicht des Wellenaufschlags auf eine zylindrische Struktur zu den Zeitpunkten A
bis F kurz vor und während dem Brechvorgangs.
105
4.4. Simulation eines oszillierenden elastischen Balkens
Die Validierung der Festkörperstruktur erfolgt am Beispiel eines frei oszillierenden elastischen
Balkens unter dem Einfluss der äußeren Volumenkraft aufgrund der Gravitationsbeschleunigung. Dazu wird ein zweidimensionales numerisches Modell erstellt und mittels dem in
Kapitel 3.5 beschriebenen Finite-Volumen-Verfahrens zur Lösung instationärer Strukturverformung berechnet. Die Ergebnisse aus der numerischen Simulation werden mit den Ergebnissen aus einem experimentellen Versuch, einer frei oszillierenden elastischen Struktur mit
gleichen geometrischen Abmaßen und physikalischen Stoffeigenschaften, gegenübergestellt
und diskutiert.
4.4.1. Experimentelle Modellbeschreibung
Für die experimentelle Untersuchung wird eine von der Fa. SIKA bereitgestellte elastische
Struktur verwendet. Die geometrischen Abmaße der Probe sind durch die Länge L = 0.25m,
Breite B = 0.024m und Höhe H = 0.01m festgelegt. Die physikalischen Stoffeigenschaften
der elastischen Struktur sind in der Tabelle 4.17 zusammenfassend aufgeführt.
Tabelle 4.17.: Physikalische Stoffeigenschaften der elastischen Struktur.
EModul E in [106 P a]
Querkontraktion νs in [−]
Dichte ρs in [kg/m3 ]
2.5
0.45
1400
Das Modell des frei oszillierenden Balkens, wie in Abbildung 4.62 zu sehen ist in der waagerechten Position (Initialzustand) zur Zeit t = 0 s dargestellt. Der linke Rand des Balkens
wird über eine Länge s = 0.01m an den oberen und unteren Randflächen eingespannt. Die
Einspannung des Balkens wird im Versuch an einer Spannvorrichtung vorgenommen.
z
EA, ν, ρ
g
x
s
L
Abbildung 4.62.: Modellbeschreibung des oszillierenden Balkens.
Die Ausrichtung der SIKAFLEX-Probe mit Spannvorrichtung in den Initialzustand erfolgt
mittels einer Wasserwaage. Dabei wird der Balken an der unteren Randfläche von einer
Blechplatte in der waagrechten Ruhelage gehalten. Durch Entfernen der Blechplatte wird
die elastische Struktur, infolge der einwirkenden Schwerkraft, in Schwingung versetzt. Die
Auswertung der experimentellen Ergebnisse erfolgt anhand von sequentiellen Bildaufnahmen.
106
Die Oszillationsbewegung und Verschiebungen der elastischen Probe werden für verschiedene
Zeitpunkte auf einem Millimeterpapier ausgewertet.
4.4.2. Numerische Modellbeschreibung
Das numerische Modell beschreibt einen nichtlinear-elastischen und instationär frei schwingenden Balken, dessen Oszillationsbewegung mit der Zeit, aufgrund der inneren Dämpfung,
zum Stillstand kommt und am Ende eine statische Ruhelage einnimmt. Die geometrischen
Abmaße, sowie physikalischen Stoffeigenschaften entsprechen analog dem experimentellen
Modell (siehe obigen Abschnitt 4.4.1). Das Problem kann als ein zweidimensionales Modell
angenähert werden. Die Annahmen hinsichtlich des Strukturverhaltens in der dritten Dimension erfolgt für den Fall des zweidimensionalen ebenen Dehnungszustands, bei dem die
Dehnungskomponenten in die dritte Dimensionsrichtung y als vernachlässigbar angenommen werden. Der ebene Dehnungszustand wird angenommen, da die Breite B des Balkens in
y-Richtung um den Faktor 2.4 größer als die Höhe H in z-Richtung ist. Das numerische Berechnungsgebiet des Modells besteht aus einem Block mit den Abmaßen des experimentellen
Versuchs. Die räumlich Diskretisierung des Blocks erfolgt mit drei strukturierten und systematisch verfeinerten Berechnungsgittern (siehe Tabelle 4.18). Damit soll eine konvergente
und gitterunabhängige Lösung erzielt werden.
Tabelle 4.18.: Berechnungsnetze mit n als Anzahl der KV-Zellen.
n
Grobes Netz
Mittleres Netz
Feines Netz
4x80
8x160
16x320
In Abbildung 4.63 ist das Berechnungsgitter (4 x 80) im Initialzustand (bei t = 0s) mit den
Randflächen dargestellt. An den Randflächen Γ1 und Γ2 gilt die Einspannbedingung u = 0.
Für die anderen Randflächen Γ3 bis Γ6 wird als Randbedingung der Spannungsvektor t = 0
gesetzt.
Γ3
Γ2
Γ6
Γ1
Γ4
Γ5
Abbildung 4.63.: Berechnungsgitter im Initialzustand bei t = 0s mit Randflächen.
Die numerische Lösungsprozedur der instationären Festkörperstruktur ist bereits im Kapitel
3.5 ausführlich erläutert. Für die instationäre Simulation wird eine Zeitschrittweite δt auf
10−2 s festgelegt. Es werden 20 s des Berechnungsvorganges im Folgenden betrachtet.
107
4.4.3. Simulationsergebnisse
In den Bilddiagrammen 4.64 bis 4.65 sind die zeitlichen Verläufe der Verschiebung uz am
freien Ende des Balkens in die negative z-Richtung (s. Koordinatensystem in Abb. 4.62) für
die drei systematisch verfeinerten Gitter dargestellt.
uz in [10−2 m]
0
(4x80 KV)
(8x160 KV)
(16x320 KV)
-5
-10
-15
-20
-25
0
0.5
1
t in [s]
1.5
2
Abbildung 4.64.: Zeitlicher Verlauf der Verschiebung in z Richtung bei Verwendung systematisch verfeinerter Gitter. Dargestellt für ein Zeitintervall von t = 0 s bis t = 2 s.
uz in [10−2 m]
0
(4x80 KV)
(8x160 KV)
(16x320 KV)
-5
-10
-15
-20
-25
0
5
10
t in [s]
15
20
Abbildung 4.65.: Zeitlicher Verlauf der Verschiebung in z-Richtung bei Verwendung systematisch verfeinerter Gitter. Dargestellt für ein Zeitintervall von t = 0 s bis t = 20 s.
Die Auswertung des oszillierenden Verlaufs erfolgt im Bezug auf das kartesische Koordinatensystem in Abbildung 4.62 an der Position x = 0.25 m und z = 0.012 m. Die Ergebnisse
aller drei Gitter zeigen zunächst ein ähnliches Schwingverhalten, bei dem die Amplitude des
groben Gitters (4 x 80 KV) um etwa 20% im Vergleich zu dem mittleren und feinen Gitter
abweicht. Im Bereich großer Amplitudenausschläge im Zeitintervall von t = 0 s bis t = 5 s
108
liefert das mittelfeine Berechnungsgitter (8 x 160 KV) im Vergleich zum feinsten Gitter (16
x 320 KV) eine sehr gute Näherung hinsichtlich der Amplitudenwerte und Phasenverschiebung. Durch die innere Dämpfung der Struktur werden die Oszillationsbewegungen ab dem
Zeitpunkt von t = 5 s immer kleiner, bis sich eine stationäre bzw. statische Ruhelage ausbildet. Die statische Ruhelage kennzeichnet dabei das Ende des Schwingungsvorgangs. Diese
Ruhelage kann bereits ab den Zeitpunkt von 15 s abgelesen werden. In Abbildung 4.66 ist
die statische Ruhelage aus dem Experiment und dem feinen Berechnungsgitter (16 x 320
KV) visuell gegenübergestellt.
Die farblich dargestellte Skala stellt den Betrag der gesamt
Verschiebung |u| =
|ux |2 + |uz |2 aus den beiden x und z-Verschiebungskomponenten dar.
Das Ergebnis aus der numerischen Simulation, zum Zeitpunkt t = 20 s, zeigt eine sehr gute
Übereinstimmung mit dem Experiment. In der Tabelle 4.19 wird die relative Abweichung der
berechneten statischen Ruhelage in z-Richtung prozentuell im Vergleich zu den gemessenen
Werten gegenübergestellt.
Numerik
Experiment
|u| in [m]
0.3
0.2
0.1
0
Abbildung 4.66.: Experiment und Simulation im etablierten Ruhezustand.
Tabelle 4.19.: Vergleich der statischen Ruhelage aus dem Experiment mit Numerik.
Experiment
grobes Netz
mittleres Netz
feines Netz
stat. Ruhelage in [10−2 m]
-17.5
-16.6
-16.7
-17.3
rel. Abweichung in [%]
0
5.15
4.6
1.15
Im Experiment kommt die SIKAFLEX-Probe bei einer optisch noch sichtbaren Oszillationsbewegung ungefähr bei t = 17 s zum Stillstand. Diese Beobachtung stimmt auch in einer
guten Näherung mit den Ergebnissen aus der numerischen Simulation überein (vgl. Abb.
4.65). Im Folgenden wird das Schwingungsverhalten und die Schwingungsdauer der elastischen Struktur betrachtet. Dazu wird das logarithmische Dekrement Λ als Maß für das
Dämpfungsverhalten aus der numerischen Simulation gegenüber dem experimentell ermittelten Wert gestellt. Das logarithmische Dekrement
Λ = ln
un
un+1
= δT
(4.21)
errechnet sich dabei aus dem natürlichen Logarithmus des Verhältnisses der Amplituden
un /un+1 zwei beliebig aufeinanderfolgender Ausschläge gleicher Richtung (vgl. [50] S.53).
109
Darüber hinaus kann das logarithmische Dekrement über das Produkt der Abklingkonstanten δ und der Periodendauer T ausgedrückt werden. In der Tabelle 4.20 sind die experimentellen und numerischen Werte von Λ der ersten zwei Auschläge zusammengefasst und
anhand der relativen Abweichung in einem Vergleich gegenübergestellt. Die Ergebnisse zeiTabelle 4.20.: Experiment und Simulation abklingende Schwingung im Zeitbereich.
Experiment
grobes Netz
mittleres Netz
feines Netz
log. Dekrement Λ
0.293
0.193
0.298
0.306
rel. Abweichung in [%]
0
34.08
-1.91
-4.47
gen insbesondere beim groben Gitter große Abweichungen im Vergleich zu dem mittleren
und feinem Gittern. Dieser Sachverhalt äußert sich auch bei der Betrachtung bezüglich der
relativen Abweichung der statischen Ruhelage (vgl. Tab. 4.19). Aus dem logarithmischen
Dekrement - nach Gleichung 4.21 - lässt sich die abklingende Schwingung im Zeitbereich,
u(t) = u0 exp (δT ) in [10−2 m]
wie in der Abbildung 4.67 dargestellt, veranschaulichen.
0
(4x80 KV)
(8x160 KV)
(16x320 KV)
Experiment
-5
-10
-15
-20
0
5
10
t in [s]
15
20
Abbildung 4.67.: Vergleich des abklingenden Schwingungsverlaufs aus dem Experiment mit der Numerik.
110
Experiment
Numerik
|u| in [m]
0.3
0.2
0.1
0
(a) t = 0.3 s
Numerik
Experiment
|u| in [m]
0.3
0.2
0.1
0
(b) t = 0.65 s
Experiment
Numerik
|u| in [m]
0.3
0.2
0.1
0
(c) t = 0.95 s
Numerik
Experiment
|u| in [m]
0.3
0.2
0.1
0
(d) t = 1.25 s
Abbildung 4.68.: Momentanaufnahmen aus der instationären numerischen Simulation und dem Experiment für zwei aufeinanderfolgende Amplitudenausschläge.
111
Anhand des errechneten abklingenden Schwingungsverlaufs ist es ersichtlich, dass insbesondere die numerischen Ergebnisse des mittleren und feinen Gitters in einer gute Übereinstimmung mit dem experimentellen Verlauf sind.
Die Berechnungsdauer für die drei systematisch verfeinerten Gitter, auf einem Intel(R) Core(TM) i5 CPU, 2.67GHz Prozessor, sind in der Tabelle 4.21 zusammengefasst. Die Tabelle
verdeutlicht den Berechnungsaufwand des feinen Gitters. Dieser ist ungefähr 6 mal so hoch
wie im Vergleich zum mittleren Gitter und fast 18 mal größer gegenüber dem groben Gitter.
Tabelle 4.21.: Rechenzeit auf systematisch verfeinerten Gittern für einen Berechnungsvorgang von 20 s.
Gitter
Grob (4x80)
Mittel (8x160)
Fein (16x320)
Rechenzeit
3724 s
11572 s
67973 s
In den Abbildungen 4.68(a) bis 4.68(d) sind Momentanaufnahmen aus der instationären
numerischen Simulation und dem Experiment für zwei aufeinanderfolgende Amplitudenausschläge visualisiert. Der erste Ausschlag im Zeitintervall von t = 0.3 s bis t = 0.65 s veranschaulicht die maximale Durchbiegung zum Zeitpunkt t = 0.3 s. Die Momentaufnahmen des
Schwingvorgangs zeigt ein durchaus realistisches Verhalten des numerischen Strukturmodells.
Damit können die Ergebnisse aus der numerischen Simulation als validiert betrachtet werden.
Der Strukturlöser auf Basis der Finiten-Volumen Methode stellt somit eine geeignete Partition für einen Fluid-Struktur-Interaktionslöser (FSI-Löser) dar. Im nachfolgendem Kapitel
werden numerische Fluid-Struktur-Interaktions-Verfahren erläutert und ein FSI-Löser zur
Berechnung multiregionaler Wechselwirkungen zwischen ein- bzw. zweiphasiger Strömung
und Festkörperstruktur auf Partitionsbasis der Finiten-Volumen-Methode vorgestellt.
112
Im Rahmen dieser Arbeit wird ein multiregionaler Fluid-Struktur-Interaktions-Löser auf der
Basis der freien Berechnungssoftware OpenFOAM-1.6-ext erstellt. Dieser wird zur Untersuchung von dissipativen Eigenschaften hochviskoser Fluide am Beispiel eines am Institut
konzipierten Dämpfungselement-Mechanismus durchgeführt. Das Dämpferelement ist eine
an die monopilen Offshorebauwerke integrierte Komponente. Dieser Schutzmechanismus hat
die Funktion, von den kontinuierlich einwirkenden Wellenlasten einen Teil der auftreffenden Wellenenergie zu dissipieren. Um diesen Sachverhalt untersuchen zu können, werden
in diesem Kapitel die wesentlichen Grundlagen und theoretischen Kenntnisse zur FSI zusammengefasst und anschließend ein multiregionaler Kopplungsalgorithmus zur Analyse des
FSI-Problems vorgestellt. Der Bereich FSI ist im Allgemeinen relativ breit gefächert und in
spezieller Literatur entsprechend unterschiedlich mehr oder weniger ausführlich dokumentiert. Die nachfolgende Darstellung folgt der Arbeit von GUNDLACH [42], in der u.a. das
Werk von FARHAT ET AL. [33] als eine Informationsgrundlage eingegangen ist.
5.1. Physikalische Problembeschreibung
Grundsätzlich beschreibt die Fluid-Struktur-Interaktion (FSI) den Austausch von Kräften
oder Wärme zwischen mindestens einem Fluid (z. B. Wasser, Luft) und einer Struktur. Häufig spricht man in diesem Kontext von „flexiblen Strukturen“[80]. So erfolgt der Austausch
von einwirkenden Kräften infolge z.B. eines strömenden Fluids und der daraus resultierenden
Verformungen auf eine Struktur in kontinuierlich wechselwirkendem Kontakt miteinander. Im
Bereich des Ingenieurwesens treten Fluid-Struktur-Interaktionen in zahlreichen Anwendungen auf. In vielen Fällen sind die durch gegenseitige Wechselwirkungen zwischen strömendem
Fluid und umströmter Struktur auftretenden Effekte vernachlässigbar. Dies ist zum Beispiel
der Fall, wenn sie im Verhältnis zum untersuchten Problem klein sind, oder wenn nur ein
grober Überblick gewollt ist. Häufig können die Wechselwirkungen aber dermaßen stark sein,
dass das Vernachlässigen dieser nicht mehr gerechtfertigt werden kann. Einige Beispiele aus
dem technischen Bereich, in dem die Interaktion zwischen strömenden Fluiden und flexiblen
Strukturen von großer Bedeutung ist, sind nachfolgend aufgeführt:
113
• Die Simulation der Tragflächen großer Verkehrsflugzeuge ist ein klassisches FSI-Problem.
Um ein reales aerodynamisches Verhalten des Flugzeuges zu bestimmen, müssen die
Verformungen, die durch Auftriebs- und Widerstandskräfte verursacht werden, mit
berücksichtigt werden.
• Der Blutfluss in Gefäßen oder im Herzen kann mittels FSI-Simulationen gründlicher
analysiert werden. Blutgefäße sind sehr elastisch und für ein besseres Verständnis des
Blutfließverhaltens darf deren Verformung nicht vernachlässigt werden.
• Im Bereich des Bauwesens gibt es Problemstellungen, bei denen die FSI einen entscheidenden Einfluss auf die Auslegung eines Tragwerks hat. Beispiele hierfür sind das
Schwappen in flüssigkeitsgefüllten Behältern unter dynamischer Anregung, etwa zur
Schwingungsdämpfung von Hochhäusern bei Erdbeben oder windinduzierten Schwingungen von weit gespannten Brücken, Kühlturmschalen oder Membrandächern.
Im gleichen Maße ist aber auch die Problematik bei durch Wellenaufschläge auftretenden
Belastungen auf Offshore-Windkraftanlagen diesem Bereich zuzuordnen.
Im Folgenden wird die mathematische Formulierung hinsichtlich dieser Art von Problemen
mit den physikalischen Gebieten Ψf , Ωs (s. Abb. 5.1) erläutert. Ψf kennzeichnet dabei
das physikalische Teilgebiet1 eines Fluids, darin gelten im Allgemeinen die Navier-StokesGleichungen. Im Teilgebiet Ωs , welches eine Strukturregion kennzeichnet, gilt entsprechend
die Impulserhaltungsgleichung eines Festkörpers. Die gemeinsame Schnittstelle Γ = Ψf ∩ Ωs
der physikalischen Gebiete ist die Interaktionsgrenze2 bzw. Kopplungsschnittstelle. In die-
Ψf
Γ
Ωs
Abbildung 5.1.: Skizze eines FSI-Problems. Darin sind die physikalischen Teilgebiete für das Fluid Ψf ,
den Festkörper Ωs und eine gemeinsame Interaktionsschnittgrenze Γ gekennzeichnet.
ser Konfiguration können die Erhaltungssätze der verschiedenen Bereiche nicht getrennt
voneinander gelöst werden, ohne dass der kontinuierliche Informationsfluss von Kräften und
Verschiebungen an der Interaktionsgrenze stattfindet. Der Austausch des Informationsflusses
erfolgt dabei durch zwei Kopplungsbedingungen am Interface. Die vorgegebenen Kopplungsbedingungen werden im Allgemeinen in kinematische und dynamische Kontinuitätsbedingungen unterteilt3 . Sie gewährleisten die Erhaltung der Kontinuität und Impulse (und ggf.
auch Energie) über die Interaktionsgrenze hinaus:
1
2
3
Auch als Bereich oder Gebiet bezeichnet.
In engl. auch Interface genannt.
s. DONEA ET AL. [28].
114
(i) Die dynamischen Kontinuitätsbedingungen geben Kopplungsbedingungen am Interface im Neumannschen Sinne vor. Demnach wird hier die Kontinuität des CauchySpannungsvektors auf der Interaktionsgrenze zu allen Zeiten gefordert, so dass nach
[28] auch gelten muss:
σ(u) · n = t(u) = −pI + T(∇x v) · n.
(5.1)
In diesen Zusammenhang steht der Ausdruck n für den Normalenvektor auf Γ.
(ii) Bei den kinematischen Kontinuitätsbedingungen handelt es sich um die Vorgabe von
Dirichletschen Randbedingungen. Diese müssen zu allen Zeiten gewährleisten, dass sich
weder eine Aufklaffung, noch eine Überlappung zwischen den Gittern des Fluidgebiets
und des Strukturgebiets ergibt. Es muss somit die Verschiebung und die Geschwindigkeit beider Gebiete übereinstimmen:
u̇Γ = v Γ .
(5.2)
Mit den Bilanzgleichungen und den Kopplungsbedingungen der zusammen interagierenden
physikalischen Gebiete, stellt sich somit eine kontinuierliche Formulierung eines gemeinsamen
FSI-Problems dar.
5.2. Numerische Lösungsansätze
In der technischen Literatur existiert eine Vielzahl von verschiedenen numerischen Lösungsverfahren zur Realisierung der FSI-Probleme. Da die Klassifizierung der Fluid-StrukturInteraktions-Fachbegriffe zu einem universell verwendbaren Verfahren weiterhin in der Entwicklung steht, lehnt sich diese Arbeit an die Fachbegriffe der Arbeiten von FARHAT ET
AL. [33] und VON SCHEVEN [84] an. In diesem Unterkapitel soll ein Überblick über die
gängigsten FSI-Lösungsverfahren gegeben werden. Dazu stellt die Abbildung 5.2 eine Gliederung über die im nachfolgenden einzeln erläuterten Verfahren dar. Wie anhand der Grafik
ersichtlich, unterscheidet man zunächst zwischen monolithischen und partitionierten FSILösungsverfahren. Die mathematische Charakteristik der monolithischen Lösungsverfahren
besteht in dem Aufbau eines einzigen Systems von nichtlinearen algebraischen Gleichungen, welches alle beteiligten Gebiete impliziert. Bei der Erzeugung dieses Gleichungssystems
spricht man von einer „simultanen Diskretisierung“. Daraus ergeben sich einige Forderungen.
Die physikalischen Felder der beteiligten, zu lösenden Gebiete müssen mit denselben Gleichungen beschreibbar bzw. modellierbar sein. Die Berücksichtigung der verschiedenen physikalischen Eigenschaften der einzelnen Gebiete erfolgt dabei in Form von unterschiedlichen,
an das jeweilige Gebiet angepassten, Materialgesetzen. Das ganze System wird gleichzeitig
im Ganzen diskretisiert und linearisiert, was zu einem einzigen Gleichungssystem führt. Die
115
FSI−Lösungsverfahren
monolithische
Verfahren
partitionierte
Verfahren
einfach
gestaffelte
parallel
gestaffelte
iterativ
gestaffelte
sequenziell
gestaffelte
Block−
Iteration−
Verfahren
Newton−
Krylow−
Verfahren
Abbildung 5.2.: Gliederung der Lösungsverfahren zur FSI
oben genannten dynamischen (5.1) und kinematischen (5.2) Kopplungsbedingungen werden
dabei exakt erfüllt, da diese bereits in der Modellierungsprozedur des Gleichungssystems mit
einbezogen werden. Dies ist ein Vorteil im Hinblick auf die Stabilität und Genauigkeit des
Ansatzes. Unter implementierungstechnischen Aspekten betrachtet, bedürfen monolithische
Verfahren eines äußerst eingeschränkten und spezialisierten Programmcodes. Diese haben
den Nachteil, dass einzelne Fluid- und Struktur-Berechnungsgebiete nur sehr aufwendig an
eine neue physikalische Problemstellung angepasst werden können4 . Zudem ist aufgrund
des speziellen Codes auch eine Erweiterung und Übertragung auf ähnliche Problemstellungen nur mit großem Aufwand zu realisieren. Aufgrund dieser Tatsachen sind partitionierte
Lösungsverfahren in komplexeren Fällen vorteilhafter. Anders als bei den monolithischen Lösungsverfahren werden bei den partitionierten Lösungsverfahren jeweils eigene Gleichungssysteme für die beteiligten Gebiete aufgestellt. Die Diskretisierung bei der Erzeugung ist
nicht simultan, sondern modular. Demnach können bei der Diskretisierung die jeweiligen
physikalischen Eigenschaften der Teilbereiche unabhängig voneinander berücksichtigt werden. Die Zeitschrittweite für die Diskretisierung müssen hierbei für unterschiedliche Gebiete
nicht zwangsweise gleich gewählt sein, da die Diskretisierung völlig unabhängig erfolgt. Diese
Verfahren eignen sich sehr gut für die Wiederverwendbarkeit von Programmcodes, da auf
die jeweiligen physikalischen Gebiete durch den erstellten Solver
5
unabhängig voneinander
Änderungen vorgenommen werden können. Die Kopplungsbedingungen an den Interaktionsgrenzen müssen jedoch stets erfüllt sein, so dass der Informationsfluss zur Lastübertragung
vom Fluid auf die Struktur und zur Übertragung der Geschwindigkeit von der Struktur auf
das Fluid jeweils gewährleistet wird. Dazu gibt es für partitionierte Lösungsverfahren unterschiedlich genutzte Variationen, die im nachfolgenden Unterkapitel näher erläutert werden.
4
5
s. dazu auch [84].
engl. Wort für ein FSI-Löser bzw. Berechnungsprogramm.
116
5.2.1. Partitionierte Lösungsverfahren
Wie in Abbildung 5.2 gezeigt, wird bei den partitionierten Verfahren zwischen einfach gestaffelten und iterativ gestaffelten Verfahren6 unterschieden. In der ersten Instanz liegt der Fokus
der Untersuchungen dieser Arbeit auf den sequenziell und iterativ gestaffelten Kopplungsalgorithmen. Diese werden je nach Problemstellung der Wechselwirkung zwischen einem oder
mehreren physikalischen Teilgebieten in einem Solver zur Anwendung modifiziert. Zum Verständnis der nachfolgend aufgelisteten Ablaufdiagramme der Kopplungsalgorithmen, werden
zwei symbolische Teilgebiete eingeführt:
- Ψ: kennzeichnet die Approximation des flüssigen Teilgebiets.
- Ω: kennzeichnet die Approximation des soliden Teilgebiets.
Desweiteren wird zwischen zwei unterschiedlichen Staffelungsverfahren zur Berechnung des
nächsten Zeitschritts unterschieden, diese werden auch parallel oder sequenziell7 gestaffelte
Verfahren genannt. Ein gestaffeltes Verfahren wird als parallel bezeichnet, wenn die Berechnung der beiden Teilbereiche von Fluid und Struktur zur gleichen Zeit erfolgt. So wie in
Abbildung 5.3(a) veranschaulicht, gilt folglich:
Ψn+1 = Φf Ψn , Ω̇n |Γ
Ωn+1 = Φs Ωn , f (Ψn )|Γ .
(5.3)
Hierbei kennzeichnet Φf /s die Funktionslösungen der entsprechenden flüssigen und festen
Teilbereiche. Wie zu sehen ist, werden die Werte des neuen Zeitschritts ausschließlich mit
den Werten des aktuellen Zeitschritts berechnet, so dass anschließend der Austausch von
Informationen zu jedem Zeitschritt über die Kopplungsbedingungen erfolgt. Dieses Verfahren ist praktisch, wenn die Berechnungszeiten von Fluid und Festkörper ähnlich sind. In
den meisten Fällen geht jedoch der größte Anteil der gesamten Berechnungsdauer vom flüssigen Teilgebiet aus. Den Vorteil bietet hierzu das sequenziell gestaffelte Verfahren (CSS)
(s. Abb.5.3(b)). Beim CSS-Verfahren kann die Bewegung des Festkörpers aus dem Datensatz des neuen Zeitschritts der Fluidberechnung erfolgen, so dass die einzelnen Teilgebiete
sequenziell bzw. nacheinander gelöst werden:
Ψn+1 = Φf Ψn , Ω̇n |Γ
Ωn+1 = Φs Ωn , f (Ψn+1)|Γ .
(5.4)
Das CSS-Verfahren ist das unter den partitionierten Verfahren zur Lösung eines FSI-Problems
am häufigsten verwendete und bietet verschiedene Ansatzmöglichkeiten zur Umsetzung in
6
7
In [33] auch conventional staggered schemes (CSS) und iterativ staggered schemes (ISS) genannt.
engl. Conventional Parallel Staggered (CPS) und Conventional Serial Staggered (CSS).
117
einem Programmcode. Eine modifizierte Variante des Grund-CSS-Algorithmus ist das CSSVerfahren mit subcycling8 (Abb.5.4(a)). Der Vorteil dieses Verfahrens besteht darin, den
Aufwand für die Berechnungsdauer des Festkörperteilgebiets zu reduzieren, wobei die Zeitschrittweite zur Lösung des flüssigen Teilgebiets feiner aufgelöst werden kann.
Ψn
Φf Ψn , Ω̇n |Γ
Ψn+1
Ψn
Φf Ψn , Ω̇n |Γ
1
Ψn+1
1
un+1
4
tn+1
tn+1
1
Ωn
un+1
2
2
3
Φs Ωn , f (Ψn )|Γ
Ωn+1
Ωn
Φs Ωn , f (Ψn+1 )|Γ
Ωn+1
(b) CSS
(a) CPS
Abbildung 5.3.: Einfach gestaffelte parallele (CPS) oder sequenzielle (CSS) FSI-Algorithmen. Der CPSAnsatz wird in der Literatur auch als Jacobi-Verfahren und der CSS-Ansatz als GaußSeidel-Verfahren bezeichnet, nach [33].
Die oben eingeführten einfach gestaffelten Verfahren besitzen einen Nachteil. Diese können
offensichtlich die Kopplungsbedingungen nicht korrekt erfüllen bzw. keine hinreichend genaue Konvergenz der Strukturverschiebung in einer Zeitschrittlösung gewährleisten. Dieser
Sachverhalt ist am Beispiel der dynamischen Kopplungsbedingung ersichtlich
σ(u) · n = −pI + T(∇x v n+1 ) · n,
σ(un+1 ) · n = −pI + T(∇x v n+1 ) · n.
(5.5)
(5.6)
Das CSS-Verfahren wird in diesem Zusammenhang nach KULAK [61] auch als eine schwache
Kopplung bezeichnet. Laut [61] ist die Stärke der Kopplung durch den Konvergenzgrad der
Teilgebiete zu jedem Zeitschritt während der Lösungsprozedur gekennzeichnet. In der FSILiteratur von MATTHIES und STEINDORF [66], [68] wird eine schwache Kopplung auch als
explizit gekennzeichnet. Diese führt zu Instabilitäten aufgrund der Informationsflussverluste
bzw. einer nicht korrekten Übergabe der in Wechselwirkung stehenden physikalischen Größen
der Teilgebiete an den Kopplungsschnittstellen. Das Problem wird in WALL und MOK [102]
und anderen [13], [79] [39] als Artificial-Added-Mass-Effect bezeichnet. Dieser ist am stärksten
ausgeprägt, wenn die Flüssigkeits- und Strukturdichten in etwa gleich groß sind [72], [13].
Eine Abhilfe gegen das Phänomen Artificial-Added-Mass-Effect wird durch die Einführung
einer Iterationsvorschrift, wie durch ABOURI ET AL. [1] und DEPARIS ET AL. [25] gezeigt,
geschaffen. Dabei wird ein explizit gekoppelter Algorithmus zu einem implizit gekoppelten
8
engl. Word für unter Zeitschrittweite.
118
Verfahren überführt [67]. Diese Methode ist auch als iterativ gestaffeltes Verfahren ISS9
bekannt (s. Abb.5.4(b)).
Ψn
Φf Ψn , Ω̇n |Γ
Δt/ns
2
Ψn+1
Φf Ψn , Ω̇n |Γ
Ψn
Ψ(1)
Φf Ψn , Ω̇(1) |Γ
Ψ(2)
1
un+1
tn+1
u(1)
4
u(2)
t(1)
t(2)
3
Ωn
Φs Ωn , f (Ψn+1 )|Γ
Ωn+1
Ωn
Φs Ωn , f (Ψ(1) )
Γ
(a) CSS with subcycling
Ω(1)
Φs Ωn , f (Ψ(2) )
Γ
Ω(2)
(b) ISS
Abbildung 5.4.: Die einfach gestaffelten Verfahren können mit subcycling verbessert oder durch die Einführung von iterativen Prozessen weiter entwickelt werden, nach [33].
Die erforderliche Iteration für einen implizit gekoppelten Ansatz ist im Allgemeinen durch
eine Fixpunktiteration [24],[67] formuliert. Das Ziel des ISS-Verfahrens ist die Erfüllung der
Fixpunktgleichung
Ω = Φs Ωn , f (Ψ)|Γ = Φs Ωn , f Φf (Ψn , Ω̇ |Γ )
(5.7)
mit der folgenden Iterationsvorschrift:
Ω(0) = Ωn , Ψ(0) = Ψn
Ψ
(k+1)
(k+1)
Ω
= Φf (Ψn , Ω̇(k) |Γ )
= Φs Ωn , f (Ψ
(k+1)
(5.8)
) |Γ .
Dabei werden für jeden Zeitschritt in den beteiligten Gebieten durch einen iterativen Prozess,
innerhalb der Gebiete, die Kopplungsvariablen so lange verbessert, bis ein zuvor definiertes
Residuum
||Ω(k+1) − Ω(k) || < ε
(5.9)
die Gleichung (5.7) hinreichend genau erfüllt. Ein Bezugswert zur Bildung des Residuums
kann beispielsweise durch die monolithische Lösung vorgegeben werden, gegen welche bei
kleiner werdendem Residuum die iterative Lösung konvergiert. Dadurch kann der Erhalt
von Masse, Impuls und gegebenenfalls Energie an der Interface sichergestellt werden.
Da die Vorgabe und die exakte Erfüllung eines beliebig kleinen Residuums der kinematischen und dynamischen Kopplungsbedingungen hierbei aufgrund einer starken algorithmischen Kopplung erreicht wird, spricht man in diesem Kontext häufig auch von einer starken
9
Iterative Serial Staggered Algorithmus.
119
Kopplung10 .
Im Bereich der Fluid-Struktur-Interaktion von inkompressiblen Strömungen hat sich diese Verfahrensgruppe gegenüber den einfach Gestaffelten in der Praxis durchgesetzt. Diese
ISS-Verfahren lassen sich grundsätzlich in
• Block-Iterations-Verfahren
Block-Gauß-Seidel-Verfahren, Richardson-Iteration, iteratives Dirichlet-Neumann-Substruktur-Verfahren
• Newton-Krylow-Verfahren
Newton-Verfahren, Quasi-Newton-Verfahren
unterteilen.
Auf die einzelnen ISS-Verfahren wird an dieser Stelle nicht näher eingegangen. Bei Bedarf
sei der Leser auf die einschlägige Literatur [46],[26],[84] und [97] verwiesen. Nachfolgend
soll lediglich auf das Block-Gauß-Seidel-Verfahren eingegangen werden. Dieses wird in dieser
Arbeit zur Untersuchung von Dämpfungseigenschaften hochviskoser Flüssigkeiten mit einem
multiregionalen Fluid-Struktur-Kopplungsalgorithmus umgesetzt.
5.2.2. Multiregionaler FSI-Kopplungsalgorithmus
Wie bereits erwähnt, wird in dieser Arbeit ein iterativer Ansatz zur Berechnung multiregionaler Fluid-Struktur-Wechselwirkungen realisiert. Als Basis-Kopplungsalgorithmus wird
das Block-Gauß-Seidel-Verfahren11 eingesetzt. Dieses hat sich im Bereich der Fluid-StrukturInteraktion in besonderem Maße bewährt12 . In Abbildung 5.5 ist das Block-SOR-Verfahren in
einer etwas detaillierten Darstellung im Vergleich zu Abbildung 5.4(b) als Ablaufdiagramm
dargestellt.
Zu Verdeutlichungszwecken werden nachfolgend die in Abbildung 5.5 genutzte Ausdrücke und
Ablaufschritte des Kopplungsprozesses zusammengefasst erläutert13 . Bei den in den Quadern
dargestellten Ausdrücken handelt es sich um Operatoren. Diese Operatoren symbolisieren
die jeweiligen Berechnungsalgorithmen der Fluid- und Strukturlöser. Die Ausdrücke in den
Ovalen sind die jeweils zwischen den Operatoren übergebenen Feldgrößen. Der Operator
Ψ̃i ukΓ , v kΓ symbolisiert den Strömungslöser mit Gitterbewegung. Dieser setzt sich hierbei
10
Diese Bezeichnung wird in der Literatur nicht einheitlich verwendet.
In der englischsprachigen Literatur auch „Block-SOR-Verfahren“.
12
s. dazu [11], [14], [24].
13
Auf den Zeitschritt-Index sei an dieser Stelle verzichtet, da dieser keine große Bedeutung für das Verständnis
hat.
11
120
n+1
ukΓ,n
Gitter&Fluidlöser
Ψ̃i v kΓ , ukΓ
NEIN
− ukΓ || < ε
||uk+1
Γ
tk+1
Γ
JA
uk+1
Γ,n+1
uk+1
Γ
Strukturlöser
Relaxation
ûk+1
Γ
Ω̂i tk+1
Γ
P̂ ûk+1
Γ
Abbildung 5.5.: Block-SOR-Verfahren für multiregionale Fluid-Struktur-Wechselwirkungen
aus zwei Teiloperatoren Ψ̂i ukF , vkΓ und Γ̂i ukΓ zusammen. Der Teiloperator
Ψ̂i ukF , v kΓ = tk+1
Γ
(5.10)
berechnet aus dem Strömungsfeld die am Interface wirkenden Kopplungskräfte tk+1
Γ . Dabei
kennzeichnet v kΓ die Geschwindigkeit am Interface und ukF die Bewegung des Fluidgitters.
An dieser Stelle sei angemerkt, dass der Index i durchgehend für alle Operatoren eine optionale Anzahl von Fluid- und Strukturregionen steht, die jeweils für einen Zeitschritt im
Algorithmus sequentiell gelöst werden.
Die Bewegung des Fluidgitters ukF wird dabei in einem Zwischenschritt durch den Teiloperator
Γ̂i ukΓ = ukF
(5.11)
aus der Interfaceverschiebung bestimmt, so dass auch
Ψ̂i ukF , v kΓ = Ψ̂ Γ̂i (ukΓ ), vkΓ = Ψ̃i ukΓ , v kΓ = tk+1
Γ
(5.12)
geschrieben werden kann. Mit der Verschiebung des Fluid-Gebiets ukF , ist auch die Lage der
neuen Gitterpunkte vorgegeben.
bildet einerseits das Ergebnis des jeweiligen
Die daraus resultierende Kopplungskraft tk+1
Γ
Zeitschritts, andererseits wird diese auch als Initialwert für den nächsten Zeitschritt als Ar
übergeben.
gument an den Operator Ω̂ tk+1
Γ
Die Lösung des Operators
= ûk+1
Ω̂ tk+1
Γ
Γ
ist ein Verschiebungsvektor(-feld)
ûk+1
Γ
(5.13)
vom Interface, welcher aus den zuvor übergebenen
der selbigen ermittelt wird. Aus den Verschiebungen können direkt
Kopplungskräften tk+1
Γ
121
auch die Geschwindigkeiten v k+1
vom Interface bestimmt werden.
Γ
Zu erläutern bleibt lediglich noch der Relaxationsoperator:
= uk+1
P̂ ûk+1
Γ
Γ .
(5.14)
wird das Aitken-Verfahren nach KÜTTLER und WALL [63] verZur Relaxation von ûk+1
Γ
wendet. Die eingeführte Relaxation der Verschiebung an der Kopplungsgrenze dient dabei
zur Konvergenzbeschleunigung einer FSI-Simulation [63]. Diese kann jedoch in wenigen Fällen sogar zwingendermaßen erforderlich sein, um überhaupt Konvergenz zu erhalten (vgl.
[79], [39]). Die Relaxationsformel kann folgendermaßen ausgedrückt werden:
= (1 − ω k+1) ukΓ + ω k+1 ûkΓ .
ûk+1
Γ
(5.15)
Bei geeigneter Bestimmung des Parameters ω k+1 kann neben der Qualität der Ergebnisse
auch die Rechenzeit günstig beeinflusst werden. Die Bestimmung des Relaxationsparameters
ω k+1 muss für jeden Iterationsschritt neu erfolgen. Der Relaxationsparameter wird dabei aus
dem Aitken-Faktor μk+1 mit
ω k+1 = 1 − μk+1
(5.16)
berechnet.
Der Aitken-Faktor nach der Formulierung von IRONS und TUCK [70], [101] berechnet sich
mittels folgender Formel
μk+1 = μk + (μk − 1)
k+1
T
(ΔukΓ − Δuk+1
Γ ) ΔuΓ
k+1 2
k
(ΔuΓ − ΔuΓ )
(5.17)
mit der korrigierten Interfaceverschiebung des aktuellen Zeitschritts Δuk+1
und der selbigen
Γ
des vorangehenden Zeitschritts ΔukΓ , wobei
= ûkΓ − uk+1
Δuk+1
Γ
Γ
,
ΔukΓ = ûk−1
− ukΓ .
Γ
(5.18)
Zusammengefasst kann der Berechnungsablauf des Kopplungsalgorithmus aus Abbildung 5.5
wie folgt aufgeführt werden:
Zu Beginn jedes neuen Zeitschritts n + 1 ist die Eingabe der Interface-Lage aus der vorhergehenden Iteration ukΓ erforderlich. Diese kann über einen Strukturprädiktor z.B. zweiter
Ordnung, dieser wurde von PIPERNO und FARHAT [79] zur Steigerung der Genauigkeit
einer FSI-Berechnung eingesetzt, durchgeführt werden. Weist in diesen Fall die Näherungslösung ein gutes Konvergenzverhalten auf, so wird die auskonvergierte Lösung des vorherigen Zeitschritts direkt an den Fluidlöser weitergegeben. Im nächsten Schritt berechnet
an dem Interface. Diese Kräfte
der Fluidlöser daraus die aktuellen Kopplungskräfte tk+1
Γ
122
führen bei der Struktur zu einer vorläufigen Verschiebung ûk+1
Γ , welche vom Strukturlöser
berechnet wird. Im Anschluss daran wird bei der Relaxation mit dem Aitken-Verfahren aus
dieser Verschiebung und der selbigen des vergangenen Zeitschritts (ukΓ ) die endgültige Verfür den aktuellen Iterationsschritt bestimmt. Diese wird im abschließenden
schiebung uk+1
Γ
Zeitschritt auf Konvergenz geprüft und bei Bedarf durch einen weiteren Iterationsschritt
korrigiert. Anschließend daran erfolgt der letzte Schritt des Kopplungsalgorithmus, indem
als Initialzustand an den nächsten Zeitschritt n + 1 übergeben wird, bei welchem die
uk+1
Γ
gesamte Prozedur des Informationsaustauschs erneut durchlaufen wird.
123
5.3. Validierung des FSI-Lösers
Zur Validierung des FSI-Lösers wird ein in der Literatur bekanntes und etabliertes Berechnungsbeispiel eines Dammbruchs auf eine elastische Struktur simuliert. Als Referenz zu
den eigenen Simulationsergebnissen werden die Ergebnisse von KÖLKE ET AL. [62] und
BAUDILLE [6] gegenübergestellt. Das Modell von [62] basiert dabei auf einem monolithischen FSI-Ansatz, bei dem die Modellgleichungen für die zweiphasige Fluidströmung und die
Struktur mittels der Raum-Zeit-Finite-Element-Methode diskretisiert werden. Das Berechnungsmodell von BAUDILLE stammt dagegen aus einem hybriden Kopplungsansatz, bei
dem ein implizites Lösungsverfahren zwischen einer auf Finiten-Elementen basierenden Methode (zur Lösung der Strukturpartition) und einer Finiten-Volumen-Methode (zur Lösung
der Fluidpartition) verwendet wird.
5.3.1. Problembeschreibung Dammbruch
Die Abbildung 5.6 zeigt gemäß [62] eine zweidimensionale Konfiguration des zweiphasigen
Strömungs- und Struktur-Wechselwirkungsmodells (Dammbruch) zur Zeit t = 0 s. Die physikalischen Teilgebiete sind durch eine zweiphasige Fluidpartition Ψf und eine Strukturpartition Ωs definiert. Der Anfangszustand des Strömungsgebiets Ψf ist durch einen 0.292
m hohen und 0.146 m breiten Wasserblock (Dichte ρw und Viskosität νw ) initialisiert. Der
0.584 m
Γ1
Γ2
Γ3
0.146 m
0.45 m
ρl
ρw
0.015 m
0.08 m
0.292 m
Ψf
0.292 m
Ωs , ρs
Γ5
Γ4
Abbildung 5.6.: Anfangskonfiguration
des
zweiphasigen
StrömungsWechselwirkungsmodells (Dammbruch) zur Zeit t = 0 s.
und
Struktur-
Wasserblock wird von der Luft (Dichte ρl und Viskosität νl ) umgeben und unterliegt einer
Gravitationsbeschleunigung g von 10 m/s2 . Fällt der Wasserblock infolge der auf ihn ausge-
124
übten Erdbeschleunigung nach unten, so kommt es zur Wechselwirkung zwischen dem in der
Mitte des Berechnungsgebiets platzierten elastischen Hindernis Ωs (Dichte ρs , Poissonzahl
νs und Elastizitätsmodul E) und der auflaufenden Wassermasse.
An dieser Stelle sei angemerkt, dass das ursprüngliche Validierungsbeispiel des Dammbruchmodells (s. beispielsweise KOSHIZUKA [60]) rein auf Basis einer CFD-Analyse zur Abbildung einer zweiphasigen Oberflächenprofilströmung mit einem starren Hindernis betrachtet
wurde. Das hier vorliegende Simulationsmodell (FSI-Modell) wird dagegen mit einer elastischen Struktur betrachtet, die infolge der hydrodynamischen Druck- und Reibungskräfte des
fallenden Wasserblocks verformt wird.
5.3.2. Numerisches Modell
Die Materialparameter des zweiphasigen newtonschen Fluids (Wasser und Luft) sind gemäß
[62], zusammen mit dem Parameter der elastischen Struktur eines Sain-Venant-KirchhoffModells, in der Tabelle 5.1 eingetragen.
Tabelle 5.1.: Verwendeten Parameter für die Simulation des Dammbruchs nach [62].
Parameter
Wert
Einheit
ρw
ρl
ρs
νw
νl
E
νs
1000
1
1000
10−6
10−5
106
0.5
kg/m3
kg/m3
kg/m3
m2 /s
m2 /s
N/m2
-
Für die räumliche Diskretisierung des physikalischen Teilgebiets Ψf wird, wie in Abbildung
5.7 dargestellt, ein blockstrukturiertes Gitter erzeugt. Das gesamte Berechnungsgebiet besteht dabei aus fünf Blöcken, die sich aus insgesamt 9735 KV-Zellen zusammensetzen. Das
physikalische Teilgebiet Ωs der Struktur besteht dagegen aus einem Block, der über seine Breite und Höhe mit 7x30 KV Zellen aufgelöst wird. Dabei wird die Konzentration der
KV-Zellen des Teilgebiets Ψf im Bereich der Struktur berücksichtigt, so dass auftretende
Gradienten mit feiner werdenden Zellen besser abgebildet werden. Die Diskretisierung der
Modellgleichungen und deren Lösungsverfahren für beide Teilpartitionen sind gemäß Kapitel
3 Abschnitt 3.1 bis 3.6 definiert. Die Randbedingungen für das Strömungsgebiet gemäß der
Abbildung 5.6 können anhand der Tabelle 5.2 entnommen werden. Für die Kopplungsbedingungen am Interface Γ5 gelten entsprechend die Gleichungen (5.1) und (5.2). Als implizite
Kopplung zwischen den Teilgebieten Ψf und Ωs wird der Block-SOR-Kopplungsalgorithmus
aus Abschnitt 5.2.2 verwendet, bei dem der Relaxationsparameter in jedem Iterationsschritt
nach dem Aitken-Verfahren berechnet wird. Der iterative Berechnungsvorgang beider Partitionen wird beendet, wenn das Abbruchskriterium nach Gleichung (5.9) mit ε ≤ 10−6 erreicht
125
Abbildung 5.7.: Blockstrukturiertes Berechnungsgitter des Dammbruch Modells.
wird.
Tabelle 5.2.: Randbedingungen am Dammbruch.
α
v in m/s
=0
α=0
∂α
=0
∂n
∂α
=0
∂n
∂α
=0
∂n
v=0
∂v
=0
∂n
v=0
v=0
vm
Rand
Γ1
Γ2
Γ3
Γ4
Γ5
∂α
∂n
v̂ in m/s
v̂
v̂
v̂
v̂
v̂
=0
=0
=0
=0
=0
p in N/m2
∂p
∂n
=0
p=0
=0
=0
=0
∂p
∂n
∂p
∂n
∂p
∂n
Die Ergebnisse aus der Simulationen werden im nachfolgenden Abschnitt zusammenfassend
dargelegt.
5.3.3. Ergebnisse der Validierung
In Bilddiagramm 5.8 sind die Ergebnisse der horizontalen Verschiebungen der flexiblen Struktur über die Zeit hinweg von verschiedenen Modellen aufgetragen. Die Auswertung der horizontalen Verschiebung über die Zeit erfolgt dabei am oberen Gitterpunkt an der Position
0.2995 m in x- und 0.08 m in y-Richtung (vgl. Abb. 5.6). Im Weiteren werden die einzelnen
Verläufe miteinander verglichen und deren relative Abweichung bezüglich der maximalen
Verschiebung ∆umax und des Zeitpunkts ∆tmax diskutiert. Dabei wird das eigene numerische Dammbruch-Modell (Linie mit schwarzen Kreisen in Abb. 5.8) mit den experimentellen
Ergebnissen von [62] (Linie mit schwarzen Rechtecken) und den numerischen Ergebnissen
von [6] (Linie mit weißen Rechtecken) gegenübergestellt. Die relativen Abweichungen zusammen mit den maximalen Verschiebungen umax am Auswertungspunkt und den dazugehörigen
Zeitpunkten tmax einzelner Modelle sind in der Tabelle 5.3 zusammengefasst.
126
Verschiebung in [10−2 m]
35
Eig. numerische Lsg.
Experiment Ref. [62]
Numerische Lsg. Ref. [6]
30
25
20
15
10
5
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
Zeit in [s]
0.6
0.5
Abbildung 5.8.: Horizontale Verschiebung am Auswertungspunkt an der Position 0.2995 m in x- und 0.08
m in y-Richtung (vgl. Abb. 5.6).
Tabelle 5.3.: Vergleich der maximalen Verschiebungen umax am Auswertepunkt mit den dazugehörigen
Zeitpunkten tmax aller Referenzmodelle mit den Ergebnissen des eigenen numerischen Modells.
Eig. num. Lsg.
Exp. Ref. [62]
Num. Lsg. Ref. [6]
umax in [10−2 m]
31.8
26.1
27.9
Δumax in [%]
0
17.9
12.3
tmax in [s]
0.22
0.26
0.22
Δtmax in [%]
0
-18.2
0
Im Wesentlichen zeigen beide numerischen Modelle eine charakteristisch ähnliche Form auf.
Im Vergleich zum Experiment weisen die numerischen Ergebnisse einen etwas höher liegenden Maximalwert der Verschiebung umax auf. Die relative Abweichung der maximalen
Verschiebung beträgt dabei ca. 12.3% des numerischen Referenzmodells bezogen auf das eigene numerische Simulationsmodell. Im Gegensatz zu der leicht abweichenden Verschiebung
sind die Zeitpunkte tmax von umax ungefähr gleich. Darüber hinaus unterscheidet sich der
experimentelle Verlauf gegenüber dem numerischen in einem insgesamt flacheren Verschiebungsanstieg, der im Zeitintervall von t ≈ 0.13 s bis t ≈ 0.26 s stattfindet. Dagegen ist der
Anstieg beider numerischer Modelle in etwa gleich groß.
Die möglichen Ursachen der leichten Abweichung könnten sein:
• Unterschiedlich verwendete Materialmodelle bzw. Parameter der elastischen Probe.
Dazu sind genauere experimentelle Analysen der Materialparameter notwendig.
• Das Simulationsmodell umfasst nur zwei Dimensionen. Die dritte Richtung wird dabei
127
nicht in der Simulation berücksichtigt. Für die Struktur heißt das die Annahme des
ebenen Dehnungszustands.
• Anwendung unterschiedlicher Diskretisierungsmethoden zur Berechnung der einzelnen
Fluid- und Struktur-Partitionen.
• Leichte Messgeräteabweichungen könnten ebenfalls zu ungenauen Ergebnissen führen.
Trotz der geringfügigen Abweichungen zeigt das FSI-Modell eine gute Übereinstimmung der
Strukturverschiebung über die Zeit im Vergleich zur numerischen Referenz- und dem experimentellen Modell. Dies äußert sich insbesondere in der visuellen Darstellung des FluidStruktur-Interaktionsprozesses wieder. Die nachfolgende Abbildung 5.9 zeigt den Wechselwirkungsprozess zwischen dem fallenden Wasserblock und der elastischen Struktur. Die Ergebnisse des eigenen numerischen Modells werden dabei in einer zeitlicher Bildsequenz zu den
experimentellen und numerischen Ergebnissen von [62] gegenübergestellt. Für die Darstel-
Num. Lsg.
Exp. Ref. [62]
t = 0.16 s
t = 0.24 s
t = 0.32 s
Abbildung 5.9.: Visueller experimenteller und numerischer Vergleich.
lung der flüssigen Phase (fallender Wasserblock) wird die berechnete Feldgröße α zusammen
mit der Wasseroberfläche im Bereich zwischen 0.5 ≤ α ≤ 1 abgebildet.
Die experimentellen Ergebnisse zeigen dabei eine relativ gute Übereinstimmung in Bezug
auf die zeitliche Entwicklung des fallenden Wasserblocks und die Verformung der elastischen
Struktur. Der Vergleich der numerischen Ergebnisse im Bild 5.10 zeigt ebenfalls eine gute Übereinstimmung in Bezug auf das transiente Fortschreiten des Wasserblocks und der
Strukturverschiebung.
In diesem Abschnitt wurde die Plausibilität des impliziten FSI-Solvers auf Basis der zweiphasigen Fluidströmungs- und elastischen Strukturberechnung überprüft. Die Simulationsergebnisse aus der Berechnung mit dem FSI-Löser am Beispiel eines Dammbruch-Modells
128
eig. Num. Lsg.
Num. Ref. [62]
Abbildung 5.10.: Visueller Vergleich der numerischen Simulationen.
nach [62] und [6] zeigten eine durchaus plausible und realistische Abbildung dieses Wechselwirkungsprozesses. Damit kann der FSI-Solver als validiert betrachtet und für weitere
Untersuchungen dieser Arbeit verwendet werden.
129
6. Multiregionale FSI-Modellierung:
Wellenbeaufschlagtes
Dämpfungselement
Die ersten Untersuchungen auf dem Gebiet der Wellenbelastung von Offshore-Bauwerken liegen bereits mehrere Jahrzehnte zurück und werden mit Arbeiten von HAVELOCK [45], VON
KÁRMÁN [98] und LAMB [64] in Verbindung gebracht. Einen wichtigen Beitrag in diesem
Forschungsbereich nimmt heutzutage die Bestimmung der Strömungskräfte und Belastungen
an zylindrischen Konstruktionen ein, die in zahlreichen wissenschaftlichen Arbeiten zu FluidStruktur-Wechselwirkungen ihre Anwendung finden (vgl. WIENKE und OUMERACI [108],
PEIL und CORTE [76]). Um der dargestellten Problematik Rechnung zu tragen sowie zur
aktuellen Diskussion in den Ingenieurwissenschaften einen Beitrag zu leisten, wurde am Institut für Mechanik der Universität Kassel ein Dämpfungselement-Prototyp zum Schutz von
zylindrischen Bauwerkkomponenten, wie die einer monopilen Turmstruktur einer OffshoreWindkraftanlage, vor Wellenbelastung entwickelt. Der Schutzmechanismus sieht vor, dass
die Turmstruktur von einer elastischen Außenhülle umgeben wird.
In der Kammer zwischen der flexiblen Außenhülle und der starren, monopilen Turmwand
befindet sich ein viskoses Dämpfungsfluid, welches infolge von kontinuierlich oszillierenden
Wellengangbewegungen einen Teil der kinetischen Energie durch innere Reibung im Fluid in
irreversibel dissipierte Energie umwandelt. Dadurch können die auf die Struktur einwirkende
Wellenlasten gedämpft werden.
Daher wird eine Arbeitshypothese aufgestellt, wonach die Wellenlasten auf solch einen geschützten Turmpfeiler geringer ausfallen müssen als auf einen Turmpfeiler ohne diesen Schutz.
In diesen abschließenden Kapitel wird ein multiregionales Fluid-Struktur-Interaktions-Modell
vorgestellt, mit dem oben beschriebenen Schutzmechanismus die Dämpfungseigenschaften
unterschiedlich hochviskoser newtonscher, aber auch nichtnewtonscher Dämpfungsflüssigkeiten unter Wellenbelastung untersucht werden. Das FSI-Modell zur Simulation des wellenbeaufschlagten Dämpfungselements wird dabei auf ein zweidimensionales Problem reduziert.
Die Annahme eines zweidimensionalen Simulationsmodells beruht dabei auf die von CORTE
130
[15] durchgeführten Untersuchungen des Wellenaufschlags einer brechenden Welle auf eine
starre zylindrische Struktur. Im Folgenden wird das zweidimensionale Druckschlagmodell1
analytisch und numerisch (in Anlehnung an die Arbeiten von WIENKE [107] und CORTE
[15]) analysiert und für die Berechnungen mit einem FSI-Modell plausibilisiert.
6.1. Analytische Betrachtung des Wellenaufschlags
Der Aufschlag einer brechenden Welle auf eine Struktur, wie oben beschrieben, führt abhängig von der Form des Festkörpers und der Wellenkinematik zu einer impulsartigen Druckbelastung der Strukturoberfläche. Im Fall von Offshore-Windkraftanlagen mit einer zylindrischen Tragstruktur tritt die impulsartige Druckbeaufschlagung dann auf, wenn ein Teilbereich des Zylinders nahezu gleichzeitig über eine endliche Höhe von einer Welle erfasst wird2 .
Für den Fall eines regulären Seegangs, bei dem nur sehr kleine und nicht brechende Wellen
auf die Turmstruktur einwirken, kann diese Belastung nicht als eine impulsartige Druckbeaufschlagung bewertet werden. Dazu liefert MORISON ET AL. [71] einen analytischen Berechnungsansatz, bei dem die horizontal auf eine zylindrische Struktur einwirkenden Kräfte
ermittelt werden können. Bei der Morison-Gleichung wird eine sogenannte Morison-Kraft als
Kraft pro Einheitslänge3 fM berechnet. Diese ergibt sich aus der Summe der Linienkräfte
infolge der Trägheitskraft fT und der Strömungskraft fD :
fM = fT + fD = ρ CT
πD 2 ∂v 1
+ ρ CW Dv(z) |v(z)| .
4 ∂t 2
(6.1)
Durch Integration über die mit Wasser benetzte Höhe η lässt sich folglich auf die MorisonKraft schließen:
η
FM = FT + FD =
−z
πD 2 ∂v
1
dz +
ρ CW Dv(z) |v(z)| dz.
4 ∂t
2
η
ρ CT
(6.2)
−z
Demnach ist die Trägheitskraft proportional zur Wasserpartikelbeschleunigung ∂v/∂t, während die Strömungskraft proportional zum Quadrat der Wasserpartikelgeschwindigkeit ist.
CT und CW sind experimentell ermittelte, dimensionslose Kennzahlen, wobei CT = 1 + CW
der Trägheitsbeiwert und CW der Widerstandsbeiwert ist. Für typische Turmstrukturmaße
einer Windkraftanlage sind die Werte für CT ≈ 1.5 und für CW ≈ 0.5 konstant. Desweiteren
kennzeichnet ρ in der Gleichung (6.2) die Dichte der Flüssigkeit und D den zylindrischen
Durchmesser einer Turmstruktur. Die Morison-Gleichung hat allerdings den Nachteil, lediglich die Kraft, die mit der Wasserspiegelauslenkung zeitlich auf die Turmstruktur variiert,
zu berechnen. Damit lässt sich noch keine dynamische Kraft, die bei einer brechenden Welle
1
2
3
als ein physikalisches Teilgebiet des multiregionalen FSI-Modells.
s. CORTE [15].
auch als Linienkraft bezeichnet.
131
kurzzeitig als Stoß auftritt, ermitteln (vgl. Abb. 4.59 in Kapitel 4.3.4). Um diese zusätzliche
Kraft zu berücksichtigen, wird die Gleichung (6.2) üblicherweise mit einem Sicherheitsfaktor
von z.B. 2.5 multipliziert (siehe [98]). Da mit dieser Methode die zeitliche Charakteristik der
Kraft unberücksichtigt bleibt, und die lokale Belastung unterbewertet wird, ist dieses Vorgehen nur unzureichend. Deshalb muss dieser dynamische Kraftanteil (Stoßkraft FI ) explizit
berechnet und zur Morison-Kraft hinzuaddiert werden. Somit ergibt sich die Gesamtkraft:
FG = FM + FI = FT + FD + FI .
(6.3)
Zur Berechnung des Druckschlages wird, wie bei den Wellentheorien, von einem potentialtheoretischen zweidimensionalen Ansatz ausgegangen. In den nachfolgenden Unterkapitel
wird eine kurze historische Zusammenfassung der verschiedenen Ansätze zur Modellierung
dieser Stoßkraft gegeben und eine Erweiterung des Berechnungsmodells vorgestellt und diskutiert.
6.1.1. Ansätze zur Modellierung der Stoßkraft
Zum ersten Mal wurde die Stoßkraft in der Arbeit VON KÁRMÁNs 1929 [98] formuliert, um
die Kräfte beim Landen eines Wasserflugzeuges zu ermitteln. VON KÁRMÁN beschrieb ein
zweidimensionales gekieltes Profil eines Flugzeugteils, das mit einer Geschwindigkeit auf eine
Wasseroberfläche aufsetzte. Das analytische Modell basierte dabei auf einem potentialtheoretischen Ansatz, bei dem als Potential die Umströmung einer ebenen Platte angenommen
wurde. In Abbildung 6.1 ist eine schematische Darstellung des VON KÁRMÁN-Modells gezeigt. Die in das Wasser eingetauchte Fläche wird dabei zu jedem Zeitpunkt als eine ebene
ebene Platte
y
h
fI
v
c(t)
v·t
x
Abbildung 6.1.: Schematische Darstellung des von Kármán-Modells, nach [107].
Platte c(t) approximiert. Dadurch ist es möglich, mit Hilfe der hydrodynamischen Masse
und der Impulserhaltung, die Linienkraft fI des Stoßes in Abhängigkeit von der Breite des
Auftriebskörpers h, der Dichte ρ und der Relativgeschwindigkeit v zwischen Wasser und dem
eingetauchten Auftriebskörper folgendermaßen zu berechnen:
fI =
π d
ρv (2vht) = πρhv 2 .
2 dt
(6.4)
132
Basierend auf diesem Ansatz approximierte WAGNER [99] 1932 ebenfalls die Druckschlagfläche als eine ebene Platte. Die resultierenden Drücke unterhalb der Platte berechnen sich
dabei aus der instationären Bernoulli-Gleichung. Die auf die Platte wirkende Linienkraft
wird aus der Integration der Drücke ermittelt. Dadurch ist es möglich, den Einfluss der Verformung der freien Oberfläche ηb in Wasserfortschrittsrichtung, die sogenannte Spritzwurzel,
die aufgrund einer Aufstauung des Wassers entsteht, zu berücksichtigen (siehe Abb. 6.2).
y
h
”pile-up”
fI
Effekt
c(t)
ηb
v·t
x
v
Abbildung 6.2.: Schematische Darstellung des Wagner-Modells, nach [107].
Die Ausbildung der Spritzwurzel kann auch als ”pile-up”-Effekt (siehe [108]) bezeichnet
werden. Die eingetauchte Breite der Platte kann durch die Eintauchtiefe ermittelt werden.
Wendet man die Bernoulli-Gleichung an, so ergibt sich eine schnellere Eintauchgeschwindigkeit des Zylinders und eine doppelt so große resultierende Linienkraft infolge des ”pile-up”Effekts, wie der VON KÁRMÁNs. Daraus folgt:
fI = 2πρhv 2 .
(6.5)
Aufbauend auf den Ansätzen von WAGNER entwickelte FABULA [29] 1957 eine Theorie
zur Umströmung von Kreisprofilen, bei der die Eintauchfläche des Auftriebskörpers als eine
Ellipse angenähert wird. Dieser Ansatz hat den Vorteil, dass keine Singularitäten am Rand
des Zylinders auftreffen. Jedoch ergibt sich daraus ein erheblich größerer Rechenaufwand
im Vergleich zu den theoretischen Betrachtungen von WAGNER [99]. Mit dieser Methode
erhält man eine zeitlich abnehmende Linienkraft, anstatt einer zeitlich konstanten. GODA
[40] erweiterte 1964 den Ansatz VON KÁRMÁNs, indem er die Linienkraftgleichung (6.4)
um eine zusätzliche Zeitabhängigkeit erweiterte, in der Form von:
fI = 2πρRv 2 1 −
v
t .
R
(6.6)
Diese Gleichung verwendete GODA zur Beschreibung eines brechenden Wellenaufschlags auf
zylindrische Strukturen.
Ein weiterer Ansatz wurde 1986 von ARMAND und COINTE [4] vorgeschlagen. Bei diesen Ansatz wird mit Hilfe einer Potenzreihenentwicklung die Linienkraft ermittelt, wobei
eine Parabelform für die Kontur approximiert wird. ARMAND und COINTE erhielten die
133
folgende Lösung für die Linienkraft:
fI = ρRv 2 2π −
!
v
10
v
t
+ 2 log 2 − log
t
R
3
R
.
(6.7)
Die neueste analytische Beschreibung des Druckschlages auf schlanke zylindrische Strukturen
liefert WIENKE [107] 2001, der im Vergleich zu seinen experimentell ermittelten Ergebnissen eine gute Näherung bietet. In diesem Fall wird ebenfalls von der WAGNER-Theorie
ausgegangen, der die Druckschlagfläche unter Berücksichtigung des ”pile-up”-Effekts an die
Zylinderkontur durch eine Fit-Funktion approximierte. Die Stoßkraft wurde anschließend aus
der Integration der Bernoulli-Gleichung über die Eintauchbreite hergeleitet. In Abbildung 6.3
ist in Anlehnung an WIENKEs Arbeit eine schematische Darstellung des WellenaufschlagModells auf eine zylindrische Struktur aus einem dreidimensionalen Problem auf ein zweidimensionales gezeigt. Das Übertragen eines komplexen dreidimensionalen Problems auf eine
repräsentative zweidimensionale Ebene macht das Modell in erster Näherung besser zugänglich.
z
2D-Schnitt zur
Druckschlagberechnung
y
y
v
fI
3D
R
c(t)
2D
ηb v · t
x
v
Abbildung 6.3.: 2D Schnittfläche zur Druckschlagberechnung.
Im Ansatz auf die Berechnungsmodelle von WAGNER und WIENKE wird im nächsten
Abschnitt eine verbesserte Näherung im Hinblick auf die Approximation der Kontur des
Auftriebskörpers und damit auch eine genauere Berechnung der Stoßkraft gezeigt.
6.1.2. Analytische Berechnung der Stoßkraft auf zylinderförmige
Strukturen
Der analytische Ansatz eines stoßartigen Wasseraufschlags auf eine Struktur wurde von
WAGNER [99] entwickelt und von WIENKE [108] auf die in Abbildung 6.4 dargestellte
Form erweitert. Dieses zweidimensionale Modell kann als Aufschlag einer brechenden Welle
aufgefasst werden, da diese ebenfalls einen kurzzeitigen hydrodynamischen Impulsstoß auf
Strukturen ausübt.
Der analytische Ansatz basiert hierbei auf der Potentialtheorie mit der Vernachlässigung von
134
y
R
c(t)
vn
v
P30
30
ηb v · t
15
P15P0
x
ρ
Abbildung 6.4.: Modell zur Berechnung des Druckschlags mit den Auswertungspunkten P0 , P15 , P30 .
Fluidreibung und Rotation im Strömungsfeld. Als Potential zur Umströmung der zylindrischen Kontur wird der Ansatz nach LAMB [64] (siehe [99]) (zur Umströmung einer ebenen
Platte) angenommen. Demnach werden für diesen Ansatz folgende Größen definiert:
• R sei der Radius des Querschnitts der zylindrischen Struktur.
• v ist die konstante Geschwindigkeit der auflaufenden Wassermassen.
• ηb beschreibt die Wassererhebung am Zylinderrand.
• c = c(t) ist dabei die von der Zeit abhängige eingetauchte Breite entlang der Körperkontur. Diese steigt mit der Zeit bis zum Zeitpunkt t = tR an. Dabei gilt c(tR ) = R
und zwar genau dann, wenn der Zylinder zur Hälfte von Wasser umschlossen ist.
Die Geschwindigkeit der Wassererhebung am Konturrand wird folgendermaßen angesetzt4 :
v
vn =
1−
c(t) 2
x
.
(6.8)
Die Gleichung (6.8) beschreibt die Geschwindigkeit der Wasseroberfläche in die y-Richtung.
Dabei wird vorausgesetzt, dass |x| > c(t) gilt. Durch Integration der Gleichung (6.8) nach
der Zeit t und einer darauffolgenden Substitution von dt durch
dt
dc
dc
=
dc
dċ
erhält man die
Wassererhebung (”pile up”-Effekt) am Zylinderrand mit
x
ηb =
0
vn
dc.
ċ(t)
(6.9)
Um die Geschwindigkeit der auflaufenden Wasserfront ċ(t) zu bestimmen, wird ηb als Teil
eines Kreises in einer Reihe entwickelt. Die dargestellte Halbkreisgeometrie, gemäß dem
Koordinatensystem in Abbildung 6.4, kann folglich mit der Kreisgleichung
φ(x) = R −
4
√
R2 − x2
In LAMB [64] beschriebener Ansatz zur Plattenumströmung.
(6.10)
135
beschrieben werden. In approximierter Darstellung kann die Gleichung (6.10) um den Punkt
x = x0 = 0 (entsprechend der Abb. 6.4) in eine Taylorreihe in Form von
ηb =
∞
i=1
∞
1 (i)
βi x2i
φ (0) xi =
i!
i=1
(6.11)
entwickelt werden. Als Abbruchskriterium für die Taylorreihenentwicklung wird ein Punkt
auf der Kreiskontur bei x = 0.9R gewählt, so dass die exakte Kreiskontur φ(x) gegenüber
der approximierten ηb an dieser Stelle einen relativ kleinen Fehler von ≤ 0.001% aufweist.
Diese Bedingung führt zu einer Taylorreihe, welche nach dem fünfzigsten Summenglied abgebrochen wird. Dadurch ist eine hinreichend genaue Beschreibung der Druckverläufe an
den interessanten Positionen der Kreiskontur gewährleistet. Von besonderem Interesse, da in
folgenden Berechnungen als Auswertungspunkte gewählt, sind der Staupunkt P0 , ein gegenüber dem Staupunkt um 15◦ auf dem Kreisbogen verschobener Punkt P15 und ein gegenüber
dem Staupunkt um 30◦ auf dem Kreisbogen verschobener Punkt P30 (siehe Abb. 6.4). Diese
drei charakteristischen Punkte werden in diesem Kapitel durchweg als Auswertungspunkte
verwendet. Der Verlauf der angenäherten Kreiskontur im Vergleich zur exakten ist in Abbildung 6.5 gegenübergestellt. Der Radius für die Berechnung wird dabei in Anlehnung an die
ηb , φ(x) in [m]
0.35
0.30
Ηb
0.25
Φx
0.20
0.15
0.10
0.05
0.00
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30
0.35
R in [m]
Abbildung 6.5.: Vergleich der exakten und approximativen Kreisgleichung.
Arbeit von WIENKE zu R = 0.35m gewählt. Um den relativen Fehler bzw. die Abweichung
der Reihenentwicklung gegenüber dem exakten Ergebnis zu erhalten, wird die Differenz
zwischen ηb und φ(x) gebildet und auf den Radius R bezogen. Damit ergibt sich für die
relative Abweichung der nachstehende Ausdruck:
Δ =
ηb − φ(x)
.
R
(6.12)
Das Ergebnis des relativen Fehlers der exakten gegenüber der approximierten Kontur ist in
Abbildung 6.6 graphisch dargestellt.
Solange die Auswertungspunkte also nicht in den abweichenden Bereich gelegt werden, lässt
sich mit der approximativen Lösung hinreichend genau rechnen.
Die in Gleichung (6.11) stehenden Faktoren sind die β-Faktoren. Sie sind im Wesentlichen
von der Größe des Kreisradius R abhängig und lassen sich aus der Taylorreihenentwicklung
136
Δ in [%]
0.010
0.005
relative Abw.
0.000
0.005
0.010
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30
0.35
R in [m]
Abbildung 6.6.: Relative Abweichung der Kreisgleichung (6.10) zur approximierten Kreisgleichung (6.11).
der Gleichung (6.10) bestimmen. Des Weiteren werden die α-Faktoren bzw. Kreiskonturterme
eingeführt, deren Bestimmung sich aus der Lösung aus Gleichung
βi x2i−1 =
x
αi c2i−1
1−
0
2 dc
mit i = 1, 2, . . .
(6.13)
c
x
für x > 0 ergibt. Mit den α- und β-Faktoren lässt sich nun das Verhältnis der Geschwindigkeiten der anströmenden Wassermassen zur auflaufenden Wasserfront durch den Zusammenhang
n
w(c) =
2
v =
αi βi c2i−1
ċ i=1
(6.14)
ausdrücken. Die Reihe auf der rechten Seite der Gleichung (6.14) ergibt sich aus der Integration der Gleichung (6.8). Die Integration der Gleichung (6.14) liefert
c
t
w(c)dc =
0
Daraus resultiert dann
vdt .
(6.15)
0
n
2
αi βi 2i
c = vt .
i=1 2i
(6.16)
Mit der Gleichung (6.16) ist eine eindeutige Bestimmungsgleichung für die Größe c = c(t)
gegeben. Damit kann nun das Geschwindigkeitspotential, welches sich aus der Gleichung
(6.8) bestimmen lässt, wie folgt berechnet werden:
√
Φ = − c2 − x2
für
|x| > c (t) .
(6.17)
Über den Zusammenhang der instationären Bernoulli-Gleichung5
p = −ρ
5
∂Φ
− ∇2 Φ,
∂t
wobei der Gravitationseinfluss aufgrund der ebenen Betrachtung vernachlässigt wird.
(6.18)
137
lässt sich damit der Druckverlauf an einem beliebigen Punkt auf der Kreiskontur wie folgt
bestimmen:
p(xa , t) =
ρv 2
w(c) 1 −
( xca )2
−
ρ 2
v
2
.
1 − ( xca )2
(6.19)
Der Auswertungspunkt auf den die Gleichung angewendet wird, ist über das xa festgelegt.
xa nimmt dabei jeweils die x-Koordinate in Abbildung 6.4 für die Auswertungspunkte an.
Schließlich kann die Linienkraft in ähnlicher Weise wie in WIENKE [108] durch eine Integration der Drücke über die Eintauchtiefe
c
fI =
p(xa , c)dx
(6.20)
0
berechnet werden. Somit ergibt sich für die Stoßkraft:
⎡
fI = ρv 2 c(t) ⎣
⎛
⎞⎤
w(c) ⎠⎦
π
.
− arctanh ⎝ 1 −
w(c)
2
(6.21)
In den Abbildungen 6.7 bis 6.9 ist ein Vergleich der analytischen Ergebnisse für die Druckverläufe über die Zeit aus eigener Näherung gegenüber den Druckverläufen von WIENKE
[108] dargestellt.
50
Eig. Näherung
Ref. WIENKE [108]
40
p/ρ v 2
30
20
10
0
0
0.1
tv/R
0.2
0.3
Abbildung 6.7.: Vergleich der Druckverläufe an der Stelle 0◦ .
Für die analytische Berechnung wird die Wellengeschwindigkeit v = 6m/s, die Fluiddichte
ρ = 103 kg/m3 und ein Strukturradius von R = 0.35m verwendet6 . Zum Auswerten der
Druckverläufe werden drei Punkte entlang der zylindrischen Kontur bei 0◦ , 15◦ und 30◦ (siehe
Abb.6.4) festgelegt. Die in Abbildung 6.7 dargestellten Druckverläufe weisen im Staupunkt
eine Singularitätsstelle auf, die zur Zeit t = 0s bei x = 0m (P0 siehe Abb. 6.4) einen unendlich
6
entsprechend den Untersuchungen in [108].
138
30
Eig. Näherung
Ref. WIENKE [108]
p/ρ v 2
20
10
0
0
0.1
0.2
tv/R
0.3
8
Eig. Näherung
Ref. WIENKE [108]
p/ρ v 2
6
4
2
0
0
0.1
tv/R
0.2
0.3
großen Druckwert annimmt. Diese Singularität entsteht aufgrund des Lösungsansatzes in
Gleichung (6.8) und wird von WIENKE [108] in Anlehnung an FALTINSEN [30] durch
einen endlichen Wert am Staupunkt mit
p(x = 0, t = 0) = ρ cw v
(6.22)
angesetzt. Der endliche Druckwert im Staupunkt ergibt sich durch die Berücksichtigung der
Kompressibilität des Wassers. Dabei kennzeichnet cw die Schallgeschwindigkeit des Wassers. Die Gleichung (6.22) beschreibt demnach einen Zusammenhang des Druckwerts mit
der Schallgeschwindigkeit des Wassers, bei der angenommen wird, dass die Flüssigkeit sich
nicht schneller als mit der Schallgeschwindigkeit cw ausbreiten kann.
139
Im Weiteren zeigen die Druckverläufe von WIENKE eine signifikante Unstetigkeitsstelle ab
einen Zeitpunkt von t = R/8v. Die Unstetigkeit in den Druckverläufen ist auf zwei unterschiedliche Approximationen von ηb zurückzuführen. Die erste Approximation liegt dabei im
Zeitintervall von t ≤ R/8v und die zweite im t > R/8v. Bei der eigenen Näherungslösung sind
dagegen keine Unstetigkeiten vorhanden, da ηb über die Kreiskonturterme (siehe Gl. (6.13))
weit über den betrachteten Auswertungsstellen (P0 , P15 und P30 ) exakt approximiert wird.
Dadurch wird eine räumliche und zeitliche Diskontinuität der Druckverläufe vermieden. Im
Weiteren kann zwischen den maximalen Druckwerten pmax sowie den Eintauchzeitpunkten te
zu den jeweiligen Auswertungspunkten unterschieden werden. Als Eintauchzeitpunkte werden die Zeitpunkte bezeichnet, bei denen sich das Druckmaximum an einem Auswertepunkt
ausbildet. Dazu wird die relative Abweichung der eigenen Näherungslösung gegenüber der
Referenzlösung [108] betrachtet. An dieser Stelle sei angemerkt, dass aufgrund der gleichen
Aufschlagszeit (bei t = 0 s) und Singularität im Staupunkt (im P0 bei 0◦ ) keine Aussage über
die relativen Abweichungen in Bezug auf die maximalen Druckwerte und Eintauchzeitpunkte
gegeben werden kann. Deshalb werden nur die zwei Stellen bei 15◦ und 30◦ gegenübergestellt. Am Auswertungspunkt bei 15◦ (siehe Abb. 6.8) ergibt sich für den maximalen Druck
pmax 15◦ eine relative Abweichung von +6.5% gegenüber dem Referenzwert und -0.6% für
die Eintauchzeit te 15◦ . Entsprechend für den Auswertungspunkt bei 30◦ (siehe Abb. 6.9) ist
die relative Abweichung größer und liegt für den maximalen Druck pmax 30◦ bei +29.3%. Die
Eintauchzeit te 30◦ an dieser Stelle verzögert sich dabei um -4.5%. Diese niedrigen Druckwerte und die zeitliche Verzögerung des Wasseraufschlag ergeben sich aufgrund der genaueren
Approximation der beaufschlagten Kreiskontur. Dies spiegelt sich auch in der Funktion von
c(t), die im Bilddiagramm 6.10 dargestellt ist, wieder.
1
Eig. Näherung
Ref. WIENKE [108]
c(t)/R
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
0.1
tv/R
0.2
0.3
Abbildung 6.10.: Vergleich der c(t)-Funktion aus eigener Näherungslösung zur Referenzlösung.
Auch hier resultiert, abgesehen von den Diskontinuitäten an der Unstetigkeitsstelle, eine
relativ gute Übereinstimmung im Verlauf der c(t)-Funktionen. Die relative Abweichung der
140
2
Δc in %
0
-2
-4
-6
-8
-10
0
0.1
tv/R
rel. Abw. Δc
0.2
0.3
Abbildung 6.11.: Abweichung von der c(t)-Funktion über der Zeit.
c(t)-Funktion über der Zeit ist in der Abbildung 6.11 dargestellt. An der Unstetigkeitsstelle
ergibt sich ein relativer Fehler von ungefähr -8.5%. Im Bilddiagramm 6.12 ist die Stoßkraft
über die Zeit, berechnet aus Gleichung (6.21), dargestellt. Zum Zeitpunkt t = 0 s weisen
beide Verläufe einen Kraftwert von 2π ρv 2 auf. Der Kraftverlauf nach WIENKE für die erste
Approximation im Zeitintervall von 0 ≤ t ≤ R/8v, liegt deutlich höher gegenüber dem
Kraftverlauf der eigenen Lösung. Nachher, ab dem Zeitpunkt von R/8v liegt der WIENKE
Kraftverlauf deutlich unterhalb der eigenen Näherungslösung.
fI /ρ R v 2
2π
Eig. Näherung
Ref. WIENKE [108]
π
0
0
0.15
tv/R
0.35
Abbildung 6.12.: Vergleich der Linienkräfte aus eigener Näherungslösung zur Referenzlösung.
Die relative Abweichung des eigens berechneten Kraftverlaufs gegenüber der Referenzlösung
ist in Bilddiagramm 6.11 über der Zeit dargestellt. Die Abweichungen rangieren dabei um
ca. ±30% zwischen den Zeitintervallen von 0 ≤ t ≤ R/8v und t ≥ R/8v.
141
40
30
Δf in %
20
10
0
-10
-20
-30
0
0.05
0.1
0.15
tv/R
0.2
rel. Abw. Δf
0.25
0.3
0.35
Abbildung 6.13.: Abweichung der Linienkraft über der Zeit.
6.2. Numerische Simulation eines Druckschlages
Das numerische Modell zur Berechnung des Druckschlags und der Stoßkraft wird in diesem
Unterabschnitt auf Basis des numerischen Modells nach CORTE und GRILLI [16] erstellt
und gegenüber dem eigenen Modell sowie den Ergebnissen der experimentellen Untersuchungen von WIENKE [108] verglichen. Dazu werden die Ergebnisse der zeitlichen Entwicklung
der Druckverläufe und der Stoßkraft an der Zylinderkontur betrachtet. Damit soll das numerische Druckschlagmodell verifiziert und validiert werden. Das Modell wird anschließend
als eine Teilpartition zur FSI-Simulation des Dämpfungselement-Modells im nachfolgenden
Abschnitt verwendet.
6.2.1. Numerisches Modell und Diskretisierung
Für die mathematische Modellbildung des Druckschlags werden die Navier-Stokes-Gleichungen zur Beschreibung der Strömung von nicht mischbaren Fluiden nach Kapitel 2.5 verwendet. Dazu wird ein zweidimensionales Simulationsmodell, entsprechend der analytischen
Betrachtung aus dem Abschnitt 6.1, untersucht. Die zweidimensionale Simulation eines Wasseraufschlages auf einen Zylinder erfolgt in einem Berechnungsgebiet mit der Länge L = 2.1 m
und der Breite B = 0.75 m (s. Abb. 6.14). Der Kreisradius beträgt R = 0.35 m. Der Mittelpunkt des Zylinders befindet sich im Ursprung des Koordinatensystems bei x = 0 m und
y = 0 m. Das blockstrukturierte Berechnungsgitter, wie in Abbildung 6.14 dargestellt, besteht aus insgesamt sieben Blöcken. Im Gegensatz zum Berechnungsgebiet von [16] wird das
Gitter an der Stelle y > 0 nicht berücksichtigt, da die Berechnungen mit diesem Teilgebiet die
Berechnungsergebnisse an den Auswertungspunkten nicht beeinflusst werden und dadurch
ein zusätzlicher Rechenaufwand vermieden wird. Des Weiteren wird das Berechnungsgebiet
142
in vier Bereiche unterschiedlicher Gittergüten unterteilt. Um den Druckschlag auf den Zyliny
Γ3
R
x
B
Γ2
α=0
α=1
L
y
Γ5
x
Γ4
ρl , ν l
v
ρw , ν w
Γ6
Γ1
Abbildung 6.14.: Zweidimensionales Berechnungsmodell des Druckschlags. Das Berechnungsgitter ist mit
einem Vergrößerungsfaktor von 1/5 dargestellt.
der möglichst genau simulieren zu können, wird um den Zylinder ein quadratisches Gebiet
(Kantenlänge a = 0.4 m) angelegt, in dem ein relativ feines Gitter generiert wird. In diesem
Bereich werden rechteckige KV-Zellen in Umfangsrichtung des Zylinders zur Diskretisierung
verwendet, wobei sich die KVs mit zunehmendem Abstand vom Zylinder vergrößern. Das
kleinste KV, das sich an derselben Stelle direkt am Zylinder befindet, wo später die Druckmesspunkte gesetzt werden, besitzt eine Kantenlänge von δx = 0.0025 m. Insgesamt werden
in diesem Gebiet nahe dem Zylinder 3200 KV verwendet. Das gesamte Berechnungsgitter
für die Druckschlagsimulation besteht aus 15750 rechteckigen KV-Zellen.
Die Randbedingungen zum Simulationsmodell (vgl. dazu Abb. 6.14) sind in der Tabelle 6.1
zusammengefasst.
Tabelle 6.1.: Randbedingungen für die numerische Berechnung.
Γ1
Γ2
Γ3
Γ4
Γ5
Γ6
p in N/m2
α
v in m/s
α=1
v T = [0, 6, 0]
∂p
∂n
=0
v=0
∂p
∂n
=0
Rand
∂α
∂n
=0
α=0
∂α
∂n
=0
α=0
∂α
∂n
=0
∂v
∂n
=0
v=0
∂v
∂n
=0
v=0
p=0
∂p
∂n
=0
p=0
∂p
∂n
=0
Die Zylinderkante Γ4 sowie die linke und rechte Bereichsgrenze Γ2 und Γ6 (s. Abb. 6.14) werden mit einer Wandrandbedingung (Normalgeschwindigkeit Null, keine Haftreibung in Tangentialrichtung) versehen. Am Wassereinlassrand Γ1 wird eine konstante Zuflussgeschwindigkeit v = 6 m/s in y-Richtung, die der Wellengeschwindigkeit der experimentellen Untersuchungen von WIENKE [108] entspricht, vorgegeben. An den Auslassrändern Γ3 und Γ5
wird eine Druckauslassrandbedingung mit einem konstanten Umgebungsdruck von p = 0
Pa eingestellt. Da der Anfangsabstand zwischen der Wasserfront und dem Zylinder beliebig
gewählt werden kann, wird sich für einen Zeitpunkt kurz vor dem Aufprall entschieden, damit soll ebenfalls ein unnötiger Rechenaufwand vermieden werden. In Abbildung 6.14 ist der
143
Anfangszustand der zweiphasigen Konfiguration zum Zeitpunkt t = 0 s dargestellt, wobei die
hellgraue Fläche das Wasser (initialisiert durch den Indikator α = 1) und die weiße Fläche
die Luft (initialisiert durch den Indikator α = 0) symbolisieren. Als Anfangsabstand wird
eine Entfernung von s = 0.005 m bestimmt. Dieser Abstand entspricht bei der beschriebenen Diskretisierung genau zwei KV-Zellen, so dass mit einer Courant-Zahl von Co = 0.25
im Moment des Aufschlags eine Zeitschrittweite von δt = 10−4 s den genauen Aufschlagzeitpunkt auflösen kann. Des Weiteren wird für den Phasenbereich α = 1 (Wasser) ebenfalls eine
Einlassgeschwindigkeit in y-Richtung von v = 6 m/s als Anfangsbedingung des Geschwindigkeitsfelds vorgeschrieben. Um ein realistisches Verhalten des Wassers bei dem Aufprall
auf den Zylinder zu gewährleisten wird die Oberflächenspannung des Wassers mitberücksichtigt. Als Grenzflächenspannung zwischen den beiden Phasen wird ein konstanter Wert
von σ = 0.073 N/m angenommen, der in etwa der Oberflächenspannung von Wasser bei
einer Temperatur von 20◦ C entspricht. Die Fluideigenschaften der zweiphasigen Strömung
für Wasser und Luft können der Tabelle 6.2 entnommen werden. Die Berechnungsdauer des
Tabelle 6.2.: Fluideigenschaften.
Wasser
Luft
Einheit
Dichte
ρw = 103
ρl = 1
Viskosität
νw = 10−6
νl = 1.5 · 10−5
kg
m3
m2
s
numerischen Modells, auf einem Intel(R) Core(TM) i5 CPU, 2.67GHz Prozessor, beträgt
347 s für eine Simulationszeit von insgesamt t = 0.025 s.
6.2.2. Ergebnisse und Auswertung
In den Abbildungen 6.15 bis 6.17 sind die numerisch berechneten und gemessenen Druckverläufe zusammen mit den analytisch berechneten Druckverläufen aufgetragen. Die numerischen Referenzen stellen dabei die Ergebnisse von CORTE und GRILLI [16] dar. Die
experimentell erfassten Druckverläufe über die Zeit stammen aus der Arbeit von WIENKE [108]. Die Druckverläufe entstehen dabei infolge der auftreffenden Wasserfront, die sich
entlang der Zylinderkontur aufstaut und durch die Verformung der Wasserfront einen ”pileup”-Effekt7 verursacht. In Abbildung 6.18 ist die zeitliche Entwicklung des Druck- und Geschwindigkeitsfelds für die Wasserfront im Bereich von 0.5 ≤ α ≤ 1 dargestellt. Hier lässt
sich der ”pile-up”-Effekt erkennen, der sich mit der Zeit nach dem Aufprall in Form des
verdrängten Wasservolumens um die zylindrische Struktur deutlich ausbildet. Da ab dem
Wasseraufprall das verdrängte Volumen mit der eingetauchten Zylinderbreite kontinuierlich
steigt, wird das Wasser in Strömungsrichtung (am Zylinder tangential) beschleunigt. Diese
7
Der die Verdrängung der freien Oberfläche aufgrund der Aufstauung des Wassers an der Kreiskontur in
Wasserfortschrittsrichtung beschreibt.
144
Beschleunigung wird in Abbildung 6.18 durch die Isotachen-Darstellung verdeutlicht. Laut
dem Bernoulli-Gesetz nimmt der Absolutdruck mit steigender Geschwindigkeit ab, was auch
in der Abbildung 6.18 deutlich zu sehen ist.
Entsprechend der instationären Entwicklung des ”pile-up”-Effekts ergibt sich auf der Zylinderkontur eine zeitabhängige Entwicklung des Druckverlaufs. Im Gegensatz zu den analytischen Druckverläufen am Staupunkt an der Stelle P0 , bei der sich eine Drucksingularität
zum Zeitpunkt t = 0 s ergibt, zeigen sowohl die numerischen als auch die experimentellen
Ergebnisse einen endlichen Wert an. Die Drucksingularität ist laut CORTE [15] insofern
nicht realistisch, da sowohl die Festkörperstruktur in der Realität etwas nachgiebig ist als
auch im Grenzbereich zwischen den beiden Fluiden Wasser (α = 1) und Luft (α = 0) beim
Aufschlag auf die Struktur eine transiente Grenzphasendurchmischung beider Medien vorherrscht. Dadurch findet eine zeitlich kontinuierliche Veränderung der mittleren Fluiddichte
statt, die im Wesentlichen zu einer Dämpfung der Druckwirkung an der Strukturwandung
beiträgt.
Um die relative Abweichung aus der eigenen analytischen und numerischen Lösung gegenüber
den Referenzverläufen zu ermitteln, wird eine Differenz gegenüber den Referenzergebnissen
gebildet und auf die eigenen Verläufe bezogen. Die relativen Abweichungen werden nach
Gleichung
pEig. − pRer.
· 100%
pEig.
berechnet und prozentual in den Tabellen 6.3 und 6.4 gegenübergestellt.
Δrel =
50
Eig.
Ref.
Eig.
Ref.
Ref.
p/ρ v 2
40
(6.23)
analyt. Lsg.
[108] analytisch
numer. Lsg.
[16] numerisch
[108] exper.
30
20
10
0
0
0.1
tv/R
0.2
0.3
Die Ergebnisse aus dem eigenen numerischen Modell zeigen dabei eine relativ gute Übereinstimmung zu den gemessenen und berechneten Druckverläufen aus der Referenzlösung. Im
Staupunkt der Kreiskontur resultiert, wie bereits oben erläutert, ein endlicher Druckwert.
Dieser weicht im Vergleich zu dem experimentell erfassten Maximalwert um etwa 15.5%
ab und ist damit leicht niedriger gegenüber dem eigenen numerischen Modell. Die relative
145
30
Eig.
Ref.
Eig.
Ref.
Ref.
analyt. Lsg.
[108] analytisch
numer. Lsg.
[16] numerisch
[108] exper.
p/ρ v 2
20
10
0
0.1
0
tv/R
0.2
0.3
12
Eig.
Ref.
Eig.
Ref.
Ref.
10
analyt. Lsg.
[108] analytisch
numer. Lsg.
[16] numerisch
[108] exper.
p/ρ v 2
8
6
4
2
0
0.1
0
tv/R
0.3
0.2
Tabelle 6.3.: Vergleich der maximalen Druckwerte pmax aus eigener analytischer und numerischer Lösung
zu den Referenzlösungen.
Auswertestelle
Eig. num. Lsg.
Ref. num. Lsg. [16]
Eig. analyt. Lsg.
Ref. analyt. Lsg. [108]
P0
47.7
16.2
∞
∞
Ref. exp. Lsg. [108]
40.3
P15
15.4
9.7
27.6
29.4
24.6
P30
5.8
5.1
5.8
7.5
11.3
Δ0
0%
66%
−%
−%
15.5%
Δ15
0%
37%
-79%
-91%
-60%
Δ30
0%
12%
0%
-29%
-95%
Abweichung des numerischen Maximalwertes aus der Referenzlösung ist dagegen mit 66%
deutlich niedriger gegenüber dem eigenen numerischen Modell. Die Unterschiede ergeben
sich vermutlich aufgrund des im Detail unterschiedlichen Lösungsvorgehens der numerischen
146
t = 0.001 s
t = 0.001 s
t = 0.005 s
t = 0.005 s
t = 0.01 s
t = 0.01 s
t = 0.015 s
t = 0.015 s
0
2.5x104 5x104
7.5x104 105
0
2.5
5
7.5
10
v in [m/s]
p in [P a]
Abbildung 6.18.: Wellenfront trifft Struktur. Darstellung der zeitliche Entwicklung des Druck- und Geschwindigkeitsfelds für die Wasserfront im Bereich von 0.5 ≤ α ≤ 1.
Tabelle 6.4.: Vergleich der Eintauchzeitpunkte te aus eigener analytischer und numerischer Lösung zu den
Referenzlösungen.
Auswertestelle
Eig. num. Lsg.
Ref. num. Lsg. [16]
Eig. analyt. Lsg.
Ref. analyt. Lsg. [108]
Ref. exp. Lsg. [108]
P15
0.023
0.0123
0.017
0.0169
0.024
P30
0.074
0.066
0.067
0.066
0.068
Δ15
0%
46.5%
26%
26.5%
-4%
Δ30
0%
11%
9.5%
11%
8%
Modelle. Dennoch weisen beide numerischen Ergebnisse an allen Auswertungspunkten eine
ähnliche Form auf, die auch mit den analytischen und experimentellen Verläufen näherungsweise gut übereinstimmen. Die Wertigkeiten dagegen weichen bei allen Modellen mehr oder
weniger voneinander ab. Diese Abweichung wird insbesondere am Punkt P15 ersichtlich.
Hier zeigen sowohl die beiden numerischen Lösungen, als auch die experimentell erfassten
Verläufe niedrigere Druckwerte im Vergleich zu den analytischen Lösungen. Eine sehr gute
Übereinstimmung gegenüber der numerischen und analytischen Referenzlösung zeigen die
147
numerischen Ergebnisse am Auswertungspunkt P30 . An dieser Stelle kann das numerische
Modell die Verlaufsform und Druckwertigkeit sehr gut nachbilden.
Um das Fortschreiten der Wellenfront entlang der zylindrischen Kontur zu betrachten, wird
die zeitliche Entwicklung der mit Wasser benetzten Konturbreite c(t) an diskreten Punkten,
wie in Abbildung 6.19 dargestellt, erfasst. Auch hier lässt sich eine sehr gute Übereinstimmung feststellen. Die Abweichungen der eigenen numerischen Lösung gegenüber der Refe1
Eig.
Ref.
Eig.
Ref.
Ref.
c(t)/R
0.8
analyt. Lsg.
[108] analytisch
numer. Lsg.
[16] numerisch
[108] exper.
0.6
0.4
0.2
0
0.1
0
tv/R
0.2
0.3
Abbildung 6.19.: Vergleich der c(t)-Funktion aus eigener Näherungslösung zur Referenzlösung.
renzlösung schwankt dabei ca. zwischen ±15%.
In Abbildung 6.20 sind die Linienkraftverläufe über der Zeit dargestellt. Auch hier zeigen
fI /ρ R v 2
3π
Eig.
Ref.
Eig.
Ref.
Ref.
analyt. Lsg.
[108] analytisch
numer. Lsg.
[16] numerisch
[108] exper.
2π
π
0
0
0.15
tv/R
0.35
Abbildung 6.20.: Vergleich der Linienkräfte aus eigener Näherungslösung zur Referenzlösung.
die Ergebnisse aus dem eigenen numerischen Modell eine gute Übereinstimmung der resultierenden Gesamtkraft gegenüber den Referenzlösungen. Insbesondere lässt sich eine gute
Näherung der beiden numerischen Verläufe gegenüber der eigenen analytischen Lösung feststellen, aus dem ebenfalls ein stetiger Linienkraftverlauf resultiert.
148
Ein Vergleich mit den analytischen, numerischen und experimentellen Referenzlösungen
zeigt, dass das hier vorliegende numerische Modell zur Simulation eines Wellenaufschlags
auf Strukturhindernisse sehr gut geeignet ist. Damit kann das Modell als verifiziert und validiert betrachtet werden und für weitere Berechnungen als eine Teilpartition zur Simulation
eines FSI-Dämpfungselement-Modells eingesetzt werden.
6.3. FSI-Simulationsmodell des Dämpfungselements
Das FSI-Modell zur Berechnung des Dämpfungselements wird in diesem Abschnitt auf Basis
des in Kapitel 5.2.2 beschriebenen Block-SOR-Kopplungsalgorithmus zur Berechnung von
insgesamt drei Teilpartitionen (zwei Fluidpartitionen und eine Strukturpartition) erstellt,
simuliert und anhand der gewonnenen Erkenntnisse aus den vorherigen Kapiteln diskutiert.
In Abbildung 6.21 ist eine exemplarische Darstellung des Dämpfungselement-Prototyps unter Wellenbeaufschlagung aus den Berechnungen eines dreidimensionalen FSI-Modells von
FUCHS ET AL. [35] dargestellt. Diese Darstellung zeigt den extremen Fall eines brechenden Wellenaufschlags auf einen Turmpfeiler mit einem Schutzmechanismus. Die einzelnen
Komponenten des Dämpfungselement-Prototyps sind: Eine dünnwandige flexible Hülle, die
um den zylindrischen Turmpfeiler in der Höhe des Wellengangs befestigt ist und eine viskose
Dämpfungsflüssigkeit, die in der Kammer zwischen der flexiblen und der starren Wandung
gefüllt ist. Das Dämpfungsfluid im Inneren hat die Funktion, den kontinuierlich einwirkenden
Wellenlasten einen Teil der auftreffenden Wellenenergie zu dissipieren.
Turmpfeiler
Dämpfungsfluid
Welle
flexible Hülle
Abbildung 6.21.: Prototyp des Dämpfungselements unter der Last einer brechenden Welle [35].
Die Untersuchung von dissipativen Eigenschaften hochviskoser Fluide wird dabei anhand
von zwei Parametersätzen mit jeweils drei unterschiedlichen Flüssigkeiten durchgeführt. Im
149
ν
Weiteren wird, im Gegensatz zu den Untersuchungen in [35], ein zweidimensionales FSIModell des Dämpfungselements analysiert. Dieses Modell basiert auf der zweidimensionalen
numerischen und analytischen Betrachtung sowie den experimentellen Untersuchungen des
Druckaufschlags aus dem vorherigen Kapitel.
Mittels der numerisch gewonnenen Ergebnisse kann eine globale Betrachtung der Strömungsgrößen in Hinblick auf die Belastung einer Offshore-Windkraftanlagen-Turmpfeiler durch
Wellenaufschläge mit und ohne einem Dämpfungselement erschlossen werden. Die Bewertung
der Dämpfungseigenschaften von unterschiedlich hochviskosen Flüssigkeiten erfolgt anhand
der bereits in Kapitel 4.2.3 eingeführten Definition einer Dissipationsleistung Pirr , sowie der
zeitlichen Entwicklung der Druck- und Reibungskräfte.
6.3.1. Numerisches Modell und Diskretisierung
In Abbildung 6.22 ist das zweidimensionale FSI-Modell des Dämpfungselements zum Zeitpunkt t = 0 s dargestellt. Die geometrischen Abmaße des Berechnungsmodells lehnen sich
dabei an die Untersuchungen des Dämpfungselement-Prototyps aus [35] an.
R
ra
y
Γ5
ri
Γ3
Γ8
Γ4
Ωs1
Ψf 1
B
Γ2
Γ7
x
Γ6
Ψf 2
L
v T = (0, v, 0)
Γ1
Abbildung 6.22.: Zweidimensionales Berechnungsmodell des Dämpfungselements. Berechnungsgitter mit
geometrischen Abmessungen (links) und Definition von Rand- und Anfangsbedingungen,
sowie der Teilpartitionen einzelner physikalischer Gebiete (rechts).
Die zwei physikalischen Strömungsgebiete werden demnach durch eine einphasige Fluidpartition Ψf 1 für das Dämpfungsfluid und durch eine zweiphasige Fluidpartition Ψf 2 , eine auflaufende Wellenfront bzw. das Druckschlagmodell aus Kapitel 6.3, repräsentiert. Die Strukturpartition Ωs1 stellt dabei eine flexible Hülle dar, die das Dämpfungsfluid zusammenhält.
Die Abmessungen von Ψf 1 sind gemäß [35] mit einem Innenradius ri = 0.02 m und einem
Außenradius von ra = 0.037 m definiert. Das zweite Strömungsgebiet Ψf 2 wird mit einer
Länge L = 0.15 m, einer Breite B = 0.075 m und einem Radius R = 0.04 m festgelegt. Die
Geometrie der elastischen Hülle ergibt sich folglich aus der Definition der beiden Radien ra
und R. Das gesamte Berechnungsgebiet besteht dabei aus einem relativ feinem Gitter (vgl.
150
Abb. 6.22), die Anzahl der KV-Zellen für die einzelnen Berechnungsgebiete kann der Tabelle
6.5 entnommen werden. Die Gittergröße bzw. Anzahl der KV-Zellen der einzelnen Berechnungsgebiete wurde dabei in Anlehnung an die Voruntersuchungen bzw. Validierungen in
Kapitel 4 gewählt.
Tabelle 6.5.: KV-Zellenanzahl des multiregionalen Berechnungsgitters.
Partition
Ψf 1 (Dämpfungsfluid)
Ψf 2 (Wellenmodell)
Ωs1 (flexible Hülle)
KV-Zellen
600
4050
800
Zur Bestimmung der dissipativen Eigenschaften hochviskoser Fluide wird im Berechnungsgebiet Ψf 1 jeweils ein Satz mit drei unterschiedlichen viskosen newtonschen und nichtnewtonschen Flüssigkeiten simuliert. Bei den nichtnewtonschen Flüssigkeiten handelt es sich um
die Cross-Modell-Flüssigkeiten. Der Parametersatz für die Untersuchungen mit der nichtnewtonschen Flüssigkeit entspricht analog dem Parametersatz A aus Kapitel 4.2. In der
Abbildung 6.23 sind die Verläufe der untersuchten Cross-Modell-Flüssigkeiten mit variierenden Nullviskositäten ν0 über die Schergeschwindigkeit γ̇ dargestellt. Die entsprechenden
Materialparameter sind in der Tabelle 6.6 zusammengefasst.
Tabelle 6.6.: Materialparameter der untersuchten nichtnewtonschen Flüssigkeiten.
Partition
Nullviskosität
Grenzviskosität
Konsistenzparameter
Fließindex
Ψf 1
ν0 [m2 /s]
ν∞ [m2 /s]
K [s]
n [-]
Fluid 1
10−2
10−8
0.05
2
Fluid 2
10−4
10−8
0.05
2
Fluid 3
10−6
10−8
0.05
2
−1
10
ν0 = 10−2 m2/s
ν0 = 10−4 m2/s
ν0 = 10−6 m2/s
−2
ν(γ̇) in [m2/s]
10
10−3
−4
10
−5
10
−6
10
−7
10
10−8
10−9 −1
10
10 0
10 1
10 2
10 3
γ̇ in [1/s]
10 4
10 5
10 6
Abbildung 6.23.: Parametersätze strukturviskoser Flüssigkeiten. Die Nullviskosität ν0 variiert zwischen
10−6 m2 /s und 10−2 m2 /s. Die Grenzviskosität wird mit ν∞ = 10−8 m2 /s, der Konsistenzparameter mit K = 0.05 s und der Fließindex mit n = 2 gesetzt. Die Verläufe des
Cross-Modells berechnen sich gemäß Gleichung (2.54).
151
Die Materialparameter der flexiblen Struktur entsprechen analog den in Kapitel 4.4.1 verwendeten Stoffeigenschaften eines Sain-Venant-Kirchhoff-Materialmodells. Die Randbedingungen des FSI-Simulationsmodells (vgl. dazu Abb. 6.22) sind in den Tabellen 6.7 bis 6.9
zusammengefasst.
Tabelle 6.7.: Randbedingungen am Teilgebiet Ψf 1 .
Rand
v in m/s
α
Γ3
α=1
∂α
∂n
Γ4
∂α
∂n
Γ8
∂v
∂n
v̂ = 0
=0
p=0
∂p
∂n
v̂ = 0
v̂ = 0
=0
vm
=0
p in N/m2
v̂ in m/s
v=0
=0
α=1
Γ5
∂v
∂n
=0
p=0
∂p
∂n
v̂ = 0
=0
Tabelle 6.8.: Randbedingungen am Teilgebiet Ψf 2 .
Rand
Γ1
Γ2
Γ3
Γ5
v in m/s
α
α=1
∂α
∂n
=0
vT
v̂ in m/s
v̂ = 0
= [0, 0.5, 0]
v=0
α=0
∂v
∂n
=0
α=0
∂v
∂n
=0
Γ6
∂α
∂n
=0
v=0
Γ7
∂α
∂n
=0
vm
v̂n =
∂ v̂t
∂n
=0
v̂ = 0
∂ v̂t
∂n
v̂ = 0
∂p
∂n
=0
∂p
∂n
=0
p=0
v̂ = 0
v̂n =
p in N/m2
p=0
=0
∂p
∂n
=0
∂p
∂n
=0
Tabelle 6.9.: Randbedingungen am Teilgebiet Ωs1 .
Rand
u in m
Γ3
u=0
Γ5
u=0
Γ7
tΓ , uΓ
Γ8
tΓ , uΓ
Die Definition der Randbedingungen am Strömungsgebiet Ψf 2 ist in gleicher Weise wie im
Abschnitt 6.2.1 definiert. Am Einlassrand Γ1 wird eine konstante Zuflussgeschwindigkeit von
v = 0.5 m/s in y-Richtung vorgegeben. Diese Geschwindigkeit entspricht der mittleren Wellengeschwindigkeit aus den Untersuchungen von [35]. Die rechten und linken Bereichsgrenzen
Γ2 und Γ6 sind mit einer Wandrandbedingung (Normalgeschwindigkeit Null, keine Haftreibung in Tangentialrichtung) versehen. Dadurch, dass die flexible Struktur Ωs1 während des
Wellenaufschlags ihre Form ändert, wird für beide Fluidbereiche (Ψf 1 u. Ψf 2 ) eine ALEFormulierung im ganzen Berechnungsgebiet verwendet. Damit müssen am Berechnungsgitter
ebenfalls Randbedingungen für die Geschwindigkeit der Gitterpunkte v̂ vorgeschrieben werden. Diese sind für die Ränder Γ2 und Γ6 als Gleitrandbedingungen definiert - damit können
sich die Gitterpunkte an diesen Rändern verschieben, während an allen anderen Rändern
die Gitterpunkte durch die Bedingung v̂ = 0 fixiert sind. An den Auslassrändern Γ3 und Γ5
152
beider Strömungsgebiete wird eine Druckauslassrandbedingung mit einem konstanten Umgebungsdruck von p = 0 Pa vorgeschrieben. Für die flexible Struktur wird an diesem Rand
die Verschiebungen auf null gesetzt. An der Interface Γ7 und Γ8 gelten die Kopplungsbedingungen - gemäß Kapitel 5.1 - mit den Gleichungen (5.1) und (5.2). Als implizite Kopplung zwischen den physikalischen Teilgebieten wird der Block-SOR-Kopplungsalgorithmus
aus Abschnitt 5.2.2 verwendet, bei dem der Relaxationsparameter in jedem Iterationsschritt
nach dem Aitken-Verfahren berechnet wird. Der iterative Wechselwirkungsprozess wird beendet, wenn das Abbruchkriterium nach Gleichung (5.9) ε ≤ 10−6 erreicht wird.
Als Anfangsbedingung für Ψf 2 (vgl. Abb. 6.22 links) wird, wie schon im vorherigen Abschnitt, die hellgraue Bereichsfläche als Wellenfront mit einem Phasenindikator α = 1 und
einer Feldgeschwindigkeit von v = 0.5 m/s in y-Richtung initialisiert. Die weiße Bereichsfläche von Ψf 2 wird als Luft mit α = 0 vorgegeben. Für die gesamte Bereichsfläche von Ψf 1 ,
welche das Dämpfungsfluid repräsentiert, wird der Phasenindikator α = 1 initialisiert. Damit
stellt Ψf 1 im Simulationsmodell ein einphasiges Strömungsgebiet dar. Die einphasige Strömung wird dabei unter Vernachlässigung des zweiten Terms in Gleichung (3.19) mit dem in
Kapitel 3.1.5 beschriebenen Fluidlöser berechnet. Dies gilt nur für den Fall einer einphasigen
newtonschen Flüssigkeit. Im Falle einer einphasigen nichtnewtonschen Flüssigkeit muss der
zweite Term, aufgrund der lokal variierenden Viskosität infolge der Scherratenabhängigkeit,
mit berücksichtigt werden.
6.3.2. Ergebnisse und Diskussion
In den Abbildungen 6.24 bis 6.29 sind die Ergebnisse der zeitlichen Druckverläufe aus einer numerischen CFD-Simulation ohne Dämpfungselement8 im Vergleich zu den Ergebnissen
aus einer FSI-Simulationsreihe mit einem Dämpfungselement9 gegenübergestellt. Die Auswertungspunkte befinden sich, wie im Abschnitt 6.3, im Staupunkt bei 0◦ und entlang der
zylindrischen Kontur (vgl. Abb. 6.4) bei 15◦ und 30◦ . Die Auswertung an den Punkten erfolgt
dabei an der äußeren elastischen Hülle (Randfläche Γ7 vgl. Abb. 6.22) und der zylindrischen
Turmstruktur (Randfläche Γ8 ). Bei der Betrachtung der in Abbildung 6.24 dargestellten
zeitlichen Entwicklung der Druckverläufe an der äußeren elastischen Wand für newtonsche
(mit der Viskosität ν = 10−6 m2 /s) und scherentzähende nichtnewtonsche Dämpfungsflüssigkeiten (mit der Nullviskosität ν0 = 10−6 m2 /s) ist eine deutliche Minderung des maximalen
Druckpeaks gegenüber dem starren Zylinder ersichtlich. Dieser Sachverhalt äußert sich insbesondere durch eine stärkere Verformung der elastischen Struktur. In Abbildung 6.31 ist die
zeitliche Entwicklung der vertikalen Verschiebungen der flexiblen Struktur für verschiedene
Dämpfungselemente im Staupunkt aufgetragen. Diese zeigen, je stärker sich die Struktur
8
9
Berechnungsergebnisse an der starren Turmstruktur.
gefüllt mit unterschiedlich hochviskosen newtonschen und nichtnewtonschen Dämpfungsflüssigkeiten.
153
im Moment des Wellenaufschlags verformt, desto geringer fallen die Druckspitzen-Werte an
der zylindrischen Kontur aus. Das ist vor allem beim Vergleich der Druckverläufe in den
Bilddiagrammen 6.24 und 6.26 mit dem Bilddiagramm 6.28 zu sehen.
Ein wesentlicher Unterschied zwischen den Dämpfungsflüssigkeiten mit den niedrigeren Viskositäten (ν = 10−6 m2 /s und ν = 10−4 m2 /s) im Vergleich zu den Flüssigkeiten mit der höheren Viskosität (ν = 10−2 m2 /s), zeigt sich in den stärkeren Oszillationen der flexiblen Struktur
und den oszillierenden Druckverläufe (vgl. Abb. 6.25(a) und 6.27(a) mit Abb. 6.29(a)). Diese Oszillationen entstehen infolge der Rückstellkräfte der elastischen Struktur, die im Fall
der niedrigeren Viskositäten die Zähigkeitskräfte der Dämpfungsflüssigkeit überwiegen. Die
Verläufe der newtonschen und der scherentzähenden nichtnewtonschen Flüssigkeit mit den
Viskositäten von ν = 10−4 m2 /s bis ν = 10−4 m2 /s ähneln sich sowohl in ihrer Form als auch
in ihren Werten. Das wurde in den experimentellen und numerischen Voruntersuchungen mit
dem Fluidoszillator (s. Kap. 4.2.2) bestätigt. Die Übertragung des Wellenaufschlags von der
äußeren Hülle über das Dämpfungsfluid bis hin zur inneren Turmstruktur zeigt wesentlich
niedrigere Druckamplitudenwerte (s. Abb. 6.25, 6.27 und 6.29). Bei der Betrachtung der
Abbildung 6.29 wird ersichtlich, dass die newtonsche Dämpfungsflüssigkeit mit der Viskosität ν = 10−2 m2 /s im Vergleich zu der nichtnewtonschen Flüssigkeit mit der Nullviskosität
ν0 = 10−2 m2 /s einen höheren maximalen Druckwert aufweist. Maßgeblich hierfür ist die
innere Dämpfungsflüssigkeit, die - wie Abbildung 6.29(a) zeigt - im scherentzähenden nichtnewtonschen Fall eine deutliche dämpfende Wirkung gegenüber dem newtonschen Fluid hat.
Diese ergibt sich aufgrund der hohen Scherraten, die zum Zeitpunkt des Wellenaufschlags eine
Scherentzähung der nichtnewtonschen Flüssigkeit bewirkt (vgl. Abb. 6.29(a)). Die dämpfende Wirkung resultiert demnach aus der Kombination von Scherentzähung und hoher Nullviskosität. Das ist insbesondere bei der Flüssigkeit mit der Nullviskosität von ν = 10−2 m2 /s
erkennbar. Zum einen werden dadurch hohe Druckspitzen infolge der Scherentzähung reduziert und zum anderen werden Oszillationen aufgrund der höheren Nullviskosität wesentlich
vermindert. Um die Dämpfungseigenschaften von newtonschen und nichtnewtonschen Dämpfungsflüssigkeiten zu bewerten, werden zwei Gleichungen gebildet. Diese Gleichungen stellen
die Verhältnisse der maximalen Druckwerte an den Auswertungsstellen aus den numerischen
Simulationen mit und ohne Dämpfungselement gegenüber. Im ersten Druckverhältnis werden
die aus der CFD-Simulation ohne Dämpfungselement resultierenden maximalen Druckwerte max(ps ) und die maximalen Druckwerte max(pa ) an der äußeren elastischen Hülle des
Dämpfungselements aufeinander bezogen:
Πa =
max(ps )
.
max(pa )
(6.24)
Analog dazu gibt die zweite Gleichung das Druckverhältnis zwischen den an den Auswertungspunkten erfassten maximalen Druckwerten max(ps ) und den maximalen Druckwerten
154
max(pi ) im Inneren des Dämpfungselements an der Turmstruktur wieder:
Πi =
max(ps )
.
max(pi )
(6.25)
Anhand dieser zwei Verhältnisse kann eine Aussage über die druckdämpfende Wirkung unterschiedlicher Dämpfungselemente getroffen werden. Hier gilt: Je größer das Druckverhältnis
ist, desto stärker ist die dämpfende Wirkung des inneren Fluids.
Die Druckverhältnisse für unterschiedliche Dämpfungsflüssigkeiten sind in der Tabelle 6.10
dargestellt10 . Die Tabelle veranschaulicht anhand der steigenden Druckverhältniswerte an
den Auswertungsstellen die zunehmende Dämpfung der Druckkräfte mit den sinkenden Viskositäten der untersuchten Flüssigkeiten. Aus der Tabelle gehen höhere Dämpfungswerte der
nichtnewtonschen hochviskosen Flüssigkeiten im Vergleich zu den newtonschen hochviskosen
Flüssigkeiten hervor. Was die niedrigviskosen Flüssigkeiten angeht, sind ihre Dämpfungswerte mit den Dämpfungswerten der hochviskosen nichtnewtonschen Flüssigkeit vergleichbar.
Außerdem ist hier ein weiterer Dämpfungseffekt zu beobachten, der sich in der Verringerung
der Druckoszillationen äußert. Diese ist wohl auf die hohe Nullviskosität von ν0 = 10−2 m2 /s
zurückzuführen.
Tabelle 6.10.: Bewertung von Dämpfungseigenschaften viskoser Flüssigkeiten anhand von Druckverhältnisse aus Gl. (6.24) bis (6.25).
Auswertungspunkt bei 0◦
Πa
1.816
1.625
1.196
Πi
3.178
2.407
1.477
Πa
1.797
1.585
1.177
Πi
3.165
2.387
1.461
Πa
1.618
1.511
1.141
Πi
2.023
1.585
1.106
Πa
1.711
1.547
1.216
Πi
3.068
2.323
1.460
Druckverhältnis
Viskosität ν = 10−6 m2 /s
Viskosität ν0 = 10−2 m2 /s
In der Abbildung 6.30 sind die Dissipationsleistungen Pirr (vgl. Gleichung 4.8) der Dämpfungsflüssigkeit während des Wellenaufschlagsprozesses dargestellt. Den zeitlichen Verläufen
10
In der Tabelle sind aufgrund des geringfügigen Unterschieds zu den newtonschen Flüssigkeiten keine Werte
für scherentzähende Flüssigkeiten mit der Nullviskosität von ν0 = 10−6 m2 /s und ν0 = 10−4 m2 /s verzeichnet.
155
ist auch oszillierendes Verhalten von Pirr zu entnehmen, bei dem sich die maximalen Werte
im Moment des Wellenaufschlags befinden. Der schwingende Dissipationsverlauf nimmt in
Analogie zum Druckverlauf mit der Zeit ab, wenn die Oszillationen der elastischen Hülle
abklingen. Für die nichtnewtonschen Flüssigkeiten befindet sich Pirr auf einem niedrigeren
Wertigkeitsniveau im Vergleich zu den newtonschen Flüssigkeiten. Der Grund hierfür liegt,
wie bereits im Kapitel zur Betrachtung der Dissipationsleistung 4.2.6 beschrieben, in der
lokalen Änderung der Viskosität begründet, die aus der Scherentzähung der Flüssigkeit resultieren.
Im Weiteren zeigen die Bilder 6.32 bis 6.35 einige interessante Simulationsergebnisse aus dem
Wellen-Struktur-Interaktionsprozess. Diese Abbildungen stellen die zeitliche Entwicklung der
Strömungsfelder für die Wasserfront im Bereich von 0.5 ≤ α ≤ 1 dar. Dabei werden die Berechnungsergebnisse der Dämpfungsflüssigkeiten unterschiedlicher newtonscher und nichtnewtonscher Stoffeigenschaften gegenübergestellt und miteinander verglichen. Besonders interessant und erkenntnisreich ist der Vergleich zwischen den Darstellungen 6.32 und 6.33.
Darin wird das instationäre Druckfeld der auflaufenden Wasserfront und der Dämpfungsflüssigkeit zu unterschiedlichen Zeitpunkten visualisiert. Hierbei sind die bereits diskutierten
Druckwerte um den Staupunkt der flexiblen äußeren Hülle und der starren Turmstruktur
veranschaulicht.
156
10
ν = 10−6m2/s
ν0 = 10−6m2/s
starrer Zylinder
8
p/ρ v 2
6
4
2
0
0
1
2
3
t v/ri
(a) Zeitliche Entwicklung des Druckverlaufs an der flexiblen Struktur im Staupunkt bei P0 .
8
ν = 10−6m2/s
ν0 = 10−6m2/s
starrer Zylinder
p/ρ v 2
6
4
2
0
1
2
3
t v/ri
(b) Zeitliche Entwicklung des Druckverlaufs an der flexiblen Struktur am Auswertungspunkt bei P15 .
4
ν = 10−6m2/s
ν0 = 10−6m2/s
starrer Zylinder
p/ρ v 2
3
2
1
0
0
2
1
3
t v/ri
(c) Zeitliche Entwicklung des Druckverlaufs an der flexiblen Struktur am Auswertungspunkt bei P30 .
Abbildung 6.24.: Vergleich der Druckverläufe für hochviskose newtonsche (ν = 10−6 m2 /s) und nichtnewtonsche (ν0 = 10−6 m2 /s) Dämpfungsflüssigkeiten.
157
4
ν = 10−6m2/s
ν0 = 10−6m2/s
3
p/ρ v 2
2
1
0
-1
-2
-3
0
1
2
3
4
t v/ri
5
6
7
8
(a) Zeitliche Entwicklung des Druckverlaufs am zylindrischen Turmpfeiler im Staupunkt bei P0 .
3
ν = 10−6m2/s
ν0 = 10−6m2/s
2
p/ρ v 2
1
0
-1
-2
-3
0
1
2
3
4
t v/ri
5
6
7
8
(b) Zeitliche Entwicklung des Druckverlaufs am zylindrischen Turmpfeiler am Auswertungspunkt bei P15 .
3
ν = 10−6m2/s
ν0 = 10−6m2/s
2
p/ρ v 2
1
0
-1
-2
-3
0
1
2
3
4
t v/ri
5
6
7
8
(c) Zeitliche Entwicklung des Druckverlaufs am zylindrischen Turmpfeiler am Auswertungspunkt bei P30 .
158
10
ν = 10−4m2/s
ν0 = 10−4m2/s
starrer Zylinder
8
p/ρ v 2
6
4
2
0
0
1
2
3
t v/ri
8
ν = 10−4m2/s
ν0 = 10−4m2/s
starrer Zylinder
p/ρ v 2
6
4
2
0
1
2
3
t v/ri
4
ν = 10−4m2/s
ν0 = 10−4m2/s
starrer Zylinder
p/ρ v 2
3
2
1
0
0
2
1
3
t v/ri
159
3
ν = 10−4m2/s
ν0 = 10−4m2/s
2
p/ρ v 2
1
0
-1
-2
-3
0
1
2
3
4
t v/ri
5
6
7
8
3
ν = 10−4m2/s
ν0 = 10−4m2/s
2
p/ρ v 2
1
0
-1
-2
-3
0
1
2
3
4
t v/ri
5
6
7
8
3
ν = 10−4m2/s
ν0 = 10−4m2/s
2
p/ρ v 2
1
0
-1
-2
-3
0
1
2
3
4
t v/ri
5
6
7
8
160
10
ν = 10−2m2/s
ν0 = 10−2m2/s
starrer Zylinder
8
p/ρ v 2
6
4
2
0
0
1
2
3
t v/ri
8
ν = 10−2m2/s
ν0 = 10−2m2/s
starrer Zylinder
p/ρ v 2
6
4
2
0
1
2
3
t v/ri
4
ν = 10−2m2/s
ν0 = 10−2m2/s
starrer Zylinder
p/ρ v 2
3
2
1
0
0
2
1
3
t v/ri
161
5
ν = 10−2m2/s
ν0 = 10−2m2/s
4
p/ρ v 2
3
2
1
0
-1
-2
0
1
2
3
4
t v/ri
5
6
7
8
5
ν = 10−2m2/s
ν0 = 10−2m2/s
4
p/ρ v 2
3
2
1
0
-1
-2
0
1
2
3
4
t v/ri
5
6
7
8
4
ν = 10−2m2/s
ν0 = 10−2m2/s
p/ρ v 2
3
2
1
0
-1
0
1
2
3
4
t v/ri
5
6
7
8
162
Pirr in [W/m]
10 -2
ν = 10−6m2/s
ν0 = 10−6m2/s
10 -3
10 -4
10 -5
10 -6
10 -7
0
1
2
4
3
5
6
7
t v/ri
(a) Zeitliche Entwicklung der Dissipationsleistung für Viskositäten ν = 10−6 m2 /s
(newtonsch) und ν0 = 10−6 m2 /s (nichtnewtonsch).
Pirr in [W/m]
10 0
ν = 10−4m2/s
ν0 = 10−4m2/s
10 -1
10 -2
10 -3
10 -4
10 -5
0
1
2
4
3
5
6
7
t v/ri
(b) Zeitliche Entwicklung der Dissipationsleistung für Viskositäten ν = 10−4 m2 /s
10 1
Pirr in [W/m]
10
ν = 10−2m2/s
ν0 = 10−2m2/s
0
10 -1
10 -2
10 -3
10 -4
10 -5
10 -6
0
1
2
4
3
5
6
7
t v/ri
(c) Zeitliche Entwicklung der Dissipationsleistung für Viskositäten ν = 10−2 m2 /s
Abbildung 6.30.: Vergleich der Dissipationsleistung für unterschiedlich viskose newtonsche (ν
10−2 m2 /s) und scherentzähende nichtnewtonsche (ν0 = 10−2 m2 /s) Flüssigkeiten.
=
163
0.3
ν = 10−2m2/s
ν = 10−4m2/s
ν = 10−6m2/s
uy /ri
0.2
0.1
0
0
2
4
6
8
10
t v/ri
(a) Newtonsches Dämpfungsflüssigkeit
0.3
ν0 = 10−2m2/s
ν0 = 10−4m2/s
ν0 = 10−6m2/s
uy /ri
0.2
0.1
0
0
2
4
6
8
10
t v/ri
(b) Nichtnewtonsche Dämpfungsflüssigkeit (Cross-Modell)
0.3
ν0 = 10−2m2/s
ν0 = 10−4m2/s
ν0 = 10−6m2/s
ν = 10−2m2/s
ν = 10−2m2/s
ν = 10−4m2/s
uy /ri
0.2
0.1
0
0
2
4
6
8
10
t v/ri
(c) Vergleich newtonscher und nichtnewtonscher Dämpfungsflüssigkeiten.
Abbildung 6.31.: Verschiebungen der flexiblen Hülle in y-Richtung am Staupunkt für newtonsche und
nichtnewtonsche Dämpfungsfluide.
164
a)
a)
b)
b)
c)
c)
d)
d)
e)
e)
nichtnewtonsch ν0 = 10−2 m2 /s
newtonsch ν = 10−2 m2 /s
0
2.5
5
p/ρ v 2
Abbildung 6.32.: Wellenfront trifft Dämpfungselement. Darstellung der zeitliche Entwicklung des Druckfelds für die Wasserfront im Bereich von 0.5 ≤ α ≤ 1 und für zwei Dämpfungsflüssigkeit.
Darstellung links zeigt die Simulation mit newtonscher und rechts mit nichtnewtonscher
Flüssigkeit. a) t = 0.01s, b) t = 0.015s, c) t = 0.02s, d) t = 0.035s, e) t = 0.05s.
165
a)
a)
b)
b)
c)
c)
d)
d)
e)
e)
newtonsch ν = 10−4 m2 /s
0
2.5
5
p/ρ v 2
Abbildung 6.33.: Wellenfront trifft Dämpfungselement. Darstellung der zeitliche Entwicklung des Druckfelds für die Wasserfront im Bereich von 0.5 ≤ α ≤ 1 und für zwei Dämpfungsflüssigkeit.
Darstellung links zeigt die Simulation mit newtonscher und rechts mit nichtnewtonscher
Flüssigkeit. a) t = 0.01s, b) t = 0.015s, c) t = 0.02s, d) t = 0.035s, e) t = 0.05s.
166
a)
a)
b)
b)
c)
c)
d)
d)
e)
e)
1e−4
6e−3
1e−2
ν0 in [m2 /s]
1e−6
6e−5
1e−4
ν0 in [m2 /s]
Abbildung 6.34.: Visualisierung der Viskositätsverteilung in der zeitliche Entwicklung in nichtnewtonschen
Dämpfungselementen. Darstellung links zeigt eine Simulation der Nullviskosität von ν0 =
10−2 m2 /s und rechts eine mit ν0 = 10−4 m2 /s. a) t = 0.01s, b) t = 0.015s, c) t = 0.02s,
d) t = 0.035s, e) t = 0.05s.
167
a)
a)
b)
b)
c)
c)
d)
d)
e)
e)
0
0.5
1
v in [m/s]
Abbildung 6.35.: Visualisierung der zeitliche Entwicklung des Geschwindigkeitsfelds für die Wasserfront
im Bereich von 0.5 ≤ α ≤ 1 und der nichtnewtonschen Dämpfungsflüssigkeiten mit
Nullviskositäten ν0 = 10−2 m2 /s und ν0 = 10−4 m2 /s. a) t = 0.01s bis e) t = 0.05s.
168
Die vorliegende Arbeit befasst sich mit der Entwicklung eines multiregionalen Wellen-StrukturInteraktions-Algorithmus zur Untersuchung von Dämpfungseigenschaften unterschiedlich hochviskoser newtonscher und nichtnewtonscher Flüssigkeiten. Zu diesem Zweck wurden experimentelle und numerische Untersuchungen an einem Prototyp eines Offshore-Dämpfungselements durchgeführt. Das Dämpfungselement ist eine an die monopilen Offshorebauwerke
integrierte Komponente. Diese besteht im Wesentlichen aus einer dünnwandigen flexiblen
Hülle, die um eine Offshorestruktur in der Höhe des Wellengangs befestigt ist (vgl. Abb. 1.2).
Die Kammer zwischen der flexiblen und starren Wand ist mit einer viskosen Dämpfungsflüssigkeit gefüllt, mit der Funktion, im Inneren den kontinuierlich einwirkenden Wellenlasten
einen Teil der auftreffenden Wellenenergie zu dissipieren.
Zu Beginn der Arbeit wurde eine Einführung in die kontinuumsmechanischen Grundlagen
gegeben. Nachfolgend wurden die numerischen Berechnungsmethoden auf Basis der FinitenVolumen-Methode (FVM) erläutert. Diese stellen mit den numerischen Lösungsverfahren
für die zweiphasige Fluidströmung und die Festkörperstruktur die zwei Teilpartitionen zur
Berechnung des Fluid-Struktur-Interaktions (FSI) Problems dar. Die numerische Implementierung des multiregionalen FSI-Kopplungsalgorithmus erfolgt dabei über die Schnittstelle
der quelloffenen Berechnungssoftware OpenFOAM [104].
Daran anknüpfend erfolgte, neben der numerischen Validierung der einzelnen FSI-Teilpartitionen, eine umfangreiche Voruntersuchung der dämpfenden Wirkung von unterschiedlich
newtonschen und nichtnewtonschen scherent- und verzähenden Flüssigkeiten in einem Fluidoszillator, wobei der Fluidoszillator in seinem wesentlichen Aufbau und seiner Funktionsweise einen Prototyp des Offshore-Dämpfungselements unter Wellenbelastung darstellt.
Die Analyse der Dämpfungseigenschaften hochviskoser Flüssigkeiten erfolgte dabei anhand
von zwei Untersuchungsgrößen:
(1) Die Gesamtkraft an der inneren und äußeren Wand des Fluidoszillators, die infolge
der oszillierenden Bewegung der Dämpfungsflüssigkeit hervorgerufen wird. Diese setzt
sich dabei aus einem Druck- und einem viskosen Reibungskraftanteil zusammen.
und
169
(2) Die Dissipationsleistung, die als das Volumenintegral über die Dissipationsfunktion definiert ist, wird zur Bestimmung der gesamten Verlustleistung im Teilgebiet der Dämpfungsflüssigkeit verwendet. Dadurch lässt sich die mechanische Energie, die infolge der
oszillierenden Bewegung der äußeren Wand an die Flüssigkeit übertragen wird, bilanzieren.
Für die experimentelle Untersuchung verschiedener Flüssigkeiten wurde eine Messmethode entwickelt, die mittels Piezodrucksensorik eine genaue und zeitlich hoch aufgelöste Erfassung hydrodynamischer Kräfte ermöglicht. Die Piezosensoren wurden zur Messung von
Druckkräften im Fluidoszillator eingesetzt und lieferten im Vergleich zu den Ergebnissen
des numerischen Fluidoszillator-Modells eine gute Näherung. Die leichten Abweichungen der
experimentell erfassten gegenüber den numerisch berechneten Verläufen lassen auf einen systematischen Fehler des Drucksensorkonzepts schließen. Dieser kann durch eine Verbesserung
der Messmethode sowie einen verbesserten experimentellen Aufbau vermieden werden.
Folgend werden nun die wichtigsten Ergebnisse aus der Voruntersuchung im Fluidoszillator
zusammengefasst.
(1) Einfluss der Viskositätsänderung auf Druck- und viskose Reibungskräfte.
Eine Erhöhung der Viskosität bewirkt eine größere Gesamtkraft an allen Randflächen des
Fluidoszillators, sowohl für die newtonschen, als auch für nichtnewtonschen scherent- und
verzähenden Flüssigkeiten. Der Anstieg der viskosen Reibungskräfte an der äußeren Wand
des Fluidoszillators ist im strukturviskosen Fall signifikant größer gegenüber den scherverzähenden und newtonschen Flüssigkeiten. Dieser Sachverhalt ist auf den lokal höheren Geschwindigkeitsgradienten im Strömungsfeld zurückzuführen.
(2) Der Zusammenhang zwischen Dissipationsleistung und unterschiedlichen Stoffeigenschaften newtonscher und nichtnewtonscher Flüssigkeiten.
Mit steigender Viskosität erhöht sich die Dissipationsleistung der Dämpfungsflüssigkeit im
Fluidoszillator. Die Dissipationsleistung steigt, sowohl für den newtonschen als auch für den
nichtnewtonschen Fall, linear mit zäher werdender Viskosität an.
Anknüpfend an die Untersuchungen der Flüssigkeiten im Fluidoszillator wurden experimentelle und numerische Simulation von freien Oberflächenwellen mittels Gaußscher Wellenpaketfunktion zur Validierung des zweiphasigen Strömungslösers umgesetzt. Damit lassen
sich brechende Wellen zur Analyse von Stoßbelastungen auf Festkörperstrukturen erzeugen.
Hierbei erweist sich eine Wellenbrechung, die durch eine Gegenströmung ausgelöst wird, im
Vergleich zu den konventionellen Methoden (z.B. Brechung aufgrund von Überlagerung mehrerer Wellengruppen) als vorteilhaft. Bei dieser Wellengenerierung mittels einer Gaußschen
Funktion wird eine Gegenströmung durch Zurückführen des Generatorpaddels hervorgerufen. Eine anschließende Vorwärtsbewegung des Generatorpaddels erzeugt eine Welle, die eine
170
steile Oberflächenerhebung mit den charakteristischen Merkmalen einer brechenden Welle
aufweist. Das daraus resultierende Strömungsfeld wird zur Simulation eines dreidimensionalen Wellenaufschlagmodells auf eine zylindrische Struktur übertragen. Die Ergebnisse aus der
dreidimensionalen Simulation des Wellenaufschlags korrelieren im Vergleich zu den experimentellen Ergebnissen und zeigen ein realistisches Verhalten im Hinblick auf die Auslenkung
der freien Oberfläche und der zeitlichen Entwicklung der Druckverläufe an der zylindrischen
Struktur.
Im Anschluss an die Validierungen des zweiphasigen Fluidlösers erfolgte eine Validierung des
Strukturlösers. Der Strukturlöser, basierend auf einer Update Lagrangeschen Berechnungsprozedur, konnte experimentell am Beispiel eines frei oszillierenden Balkens validiert sowie
als Teilpartition des multiregionalen FSI-Lösers für weitere Untersuchungen dieser Arbeit
verwendet werden.
Die Validierung des multiregionalen FSI-Lösers erfolgte im Verlauf der Arbeit anhand experimenteller und numerischer Referenzdaten, aus einem in der FSI-Literatur bekannten
Berechnungsbeispiel eines Dammbruchs, bei dem ein fallender Wasserblock auf eine flexible
Struktur auftrifft. Die Ergebnisse der Validierung zeigen eine gute Übereinstimmung mit den
referenziell erfassten experimentellen und numerisch berechneten Werten im Hinblick auf die
freie Oberflächenauslenkung des fallenden Wasserblocks und die horizontale Verschiebung der
flexiblen Struktur.
Basierend auf den obigen Voruntersuchungen wurde ein multiregionales FSI-Modell des
Dämpfungselements generiert. Damit konnte eine umfangreiche Berechnungsreihe zur Analyse dämpfender Wirkung hochviskoser newtonscher und nichtnewtonscher Flüssigkeiten
durchgeführt werden.
Das FSI-Simulationsmodell besteht dabei aus insgesamt drei Teilpartitionen, die implizit
über einen Block-SOR-Kopplungsalgorithmus miteinander in Wechselwirkung stehen, wobei
jeder Iterationsschritt mit einem dynamischen Relaxationsparameter nach Aitken berechnet wird. Für die erste Teilpartition wurde zunächst, als äußere mechanische Belastung auf
das Dämpfungselement, ein hydrodynamisches Modell einer brechenden Welle generiert. Die
zweite und dritte Teilpartition stellt dabei das Offshore-Dämpfungselement dar. Diese beiden Teilpartitionen bilden eine äußere flexible Struktur und eine viskose Flüssigkeit, welche
sich in der Kammer zwischen der flexiblen Struktur und dem Turmpfeiler befindet und die
Funktion übernimmt einen Teil des Wellenaufschlags zu dämpfen. Das erzeugte numerische
Simulationsmodell gibt im Weiteren Aufschlüsse über die dämpfende Wirkung hochviskoser
newtonscher und nichtnewtonscher Flüssigkeiten in einem multiregionalen Wechselwirkungsprozess.
Im Folgenden werden die wichtigsten Erkenntnisse aus dieser Arbeit zusammengefasst:
171
Die Ergebnisse der zeitlichen Druckverläufe aus der FSI-Berechnungsreihe mit einem Dämpfungselement (gefüllt mit unterschiedlich hochviskosen newtonschen und nichtnewtonschen
Flüssigkeiten) zeigen im Vergleich zu den Ergebnissen ohne Dämpfungselement (starren
Turmstruktur) eine deutliche Minderung des maximalen Druckspitzen. Die Druckspitzen
sind an der äußeren elastischen Hülle zwei Mal und im Inneren des Dämpfungselements drei
Mal geringer im Vergleich zu einem Wellenaufschlag auf eine starre zylindrische Turmstruktur. Ein wesentlicher Unterschied zwischen den Dämpfungsflüssigkeiten mit den niedrigeren
Viskositäten (ν = 10−6 m2 /s und ν = 10−4 m2 /s) und den Flüssigkeiten mit den höheren
Viskositäten (ν = 10−2 m2 /s) zeigt sich in den stärkeren Oszillationen der flexiblen Struktur
und den oszillierenden Druckverläufen. Diese Oszillationen entstehen infolge der Rückstellkräfte der elastischen Struktur, die im Fall der niedrigeren Viskosität die Zähigkeitskräfte
der Dämpfungsflüssigkeit überwiegen. Im Vergleich zu den newtonschen haben die scherentzähenden nichtnewtonschen Flüssigkeiten eine deutlich höhere dämpfende Wirkung. Dies
tritt aufgrund der hohen Scherraten auf, die zum Zeitpunkt des Wellenaufschlags eine Scherentzähung der nichtnewtonschen Flüssigkeit bewirken. Die dämpfende Wirkung resultiert
demnach aus der Kombination von Scherentzähung und hoher Nullviskosität. Zum einen
werden dadurch hohe Druckspitzen infolge der Scherentzähung reduziert und zum anderen
werden Oszillationen aufgrund der höheren Nullviskosität wesentlich vermindert.
Für die nichtnewtonschen Flüssigkeiten befindet sich die Dissipationsleistung auf einem niedrigeren Wertigkeitsniveau, im Vergleich zu den newtonschen Flüssigkeiten. Der Grund hierfür liegt in der lokalen Änderung der Viskosität begründet, die aus der Scherentzähung der
Flüssigkeit resultiert. Demnach haben scherentzähende Flüssigkeiten die Eigenschaft, starke,
impulsartige Druckspitzen, die infolge eines Welleneinschlags entstehen, zu verringern und
Fluidoszillationen aufgrund hoher Zähigkeitskräfte zu dämpfen.
Basierend auf den Ergebnissen dieser Arbeit und den Erkenntnissen aus der Diskussion
der selbigen könnten einige künftige Forschungsrichtungen auf den Gebieten der multiregionalen Fluid-Struktur-Wechselwirkung und der Untersuchung von Dämpfungseigenschaften
hochviskoser Flüssigkeiten vorgenommen werden. Ähnliche numerische und experimentelle
Untersuchungen am Dämpfungselement sind notwendig, um einen tieferen Einblick in die Zusammenhänge von unterschiedlichen Fluiden, im Hinblick auf die energetische Effizienz der
Dissipationsleistung, zu erhalten. Daher ist es zweckmäßig, nichtnewtonsche Fluide, alternativ scherentzähende oder verzähende viskoelastische Flüssigkeiten einzusetzen, um deren
Einfluss auf Stoßbelastungen und das Schwingungsverhalten von verschiedenen elastischen
Strukturen zu analysieren.
Die Auswirkung von mehreren Wellen, die mit dem Dämpfungselement nacheinander interagieren und die daraus resultierenden Oszillationsbewegungen der elastischen Struktur könnten des Weiteren in einem dreidimensionalen FSI-Modell untersucht werden. Darüberhinaus
172
können numerische Methoden wie z.B. die Immersed Boundary [78] zur Modellierung multiregionaler Fluid-Struktur-Wechselwirkung eines Dämpfungselements eingesetzt werden, um
im Hinblick auf die Effizienz bzw. den Rechenaufwand sowie die Genauigkeit der Ergebnisse
zu vergleichen.
173
[1] ABOURI, D., PARRY, A., HAMDOUI, A., LONGATTE, E. A stable fluid-structure
interaction algorithm: application to industrial problems. Journal of Pressure Vessel
Technology, 128(4):516–524, 2006.
[2] ALPHA VENTUS. http://www.alpha-ventus.de/. 27.11.2013.
[3] ANDERSON, J.D. Computational Fluid Dynamics: The Basics with Applications.
McGraw-Hill, Inc., New York, 1st edition, 1995.
[4] ARMAND, J.L., COINTE, R. Hydrodynamic impact analysis of a cylinder. Proceedings of the Fifth International Symposium on Offshore Mechanics and Arctic Engineering, 1986.
[5] BARNES, H. A., HUTTON J.F., WALTERS, K. An Introduction to Rheology. Elsevier,
Amsterdam, rheology series, 3rd edition, 1989.
[6] BAUDILLE, R., BIANCOLINI, M.E. Modelling fsi problems in fluent: A general
purpose approach by means of udf programming. FISITA 2006 World Automotive
Congress, 2006.
[7] BERGMANN, J. Gaußsche Wellenpakete- Ein Verfahren zur Analyse des Seegangsverhaltens meerestechnischer Konstruktionen. Doktorarbeit, TU Berlin, 1985.
[8] BLOM, F.J. Considerations on the spring analogy. International Journal for Numerical
Methods in Fluids, 32(6):647–668, 2000.
[9] BRACKBILL, J.U., KOTHE, D.B., ZEMACH, C1. A continuum method for modeling
surface tension. Journal of computational physics, 100(2):335–354, 1992.
[10] BRINKMANN, B. Seehäfen: Planung und Entwurf. Springer, Berlin, 2005.
[11] BUNGARTZ, H.J., SCHULTE, S. Coupled problems in microsystem technology. Vieweg+Teubner, Stuttgart, 1995.
[12] BÖHME, G. Strömungsmechanik nichtnewtonscher Fluide. Teubner, Stuttgart, 2nd
edition, 2000.
[13] CAUSIN, P., GERBEAU, J-F., NOBILE, F. Added-mass effect in the design of parti-
174
tioned algorithms for fluid–structure problems. Computer methods in applied mechanics and engineering, 194(42):4506–4527, 2005.
[14] CERVERA, M., CODINA, R., GALINDO, M. On the computational efficiency and
implementation of block-iterative algorithms for nonlinear coupled problems. Engineering computations, 13(6):4–30, 1996.
[15] CORTE, C. Numerische Simulation von Seegangs- und Windbelastung auf OffshoreWindkraftanlagen. Doktorarbeit, TU Carolo-Wilhelmina zu Braunschweig, 2006.
[16] CORTE, C., GRILLI, S. T. Numerical modeling of extreme wave slamming on cylindrical offshore support structures. Proceedings of the Sixteenth International Offshore
and Polar Engineering Conference, pages 394–401, 2006.
[17] COULSON, C.A. Waves, a mathematical account of the common types of wave motion.
Oliver and Boyd, Intersc. Publ., New York, 1949.
[18] COWAN, G. Statistical Data Analysis. Oxford University Press on Demand, 1998.
[19] DEANN, R. G., DALRYMPLE, R. A. Water wave mechanics for engineers and scientists. World Scientific Publishing, New Jersey, 1991.
[20] DEGAND, C., FARHAT, C. A three-dimensional torsional spring analogy method for
unstructured dynamic meshes. Computers and structures, 80(3):305–316, 2002.
[21] DEMIRDŽIĆ, I., MUZAFERIJA, S. Finite volume method for stress analysis in
complex domains.
International Journal for Numerical Methods in Engineering,
37(21):3751–3766, 1994.
[22] DEMIRDŽIĆ, I., MUZAFERIJA, S. Numerical method for coupled fluid flow, heat
transfer and stress analysis using unstructured moving meshes with cells of arbitrary
topology. Computer methods in applied mechanics and engineering, 125(1):235–255,
1995.
[23] DEMIRDŽIĆ, I., PERIĆ, M. Space conservation law in finite volume calculations of
fluid flow. International journal for numerical methods in fluids, 8(9):1037–1050, 1988.
[24] DEPARIS, S., DISCACCIATI, M., QUARTERONI, A. A domain decomposition framework for fluid-structure interaction problems. Springer, Berlin, 2006.
[25] DEPARIS, S., FERNANDEZ, M. A., FORMAGGIA, L. Acceleration of a fixed point
algorithm for fluid-structure interaction using transpiration conditions. ESAIM: Mathematical Modelling and Numerical Analysis, 37(4):601–616, 2003.
[26] DETTMER, W., PERIĆ, D. A computational framework for fluid–structure interaction: finite element formulation and applications. Computer Methods in Applied
175
Mechanics and Engineering, 195(41):5754–5779, 2006.
[27] DINGEMANS, M. W. Water wave propagation over uneven bottoms: Linear wave
propagation. World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd., London, 1997.
[28] DONEA, J., HUERTA, A., PONTHOT, J.-PH., RODRIGUEZ-FERRAN, A. Arbitrary lagrangian-eulerian methods. Encyclopedia of Computational Mechanics - Volume
1: Fundamentals, pages 413–438, 2004.
[29] FABULA, A. G. Ellipse-fitting approximation of two-dimensional, normal symmetric
impact of rigid bodies on water. Proceedings of the 5th midwestern conference on fluid
mechanics, pages 299–315, 1957.
[30] FALTINSEN, O. Sea loads on ships and offshore structures. Cambridge university
press, Cambridge, 1993.
[31] FARHAT, C., DEGAND, C., KOOBUS, B., LESOINNE, M. Torsional springs for
two-dimensional dynamic unstructured fluid meshes. Computer methods in applied
mechanics and engineering, 163(1):231–245, 1998.
[32] FARHAT, C., GEUZAINE, P., BROWN, G. Application of a three-field nonlinear
fluid-structure formulation to the prediction of the aeroelastic parameters of an f-16
fighter. Computers and Fluids, 32(1):3–29, 2003.
[33] FARHAT, C., LESOINNE, M. Two efficient staggered algorithms for the serial and
parallel solution of three-dimensional nonlinear transient aeroelastic problems. Computer methods in applied mechanics and engineering, 182(3):499–515, 2000.
[34] FERZIGER, J.H., PERIĆ, M. Computational Methods for Fluid Dynamics. SpringerVerlag, Berlin, 3rd edition, 2002.
[35] FUCHS, V., GUNDLACH, J., WÜNSCH, O.
Simulation of multiregional wave-
structure impact on damping elements on offshore structures. Journal of Marine
Science and Technology, 18(3):276–293, 2013.
[36] FUCHS, V., WÜNSCH, O. Modeling and numerical simulation of breaking waves on
structures. PAMM, 10(1):467–468, 2010.
[37] FUCHS, V., WÜNSCH, O. Numerical simulation of free surface-structure-interaction
with multi-regional mesh deformation. PAMM, 11(1):463–464, 2011.
[38] FUCHS, V., WÜNSCH, O. Fluid-structure-interaction-analysis concerning damping
features of viscous fluids. PAMM, 12(1):385–386, 2012.
[39] FÖRSTER, C., WALL, W., RAMMR, E. Artificial added mass instabilities in sequential staggered coupling of nonlinear structures and incompressible viscous flows.
176
Computer methods in applied mechanics and engineering, 196(7):1278–1293, 2007.
[40] GODA, Y. Wave forces on a vertical circular cylinder: Experiments and a proposed
method of wave force computation. Report No. 8, Port and Harbour Technical Research
Institute, 1964.
[41] GOLUB, G.H., VAN LOAN, C. Matrix Computations. John Hopkins Press, Baltimore,
2nd edition, 1990.
[42] GUNDLACH, J. Multiregional Fluid-Structure-Interaction-Analysis concerning Damping Features of Viscous Fluids. Diplomarbeit am Institut für Mechanik, Universität
Kassel, 2012.
[43] HAUPT, P. Continuum mechanics and theory of materials. Springer-Verlag, Berlin,
2nd edition, 2002.
[44] HAVER, S. A possible freak wave event measured at the draupner jacket january 1
1995. Proc. Rogue Waves, 2004.
[45] HAVERLOCK, T.H. Some cases of wave motion due to a submerged obstacle. Royal
Society London, pages 520–532, 1917.
[46] HEIL, M. An efficient solver for the fully coupled solution of large-displacement
fluid–structure interaction problems. Computer Methods in Applied Mechanics and
Engineering, 193(1):1–23, 2004.
[47] HESTENES, M.R., STIEFEL, E. Methods of conjugate gradients for solving linear
systems. NBS J. Res., 29:409–436, 1952.
[48] HIRSCH, C. Numerical computation of internal and external flows: The fundamentals
of computational fluid dynamics. Butterworth-Heinemann, Oxford, 2nd edition, 2007.
[49] HIRT, C.W., NICHOLS, B.D. Volume of fluid (vof) method for the dynamics of free
boundaries. Journal of computational physics, 39(1):201–225, 1981.
[50] INMAN, D.J. Engineering vibrations. Prentice-Hall, New Jersey, 2001.
[51] ISSA, R.I. Solution of the implicitly discretised fluid flow equations by operatorsplitting. Journal of computational physics, 62(1):40–65, 1986.
[52] JACOBS, D.A.H. Preconditioned conjugate gradient methods for solving systems of
algebraic equations. Central Electricity Research Laboratories, 1980.
[53] JASAK, H. Error analysis and estimation for the finite volume method with applications to fluid flows. PhD. Thesis, University of London, Imperial College London
(University of London), 1996.
177
[54] JASAK, H., TUKOVIĆ, Z. Automatic mesh motion for the unstructured finite volume
method. Transactions of FAMENA, 30(2):1–20, 2006.
[55] JASAK, H., WELLER, H.G. Application of the finite volume method and unstructured
meshes to linear elasticity. International journal for numerical methods in engineering,
48(2):267–287, 2000.
[56] JASAK, H., WELLER, H.G., NORDIN, N. In-cylinder cfd simulation using a c++
object-oriented toolkit. Society of Automotive Engineers, SAE Paper 2004-01-0110,
2004.
[57] JEMCOV, A., MARUSZEWSKI, J.P., JASAK, H. Performance improvement of algebraic multigrid solver by vector sequence extrapolation. CFD Society of Canada,
Toronto, 2007.
[58] KINSMAN, B. Wind waves: Their generation and propagation on the ocean surface.
Courier Dover Publications, Mineola, 1965.
[59] KJELDSEN, S., MURHAUG, D. Breaking waves in deep water and resulting wave
forces. Offshore Technology Conference, 1979.
[60] KOSHIZUKA, S. A particle method for incompressible viscous flow with fluid fragmentation. Computational Fluid Dynamics Journal, 4:29–46, 1995.
[61] KULAK, R. Some aspects of fluid-structure coupling. ASME pressure vessel and piping
conference, 1982.
[62] KÖLKE, A., HÜBNER, B., WALHORN, E., DINKLER, D. Strongly coupled analysis of fluid-structure interaction with two-fluid flows. European Congress on Computational Methods in Applied Sciences and Engineering, ECCOMAS 2004, Finland,
Jyväskylä, 2:24–28, 2004.
[63] KÜTTLER, U., WALL, W. Fixed-point fluid–structure interaction solvers with dynamic relaxation. Computational Mechanics, 43(1):61–72, 2008.
[64] LAMB, H. Theoretical Hydrodynamics. Cambridge University Press, Cambridge, 1932.
[65] MA Q.W., Wu G.X., EATOCK TAYLOR R. Finite element simulation of fully nonlinear interaction between vertical cylinders and steep waves: Part 1: Methodology
and numerical procedure. International Journal for Numerical Methods in Fluids,
36(3):265–285, 2001.
[66] MATTHIES, H., STEINDORF, J. Efficient iteration schemes for nonlinear fluidstructure interaction problems. International conference on engineering computational
technology, page 263–267, 2000.
178
[67] MATTHIES, H., STEINDORF, J. Partitioned but strongly coupled iteration schemes
for nonlinear fluid–structure interaction. Computers and structures, 80(27):1991–1999,
2002.
[68] MATTHIES, H., STEINDORF, J. Partitioned strong coupling algorithms for fluidstructure interaction. Computers and structures, 81(8):805–812, 2003.
[69] MEISTER, A. Numerik linearer Gleichungssysteme. Springer, Berlin, 2005.
[70] MOK, D.P. Partitionierte Lösungsansätze in der Strukturdynamik und der FluidStruktur-Interaktion. Doktorarbeit, Universität Stuttgart, 2001.
[71] MORISON, J.R., JOHNSON, J.W., SCHAAF, S.A. The force exerted by surface waves
on piles. Journal of Petroleum Technology, 2(5):149–157, 1950.
[72] NOBILE, F. Numerical approximation of fluid-structure interaction problems with
application to haemodynamics. PhD, Ecole Polytechnique Federale de Lausanne, Switzerland, 2001.
[73] OpenFOAM Programmers Guide. OpenFOAM The Open Source CFD Toolbox Programmers Guide, volume Version 1.6. OpenCFD Ltd., 2009.
[74] OpenFOAM User Guide. OpenFOAM The Open Source CFD Toolbox User Guide,
volume Version 1.6. OpenCFD Ltd., 2009.
[75] OWENS, R. G., PHILLIPS, T. N. Computational rheology. Imperial College Press,
London, 2002.
[76] PEIL, U., CORTE, C. Numerical simulation of breaking wave load on offshore wind
turbines. J. Napstrek and C. Fisher, ITAM ASCR, Prague, 2005.
[77] PEREGRINE, D. H. Water-wave impact on walls. Annual Review of Fluid Mechanics,
35(1):23–43, 2003.
[78] PESKIN, C. S. The immersed boundary method. Acta Numerica, 11:479–517, 2002.
[79] PIPERNO, S., FARHAT, C. Partitioned procedures for the transient solution of coupled aeroelastic problems–part ii: energy transfer analysis and three-dimensional applications. Computer methods in applied mechanics and engineering, 190(24):3147–3170,
2001.
[80] RICHTER, T. Numerical Methods for Fluid-Structure Interaction Problems. Course
of lectures, Internet, 2010.
[81] RUSCHE, H. Computational fluid dynamics of dispersed two-phase flows at high phase
fractions. PhD. Thesis, University of London, Imperial College London (University of
London), 2003.
179
[82] SACKINGER, P. A., SCHUCK, P. R., RAO, R. R. A newton–raphson pseudo-solid
domain mapping technique for free and moving boundary problems: a finite element
implementation. Journal of Computational Physics, 125(1):83–103, 1996.
[83] SCHADE, H., KUNZ, E. Strömungslehre. Walter de Gruyter, Berlin, 3nd edition,
2007.
[84] SCHEVEN, M. Effiziente Algorithmen für die Fluid-Struktur-Wechselwirkung. Doktorarbeit, Universität Stuttgart, 2009.
[85] SCHÄFER, M. Computational Engineering - Introduction to Numerical Methods.
Springer-Verlag, Berlin, 2006.
[86] SETHIAN, J. A. Level Set Methods: Evolving Interfaces in Computational Geometry,
Fluid Mechanics, Computer Vision, and Materials Science. Cambridge University
Press, Cambridge, 1996.
[87] SLONE, A., PERICLEOUS, K., BAILEY, C., CROSS, M. Dynamic fluid–structure
interaction using finite volume unstructured mesh procedures. Computers and structures, 80(5):371–390, 2002.
[88] SLONE, A., PERICLEOUS, K., BAILEY, C., CROSS, M., BENNETT, A. A finite volume unstructured mesh approach to dynamic fluid–structure interaction: an
assessment of the challenge of predicting the onset of flutter. Applied Mathematical
Modelling, 28(2):211–239, 2004.
[89] SOULAIMANI, A., SAAD, Y. An arbitrary lagrangian-eulerian finite element method for solving three-dimensional free surface flows. Computer Methods in Applied
Mechanics and Engineering, 162(1):79–106, 1998.
[90] STÜCK, R. Numerische Simulation transienter Wellengruppen mittels einer hybriden
Finite-Elemente–Finite-Volumen Methode. Doktorarbeit, TU Berlin, 2008.
[91] TANAKA, M. The stability of solitary waves. Physics of Fluid, 29:650–655, 1986.
[92] TRUESDELL, C., NOLL, W. The Non-Linear Field Theories of Mechanics. SpringerVerlag, Berlin, 3rd edition, 2004.
[93] TUKOVIĆ, Ž., JASAK, H. Updated lagrangian finite volume solver for large deformation dynamic response of elastic body. Transactions of FAMENA, 2007.
[94] UBBINKI, O., ISSA, R. A method for capturing sharp fluid interfaces on arbitrary
meshes. Journal of Computational Physics, 153(1):26–50, 1999.
[95] VAN DER VORST, H. A. Bi-cgstab: A fast and smoothly converging variant of bicg for the solution of nonsymmetric linear systems. SIAM Journal on scientific and
180
Statistical Computing, 13(2):631–644, 1992.
[96] VERSTEEG, H. K., MALALASEKRA, W. An introduction to computational fluid
dynamics the finite volume method. Prentice Hall, New Jersey, 2nd edition, 2007.
[97] VIERENDEELS, J. Implicit coupling of partitioned fluid-structure interaction solvers
using reduced-order models. Fluid-Structure Interaction, 53:1–18, 2006.
[98] VON KÁRMÁN, T. The impact of seaplane floats during landing. National Advisory
Committee for Aeronautics, Washington, 1929.
[99] WAGNER, H. Über Stoß- und Gleitvorgänge an der Oberfläche von Flüssigkeiten.
ZAMM, 12(4):193-215, 1932.
[100] WALHORN, E., KÖLKE, A., HÜBNER, B., DINKLER, D. Fluid-structure coupling
within a monolithic model involving free surface flows. Lecture Notes in Compuational
Science and Engineering, 83(25):2100–2111, 2005.
[101] WALL, W. Fluid-Struktur-Interaktion mit stabilisierten Finite Elementen. Doktorarbeit, Universität Stuttgart, 1999.
[102] WALL, W., MOK, D.P., RAMM, E. Partitioned analysis approach of the transient
coupled response of viscous fluids and flexible structures. Proceedings of the European
conference on computational mechanics ECCM, München, 1999.
[103] WATERSON, N.P., DECONINCK, H. Design principles for bounded higher-order
convection schemes a unified approach. Journal of Computational Physics, 224(1):182–
207, 2007.
[104] WELLER, H.G., TABOR, G., JASAK, H., FUREBY, C. A tensorial approach to
computational continuum mechanics using object-oriented techniques. Computers in
physics, 12(6):620–631, 1998.
[105] WENZEL, B., NITSCH, J. Ausbau erneuerbarer Energien im Strombereich: EEGVergütungen,-Differenzkosten und-Umlage sowie ausgewählte Nutzeneffekte bis zum
Jahr 2030. Untersuchung im Auftrag des Bundesministeriums für Umwelt, Naturschutz und Reaktorsicherheit, 2008.
[106] WIEGEL, R.L. Forces induced by breakers on piles. Proceedings of the 18th International Conference on Coastal Engineering, 18(1):1699–1715, 1982.
[107] WIENKE, J. Druckschlagbelastung auf schlanke zylindrische Bauwerke durch brechende Wellen. Doktorarbeit, TU Carolo-Wilhelmina Braunschweig, 2001.
[108] WIENKE, J., OUMERACI, H. Breaking wave impact force on a vertical and inclined slender pile-theoretical and large-scale model investigations. Coastal Engineering,
181
52(5):435–462, 2005.
[109] WORLD WIND ENERGY ASSOCIATION. World wind energy report 2010. WWEA,
April 2011.
182
A. Anhang
A. Anhang
Herleitung der zweiphasigen Transportgleichung
Explizite Herleitung der zweiphasigen Transportgleichung nach WELLERs Interface-Compression-Methode.
∂α
+ ∇ · (αv a ) = 0
∂t
(A.1)
v = αv a + (1 − α)v b
(A.2)
vr = va − vb
(A.3)
vb = va − vr
(A.4)
αv a = v − (1 − α) (v a − v r )
(A.5)
∂α
+ ∇ · (αv) − ∇ · [v r α (1 − α)] = 0
∂t
(A.6)
B. Anhang
183
B. Anhang
Experimentelle Erzeugung Gaußscher Wellenpakete
Die experimentelle Erzeugung von Wellen im Labormaßstab erfordert einen Versuchstand,
der im wesentlichen aus einem Wellenkanal mit einer mechanisch angetriebenen Wellenmaschine besteht. Nach DEANN und DALRYMPLE [19] kann eine bestimmte Wellenkategorie,
nach Art und Weise der Wellenerzeugung in Abhängigkeit von der Ursell-Zahl
Ur =
λH 2
d3
(B.1)
klassifiziert werden. Die Ursell-Zahl ist ein dimensionsloser Parameter zur Charakterisierung der Nichtlinearität einer Schwerewelle. Darin kennzeichnet H die Wellenhöhe, λ die
Wellenlänge und d die Wassertiefe (siehe Abb. B.1). Diese lässt sich für eine Tiefwasserz
g
H
x
d
λ
Abbildung B.1.: Charakteristische Wellenparameter zur Definition der Höhe H, Länge L und Tiefe d.
welle mit Ur > 400 und einer Flachwasserwelle mit Ur < 4 bestimmen. Im Intervall zwischen 400 ≥ Ur ≥ 4 liegt der Übergangsbereich zwischen Flach- und Tiefwasser erzeugten Wellen. Mit den in Tabelle B.1 eingetragenen Modellparameter des Wasserkanals und
dem Wellenparameter lässt sich ein passender Erzeugermechanismus über die Ursell-Zahl
bestimmen. Diese liegt mit einem Wert von ca. Ur ≈ 7 eindeutig in einem Übergangsbereich. Daraus kann nach [19] eine Wellenmaschine im P iston-T ypeModus1 eingesetzt werden. In Abbildung B.2 ist der Aufbau des Wellengenerators und ein Teil des Wasserkanals, der hier zur besseren Visualisierung durchsichtig dargestellt wird, gezeigt. Die wichtigsten Funktionskomponenten des Wellengenerator sind in der Tabelle B.2 zusammengefasst.
1
in diesen Modus wird eine Welle durch eine rein translatorische Bewegung des Wellenpaddels erzeugt.
184
B. Anhang
Tabelle B.1.: Ursell-Zahl und Bestimmung des Erzeugungsmechanismus nach Deann und Dalrymple [19].
Parameter des Wasserkanals
Wellenparameter
Breite Bk = 0.3 m
Höhe H = 0.1 − 0.15 m
Länge Lk = 15 m
Tiefe d = 0.25 m
Höhe Hk = 15 m
Periode T = 1 − 2s
Ursell-Zahl
Wellenkategorie
Wellenmaschine
400 ≥ 7 ≥ 4
Übergangsbereich
Piston Modus
Tabelle B.2.: Funktionskomponenten
1
2
3
5
4
6
7
11
10
9
Position
Bauteileinheit
Pos.1
Pos.2
Pos.3
Pos.4
Pos.5
Pos.6
Pos.7
Pos.8
Pos.9
Pos.10
Pos.11
Antriebsmotor
Festlager
Kugelumlaufmutter
Kugelrollenspindel
Loslager
Rahmen
Wasserkanal
Führungsschienen
Wellenblatt
Führungswagen
Kupplung
8
Abbildung B.2.: Versuchsaufbau des Wellengenerators.
Das Gerüst der gesamten mechanische Wellengeneratoreinheit bildet ein AluminiumprofilRahmen (Pos.6). Dieser wird, wie in Abbildung B.2 zu sehen, von oben auf dem Wasserkanal (Pos.7) aufgesetzt und befestigt. Den Antrieb stellt ein Drehstrom-Servomotor der
Fa. KOLLMORGEN Baureihe AKM53K (Pos.1) dar. Dieser treibt eine Kugelrollenspindel
(Pos.4), die über eine Zahnkranz-Kupplung (Pos.11) mit der Antriebswelle des Servomotors
gekoppelt ist, an. Die Kugelrollenspindel wird dabei an einem Fest- und Loslager (Pos.2
u. Pos.5), die am Aluminiumrahmen befestigt sind, gelagert. Über eine Kugelumlaufmutter
(Pos.3), die an einem Führungswagen (Pos.10) auf Schienen (Pos.8) befestigt ist, wird der
rotatorische Bewegungsablauf in einen Translatorischen übersetzt.
Der Drehstrom-Servomotor wird über einen Servoverstärker SERVOSTAR 346 angesteuert.
Der Verstärker wandelt dabei das „schwache” Referenzsignal der Steuerung in ein leistungsstarkes Signal für den Servomotor um. Die mitgelieferte Software DriveGUI, über die der
Motor angesteuert wird, ermöglicht dazu die Programmierung und Speicherung von bis zu
300 Fahraufträgen.
Zur Generierung Gauß’scher Wellenpakete wird eine Software W aveGen als Schnittstel-
B. Anhang
185
le zur DriveGUI mit Java entwickelt. Das Programm wird zusammen mit der Software
W olf ram Mathematica verwendet. In der Mathematica-Umgebung wird dazu ein beliebiger Funktionsausdruck erstellt und in kleine Stützstellen diskretisiert. Als Funktionsausdruck
zur experimentelle Erzeugung wird der Realteil aus Gleichung (4.14), analog zu den experimentellen Arbeiten von [7] und [108], als horizontale Anregung des Wellenblatts verwendet.
Dabei werden die diskretisierten Stützstellen in einer externen Datei in Tabellenform abgespeichert und mit W aveGen in einen Fahrauftrag umgewandelt. Dieser wird mit DriveGUI
geladen und an den Servoverstärker weiter gesendet, so dass der Fahrauftrag anschließend
vom Servomotor ausgeführt werden kann.
Abbildung B.3.: Versuchsaufbau Wellengenerator im Wasserkanal.
9 783862 195459
Berichte des Instituts für Mechanik (Bericht 2/2014)
Numerische Modellierung von Fluid-Struktur-Wechselwirkungen an wellenbeaufschlagten Strukturen
Vilmar Fuchs
ISBN 978-3-86219-545-9
Institut
für
Mechanik
Vilmar Fuchs
kassel
university
press

Numerische Modellierung von Fluid-Struktur

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