Protokoll zum Versuch S7

Protokoll zum Versuch S7:
Schallgeschwindigkeit - Stehende Wellen
Jan Christoph M
Daniel B
Abgabedatum: 24. April 2007
Tobias F
INHALTSVERZEICHNIS
1
Inhaltsverzeichnis
1 Motivation
2
2 Grundlagen
2.1 Stehende Wellen . .
2.2 Longitudinalwellen .
2.3 Transversalwellen . .
2.4 Schallgeschwindigkeit
2.5 Schalldruck . . . . .
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2
2
3
4
4
4
3 Aufgabe
4
4 Versuchsaufbau
4
5 Versuchsdurchführung
5.1 Teil A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Teil B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3 Teil C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
5
5
6
6 Auswertung
6.1 Teil A . .
6.2 Teil B . .
6.3 Teil C . .
6.4 Reduktion
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6
6
6
7
7
7 Fazit
7.1 Mögliche Fehlerquellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2 Bewertung des Resultats, Vergleich mit dem Literaturwert . . . . . .
8
8
8
8 Anhang
8.1 Literaturverzeichnis .
8.2 Abbildungsverzeichnis
8.3 Tabellenverzeichnis . .
8.4 Diagramme in A4 . . .
8
8
8
8
8
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der Ergebnisse auf Normbedingungen
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1
MOTIVATION
1
2
Motivation
Wellen sind Schwingungen, die sich zeitlich und räumlich periodisch ausbreiten (z.B.
Lichtwellen, Schallwellen, Wasserwellen). Das geschieht meistens über ein Medium,
welches schwingt. Jede Welle hat eine charakteristische Ausbreitungsgeschwindigkeit.
Wir wollen in diesem Versuch die Geschwindigkeit von Schallwellen in der Luft bestimmen. Dies geschieht in drei Teilversuchen, die uns zu voneinander unabhängigen
Ergebnissen führen sollen.
Als Hilfsmittel zur Bestimmung der Geschwindigkeit dient uns hier ein Kundtsches
Rohr der Länge 415 mm, in welchem eine stehende Welle erzeugt wird. Die stehende Welle wird so bezeichnet, da sowohl Knoten als auch Bäuche dieser Welle sich
scheinbar nicht von der Stelle bewegen. Dies ist der Fall, da die Schallwelle sich mit
ihrer Reflexion am festen Ende des Kundtschen Rohrs überlagert. Indem wir diese
stehende Welle auf verschiedene Arten ausmessen, gelangen wir an Werte für die
Schallgeschwindigkeit.
2
2.1
Grundlagen
Stehende Wellen
Stehende Wellen entstehen durch Überlagerung zweier ebener Wellen gleicher Wellenlänge, die einander entgegenlaufen. Am einfachsten können sie als stehende Schallwellen mit Hilfe eines Lautsprechers in einem Rohr erzeugt werden, dessen Innendurchmesser Di < λ2 ist (Bedingung für ebene Wellen im Rohr!). Die entgegenlaufende Welle wird dabei durch Reflexion der vorlaufenden Welle am Rohrende erzeugt.
Beim Schall handelt es sich um geringe periodische Druckschwankungen (Schallwechseldruck), die sich dem konstanten atmosphärischen Druck p0 überlagern. Im
Folgenden betrachten wir nur diesen Schallwechseldruck. Die Wellengleichung der
hinlaufenden Welle ist
p1 (x, t) = p10 cos(ωt − kx)
(1)
2π
λ .
mit k =
Die reflektierte Welle hat im allgemeinen Fall eine geringere Amplitude
als die hinlaufende Welle und gegenüber dieser eine Phasenverschiebung δ:
p2 (x, t) = p20 cos(ωt + kx + δ)
(2)
Im Folgenden werden zwei Sonderfälle betrachtet:
Schallharter Abschluss des Rohres. Er ist gekennzeichnet durch: p10 = p20 und
δ = 0. Für die resultierende Schallwelle ergibt sich in diesem Fall:
p(x, t) = p10 cos(ωt − kx) + p10 cos(ωt + kx)
(3)
p(x, t) = 2p10 cos(ωt) cos(kx)
(4)
bzw.
Diese Gleichung einer stehenden Welle stellt Schwingungen mit örtlich periodischer Amplitude dar. Für cos kx = 1 ist die Amplitude dieser Schwingung maximal
(Schwingungsbauch der stehenden Welle), für cos kx = 0 verschwindet die Amplitude (Knoten der stehenden Welle). Für die Orte x, an denen Bäuche bzw. Knoten
entstehen, ergeben sich somit folgende Bedingungen:
1. Bäuche:
2π · x
cos(kx) = 1 ⇒ k · x =
=n·π
(5)
λ
λ
xn = n ·
(6)
2
2
GRUNDLAGEN
3
2. Knoten:
cos(kx) = 0 ⇒ k · x =
xn
=
2π · x
π
= (2n + 1) ·
λ
2
λ
(2n + 1) ·
4
(7)
(8)
Auf die Länge des Rohres fallen also ziemlich genau n halbe Wellenlängen (genau
nur für zwei harte bzw. weiche Enden); das bedeutet, daß nur bei solchen Wellenlängen λn stehende Wellen mit ausgeprägten Knoten und Bäuchen des Schallwechseldruckes in einem Rohr mit schallhartem Abschluß vorkommen, für die die
Bedingungen gelten:
L=
2·L
n·c
n · λn
, λn =
, fn =
2
n
2·L
(9)
Trägt man also die Frequenzen fn gegen die Ordnungszahl n auf, so erhält man eine
Gerade. Der schallharte Abschluß läßt sich sehr gut z.B. mit einem Stahlstempel
verwirklichen.
Schallweicher Abschluß des Rohres. Der ideale schallweiche Abschluß ist gekennzeichnet durch p10 = p20 und δ = π. Bei den sich ergebenden stehenden Wellen
ist in diesem Falle am Rohrende ein Knoten des Schallwechseldruckes. Am Lautsprecherende bleibt es bei einem Bauch. In diesem Falle ergeben sich die folgenden
Bedingungen für stehende Wellen:
L=
(n + 12 ) · c
2·L
(2n + 1) · λn
, λn =
,
f
=
n
4
2·L
n + 21
(10)
Bei ideal schallweichem Abschluss sind die Frequenzen fn stehender Wellen proportional zu (n + 12 ). Der ideal schallweiche Abschluß läge vor, wenn am Ende des
Rohres Vakuum beginnen würde, läßt sich also nicht verwirklichen. Er kann jedoch angenähert verwirklicht werden, wenn man das Rohr am Ende einfach offen
läßt: auch bei offenem Ende ergeben sich stehende Schallwellen, ihr Auftreten ist
jedoch schwieriger zu verstehen. Da in diesem Fall am Rohrende keine Mediengrenze vorliegt, ist auf den ersten Blick keine Reflexion der einlaufenden Schallwelle zu
erwarten. Die für die Wellenausbreitung entscheidende Größe ist jedoch der Schallwellenwiderstand. Wenn dieser sich ändert, im Allgemeinen an Mediengrenzen, tritt
Reflexion auf. Im vorliegenden Falle ist der Wellenwiderstand innerhalb des Rohres
von dem des sich anschließenden »unendlichen« Raumes verschieden. In der Nähe
des Rohrendes findet daher eine Änderung des Wellenwiderstandes statt, die die
Reflexion der Schallwelle verursacht. Hieraus ergeben sich Konsequenzen:
1. Die reflektierte Welle hat eine geringere Amplitude als die hinlaufende Welle, da
ein Teil der Schallintensität nach außen dringt.
2. Die reflektierte Welle ist nicht genau um 180◦ phasenverschoben.
3. Der Ort der Reflexion fällt nicht genau mit dem Rohrende zusammen, er liegt
außerhalb des Rohres. Man kann dieser Tatsache Rechnung tragen durch eine effektive Rohrlänge L∗ = L + a, wobei a die sogenannte Mündungskorrektur ist.
4. Auch am Lautsprecherende ergibt sich eine Korrektur, da hier in der Näherung
jetzt kein Bauch der stehenden Welle mehr liegt. [PP05]
2.2
Longitudinalwellen
Wellen, bei denen die einzelnen Teilchen in Richtung der Ausbreitungsrichtung der
Welle schwingen heißen Längswellen oder Longitudinalwellen. Bei dieser folgen Verdichtungen und Verdünnungen aufeinander. Im Gegensatz zu Transversalwellen, die
nur in festen Körpern auftreten können, sind Longitudinalwellen in festen Körpern,
3
AUFGABE
4
Flüssigkeiten und Gasen möglich.
Der Abstand zweier benachbarter Verdünnungen oder zweier benachbarter Verdichtungen ist die Wellenlänge der Longitudinalwelle.
2.3
Transversalwellen
Eine Transversalwelle (auch Schubwelle, Scherwelle) ist eine physikalische Welle,
bei der die Bewegungsrichtung der schwingenden Teilchen, bzw. die Feldlinien der
beteiligten Felder zur Ausbreitungsrichtung senkrecht verlaufen.
2.4
Schallgeschwindigkeit
Die Schallgeschwindigkeit c ist die Geschwindigkeit, mit der sich Schallwellen in
einem beliebigen Medium (üblicherweise in Luft) ausbreiten. Es ist die Fortpflanzungsgeschwindigkeit, die nicht mit der Schallschnelle v zu verwechseln ist. Die
SI-Einheit der Schallgeschwindigkeit ist Meter pro Sekunde ( m
s ).
Für die Schallgeschwindigkeit c gilt die Formel
c=λ·f
(11)
wobei λ die Wellenlänge und f die Frequenz der Schallwelle ist.
Die Schallgeschwindigkeit ist abhängig von der Temperatur aber nicht vom Luftdruck.
2.5
Schalldruck
Als Schalldruck werden die Druckschwankungen eines kompressiblen Schallübertragungsmediums (üblicherweise Luft), die bei der Ausbreitung von Schall auftreten,
bezeichnet. Der Schalldruck ist in der Regel um viele Größenordnungen kleiner als
der statische Luftdruck. Da Druck mit keiner Richtungsangabe verknüpft werden
kann, handelt es sich um eine skalare Größe. Der Schalldruck in Abhängigkeit von
den Koordinaten im dreidimensionalen Raum ist aus mathematischer Sicht somit
ein Skalarfeld.
F
p=
A
Dezibel ist die Logarithmische Einheit für den Schalldruck P. Diese ergibt sich aus
der Umrechnung aus Pascal in Dezibel.
3
Aufgabe
Wir erzeugen bei diesem Versuch mit Hilfe eines Lautsprechers ebene Schallwellen im KUNDTschen Rohr. In bestimmten Frequenzbereichen entstehen stehende
Wellen. Nun müssen wir die Frequenzen fn in Abhängigkeit von ihrer Ordnung n
bestimmen, die sogenannten Schwingungsmoden stehender Wellen. Desweiteren soll
mit Hilfe eines verschiebbaren Mikrofons der Verlauf des Schallwechseldruckes längs
des Rohres bei den Frequenzen fn gemessen werden. Dies alles wird dazu benutzt,
um aus den Messungen die Schallgeschwindigkeit zu ermitteln und auf Normalbedingungen zu reduzieren. Dieser Versuch wird mit dem schallhartem Abschluss
durchgeführt.
4
Versuchsaufbau
Von einem Lautsprecher, der an ein Rohr gekoppelt ist, gehen Wellen mit unterschiedlichen Frequenzen aus. Das andere Ende des Rohres ist entweder durch eine Stahlkappe abgeschlossen (schallharter Abschluss) oder bleibt offen (annähernd
5
VERSUCHSDURCHFÜHRUNG
5
Abb. 1: Versuchsaufbau [PP05]
schallweicher Abschluss). Durch ein Messmikrofon, welches durch die Mitte des
Lautsprechers in das KUNDTsche Rohr eingeführt wird, wird der Schallwechseldruck durch horizontales verschieben des Mikrofons gemessen. Das Mikrofon ist
so modifiziert, dass es auf Druckschwankungen reagiert und diese in Spannungsschwankungen, die proportional zu den Druckschwankungen sind, umwandelt. Das
Programm audioTester generiert eine Frequenz, welche extern verstärkt, und über
die Soundkarte zum Lautsprecher gegeben wird. Mit dem Mikrofon wird das Signal
aufgefangen und vom Programm projiziert. In diesem Fall dient das Programm audioTester als Frequenzgenerator und Oszilloskop. Der Frequenzgenerator ist unterteilt in einen Tongenerator und einen Wobbelgenerator, wobei der Wobbelgenerator
einen Frequenzbereich automatisch durchlaufen kann, während der Tongenerator eine feste Frequenz ausgibt.
5
5.1
Versuchsdurchführung
Teil A
Bei dem Teilversuch A werden die stehenden Wellen in dem Frequenzbereich von
700Hz bis 3 kHz aufgenommen. Hierzu wird das KUNDTsche Rohr benutzt und mit
einer Stahlkappe verschlossen. In diesem Teilversuch sollen die Schwingungsmoden
bestimmt werden, bei denen stehende Wellen aufgetreten sind. Das Mikrofon wird
bis kurz vor die Stahlkappe gefahren, der PC und der Verstärker eingeschaltet, sowie das Programm Audiotester gestartet.
Die Frequenzen werden dann mit dem Wobbelgenerator im Frequenzbereich durchgewobbelt.
Ist die Messung beendet können anhand des Diagramms die stehenden Wellen als
Extrema direkt abgelesen werden.
5.2
Teil B
Bei dem Teilversuch B soll nun der Verlauf des Schallwechseldruckes in der Röhre
bei zwei verschiedenen Frequenzen bestimmt werden. Dafür verschiebt man das
Mikrofon in Schritten zu jeweils fünf Millimeter und zeichnet somit den Druckverlauf
6
AUSWERTUNG
6
auf. Hierzu wird wieder der Wobbelgenerator benutzt.
5.3
Teil C
Bei dem Teilversuch C sollen nun die Minima mit Hilfe des internen Oszilloskops
bestimmt werden. Hierfür werden die ermittelten stehenden Wellen aus dem Versuch
B am Generator eingestellt. Wiederum durch Verschieben des Mikrofons werden die
Minima bzw. Knoten aufgesucht und notiert.
6
6.1
Auswertung
Teil A
Mode n
2
3
4
5
6
7
Frequenz fn /Hz
962.5
1310
1685
2070
2440
2825
Tab. 1: Schwingungsmoden der stehenden Wellen, abgelesen aus Originalmessdaten
Aus der Tabelle, die der audioTester erstellt hat (Originaldaten siehe Computerausdruck im Anhang), waren die Moden einfach abzulesen.
Aus der Steigung der Ursprungsgeraden (siehe Diagramm 2 auf Seite 9), in der fn
gegen n abgetragen wurde, ließ sich die Schallgeschwindigkeit ermitteln. Die Steigung gibt Gnuplot mit 412.7
an, multipliziert mit 2L = 830mm ergibt sich
s
c = 342.5 m
s
bei einem asymptotischen Standardfehler von 5.5 m
s .
Laut Brockhaus liegt die Schallgeschwindigkeit in Luft bei 20◦ C bei ca. 343 m
s ,
also ist der Wert c aus der Geradensteigung, der bei 24◦ C ermittelt wurde, recht
zuverlässig.
6.2
Teil B
Die Diagramme, welche die gemessenen stehenden Wellen abbilden, finden sich
im Anhang (Diagramme 3 für 1310 Hz und 4 für 2070 Hz); ebenso die OriginalMesstabellen.
Als Umrechnungsformel von Pegel in Schalldruck wurde von [Sen05] die Gleichung
P egel
p = p0 · 10 20 benutzt.
= 135mm bzw. λ2070
=
λ lässt sich dann aus den Diagrammen ablesen zu λ1310
2
2
82.5mm. Vorher mussten wir allerdings den gemessenen Pegel gegen die
m
Also ergibt sich wegen c = λ · f c1310 = 354 m
s bzw. c2070 = 342 s .
Die Fehler kann man aus der Summe der Produkte aus partiellen Ableitungen und
Einzelfehlern berechnen, wir nehmen an: ∆f = 2Hz, ∆λ = 5mm.
∆c = |λ| · ∆f + |f | · ∆λ
m
⇒ ∆c1310 = 8
s
(12)
(13)
6
AUSWERTUNG
7
∆c2070
=
11
m
s
(14)
Daraus ergeben sich für die Werte incl. Fehler:
m
s
m
= 342(11)
s
c1310 = 354(8)
c2070
(15)
(16)
Verglichen mit dem Ergebnis aus (A) sind das brauchbare Näherungswerte.
6.3
Teil C
Das Vorgehen ist hier exakt äquivalent zu dem in Teil B. Es ergibt sich:
λ1310c
≈ 127.5mm bzw. λ2070c
≈ 83.5mm (siehe handschriftliches Messprotokoll ).
2
2
m
⇒ c1310c = 334 m
s bzw. c2070c = 345 s ,
m
∆c1310c = 8 m
s , ∆c2070c = 11 s .
m
⇒ c1310c = 334(8) m
s , c2070c = 345(11) s
6.4
Reduktion der Ergebnisse auf Normbedingungen
Im [TM04] findet sich folgende Formel:
r
c=
κ
RT
M
(17)
Da R, κ und M im Versuch Konstanten sind (R ist die universelle Gaskonstante, κ
der Adiabatenexponent und M die Molmasse der Luft), ist die Schallgeschwindigkeit
c offensichtlich proportional zur Wurzel aus T . Es ergibt sich für die Schallgeschwindigkeit c0 bei Normtemperatur T0 ≈ 273K [TM04]:
r
c0
T0
=
(18)
c
T
r
T0
⇒ c0 = c ·
(19)
T
Während des Versuchs herrschten ungefähr T = 24◦ C ≈ 297K. Damit ergibt sich
für die vorher berechneten Schallgeschwindigkeiten bei Normtemperatur:
c0
c13100
c20700
c1310c0
c2070c0
m
s
m
= 339(8)
s
m
= 328(11)
s
m
= 320(8)
s
m
= 331(11)
s
=
328(6)
(20)
(21)
(22)
(23)
(24)
c0 ist berechnet aus der Steigung der Geraden, c13100 und c20700 sind die Ergebnisse
aus Teil B und c1310c0 und c2070c0 die Ergebnisse aus Teil C.
7
FAZIT
7
8
Fazit
7.1
Mögliche Fehlerquellen
Die deutlichsten Fehler traten mit Sicherheit bei der Längenbestimmung auf. Besonders bei Versuch B, wo immer nur vier Sekunden blieben, bis das Mikrofon
möglichst genau verschoben sein musste, war die Genauigkeit schlecht. Aber auch
bei Versuch C war die Feststellung der Position der Minima aufgrund der sich stetig
bewegenden Wellen kein Leichtes.
Nebengeräusche haben überdies bewirkt, dass der Schallwechseldruck manchmal
unerwartete Auslenkungen erfuhr. Das kann man in den Diagrammen zu Versuch
B deutlich sehen.
7.2
Bewertung des Resultats, Vergleich mit dem Literaturwert
Die Ergebnisse für den Normwert der Schallgeschwindigkeit lassen auf einen Wert
um 330 m
s schließen.
Der Brockhaus gibt den Normwert mit ca. 331 m
s an. Daran sehen wir auch, dass die
Frequenz von 2070 Hz wohl genauer war als 1310 Hz. Außerdem ist die Steigung der
Ausgleichsgerade aus Teil A verblüffend nah am Realwert, obwohl die Gerade, wenn
man sie relativ zu den einzelnen Messwerten betrachtet, eigentlich einen Offsetfehler
vermuten lässt.
Alles in allem ist die Genauigkeit des Ergebnisses zufriedenstellend und auf jeden
Fall aussagekräftig.
8
Anhang
8.1
Literaturverzeichnis
[PP05]: Die Website des Physikalischen Praktikums der Universität Paderborn
http://physik.uni-paderborn.de/studieninfos/praktika/pmp-a/
[TM04]: Tipler/Mosca: Physics for Scientists and Engineers, EV, Freeman 2004
[Sen05]: http://www.sengpielaudio.com/Rechner-schallpegel.htm
(verantwortlich Dipl.-Ing. Eberhard Sengpiel)
8.2
Abbildungsverzeichnis
Abbildungsverzeichnis
1
2
3
4
8.3
Versuchsaufbau [PP05] . . . .
Diagramm zu Teil A . . . . .
Erstes Diagramm zu Teil B .
Zweites Diagramm zu Teil B
.
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5
9
10
11
Schwingungsmoden der stehenden Wellen, abgelesen aus Originalmessdaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
Tabellenverzeichnis
Tabellenverzeichnis
1
8.4
Diagramme in A4
TABELLENVERZEICHNIS
Abb. 2: Diagramm zu Teil A
9
TABELLENVERZEICHNIS
Abb. 3: Erstes Diagramm zu Teil B
10
TABELLENVERZEICHNIS
Abb. 4: Zweites Diagramm zu Teil B
11