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Kapitel3: Ausgleichsverfahren
(Heinz-GüntherBehrens)
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Grundsätzliches zur Ausgleichung
Das Ziel der Ausgleichung
Ausgleichsmethoden
Aulbau der Ausgleichsverfahren
MechanischeAusgleichung
Allgemeine Form der mechanischenAusgleichung
Konstruktionsmethoden
Tabelle mechanischerAusgleichsfunktionen
Die Invariante einer mechanischenAusgleichsfunktion
Analytische Ausgleichung
r. Allgemeine Form der analytischen Ausgleichung
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3.3.2. Steibegesetze
3.3.3. Ausgleichsbedingungen
3.3.4. Bestimmung der Ausgleichsparameter
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Kapitel 4: Methoden frir Sterblichkeitsuntersuchungen
(Bemd Zschoyan)
121
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4.2.
4.2.1.
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4.2.3.
4.3.
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Aufgabenstellungen
Vergleich mit einer vorgegebenenSterbetafel
Zwei Stichproben
Erstellune einer Sterbetafel
Ermittlung und Analyse des Beobachtunpmaterials
Das Beobachtungsmaterial
Analyse der beobachteten Daten
Festlegungder Zielfunktion
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Eigenschaften der Ausgleichsverfahren
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Ausgleichsverfahren
Festlegungder anwendbaren
Übergänge bei Ausgleichung von Teilbereichen
Beurteilung des Ergebnisses
Anwendung eines Testverfahrens
Ermittlune einer Sterbetafel
Überprufüng der Sterbetafel
Ablaufdiaeramm
Kapitel 5: Beispiel für die Erstellung einer Sterbetafel
(Bernd Zschoyan)
149
5 . 1 . Allgemeine Formulierung der Zielfunktion
5 . 1 . 1 . Aufgabenstellung
5 . 1 . 2 . Ableitung von Gütekriterien
5 . 1. 3 . Form der Zielfunktion
Die Stichproben
5.2.
5 . 2 . t . Das Beobachtungsmaterial
5.2.2. Analyse der beobachtetenDaten
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Einfiihrung
von Peter Kakies
Untersuchungen über den Verlauf der Sterblichkeit sind für den Betrieb
der Lebensversicherungunentbehrlich, und es ist daher folgerichtig, wenn
sich der Versicherungsmathematikermit Sterblichkeitsuntersuchungenbeschäftigt. Die aus Versichertenbeständenabgeleiteten Sterbetafeln waren
in fräheren Zeiten die zuverlässigstenUnterlagen für die Kalkulation der
Prämien und der Prämienreserven in der Lebens- und Pensionsversicherung. Mit der Ausdehnung der Lebensversicherungauf die gesamteBevölkerung näherte sich in Deutschland die Versichertensterblichkeit der Bevölkerungssterblichkeit, und seit der Einfiihrung der Bevölkerungssterbetafel 1924/26 M in die Kalkulation der deutschen Lebensversicherung
werden als Grundlage frir die Berechnung der Beiträge und Deckungsrückstellungen im allgemeinen nur noch Bevölkerungssterbetafeln benutzt. Da diese einen ausreichenden Sicherheitszuschlagenthielten, fehlte
weitgehend der Anreiz fiir Sterblichkeitsuntersuchungenan normalen Versichertenbeständen.
Diese Ausgangslagehat sich in den letzten Jahren geändert Zwar werden
die für die Berechnung der Beiträge und Deckungsrückstellungen erforderlichen Sterbewahrscheinlichkeitenl. Ordnung auch weiterhin aus Bevölkerungssterbetafeln abgeleitet, aber bei dem zunehmenden Wettbewerb ubä die Überschußü'eteiligung wird es für die Praxis wichtig, diese
Überschußbeteiligung mit möglichst wirklichkeitsnahen Rechnungsgrundlaget 2. Ordnung zu kalkulieren. Damit werden Sterblichkeitsuntersuchungen an den Versichertenbeständender eigenen Gesellschaft {iir den
Versicherungsmathematikerwieder interessant.
Man kann natürlich darüber philosophieren, ob es überhaupt Sterbewahrscheinlichkeiten gibt. Für den Betrieb des Lebensversicherungsgeschäftes
auf mathematischer Grundlage setzen wir ihre Existenz voraus, und mit
dieser Voraussetzungsind wir in der Realität stets gut zurechtgekommen.
Und nichts deutet darauf hin, daß es in Zukunft anders sein wird. Auch in
dieser Veröffentlichung setzen wir voraus, daß es Sterbewahrscheinlichkeiten gibt.
Allerdings können wir Sterbewahrscheinlichkeiten nicht beobachten; beobachten und ermitteln können wir nur die relativen Häufigkeiten von
Sterbeftillen in Kollektiven innerhalb bestimmter Zeitabschnitte. Dabei
beobachten wir eine vielfache Abhängigkeit dieser Häufigkeiten von der
Zeit. Ganzwesentlich ist hierbei die Abhängigkeit vom Alter der einzelnen
Mitglieder des Kollektivs, also von ihrer bisher abgelaufenen Lebenszeit.
Bekannt ist auch, daß die Sterbehäufigkeiten in Versichertenbeständen
von der zurückgelegten Versicherungszeit abhängen, also von der abge6
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abhängen, sondern auch von seiner äußeren Umgebung, die Sterbewahrscheinlichkeit eines Menschen dürfte z. B. wesentlich erhöht sein, wenn er
bei bester Gesundheit in einem Flugzeug reist und dieses plötzlich abzustürzen beginnt. Die aus Beobachtungen gefundene Sterbewahrscheinlichkeit eines Kollektivs ist dann der Mittelwert der individuellen Sterbewahrscheinlichkeiten seiner Mitglieder. In der Praxis gehen wir davon aus, daß
dieser Mittelwert eine Sterbewahrscheinlichkeit ist, die ftir alle Mitglieder
des Kollektivs gleichermaßen und ohne individuelle Unterschiede gilt. Wir
nehmen also an, daß das Kollektiv homogen ist, obwohl es nur homogen
hinsichtlich der Tarifierungsfaktoren ist und es in Wirklichkeit selten völlig
homogene Kollektive geben dürfte, man denke z.B. an die unterschiedliche Sterblichkeit von Rauchern und Nichtrauchern oder von übergewichtigen und Normalgewichtigen. Die Annahme homogener Kollektive
oder die identischeAnnahme gleicher Sterbewahrscheinlichkeiten
für alle
Mitglieder des Kollektivs ermöglicht es uns jedoch, in der Praxis zu arbeiten. Wir sind aber nie in der Lage zu prüfen, ob die Sterbehäufigkeit
eines einzelnen Menschen - er stirbt oder er stirbt nicht in dem Beobachtungszeitraum- mit einer vorgegebenenSterbewahrscheinlichkeit
übereinstimmen kann, und wenn wir von der Sterbewahrscheinlichkeit
eineseinzelnenMenschensprechen,so ist diese Sprechweiseim Sinne der
Definition der Wahrscheinlichkeit nach v. Mises nur zulässig,wenn wir
damit die Vorstellung eines Kollektivs von Menschenverbinden, die mit
diesem einzelnen Menschen homogen sind, und die Sterbewahrscheinlichkeit auf diesesKollektiv beziehen.
Der Versicherungsmathematiker beobachtet jedenfalls die Sterbehäufigkeit von Kollektiven, und wenn er aus diesen Sterbehäufigkeiten Sterbewahrscheinlichkeiten ableitet und diese auf andere Kollektive anwendet,
so muß er sich überlegen, ob diese anderen Kollektive in allen erkennbaren relevanten Punkten - hier gilt die Erfahrung - im wesentlichen mit
dem ursprünglichen Kollektiv übereinstimmen, aus dem die Sterbehäufigkeiten gewonnen wurden. Aus diesem Grunde sind z. B. Sterbehäufigkeiten aus Versichertenbeständen,bei denen nicht nach dem Geschlecht
unterteilt wurde, nicht viel besserzu verwenden als solche, bei denen nicht
nach dem Alter unterteilt wurde.
Die Sterblichkeit eines Kollektivs dürfte sich eigentlich nicht:indern, wenn
sich weder seine Zusammensetzungnoch die äußeren Umstände, unter denen es lebt, ändern. Oder umgekehrt: Wenn sich die Sterblichkeit eines
Kollektivs im Zeitablauf ändert, dann mii.ssenwir nach einer Anderung
seiner Zusammensetzungoder nach einer Anderung der äußeren Umstände suchen. Zu diesen äußeren Umständen gehört natürlich auch der Fortschritt der medizinischen Wissenschaft. Diesen Fortschritt kann man am
zuverlässigsten erkennen, wenn man partielle Sterbehäufigkeiten untersucht, also Sterbehäufigkeiten nach den verschiedenen Todesursachen,
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bei diesen Abgangsursachendie Zusammensetzung des beobachteten Kollektivs wichtiger ist und die Übertragung gefundener Werte vorsichtiger
vorgenommen werden muß als bei der Sterblichkeit.
Die vorliegende Arbeit behandelt zunächst in Kapitel I die Ermittlung-der
Sterbehäufigkeiten. Wie die beobachteten Sterbehäufigkeiten ausgeglichen
werden können, wird in Kapitel 3 dargestellt. Ob die beobachteten Werte
als Stichprobe der ausgegliöhenenWerte oder einer anderen Sterbetafel
angesehenwerden können, wird in Kapitel 2 behandelt. In den Kapiteln 4
unä 5 schließlich werden Anregungen und Beispiele für das praktische
Vorgehen bei verschiedenenAufgabenstellungenim Zusammenhangmit
der Sterblichkeit gegeben.
Die vorliegende Veröffentlichung ist von einem Arbeitskreis von versicherungsmathimatikern anläßlich von Sterblichkeitsuntersuchg.nggnbei der
Hamburg-Mannheimer Versicherungs-AG erstellt worden (die in der Veröffentlicfiung benutzten Werte sind jedoch keine beobachteten Werte der
Hamburg-Männheimer). Herr Dr. Gerhard Riege und ich konnten diesen
Arbeitskreis durch die Aufgabenstellung und einige Anregungen unterstützen. Dabei sind die namentlich gezeichneten Abschnitte das persönliche Werk ihrer Verfasser,jedoch haben alle von der gemeinsamen Diskussion in dem Arbeitskreis gewonnen, dem außer den Verfassern noch
die Herren Josö Ferrer, Wolfgang Hinsch, Dittmar Lust und Heinrich
Richter angehörten. Ich möchte allen verfassern und allen anderen Mitgliedern des Arbeitskreises auch an dieser Stelle herzlich für ihre Arbeit
danken. weiterhin danken wir der Bibliothek im Bundesversicherungsamt
in Berlin liir die schnelle und bereitwillige Bereitstellung sonst nicht erhältlicher Literatur.
Wir wünschen, daß die vorliegende Veröffentlichung unseren Kollegen
nützlich ist.
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verwalten ihren Versichertenbestand
Viele Versicherungsunternehmen
sondernvertrags-bzw. policenmäßig,so daß im
nicht personenmäßig,
zu einer PersonmehrerePolicenexistierenkönnen.
Versichertenbestand
Im Falle des Todes einer Personverliert die Venichertengemeinschaft
können mehzwar nur ein Mitglied, aber aus dem Versichertenbestand
anhand
abgehen.Sterblichkeitsuntersuchungen
rere Venicherungspolicen
lassensich dann meistenseinfacherdurchführen,wenn
diesesBestandes
man ,,policenmäßigeSterbehäufigkeiten"ermittelt, d. h. die Anzahl der
Policen,die wegendes Todesvon Versichertenaus dem Bestandabgeht,
zur Anzahl aller Policen ins Verhältnis setzt. Eine Gegenüberstellung
wird in
policenmäßigund personenmäßig
ermittelter Sterbehäuhgkeiten
1.6behandelt.
1 . 2 .D e f i n i t i o n e n
1.2.I. RelativeSterbehäufigkeit
Mit L bezeichnenwir eine Menge von Personen.Steht aufgrund der
Definition dieserMengeL eindeutigfest,ob eine Personzu L gehörtoder
nicht, dannnennenwir L einePersonengesamtheit.
Alle Personenin L unterliegendem Todesfallrisiko.Die aus L hervorgehendeTeilgesamtheitder Toten bezeichnenwir mit T. Die Anzahl der
Es gilt: /: lLl und
Personenin L bzw. T wird durch / bzw.t dargestellt.
t : lT l. t heißtauchabsoluteSterbehäufigkeit.
Als Maßzahlfür die Sterblichkeitin L betrachtenwir das Verhältnisder
Anzahl der Personenaus L, die gestorbensind, zur Anzahl der Personen,
die unter dem Risiko standenzu sterben.Wir definierensie durch den
Quotienten
t
l:1
und bezeichnenq als relative Sterbehäufigkeitoder auch als rohe Sterbewahrscheinlichkeit.
und
Es ist zu beachten,daß die t Toten alle aus L hervorgegangen
deshalbin / enthaltensind, so daß / auch als SummeI : l' + t dargestellt
L : L' v T mit L' nT : 0. L' ist die
werdenkann,bzw.L alsVereinigung
Teilgesamtheitder Lebenden,die nicht durch Tod aus L ausscheiden,
d.h.
q:
1 'a t
L
Die angegebenenQuotienten besitzenfür eine Personengesamtheit
sicherlichkeinen großen Informationswert,da sie keinen der vielen
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Alter das Risikomerkmal, schreibt man statt L(rir), T(ri,), q(r1*) kurz
L*, T*, Q*'
Neben den personenbezogenenRisiken wie Alter, Geschlecht oder Beruf
sind noch die personenunabhängigenEinflüsse auf die Höhe der Sterbehäufigkeit wie das Auftreten von gesundheitsgeftihrdenden Einflüssen
(2.B. Grippewellen) zu berücksichtigen. Wer werden darauf in 1.5
eingehen.
1.2.2. Das Alter
Nicht immer wird die Bestimmung des Alters einheitlich durchgeführt.
Wir geben deshalb eine formale Defintion des Alters an und beschreiben
daraus abgeleitete gebräuchliche Altersbestimmungen.
Das Alter einer Person zu einem bestimmten Zeitpunkt wird definiert
durch die Differenz:
Datum desZeitpunktes minus Geburtsdatum.
Die Genauigkeit der gewünschten Altersangabe bestimmt auch die
Genauigkeit der Datumsangaben.Üblich sind ganzzahligeAltersangaben
in Jahren. Bei Untersuchungenüber Kinder- und Säuglingssterblichkeit
finden wir auf Monate oder gar Tage genauangegebeneAlter.
Für Versicherungsunternehmenbesonderswichtig ist die Bestimmung der
Sterbehäuhgkeit unter Wahl des Versicherungsjahresals Zeiteinheit für
die Beobachtung. Das Versicherungsjahr ist{ für jeden Venicherten
individuell und beginnt zum Zeitpunkt des technischen Versicherungsbeginns bzw. dessenjährlicher Wiederkehr. In bezug auf das Lebensalter
wird dann im allgemeinen die Annahme eingeführt, daß als Anfang des
neuen Lebensjahresder Beginn des neuen Versicherungsjahresfestgesetzt
wird (Policenalter). Eine bereits im Versicherungsverhältnis stehende
Person überschreitet das Policenalter von x Jahren und wird somit als
x-jährig betrachtet, wenn sie y volle Versicherungsjahredurchlebt hat und
mit x - y Lebensjahren in die Versicherung eingetreten ist. Als Eintrittsalter gilt das bei der Aufnahme des Venicherten von dem Unternehmen
für seine Prämienzahlung festgesetztePolicenalter.
Drei gebräuchlicheBestimmungenfür das Policenaltersind:
a) Eine Personist x-jährig,falls sie dasx-te Lebenjahr,abernochnicht dasx + I -te
Lebensjahrvollendethat.
b das Alter x zu bestimmen,berechnen
Um zu einem Beobachtungszeitpunkt
und Geburtsjahr.x wird um I
wir zunächstx als Differenzvon Beobachtungskleinerals
und Geburtsmonat
vermindert,falls die Differenzvon Beobachtungsgleich
und Geburtsmonat
0 ist, oder falls die Differenzvon Beobachtungsmonat
und Geburtstagkleinerals0 ist0 ist und die Differenzvon Beobachtungstag
b) x wird in der Weise auf volle Jahre gerundet,daß man einer Persondas
Policenalterx * I zuordnet,falls sie den x-ten Geburtstagum mindestens6
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wächstdurch AbeinesVenicherungsunternehmens
Der Policenbestand
WegenTodes-,Leistungs-und Storschlüssevon Versicherungsverträgen.
Personen
nofüllen verringert er sich. Falls in einer Personengesamtheit
nur durch Tod ausscheidenund Eintritte nicht zugelassensind, dann
geschlossen.
Sind zusätzlicheEintritte
nennenwir die Personengesamtheit
oder Austritte aus anderen Gründen erlaubt, dann sprechenwir von
offenenPersonengesamtheiten.
L, bestimmen
Um die relativeSterbehäufigkeiteiner Personengesamtheit
erforderlich.Mit
zu können, sind eine Reihe von Beobachtungszahlen
ihnen beschreibenwir die Veränderungenund Entwicklungeneiner
Schließlich
während eines Beobachtungszeitraumes.
Personengesamtheit
die absolutenHäufigkeitent'
ermitteln wir aus den Beobachtungszahlen
und /r.
Wir werden die Ermittlung der Häufigkeiten am Beispiel des RisikoZeitpunktenwährend
merkmals,,Alter" darstellen.Um zu verschiedenen
b die Zuständevon I* und T' zahlenmäeinesBeobachtungszeitraumes
ßig erfassenund beschreibenzu können,verwendenwir die folgenden
Schreibweisen:
/zist die LängeeinerZeitperiode,
2und 2 sindZeitpunkte,
z ist ein Zeitratm, der zum Zeitpunkt 2 beginnt,die Zeit /z andauertund
zum Zeitpunkt2 endet.
7:12,2+ lzl
Man erhältso für den Zeitraumz die Intervalldarstellung
:12,zl.
Für unsereUntersuchungerforderlicheZeitparametersind die Beobachtungszeitb, der Geburtszeitraumg sowie das Alter x. Die PersonengesamtheitenL* und T, in Abhängigkeit dieser Parameterwerden mit
L, (b, g) und T* (b, g) bezeichnet.
Einige Beispielesollen die Schreibweiseverdeutlichen.b: [1. l. 80,
am l. l. 80 beginntund 3
31.12.831ist ein Beobachtungszeitraum,.der
d.h./b : 3,b: l. l. 80undb: 31.12.83.
Jahredauert,
b1 und b2 werden
Zwei aufeinander folgende Beobachtungsperioden
durchb :\/bz dargestellt.
zu gehören,bedeutetin dem Zeitraum
1950/1951
Zum Geburtsjahrgang
geboren
zu
sein.
5l]
l.
50,
31.12.
C: [.
Der Altersbereichvon 60 bis 65 Jahrenwird dargestelltdurchx : [60,65].
EinjährigeZeiträumewie g:[. 1.50, 31.12.50] oder b:[1. 1.80,
mit 8: 5l und b - 80an.
gebenwir in verkürzterSchreibweise
31.12.801
l6
LI
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Jep JnV 'pJr^\lapuetlJe^[t '9] ur ruJoCJär{Jrluqsur ers är^t .(1 Eunp
-llqqv) EunllelsreqaqcslqderEaure rr^r uepuä/$Je^
Eunqrarqcsag
rn7
I'qCY
esqce{ezs6unlqceqoeg q
TabelleI
Bezeich- Definition:
die ...
derPersonen,
Gesamtheit
nuns
(l)
L'a (b)
(2)
L"(b)
während des Beobachtungszeitraumes b genau den Bruchteil d
der Altersperiode x zu L gehören
(0 < d = l), oder durch Tod aus L ausscheiden
@ ist am l. 7. 80 geboren und
stehtvom l. 5. 82 bis zum
l. I l. 82 unter Risiko
@ e L1.21p(82\,
@ e L2,a1p(82)
während desBeobachtungszeitraumes b ,,zeitweilig" zu L gehören,
O@eLo(81)
O e L6 (82)
OO@OeLs(82)
@@@eL2(82)
die im Zeitraumg geborensind.Teilgesamtheitvon L* (b)
@ e L1 (82,80)
@ e L 1( 8 2 , 8 l )
d'h. L'(b) :o.V*, L*,aG)
(3)
L* (b, g)
(4)
L-(b)
(s)
L"6)
(6)
T-(b)
(7)
Ti.a(b)
(8)
L'-(b)
(9)
E" (b)
zum Beginn desBeobachtungszeit-O @ e L 1 ( 8 3 ) : L r ( 1 . l . 8 3 )
raumesb x Jahrealt sind
zum Ende desBeobachtungszeit- O @ e L1 (82) : lr (31.12.32)
raumesb x Jahrealt sind
während desBeobachtungszeit- O e Tr (83)
raumesb x-jährigdurchTod ausL' (b) @ e T2 (82)
ausscheiden
während desBeobachtungszeitraumesb x-jährigdurchTod aus
L*.a(b) n L* (b) ausscheiden.
: L^,1@)\Ti,l (b)' d.h' Ll r (b) ist eine
mit
Personengesamtheit
abgeschlossene
L*.r(b): Ll"r(b) U Ti,r 0)
@e Li (81/82)
b L' (b) @ @ e E 1 ( 8 2 )
erstnachBeobachtungsbeginn
beitretenund keinevolleAltersperiode
x zu L, (b) gehören.
L*.6(b+s,bl)\T^(b),
E"(b): u
0<d<l-s
0<s<l
l8
Beispiele
6l
z'qqv
e€qc4€|.66unlqcBq€g
z8'r'L
t8'l'l
@'r'1
6/'t't
6Z't't
G't'l
t8't't
?8'L'l
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€r€w
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(Eunzleqrog) I olleq?I
Zustandszahlen beschreiben. Abbildung2
Zahlen versehene Beispiele.
zeigt mit den entsprechenden
Gesamtheiten, die durch einen Geburtszeitraum g eingeschränkt werden
sollen, werden sinngemäß wie in Definition (3) aus Tabelle I definiert
und bezeichnet.
Die Anzahlen dieser Gesamtheiten werden mit den entsprechenden
kleinen Buchstabenbeschrieben.z. B.
/x(b):lL-(b)1.
Für w* (b) : ] W- (b) ] gilt w* (b) < e* (b) + a, (b), da es Personengeben
kann, die erst nach BeobachtungsbeginnL"(b) beitreten, aber vor
wieder austreten.
Beobachtungsende
Nicht immer sind die technischen Voraussetzungen (EDV-Anlagen, Bestandsführung, Verwaltung der Venicherungsverträge) gegeben, alle Zustandszahlenin Tabelle I zu ermitteln. Deshalb stellen wir verschiedene
Methoden vor, die unterschiedlichhohen Aufwand zur Bestimmung der
benötigten Zustandszahlen erfordern und Näherungswerte unterschiedlicher Güte für die relative Sterbehäufigkeitliefern.
l. 3.2. Geburtsjahrmethode
b:b1lb2 geschlossene
Für eine während des Beobachtungszeitraumes
PersonengesamtheitL,,r (b,gl) läßt sich zur Bestimmung der relativen
Sterbehäufigkeiteine exakteMethode angeben:
q g O ) : t i . 1( b , 9 1 ) / l * . r( b , g ' ) .
In der Abbildung 3a ist t^,1@,91) die Anzahl der Lebenslinien,die die
Strecke FJ schneiden. Bei einer Beobachtungszeit b von zwei Jahren
kann man gerade einen Geburtsjahrgang untersuchen. Wegen des Bezuges zum Geburtsjahrgang einer Person nennt man dieses Verfahren
auch Geburtsjahrmethode.Angewandt wurde sie zum Beispiel bei der
Erstellung der deutschenReichssterbetafelnl9l0/ll, und 7932/34 sowie
der Allgemeinen Sterbetafeln für die Bundesrepublik Deutschland 1949/51
(siehe[], [5]).
kann jedoch die Zahl von
Für die Bevölkerung als Personengesamtheit
lebenden Personenim allgemeinen nur zu einem bestimmten Stichtag
ermittelt werden, meistens im Zusammenhang mit einer Volkszählung.
Anschließend wird die Bevölkerungszahldurch Fortschreibungvon Geburten und Todesftillen auf den l. Tag des Beobachtungszeitraumes
zurückgerechnet,wenn dieser vor dem Stichtag liegt, oder vorausgerechnet, wenn dieser dem Stichtag folgt. Außerdem werden die Todesfüllein
20
z+x ex{EfI +
e6qce
-lE z
q.rnqe9
Bg'qqv
e6qcE|tezsbunuceqoeg
s
dem dem Stichtag vorangegangenenund in dem dem Stichtag folgenden
Zeitraum der Beobachtungsperiodenach Geburtsjahren getrennt erfaßt'
Untersuchenwir beispielsweiseden Beobachtungszeitraumb : \/bz/bt,
so erhalten wir für die beiden Geburtsjahrgängeg:Er/gz am Stichtag S
(sieheAbb. 3b):
/- (b, g) : /(s, C) - t*-r ([S,6r], g) + \*,*+rt([br, S],g),
(d.h.FN: Xm - lxzNxr + tFYtx).
Auf zwei Probleme der Geburtsjahrmethode weisen wir noch hin: Ein Teil
der beobachteten Todesfälle sowie die für eine offene Personengesamtheit
typischen Wanderungsbewegungenwerden nicht berücksichtigt.
Die Vernachlässigungeines Teils der beobachtetenTodesfälleliegt darin
begründet, daß für ein Alter x lediglich die Geburtsjahrgänge her,angezogen werden, zu denen die Todesfülle ausschließlichin die Beobachtungszeit fallen können. Dieses bedeutet, daß die aus den Geburtsjahrgängen 96 und 93 (Abbildung 3b) stammenden GestorbenenT*(br,8o)
(Oräiecf BFG) und T*(br, 93) (Dreieck NOR) unberücksichtigtbleiben,
da sie nicht äus L61(b) stammen. setzt man voraus, daß sich die sterbeI?illegleichmäßig über ein Jahr verteilen,dann bleibt bei einem Beobachtungsieitraum von 2 Jahren ungefähr die Hälfte der Sterbelälle (siehe
Abb. 3a Dreiecke BFG und KON), bei mehr als zwei Beobachtungsjahren jeweils die Hälfte der Sterbeftillein den beiden Beobachtungsrandjahren unberücksichtigt.
Bei der Untersuchung einer offenen Personengesamtheitkönnten zwar
alle Todeslälle in die Untersuchung einfließen, jedoch ergibt dieses
Schwierigkeiten für die Bestimmung der zugehörigen Lebendenanzahlen,
da lediglich die ausgehendvon einem Stichtag ermittelte Lebendengesamtheii berücksichtigt werden kann. Diese führt dazu, daß entweder die
Beschränkung auf die geschlossenePersonengesamtheit L*,r (b) vorzunehmen ist, oder die Wanderungsbewegungenmit Hilfe eines Näherungsverfahrensin die Bestimmung der Lebendengesamtheiteinzuführen sind.
Berücksichtigt man die Wanderungsbewegungeneiner offenen Personengesamtheit L, (b) nicht, dann erhält man - abhängig vom Stichtag S
q":
Fehler
für
einen systematischen
Wandern Personenmit vollendetem Alter x in der Zeit [61, S] zu' dann
wird die Zahl der Todes{iille von x-jährigen bezogen auf L, zu niedrig
ausfallen, da diese Personennicht von Beginn ihres x-ten Lebensjahresan
beobachtet werden können und schon Sterbef?ille x-jähriger vorgekommen sind, die dann nicht registriert werden. Bei Abwanderungen x-jähriger wird q* einen überhöhten Wert aufweisen.
Nach 3 hingegen führen Zuwanderungen zu einer Überschätzung, Abwanderungen zu einer Unterschätzung. Bei mit dem Alter steigenden
22
€c
(ot ztt - oc: ot z/I + fc 'q'p)
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VryZ e\p gep os qc?uUeIJg rep faunreqn u3lre{qclplaqJsJq€^toqJäls
Abb.4
-
b
Verteilungder Sterbeftilleüber
und der Annahmeeiner gleichmäßigen
d. h. tx(b0,&) = t* (bz,gz),erhaltenwir
alle Geburtsjahrgänge,
t* (b)
q::
gr/g) - l/2' l*(62,g) + l/2 ' /. Gr, go)
l*(b1/b2,
erfaßtwerden,wird dieses
Da alle Sterbefülleeiner Beobachtungsperiode
genannt.Sie wurde bei der Ermittlung der
VerfahrenSterbejahrmethode
für die AllgemeineDeutscheSterbetafel
relativen Sterbehäufigkeiten
(siehe[], [5D.
60/62angewandt
l. 3.4. Sterbezffirnverfahren
(eine
Ein technischeinfachesVerfahrenstellt das Sterbeziffernverfahren
dar. Ausgehendvon der
,,Anfangs-Plus-Endbestand-Halbe-Methode")
b : b1
desBeobachtungsjahres
Sterbeziffer
k*:
24
t * ( b 1 ,g q l g 1 )
r/2(l.(bt)+ Ä (br))
9(,
s'qqv
. (t?tw.zqlrqloq)\
7,/t:
((rE.zq)*r * (rt .rq;5 + (qE.tq)xl * (aE.0q)*iZ/t x
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elp J$ uel& uaulerI^1uelpqJo
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qcrnplrelSr;neqeqrots
gilt für die Lebendengesamtheiten:
Andererseits
/ - ( b r ) : / * ( b o , g o-)t * ( b o , C 0 )( B F : A F
AABF) und
:
/ ^ ( 6 r ) : / * ( b r g, r ) - t * ( b r , g , ) ( G J F J A F G J ) .
Für k^ erhältman
k*ry
t^(bs/b1/b2,go/91)
/* (bo,go)+ /- (br, g) - | /2 t*(bs/b1/b2, g0/g)
! - -
I
t/qi - t/2
Die Berechnung der relativen Sterbehäufigkeit anhand der Geburtsjahr-,
und der Sterbejahrmethode erfolgt unter Vernachlässigung der Wanderungen. Das Sterbeziffernverfahren berücksichtigt Wanderungen näherungsweise durch die Durchschnittsbildung. Nicht erfaßt werden die
Personen,die nach Beobachtungsbeginnder Personengesamtheitbeitreten
und vor Beobachtungsendewieder ausscheiden, sei es wegen Tod oder
anderer Gründe. Sie erscheinendeshalb auch nicht im Nenner von k*. Im
Todesfall während der Beobachtungszeitgehen sie aber in den Zähler
t" (b1, 96lg1) ein. Theoretisch kann dies dazu führen, daß wir eine relative
Sterbehäufigkeitvon über 100%erhalten.
l. 3.5. Verweildouermethode
Gerade bei kleinen, offenen Personengesamtheitenist die Anwendung der
Geburtsjahrmethode wegen des Ausschlusseseines Teiles des Beobachtungsmaterials problematisch. Wegen der Auswirkungen der Wanderungsbewegungenauf Anfangs- und Endbestand kann das Sterbeziffernverfahren verlälschteWerte für q* liefern. Diesen beiden Methoden fehlt
also eine Bewertung der Tatsache,daß eine Person aus L* (b) oft nicht
eine ganze Altersperiode während der Beobachtungszeitb dem Todesfallrisiko ausgesetztist. Um diese Tatsache zu berücksichtigen, müssen wir
die Dauer d, die eine Person zu L, (b) gehört, in die Bestimmung von
q* (b) einbeziehen. Beim Sterbeziffernverfahren wird diese Tatsache
aufgrund der Durchschnittsbildung näherungsweise berücksichtigt. Bei
der Verweildauermethodebestimmen wir deshalb die von jeder Personin
ihrer Risikoklasse verbrachte Zeit und ordnen ihr ein entsprechendes
Gewicht zu. Dabei erhält die Person, die mit einer ganzen Altersperiode
(im allgemeinenbeträgt diese ein Lebensjahr,bei abgekürztenSterbetafeln 5 Jahre) in den Beobachtungszeitraumfällt, das Gewicht ,,1",
ansonsten ein Gewicht kleiner als ,,1" entsprechend dem Verhältnis
tatsächliche Verweilzeit in einer Risikoklasse zu maximal möglicher
Verweilzeit. So erhält z.B. eine x-jährige Persondas Gewicht 7/l2,wenn
26
LZ
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uo^ pun unl8psllulurg ruo^ ue{qclFleqJsJg€^\eqrels3lp gBp 'ual'uqauu€
rrA\ uue1yuelreue^ unurlrezsEunlqceqoeg uazueEuep Jaqn EtgeuqctalE
allrrlsnv pun -urg qcrs gep 'uaqaEsneuol€p JIA\ uauug{ uautauatlle ru1
",1" lqctirreg s?p'lsl lauproaEnzsepol
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uaEeEuperp 'uosra6 aurg lEgnaq rqef I apouadsrelJy elp pun goqa8
ess?plo{rsrg Jnz eluuol I L seurnsJltäzstunlqceqoeg sep puaJge,r\ els
Risikoklasse gehören können. Die in 3.1, 3.2 und 3.3 beschriebenen
Methoden berücksichtigen diesen Sachverhalt nur näherungsweise,während die Verweildauermethode diesen Sachverhalt exakt erfaßt.
Die Zeitdauer, die eine Person zu einer Risikoklassegehört, bezeichnen
wir als Risikozeit. Die Risikozeit y einer PersonengesamtheitL wird
dehniert durch die Summe der Risikozeitenaller Personenaus L, d. h.
d'/0.
I
0<d=l
Die zu bestimmenden Sterbewahrscheinlichkeiten einer Personengesamtheit sollen nicht von den Zeitpunkten der Todesfülle innerhalb des
Beobachtungszeitraumes
abhängen.Daher wird jeder Person,die durch
Tod aus L ausscheidet,die Risikozeit I zugeordnet.Wir erhalten damit
als zweite Darstellungfür die Risikozeit von L
y:t+
I
d.tä.
0<d5l
Damit können wir y als theoretisch exakte Näherung für / in der
Definition der relativen Sterbehäufigkeit ansehen.
Die Geburtsjahrmethodeist bei geschlossenen
Personengesamtheiten
ein
exaktes Verfahren zur Ermittlung der in 1.2.I def,rnierten relativen
Sterbehäufigkeit.Mit den in diesem Abschnitt angestelltenÜberlegungen
kann man die Verweildauermethode als exaktes Verfahren für offene
Personengesamtheitenansehen. Bei geschlossenenPersonengesamtheiten
hat jede Persondie Risikozeit l; daher reduziert sich in diesem Fall die
Verweildauer- auf die Geburtsjahrmethode.
Abbildung 6 zeigt für den Beobachtungszeitraumb:\/bz
einige Beispiele der Gewichtsvergabe.Bei Anwendung der Geburtsjahrmethode
wird von den Beispielenin Abbildung 6 nur der Fall (4) erfaßt, während
die übrigen unberücksichtigtbleiben.
(l): 8:01. 10.b2 i e L*.173(b2), di:l/3
(2): E:01. M. b2 i e \ (b2),
di: I
(3): g:01.09. br i e T,(b2),
di: I
(4): g:01.07. br
i e L * , 1( b r / b 2 ) ,
di: I
( 5 ) : g : 0 1 . 0 3 .b r
i e L * 3 1 a ( b r l b 2 ) ,d i : 3 / 4
( 6 ) : g : 0 1 . 0 8 . b o i e L * , 1 7 a ( b, 1 )
di: l/4
(7): g:01.07.b0 i e L*,172(b1), di:l/2.
28
6Z
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-ueuosJed uapueqJnsJelunnz Jep us8unJepu€raA elp pun puBlsnz uec
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uo^ puer{uv
uepoqlen rep qcrelEreA't'I
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+hrnlqceqoeg rq
e+x
elu!l
gJqerI +x
U €reüv
aJqBrx
e6qce
-lpz
qrn€e
versehensind. Es bedeuten
80 b - (Abb. 7, Strecke AD) zu L50(80, 30) gehören 80 Personen.
3 t - (Lebenslinien, die im Dreieck ABD enden) aus L5e(80,30)
scheiden 3 Penonen durch Tod aus, d. h. t50(80/30) : 3.
l0 a - (Abb.g) aus L5s(80,30) scheiden l0 Personen vorzeitig (aber
nicht wegenTod) aus,d.h. a56(80, 30) : tO.
Für L5s(80/81, 29/30/31) führen wir die Bestimmungsformelnder vier
Methoden noch einmal in der Tabelle 2 auf.
öffnen wir nun eine geschlossenePersonengemeinschaft,indem wir zulassen, daß Personen vorzeitig ausscheidenoder erst nach Beobachtungsbeginn eintreten, dann zeigt eine gleichbleibende Anzahl von Toten eine
Erhöhung der Sterbewahncheinlichkeit an, wenn weiterhin L50,r(80/81,30)
: Lso(80/81, 29/30/31) gilt, da die fusikozeit kleiner gewordenist.
Die zu bestimmenden Werte der relativen Sterbehäufrgkeit müssen
deshalb höher ausfallen als die ursprünglichen für die geschlossenePersonengesamtheit.
Tabelle 2
Methode
Geburts-
;;;--"methode
Sterbejahr
methode
Sterbeziffernverfahren
Verweil-
dauermethode
30
Bestimmungsformel für q5s(80/81)
:,,,=^,-ti''*11'!]'',0],
qg(sozsr)
(80/81 30)+ t30.(80/81,30)
40.I
,
r
t5o(80/81)
qlolaozetl:
+ l/2. /s0(81,3l)
/50(80/81,30/31)- t/2. l5o$0,29)
q'o(tozst):
k-^_
v^50
| + kso/z
tso(80/81)
r /2 (50(80)+ /50(80))+ l/2 (50(8l) + 6o(81))
qg(so/sl)=
tso(80/81)
' o<d<l
I€
'l
es.|cBuezEounIfJBqc,E
'['qqv
Ierdsreg
,q
BeispielI:
wir diegeschlossene
Personengesamtheit
I a undI b untersuchen
In denBeispielen
L50,r (80/81). Im Fall a nehmen wir an, daß während der Beobachtungszeitgleichmäßige Sterblichkeit vorliegt, d.h. von den 6 Sterbefällen fallen 3 in das Jahr
är:1980 und 3 in das Jahr b::1981. Es zeigt sich, daß alle Methoden die
gleichen Werte für qe liefern (siehe Tabelle 3 und Abb.7). Denn die Verweildauermethode reduziert sich bei geschlossenenPersonengesamtheitenzur Geburtsjahrmethode, da der Summenausdruck) d'Gqa (80/81) nur Gewichte d mit dem
Wert I enthält.
Da die Anfangs-bzw. EndbeständeL56(80,29) bzw. Le (81, 3l) nicht zur beobachteten geschlossenenPersonengesamtheit gehören und deshalb /e (80,29) und
/50(81,31) auf Null zu setzen sind, erhält man aus der Sterbejahr- wieder die
Geburtsjahrmethode. Bei dem angenommenengleichmäßigen Sterblichkeitsverlauf
liefert auch das Sterbeziffernverfahren die gleichen Werte, da sich wegen
L50(80) :0, Lso(81) :0 und Le (80) : L50(81) q"so(80/81) zu
tsg(80/81)/(Ljg (80) + l/2 t50(80/81)) reduziert
und L56(80) + l /2 tsg(80/8 1) : Lso (80/8 1, 30) gilt,
wodurch in diesem Fall auch das Sterbeziffernverfahren auf die Geburtsjahrmethode zurückgeführt wäre.
Liegt dagegen in den beiden Beobachtungsjahreneine unterschiedliche Sterblichkeit vor - im Beispiel I b fallen alle Todesfälle in das Jahr br: l98l und die
Sterblichkeit ist deshalb im zweiten Beobachtungsjahr größer als im ersten - so
erhalten wir für die relative Sterbehäuhgkeit einen zu niedrigen Wert, im anderen Fall würde das Sterbeziffernverfahren einen zu hohen Wert liefern.
Bei geschlossenenPersonengesamtheitensind Geburtsjahr-, Sterbejahr- und Verweildauermethode identisch. Personenwerden nur beim Eintritt (Überschreiten der
Alterslinie 50) sowie im Todesfall registriert und gezählt. Dabei spielt das
Todesdatum keine Rolle, da es aufjeden Fall nach dem Datum der Bestandserfassung liegt. Dagegen wird im Sterbeziffernverfahren zu einem Zeitpunkt innerhalb
des Beobachtungszeitraumesder Zwischenbestand /5s($0) ermittelt, der unmittelbar vom Todesdatum abhängt, je nachdem, ob es vor oder nach dem Stichtag 80
liegt. Bei kleinen Untersuchungsbeständenmit innerhalb des Beobachtungszeitraumes stark schwankendenSterbehäufigkeiten sollte man deshalb auf das Sterbezi ffernverfahren verzichten.
Für verschiedeneTeilgesamtheitenvon L5q bestimmen wir mit den in 1.3.2-1.3.5
beschriebenen Methoden Werte für die relative Sterbehäufigkeit qS, q!6, qft und
qB. Um eine Aussage über die Qualität der vier Häufigkeitswerte treffen zu
können, benötigen wir einen Vergleichswert, den wir als wahre relative Sterbehäuhgkeit für die betreffende Personengesamtheitansehen.In unserem Beispiel sei
dieses wahre gso: 757-. Wir gehen deshalb im ersten Beispiel von der geschlosL50,1(80,/81,30)aus, für die wir mit der Geburtsjahrsenen Personengesamtheit
methode eine theoretisch exakten Wert für die relative Sterbehäufigkeit bestimmen
können. Wir bezeichnen diesen Wert deshalb als theoretisch exakt, weil seine
Definition der allgemeinen Definition der relativen Häufigkeit in der Statistik
entspricht.
32
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Im zweiten und dritten Beispiel erweitern wir diese geschlossenePersonengesamtheit durch Wanderungsgesamtheiten zur offenen Personengesamtheit Lsg(80/81, 29/30/31). Da wir für offene Personengesamtheiten
keinen exakten Wert für die relative Sterbehäufigkeit angeben können,
schätzen wir mit Hilfe von Plausibilitätsüberlegungenden durch die
Wanderungen auf den exakten Häufigkeitswert vorhandenen Einfluß ab.
Da wir den Zeitpunkt des Ein- oder Austrittes bei vorzeitig ausscheidenden oder erst nach Beobachtungsbeginnhinzukommenden Personennicht
im einzelnen berücksichtigen wollen, rechnen wir ihnen aus Vereinfachungsgründen die Hälfte der möglichen Beobachtungszeitals Risikozeit
zu. Eine am l. 10. 1929geborenePenon aus W5q(80,29) könnte maximal
vom l. l. 1980bis 30. 9. 1980zu L5s(80, 29) gehören.Daher nehmen wir
ihre Risikozeit in L5s(80,29)mit der Hälfte - also 4,5 Monaten - an, d. h.
Y::o(80, 29):4,5 Monate. Wir gehen von einer gleichmäßigenVerteilung
der Geburtszeitpunkte innerhalb eines Geburtsjahres aus. Dann erhalten
wir für W50(80, 29): 49 eine durchschnittliche Beobachtungszeitvon 20
und daher eine Risikozeit von l0 Penonenjahren. Für W50(80/81,30)
:40 ergibt sich eine durchschnittliche Beobachtungszeit von 40 und
damit eine Risikozeit von 20 Personenjahren.
In den Beispielen 2 und 3 betrachten wir nur noch offene Personengesamtheiten und berücksichtigendie Geburtsjahrmethodenicht mehr, da
wir nur für die geschlosseneTeilgesamtheitendiese Methode uneingeschränkt anwenden können. Für die komplementären Restgesamtheiten
müssendann andereVerfahren angewendetwerden.
Beispiel2:
Im Beispiel2 (Abb. 8 und Tabelle4) beobachtenwir die Personengesamtheit
sollen,
durchTod ausscheiden
Ls. (80/81)mit /5s(80/81): 120,ausder 6 Personen
d.h. tso(80/8I ) : 6. Da die Risikozeitin L5s(8I /31) und L56$0/29) nur ein halbes
Jahr beträgt,müssenwir diesesbei der Bildung der relativen Sterbehäufigkeit
die wir für L56(80/81)
Bei einerRisikozeitvon 80 Personenjahren,
berücksichtigen.
erhalten,ergibt sich eine plausiblerelative Sterbehäuhgkeitvon 757m,wenn die
(Fallb).
Sterbelälle
ausL5s(80/81,30)stammen
Ereignensich dagegeneinige der sechsSterbeftillein L5s(80/31)oder in
beobachtet
L50(81/31),dann muß eine Senkungder relativenSterbehäufigkeit
nicht
Personen
werden,da die gesamte
Risikozeitder in L5s(80/81)verbliebenen
in L5s(80/81,30).
sostarkabnimmtwie bei denTodesfällen
und VerSterbeziffernverfahren
Um die Empfindlichkeitvon Sterbejahrmethode,
beurteilen
weildauermethodeauf derartigeunregelmäßigeSterblichkeitsverläufe
Sterblichkeitsverläufe:
wir verschiedene
zu können,beobachten
Fall a: Wir nehmen eine gleichmäßigenSterblichkeitsverlaufan, d.h. in den
verzeichnenwir je 3 Sterbefälle,die sich mit je 2
beiden Beobachtungsjahren
verteilen.
Sterbeftillenauchgleichmäßigauf die drei Geburtsjahrgänge
34
9€
'z
asqce{ezsounlqceqcg
'g'qqv
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rq
6Z'l't
q
g9€:p
q0t:c
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q8e:e
: (!s'00)r.1
Tabelle4: Beispiel2.
Qso
(o/*)
tso
lso
4o(80) /50(81):
(80/81) ( 8 0 / 8 r , 3 o l 3 r )
/so(80)
2aS
Z
D
74,1 6
'14,r
6
73,2 6
8
b S
75,0 6
75,0 6
75,0 6
8
1)1
8
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Fall b: Die Sterbefälle stammen nur aus dem Geburtsjahrgang 91: 1930,verteilen
sich aber mit je 3 Toten gleichmäßig auf b1 und b2. Der Fall ungleichmäßiger
Sterblichkeitsverteilung wird im Beispiel I b behandelt.
Fall c: Die Sterbeftille(6 t) werden nur in b2: l98l beobachtetund stammenaus
Ez: l93l '
Fall d: Die Sterbel?ille (6 t) werden nur in b1 : 1980 beobachtet und stammen aus
Eo:1929.
Da im Fall b die Toten nicht aus den hinzugekommenen Randgesamtheiten
stammen, liegen theoretisch die gleichen Verhältnisse wie im ersten Beispiel vor, so
daß wir die in Tabelle 4 angegebenen drei Werte für die relative Häufigkeit
akzeptieren können.
Wenn wir die oben angestellten Plausibilitätsüberlegungen berücksichtigen, dann
entwickeln sich die relativen Sterbehäufigkeiten nach der Verweildauermethode in
den Beispielen 2a, 2c und 2d folgerichtig (Tab.4): je höher der Anteil der
Sterbefällein den RandgesamtheitenLsg(80/29) und L5e(81/31) ist, je kleiner ist
q5s(80/81). Daß insbesondere bei einer ungleichmäßigen Verteilung der Sterbeftiile die Werte der Sterbejahrmethode und des Sterbeziffernverfahrens stark
schwankenkönnen, zeigen2c und 2d. Da bei diesenbeiden Methoden Beständean
Stichtagen bestimmt werden, wirken sich Sterbeftille vor oder nach diesen Stichtagen auch zahlenmäßig aus. Für 2d liefert die Sterbejahrmethode zu hohe Werte,
da die Sterbeftille des Geburtsjahres 1929 im ersten Beobachtungsjahr bei der
Bestimmung der durchschnittlichen Differenz zwischen Anfangs- und Endbestand
im Term I /2 (/50(8b) - /50(8i )) nicht erfaßt werden.
Für 2c liefert das Sterbeziffernverfahren zu hohe Werte, da die Sterbef?ille des
Geburtsjahres 193I im zweiten Beobachtungsjahrzu stark gewichtet werden.
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Tabelle5: Beispiel3.
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In den Fällen,in denensich die Austrittegleichmäßigüber die Geburtsjahrgänge
verteilen oder auf den Geburtsjahrgang1930,der allein vollständigbeobachtet
- Fälle I und 2 -, weichendie relativenSterbehäufigwerdenkann,konzentrieren
keiten des Sterbeziffernverfahrens
und der Verweildauermethode
nur geringfügig
voneinanderab.
In den Fällen 3 liegendie Werte des Sterbeziffernverfahrens
erheblichüber den
Wertender Verweildauermethode,
da die AbgängeA5g(81,31)vollständigerfaßt
werden (vergleicheBeispiel 2c), und die Gesamtrisikozeitdadurch zu gering
bewertetwird, während in den Fällen 4 die Werte des Sterbeziffernverfahrens
erheblichniedrigerliegen,da die AbgängeA50(80,29) nicht im Nennervon ks
erfaßtwerden,und dadurchdie Gesamtrisikozeit
zu hochangesetzt
wird.
Wenn wir von der Voraussetzung
ausgehen,daß die Werte der relativenSterbehäuhgkeitproportionalzu den Wertender Gesamtrisikozeit
sind, dannzeigendie
relativen Sterbewahrscheinlichkeiten
der Verweildauermethode
eine realistische
Entwicklung.
1.4.2. Zusammenhdnge
Allen Methoden gemeinsamist die Bestimmung der relativen Sterbehäufigkeit in der Form q*--t /l*. Gleich ist auch die Bestimmung der
Anzahl der Toten t*. Der Unterschied zwischen den Methoden besteht
also in der Berechnungder Anzahl der Lebenden /*, die während einer
Beobachtungsperiodedem Todesfallrisiko ausgesetztsind. Einen exakten
Wert erhalten wir nur bei geschlossenen
Personengesamtheiten,
und zwar
mit der Geburtsjahr- der Sterbejahr- und der Verweildauermethode,die
für geschlossenePersonengesamtheitenidentisch sind. Das Sterbeziffernverfahren ist nicht exakt, weil es die zugrunde liegende Lebendengesamtheit nur zu bestimmten Zeitpunkten bestimmt, und Wanderungen durch
die Durchschnittsbildung nur näherungsweiseberücksichtigt werden.
Theoretisch exakt ist die Verweildauermethode sowohl für geschlossene
als auch für offene Personengesamtheiten,
wenn wir die in 1.3.5definierte
verallgemeinerterelative Sterbehäufigkeit verwenden.
Als Spezialfall der Verweildauermethode erhalten wir durch eine spezielle Wahl der Gewichte (d : l) die Geburtsjahrmethode.Der Zusammenhang zwischen der Geburtsjahrmethode und dem Sterbeziffernverfahren wurde in 1.3.4 gezeigt.
Schließlich läßt sich auch das Sterbeziffernverfahrenals Spezialfall der
Verweildauermethodedarstellen:
Wir nehmen an, daß sich die Verweilzeit der Personenin t* (b), die nicht
ein ganzes Jahr unter Beobachtung stehen, gleichmäßig auf die Werte
zwischen0 und I verteilt ist. /,.6 in Tabelle 2 ist deshalb nahezukonstant
in d. Der Einfachheit halber soll d für d < I nur die n diskreten Werte
(j - l/2)/n(l= j < n, n e N) annehmen.Für den Summenausdruckin der
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Abb.l0. Monatliche,aufeinJahrnormierteSterbeziffernl950-1964inProzent.
eine Sterbetafelvon
Daß man mit der Wahl des Beobachtungszeitraumes
vornherein beeinflussen kann, zeigt auch die Darstellung der allgemeinen
monatlichen Sterbeziffernfür die BundesrepublikDeutschlandIl]. Unter
der monatlichen Sterbeziffer verstehen wir das Verhältnis aus der Anzahl
Gestorbener eines Monats zur Anzahl Gestorbener des entsprechenden
Jahres.
Wir erkennenauf den Grafiken in Abbildung l0 neben dem Fehlen eines
Trends die saisonalen Schwankungen und das mehrmalige Auftreten
besonders hoher Februarspitzen. Allerdings wird deren Einfluß auf die
Sterbewahrscheinlichkeit in den entsprechenden Jahren dadurch etwas
gemildert, daß in den darauf folgenden Monaten in der Regel prozentual
aufs Jahr bezogen weniger Sterbeftille auftreten als in den entsprechenden
Monaten spitzenfreier Jahre, was auf eine Vorwegnahme von Sterbefällen
hindeutet.
Ferner läßt sich anhand dieser Darstellung erkennen, daß Sterbetafeln
196l und 196l/62 im Mittel niedrigere Sterbewahrscheinlichkeiten ergeben hätten als die Sterbetafel 1960/62. Die sterbewahrscheinlichkeiten
einer Sterbetafel 1959/63 hätten sich wegen der niedrigen Sterbehäufigkeiten in 1959 und der höheren im Jahre 1963 von der Sterbetafel
| 960/ 62 nicht wesentlichunterschieden.
42
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Neben kleinen Risikoklassenfür hohe Alter sind bei Venicherungsunternehmen geschäftsbedingtkleine Altenrisikoklassen für die Alter unter 20
Jahre zu verzeichnen. Relative Sterbehäufigkeiten für diese Altersbereiche, die in einem zu kurzen Beobachtungszeitraum ermittelt werden,
werden starke Schwankungen aufweisen und können erheblich von der
zugrunde liegenden Sterbewahrscheinlichkeitabweichen.Je nach Größe
der zu untersuchendenGesamtheit ist deshalb auf eine ausreichend lange
Beobachtungsdauer zu achten. Andererseits muß auch berücksichtigt
werden, daß eine zu lange Beobachtungsdauereine aktuelle Anderung
die nicht zuf?illig sind, nicht erkennbar
der Sterbewahrscheinlichkeiten,
werden läßt. Bei der Wahl des Beobachtungszeitraumes
für die Bestimmung relativer Sterbehäufigkeitenist deshalb deren Verwendungszweck
zu berücksichtigen.Folgende allgemeine Forderungen lassen sich aufstellen.
r Die aus den relativen Sterbehäufrgkeiten
zu bedes Beobachtungszeitraumes
sollten einen repräsentativenDurchstimmendenSterbewahrscheinlichkeiten
schnittergeben,der längereZeit gültig ist (t51,t6l).
o Um auch für anzahlmäßigkleine Altersgruppenzuverlässige
Ergebnisse
zu ergroßgenuggewähltwerden.
halten,muß der Beobachtungszeitraum
r Der Beobachtungszeitraum
darf nicht so groß gewähltwerden,daß Anderungen
nicht mehrerkanntwerden.
im Sterblichkeitsrisiko
o In den Beobachtungszeitraum
sollte eine ganzeZahl von Sterblichkeitswellen
in
die
relainnerhalb
Beobachtungszeitraumes,
denen
des
das sind Zeiträume
tiven Sterbehäuhgkeiten
dieserZeiträumeerheblichüber den zugrundeliegenliegen(2.B. Gripdes Beobachtungszeitraumes
den Sterbewahrscheinlichkeiten
pewellen)- einbezogen
werden,damit nicht Sterblichkeitsmaxima
bzw.-minima
einseitigdominieren.
Welche der vier Forderungen erfüllt werden sollen, richtet sich nach den
Anforderungen, die an die zu bestimmendenSterbehäufigkeitengestellt
werden. Um eine allgemein gültige Sterbetafelaufzustellen,werden wir
versuchen,eine Kompromiß zu finden, der allen vier Punkten gerechtwird.
Wollen wir dagegenfeststellen,ob sich die aktuelle Sterbewahrscheinlichkeit gegenüber einer vorgegebenen Sterbewahrscheinlichkeit signifikant
geändert hat, so werden wir die Punkte (3) und (4) besondersberücksichtigen müssen.
1 . 6 .P o l i c e n s t e r b l i c h k e i t- P e r s o n e n s t e r b l i c h k e i t
Versicherungsbeständewerden in der Regel nicht personenmäßig, sondern policenmäßig verwaltet. Dies bedeutet im Falle des Todes einer
versicherten Person, daß zwar nur eine Person die versicherte Personengen Policen auf das
samtheit verläßt, aber aus dem Versicherungsbestand
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-JeqcrsJe^Joura lle3sopol tul eC 'uaqoEqeuosJed ueuaqrolseEJep ueqe'I
Kapitel2: Beurteilungderbeobachteten
Daten
von Birgit Oehlers-Vogel
und Bernd Zschoyan
Das Studium dieses zweiten Kapitels setzt beim Leser Grundkenntnisse
der Statistik voraus. Dem Leser, dem die allgemeinen statistischen
Begriffe wie Zufallsvariable, Wahrscheinlichkeit, Verteilungsfunktion
usw. nicht bekannt sind, wird empfohlen, sich zunächst hiermit vertraut
zu machen. Hierzu gibt es eine ganze Reihe von einführenden Lehrbüchern in die Statistik, von denen eine kleine Auswahl mit in das Literaturverzeichnisaufgenommenist (2.B. [3], [6] und [7]).
Ziel dieses Kapitels ist es, Methoden bereitzustellen, mit denen die
gemäß IGpitel I gewonnenen Daten beurteilt werden können. Zunächst
werden in Abschnitt 2.I einige allgemeine Bemerkungenüber die Vorgehensweisebei den,,Beurteilungsverfahren",den sogenanntenTestverfahren, gemacht.Hieran schließt sich in 2.2 eine Darstellung verschiedegeeigneter Testverfahren an, eine
ner für Sterblichkeitsuntersuchungen
Bewertung der vorgestelltenTestverfahrenerfolgt in 2.3. Zum Abschluß
dieses Kapitels wird in dem Abschnitt 2.4 die Anwendung der vorgestelltenVerfahrenbeschrieben.
2 . L G r u n d g e d a n k e nz u s t a t i s t i s c h e nT e s t s
An einem einfachen Beispiel wollen wir erläutern, welche Lösungshilfen
Testverfahren bieten:
von 10000036jährigenerwartenwir aufgrundder
Bei einer Personengesamtheit
vor Erreichen
dieserPersonen,
bisherigenEntwicklung,daß die Wahrscheinlichkeit
zugrundegelegten
des 37. Lebensjahreszu sterben,unter der rechnungsinäßig
Sterbewahrscheinlichkeit
von Q36:0,00222liegt. Tatsächlichbeobachtenwir für
203 Tote, das entsprichteiner
diese Gesamtheitinnerhalb diesesLebensjahres
von ero:0,00203 (dieseDaten sind der Tabelle8 entnommen).
Sterbehäufrgkeit
Wir müssenuns nun die Fragestellen,ob die AbweichungzwischenQ36und q36
rein zuftillig oder durch die erwarteteniedrigereSterbewahrscheinlichkeit
bedingt
dann wahrist. Intuitiv erscheintuns eine niedrigere Sterbewahrscheinlichkeit
scheinlich,wenn e36,,deutlichkleiner" als t[36ist. In unseremBeispielentsteht
jedoch die Frage,ob die 203Totendeutlichwenigerals die erwarteten222Toten
sind. Damit liegt das Problemin der Festlegungeiner Schranke,die den Begriff
,,deutlichkleiner"eindeutigbestimmt.
Ein Testverfahren bietet nun die Möglichkeit, die Bestimmung der
Schranke aus dem Bereich des freien Ermessensherauszunehmen.Durch
die Vorgabe einer Irrtumswahrscheinlichkeit- sie begrenzt die Wahrscheinlichkeit dafür, daß irrtümlich keine niedrigere Sterbewahrscheinlichkeit festgestelltwird - ergibt sich die Größe der Schranke.
46
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Auf unserobigesBeispielübertragen,könnenwir als Nullhypotheseformulieren:
B (n, p) mit n: Anzahl der
Bezeichnet!p die Menge aller Binomialverteilungen
Personen: 100000,so sei !p6die Teilmengevon !p mit einemParabeobachteten
meterwert p kleiner Q:0. Als Alternativhypothese!p1 erhalten wir damit alle
p größerodergleichq6.
Verteilungenmit einemParameterwert
Häufig werden Hypothesen, die sich auf einen Parameter p einer Verteilung beziehen,in der Form
H o :P : P"o l
Fragestellung"oder
,' f ,,zweiseitige
r r 1: p = F p s f
P = p0|
Fragestellung"
,,einseitige
'
lo:
H r: P < P o J
angegeben.Ein Test ist eine Vorschrift, die aufgrund des Ergebnissesder
Stichprobe die Entscheidung zugunsten lpe oder $1 trifft. Hierbei sind
dann folgendeFälle möglich:
l. ,,In Wahrheit" gilt $s:
l.l. Lautet die Entscheidungebenfalls $s, so haben wir die richtige
Entscheidung getroffen;
1.2. lautet die Entscheidung!p1, so haben wir eine Fehlentscheidung
getroffen, diesesist der sogenannteFehler l. Art (die zugehörige
Wahrscheinlichkeitwird mit a bezeichnet).
2. ,,In Wahrheit" gilt $1:
2.1. Lautet die Entscheidunglpo, so haben wir eine Fehlentscheidung
getroffen, diesesist der sogenannteFehler 2. Art (die äugehörige
Wahrscheinlichkeitwird mit,B bezeichnet);
2.2. lautet die Entscheidung ebenfalls $1 , so haben wir die richtige
Entscheidunggetroffen.
Die genanntenFälle sind in der Tabelle 6 noch einmal zusammengestellt:
Tabelle6
Entscheidung
zugunstender
Nullhypothese
Alternativhypothese
richtig
falsch(Fehler2. Art)
talsch (Fehler l. Art)
esgilt die
Nullhypothese
Alternativhypothese
richtig
6n
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Jap Eun4nusnv alp qcJnp floJJe suaJqBJJa^NeIseuro tun11cr,n1ugatq
entsprechend
anpassenkönnen.Diesesist dann auch der Vorteil gegennachfreiem Ermessen,
ti6er einer Entscheidung
da eineAussageüber den
Fehlerl. Art a möglichist.
2.1.3. WahldesTestverfahrens
Formal gesehenist ein Test der NullhypotheseS0 gegendie Alternativhypothese$1 eine Abbildung ä des Stichprobenraumes
in die Menge
{ 0 ,l } :
J
5 . S - r { 0 ,l } .
Hierbei bedeutetä(x): I die Ablehnungder Nullhypothesefür die
Stichprobex e I, während für ä(x) : 0 die Nullhypothesenicht abgelehnt werdenkann. Diese Abbildung definiert uns im Stichprobenraum
die beidenUrbilder:
Is : {x e I lä (x) : 0} ,,Annahmebereich"
und
Bereich"bzw.,,Ablehnungsbereich"'
I1 : {x e Ilä(x): l} ,,kritischer
Häufig kanndie Testfunktionö in die folgendeForm gebrachtwerden:
f>l
T ("x ) { I c " .
l<l
Hierbei bedeutenx e I die beobachteteStichprobe,T die Prüfgrößeund
cn eine von der vorgegebenenIrrtumswahrscheinlichkeitc abhängige
Schranke. T (x) bezeichnenwir als Testwert und cn als Grenzwert.
T(x) > cn entsprichtdann ö(x): l, d.h. Ablehnungder Nullhypothese
und T(x) = caentsprichtö1x;:6.
Testverfahrenfür dasTestproblemzur Verfügung,so
Stehenverschiedene
angewenentstehtdie Frage, welchesTestverfahrenzweckmäßigerweise
det werden soll. Hierzu gibt es in der mathematischenStatistik einige
Optimalitätskriterien,die die gebräuchlichenTestverfahrenhäufig erfüllen. EinigedieserKriterien wollenwir kurz anführen:
o unverfälschterTest zum Niveau a: die Ablehnungswahrscheinlichkeit
im Falle der Gültigkeitder Nullist am geringsten
der Nullhypothese
gleicha,
hypotheseund höchstens
o gleichmäßigbesterTestzum Niveau a: der Fehler2. Art B (zu vorgegebenemc) ist kleiner oder gleich dem Fehler 2. Art aller anderen
zum Niveauq.
Testverfahren
o bester Test zum Niveau a ist ein für eine vorgegebeneMenge von
gleichmäßigbesterTestzum Niveau c,
Testverfahren
. asymptotischbesterTest zum Niveau a: das Optimalitätskriteriumgilt
erstbei unendlichemStichprobenumfang.
strenggenommen
50
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2.1.5. Durchfuhrung und Inlerpretation des Tests
Nachdem nun alle Vorbereitungen abgeschlossensind (Modellbildung,
Nullhypothese, Auswahl des Testverfahrens und Vorgabe der lrrtumswahrscheinlichkeit),kann bei Vorliegen der Stichprobe der Test durchgeführt werden. Dieses bedeutet, daß anhand der Stichprobe der Wert
der Prüfgrößefestgestelltwird.
Wichtig für die Aussagef?ihigkeitdes Tests ist, daß die Hypothese nicht
aufgrund des Materials aufgestellt wird, das als Stichprobe für die
Durchführung des Tests dient. Dieses könnte zur Folge haben' daß sich
Zufallseinflüsse in der Hypothese niederschlagen.Damit wäre aber die
Aussageftihigkeit des Tests sehr eingeschränkt. Die Durchführung des
Tests muß also mit einer Stichprobe erfolgen, die unabhängig von dem
Material gewonnen wurde, das in der ,,Vorbereitungsphase"verwendet
wurde (vgl. hierzu 2.1.6).
Aufgrund der bei der Durchführung ermittelten Prüfgröße sowie der von
der Irrtumswahrscheinlichkeit c abhängigen Schranke cn gibt es nach
2.1.3nt ei mögliche Testergebnisse:
die Testfunktion ö erhält den Wert 0 oder l.
Im Falle ö(x): I wird die Nullhypotheseabgelehnt.Das bedeutet,daß
diese Entscheidungmit einer Wahrscheinlichkeit von maximal a falsch
ist. Je nach Wahl des verwendeten Testverfahrens und seiner Eigenschaften (2. B. unverfülscht oder gleichmäßig bester Test) hat die getroffene
Entscheidung entsprechende zusätzliche Merkmale. Tests zum Niveau q
sind Verfahren, die von der Voraussetzungausgehen,daß die Nullhypothese gilt. Eigenschaften der Alternativhypothese gehen in diese Tests
nicht ein. Dieses hat zur Konsequenz, daß eine Entscheidung ,,Annahme
der Hypothese" durch die Testtheorie nicht begründet werden kann. Eine
Entschaidungfür die Nullhypothese besagtlediglich, daß die Stichprobe
im Rahmen der zugelassenenFehlerwahrscheinlichkeitl. Art nicht im
widerspruch zur Nullhypothese steht. wollen wir mit Hilfe des Tests die
Gültigkeit einer Hypothese statistisch sichern, so müssen wir sie, wie
schon früher erwähnt, als Alternative formulieren * )'
2.1.6. Besonderheitenbei Sterblichkeitsuntersuchungen
Der allgemeine Grundsatz, den Test nicht mit dem Material durchzuführen, das für die Aufstellung der Hypothesengedient hat, stellt auf dem
*) Es gibt auch Testverfahren, bei denen sowohl a wie auch B vorgegebenwerden.
Dieie haben jedoch zur Konsequenz, daß der Stichprobenumfang als Zufallsvariable auftritt und damit nicht vorgegeben ist (Sequentialtests).Hierzu sei
auf [3] und [8] verwiesen.
beispielsweise
52
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uI 'rep Eunluurqcsurg äuro{ uatunqcnsra}unqrelqcrlqJels uo^ lälqeD
allgemeinen Voraussetzungenfür die Anwendbarkeit statistischer Verfahren gegeben.Als Ergebnis erhalten wir dann beispielsweise eine Sterbetafel, die nicht nur für die untersuchten Versicherungen,sondern auch für
neu hinzukommende Versicherungen Gültigkeit besita und damit als
Rechnungsgrundlage für versicherungsmathematischeBerechnungendienen kann.
2.2. Einige Testverfahren
In diesem Abschnitt wollen wir einige Testverfahren, die für Sterblichkeitsuntersuchungen herangezogen werden können, vorstellen. Zunächst
werden wir uns eingehender mit dem Zeichen-, dem Iterations- und dem
X2-Test sowie seinen Modifikationen beschäftigen. Anschließend wollen
wir noch kurz auf die Anwendbarkeit weiterer Testverfahren eingehen.
Eine Bewertung dieser vorgestellten Testverfahren wird im Abschnitt 2.3
vorgenommen.
2.2.1. Der Zeichentest
Der Zeichentestüberprüft zwei Meßreihen x : Xl , ..., xn und y : yr, ..., yn
darauf, ob die zugehörigenstochastischenVariablen X : Xr , ..., \ und
Y : Yr , . . . , Yn demselben Verteilungsgesetzunterliegen. Hierbei setzenwir
voraus,daß die stochastischunabhängigenDifferenzenXi-Y1 (i:1,...,n)
einem einheitlichen Verteilungsgesetz
P genügen.Über diese Verteilung P
werden Annahmen gemacht, die als Nullhypothese für den Zeichentest
dienen.
Häufi g verwandteNullhypothesensind:
l) Es gibt gleich viele positive und negative Vorzeichen. Unter dieser
Nullhypothese ist der Median der Verteilung P gleich Null, also ist P
Element der Teilmenge der Menge der zugelassenenVerteilungen, die
einen Median von Null haben. Dieser Zeichentest wird auch als
Mediantest bezeichnet. In diesem Fall entspricht der Ablehnung der
Nullhypothese die Aussage,daß die beiden Meßreihen unterschiedlich
sind, da die gepaarten Beobachtungen nicht derselben Grundgesamtheit entstammenkönnen.
2) Es gibt mehr positive (negative) als negative (positive) Vorzeichen.
Dieses ergibt für unser auf einen Altersbereich erweitertes Sterblichkeitsbeispiel (s.2.1) die Nullhypothese, daß die der untersuchten
Personengesamtheit zugrunde liegenden Sterbewahrscheinlichkeiten
tendenziell über (unter) den rechnungsmäßigen liegen. Hierfür betrachten wir die beobachteten Sterbehäufigkeiten als Meßreihe X und
und die rechnungsmäßigenals Y.
54
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bzw.
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It
ö(z):17 für z:cu
t0 sonst
Hierbeiwerden7 und cc bestimmtaus
,H.:ä(l'):,"'"
und 0<y=l
Für die o. a. Nullhypothesen handelt es sich um gleichmäßig beste,
unverldlschte Tests zum Niveau r. Zu bemerken ist, daß diese sogenannte randomisierte Tests sind. Das bedeutet, daß im Fall ä(z) :
7 e (0, l) das Ergebnis des Tests ent aufgrund eines zusätzlichen Zufallsexperimentes,das der (1, y) - Binomialverteilung unterliegen soll, feststeht. Je nach Ausgang dieses Zufallsexperimenteskann die Hypothese
abgelehnt werden oder nicht. y gibt hierbei die Ablehnungswahncheinlichkeit der Nullhypothesean.
Die Bestimmungsformeln für y und cn sind wegen der Binomialkoeffizienten umständlich zu lösen. cn kann jedoch für ausgewählte n' und a
Tafeln entnommenwerden (vgl. z.B. [2]). Stehenkeine geeignetenTafeln
zur Verfügung, so können wir auf asymptotische Tests (Mc Nemar-Test
! 51)ausweichen:
l')
{
1 2z - n ' l
ll für +>c,
ö(z): {
tfn'
I o sonst
2')
2z-n'
I rür lfn'
:)C-
ö(z):
lo sonst
bzw.
6(z):
2z-n'
It rür-- rrl
' tn
lo sonst
Hierbei ist cn das a-Fraktil der (0, l)-Normalverteilung,
d.h. der Wert,
geradeden Wert a erreicht.
für dendie Verteilungsfunktion
56
L'
' l =l =0
pun F z-,oz:(,
_,,"),g;.(, :,")n
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Test,bei dem im Fall ö(z): y ein
Auch dieserTestist ein randomisierter
B (1, f) durchgeführt
nach einer Binomialverteilung
Zufallsexperiment
wird, d.h. mit der Wahrscheinlichkeit
7 wird die Nullhypotheseabgelehnt. Des weiteren haben wir es auch in diesem Fall mit einem
Testzu tun.
gleichmäßigbestenunverfälschten
2.2.3.Die y2-Tests
Iterationstest,
Zeichen-und
Testverfahren,
Die beidenbishervorgestellten
gehen aus von der Richtung der Abweichungzweier Meßreihen.Im
folgendenwollenwir eineandereInformationzur Konstruktionvon Testverfahren heranziehen:die Größe der Abweichung.Testverfahren,die
Als Literatur
hierauf aufbauen, bezeichnenwir als Anpassungstests.
in der
auf die Arbeit von Ammeter[8] verwiesen,
hierzusei insbesondere
einige Testverfahrenzum Vergleich von Sterbehäufigkeitenvorgestellt
werden. Als Nullhypotheseformulierenwir, daß die der Stichprobe
(gegebendurch die unter einjährigemSterberisikostehendenLebenden
Totentr , . .. , t)
l, .. ., n und die beobachteten
lt, ..., ln der Altersklassen
Sterbetafel(gegezugrundeliegendeSterbetafelmit einervorgegebenen
ben durch die einjährigenSterbewahrscheinlichkeiten
Q1,..., Qn)übersoll dann vorliegen,wenn die Abweieinstimmt.,,Übereinstimmung"
Sterbewahrscheinzu den vorgegebenen
chungender Sterbehäufigkeiten
Altersbereich.
lichkeitengeringsindüberdengesamten
2.2.3.1.
x2-Test
Die x2-Prüfgrößeund ihre Verteilung ermitteln wir gemäß folgender
die den Wert I
wir die Zufallsvariable,
Überlegung:Mit {r bezeichnen
stirbt und sonstden
annimmt,wenndie k-te Personder j-ten Altersklasse
W e r t0 ( k : 1 , . . . ,/ ;u n d j: 1 , . . . ,n ) .
nur zul?illig
schwanken
Unter der Nullhypothese
,,dieSterbehäufigkeiten
Sterbetafel(Qr,..., Qn)" ist die Zufallsvariable\r
um die vorgegebene
B(1, qt). Die Anzahlder bebinomialverteiltmit dem Erwartungswert
Q.1:
obachtetenToten ! können wir dann als Realisationder B(L;, Q:) X, : L 4* auffassen.
verteiltenZufallsvariablen
k=l
Da L1 gegenüber q; sehr groß ist, ist X; näherungsweise poissonverteilt
mit dem Erwartungswertund der Varianz !'q1: P(L1'9i). Dieses ist
gerade die Anzahl der unter der Nullhypothese erwarteten Toten e.;: 11Q;.
Bilden wir nun die standardisierteAbweichung
ti-€i
soerhaltenwir eineZufallsvariable
Xi:)-=,
Vei
ist : N (0, l).
standardnormalverteilt
X.i,dieasymptotisch
58
69
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'ä:,'agort3nr4
":"
3: Y
arq
2.2.4. Weitere Testverfohren
Zur Prüfung, ob die einer Personengesamtheit
zugrunde liegende Sterbetafel einer vorgegebenen entspricht, können wir auch die Tests heranziehen, die dem Vergleich von beliebigen Verteilungsfunktionendienen.
Je nachdem. ob wir das Alter als Variable für die Sterbewahrscheinlichkeit stetig oder diskret betrachten, kommen hierfür verschiedene
Testverfahren in Frage:
o Mögliche Tests für die stetigen Modelle sind z.B. der KolmogorovSmirnov-Test (ein Anpassungstest),der Wilcoxon-Mann-Whitney-Test
(ein Rangtest) und der Wald-Wolfowitz-Test (ein lterationstest). Als
Literatur hierzu sei beispielsweiseauf [3] und [6]verwiesen.
e Die diskreten Modelle folgen im wesentlichendenselbenÜberlegungen
wie die stetigenModelle. Wir müssenin diesem Fall lediglich als Stichprobenraum .I die positiven ganzen Zahlen wählen. Die in 2.2.1 bis
2.2.3 vorgestellten Testverfahren gehen alle von der diskreten Betrachtungsweise aus. Weiter fallen hierunter noch eine Reihe von Tests, wie
z. B. die unter der Bezeichnung Rang- oder Anordnungstests zusammenlefaßten Testverfahren.
Die Verfahren,die von der Hypotheseausgehen,daß der Stichprobeeine
vorgegebene Verteilungsfunktion zugrunde liegt (2.B. die Anpassungstests), benötigen die Beobachtungsdaten jedoch in einer bestimmten
Form: Sie sollen aufbereitet sein wie eine Verteilungsfunktion. Hierfür
sind einige Umrechnungenerforderlich.
Wir gehen davon aus, daß die beobachtetenDaten die Realisation einer
Zufallsvariablen X mit einer Verteilungsfunktion F ist. F (x) interpretieren wir damit als die Wahrscheinlichkeit, bis zum Alter x zu sterben,
F (y) - F (x) ist entsprechend die Wahrscheinlichkeit, im Intervall (x, yl
zu sterben.Die Frage lautet nun, wie sieht die beobachteteVerteilungsfunktion F aus. Hierzu müssen wir die Stichprobe wie folgt umrechnen:
Bezeichnenwir mit tl ,...,tn unsere beobachtetenToten, 11,...,1ndie
beobachtetenLebendenund mit gl,...,an die beobachtetenSterbehäufigkeiten in den einzelnenAltersklassen,so defirnierenwir mit
n
It,
/6: "--l=1-
und Qo: o
Lq'fI(l-qi)
i: I
i:0
den Umfang unsererStichprobe.Des weiteren erhaltenwir mit
i- I
t i : t 6q
. ill (l - q)
j=0
60
I9
,
{l (x)zg - (x) rg l} xäur: q
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I -!
so erhalten wir im Fall des Vergleichs mit einer vorgegebenenSterbetafel
den Kolmogorov-Test (häufig auch Kolmogorov-Smirnov-Anpassungstest
genannt, [3] und [6]). Vergleichen wir dagegen zwei empirische Verteilungsfunktionen miteinander, so ergibt sich der Smirnov-Test ([3] und
[6]). Die Verteilung D liegt für beide Testverfahren tabelliert vor (vgl.
hierzu[6]).
Andere Prüfgrößen und damit andere Testverfahren erhalten wir dann,
wenn wir für den Vergleich zweier Verteilungsfunktionen andere charakterische Größen heranziehen. So können wir beispielsweiseaus einer
vorgegebenen Sterbetafel die verschiedenen Momente ableiten und mit
Hilfe der umgerechneten Stichprobe testen, ob diese auch für die
untersuchte Personengesamtheitgelten.
2 . 3 .B e m e r k u n g e n z u d e n T e s t v e r f a h r e n
Nach der Vorstellung einiger Testverfahrenin 2.2 nehmen wir in diesem
Abschnitt eine Gegenüberstellung von Eigenschaften dieser Verfahren
vor, die zugleich Hinweise geben, wann ein bestimmter Test zur Anwendung gelangenkann.
Betrachten wir die vorgestellten Testverfahren, so können wir anhand
ihrer Prüfgrößen zwei Klassen definieren:
l. Testverfahren für die Regellosigkeit der Richtung der Abweichungen
(zwischen Beobachtung und Erwartung),
2. Testverfahren für die Anpassung der Beobachtungen an die Erwartungen.
Für diese beiden Klassen haben wir einige Testverfahren vorgestelh Den
Zeichen- und den Iterationstest für die Regellosigkeit der Abweichungen
sowie den X2-Testund die Modifikationen für die Anpassung.
2.3.1. Der Zeichentest
Eine positive Eigenschaft des Zeichentests ist die einfache Handhabung:
die Ermittlung der Prüfgröße (Anzahl der positiven Vorzeichen und
Anzahl der von Null verschiedenenAbweichungen) erfolgt ohne umfangreiche Berechnungen.Für die Schranke cn stehen uns zum Teil Tafeln zur
Verfügung. Erscheint eine Bestimmung über die angegebenenFormeln
nicht sinnvoll, so kann auf den asymptotischen Test ausgewichenwerden.
In diesem Fall ist die Ermittlung von cn über die gut tabellierte
Standardnormalverteilung leicht möglich. Als weitere positive Eigenschaft bemerken wir, daß geprüft wird, ob sich die Abweichungen in
62
E9
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Eunrassoqraleurs lru?p lsr soserq 'uagorgureetloguaqreaJeJqr lnu
qJnBruapuos'lquzuyJäJqrlrtu Jnu lqcru uatunqcre,nqyrap uotunlqcrX
alp lseJ ruasarpul gup lsag tr,r uallelsl3eqcsuaErg
arrlrsod eJelre^rsJV
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JnJJerH'uapugeqsrullgqJe1uauaEomatsn?
tueureur uaEunlqcrguepreq
nicht tabellierter Freiheitsgrademit Hilfe benachbarterWerte ausreichendgenauapproximiertwerden(vgl.hierzu[6]).
2.3.4. Die x1-,x?- und xf,-Tests
Entsprechenddem X2-Testmessendie modifizierten X2-TestsQfi, xl und
yfr; aie Anpassung der beobachteten Daten an die erwarteten. Im
Gegensatzzu dem /-Test fließen die Richtungen der Abweichungen in
die Prüfgröße dadurch ein, daß vor der Quadrierung erst die Teilsummen
der standardisierten Abweichunsen ermittelt werden. Damit sind die
modifizierten X2-Testseine Syntü'eseaus den Prüfungen auf die Anpassung und die Regellosigkeitder Vorzeichen.Aufgrund der Teilsummenbildung erkennt der Xl-Test vorwiegend ein systematisches
Verhalten der
Vorzeichenim niedrigen untersuchtenAltersbereich,während der Xl-Test
dieses im höheren untersuchtenAltersbereich erkennt. Mit dem Xfr-Test
werden dann die positiven Eigenschaftendieser beiden Tests zusammengeführt.
Insgesamt verbinden die modifizierten X2-Testsdie positiven Eigenschaften ,,Anpassung" vom ;2-Test und "Richtung der Abweichungen"
vom Iterationstest.Allerdings müssen wir in diesem Fall das positive
Merkmal ,,Richtung der Abweichungen" einschränken,da nur eine sehr
geringe Anzahl von Iterationen erkannt wird.
Da vor der Durchführung des Tests im allgemeinennicht bekannt ist, in
welchem Altersbereich systematischeAbweichungen auftreten, empfiehlt
es sich, in diesem Fall den ;f-Test anzuwenden.Allgemein können wir
jedoch zu der Handhabung sagen,daß diese Testsrecht kompliziert sind.
Zum einen ist die Prüfgröße komplizierter zu berechnen als die 1f-Prifgröße, und zum anderen gibt es für die Verteilungsfunktionen nur wenige
berechnete Werte, da die Ermittlung der Schranke cn aufwendig ist
(vgl. [e]).
2.3.5. Zusammenfassung
In den obigen Ausführungen haben wir drei Kriterien zum Vergleich der
Testverfahren herangezogen:
l. Erkennenvon systematischen
Abweichungenbezogenauf die Richtung,
2. Erkennenvon systematischen
Abweichungenbezogenauf die Größe
und
3. Handhabung.
Die Ergebnisse dieses Vergleichs sind in der Tabelle 7 noch einmal
zusammengefaßt.
64
99
, (^b ,^l) .... ((xb(xl)
: ( [ Ä ' x ]z:) !"l: ' O
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unuelrJ){
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und der Sterbehäufirgkeiten:
3) durchdie Angabeder Lebendenreihe
( / * , 9 r ) , . . . , ( / yQ, y ) '
2.4.1. Testgegendie zugrunde liegendeSterbetafel
Die im folgenden als Beispiel gewählte Stichprobe ist in der Tabelle 8
angegeben. Sie bezieht sich auf den Altersbereich von 20 bis 69 Jahren
und ist in allen Altern konstant mit 100000 Lebenden besetzt. Die Toten
in den einzelnen Altern sind mit Hilfe eines Zufallsprozesses nach
der ,,Allgemeinen Deutschen Sterbetafel 1960/62 Männer" (kurz ADSI
60/62M, [5]) ermittelt, d.h. in den einzelnen Altern sind die Toten
Tabelle8: Die alsBeispielgewählteStichprobe
Alter
Tote
Lebende Sterbl.
Alter
Tote
Lebende Sterbl.
t%1
t%1
20
2l
22
23
24
25
26
27
28
29
30
3l
32
JJ
34
35
36
5t
38
39
4A
4l
42
43
M
201
200
208
185
r58
t57
177
t62
162
t67
133
l9l
165
193
203
213
203
237
240
270
278
328
320
362
423
100000
100000
r00000
100000
100000
100000
t00000
100000
100000
100000
1000m
100000
100000
100000
100000
r000m
100000
100000
100000
100000
100000
100000
100000
100000
100000
2,07
2,00
2,08
l,85
1,58
t,57
1,77
r,62
t,62
1,67
lJ3
l,9l
1,65
1,93
2,03
2,r3
2,03
2,37
2,40
2,70
2,78
3,28
3,20
3,62
4.23
45
46
47
48
49
50
5l
52
53
54
55
56
)t
58
59
60
6l
62
63
64
65
66
67
68
69
45
486
56
627
62t
750
805
956
1021
I 143
1313
1,t68
1640
1745
2034
2t59
2416
2674
2925
3176
344t
3@4
3945
4299
4727
100000
100000
100000
100000
100000
100000
100000
100000
100000
100000
100000
100000
100000
100000
100000
100000
100000
100000
100000
t00000
100000
100000
100000
100000
100000
4,45
4.86
5,66
6,27
6,2r
7.50
8,05
9,s6
10,21
I 1.43
13,13
14.68
16.40
17,45
20,34
21,59
24,t6
26.74
29,25
31,76
34Ar
36,4
39,45
4.99
47.27
L9
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reurepueqcerdslua
000001: u lrtu (d'u)g lqszslluJnzuelpauo^prurourq
ADSt 60/62M
Tabelle9: Anwendungdesx2-Tests.
Nullhypothese:
Alter
(t)
20
2l
22
23
24
25
26
27
28
29
30
3l
5Z
33
34
35
36
3'l
38
39
40
4l
42
43
44
45
46
47
48
49
50
5l
52
53
54
55
56
57
58
59
60
68
Beob.
(2)
Erw.
(3)
207
200
208
r85
t58
157
177
162
r62
167
133
l9l
165
193
203
213
203
237
240
270
278
328
320
362
423
445
486
566
627
621
750
805
956
1021
I r43
l3l3
1468
1640
t745
2034
2159
185
190
187
lq0
172
169
166
t66
t66
168
170
r74
180
188
198
2W
222
238
256
275
295
316
340
368
402
443
490
542
600
665
739
825
924
I 035
I 159
t297
r449
l6l6
1798
r994
2204
(2) - (3)
(a)x (a)
(5) + (3)
(4)
(5)
(6)
22
l0
2l
5
-14
-t2
ll
-4
-4
- l
484
100
441
25
196
l4
l2l
l6
l6
I
1369
289
225
25
25
l6
361
I
256
25
289
t4
400
36
441
4
l6
576
729
1936
121
400
1024
t96
256
256
361
576
2809
1600
2025
2,62
0,53
2,36
0,14
l,l4
0,85
0,73
0,r0
0,10
0,01
8,05
1,66
|,25
-
3l
l7
- 15
5
5
4
-19
- l
-t6
-5
-17
t2
-20
-6
2l
2
-4
24
27
-44
lt
-20
32
-t4
-16
l6
l9
24
-53
40
-45
0,r3
0,r3
0,08
1,63
0,00
1,00
0,09
0,98
0,M
l,t8
0,10
I,10
0,01
0,03
r,06
l,2r
2,91
0,16
0,48
l,lI
0,19
0,22
0,20
0,25
0,36
l,56
0,80
0,92
69
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Tabellel0 (Fortsetzung)
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43
44
45
46
47
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Beob. Erw.
(2)
(3)
237
240
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566
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621
750
805
956
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2416
2674
2925
3r't6
34r'.1
3644
3945
4299
4727
238
256
275
295
316
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368
402
443
490
542
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2427
2661
2907
3164
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3 7l 7
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4343
4r96
((2)J3D
+ y(3)
AdditiveWerte
(4)
Linkss. Rechtss. Linkss. Rechtss.
(5)
(6)
(7)
(8)
-
-
0,59 1,59 1,90 2,89 -
3,47
3,41
2,41
2,tl
-
3,29
3,61
2,56
2,47
2,65
1,62
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t,6
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1,49
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2,58
3,18
1,93
2,83
1,87
t,64
1,90
2,23
2,44
2,58
1,38
0,22
0.45
0,06
1,00
0,30
0,99
0,68
- 1,08
- 0,3r
r,05
0,10
- 0,18
1,03
I ,t 0
- l,7l
0,,10
- 0,70
r,05
- 0,44
- 0,47
0,4
0,50
0,60
- 1,25
0,90
- 0,96
- 0,22
0,25
0,33
0,2r
0,r4
- 1,20
- l,t1
- 0,67
0,45
- 2,21 - r,r2
Quadrate
0,35
2,54
3,59
8,32
4,88
10,86
13,01
6,55
6,08
7,00
2,6t
0,26
4,92
3,29
6,30
2,13
3,58
5,58
3,68
2,02
0,68
4,30
1,38
4,56
5,56
4,44
3,14
2,43
2,02
6,87
14,35
19,85
16,02
t2,07
[,62
5,80
4,4
1,25
3,21
0,50
0,16
2,08
2,36
I,84
5,70
12,18
3,18
4,79
2,23
6,48
4,45
2,69
4,34
6,67
l0,rl
3,73
7,99
3,49
2,70
3,60
4,97
5,97
6,66
I,91
0,05
0,20
Summe: 271,33 748,95
Mod. Chi-Quadrat-Werte:
Beids.
Linkss. Rechtss.
0,21
70
0,59
IL
07,
6I
8I
8I
8I
LI
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I
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'salselsuoqeJeU
seppun -uogclezsaptunpua,nuv : I I ollegel
TabelleI I (Fortseüung)
Alter
(l)
60
6l
62
63
64
65
66
67
68
69
Beob.
(2)
Erw.
(3)
2t59
2416
2674
2925
3t76
3441
3644
3945
4299
4727
2204
2427
2661
2%7
3164
3433
37r7
,1019
4343
4696
(2)- (3)
Vorzeichen
(4)
Iteration
(4)
(s)
(6)
-45
- ll
l3
t8
t2
8
-73
-74
f
+
T
T
-u
3l
+
2l
2l
22
22
22
22
23
23
23
24
Zeichen- Iterations-Test
Testwerte:
25 (50)
24(49)
,,wahren" abweichen,ohne daß ein TestverfahrenAblehnung signalisiert.
Ein Testverfahren ist als um so besser anzusehen,je geringer diese
Abweichung sein darf.
Um diese Fragen beantworten zu können, stellen wir Nullhypothesen für
unsere Stichprobe auf, die von der als ,,wahr" anzusehendenADSI
60/62M abweicht. Anhand der Testergebnissefür die einzelnen Testverfahren wollen wir sehen, wie schnell ein Test auf Modifikationen der
Sterbetafelreagiert. In den Tabellen l3 bis l8 sind die Testergebnisse
für
einige Modifikationen dargestellt.Die Modifikationen sind wie folgt zu
deuten: Die nach der ADSt 60/62M zu erwartenden Toten in den
einzelnen Altern werden wie beschrieben modifiziert und auf einen
ganzzahligen Wert kaufmännisch gerundet. Beispielsweise bedeutet die
Modifikation ,,x 0,98", daß die nach'ADSI 60/62M erwartetenToten um
2o/oreduziert werden und dann auf eine ganzzahlige Zahl von Toten zu
verändern sind. Die sich so ergebende Totenreihe ergibt die bei der
Nullhypothese erwarteten Toten.
Aus der Tabelle 13 ersehen wir, daß der X2-Test eine Reihe von
Modifikationen der erwarteten Toten zuläßt, bevor die Nullhypothese
abgelehnt werden kann. Beispielsweiseist eine Verminderung der ,,wah72
tL
uleu
el
uleu
ur0u
sf
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Bf
ef
olol
et
Bf
ulau
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Bf
Ef
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Bf
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L6'6
60'€l
86'0x
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66'0x
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0z0z+
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uleu
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86'0x
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66'0x
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Gil VZ
(OS)SZ
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ix
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'I^I
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'ega^rzuärgpun -lsel tep tunllelsagnuateg
:ZI älleq"J
mod.;2-Tests.
Tabellel5: Anwendungdesrechtsseitigen
Modifikation
+10
-10
+20
-20
x l,0l
x 0,99
x 1,02
x 0,98
Ablehnungbei FehlerL Art
Testwert
8,93
2,66
26,81
r6,19
7,42
l,85
22,08
11,39
l0%
5o/o
lo/o
Ja
ja
ja
ja
ja
nein
ja
ja
Ja
nein
ja
ja
ja
nein
ja
ja
Ja
nein
ja
ja
ja
nein
ja
ja
Tabelle 16. Anwendung des beidseitigen mod. X2-Tests.
Modifikation
+10
-10
+20
-20
+ l,0l
x 0,99
x 1,02
x 0,98
Ablehnungbei FehlerL Art
Testwert
I l,0l
6,32
36,34
30,96
5,02
1,45
14,92
8 , 1I
l0o/o
5o/o
1o/o
Ja
ja
ja
ja
ja
nein
ja
ja
Ja
ja
ja
ja
ja
nein
ja
ja
ja
ja
ja
ja
ja
nein
ja
ja
Tabelle l7: Anwendung des Zeichentests.
Modifikation
+10
-10
+20
-20
x l,0l
x 0,99
x 1,02
x 0.98
Ablehnungbei Fehlerl. Art
Testwerte
Pos. Vorz.
Max.
l0o/o
5o/o
lo/o
l8
32
9
4l
l9
29
t3
35
49
50
50
48
50
50
48
49
nein
nein
ja
ja
nein
nein
nein
nein
neln
nein
ja
ja
nein
nein
nein
nein
netn
nein
ja
ja
nein
nein
nein
nein
SL
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-ro^ erp gnu ueretEear lsälsuorleJäUJäp r{cnp ar^\ -ueqcrez Jep lqoir\os
'aEr1rass1ur1
Jep sp ueJ
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aga16-/ ery qcrs rrJepu?.Je^
JerH 'lsr trgeruqcralEJellv elp teqn uaqasa8
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-Jorläq tunrapugslrolltllqrels rep uo^ rery€ls ra11y uaEuperu rep ege^11
-/ alp purs uollud ueserp uI 'uepJe^\ UepueJo^ q3rlperr{JsJolunuJollv
ueulazureuep ur (uaSunqcre,rqvegarsrpJ?puu1s)
oge16-.Xerp gup 'Jeqep
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ueUetzurpotu uaErlrasslurl sep pun uaEqresslqcsJsep peqcsJelun Jep
qcrs lEraz ualardsragueserpuV 'uepJa^\luqale8qe lqcp uelre{qcrpreqcs
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Jap uauorl
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0l0l+
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'slselsuorl?reU
septunpua,nuy :8I älläqeJ
Anderungen z.T. erkannt. Hierbei lehnt der Zeichentestschnellerab als
der lterationstest.Die Ursache liegt darin, daß die Anzahl der Abweichungen mit positiven Vorzeichensich monoton mit der Größe der konstantenabsolutenAnderung vergrößertbzw. verkleinert. Dagegenkönnen
wir diesesnicht für die Anzahl der Vorzeichenwechsel
behaupten,da beispielsweisedurch die Verringerungder lteration der Länge 3 ,,+++" um
ein positives Element zur Folge ,,*-*"
insgesamtdrei Iterationen der
Länge I entstehen.
76
LL
'{y a x7-b}:
I
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'u
'l
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lsl [u + 0x'0x] IprrraluusleruBJedsBC + 0x: ux lsl uuEC[ :
:u€ I puulsqv tuep lrtu luelsrprnbepun
Sqgezzue?sle x ege^\relerueJed erp Jrlr ueuqeu uräpreünv 'ueSuuqqe x
relly tuo^ qcrlErpelerp'uolralEgn€qeqJols Jr^\ uelqruJleq Sunqcegureran
ta7 '*b ualre>lEr;nuqeqJals
ue^rleleJ erp qcrlugu 'lrururlsoq ueuo^11uo^
IqBzuV olorlsrp aure uel€Cl uelolqceqoeq uop sne Jr^\ ueqeq 1 1a1dq>1u1
Sunq4al&snynp ptz sDe 'I' I'€
E u n q c r a l E s n Vr n z s a q c r l z l e s p u n J D ' l ' t
'ueJquJJe^sqorepsny
raqcsrlÄpuu telowz8un11e1s
-rsq euro Eunqcrafsny ueqcsrlÄpuerap drzuu4 r,uepuäqeu lüeJurn t'€
'senluqcsqv säp gnlqrs uap
läpllq uauolDlunc reselp elleq
lllurlssqv ra(I
-eI ourg'ueuoq{unJsqcral8snyeqcsruer{cauJnJ uapoqlousuolUnJlsuo)
aEruroomos SunqcrelEsnyueqJsru?qceurap dzuu6 sep Jrlr\ uälqcuJlaq
'suaJqe3:alsqctalEsnyseule ne(Unv uep uelnglJa pun
Z't llpqcsqv tul
uuBC 'EunqcralEsnyJap uapoqlal I
uepoqleru esorprr^\ ueJarsrJel{eJeqc
ueuoperqcsre^erp pun guEeg uep lsqceunz Jr/r\ruelnelJe I'€ llluqcsqv uI
'asre^rurHaqcsrllerd
Jn€ ile^fi Jqetu rnJep uaEal pun uerr,ls]a^ rap Eunllalsru(I eqosll?uel{letu
egcrlrr{nJsneauraJnE uelqcrzJa^Jr^[ 'purs leuEraeE€tueql JesunJnJ erp
llugrqcsaq ueEruafarpJn€ sun ueqeq rri11 lgatseEgneuerquJre^sqJtalSsny
uo^ Iquzler1 aure epJn^\ lraquaEueEran Jap q lErlgueq 'Jle aluouoJlsv
'{lsÄqd 'g'z er,ttr ueqcrereg ueqrrlueqcsuessr^unleuuelerl ur uuoC
uarepu€ repo ueuro Jap ur uepJal\ arg 'uaEunqcnsJalunqre{qcJlqJels
gne s8e,rseure{ qors llu-€.rqcsaq ueJtleJre^sqcralEsny rap tunpue,truy
erc 'uepJo/t\ lle{Jr^uue uaqrsJeua^\ uon Eunqcrapsny atp JnJ IIaIz
-ads lsr (ssnug qcuu EunqcralEsnerelqag)
elerpun| uelsureplJep uerqeJ
-Je^
qcrlErpel'ueJqeJJa^suo1te1odre1u1
Jepo -suollelurxo:ddy eueug
sep
-rpou uerqBJrorrsqcrelEsny
uelsretuelp purs ql€qsec'uauralqordsuotlulod
-Jelq pun -suorlerrrrxoJddylyur lre{qorluqv agorE leq uaqlaJauä^Auo^
SunqcrelEmy Jap {rlur.uelqoJd elq 'ro^ euei11 Jalelqcuqoäq ueqla1 uo^
EunqcralEsny rnz ueJquJJa euaparqcsJe^Jr^r uellels 1a1tde; tuäsalp uI
sueJr{egJaqlußc-zul3H uo^
:€ leildql
uarrl8Jre^sqclolEsnY
Die beobachteten Werte q, weisen einen im allgemeinen sprunghaften
Verlauf auf. Die Ursachen dafür können zum einen darin liegen, daß bei
allen durch Beobachtung ermittelten Daten (im statistischen Sinne)
zuftillige Schwankungen auftreten, zum anderen, daß das Beobachtungsmaterial unvollständig oder sogar fehlerhaft ist.
Ein derartiger Verlauf der q* ist jedoch in vielen Fällen nicht praxisgerecht. Gründe dafür sind - neben den obengenannten Ursachen - unter
anderem der Wunsch nach einem gleichmäßigen Verlauf der versicherungstechnischen Grundgrößen, die aus den q, bzw. t, und /* bestimmt
werden, oder nach einer formelmäßigen Darstellung,die für die weitere
Verwendung der Werte nützlich sein kann. Deshalb ändern wir die
beobachteten Werte q, mit Hilfe mathematischer Verfahren so ab, daß
sie unseren Anforderungen genügen. Diesen Vorgang nennen wir Ausgleichung, die Verfahren Ausgleichsverfahrenund die abgeändertenWerte
ausgeglicheneSterbewahrscheinlichkeiten.Wir bezeichnen sie mit qi. Jede
Ausgleichungberuht deshalb auf einer Annahme über den tatsächlichen
Verlauf der Sterbewahrscheinlichkeiten.
Diese Annahme hängt allein von
den Vorstellungendes Einzelnen ab, ist also rein subjektiv. Deshalb gibt
es auch keine objektiv beste und einzig richtige, sondern höchstenseine
in dem vorgegebenenRahmen besteAusgleichung.
Beispiel:
Die in Tabelle19 und Abbildung 12 dargestellten
Wertesind eineStichprobe,die
mit Hilfe eines Zufallsgeneratorsaus der SterbetafelADSI 60/62M gezogen
wurde. Anhand dieser Werte werden die Ausgleichsverfahren
diesesKapitels
erläutert.
I
I
t
t
I
I
t
a
I
i
I
I
I
I
I
I
Tabellel9:
Stichprobeausder ADSt 60/62M.
q*' 105
x
Qr' 105
5
6
7
8
9
85
7l
66
69
85
ll0
t0
il
t2
t3
l4
39
38
40
47
69
l5
l6
t7
t8
l9
20
2l
22
23
24
x
78
lm
r60
170
t52
178
163
r72
154
9,' 105
25
26
27
28
29
170
t52
153
157
186
30
3l
32
33
165
166
182
205
6L
'ueqeEursJeqgu
lqJru xäld
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'Iwl
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C l1u :m
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uapoqpwstl4alSsny'7' J'g
'ue1ta18gngg otelqcuqoog - 'ZI 'qqy
ueJqefqJ€rw
&
9
1
0
1
9
o
x
X
8
g
Aus der Menge aller möglichen Ausgleichsverfahren
wollen wir zwei
Methoden, die mechanischeund die analytischeAusgleichung,näher
betrachten.Die Zuordnung zu den beiden Methoden ist nicht immer
eindeutig.
MechanischeAusgleic
hung
F ist einelineareFunktionder Form
qi:
+s
L ä k9 x + k ,r , s e N
k--r
und die a1 sind unabhängig von x und q*. Dies bedeutet, daß einige
benachbarte beobachtete Werte den auszugleichendenWert beeinfl ussen.
Deshalb können wir mit diesen Verfahren nicht alle vorgegebenenbeobachteten Werte ausgleichen, r Werte am Anfang und s Werte am Ende
der Wertereihe bleiben unausgeglichen.Diese Werte nennen wir Randwerte. Die ldee, die hinter diesen Ausgleichsverfahren steht, ist folgende:
Die Zufallsschwankungen und Fehler werden auf mehrere Werte verteilt.
Dadurch verringern sie sich im allgemeinen,da sie nicht alle die gleiche
Richtung haben. Die mechanischeAusgleichunghat daher eine glättende
Wirkung.
Beispiel:
Wir wendendie Ausgleichsfunktion
+2
qi:
1
(Wittstein)
L iq^*r
J
x=-2
auf die beobachteten Werte aus Tabelle 19 an und erhalten die in Tabelle 20 dargestelltenausgeglichenenSterbewahrscheinlichkeiten(siehe auch Abbildung I 3).
Tabelle 20:
Beispiel für ein mechanischesAusgleichsverfahren (Wittstein).
Q " ' 1 0 5q i . l 0 5
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8
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28
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32
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186
165
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x
X
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Dies bedeutet,daß wir die Parametera1 frir jeden Altersbereichund jede
Wertereihe neu bestimmen müssen. Die Ausgleichsfunktion geben wir explizit vor, z. B. eine Exponentialfunktion der Form exp {a2x2 + a1x + ao}.
Dadurch postulierenwir ein ,,Sterbegesetz",von dem wir annehmen,daß
widergibt.
es den Verlauf der tatsächlichenSterbewahrscheinlichkeiten
Die Parameterak bestimmen wir mit Hilfe zusätzlicherForderungen,die
wir an die AusgleichsfunktionF stellen.
Beispiel:
Wir benutzendas Verfahrender kleinstenQuadrate(näheressieheAbschnitt3.3)
derWerteausderTabelle19.
zur Ausgleichung
nehmenwir ein Polynom4. Grades:
Als Ausgleichsfunktion
qi : F (x,ar(x,Q)): atx4* a3x3* a2x2*al x * as.
Forderunglautet:
Unserezusätzliche
Die Summe der Quadrateder Abweichungenzwischenden beobachtetenund
Wertensoll minimal sein,d.h.
ausgeglichenen
33
33
L t q l - q " ) 2 : I ( a a x a + a 3 x 3 * a 2 x 2 +xa+1 a o - q " ) 2 : M i n i m u m .
x=5
x=5
Durch Differentiation nach den ak erhalten wir ein in den a1 lineares, inhomogenes
Gleichungssystem.Die Lösung ergibt folgende Werte:
ä a : 5 , 1 6 6 'l 0 - 8
a": - 4.262' 10-6
a":
1 . 2 1 4 'l 0 - 4
a,:-1.315'10-3
ui: s,oss.
to-r.
berechnenwir aus dem Polynom4. Gradesdie in
Mit diesenParameterwerten
(siehe auch
Sterbewahrscheinlichkeiten
Tabelle2l dargestelltenausgeglichenen
Abbildungl4).
Der sprunghafteVerlauf der beobachtetenWerte ist völlig beseitigt.
Die verschiedenenForderungen an die AusgleichsfunktionF charakterisieren die einzelnen analytischen Ausgleichsverfahren und oftmals auch
die Bestimmungsmethodenfür die Parameter a1. Diese Forderungen
nennen wir auch Ausgleichsbedingungen.Da die Ausgleichsfunktionen
häufig analytischeFunktionen sind, liefert die analytischeAusgleichung
auch noch Interpolation und Extrapolation der Werte über den Altersbereich X hinaus.
Die meisten Ausgleichsverfahrensind schon recht alt. Die ersten Hypothesen über den Sterblichkeitsverlauf- und damit die erstenAusgleichsverfahren - wurden bereits im 18. Jahrhundert (1724 de Moivre) aufgestellt. Bis Ende des 19. Jahrhunderts war die vorherrschendeMeinung,
daß die Erscheinungdes Absterbensin eine analytischeFormel (Sterbe82
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gesetz), die Ausdruck eines Naturgesetzes ist, gefaßt werden kann. In
diese Zeit liillt die Entwicklung der meisten analytischen Ausgleichsverfahren. Ende des 19. Jahrhundertsschwand der Glaube daran angesichts
der andauerndenstarken Schwankungenin der Sterblichkeit.Der Ausbau
der Theorie der mechanischenAusgleichsverfahrenwurde deshalbvorangetrieben. Er fand l9ll in der Arbeit von Groß [28] einen gewissen
Abschluß. In der heutigenZeit wird sowohl die Methode der analytischen
als auch der mechanischenAusgleichung angewendet,wobei die Ausgleichsfunktionenlediglich als Ausdrücke angesehenwerden,deren Werte
gut, der anderenweniger gut anpassen.
sich der einen Beobachtungsreihe
wird
häufig auch die grafische Ausgleichung als
In der Literatur
Ausgleichsmethodebezeichnet.Zt ihr gehört die Ausgleichungmit Hilfe
von Kurvenlineal und Millimeterpapier. Dabei tragen wir die beobachteten Werte qx unter Wahl eines Maßstabes auf. Sodann zeichnen wir
gefühlsmäßig eine Kurve derart, daß die q* gleichmäßig um den
gezeichnetenKurvenzug liegen. Die ausgeglichenenWerte qi können wir
dem Maßstab entsprechendgenauablesen.
Beispiel:
für das in Tabelle19 angeAbbildung l5 zeigt zwei grafischeAusgleichungen
gebene
Beispiel.
An dem Beispielsehenwir, daß bei einer grafischenAusgleichungdem persönlichen Empfindenein großerSpielraumgewährtwird. Die gralischeAusgleichung
Altern und Extrapolationüber
kann zur Interpolationzwischenden ganzzahligen
den AltersbereichX hinausdienen.Auf dieseGruppevon Ausgleichungsverfahren
werdenwir im folgendennicht nähereingehen.
3.1.3. Aulbau der Ausgleichsverfahren
Die Vorgehensweisebei der Ausgleichung nennen wir Ausgleichsverfahren und stellensie in fünf Schrittendar:
l: Festlegungder Teilfolge {q*} der beobachtetenWerte, die ausgeglichen
werden sollen.
Zu Beginn der Ausgleichung müssen wir entscheiden,ob wir die
gesamte Wertereihe oder nur einen Teil der beobachtetenWerte ausgleichen wollen. Folgende Gründe können für die Ausgleichungeiner
Teilfolge sprechen:
o Einige beobachteteWerte können, da sie auf unzureichendemAusgangsmaterialberuhen, nicht zur Ausgleichung herangezogenwerden, (dies sind oft beobachtete Werte in sehr niedrigen und sehr
hohen Altern).
o Die beobachtetenWerte aus einem Teilaltersbereichgenügen bereits unserenAnforderungen. Wir brauchen sie deshalb nicht mehr
auszugleichen.
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dingungen,die das Ausgleichsverfahrencharakterisieren.Daraus können wir häufig Eigenschaftenableiten, die uns die Wahl des Ausgleichsverfahrenserleichtern. Hierfür verweisen wir auf 3.2, 3.3 und
Kapitel4.
4: Bestimmungder ausgeglichenenWerte
Nachdem wir die Parametera1 bestimmt haben, können wir die qi aus
qi : F (Q, x, ar (Q, x)) berechnen.
5: Beurteilungder ausgeglichenenWerte
Im letzten Schritt untersuchen wir, ob die ausgeglichenenWerte
unseren Anforderungen genügen. Die dafür benötigten Hilfsmittel Gütekriterien und Zielfunktion - stellen wir ausführlich in Ifupitel4
vor.
In den folgenden Abschnitten dieses Kapitels befassen wir uns im
wesentlichenmit Schritt 3. Wir erläutern verschiedeneZusatzbedingungen und legendaraus resultierendeEigenschaftendar.
3 . 2 .M e c h a n i s c h e A u s g l e i c h u n g
Die mechanischen Ausgleichsfunktionen sind recht einfach zu handhaben. Da für jede Funktion die Parameternur einmal ermittelt werden
müssen, ist ihre Bestimmungsmethode nur insofern wichtig, als wir aus
ihr Eigenschaftender Verfahren ableiten können.
3.2.1. Allgemeine Form der mechanischenAusgleichung
Definition:
Eine Ausgleichsfunktion
qi:
F (Q, x, ar (x, Q))
heißt mechanisch,wenn folgendesgilt:
(a) F hängt nicht explizit von x ab
(b) a1 e R. sind unabhängig von x und Q
(c) F ist linear in q, und a1
(d) F Iäßt sich in der Form schreiben:
+s
qi:
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Satz:
EineAusgleichsfunktion
+r
qi:
är Qx+k
)
k=-s
ist invariantgegenein Polynom
g
P(x): ) b"x"
v=0
vom Grade m > I genau dann, wenn für die ak gilt:
+r
k " u * : g f ü r a l l ev : 1 , . . . , m
I
k=-s
(sieheauch Altenburger [9]).
Aus diesem Satz und den Definitionen können wir einige Folgerungen
ableiten:
(l) Ist eine Ausgleichsfunktion exakt vom Grade m, so ist sie invariant
gegenalle Polynome vom Grade m.
(2) Für eine symmetrischeAusgleichsfunktion vereinfacht sich die Bedingung aus dem obigen Satzzu
'
I k2"a*:6
k:l
lml
füralle " = l; I
LL
J
(3) Ist eine symmetrische Ausgleichsfunktion exakt vom Grade 2 m, so
ist sie auch exaktvom Grade 2m * l.
(4) Jede symmetrische Ausgleichsfunktion ist exakt mindestens vom
Gradel.
Die Exaktheit ist eine Eigenschaft, die die mechanischenAusgleichsfunktionen charakterisiert. Mit dem Satz bzw. der Folgerung (2) verfügen
wir über eine rechnerisch einfache Methode zur Feststellung des Exaktheitsgrades. Einige Autoren haben Untersuchungen über die Invarianz
gegenüberanderen Funktionen z. B. dem Gompertz-Makeham-Sterbegesetz durchgeführt (s. [30], [40D.
3.2.2.2. Konstruktionen mit Hilfe von Interpolationsformeln
Diese Methode zur Bestimmungder ai wurde bereits im 19. Jahrhundert
entwickelt und häufig angewendet.Sie besteht im Grunde aus 2 Schritten:
l. Die beobachteteWertereiheQ : {q,/x e X} wird in w Klassen
( Q r o * * ( u - t ) ) , . .(.Q
, * o * * 1 " - l ) + w - l ) v, :
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Je nach Art der Interpolationsfunktion und nach Anzahl der Klassen
erhalten wir die verschiedenen mechanischen Ausgleichsfunktionen' In
der überwiegenden Zahl werden bei den Konstruktionen Polynome
benutzt, so daß wir den Exaktheitsgrad direkt erkennen können.
Mit dieser Konstruktionsmethode können auch nichtzentrale und asymmetrischeAusgleichsfunktionenerstelltwerden.
3.2.2.3.Das Whittaker-Henderson-Verfahren
Die Idee dieser Konstruktionsmethodebesteht darin, die Bestimmungsgleichungen für die ak aus einer Optimierungsaufgabe herzuleiten.
Das Verfahren von Whittaker-Henderson (siehe [24], [26]) basiert auf der
Minimierung eines Maßes für die Anpassungder ausgeglichenenan die
beobachtetenWerte und eines Maßes für die Glätte der ausgeglichenen
- als
Werte. Whittaker wählt - bei einer vorgegebenenWertereihe Q
Anpassungsmaß
I
(qi"*r- Q*o+r)2
k=0
und als Glättemaß
n-s
I
(/'qi"*r)2,seN
k=0
mit
s
/^\
/'9io*r : L t- t)" (;) 9io+r+" (s-teDifferenzvonqio..1)
als
und formuliertdie Optimierungsaufgabe
I
k=0
+ c' t
**(qi"**- 9*o+r)2
k=0
(/'qio*r)2: Min.
n
Die w1 sind zusätzlichepositive Gewichte mit )
wr:
l, und g ist eine
k:0
positiveKonstante,die esunsgestattet,die Glätte vorzugeben.
im
Als LösungdiesesProblemserhaltenwir keine Ausgleichsfunktion
bisherigenSinne,sonderneineMatrix, derenk-te Zeile einemechanische
für q,oa1darstellt,(k : 0, ..., n).
Ausgleichsfunktion
Mit Hilfe dieser Matrix werden alle beobachtetenWerte, also auch die
Die Matrix ist jedoch von der Anzahl der ausRandwerte,ausgeglichen.
(:
Werte
n
+
l) abhängig.
zugleichenden
Um die Lösung möglichstkurz und einfach darzustellen,benutzenwir
die Matrizenschreibweise:
derw1,
W seidie (n + l) x (n + l) Diagonalmatrix
I seidie (n + l) x (n + l) Einheitsmatrix,
92
E6
'tllolsotrep
8I tunplrqqv pun tZ alleqBl ur
säpeBu?TeJp0S: 3
lsr sruge8rasBO'(ärqef 0€ slq 0Z) 0t : u Jne ser{cräreqsrellv
rU lerdsräguä8rqo{ur rr^\ rueEul.ue^u uo^ lrelE6ugqqv elp lnJ lordsregslv
'€'0:
3
r!!J
qcrllnep
sl€
e^rn)
ere11e13
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69 : Ergg
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pun
t
g'0
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0
0
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0
0
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-uosrepueH-re)plllq1\ sop snurqlrroSly .req
q
suerr.{€Jre
lsr
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'roir
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uep
rrin
ueqeE
s llI^I ''b uep uo^ lqoru Jeqe
'(eueA\
uelalqceqooq
rep
Euntgrr^\eC
oqrrlztusnz) {^A pun (o11e1gauaq
-eEeErol)E'(ega6 uepuaqcralEnzsnu
rap gezuy) I + u '(uezuoreJJrqJep
Eunupr6) s uo^ qu 1EugqCI 'uepre^\ uaEozotuuraq Sunqcreltsny rnz xb
ouol(\ ualelqcBqoeq ellu '€ 'r uausp req pun purs I - s spuJD r,uo^ l)pxe
suelsapuru orp 'ueuorl{ungsqcrapsny uel?Jluäzlqcru I + u sne lqelseq
41,r-$r) a + l0: (I xulslrlsqrlapsny (t + u; x (l + u) euetlBqreos ärC
'ötrr-(x1)3+^):,ö^
IIIö
qler{seq t$gep nrlrsod pun rgpEurs-tr{rlulsr ) r) E + ^A xlJlul4trär(I
'öm:,ö()r)t+m)
:lll3,ö 1113
uue^\
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[92] ellr^aJg reg
'utht:,ö)r(,öX)E + (ö -,ö)nr(ö _,ö)
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uuog repuaElo.;
ur uelqordsEunrarurruq4l
s€p Jr^\ ueuuo{ uaEunuqcrezag
uosorpIU I
'(ueqcrazronuepueJaruJallu s EunuprgJapueluerzrJJoo{lerrrrou
lrru
-rg:) uazuaraJJr(I
uet-srep xrrl€I^l (t +u;x(1 +s-u) arp ras ;1
.euel[
'^rzquelalqJ?qoeq + u Jäp uaJol{e^ erp ueras
uauaqcrpaEsne
I
,}'}
Tabelle23:
Beispielfür Ausgleichungen
mit demWhittaker-Henderson-Verfahren.
e * ' 1 0 5q i ' 1 0 5
c :0,3
n:28
qi. los
9*' 105
B: 50
n:28
8:0'3 g: Jg
n : 28 n:28
8: 50
n: l0
5
6
7
8
9
85
7l
66
57
40
84
74
64
54
44
89
73
60
49
42
20
2l
22
23
24
r52
178
163
172
154
167
t69
168
166
163
l6l
t67
r69
169
166
t63
t64
t64
164
r62
l0
il
l2
t4
39
38
40
47
69
38
37
4t
50
61
38
39
43
52
65
25
26
27
28
29
170
152
153
157
186
160
155
156
163
t7l
163
l6l
160
160
163
l6l
l6l
l6l
163
t67
l5
t6
t7
l8
l9
69
85
ll0
160
170
7l
89
ll8
149
r64
8l
99
lt8
136
l5l
30
3l
165
r66
t82
205
170
170
l8l
168
176
186
199
171
r3
33
20s
Zur Wahl von g bei einer vorgegebenenWertereihe Q können wir nur
Werte, die
wenig sagen.Einfluß haben der Umfang der auszugleichenden
Ordnung der vorgegebenen Differenzen und der Verlauf der auszugleichenden Werte. Unter Verwendung der vorgegebenen Gütekriterien
können wir folgende grobe Richtlizrez aufstellen:
l.Je besserdie Glätte im Sinne des minimierten Glättemaßessein soll,
um so größer ist g anzusetzen.
2. Je besserdie Glätte der beobachtetenWerte bereits ist, um so kleiner
kann g gewählt werden,um die gewünschteGlätte zu erhalten.
3. Je höher die Ordnung der Differenzen (: s) vorgegebenwird, um so
größer muß g gewählt werden.
4. Je größer die Anzahl der auszugleichendenWerte gewählt wird, um so
größer muß g sein.
5. Die Anpassungin Abhängigkeit von der Glätte hat einen hyperbelartigen Verlauf.
94
96
'(Og-OZqctaraqsrollY)g1 : u
----'uolro48gnpg atalqreqoeg
. . . . ' ( € € - 9 q c r e r o q s r o l l8Z:u
v)
ue.rqBfulJaIV
E
9
t
0
t
9
9
t
0
e
%
o
x
X
8
g
'0S: 3 . . . . 'E'0: E - - - - 'uolleltgneH ätelqcsqoeguejqel u Jow
&
9
1
0
r
%
'lI 'qqv
9
o
x
x
d
o
3.2.2.4.Ausblick auf weitere Verfahren
Neben dem oben beschriebenenVerfahren von Whittaker-Henderson gibt
es weitere Verfahren, bei denen die Konstruktion der ak mit Hilfe von
Optimierungsaufgabenerfolgt:
o Optimierung nach Altenburger und Schiaparelli
+r
+r
q'-: t
Ausgleichsfunktion
af Aersymmetrischen
Minimiere !
srQx+r
k=-r
k--r
unter der Nebenbedingung, daß die Ausgleichsfunktion exakt vom
Grade m ist, d. h.
+r
L ai: uin' mit
k=-r
g . , l : o f ü r i : 1 , . . .m,
* ) - . n ' u *i * o f ü r i > m
(siehe[9]).
Für m : I erhalten wir als Lösung das arithmetische Mittel von 2 r * I
rohen Werten als Ausgleichsfunktion.
Aufdie Bedeutungvon
+T
Lui
k:-r
werden wir in Abschnitt 3.2.4noch näher eingehen.
Eine Verallgemeinerung
finden wir bei Borgan [21]. Er minimiert die
Funktion
/? "\-t
R ? :l " l
\zl
*t
L (z'ui'.
k=-r
Für z : 0 ist dies die Optimierung nach Altenburger
o Optimierung nach Jecklin-Strickler
Dieses Verfahren basiert auf der Minimierung der Standardabweichungen unter der Nebenbedingung der Invarianz gegen stetige Funktionen (nicht nur Polynomen) ([30]).
Konstruktionsmethodenvon de Forest:
Die Idee von de Forest war, eine Identität von Linearkombinationen
endlicher Differenzen /' als Linearkombination von beobachtetenWerten darzustellen,deren Gewichte in arithmetischer Progressionbis zum
mittleren Term ansteigen(s. [37]).
Der Exaktheitsgradläßt sich direkt aus der Konstruktion ablesen.
96
L6
'öC:,|
oge6 ueuaqcrlEaEsnu
(l + u) erpeuqcareg:SllrJrIcs
'A\
r-()1)E+^\):a
xuluusqcrelEsny
(1 + u) x (l + u) erpeppg :t llrn{cs
'ro^ < E geue11e19
uraäqäC :t llrrqcs
0
'1zleSeö
purseuä^(\I +l-s-u
uälzlelerp pun s"".0
0 rurueper^r
/r\
: r rßJ | ^ I ,(t -): 51 ueluezgJeoäleltuoulg
uepuoJelluallu
erp purs euei11I + s uetsqceuerp 'p1ese3g qcralEega11
(l + s - u ""'l :r) ayeTuat-rJepuI
I - r uelsraerpuepJe^\
:f1oger,nuezuereJJrq
uot-srep ) xrrlery (t + u; x (1 a s - u)
älp epllq pun ro^ uezrrereJJrq
rsp s Eunupro elp eqaD :Zlllntcs
''l^\
etqcp\oC
rep
l11xrrlerrrluuoterq(t + u) x (1 a u) arp
äplrq pun aUaA[ueletqc€qooq
elp rU ,lm elqcvneg älqgA\ :l llrrqcs
' 5 n ' 0 x ' { [ u + o x ' o x: ] x l ' b ]: Ö
u
:
:xbage16 + u ueresuoqe8eg
I
:suarqqra -uosrapueH-Je{?luq/$,
sapsnurqluoEly
:uBJerqsnruqluoEJy
uaprur ueqe8
'lsr rBqllelsJBpqJsrr"lläq4
süp €c
lqcru ueJqeJJe^-uosJepusH-re{slllqa
\J'
r-=I
rEn;aEnzurq)u (
uo^ Uäl.1ueppun p"raqrrqlln*g,iJp
rr^\ ueq€qlaruroCrep e8ugl rop pun (pr luueloq sun erslamos) apoql
-ewsuorl{rulsuo) Jap "tu u.rolorueredsqcraltsnv
ueq'lllalsaEuauruus
-nz ueuorl{ungsqcrel8sny
eqcsrrlauruÄsa8ruraJrÄ ueq€r{tZ elleqel uI
uauogtlunlstl
a a1Ssnynq csruDq
cau ailaqoJ' €'Z'€
'uepJe^\
llapuBqeq
'g'z orp ,uaElog.re
ueuolt{unJsqcralE
[fg] poS pun [02] :aErag loq
-snv al?rluäztqcruqcrnp qcnu uuu{ eue^\puu1 rap Eunqcrapsny arq
'ueqcralSnzsnu
aqrorsEunlqc€qoäg
reurä oue^rpuugerp 1ge1qcr1to61
a1p ([fZ] '[93]) alynarD uo^ uerquJ
-JeAs?p qcns louJJoJäuosJepusH-Je{31lnll[uo^ uäJqsJre^I.uapuaqaN
'gntu
,xuleursqcrelEsny
uopre^\
uoq{unJsr{crelEsny
apaf
rng
erp
lruullseq
eurelluqJeJg 'eue^\puegerpJnu uoq{unJsqcralEsny
reserpEunrollä^ug
eure ro llellrure suou{1o4 uapuaqatraqcrs sap uallelsllnN rep aJIIH
ueqcsrueqceuuauaqaEaEro^
Jeure
UW'ltuturlseq uortrynJsqcrelSsny
(t'Z'g's) EunqcrelgerlJsrtsueDl€Jeqc
erp prr^\a[r^eJCuo^ uerrle;ra1rrrl
ail!^arg uot uatqottarl
Ausgleichsfunktionen.
mechanische
Tabelle24: Symmetrische
Konstruktionsmethode
Autor
Länge I "?
5
Interpolation,linear
Wittstein
Altenburger Minimalformelfür
5
r:2.m:3
5
de Forest Minimum& für z: 4
5
de Forest Aus/aqr: 6
Altenburger Minimalformelfür
r:3, m: 3
de Forest Identitätvon endlichen
7
Differenzen
de Forest Identitätvon endlichen
7
Differenzen
9
Finlaison Interpolation,linear
Schaertlin Interpolation,quadratisch 9
unbekannt 9
Higham
de Forest/
Identitätendl.Differenzen 9
Higham
unbekannt l l
Ansell
Altenburger Minimalformelfür
ll
r:5,m:3
Woolhouse Interpolation,quadratischl5
unbekannt 15
Spencer
15
Interpolation,kubisch
King
unbekannt 17
Higham
19
Interpolation,kubisch
Karup
unbekannt 2l
Spencer
Altenburger Minimalformelfür
2l
r-10.m=3
unbekannt 2 l
Andrews
unbekannt 23
Vaughan
unbekannt 23
Vaughan
unbekannt 23
Hardy
unbekannt 27
Kenchington
2-maligeInterPolation
King
Sprague
King
98
kubisch
unbekannt
2-malige Interpolation,
kubisch
0,2
Exakt a1für k:
vom
+ l
Grade 0
+3
+2
+4
l
12 -3
56 - 14
4 - l
0,4857 3
0,4993 3
3
0,5
t7
lll
4
0,3333 3
7
6
3 -2
0,3383 3
13
13
8 -5
3
I
3
3
18
5
9
60
ll
4
8
73
4 -3
3
2
1
2
0 - l
-13
36 -l
0,2667 3
0,1264 I
l0
13
7
12
4
9
0,y92
0,136
0,3004
0,275
0,2075 3
0,1793 3
0,1926 3
0,2339 3
0,1703 3
0,t629 3
0,1432 3
8 9 8
2 5 2
7 4 6
27
27
2 5 2
125 ll4
57
60
|
6
-2
3
4 6 9 4
4 2 1
7 4 6 2
27 -l
4 1 8 1
87 53
37 33
4 9
7 3
1 3
-l
0 3
2l
18
852
950
278
149
7
1 3
747
551
180
ll5
7
6 3 0
0,1076 3
0,t374 3
0,1285 3
0 , 1 1 6 63
0,lll 3
0,1026 3
987 972 927
1688 1579 1325
365
A3
44
r82 t79 170
5
5
6
4 5 4 r ' . 4
29
29
0 , 1 7 5 13
0,1722 5
3655 2870 2085 1300 515
625 584 454 274 109
33
0,1478 3
l4lls 13160105507050 3655
66
sztSL/l
g?tt/l
9299r/l
8 i l 9 7 , 9 Z
z
t
9
1
988/|
s9/l
I -
6
g
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z 9 - tLz- zt9 - 096- 9l0r - Its - 0z0r
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0882/r
08mt/t
LLl6/l
0
5
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S
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27.
9
7,1
68
t9- oil-s€t- tzt- t9zz
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929/l
9Zr/r
gTt/r
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r-
gz-
99I-
96ZI t-
t,-
78Zt 9-
z-
9L/l
0E/l
9
0
U
I _
s-
0
9tI
osz/l
17,/r
sz/l
zt/l
9V/l
tz/l
0t/l
s6l/l
9€./|
9/l
ie7/t:
(,:-:3
u e i r e ^ r ) r o l f9l +
t+ st+ il+
-1e;stunr
-onruoN
flT
zl+
lt+
0tT
6+
g+
L+
9T
9+
3.2.4. D ie I nvqriante einer mechanischen Ausgleichsfunktion
In den vorherigen Abschnitten haben wir festgestellt,daß mechanische
Ausgleichsfunktionen gegenPolynome bestimmten Grades invariant sind.
Im folgenden werden wir sehen, daß jede mechanischeAusgleichsfunktion eine wohldefinierte Funktionenscharinvariant läßt. Diese Invariante
stellt die Verbindung zur analytischenAusgleichungher G. t28l).
Wir sehen von uns unbekannten ..wahren" Werten aus und fassendie
beobächteienWerte q* als eine Stichprobe der wahren Werte auf. Diese
wahren Werte mögen einer uns ebenfalls unbekannten Funktion f(x)
gehorchen. Von einer Ausgleichung erwarten wir nun, daß die ausgeglichenen Werte qi ,,näher" an den wahren Werten f (x) liegen als die
beobachtetenWerte q".
Setzenwir
q,: f(x) * E*,
wobei die E* die zul?illigenFehler sind, so gilt
+s
qi:
+s
+s
äk9x+k: I
t
k:-r
k=-r
uuf(x + k) + |
a1E,*y.
k:-r
formulierenwir folgendermaßen:
UnsereForderungan die Ausgleichung
+s
(a) )
(Invarianz)
a1f(x+k):f(x)
k:-r
( b )t l
/+s
\2
L u *E -**l.IE i
x \k:-r
I
(A n p a ssu ng)
^
x€txo+r,....xs*n-sj.
Die Bedingung (a) bedeutet, daß das Ausgleichsverfahrendie Funktion
f(x) invariant lassenmuß und (b), daß die Summe der Fehlerquadrate
der ausgeglichenenWerte kleiner als die der beobachtetenWerte sein
soll.
Altenburger [9] gibt eine für (b) hinreichendeBedingungan:
+s
I u?.t.
k:-r
Die ausgeglichenenWerte kommen der Funktion f (x) um so näher, je
kleiner
+s
I, U?
k=-r
ist, ohne daß f (x) konkret bestimmt werden muß. Dies ist der Anknüpfungspunkt an die analytische Ausgleichung. Dort wird durch Vorgabe
100
I0l
. s + r ?s'+ r C I
... x z(I IC : (x)J
+ . . . + Z + Wz + w e * u x t + u O +
+
+
nz (x); qcrsUetznpeJuu€C '1s 8unqcre1gueqcsrlsrJalluJuqc
Jep lezrni11eqceg-(14 u) eure I : f uuarrr '1pg rep uuep neuaE Jaqe lsr
sare 'ueJerznpeJru aperg ruor ruouÄ1odure JnB uälu€rJs^ul rep lreJ ura
qcrs ünru 'lsr ru epBJC ruol auouÄ1o4 uaEe8 lu"rJ€^ur osle '1uq u per8
-slraqDlexg
ueltuturlsaq
uoura
uorl{ungsqcray8sny
eqcsruuqceru
apef
uq
'lozJnl11ty
'!f x r{Jn?ly ueqeupurs os'1azrn11aqceg-zly
ls1
1_rx""'\y zx
{96l ssorg pun [SZ] puoJIeD Jns Jr^\ uesro^rre^egeg uaEuqn alp JRC
'ure räq?u
lezrnl11eqcuJrqou ropo eqcqure | : ry ellgC elp JnB rnu reqe
uepueElo3urr uaqaEJrl11'uequq plasaEsneroir,ualqez elleal sle 'le arp rrm
€p 3ns xaldruol gerEnfuoqasra^rreedrnu 17erp uelaJl IIed uaxaldruol ru1
'lezrn^A eqcqrqäru repo aqc€Jura
U y' If
Iezrn^[ eqceJJqetuJepo egceJura l[ 3 I + lf
IezrnlÄ eqc?Jrqeluräpo oqc€Jure
I : If
:ellgd 9 uepreqcsJelun
JrlA
'uälqc"Jteq !y u1ezrn16uaqcrlEour erp zJn{ JrAr uessnru elläls Jeserp uV
'EunqcrapuezuoreJJrq
rap Eunsol s1u
'Etqaryaq 3 IJ 's+4/s+i3 "'
+
+ tryzJ + lf tC : (x).1
U
J?qcsuauoll
elp puls
- I u n d e l p J I t \ u e l l u q J eo s ' u 1 a a n 1 1e s a t p ' s + J ' " ' ' l : ! ' t V
'0 :
"
t*,q
l*tq
( t - r q ) + 1 _ r yI - r Q + " ' + y l q + 0 q
+
*
+
r
+
r
f
r
f
r
*
.
I
:telnslaser6l'(SZl'9 lrrlrrrlseq
Eunqclolg uaqcsrlsrJeDleJ€qcJop ulezJnl11 uep sne prvrr EunqcralSuaz
-ueraJJrerasorp Eunso'I olq '(x)J ul I + s + J epBJC ruo^ uoluozuJeo)
uäluulsuo{ lttu EunqcralEuazuerag3rqeJeeurl euaEouroq aura lsr särCI
0=u
'0:(r-u+x)Juq
-,q)+(r-u+x)J.q
3 + ( x ) :( t
3
s+t
l-J
JIlr\ uolleqJä os "-uq
qJBu {e Jeleru?Jed erp pun J + { : u rlceu { xapulsuonetutuns uop Jrhr
ueJärruJoJsueJlpun Eunqcralg Jap elras elqcal arp gne (x)g rur ua8uug
r-=I
'(rt+").lte
3:(x).I
'uellnJJe(e) ue8un8urpaqzu?rre^ulerp
alp'(x)J ueuorl{unC orp osp ueqcnsJI/yl,'(x)J reqcsueuorllung epue8erl
uäqcsrueqteu Jeuräolp unu uouurlseq JII\
epunrEnzuorläunJsqorelEsny
'laerlJo^
leJ{uol
uJoletu€red uelseJ lnu EunqcrelEsny Jep qcuu uorDlunJ erp ü€p os
'uoiluqcseq 3e16 apqalaSurn rap 'z1aseEoqro15
ruep '(x); uorl{unC Jeuro
Ausgleichsfunktion
Dies ist die Invarianteder mechanischen
+s
I
u *q **. .
k=-r
Die Invariante ist also bis auf die beliebig anzusetzendenKonstanten D;
eindeutig bestimmt.
Jede mechanischeAusgleichsfunktion besitzt wegen
+s
I
ar:t
k--r
wegen
eineNullstelle,tr: l, jede symmetrische
mindestens
+t
L ku*:g
k:-r
sogar mindestens zwei. Bei symmetrischen Ausgleichsfunktionen tritt
eine weitere Besonderheitaul Ist,! Nullstelle, so ist auch l/,ti Nullstelle.
In diesem Fall treten die Nullstellen,l'i= | stetspaarweiseauf'
Eine mechanischeAusgleichsfunktionläßt also eine Funktionenscharder
oben angegeb€nenForm invariant.
Beschreiten wir den umgekehrten Weg, so ergibt sich, daß wir die
Ausgleichsparametera1 einer mechanischenAusgleichsfunktionaus ihrer
Invarianten bestimmen können. Zu jeder Invarianten gibt es genau eine
charakteristischeGleichung. Aus ihr erhalten wir eine Schar von Ausgleichsfunktionender Form
-l
-l
s
s
t tt
\
\
qi:+lln- I q- I u*lq"+
I a r q * * rkI+= - ra * 9 , I*.i f
A\\
k-:r
/
i=t
r:r
A ist einebeliebigereelleZahl.
Zu jeder Invarianten und jedem Zahlenpaar(r, s) existiert also eine
In dieser Klassegibt es
Klassevon mechanischenAusgleichsfunktionen.
für die I
genaueineAusgleichsfunktion,
af minimalwird.
k:-r
Diese können wir durch Differentiation nach A bestimmen. Zwei zut
gleichen Klasse gehörende Ausgleichsfunktionen lassen sich leicht daran
erkennen,daß sich die Ausgleichsparametera1 für k * 0 nur durch einen
Proportionalitätsfaktor unterscheiden,z.B. haben die beiden folgenden
AusgleichsfunktionendieselbeInvariante
f(x) : 6o * C1x * C2x2* C3x3:
qi:;;
qi:
lo2
I
J)
I
lo
(17q* + l2 q,tr - 3 q*tz) (Altenburger)
(4 q* + 4 9*tr - 9*tz)
(deForest).
e0l
'ueq8qlrue
u req
leEueuua
4 (Ez'z't.'s) uerqele^-uosJäpuäH-ro{?ltrr.I^,\
qräJeqse Jr/r\art\ 'uellosuapJe/huorurldo 3rp <snsuäuelrqelß9 JRJ
uegerNuo^ Uo ueqeEuaEunEurpeqsqcralEsny
arq 'lseJuaJquJJarrsqcralE
-sny eqcsry(pw s€p fal uetunEurpaqsqcraltsnvrep Eunllalsgnyerq
'{e JepEunuurlsag o
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rep Eunllalsgnyo
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pun falaElsaguaEunEutpaqsqctal8sny
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apaf rn; 'uetun,nzetql€qsepJr^r purstunqcroltsny uaqcsqÄpueJep reg
'ueEugqqe pun x uo^ uouuo{'lu releuurudsqcralEsny
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'€
Joll?c
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JnuqJrs
't - uaqleJuelquz
uopleqatq
uepreqcsJelun
I -'l'V'l
- pun Z -'Zl'Zl
Mit dem Sterbegesetz legen wir die Ausgleichsfunktion F fest. Damit
unterstellen wir, daß der Verlauf der tatsächlich zugrunde liegenden
Sterbewahrscheinlichkeiten dieser Funktion F gehorcht. Die Wahl von F
hängt u. a. von dem Verlauf der beobachteten Werte q, ab. Daher müssen
die beobachteten Werte vor der Ausgleichung analysiert werden. Die
Herleitung der Bestimmungsgleichungensowie die Bestimmung der ap
erfordern i. a. Verfahren aus der Analysis, der Variationsrechnung und
der numerischen Mathematik. Wo solche Verfahren von uns verwendet
werden, geben wir Literaturhinweise auf die ausführlichenDarstellungen
dieser Verfahren.
Wir stellen zunächst einige Sterbegesetzevor, betrachten dann mehrere
Ausgleichsbedingungenund leiten die Bestimmungsgleichungender a1
für zwei Ausgleichsverfahrenher.
3.3.2. Sterbegesetze
Der analytischen Ausgleichung liegt die Annahme zugrunde, daß die
tatsächlichen Sterbewahrscheinlichkeiten Werte einer analytischen Funktion F sind. In der Literatur wird oft vorausgesetzt,daß nicht die Sterbewahrscheinlichkeitenq' sondernandere Größen, wie z. B. die Anzahl der
p*, die Sterbeintensitäten
Lebenden /*, die Erlebenswahrscheinlichkeiten
p* (s. 122), [45]) oder deren Logarithmen durch eine entsprechende
Funktion beschriebenwerden können. Häufig erleichtern diese abgeleiteten Größen die praktische Anwendung. Bei den in der Literatur
vorgefundenen Sterbegesetzenhandelt es sich meistens um Exponentialfunktionen. Viele von ihnen haben heute keine praktische Bedeutung
mehr und sind nur noch von historischemInteresse.
Bereits im 18. Jahrhundert wurden Versucheunternommen, den Verlauf
des Absterbens in Abhängigkeit vom Alter in Form einer reellwertigen
Funktion darzustellen. Dies geschah allerdings aus rein praktischen
Gründen, z. B. als Hilfsmittel zur Berechnungdes Rentenbarwertes.
Zwei dieserFunktionen seienhier als Beispielangegeben:
d e M o i v r e ( 1 7 2 4 ) :l ' ( x ) :
/
" \
/(0) ll - * |
\
öo/
/qr-t\2
,
x
* \
- anA(etrrt- ez'+r).
(1765):/'1x;: 10000
Lambert
t{al
\ v o l
Im 19. Jahrhundert setzte sich angesichtsder Fülle der in dieser Zeit
gefundenen mathematisch formulierbaren Naturgesetze die Auffassung
durch, daß die Bevölkerungssterblichkeitebenfalls einem in mathematischer Form faßbaren Gesetz gehorcht. Mit entscheidenddafür war wohl
104
s0t
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ueEunturpoqsqcrepsny
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lsqJ€unzualqo€rleqJrl[ 'eue^Auelelqcuqoeqrep Euntrlqcr$lcnJegJelun
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ueJesun
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uon EunqcralEsny
'sazlasaEaq.relS
uollesJo^run
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-JerlnuuoJrlcsllulueqlstusauräuo{u?pec ulep uo^ Jeqsp qJrs äluueJl
uery 'lEugqq€ureler[BJudueluuerläqlqcru ruE IreI tunz 'uoyornrqss
'02 uapueuurEeq
uo^
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u1
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'(gglaqars)purs
oV "' +
IV + qr'
0 : u.r +
ztzy +J
(x) lq reqom
Eunqcralgrep ulezrn^\arp lr arppun x ur sruouÄ1o4
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' ( x )t q , , , ä + x g +
Y: (x),1u1
3
^
u
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Jaurenz uleuJoc Jeserp
ueureueöllB
uelsreu egp 1anbrnf sa EuulaE€63I '([St] '[79]) uauuels lraz reserp
sn? uo^up lqvzleh aure g€p os 'uazlosaEogJäls
uol Eunqcr,nlug rap
uB Je{rl?uoql€I I aler^ uälälreqJesuepunqJr{sf'02 sep uu6eg tunz srg
' c u 1E u ;: q p u n s u l - : B
lnu
p3,s.I:$),t
qcrnpqcrslqrEre
uorlerEaluy
lJQf?:x/
zlBsrrvluep snv
:zlesaEaqrelg-ru€qa{€I
egel
l-zgadurogsup'laurrogaqJels
-rarrra(9991)ureqeleq uo^ pun o111a1saEgnu
(VZg)'4radrroD uo^ arp
Da die Anzahl der beobachteten Werte i. a. wesentlich größer als die
Anzahl der zu bestimmenden Parameter a1 ist, bilden unsere Bestimmungsgleichungen ein überbestimmtes, nichtlineares Gleichungssystem.
Derartige Glefuhungssysteme sind fast immer unlösbar, da sie nicht
widerspiuchsfrei sind. Außerdem ist die angegebene Ausgleichsbedingung nicht ausreichend, da wir die beobachteten Werte nicht interpolieien,- sondern ausgleichen wollen. Deshalb werden bei Verfahren, die
durch die obige Ausgleichsbedingungcharakterisiert werden, die beobachtetenWerte in k Gruppen zusammengefaßt.
Beim Verfahren von King-Hardy werden die beobachteten Werte in k
Gruppen multiplikativ zusammengefaßt. Dies führt dann zu den modifizierten Ausgleichsbedingungen
m-l
m-l
lI r(*o+(v- l)m+i,ak):II
i=0
i=0
9 x o + ( v - r ) nf ü
+ ri v : 1 , . . . , r .
Die Ausgleichsbedingungensind in diesem Falle bereits Bestimmungsgleichungenfür die Ausgleichsparametera1.
Eine weitere einfache Ausgleichsbedingung charakterisiert das Verfahren
der Ordinatenmomente:
xo+n
Xo+n
t/-) x u F ( x , a 1 ) : ) x " q * f ü r v : 0 , . . . , r - 1 .
x= xo
F
DieseForderungbesagt,daß die ordinatenmomentedesSterbegesetzes
sollen(s.[35]'[39]).
Werteq, übereinstimmen
mit denender empirischen
bereitsdie
Auch bei diesemVerfahrensind die Ausgleichsbedingungen
a1
.
für
die
Bestimmungsgleichungen
bestehtausoptimalitätsforEin andererTyp von Ausgleichsbedingungen
derungen.
Das Verfohrender kleinstenQuadrate[35] verlangt,daß die gewichtete
minimalwird:
Summeder Fehlerquadrate
x o +n
_4"
t(^, a1)(F (x, ar) q*)2: Minimum '
in x und a1.
HierbeiseienF und g 2-malstetigdifferenzierbar
können wir aus dieser
Extrema
Mit Hilfe der Eigenschaftenrelativer
der a5 ableiten.
Bestimmung
zur
Gleichungen
Ausgleichsbedingung
ist i. a. nicht linear und daher häufig nur mit
DieJesGleichungssystem
Methodenlösbar.
numerischen
Die Gewichtefunktiong erschwertdie Bestimmungder a1. Deshalb
werden häufig Gewichtebenutzt,die von den a1 unabhängigsind. Wir
106
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tuep uu?p lqcrrdfluo EunqctalEsnzJelqaduoqcsünsg Jep uerl{eJre1 sBC
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(*"1
EunpegarrlettuoulgJap Ieq 'g'z 'elqctneg eJepuetlcls
uegagdura os 'sneJol uaEunpalren eJapueJIAI uazles 'puls llleueluosstod
xb
ellpJsäpol elp gep 'lqnraq euqeuuv Jep JnB sep 'lqJI1r\eDule lsl x,
*bl
-l
(- 1 l :({e'x)E
I J
:elleJ raA\zJn€Jerqsun uelugJrlJsoq
Oie Ahnlichkeit dieses Verfahrens mit dem mechanischen Verfahren von
Whittaker-Henderson (s. 3.2.2.3) wird deutlich, wenn wir den zu minimierenden Ausdruck als Maß für die Glätte der Funktion F und die
Nebenbedingung als Anpassungsmaß interpretieren. Dann besagt die
Ausgleichsbedingung,daß eine Funktion F gesucht wird, deren Glätte
bei einer vorgegebenenAnpassung A minimal sein soll.
3.3.4. Bestimmung der Ausgleichsparameter
und die Bestimmungder a1
Die Herleitung der Bestimmungsgleichungen
gehören zu den aufwendigen Teilen eines analytischen Ausgleichsverfahrens. Wir erläutern die Vorgehensweise am Beispiel des Verfahrens
der kleinstenQuadrate und des Verfahrensder Spline-Funktionen.
3.3.4.1.Das Verfahren der kleinstenQuadrate
Beim dem Verfahren der kleinsten Quadrate lautet die Ausgleichsbedingung
xo+ n
*I"
t (*, ap)(F (x, ar) q,)2 : Min.,
wobei g zweimal stetig differenzierbar in x und a1 ist (vgl. auch 3.3.3).
Die AusgleichsfunktionF (x, a1) wird als zweimal stetig differenzierbar in
x und a1 vorausgesetzt.
Aus der notwendigen Bedingung, daß im Falle eines Extremwertesdie
ersteAbleitung verschwindet,erhaltenwir damit
A
xo+n
;u d j I
g ( x , a k ) ( F ( x , a r ) - q * ) 2 : f0ü r j : 1 , . ' . , r .
x:xe
Diese r Gleichungen heißen auch Normalgleichungen.
Die Lösungsmethoden des Normalgleichungssystemshängen von der
Form der AusgleichsfunktionF und der Gewichte g ab, genauer gesagt
von der Art der funktionalen Abhängigkeit der a1 in diesen Funktionen.
Wir unterscheiden drei Arten der Abhängigkeit unter der Voraussetzung,
daß die Gewichtefunktion g unabhängig von den ap ist:
l. Die AusgleichsfunktionF ist linear in den as. Dann reduziert sich das
das mit einfachen
Gleichungssystemauf ein linearesGleichungssystem,
Methoden,z. B. dem GaußschenAlgorithmus, gelöstwerden kann.
2.Die Ausgleichungsfunktion F ist zwar nichtlinear in den a1, kann
jedoch in eine Funktion F' überführt werden, die linear in den a1 ist.
Wenn die neue Ausgleichsfunktion die Form F': ln (l + F) hat,
108
60I
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äure s€p '([7E]) lprenbruyq uor uerqqro^ s?p er^\os '([gE] uarqeg
-Ja^ueluärpeJgssp Jepo -uol^\aN wp 'B'z 'EunllelsueqeE;nyrap fry
aserp JnJ uarqe;ralstunJaquN eleuEreäEaErure
sA 'ueJqBJJe^sEunJ
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'lll113Jä'e 'r Eunzlassn?Jo^eserp (6E raty) qcreJaqsJellv
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'llsJ 'l
'(%t
-org
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uep
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Jne Eunrqng4cna orp lsr sele
lerurxuru
'lsl
Fgrraq Eunqcra,trqyelp) C + ! (d + I) ul tltE uu€p
,_01 = d pun
Für ln(l - F2) ergebendie Normalgleichungen
ebenfallsein linearesGleichungssystemmit den Läsungen
ar:-2,39158'10-3
'10-4
42: 2,91267
at:
1 , 6 6 0 3' 1 0 - 5
ar=-4,15832'10-6
a . s = 1 , 8 5 1 8' 1 0 - 7
as: - 2,49365'l0-e.
Wir sehen,daß diesear-Wertemit denender Ausgleichsfunktion
F1 bis auf das
Vorzeichennahezuübereinstimmen.
Für F3 erhaltenwir ein nichtlinearesGleichungssystem,
das wir mit Hilfe des
Näherungsverfahrens
von Marquardtlösen.Für die a1erhaltenwir
ar : 1,015,16
au-1,16601'10-2
ar: 1,00348.
Für Näherungsverfahren
benötigenwir Startwerte.Diesesollten,um die Konvergenzsicherzustellen
und die Anzahlder Iterationsschritte
möglichstklein zu halten,
bereitsrecht gute Näherungensein.Das Verfahrenvon Marquardtz.B. benötigte
in diesemBeispielbei den Startwerten
ai :0,5, aL:0,9 und ai: l,l etwa 1500
Iterationsschritte,
um die obigenWertezu erhalten.
z.B. King-Hardy,
Es empfiehltsich daher,mit Hilfe andererAusgleichsverfahren,
Werte für die a1 zu berechnen,die dann als Startwertefür ein derartigesNäherungsverfahrenbenutzt werdenkönnen.Mit den für F1, F2 und F3 ermittelten
ausParameternak erhaltenwir die in Tabelle25 und Abbildung 19 dargestellten
geglichenen
Werteqi.
Werte überhauptnicht
Die Funktion F3 paßt sich dem Verlauf der beobachteten
Sterbegesetz
eine
an. Der Grund liegt darin, daß das Gompertz-Makehamsche
strengmonotoneFunktion für a3ungleich0 und I und damit nicht in der Lageist,
Werte q^ in dem vorgegebenen
Altenbereichnachden Verlauf der beobachteten
zuvollziehen.Die Wahl der Ausgleichsfunktionwird also wesentlichdurch den
Wertebestimmt.
Verlaufder beobachteten
Die FunktionF1 @zw.F) paßt sich dem grundsätdichenVerlaufder beobachteten Werterechtgut an.
Im folgenden Beispiel machen wir die Abhängigkeit des Verfahrens der
kleinstenQuadrate von der Größe und Lage des Altenbereichesdeutlich.
Beispiel:
wählenwir
Als Ausgleichsfunktion
ql: F(x, ar) = I - .-o
ll0
{-
.*
{ä
"-*-'ll
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&
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1
0
1
%
9
o
x
x
8
t
I
F in die Form In (ln (l - F)) und gleichendie Werte
Wir transformieren
t
ln ln
'
aus.
l-q'
Dann bilden die Bestimmungsgleichungen für die a1 ein lineares Gleichungssystem. F bestimmen wir nun für den gesamten Altersbereich und die beiden
Teilaltersbereiche 5 bis 15 Jahre (Ausgleichsfunktion Fu) und 20 bis 30 Jahre
(Ausgleichsfunktion Fe). Die Parameter ak ergebendann folgende Werte:
ä1
Z2
A3
n4
A5
46
- 2,83757
- 1,2435r
9,72594.l0-2
- 2 , 1 0 r 6 7l 0. - 3
- 2,32002.rc-s
8 , 9 r 5 9 81. 0 - i
Fo
Fs
5,24336
- 7,67849
r,88373
- 2,25552.l0-l
1 , 2 8 6 8. rr0 - 2
- 2,78367. l0-4
537,39r
- 119,898
r0,4391
- 4,48976.l0-l
9,54497. 10-3
- 8,02932'
l0-5
Die ausgeglichenenWerte qi stellen wir in Tabelle 26 und Abbildung 20 dar.
Tabelle 26:
Beispiele für die Abhängigkeit des Verfahrens der kleinsten Quadrate von der
Größe und Lage des Altersbereiches.
q " . 1 0 5 d ' l o 5f ü r
x
x
qx' 105
q i ' 1 0 5f ü r
Fs
Fo
5
6
8
9
l0
lt
t2
l3
l4
t5
l6
17
t8
l9
tt2
ö)
7l
66
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40
39
38
40
47
69
69
85
ll0
r60
t70
t0l
69
53
45
42
4l
43
48
54
63
75
89
104
l2l
138
84
73
64
54
44
38
36
q
50
66
v
20
2l
22
)7
24
25
26
27
28
29
30
3l
33
152
178
163
172
154
170
152
153
157
186
165
t66
r82
205
154
t67
r76
l8l
l8l
178
r7l
164
157
153
153
l6l
l8l
223
155
168
173
170
162
155
153
157
166
174
168
€II
' z ( ' b( r e ' x ) g )( r e ' x ) E v.\
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uol 8unle1qv elro^tzerp sualsepururranueEpgueqrnJJarH'lsl lllRJJa
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Jeryets os urn '1sr operEslraqroJg Jep [ry7 eW regorE ef 'u€ uegälA
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x
0
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t
0
t
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,
!
o
x
x
I
g
3.3.4.2.Das Verfahren der Splinefunktionennach Reinsch
Definition:
G e g e b e ns e i e i n I n t e r v a Jl : [ * 0 ,& + n ] c R . X : { x 0 ,x 0 + 1 , . . . , x 0 + n }
ist eine äquidistante Unterteilung von J. Die Stützstellen xi, xn +
l, ..., xo+ n nennenwir Knoten.
Unter einer zu X gehörendenSplinefunktion vom Grqde rn, Sf (x), verstehenwir eine reelle Funktion
Sf:J-R.,
m>0,
mit den Eigenschaften
(a) SR(x) ist (m - l)-mal stetig differenzierbarauf J.
(b) S*(x)istfürx e [x0* i,q* i + l], i:0,...,tr- l,
ein Polynom höchstensvom Grade m.
Wir benutzen im folgenden kubische Splinefunktionen Si (x). Sie sind
stückweise aus n kubischen Polynomen so zusammengesetzt,daß Sf (x)
selbst und ihre ersten beiden Ableitungen an den Knoten keine Sprungstellen besitzen.Betrachten wir nun die Ausgleichsbedingung:
xo+n / d2
\2
{ l;- F (x, a1)l dx : Minimum
I
; \ox'
unterder Bedingung
i , a r )- q , " * i =
$ /F(xo+
\t o
'1 \
Bi
l-"
mit 91und A e lR+festvorgegeben.
Durch Einführung einer SchlupfvariablenS und des Lagrange-Multiplium:
katorstr formenwir dieseAusgleichsbedingung
Minimiere
*oln/ d2
\2
.1 / F(*o
- + i, a1)
- ' - ^' * o *\2' l+ s 2 - e . ( 3 . 1 )
f l + - F (' x , ^'l
a 1 )ol* + , , . ' ) . l
I
;6 \
8i
i" \dx'
die wir mit Hilfe der Euler-LagranDies ist eine Variationsaufgabe,
lösenkönnen.
geschenDifferentialgleichungen
der Form
Die Lösungist einekubischeSplinefunktion
F ( x ) : a i l p i ( x - ( x o + i ) ) + r i ( x - ( x o + i ) ) 2 +4 ( x " - ( x o +i ) ) 3
i : 0 , . . . , o - I u n dx s * i < x < x o +i + l .
wir auf Stoer[38].
Zur genauenHerleitungverweisen
Parameter
ai,Pi, yi und ä1der Splinefunktion
sind
also
die
Zu bestimmen
,1.Um die
s und der Lagrange-Multiplikator
sowie die Schlupfvariable
l14
EII
" " ' z ' r ' o : r'
'f=r
l--I!. , 1 ( 1 ] . -?\!: r + r y
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-tuqsag ärCI 'JelerrreJ€dJap Eununurlseg Jnz Jrlr\ uerutuo{ salsqo€u stv
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- t , -l ( l n- t + \ p ) : t d
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uap snv
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t t * 1 * - I+llru 'f
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:
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( u + o r b . . . . . o x b )_
{
( ( t _ u g ( . . . , k ) g:
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, ( t - " d , . . ., 0 d ) :
d
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n
:uaEunuqcrazag
apuezJn{qeapueElog
Jr^r ueFlgÄ'uellelsnzJepruJod JaqceJure
ur ueEunqcral8sEunruurrlsag
Wegen der Konvexität von G(,1) können wir mit tr:O als Startwert
beginnen. Für die praktische Berechnungerweist es sich als zweckmäßig,
die Funktion G())z zu vereinfachen.
Da die Matrix Rr D2 R + ,,'M für tr > 0 positiv definit ist, gibt es eine
eindeutige Zerlegung dieser Matrix in eine obere und eine untere Dreiecksmatrix(Cholesky-Zerlegung,[38]):
Rr D2 R + ,,,M : Lr L,L ist eine obere Dreiecksmatrix.
Mit Hilfe dieser Cholesky-Zerlegung können wir den Algorithmus zur
Bestimmung von ,i wie folgt darstellen:
Algorithmus:
(l) Startwertz.B. 7r: g.
(2) Bestimmungder Cholesky-Zerlegung
L T L : R T D 2 R+ , , i M .
(3) Bestimmungvon
u: : L-l (Lr)- I Rr Yr und
v::DRu.
(4a) Ist vr v > A, so setzenwir
f : : u M u r u n dv v ; : 1 L r ) - r M u .
(4b) Ist vr v < A, so brechen wir ab und bestimmen a, p,7 und ä aus den
mit A : )'i.
Bestimmungsgleichungen
(5) Dann setzenwir
vr v - (A ur u;l/2
Ai+t:
Ai
,1,wTw-f
Wie gehennach (2) und setzen
7i: Ai+r.
Sind die Koeffizientenüi, ßi, liund ä;, i - 0,..., o- I und cn der Splinefunktion bestimmt, so erhaltenwir die ausgeglichenenWerte qi wie folgt:
Q | o +: id i f ü r i : 0 , ' . . , 0 - l ,
: ün-r* fr-r I /n-t * ön-t.
Qio+n
Bevor wir uns einigen Beispielenzuwenden,betrachtenwir die Gewichte
g; und den vorzugebendenAnpassungswertA'
Die Werte 91 sind Gewichte, die'durch die angenommenestatistische
verteilung der Todesftille in den folgenden Beispielen festgelegtwerden
können. Wir haben für die Berechnungendie Poissonverteilungunterstellt
und damit
I ^
\t/2
s , : | l * o * iI
\ /*o+i /
als Gewichtung erhalten.(Weitere Gewichte siehe[33],[34].)
l16
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1a!ds!ag
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-uo8rg JesorpeEruroJr^\ uetraz uelerdsraguepuegerlqcsqeuepreq uäp uI
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g
p
X
x
o
Alterin Jahren
Abb.21.lsslsshlete Häufigkeiten,---- SplinefunktionA:20, "" SplinefunktionA:40.
Tabelle27:
mit Splinefunktionen.
Beispielfür Ausgleichungen
9*. 105 qi't05ftir
A:20
5
6
7
8
9
l0
ll
t2
l3
14
l5
l6
t7
l8
l9
ll8
85
71
66
57
4 0
39
38
40
47
69
69
85
I l0
160
170
Q". 105
A:40
83
72
62
52
4 / .
40
39
42
50
62
74
66
58
5r
4 6
43
43
47
55
65
20
2t
22
23
24
25
26
77
95
114
t32
r47
78
92
r07
r22
134
30
3t
32
33
)1
28
29
r52
r78
163
172
r54
t70
r52
r53
r57
186
165
166
r82
20s
q l . 1 0 5f ü r
A:20
A:40
158
164
r66
r66
165
163
l6l
l6l
t63
r66
r45
153
158
t62
164
r65
166
t68
r69
r72
171
177
184
r92
174
178
r82
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6II
zLl
691
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9
1
0
t
9
:X
m
*
o
x
X
I
g
Die Anpassungand die beobachteten
Werte ist für A:20 deutlich besserals für
A:,10.
Beispiel:
Mit dem Wert A:5 gleichenwir sowohldie Wertereihees,...,q33als auchdie
Wertereihegzo,...,e3qaus.Die Ergebnisse
sind in Tabelle28und Abbildung22
dargestellt.
Der Wert von A ist für den Bereichvon 5 bis 33 Jahrenzu klein. Um eine vergleichbareGlättewie für den Bereich20 bis 30 Jahrezu erhalten,müssenwir für A
etwadenWert 20 vorgeben(siehevorigesBeispiel).
Bei der Erstellung der neuen Rechnungsgrundlagenfür die betriebliche
Altersversorgung,,Richttafeln 1982" wurde zur Ausgleichung der Ausscheidewahrscheinlichkeitenauf Spline-Funktionen zurückgegriffen ([46]).
Neben dem Verfahren der Splinefunktionen nach Reinsch werden in der
Literatur noch andere Verfahren mit Splinefunktionen angegeben ([36]).
Diese kommen mit weniger als n + I Knoten aus. Eines dieser Verfahren
(das von Powell und DeBoor-Rice, [36]) wurde als Ausgleichsverfahren
für die,,Sterblichkeit bei Einzelkapitalversicherungender Schweizerischen Lebensversicherungs-und Rentenanstaltin den Jahren l97l bis
1980" ([4]) verwendet.
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llur Euequeurtuusnzwl arp lErlggqcsag
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uep uI
uB^oqJSZpuJe8uo^
uaEunqrnsrolunsf
lo{qrllqrels rlu uapoqlotr{:t p{dql
Wichtig für die Beurteilung, ob die vorgegebene Sterbetafel als Rechnungsgrundlage herangezogenwerden kann, sind die Wahl eines geeigneten Testverfahrenssowie die Festlegung der Sicherheitswahncheinlichkeit bei der AnwendungdiesesTestes.
Bevor wir jedoch ein geeignetesTestverfahrenauswählen können, müssen wir die Nullhypotheseformulieren.
Aus der Aufgabenstellungleiten wir ab, daß die genannteVergleichstafel
als Hypothese in den Test eingehen soll. Da keine Angaben über andere
mögliche Sterbetafeln vorliegen, sind wir gezwungen, die Vergleichstafel
in die Nullhypothese aufzunehmen.Damit erhalten wir: die gesellschaftseigene Sterbetafel entspricht der durch die vorgegebene Tafel dargestellten. Die Alternativhypothese ergibt sich als Negation dieser Nullhypothese.
Die Formulierung der Aufgabenstellungschränkt die Menge der anwendbaren Testverfahren nur wenig ein. Mit Ausnahme des Zeichentests
können wir alle in Kapitel 2 vorgestellten Testverfahren einsetzen. Der
Zeichentesteignet sich aus dem Grunde nicht, da eine in einem größeren
Teilaltersbereichgegenüberder Vergleichstafelstets höhere (niedrigere)
Sterbehäufigkeit durch eine in einem anderen Teilaltenbereich stets
niedrigere (höhere) Sterbehäufigkeit ausgeglichenwerden kann. Dieses
tritt aber recht häufig ein. So ist beispielsweisebei der Benutzungeiner
Vergleichstafeldarauf zu achten, wie sich mit
geschlechtsunabhängigen
bezüglich der beiden Gedem Alter die Bestandszusammensetzung
verändert.
schlechter
Zusätzlich zu den in Ikpitel 2 genannten Testverfahren gibt es noch die
Möglichkeit, die Nullhypothese ,,optisch" zu beurteilen.Hierzu ermitteln
wir zu den Sterbehäufigkeitendie zugehörigen Konfidenzintervalle bei
einer vorzugebendenlrrtumswahrscheinlichkeit a. Diesem,,Konhdenzband" stellen wir die Kurve der Sterbewahrscheinlichkeitennach der
Nullhypothese gegenüber. Liegen die Wahrscheinlichkeiten in weniger
als I - a aller Fälle innerhalb des Konfidenzbandes,so lehnen wir die
Nullhypothese ab. Diese Vorgehensweiseähnelt dem Zeichentest,läßt
jedoch keine Angabenüber die Irrtumswahrscheinlichkeitzu.
Für die vorliegendeAufgabenstellungerscheinender Iterationstestsowie
der X2-Testgut geeignet, da beide Verfahren einfach in der Handhabung
sind und lediglich nach einer Näherung für die zugrunde liegende
Sterbetafel gefragt wird. Für die Wahl des lterationstestesspricht, daß
bei Annahme einer ausreichendenGlätte und einer um die Vergleichstafel schwankenden Sterbehäufigkeit des untersuchten Bestandesdie zugrunde liegenden Sterbewahrscheinlichkeitensich gut an die Vergleichswerte anpassen.
r22
€zI
'pJr^\
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Wesentlich hieran ist die Prüfung der Frage, ob sich die zugrunde
liegende Sterbetafel im Zeitablauf verändert hat. Mit denselben Methoden lassensich jedoch auch Aufgabenstellungenlösen, die sich mit der
Frage beschäftigen, ob zwei untenchiedliche Personengesamtheitenin
einem vorgegebenenZeitraum bezüglich der Sterblichkeit vergleichbar
sind. Hierzu zählen beispielsweise die Fragen, welchen Einfluß die
medizinische Untersuchung vor Abschluß eines Lebensversicherungsvertrages hat und ob den Personengesamtheiten,,Versicherte mit Kleinlebensversicherungen"und,,Versicherte mit Großlebensversicherungen"
unterschiedliche Sterbetafeln zugrunde liegen.
4.l. 3. Erstellung einer Sterbetafel
4.1.3.1B
. eispiel
Als Beispiel für eine Aufgabenstellung,die zur Erstellung einer Sterbetafel führt, betrachtenwir wieder das Beispiel aus 4. l.l. Wenn das Testergebnis lautet, daß die Vergleichstafel nicht als Rechnungsgrundlage
herangezogen werden kann, so entsteht das Problem, welche Tafel die
Sterblichkeit des Versicherungsbestandes
widerspiegelt. Spätestensnach
dem Verwerfen von einigen anderen als Vergleichstafel herangezogenen
Sterbetafeln entschließenwir uns, eine eigene Tafel abzuleiten.
4. 1.3.2.Anforderungen
Zunächst entsteht die Frage, welche Anforderungen wir an eine Sterbetafel stellen sollen. Diese Anforderungen hängen zwar wesentlich von der
Aufgabenstellungab, es gibt jedoch eine Reihe von Kriterien, die sehr
häufig zur Beurteilung herangezogenwerden. Die beiden gebräuchlichsten sind die ,,Glätte" und die ,,Anpassung",die wir beide bereits im
Kapitel 3 näher beschriebenhaben. Aufgabe des Glättekriteriums ist es,
Zufallsschwankungenzu eliminieren, demgegenübersoll das Anpassungskriterium sicherstellen,daß systematischeBesonderheitenerhalten bleiben. In diesem Sinne sind die Glätte und die AnpassungKriterien, die in
entgegengesetzterRichtung wirken.
Neben den beiden Anforderungen Glätte bzw. glatter Kurvenverlauf und
Anpassungder Wahrscheinlichkeitenan die relativen Häu{igkeiten gibt
es noch weitere sinnvolle Kriterien. z. B.
o Regellosigkeit,
o Trend,
o vorgegebenerKurvenverlauf.
Die Kriterien ,,Regellosigkeit" und ,,Trend" überprüfen die Sterbetafel
darauf, ob die beobachteten Werte unregelmäßig über bzw. unter den
124
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i (l + f'(x)')
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I
o
G:(Lu^q*)tl',t,
\xel
o
G:
I
.
T.T{l/'q*i}
Es können sich jedoch noch andere sinnvolle Glättemaße ergeben,da die
Frage, wann eine Kurve glatt ist, nur im Zusammenhang mit der
Aufgabenstellung beantwortet werden kann. Für das in Ikpitel 5 benutzte Glättemaß
R, : lL (/^q,)'\"'
\xel
I
(4.1)
schlägt Ammeter ([8]) vor, die Wertereihe dann als ausreichend glatt
anzusehen,wenn
I ( t o t ' t ^ q * ) 2< l l l ' 2 2 t . - t )
9.2)
xeI
ist. Hierbei bezeichnetk die Anzahl der Dezimalstellenvon q*.
GütemaßeJür die Anpassung
Mit dem Begriff ,,Anpassung"bezeichnenwir die Übereinstimmung zweier
Kurven. Diese Übereinstimmung beziehen wir im allgemeinen auf die
Lage der Kurven, es kann jedoch auch sinnvoll sein, zusätzlich oder
alternativ die Gestalt heranzuziehen.Die gebräuchlichenMaße für die
Anpassung gehen daher auch von dem Abstand zweier vergleichbarer
Kurvenpunkte aus und definieren hiermit den Abstand eines Bereiches.
In Ifupitel 2 haben wir im Zusammenhang mit den Anpassungstests
einige Maße A kennengelernt:
O A:L X?
(vgl./-Test)
xel
A : L ( L n ' ) t(vgl./-Test)
I
\yEx
re I
A: max{lx-l}.
xeI
Ebenso wie bei den Glättemaßen stellt sich auch hier die Frage, wann
von einer guten Anpassung gesprochenwerden kann. In dem Fall, in dem
das Anpassungsmaß aus einem statistischen Test abgeleitet wird, ziehen
126
L7,l
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bestimmter vorgegebenerKurvenverlauf einzuhaltenist, so haben wir die
Möglichkeit, das Gütemaß z. B. aus den Ableitungen dieser zugrunde
liegenden Funktionen herzuleiten. Für das Kriterium ,,Trend" ist in [41]
ein Gütemaß vorgestellt.
4.1.3.4.Zielfunktion
Die Beurteilung, ob eine ausgeglicheneWertereihe als Näherung für die
zugrunde liegende Sterblichkeit brauchbar ist, erfolgt über die Zielfunktion. In diese Zielfunktion sollten die Gütemaße aller zur Beurteilung
heranzuziehendenKriterien einfließen. Beispiele für Zielfunktionen finden wir in den in Kapitel 3 vorgestellten Ausgleichsverfahren, z. B. bei
der x2-Minimum-Methode in der Minimierung eines Anpassungsmaßes,
beim Whittaker-Henderson-Verfahrenin der Minimierung eines Anpassungsmaßesbei Einhaltung einer vorgegebenenGlätte, oder allgemein
bei den analytischenAusgleichsverfahrenin der Forderung nach einer
vorgegebenenForm des Kurvenverlaufs.
Aus diesen wenigen Beispielenerkennen wir, daß zum einen die Benutzung einer Zielfunktion für die Beurteilung der Güte einer Ausgleichung
üblich ist und zum anderen, daß wir unter der Zielfunktion auch die
Einbeziehung von Nebenbedingungen verstehen. Diese Nebenbedingungen werden entsprechend dem Vorgehen bei dem Verfahren der
Spline-Funktion durch Einführung zusätzlicher Variabler mit in die
Zielfunktion aufgenommen. Hiermit erhalten wir die Möglichkeit, jede
vorgenommeneAusgleichunganhand dieserZielfunktion zu bewerten.
Der beschriebeneWeg zur Beurteilung einer Ausgleichung- Aufstellung
einer Zielfunktion - kann im Einzelfall abgewandeltwerden. Beispielsweise ist es nicht mehr notwendig, eine Ausgleichung nach einem
Kriterium zu beurteilen, das bereits zur Optimierung in einem Ausgleichsverfahrenbenutzt wird. So liefert z. B. die x2-Minimum-Methode
bereits die optimale Anpassungan eine vorgegebeneFunktionenschar,so
daß eine nachträgliche Beurteilung der Anpassung über eine Zielfunktion, die sich aus demselben Anpassungsmaßsowie dergleichen vorgegebenenFunktionenscharergibt, überflüssigwird.
Die Aufstellung einer Zielfunktion stößt auf verschiedeneProbleme.Zum
einen kann es schwierig werden, die Gütekriterien zu definieren bzw.
sinnvolle Gütemaße abzuleiten,und zum anderen müssendie Gütemaße
noch in einen Zusammenhanggebracht werden, d.h., es muß über die
Gütemaße eine Abbildung in die reellen Zahlen definiert werden.
Die Schwierigkeit,alle zur Aufgabenstellungsinnvollen Gütekriterien zu
formulieren bzw. hieraus Maße abzuleiten,wird in der Praxis häufig dadurch umgangen,daß zunächsteine Beurteilung mit Hilfe einer Zielfunk128
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und der Einteilung in die Risikoklassenauch die
suchungsbestandes
wesentlichvon der AufgabenstellungabhängigenFestlegungender Art
und der -methode.
desUntersuchungszeitraumes
der Untersuchung,
4.2.1.1.Der Untersuchungsbestand
In der Regel zerfdllt der gesamteBestandeines Lebensversicherungsunternehmensin eine Reihe von Teilbeständen.die einer unterschiedlichen Art der Verwaltungunterliegen.Es ist daher notwendig,die in die
Teilbeständefestzulegen.Dieseserfolgt
Untersuchungeinzubeziehenden
entwederdirekt aus der Aufgabenstellung(2.B. beim Vergleich zlteier
Beständehinsichtlichder zugrundeliegendenSterbetafeln),
vorgegebener
(2.8. kanneineHochrechnung
Teilbeständen
aussinnvolleinbeziehbaren
des Bestandes
auch auf der Basiseiner Sterbetafelerfolgen,die aus einer
Teilbestandesentwickeltwordenist)
Untersuchungeinesrepräsentativen
Weiterhin kann die Festlegung
oder durch VorgabedesAufgabenstellers.
in
auch durch die Art der Bestandsführung
des Untersuchungsbestandes
den einzelnenTeilbeständenbestimmtwerden.Diesesführt insbesondere
personendann zu Problemen,wenn bedingt durch die Aufgabenstellung
mäßig und vertragsmäßiggeführteBeständein die Untersuchungeinbezogenwerdensollen.In diesemFall solltedie Aufgabein zwei Teilaufgaben zerlegtwerden,so daß die Teilaufgabensich auf Besländebeziehen,
Bestandsführung
unterliegen.
die einervergleichbaren
4.2.1.2.Risikoklassen
Die Frage nach der Klasseneinteilungist für die Aussageftihigkeitder
von grundlegenderBedeutung.So ist beispielsweise
erhaltenenErgebnisse
ermittelteSterbetafelfür die Vorhersageder
eine geschlechtsunabhängig
der überwiegendaus VersicheeinesTeilbestandes,
Bestandsentwicklung
rungenzu einemspeziellenFrauentarifbesteht,kaum geeignet.Für die
bedeutetdieses,daß wir
Durchführungeiner Sterblichkeitsuntersuchung
auseinandersetzen
unssehrgründlichmit der Frageder Klasseneinteilung
müssen.Unterteilenwir die Daten bezüglicheiner oder mehrererEinflußgrößennicht, so bedeutetdieses,daß wir bei der anschließenden
in den
des Beobachtungsmaterials
Analyse stets die Zusammensetzung
müseinzelnenKlassenhinsichtlichdieserEinflußgrößenberücksichtigen
Klassen(2.B. den
in den ,,benachbarten"
sen.Da die Zusammensetzung
Altern) rechtstarkschwankenkann,müssenwir jede bei der Analysefestob sich hier eine
zunächstdarauf untersuchen,
gestellteBesonderheit
Eine
starkeUntermacht.
bemerkbar
Einflußgröße
nicht berücksichtigte
bedeutet damit eine Vereinfachung
teilung des Beobachtungsmaterials
für die spätereAnalyse.
130
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personenmäßig ermittelt wurde, eine policenmäßige Untersuchung wird
jedoch nicht ausgeschlossen.In dem Falle, in dem aufgrund der Aufgabenstellung sowie der Art der Bestandsführung die Untersuchungsart
nicht eindeutig vorgegebenist, erfolgt die Festlegungaus reinen Praktikabilitätsüberlegungen.Hierbei spielen z. B. die Frage nach dem Umfang
des Beobachtungsmaterialsund den für die folgende Auswertung zur
Verfügung stehendenMethoden eine wichtige Rolle. Eine personenmäßige
Untersuchungreduziert gegenüberder policenmäßigenden Umfang des
Beobachtungsmaterials,während andererseitsdie Streuung der Sterbehäufigkeiten policenmäßig größer als personenmäßigist (vgl. 1.6). Des
weiteren beeinflussen die zur Verfügung stehendenAuswertungsmethoden
ebenfalls die Wahl der Untersuchungsart,da beispielsweiseeine personenmäßige Untersuchung dann angebracht erscheint, wenn wie für die
Aufgabe in 4. l.l die heranzuziehendenTestverfahrenalle auf der Unabhängigkeit der ermittelten Daten basieren. Diese Unabhängigkeit ist
jedoch dann nicht gegeben,wenn bei einer policenmäßigenUntersuchung
ein Todesfall das Ausscheiden mehrerer Verträse aus dem Bestand
bewirken kann.
4.2.1.4. Der Untersuchungszeitraum
hängt eng mit dem BeobDie Festlegungdes Untersuchungszeitraumes
achtungszeitraumsowie der Untersuchungsmethoderusammen. Unter dem
Beobachtungszeitraumverstehenwir die Zeitspanne,für die die Totenund die Lebendengesamtheitenzu bestimmen sind. Demgegenübergibt
der Untersuchungszeitraumdie Zeitspanne an, die wir zur Beschreibung des Zustandes einer Versicherung während der Beobachtungszeit
benötigen. Diese beiden Zeiträume sind in der Regel nicht identisch, da
wir beispielsweise einen Sterbefall nicht zum Todesdatum kennen,
sondern erst mit einer zeitlichen Verzögerung. Deshalb wird der Untersuchungszeitraum auch über das Ende der Beobachtungszeit hinausgehen.
Welche zeitliche Verzögerung für die Untersuchung berücksichtigt werden soll und in welcher Form, hängt von der Wahl der Methode ab, da
die evtl. zu berücksichtigenden Wanderungsbewegungenhierauf ebenfalls
Einfluß haben.
Die Wahl des Beobachtungszeitraumeswird wesentlich von der Aufgabenstellung bestimmt, da hierin im allgemeinen bereits konkrete Hinweise enthalten sind. Weiterhin sind jedoch ebenfalls Überlegungen
anzustellen,ob beispielsweisefür die Erstellung einer Sterbetafel,die für
die Zukunftsprojektion herangezogen werden soll, auch eine Beobachtungszeit gewählt worden ist, die kein atypisches Sterblichkeitsverhalten
aufweist (beispielsweisedurch das Fehlen einer Grippewelle, vgl. 1.5).
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In dem Altersbereichvon 35 bis 50 Jahrenstellenwir zwar einesteigendeTendenz
fest, diese ist jedoch deutlich geringerals
in der Kurve der Sterbehäuligkeiten
diejenige in einer Vergleichstafel(2.8. der neuestenBevölkerunpsterbetafel).
erkennenwir, daß die
Aufgrund einer Verfeinerungin der Klasseneinteilung
Besonderheitauf einen sehr hohen Anteil von Bauspar-Risikoversicherungen
zurückgeführtwerdenkann, denenoffensichtlichdeutlich niedrigereSterbewahrDa die Sterbezugrundeliegenals den anderenVersicherungen.
scheintichkeiten
benutztwerdensoll
tafel für die Ermittlung der zukünftigenBestandsentwicklung
geplant ist, encheint es
und keine Anderung in der Bestandszusammensetzung
daß diese Besonderheitebenfallsin der abzuleitenden
sinnvoll, sicherzustellen,
Sterbetafelerscheint.
An dem Beispiel erkennen wir eine mögliche Vorgehensweisezur Analyse
eines festgestellten Kurvenverlaufes: Mit Hilfe von anderen bekannten
Sterbetafeln können wir bei vergleichbarem Verlauf die hierfür gültigen
Ursachen auf ihre Gültigkeit auch im vorliegenden Fall untersuchen.
Weichen die Verläufe ab, so fragen wir nach den hierfür maßgebenden
Gründen. In vielen Fällen gelingt es uns, die Ursachen dadurch zu
ermitteln, daß wir eine Verfeinerung in der Klasseneinteilung vornehmen.
Die Einbeziehungweiterer Parameterin die Untersuchungbedeutet nun
jedoch nicht, daß wir unbedingt eine weiter abgestufte Sterbetafel
ableiten müssen,sondern sie hat zunächst einmal erläuternden Charakter.
Das bedeutet, daß wir uns über die Zusammensetzungdes Beobachtungsmaterials hinsichtlich weiterer ParameterKlarheit verschaffen.So ist z. B.
eine gegenüber der Bevölkerungstafel ausgesprochen geringe Zunahme
der Sterbehäufigkeitenim Altersbereichvon 30 bis,t0 Jahren evtl. darauf
zurückzuführen, daß in diesem Altersbereich ein besonderer Akquisitionsschwerpunkt liegt mit den aus einer medizinischen Untersuchung
resultierendenEinfl üssen.
Nach der Ermittlung der Besonderheiten im Verlauf der Sterbehäufigkeiten ergibt sich damit die Frage, welche Bedeutung diese für die zu
ermittelnde Sterbetafel haben. In Abhängigkeit von der Aufgabenstellung
legen wir damit die Besonderheitenfest, die durch die Ausgleichung
nicht bzw. nur geringfügig verändert werden sollen, und diejenigen,die
wir als für die Aufgabe nicht relevant betrachten können.
4.2.3. Festlegungder Zielfunktion
Aufgrund der Ergebnisse in der Analyse der beobachteten Daten können
wir die für die Beurteilung der Ausgleichung benötigte Zielfunktion
endgültig festlegen. Hierbei müssen wir die folgenden fünf Fragen beantworten:
L Welche Gütekriterien und welche Gütemaße sollen in die Zielfunktion
eingehen?
2. Wie sollendie Gütemaße in der Zielfunktion verknüpft werden?
134
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dienen soll, so kann die Zielfunktion prinzipiell wie im Fall von zwei
Kriterien mit Nebenbedingungen aufgestellt werden.
o Gibt es im Fall n > 2 kein ausgezeichnetesMaß, das als einziges nicht
als Kontrollmaß dient, so können wir keine allgemein gültigen Hinweise für die Aufstellung der Zielfunktion geben.
Bei der Aufstellung der Zielfunktion treten häufig Fragen dahingehend
auf, wie wichtig ein Kriterium bezogen auf ein oder mehrere andere ist.
Damit entsteht das Problem, wie diese unterschiedlicheWichtigkeit in
die Zielfunktion einfließt. Ein allgemeiner Ansatz besteht darin, für die
einzelnen Kriterien Gewichte vorzugeben,mit denen dann die zugehörigen Gütemaße in die Zielfunktion einfließen. Die Festlegung dieser
Gewichtsfaktoren hängt eng zusammen mit den Erkenntnissen aus der
Analyse der beobachteten Werte. Hierbei treten aber auch Probleme
derart auf, daß die Kriterien nicht über den gesamten Altersbereich ein
konstantes Gewicht erhalten können. da z. B. in einem bestimmten
Teilbereich aufgrund einer festgestelltenzu erhaltendenBesonderheitein
im übrigen Bereich weniger wichtiges Kriterium eine besondereBedeutung erlangt.
Dieses Problem können wir z. B. dadurch lösen, daß wir den gesamten
Altersbereich in Teilbereiche aufteilen, in denen den einzelnenKriterien
konstante Gewichte beigemessenwerden können und die Zielfunktion in
Teilfunktionen für die einzelnen Bereiche aufgeteilt wird. Hierbei ist
jedoch darauf zu achten,daß die einzelnenTeilbereiche so groß gewählt
werden, daß die Gütemaße noch sinnvoll anwendbar sind. Dieses ist
beispielsweisebei dem Kriterium Regellosigkeit dann nicht mehr gegeben, wenn ein Teilbereich aus sehr wenigen Altern (2.8.7 Jahre) besteht.
Wird die Zielfunktion auf verschiedenenTeilbereichen mit unterschiedlichen Gewichten für die einzelnenMaße definiert, so ist eine zusätzliche
Gewichtung der einzelnenTeilbereichemöglich.
Nach dieser vorgenommenen Festlegung der Zielfunktion entsteht die
Frage, welche Zielfunktionswerte uns eine ausreichend gute ausgeglichene
Wertereihe signalisieren.Die Beantwortungdieser Frage hängt entscheidend davon ab, welche Normierungsfaktoren, welche Gütemaße und
welche Verknüpfungsarten in die Zielfunktion eingeflossensind. Ahnlictr
wie bei der Vorgehensweisefür einen statistischen Test ist es auch für die
Zielfunktion wichtig, sich über den Raum der Zielfunktionswerte und die
Aufteilung in einen,,Annahmebereich" und einen,,Ablehnungsbereich"
Vorstellungen zu machen. Dieses ist auf jeden Fall dort notwendig, wo
wir aufgrund mangelnden Instrumentariums keine optimale Ausgleichung
erreichen bzw. keine Aussagenüber die Abweichung von der optimalen
Ausgleichung machen können. Der Annahmebereich gibt uns dann die
136
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Tabelle 29: Eigenschaftender Ausgleichsverfahrön
Verfahren
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von Gütekriterien
Glätte
derqi
enthält
Extrapolation
Anpassung
derqi an q,
Ausgleichung der
ganzerr
Wertereihe
möglich?
Parameter a1 abhängig
von
Altersbereich beobacb
teten
Größe Lage Werten
MechanischeVerfuhren:
symmetrische
Ausgleichsformeln
Glätte der Invarianten
nicht zentrale Ausgleichsformeln
Glätte der Invarianten
Greville
Glätte der Invarianten
Whiuaker-Henderson I (z'q)'
N
N
N
N
N
N
I tql - q,)2 N
Analyt ische Verfahren:
J
J
King-Hardy
Ordinatenmomente
I (qi-q")' r
Kleinste Quadrate
Spline-Funktion
.[(y")'d* I(qi-q^)'
z.T.: zumTeil,J: Ja,N : Nein.
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l,l8 in der
maß. Unter diesen Bedingungenergibt unser Vergleichsmaßstab
Obwohldamit beide
Anpassungund 0,69in der Glätte für beide Ausgleichungen.
Verfahrenüber den gesamtenAltersbereichzu vergleichbarguten Ergebnissen
Werte teilweiseerheblich.Die
kommen,unterscheidensich die ausgeglichenen
Ursachehierfür liegt in der globalenBetrachtungder beidengewähltenMaße in
Zielsetzungder Verfahren(Optimierungder
Verbindungmit der unterschiedlichen
Anpassungbzw. Glätte führt zu einergutenAnpassungbzw. Glätte in den Altern,
Maß ausüben).
die denstärkstenEinfluß auf dasentsprechende
Weiterhin bemerken wir zu dem Vergleich des Whittaker-HendersonVerfahrens mit dem der Spline-Funktionen, daß die Handhabung des
deutlich einfacherist. Die Aussage,,einWhittaker-Henderson-Verfahrens
fach" bezieht sich in diesem Fall im wesentlichendarauf, daß zum einen
außer der Matrixinversion keine bedeutendenVerfahren der numerischen
Mathematik benötigt werden und zum anderen der Rechenaufwand um
den Faktor 5 bis 50 kleiner ist. Beide Verfahren lassensich jedoch in der
Regel nicht mehr ohne Hilfe eines programmierbaren Rechnersanwenden.
Alter
mit gleichemGlätte-und Anpassungswert.
Abb.23. Zwei Ausgleichungen
!e1f6h1snder Spline-Funktionen,
. . ' ' Whittaker-Henderson-Verfahren.
140
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des Altersbereiches für die Festlegung der Ausgleichsverfahren auf den
Teilbereichenerfolgt analog zu dem oben Gesagten.
Abschließend bemerken wir noch, daß es theoretisch notwendig ist, alle
auf diese Weise zulässigen Ausgleichsverfahren in ihren möglichen Ausprägungen anzuwenden. Da diesesjedoch in der Praxis nicht möglich ist,
erscheint es sinnvoll, eine kleine Teilmenge hiervon auszuwählen und mit
den hiermit erhaltenenAusgleichungeneine Beurteilung des Ergebnisses
vorzunehmen (siehe 4.4). Die ausgewählte Teilmenge sollte jedoch so
beschaffen sein, daß sie ein großes Spektrum der möglichen Sterbetafeln
abdeckt, d. h., daß es nicht darauf . ankommt, fast identische ausgeglichene Wertereihen zu erzeugen, sondern möglichst unterschiedliche
Wertereihen zu erhalten. die dann anhand der Zielfunktion beurteilt
werden können.
4.3.3. Übergtingebei Ausgleichungvon Teilbereichen
Aufgrund der Festlegungenin 4.3.2 entstehtdie Frage, ob für jedes Alter
ein eindeutiger ausgeglichener Wert vorliegen wird und ob benachbarte
Werte auch in einer ,,vergleichbaren Relation" stehen. Unter dieser
versleichbaren Relation verstehenwir. daß zwischenzwei Teilbereichen
ein fließender Übergang hinsichtlich der in den einzelnen Bereichen
verwendetenGütemaße stattfindet. So sind beispielsweisein dem Fall, in
dem im ersten Teilbereich nach einem analytischen Verfahren unter
Vorgabe eines Sterbeges€tzesund im folgenden Teilbereich nach einem
mechanischen Verfahren mit einer symmetrischen Formel ausgeglichen
worden ist, die Fragen zu klären, ob für alle Alter ein ausgeglichener
Wert vorliegt und ob im Übergangsbereichdie Sprungstelle in der Glätte
sinnvoll ist.
Diese beiden angeschnittenen Fragen hängen sehr eng zusammen, da
durch die Vorgehensweisein den Übergangsbereichen häufig die Wahl
des Altersbereichesfür die Teilbereichemitbestimmt wird.
Allgemein gibt es drei Möglichkeiten Altersbereiche für benachbarte
Teilbereichefestzulegen:
o der ausgeglichene Altersbereich für einen Teilbereich übenchneidet
sich mit dem des folgenden Teilbereiches (überlappende Ausgleichung),
o die ausgeglichenenAltersbereiche entsprechenden Teilbereichen (bündige Ausgleichung) und
o der ausgeglicheneAltersbereichfür einen Teilbereich ist kleiner als der
Teilbereich.
Wählen wir die überlappendeAusgleichung,so bedeutet dieses,daß wir
für die überlappendenAlter jeweils zwei ausgeglicheneWerte erhalten.In
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4.4.Beurteilung des Ergebnisses
4.4.L Anwendungeines Testverfahrens
Für die beiden Aufgabenstellungen, für die zur Beurteilung ein Testverfahren herangezogenwird (4.1.1 und 4. 1.2), ermitteln wir entsprechend
der Testfunktion den Testwert. Unter Zuhilfenahme des zur vorgegebenen lrrtumswahrscheinlichkeit a erhaltenen Grenzwertes co ergibt sich,
ob wir die Nullhypothese ablehnen oder nicht. Konnten wir die Nullhypothese so formulieren, daß wir durch ihre Ablehnung die gewünschte
nlitatigung für die Alternativhypothese erhalten haben, so ist die
gestellte Aufgabe bei einer Irrtumswahrscheinlichkeit von c gelöst. Im
änderen Fall stehen wir vor der Frage, welche Konsequenzenhieraus für
die Aufgabe zu ziehen sind. Hierbei gibt es zwei Möglichkeiten: wir
haben däs gewünschte Ergebnis widerlegt, oder wir haben die Nullhypothese nichtäblehnen können. Im erstenFall bedeutet dieses,daß wir das
gewünschte Ergebnis als Nullhypothese formuliert haben und diese durch
äas Testergebnis abgelehnt wird. Die Konsequenzen sind dahingehend
eindeutig, äaß die Aufgabe in dieser Form nicht lösbar ist. Der andere
Fall, in-dem wir die Nullhypothese nicht ablehnen können, ist nicht
eindeutig in den Auswirkungen auf die Aufgabenstellung. Haben wir das
zu bestäiigende Ergebnis als Nullhypothese formuliert, so erscheint es
sinnvoll, die Nicht-Äblehnung als Bestätigung der Nullhypothese aufzufassen.
Dieses ist insbesondere dann angebracht, wenn wir aufgrund der Hypothesenwahl einen sehr großen Fehler L Art a vorgegeben haben. Falls es
sich zudem bei dem angewandten Testverfahren um einen beispielsweise
gleichmäßig besten Test handelt, so gibt uns auch diese Optimalitätsäigenschaftiinen Hinweis darauf, daß wir das Ergebnis_alsBestätiglng der
Nirllhypothese auffassen können. Insgesamt bedeutet diesesjedoch in der
Regel, daß wir über den hierbei auftretenden Fehler 2' Art B keine
Auisage machen können. Eine Interpretation des Testergebnissesin dieser
Form sollte jedoch nur unter Abwägung der unterschiedlichen Konsequenzen für die Aufgabenstellung erfolgen.
Weiterhin kann bei der Nicht-Ablehnung der Nullhypothese der Fall
eingetreten sein, daß wir durch den Test die Alternative bestätigen
wol'iten. Da wir bei der Interpretation des Testergebnisseshiermit jedoch
keine Bestätigung der Nullhypothese erhalten haben, bedeutet dieses,daß
wir auch diJAlGrnative nicht ohne weiteres verwerfen dürfen. Ahnlich
wie im anderenFall der Nicht-Ablehnung der Nullhypothese werden wir
uns in Abhängigkeit von der Größe des vorgegebenend unter Abrrägung
der Konsequenien für die Aufgabenstellung entweder für die Ablehnung
der Alternätivhypothese entscheiden und damit die Aufgabe als nicht
144
9Vr
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Eunlla6uequEgny rap ue uorle{grpol4l eure Jopo 'uoqeE{cnJnz J€qsol
..Anzahlder in die Zielfunktion einfließendenGütemaße"kaum überprüfungsfähigist. Wir müßten uns hierbei auch fragen,welcheAuswirkungen in der Zielfunktion nicht berücksichtigteKriterien habenkönnten. Deshalb beschränkenwir uns meistensdarauf, eine Sensibilitätsanalyse der verwendetenGewichtsfaktorenvorzunehmen.Unter Umständenist auch eine Untersuchungbezüglichder in der Zielfunktion
notwendig.
AufteilungdesAltersbereiches
vorgenommenen
Gewichte dieselbeAufder
Sensibilitätsanalyse
hat
die
Grundsätzlich
für
gabewie die FestlegungdesAnnahme-und desAblehnungsbereiches
öinen statistischenTest, nämlich den Raum der Gewichtezu definieren,
der zu keiner veränderungbezüglichder abgeleitetenSterbetafelführt,
bzw. den komplementärenRaum der Gewichtezu ermitteln. Haben wir
lediglich einenoder zwei unabhängigeGewichtsfaktorenin der Zielfunktion, so ist diese Aufgabe auch noch meistensmit einem vertretbaren
zu bewältigen.Sindjedoch für die Zielfunktion mehr als
Rechenaufwand
zwei Gewichte unabhängigvorzugeben,so stößt die Bestimmungdes
Raumes der zu keiner Anderung führenden Gewichte auf erhebliche
praktischeProbleme.Diese Problemeberuhenim wesentlichenauf den
Schwierigkeiten,nicht nur die Variationsbreiteeines Gewichtesunter
Beibehaliungder benutztenWerte für die anderenGewichteermittelnzu
müssen.sondernauch die unterschiedlichenAuswirkungenvon gleichzeitigen Anderungenmehrerer unabhängigerGewichte betrachtenzu
müsJen.Die mit der Betrachtungvon gleichzeitigenAnderungenmehrerer GewichteverbundenenSchwierigkeitensind häufig so groß, daß wir
der einzelnenGewichte eventuellnoch
uns mit der Sensibilitätsanalyse
zweier unabhängigerGewichtebegnügen.Tritt bei der Sensibilitätsanalyse der Fall ein, daß bereitseine geringeAnderungeinesoder mehrerer
Parameterzu einer anderenabgeleitetenSterbetafelführt, so sind die
betroffenenParameterhinsichtlichihrer Ausprägungin der Zielfunktion
kritisch zu überprüfen.
besonders
der Sterbetafel
4.4.3. Überprüfung
Für die Aufgabe ,,Ermittlung einer Sterbetafel"verbleibt abschließend,
eine Überprüfungder abgeleitetensterbetafelin bezugauf die durch die
Hierzu gehört im
AufgabenitellungvorgegebenenAnwendungsgebiete.
Besonderfestgelegten
der
Analyse
alle
in
ob
Kontrolle,
die
wesäntlichen
daß
heiten erhaltenwordensind. DieseKontrolle soll damit sicherstellen,
die
durch
den
bzw.
Aufgabenstellung
wir die Zielfunktion auch der
gewählthaben.
angemessen
Ausgleichungzu erhaltendenBesonderheiten
Da wir die Definition der Zielfunktion bereis hieran ausgerichtethaben,
ob die Gütemaßesinnvoll gewähltworden sind
genügtes, festzustellen,
sind.
Kriterieneingeflossen
relevanten
und ob sämtliche
r46
LVI
'(p7 Eunpllqqy's) uauurusnz suuer8
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ueuaqerJqcseqole'lllalsaErep aEa,nsEunsol'ualerlgnu uaEunqcnsralun
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rerp erp ru JI/r\ ueq€q ?'? slq I't uallruqcsqv uauatuetotusro^ uep uI
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arp qcJnp qraleq esarp Bp 'trpue,rgou Eungprdraqn aqcsllulueql?u
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EunpuorrnuyJOp qc"u lsJo esle^rllel eüeIAI rap EunlttTn elp ?p
lureqcsra eüBtuelnD uellqg,nat rap Eungnrdreqn eqctlEeJlqo€u oulg
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Grundg€mlholton
F€degung fts stalFlisch€n Moddb
Dollnlüond€r ti/pothFn
Wahl d6 Tsshr€rtahreng
Vorgab€dor InhJmswahrsch€inlichk€it
Ermiöungd€3B€obechtungsrnaterbl3
Durchli,lhrungd€sTGts
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zuf?illiger Schwankungen gewünscht. Dieses bedeutet aber, daß wir die
Sterbehäufigkeiten um den Zufallseinfluß bereinigen müssen. Damit
ergibt sich die Notwendigkeit einer Ausgleichung.
5.1.2. Ableitung von Gütekriterien
Für die Durchführung der Ausgleichung ist es, wie wir in den Kapiteln 3
und 4 gesehenhaben, notwendig, daß wir uns über die zu stellenden
Anforderungen Klarheit verschaffen.Wir haben daher die in die Zielfunktion einfließenden Maße festzulegen:
l. Da wir den Zufallseinfluß eliminieren wollen, müssen wir ein Kriterium definieren, daß uns erlaubt, Aussagendarüber zu machen, wie
sut das Ziel erreicht wird. In 3.2.2.3haben wir bereits in der Form der
&: t (/'q*)2 ein derartigesKriterium angewandt.Für den Fall s:3
legen wir damit die bekannten dritten Differenzen zugrunde, die uns
eine Aussageüber die Glätte des Kurvenverlaufserlauben.Da wir von
der Vorstellung ausgehen,daß die Sterbewahrscheinlichkeitenin Abhängigkeit vom Alter keine starken Sprünge aufweisen,bedeutet eine
glatte ausgeglicheneKurve eine Elimination der Zufallsschwankungen.
2. Da wir bei der Ausgleichungkeine systematischenEinflüssebeseitigen
wollen, müssen wir für eine Anpassung der ausgeglichenenan die
beobachteten Daten sorgen. Dieses soll, wie bereits in- Ifupitel 2
beschrieben, über das Anpassungsmaß 7f erfolgen. Das x2-Maß stellt
uns damit sicher, daß die ausgeglichenenWerte ,'in der Nähe" der
beobachtetenliegen.
3. Zusätzlich zum Anpassungsmaß;2 müssen wir sichentellen, daß die
Beobachtungswerte zuftillig um die Ausgleichungswerte verteilt sind
(vgl. die Bemerkung zur negativen Eigenschaftdes x2-Testesin 2'3'3).
Dieses bedeutet, daß die Differenzen der beiden Reihen in zuftilliger
Anordnung positiv bzw. negativ sein müssen. Hierfür wählen wir die
Anzahl der lterationen als Maß (im folgenden lterationsmaß V genannt).
In Anbetracht der Aufgabenstellung erscheint die Einbeziehung weiterer
Maße nicht erforderlich.
5.1.3. Form der Zielfunktion
Mit den drei angegebenenGütemaßen haben wir die die Zielfunktion
beeinflussenden Parameter bestimmt. Darüber hinaus ist es notwendig,
die funktionale Abhängigkeit näher zu beschreiben. Da es uns nicht
möglich erscheint, die Wechselbeziehungender drei Kriterien zu ermitteln, gehen wir der Einfachheit halber vom einfachstenFall aus, d. h. die
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den Beispiel sind aus Praktikabilitätsgründen einige besondere Besfände
(2. B. manuell geführte, u. ä.) nicht in die Untersuchung direkt eingeflossen. Die Aufgabenstellung kann in einem solchen Fall auch mit
anderen Hilfsmitteln gelöst werden, beispielsweisedurch die Hochrechnung mit Streckungsfaktoren (2. B. Verhältnis des Gesamtbestandeszum
untersuchten Bestand u.ä.). Die Besonderheitender untersuchten Bestände müssenin der Hochrechnung entsprechendberücksichtigt werden.
Der für das folgende Beispiel herangezogeneVersicherungsbestandzeichnet sich dadurch aus. daß er zum einen einer einheitlichen Bestandsführung (mit Hilfe der EDV) unterliegt und zum anderen der größte
Teilbestand ist. Die Bestandsführung selber erlaubt eine detaillierte
Untersuchung, die den Anforderungen der Verweildauer-Methode (vgl.
1.3 und 1.4) genügt. Da diese Methode eine Einbeziehung der Wanderungen zuläßt, ist sie zur Untersuchung herangezogenworden.
Bei der in 5.2.2 folgenden Analyse der Stichproben beschäftigenwir uns
u. a. mit der Feststellungder Besonderheitendes vorliegendenDatenmaterials. Da die Definition der Risikoklassen (vgl. 1.2 und 1.5) hierauf
entscheidendenEinfluß hat, müssen wir uns mit den beiden Fragen
befassen:
o Welche Unterteilung hinsichtlich der verschiedenen Einflußgrößen
(Klasseneinteilung) ist notwendig?
o Wie können zuf?illige von systematischenSchwankungen untenchieden
werden?
Im folgenden Beispiel verwenden wir eine Unterteilung des Untersuchungsbestandesneben dem Alter des Versicherten nach Geschlecht und
Beitragsstatus.Bezüglich des Beitragsstatus möchten wir bemerken, daß
wir uns auf die beitragspflichtigen Versicherungen beschränken' Die
beitragsfreien haben wir aus der Untersuchung ausgeschlossen,da bei
Voruntersuchungen festgestellt worden ist, daß insbesondere in den
höheren Altern die Todesfiille mit einer sehr langen Verzögerung (teilweise mehrere Jahre oder gar nicht) gemeldet werden. Für die Lösung
der gestelltenAufgabe bedeutet dieses,daß der Teilbestand der beitragsfreien Versicherungen einer besonderenArt der Hochrechnung, die dieser
Verzögerung Rechnung trägt, zn unterziehen ist. Weiterhin beschränkt
sich die Untersuchung auf den Altersbereich von 16 bis 99 Jahre, da
andereAlter praktisch nicht vorkommen.
Der Untersuchungsbestandwird vertragsmäßig geführt, d. h. es können zu
einer versicherten Penon mehrere Verträge existieren. Aufgrund der
Aufgabenstellung erscheint es ebenfalls sinnvoll, eine vertragsmäßige
(policenmäßige) Untenuchung durchzuführen. Dem steht allerdings entgegen, daß durch einen Todesfall mehr als ein Vertrag aus dem Bestand
152
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Tabelle30: Datender beidenStichproben.
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205
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46
47
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333
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347
413
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Tabelle30 (Fortsetzung)
Alter
Frauen
Männer
Tote
Lebende
Sterbehäufigkeit per
Tote
Lebende
r00000
Sterbehäu{igkeit per
r00000
88
89
90
76
371
264
24259
28 788
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In7
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l9 069
23 593
90
9t
92
93
94
36
32
33
15
14
167
ll6
88
57
38
21 557
27 586
37 500
26 3t6
36 842
153
123
8l
74
50
599
434
310
222
144
25 543
28 34r
26 129
33333
34722
ll
8
3
2
2
22
l9
t4
l0
50000
42 t05
2t 429
20 000
66 667
25
20
9
4
2
87
45
22
l2
28 736
M444
40 909
33333
66 667
95
9
9
9
9
6
7
8
9
J
60
Abb.25. Sterbehäuflrgkeiten
der beidenStichproben.
_ 1979/80
bpfl. Männer,
"" 1979/80
bpfl.Frauen.
156
J
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aus den allgemeinenSterbetafelnder BundesrepublikDeurchland bekanntenVerlauf für die Männer folgt (vgl. z.B. [5]): Nach einem relativ
steilen Anstieg im Altersbereichbis etwa 20 Jahre erfolgt ein deutlich
erkennbares
Absinkenbis etwa30 Jahre.Anschließendsteigendie Sterbehäufigkeitenerstgleichmäßigan, um dann ab etwa80 Jahreüberzugehen
in einenBereichgeringerwerdender
Zunahme.
Für eine weitergehendeAnalyseziehen wir eine Vergleichstafelheran.
Hierzu wählen wir die ,,AllgemeineDeutscheSterbetafel1970/72ludänner" (kurz ADSI 70/72M genannt,[6]). Die Wahl fiillt deshalbauf die
ADSI 70/72M, da diese die letzte vollständigermittelte Bevölkerungssterbetafelist und wir über den Vergleichmit der Bevölkerungeinige
Besonderheitender Versichertensterbetafel
erkennen können. Diesen
Vergleichnehmenwir vor, indem wir für alle Alter den Anteil der Versichertensterbehäufigkeit
an der Bevölkerungssterbewahrscheinlichkeit
ermitteln(vgl.Tabelle3l und Abbildung26).
Über alle untersuchtenAlter gesehenergibt sich ein durchschnittlicher
Gemessen
an diesemDurchschnittssatz
erkennenwir
Anteilsatzvon 92,5o/o.
in Abbildung 26 folgendeEntwicklung:Nach einem sehr steilenAnstieg
der Anteilsätzebis zum relativenMaximum im Alter von 19Jahrenfolgt
Tal im Bereichbis etwa42 Jahremit dem Minimum von
ein ausgeprägtes
Bereichvon etwa43 bis
510/o
im Alter 35. Der sich hierananschließende
7l Jahrezeichnetsichdadurchaus,daßer lediglicheinegeringeSteigung
anpaßt.Ab dem Nter 72
aufweistund sich gut an den Durchschnittssatz
bis etwazum
steigendie Anteilsätzedeutlich über den Durchschnittssatz
Alter 85. ab dem die Anteilsätze stark um einen konstantenWert
schwanken.
Betrachten
wir die festgestellten
Besonderheiten
im einzelnen:
seit etwa 1960
l.Aus der Entwicklungder Bevölkerungssterbetafeln
wissenwir ([5], [6]), daß im Altersbereichvon 18 bis 20 Jahreneine
im ZeitablauffestdeutlicheErhöhungder Sterbewahrscheinlichkeiten
stellbarist. Dieseswird im allgemeinenauf die Zunahmeder Unfalltodhäuhgkeitenim StraßenverkehrdiesesAltersbereicheszurückgeführt. Aus diesemGrund erscheintdie Entwicklungder Anteilsätzein
denjungenAlternplausibel.
wissenwir seit langem,daß durch die An2. In der Lebensversicherung
tragsprüfungein zeitlich begrenzterEinfluß auf die Sterbewahrscheinlichkeiten vorhandenist. Personenmit gesundheitlichoder beruflich
bedingtemerhöhtenTodesfallrisikowerden nicht oder nur gegendie
Zahlung einesZuschlagesversichert.Diese Selektionwirkt sich dahingehendaus,daß in den erstenVersicherungsjahren
eine Minderungder
Sterbehäufigkeitenfeststellbarist. Das Neugeschäftdes untersuchten
158
6SI
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Tabelle3l: Vergleichder Stichprobenmit der Bevölkerungssterblichkeit.
ADSt 70172M
per 100000
Proz.Anteil
beobachtetan
ADSI 7Ol72M
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l7
l8
l9
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l6l
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r74
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26
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158
159
l6l
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70
85
85
ADSI70/72F
per 100000
56
&
67
67
Proz Anteil
an
beobachtet
ADSI 7Ol72F
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67
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65
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6l
62
66
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127
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l5l
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227
246
269
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43
44
320
347
376
406
439
77
7'7
69
84
85
178
195
2t3
234
257
68
t07
86
88
96
45
46
47
48
49
475
518
570
630
698
84
96
9l
87
90
282
3ll
344
380
418
82
80
ll8
84
50
5l
52
53
54
77r
844
920
r 002
I 095
94
95
90
90
97
456
492
526
559
596
82
104
100
83
89
30
3l
32
33
34
35
36
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160
170
175
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Ireluv'zord I^[ ztlOt lsov
(6unaasuog)It oltoqel
Tabelle3l (Fortsetzung)
ADSI 70172M
per 100000
Proz.Anteil
beobachtetan
ADSI 7Ol72M
ADS|70/72F
per 100000
hoz Anteil
an
beobachtet
ADSI 7Ol72F
93
94
32201
34 570
82
107
28606
30366
ll7
l14
95
96
97
98
99
37 092
39768
42 598
45 578
48 703
135
106
50
4
t37
32 r24
3 38 7 1
35 597
37 290
38942
89
l3l
ll5
89
l7l
Gesamt
92,5
97,3
N
R
o
o
c
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g
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Alter
70/72M'
der
ADSI
mit
Männer
der
Stichprobe
Abb.26. Vergleich
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ueure azl-?s[oluvelp qcreJsqsrallvuesarp ul g?p .ueElluEaqoEussny
wird dadurch beantwortet, daß wir keine Besonderheit festgestellthaben,
die ein speziellesweiteres Gütekriterium erfordert. Hiermit erübrigt sich
eine Enveiterung dieser Kriterien. Auf der anderen Seite können wir
aufgrund der in 5.1 angegebenenBegründungweder auf das Glätte- noch
uuidus Anpassungsmaßverzichten. Das Iterationsmaß wollen wir ebenfalls'beibehalten,es wird jedoch ein deutlich kleineres Gewicht erhalten
als die anderen Kriterien. Die ausgeglichenenWerte sollen auf 5 Stellen
nach dem Komma genau berechnetwerden (entsprechendder Genauigkeit bei den ,,AllgemeinenDeutschenSterbetafeln")'
Aufgrund der unterschiedlichenAnalyseergebnissemüssen wir für die
weiiere Beantwortung der gestellten Frage sowie die folgenden Tätigkeiten wieder getrenntnach den Geschlechternvorgehen.
5.3.1. Männer
Die festgestelltenBesonderheiten erfordern eine untenchiedliche Gewichtung dei beiden Kriterien Glätte und Anpassung.So erscheint es.beispiäsweise sinnvoll, im Altersbereichvon 72 bis 85 Jahren aufgrund der
Iiesonderheit in den Geburtsjahrgängen1894 bis 1907 eine stärkere Anpassung zu verlangen im Gegensatz zu. den folgendjrn Altern, für die
äufgrunO der größören Schwankungen eine stärkere Glättung vorzunehirt. Diesei bedeutet, daß wir eine Aufteilung des gesamtenAlters..i
bereichesin Teilintervalle so vornehmen müssen,daß in jedem Intervall
eine altersunabhängigeGewichtung der beiden Kriterien möglich ist.
unserera1glmeinen Form der Zielfunktion (s. 5.1.3)wirkt sich
Bezüglich
-Altersaufteilung
hinsichtlich der Glätte und der Anpassungin.die r
eine
IntervalleIr, ..., I. lmit tt u ... \./ I, : [16,99]und I n I: : 0 ftit i * j und
i, j : l, .. ', r) wie folgt aus:
Z : Z ( P . 3 x, 2 , V )
: E r - Z t( R r ,t r 2 +) E z ' Z z ( Y
r
: gr . L
: - t
l
+ Ez'zz(Y
_ G,,,. fr,i(Rr)t gz,i.fz,i(x2))
(s.4)
I
mit 91* gz: l, gr,i * gz,i: I und fr,i, fz,i Funktionen der Einzelkriterien
aufdem IntervallI; für i : l, ..., r.
Hierbei entsprechenf1,; bzw. f2,; den Funktionen f1 bzw. fz in (5'l).bzw'
(5.2) eingescirränkt aui das zugehörige Intervall li und 22 der Funktion f3
in (S.:).1ür die Berechnungder f1,1bleibt noch zu bemerken, daß im
Hin'Utiöt auf einen ausreichend giatten Übergang der Altersbereiche
sämtliche für den Gesamtbereich ermittelbaren dritten Differenzen in
den jeweiligen Teilintervallen zu berücksichtigensind.
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beschreiben,die mit Sicherheitzu keinem befriedigendenErgebnis
führenwerden.Hierzu zählenz.B. die folgendenKlassen:
l. ohneIntervallteilung
(2.B. symo mechanischeAusgleichsverfahren
ohne Randausgleichung
metrischeFormeln),
o analytischeAusgleichsverfahren
mit einem Gompertz-Makeham-Ansatz(wegendesTalesim Bereichvon 20 bis 42 Jahren),
2. mit Intervallteilung
o im Altersbereichunter 42 JahrenanalytischeAusgleichsverfahren
mit
einemGompertz-Makeham-Ansatz,
o in den Randintervallen
mechanische
Ausgleichsverfahren
ohne Rand(2.B. symmetrische
Formeln).
ausgleichung
Es verbleibenimmer noch unbegrenztviele Möglichkeitender Ausgleichung, die in der Praxis nicht alle durchgeführtwerden können.Aus
diesemGrundewählenwir einigeaus,die möglichsteinenrepräsentativen
Querschnittaller denkbarenAusgleichungendantellen sollen.Aufgrund
Normierungsetzenwir als
der für die Zielfunktion(5.4)vorgenommenen
Annahmebereich
dasIntervall[0,1]fest.
Für die Stichprobeder Männerwählenwir die in Tabelle33 beschriebenen Ausgleichungenaus. Die daraufhin ermittelten Zielfunktionswerte
zeigt ebenfallsdie Tabelle33. Insgesamtersehenwir, daß die Ausgleichungen mit den niedrigsten Zielfunktionswertendurchweg auf dem
oder auf dem Verfahren der SplineWhittaker-Henderson-Verfahren
Funktionen beruhen. Dieses Ergebnisüberraschtnicht, da bei beiden
Verfahrendie Kriterien Glätte und Anpassungin einer ähnlichenForm
findenund da dasdritte lfuiterium(Anzahlder lterationen)
Verwendung
ist.
lediglichmit einemgeringenGewichtin die Zielfunktioneingegangen
fällt zugunstender Ausgleichungll, die den niedrigDie Entscheidung
sten im Annahmebereichliegenden Zielfunktionswert aufweist. Diese
Ausgleichungmit den
Ausgleichungergibt sich als zusammengesetzte
ersten sieben Werten nach der Spline-AusgleichungNr. 5 und den
Nr. 2.
restlichenWertennachder Whittaker-Henderson-Ausgleichung
5.3.2.Frauen
in den Altern unter 50 Jahreund ab 92 Jahre
Da die Sterbehäufigkeiten
aufgrund der geringen Anzahl beobachteterToter stark schwanken,
erscheintes sinnvoll, in diesenAltern eine stärkereGlättung zu Lasten
der Anpassungvorzunehmen.Im restlichenAltersbereichvon 50 bis 9l
Jahrenwerdenwir dagegendie Anpassungstärkerbetonen,da die Kurve
bereits verhältnismäßigglatt ist. Ebensowie bei den Männern nehmen
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wir damit eine Modifikation der Zielfunktion wie in (5.4) beschrieben
vor.
Die Altersintervalle ergeben sich entsprechend unseren oben genannten
Anforderungen zu:
11: [6,49]
12: [50,91]
\:[92,991.
Die vorzugebendenGewichtsfaktorensind in der Tabelle 32 zusammengestellt. Auch in diesem Fall geben wir das Intervall [0,1] als Annahmebereich vor.
Bezüglich der Auswahl der in Frage kommenden Ausgleichungengehen
wir wie bei den Männern dargestellt vor. Die auszuschließendenAusgleichungen betreffen im wesentlichen dieselben KlasSen. Zusätzlich
können wir noch alle Ausgleichungen unberücksichtigt lassen,die in den
Intervallen 11 und 13 zu einer nicht ausreichenden Glätte führen. Hierzu
zählen neben denjenigen mechanischen Ausgleichsverfahren, die eine
sehr starke Gewichtung des auszugleichendenAlters mit dem davor und
dahinter liegenden Alter vorsehen, auch die analytischen Ausgleichsverfahren mit einer Vielzahl von zu bestimmenden Parametern.
Für die Stichprobe der Frauen wählen wir die in Tabelle 34 beschriebenen Ausgleichungenaus. Die auf die beschriebeneWeise ermittelten
Zielfunktionswerte (vgl. Tabelle 34) zeigen den minimalen im Annahmebereich liegenden Wert für die Ausgleichung2. In diesem Fall entscheiden wir uns damit zugunsten einer für den gesamten Altersbereich
einheitlich nach dem Whittaker-Henderson-Verfahrenermittelten Ausgleichung.
5.3.3. Bewertung
Die auf die oben beschriebeneArt ermittelten abseleitetenSterbetafeln
müssen wir noch einer kritischen Überprüfung- unterziehen. Dieses
geschiehtanhand der beiden Fragen, ob die Vorgaben für die Zielfunktion (2.B. die Gewichtsfaktoren) so erfolgt sind, daß die festgelegten
Anforderungen an die abgeleiteten Sterbetafeln erfüllt worden sind und
ob die abgeleiteten Sterbetafeln zur Lösung der Aufgabenstellung herangezogenwerden können.
Die Überprüfung der Gewichtsfaktoren erfolgt mit Hilfe der Sensibilitätsanalyse.Für die durchgeführten Ausgleichungenzeigt die Tabelle 35
die Ergebnisseder Sensibilitätsanalysefür jeweils einen Gewichtsfaktor.
Es zeigt sich, daß eine Variation des Faktors 91 lediglich dann zu einer
führt, wenn die Glätte und die Anpassungeine
Entscheidungsänderung
168
691
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Tabelle 36: Gegenübentellung der beobachteten und ausgeglichenenSterblichkeit
per 100000 Lebende.
Frauen
ausgeglichen
beobachtet
ausgeglichen
beobachtet
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165
185
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148
175
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22
23
24
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28
29
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ll5
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153
154
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41
42
43
44
232
261
293
329
369
246
267
258
341
375
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180
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Tabelle36 (Fortsetzung)
Alter
Männer
Frauen
ausgeglichen
beobachtet
ausgeglichen
beobachtet
90
9l
92
93
94
27781
29 339
30 937
32 575
34253
21 557
27 s86
37 500
26 316
36 842
24 201
26224
28 350
30578
32W8
25 543
28 341
26 r29
33333
34722
95
96
97
98
99
35972
37730
39 529
41367
43 246
50 000
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20 000
66 667
35 341
37 876
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43 253
46 095
28736
44 444
40 909
33333
66 667
1m
Alter
Ausgeglichene
Sterblichkeit,ätli:ii 90% Vertrauensintervall der Stich-
Abb.28. probeder Männer.
172
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geringereBedeutungin der Zietfunktionerhaltenals das Iterationsmaß.
Der kleinstevariationsbereich
für die Faktorengs.1beziehtsich auf das
Altersintervall11bzw.12bei den Männernbzw.Frauen,in dem damit die
Gewichtungder beidenKriterien sehr sorgfältigvorgenommen
werden
muß.
Nach der Sensibilitätsanalyse
ist esnotwendig,die bestenAusgleichungen
daraufhin zu untersuchen,
ob die abgeleitetenSterbetafelnauih die föstgestelltenBesonderheiten
enthalten.Diesestrifft in unseremBeispielauf
beide abgeleitetesrerbetafelnzu (vgl. die Abbildungen2g iür die
Männer und 29 für die Frauen).Für die Männer weisenwir iedoch
darauf hin, daß die Besonderheiten
zwar von der Ausgleichung
ilr. I I
(vgl' Tabelle33) erhalten werden,von der zweitbestenAusgleichung
(Nr. 2) jedoch nicht: Die Abbildung 30 zeigt,daß die AusgteichüngNr. 2
die Besonderheit
von l6 bis 20 Jähren"
,,steilerAnstiegim Altersbereich
nicht erhält. Da der Zielfunktionswert trotzdem so gut ist, bedeutet
dieses,daß die Berücksichtigung
der festgestellten
Besonderheiten
in der
Zielfunktionnicht vollständiggelungenist.
Außerdemmüssenwir nochüberprüfen,ob die abgeleiteten
Sterbetafeln
als Rechnungsgrundlage
für die zukünftige Bestandsentwicklung
dienen
können.Die konkreteVorgehensweise
hierzu ist bereitsin der Aufgabe
beschrieben.Ergibt diese Überprüfungkein befriedigendesErgebnis,so
gehenwir entsprechend
denin 4.4dargestellten
Möglichkeitenvor.
unserein 5.1gestellteAufgabeist damit hinsichtlichder Ausscheideordnung für den Todesfallgelöst.Die Tabelle36 enthält nebenden ausgeglichenenWertenauch die Sterbehäufigkeiten.
In den Abbildungen28
und 29 stellenwir den abgeleitetenSterbetafelndie Kurven der Konfidenzintervalleder Sterbehäufigkeiten
gegenüber.In beidenAbbildungen
erkennenwir, daß die Ausgleichungenzu Sterbewahrscheinlichkeiten
führen,die denzugrundeliegendennahekommen.
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