Versuch 11 a/b a) Schallwellen in Rohren b) Kundtsche Staubfiguren

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V 11
Versuch 11 a/b
a) Schallwellen in Rohren
b) Kundtsche Staubfiguren
Aufgaben :
a) Mit einer Drucksonde läßt sich die Schallwechseldruckverteilung von fortschreitenden und
stehenden Schallwellen in einem Rohr abhören. Die Ausbildung stehender Wellen bei verschiedenen Abschlüssen läßt sich qualitativ untersuchen. Die Schallwellenlänge wird bei
Ausbilden der stehenden Wellen ausgemessen wie auch durch Einstellen der Resonanzen
bei Variation der Resonatorlängen. Die Schallgeschwindigkeit in Luft ist zu berechnen.
b) Mittels der Kundtschen Staubfiguren läßt sich die Schallschnelleverteilung in Rohren
sichtbar machen; an Hand dieser Verteilung ist zu entscheiden, ob die abschließende Korkplatte ein schallharter oder schallweicher Abschluß ist. Aus der Wellenlänge der sich im
Rohr ausbildenden stehenden Wellen kann die Schallgeschwindigkeit in festen Stoffen ermittelt und deren Elastizitätsmodul angegeben werden.
Vorkenntnisse :
Schallwellen, Schall-Feldgrößen (Schallschnelle, Schallwechseldruck), Schallwellenwiderstand, Wellenlänge, Frequenz, Schallgeschwindigkeit,
longitudinale und transversale Wellen, ebene Wellen, Kugelwellen, stehende Wellen, Resonanz,
Schallausbreitung in Gasen und festen Stoffen,
Maßeinheiten der Schall- und der Lautgrößen, spektrale Empfindlichkeit des Ohres, WeberFechnersches Gesetz
Literatur :
Beier, W.: Physik, S. 37- 45
Diehl, H. u.a.: Physik f.Biologen, S. 203-215
Haas, U.: Physik für Pharmazeuten u.a., S. 377-387
Harten, H.-U.: Physik für Mediziner, S. 81-102
Jahrreiß, H.: Einführung in die Physik, S. 150-167
Kamke, D., Walcher, W.: Physik für Mediziner, S. 413-434
Seibt, W.: Physik für Mediziner, S. 318-329, S. 299-313
Trautwein, A.: Physik f. Mediziner u.a., S. 113-145
10.97.
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V 11
Teilversuch11a
Schallwellen in Rohren
Versuchsanordnung
Abb. 1
1. Kurzbeschreibung
In einem Glasrohr G werden mit dem Lautsprecher LS stehende Wellen erzeugt, die mit einer
Drucksonde SO abgehört werden können. Aus dem Abstand der Druckknoten wird die Wellenlänge berechnet. Im 2. Teil des Versuches wird die Luftsäule im Rohr durch Verändern der
Rohrlänge L mit dem Stempel ST auf Resonanz abgestimmt. Man ermittelt mit der Sonde die
Zahl der Drucknoten und damit die Ordnungszahl der betreffenden Eigenschwingung und
berechnet wieder die Wellenlänge. Mit Hilfe der gegebenen Meßfrequenz ergibt sich aus den
gemessenen Wellenlängen die Schallgeschwindigkeit.
2. Einführung
Die Entstehung einer Schallwelle kann man sich folgendermaßen vorstellen:
Abb. 2
Angenommen, der Stempel ST würde zur Zeit t = 0 für kurze Zeit mit der Geschwindigkeit u
nach rechts gedrückt. Dann bewegen sich die angrenzenden Luftteilchen ebenfalls mit der
Geschwindigkeit u nach rechts, bis sie nach einer sehr kurzen Strecke (10-7 m) mit Nachbarmolekülen zusammenstoßen, ihren Impuls (Masse mal Geschwindigkeit u) auf diese übertragen und selbst abgebremst werden.
Durch die gerichtete Bewegung der stoßenden Teilchen hat sich in ihrer Nähe die Dichte und
damit der Luftdruck geringfügig erhöht.
10.97.
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V 11
Die gestoßenen Teilchen stoßen ihrerseits wieder auf weiter rechts liegende Moleküle, geben
ihren Impuls weiter und bewirken ebenfalls eine kurzfristige Dichte- und Druckerhöhung.
Nach der Zeit t ergibt sich folgendes Bild:
Abb. 3
Die Druckstörung, die von der kurzen Bewegung des Stempels ausgelöst wurde, ist um eine
Strecke x = v·t nach rechts gewandert, während sich in der Nähe des Stempels der Gleichgewichtszustand wieder eingestellt hat. Alle Luftteilchen sind praktisch an ihrem Ort geblieben,
nur der Impuls ist weitergegeben worden.
Man bezeichnet die Größe v als Schallgeschwindigkeit. Sie hat in Luft bei Zimmertemperatur den Wert
v = 344 m/s
Sie ist die Geschwindigkeit, mit der sich eine Störung in dem betreffenden Medium fortpflanzt und muß deutlich von der Geschwindigkeit u unterschieden werden, mit der sich das
einzelne Teilchen bewegt. u heißt in der Akustik auch Schallschnelle oder kurz Schnelle.
Bewegt man in Abb. 2 den Stempel ST periodisch hin und her (Modell einer Lautsprechermembran), so werden auch die benachbarten Luftteilchen zu einer periodischen Schwingung
angeregt, die sie durch Stöße auf entfernter liegende Luftschichten übertragen. Wenn die Teilchen in Ausbreitungsrichtung schwingen, entsteht eine Druckerhöhung, während sich beim
Zurückschwingen eine Druckerniedrigung (Sog) ausbildet. Diese periodische Folge von
Druck- und Schnelleschwankungen, die sich mit der Geschwindigkeit v ausbreiten, nennt man
eine Schallwelle. Die periodischen Schwankungen des Luftdruckes um den Atmosphärendruck (Gleichgewichtsdruck) heißen Schallwechseldruck, abgekürzt Schalldruck.
Selbst bei sehr großen Lautstärken ist der Schalldruck sehr klein gegen den Atmosphärendruck.
Die beiden Feldgrößen, Schalldruck und Schallschnelle, reichen aus, um eine Schallwelle zu
beschreiben. Sie entsprechen den beiden Energiereservoiren der Schallausbreitung, der potentiellen und kinetischen Energie.
Wenn die Teilchen, wie eben beschrieben, in Richtung der Wellenausbreitung schwingen,
spricht man von einer Längswelle oder Longitudinalwelle. In festen Körpern können
daneben noch Quer- oder Transversalwellen auftreten, bei denen die Teilchen sich senkrecht
zur Ausbreitungsrichtung bewegen.
10.97.
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V 11
3. Ebene fortschreitende Wellen
Die Schallausbreitung in einem Rohr, die in der Einführung beschrieben wurde, soll jetzt mathematisch behandelt werden. Studenten, für die Physik Nebenfach ist, sollten sich von den
Formeln nicht abschrecken lassen. Alle wichtigen Ergebnisse werden ausführlich diskutiert
und veranschaulicht.
Bei ebenen Wellen, wie sie in Rohren auftreten, sind Druck und Schnelle in den Ebenen senkrecht zur Ausbreitungsrichtung x konstant. In einer ebenen, in positiver x-Richtung fortschreitenden Welle gilt für alle Schallfeldgrößen, also auch für die Schallschnelle u, eine Gleichung
folgender Form:
f = Frequenz [s-1]
(1)
u (x, t) = A sin 2 π (f t - x/λ)
λ = Wellenlänge [m]
A = Amplitude.
Sie bedeutet folgendes:
An einem bestimmten Ort, z. B. x = 0, ist
(2)
u (t) = A sin 2 π f t,
d. h., die Schnelle ändert sich sinusförmig zwischen den Extremwerten +A und -A. Nach der
Zeit t = τ = 1/f wird wieder der gleiche Schwingungszustand erreicht. τ nennt man Schwingungszeit oder Periode (siehe Abb. 4 oben).
Abb. 4
Könnte man zu einem bestimmten Zeitpunkt, z.B. t = 0, eine Momentaufnahme der Welle
machen, so bekäme man folgende räumliche Schnelleverteilung (Abb. 4 unten):
(3)
u (x) = - A sin 2 π x/λ
10.97.
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V 11
d. h. u ändert sich auch räumlich sinusförmig. Nach der Strecke x·=·λ ist wieder der gleiche
Zustand erreicht wie bei x = 0. Da sich die Wellen in einer Periode τ [s] um λ [m] fortbewegt,
ist ihre Ausbreitungsgeschwindigkeit
(4)
v = λ/τ = λ·f
Gl. 1 zeigt, daß in einer fortschreitenden Welle zu keiner Zeit die Schnelle überall Null ist.
Andererseits gibt es auch keinen Ort, an dem die Schnelle immer Null ist. Wie im Anhang
abgeleitet wird, besteht zwischen den beiden Schallfeldgrößen folgende Beziehung:
(5)
ρ = Dichte des Mediums,
dp/dx = -ρ du/dt
d.h., die räumliche Änderung des Schalldruckes ist der zeitlichen Änderung der Schnelle proportional.
Aus Gl. 1 erhält man durch partielle Differentiation nach t und anschließende Integration über
x die entsprechende Formel für den Schalldruck:
(6)
p (x, t) = ρ v A sin 2 π (f t - x/λ) = A` sin 2 π (f t - x/λ)
Der Vergleich von Gl. 6 und Gl. 1 zeigt, daß Schalldruck und Schallschnelle sich in der fortschreitenden Welle völlig gleichartig verhalten, sie sind in Phase. Sie haben am gleichen festen Ort x den gleichen zeitlichen Verlauf und zur festen Zeit t die gleiche räumliche Verteilung.
4. Wellenwiderstand
Ein Vergleich von Gl. 6 und Gl. 1 zeigt ferner, daß das Verhältnis von Druck und Schnelle in
einer ebenen Welle nur von der Dichte und der Schallgeschwindigkeit des Mediums abhängt:
(7)
p/u = ρ·v = Z
Z nennt man Schallwellenwiderstand. Er ist eine wichtige Kenngröße des Mediums; auf ihn
beziehen sich die Begriffe schallhart und schallweich.
v [m s-1]
Z [kg m-2 s-1]
Luft
344
430
Wasser
1468
1.48 106
Eisen
5170
4.00 107
Da der Wellenwiderstand von Festkörpern rund 105 mal größer ist als der von Gasen, ist bei
gleichem Druck die Schnelle der Teilchen in festen Körpern etwa 105 mal kleiner als in Gasen. Das gleiche gilt für die Auslenkung der Teilchen.
Der Schallwellenwiderstand spielt in der Akustik eine ähnliche Rolle wie der Brechungsindex
in der Optik. Je größer der Unterschied der Wellenwiderstände an einer Grenzfläche ist, umso
größer ist der Teil der Schallenergie, der reflektiert wird. Luftschall wird daher an Flüssigkeitsoberflächen und festen Körpern total reflektiert.
10.97.
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5. Stehende Wellen
Fortschreitende Wellen erhält man nur bei ungestörter Schallausbreitung, z.B. im Freien. Sobald eine Welle auf ein Hindernis trifft, das die Schallenergie vollständig oder teilweise reflektiert, bildet sich vor dem Hindernis eine stehende Welle aus.
Im Versuchsrohr Abb. 1 wird vom Lautsprecher eine nach links laufende Schallwelle erzeugt,
die am harten Abschluß bei x = 0 vollständig reflektiert wird. Die reflektierte Welle hat daher
die gleiche Amplitude A wie die einfallende Welle, aber die entgegengesetzte Ausbreitungsrichtung. Beide Wellen überlagern sich so, daß am harten Ende bei x = 0 die Schnelle zu jeder
Zeit Null ist (Randbedingung). Dies ist physikalisch notwendig, da die an die Wand grenzenden Luftteilchen sich nicht bewegen können. In Gl. 8 ist dieser Sachverhalt mathematisch
darge stellt:
(8)
u (x, t) = A sin 2 π (f t + x/λ) - A sin 2 π (f t - x/λ)
einfallende Welle
-x - Richtung
reflektierte Welle
+x - Richtung
.
Die reflektierte Welle muß an der Stelle x = 0 die Amplitude -A haben, damit die Addition
beider Wellen dort immer u = 0 ergibt. Man sagt, am harten Abschluß erleidet die Schnelle
einen Phasensprung um 180°.
Gl. 8 läßt sich mit Hilfe des Additionstheorems
sin (α + ß) - sin (α - ß) = 2 cos α·sin ß
so umformen, daß man die Eigenschaften der stehenden Welle besser erkennen kann:
(9)
u (x, t) = 2 A cos 2 π·f t·sin 2 π x/λ
Betrachten wir zunächst das zeitliche Verhalten der Schnelle, das durch den Faktor cos 2 π f t
bestimmt wird. Dieser Faktor wird pro Periode τ = 1/f zweimal Null, für t = τ/4 und für t =
3τ/4 (siehe auch Abb. 5). Das hat zur Folge, daß auch die Schnelle zu diesen Zeiten Null
wird, und zwar überall im Rohr. Dies steht im krassen Gegensatz zum Verhalten der Schnelle
in der fortschreitenden Welle, das durch Gl. 1 beschrieben wird.
Ebenfalls gleichzeitig, nämlich bei t = 0, τ, 2 τ,... , erreicht die Schnelle überall einen zeitlichen Höchstwert, da cos 2 π f t = 1 wird.
Da die Schnelle im ganzen Rohr gleichphasig schwingt, können wir den Zeitfaktor mit der
Amplitude zusammenfassen,
umax = 2 A cos 2 π f t,
und nun allein die Ortsabhängigkeit der Schnelle untersuchen.
(10)
u (x) = |umax sin 2 π x/λ|
(Die Betrag-Striche wurden gesetzt, weil umax in jeder Sekunde f mal das Vorzeichen wechselt, unser Ohr aber diesen schnellen Wechsel nicht erkennen kann.)
Gl. 10 zeigt, daß die Schnelle örtlich zwischen einem Maximalwert umax und Null variiert. Die
Nullstellen, auch Schnelleknoten oder Schnelleminima genannt, liegen bei
(11)
x = n·λ/2
n = 0, 1, 2, ...
10.97.
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Den ersten Knoten bei x = 0 hatten wir durch die Randbedingung u = 0 bei x = 0 vorgegeben. Die weiteren Knoten folgen im Abstand von jeweils λ/2.
Die Schnellemaxima oder Schnellebäuche sind gegenüber den Schnelleknoten um λ/4 verschoben. Sie liegen bei
(12)
x = (2 n - 1) λ/4
n = 1, 2, ...
In Abb. 5 ist das Verhalten der Schnelle in einer stehenden Welle noch einmal anschaulich
dargestellt. Zwischen den drei Momentaufnahmen der Schnelleverteilung liegt jeweils eine
Viertelperiode. Die Länge der Pfeile soll den Betrag der Schnelle andeuten:
Abb. 5
Man sieht, daß es nicht nur Orte gibt, an denen die Schnelle zu allen Zeiten Null ist (Knoten),
sondern daß es in der stehenden Welle auch Zeiten gibt, zu denen die Schnelle überall Null
ist (t = τ/4 usw. ). Nach jeweils einer halben Periode hat die Schnelle ihre Richtung um 180°
geändert.
Um den Verlauf des Schalldruckes zu beschreiben, müssen wir wieder von Gl. 5 Gebrauch
machen und die Schnellegleichung Gl. 9 nach t differenzieren und über x integrieren:
(13)
p (x, t) = -2 A Z sin 2 π f t·cos 2 π x/λ
Für die Ortsabhägigkeit des Druckes ergibt sich analog zu Gl. 10
(14)
p (x) = |pmax cos 2 π x/λ |;
mit
|pmax| = 2 A Z = |umax| Z
Die Druckbäuche liegen bei
(15)
x = n·λ/2
n = 0, 1, 2, ...
und die Druckknoten bei
10.97.
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x = (2 n - 1) λ/4
(16)
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n = 1, 2, 3, ...
Am harten Abschluß bei x = 0 liegt ein Druckbauch. Physikalisch ist das zu erwarten, denn da
an dieser Stelle die Luftteilchen abgebremst werden, stauen sie sich und der Druck erhöht
sich. Der Vergleich der Gleichungen 15 und 16 mit 11 und 12 zeigt:
in der stehenden Welle fallen die Druckbäuche mit den Schnelleknoten zusammen und umgekehrt.
Ein Vergleich der Gl. 13 und 9 zeigt, daß Druck und Schnelle in der stehenden Welle auch
zeitlich verschoben sind. Der Druck ist genau dann überall im Rohr Null, wenn die Schnelle
ihren zeitlichen Maximalwert erreicht.
Physikalisch bedeutet das: zweimal in jeder Periode verwandelt sich die potentielle Energie in
kinetische Energie und wieder zurück in potentielle Energie (das gleiche geschieht bei der
Pendelschwingung).
Die zeitlichen Druckschwankungen in einer Schallwelle gehen so rasch vor sich, daß das
menschliche Gehör ihnen nicht mehr folgen kann. Wenn die Frequenz der Druckschwankungen größer als 16 Hz ist, so empfindet man sie als einen Ton, dessen Tonhöhe der Frequenz
proportional ist und dessen Lautstärke vom Scheitelwert des Schalldruckes abhängt. Deshalb
interessiert meist nur die räumliche Verteilung der Schallfeldgrößen.
Es genügt also, die zeitunabhängige Gl. 14 für den Druck zu diskutieren. Abb. 6 zeigt den
Schalldruckverlauf im Rohr, wie man ihn beim Abtasten mit einer druckempfindlichen Sonde
wahrnimmt.
Abb. 6
An der harten Begrenzung bei x = 0 ist der Ton sehr laut, bei x = λ/4 verschwindet er. Mit
zunehmenden x folgen im λ/2-Abstand weitere scharfe Lautstärkeminima (Druckknoten),
zwischen denen breite Maxima liegen. Man wird deshalb die Druckminima zur Bestimmung
der Wellenlänge heranziehen und nicht die Maxima.
Es gibt noch einen zweiten Grund, weshalb man die Lage der Minima genauer bestimmen
kann: Nach dem Weber-Fechnerschen-Gesetz hat das Ohr eine angenähert logarithmische
Empfindlichkeit, d.h. Lautstärkeänderungen werden bei kleinen Lautstärken besser wahrgenommen als bei großen.
6. Andere Rohrabschlüsse
Was geschieht, wenn das Rohr bei x = 0 offen ist? Man sollte annehmen, daß die Welle ungehindert in den Außenraum entweichen kann.
10.97.
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Tatsächlich tritt auch am offenen Rohrende (und an jedem Querschnittssprung) eine Reflexion ein, die umso vollständiger ist, je kleiner der Rohrdurchmesser im Verhältnis zur Wellenlänge ist. Das offene Ende ist genauso ein Hindernis für den Schalldruck wie eine harte Wand
für die Schallschnelle. Im Rohr wird der Schallwechseldruck durch die harten Rohrwände
aufrecht erhalten, während er sich am offenen Rohrende zu jeder Zeit dem Außendruck angleicht, d.h. Null wird.
Ein offenes Rohrende ist ein schallweicher Abschluß, dort bricht der Schalldruck zusammen. Dadurch verschieben sich gegenüber dem Rohr mit hartem Abschluß alle Druckknoten
und -bäuche um λ/4. Dasselbe gilt auch für die Schnelle. Am offenen Ende ist die Schnelle
nicht Null wie am harten Ende, sondern sie ist dort maximal. In der Öffnung schwingt eine
Luftschicht wie ein Kolben hin und her. In Aufgabe 1c wird die stehende Welle vor dem offenen Rohrende ausgemessen.
Einen reflektionsfreien Abschluß kann man auf zwei Weisen realisieren:
a) Man erweitert den Rohrquerschnitt allmählich, am besten in Form eines Schalltrichters,
dessen Querschnitt sich exponentiell vergrößert. Dann gibt es keine Querschnittssprünge und
daher auch keine Reflexionen.
b) Man absorbiert die einfallende Welle am Abschluß vollständig. Im Idealfall existiert dann
im Rohr nur eine fortschreitende Welle. Mit einer dicken Schicht lockerer Watte (wie bei uns)
gelingt dies jedoch nur unvollkommen. Man stellt mit der Drucksonde fest, daß die Lautstärke
im Rohr noch geringe Schwankungen zeigt (Versuch 1d).
7. Resonanzen, Eigenschwingungen
Stehende Wellen kann man bei jeder beliebigen Rohrlänge erzeugen, die größer als λ/2 ist.
Es fällt jedoch auf, daß bei bestimmten Rohrlängen der Unterschied zwischen den Druckbäuchen (p = pmax) und den Druckknoten (p = 0) besonders groß ist. Trägt man pmax in Abhängigkeit von der Rohrlänge L auf, dann erhält man folgendes Bild:
Abb. 7
Diese Erscheinung wird Resonanz genannt und kommt dadurch zustande, daß die Welle zwischen zwei reflektierenden Abschlüssen hin- und hergeworfen wird und sich dabei unter bestimmten Bedingungen zu großer Intensität aufschaukeln kann. Der zweite, ebenfalls schallharte Abschluß ist im Versuchsrohr durch den verschiebbaren Stempel bei x = L realisiert
(Abb. 1). Wenn man die Frequenz (und damit die Wellenlänge) und die Rohrlänge L so aufeinander abstimmt, daß gerade ein Vielfaches einer halben Wellenlänge ins Rohr "paßt", tritt
Resonanz ein:
(17)
LR = n·λ/2
n = 1, 2, 3, ...
10.97.
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Für n = 1 schwingt die Luftsäule im Rohr in ihrer 1. Eigenschwingung. Die Resonanzlänge
ist LR1 = λ/2. Der Druck hat einen Knoten, der in der Mitte des Rohres liegt.
Die 1. Eigenschwingung nennt man auch Grundschwingung.
Abb. 8
Bei der doppelten Rohrlänge gerät die Luftsäule wieder in Resonanz. Dies ist die 2. Eigenschwingung (oder 1. Oberschwingung); sie hat zwei Druckknoten.
Bei Rohrlängen, die klein gegen λ/2 sind, können sich keine stehenden Wellen ausbilden.
Gl. 13 zeigt, daß in diesem Fall cos 2 π x/λ gegen 1 geht. Der Druck ist dann nur noch von
der Zeit, nicht aber vom Ort abhängig. Dieser Zustand besteht im Versuchsrohr bezüglich der
Querabmessungen. Der Rohrdurchmesser ist so klein, daß der Druck in Ebenen senkrecht zur
Rohrachse konstant ist. Das hat den meßtechnischen Vorteil, daß der Druck an einer beliebigen Stelle des Querschnittes gemessen werden kann.
Durch Abhören der Rohrresonanzen läßt sich die Wellenlänge ebenso gut bestimmen wie aus
dem Abstand der Druckknoten in der stehenden Welle. Zu diesem Zweck hört man den
Schalldruck an einem der schallharten Abschlüsse ab und verändert die Rohrlänge mit dem
Stempel, bis der Schalldruck maximal wird. Wenn man bei dieser Rohrlänge LR mit Hilfe der
Sonde die Zahl n der Druckknoten im Rohr bestimmt, kann man nach Gl. 17 die Wellenlänge
berechnen.
Auch ohne Kenntnis von n kann man die Wellenlänge nach Gl. 17 berechnen, nämlich aus der
Differenz zweier benachbarter Resonanzlängen.
(18)
λ = 2 (LRn - LRn-1)
Die Resonanzbedingung Gl. 17 gilt auch für das beidseitig schallweich abgeschlossene Rohr,
z.B. für die offene Orgelpfeife und für den schwingenden Stab in Versuch 11b. Ist ein Roh10.97.
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V 11
rende hart und das andere weich abgeschlossen (gedackte Orgelpfeife), dann heißt die Resonanzbedingung
(19)
LR = (2 n-1) λ/4
n = 1, 2, 3, ...
Die 1. Eigenschwingung (Grundschwingung) tritt auf, wenn LR1 = λ/4 ist. Auch sie weist
einen Druckknoten auf, der am offenen Ende liegt.
Abb. 9
8. Versuchsdurchführung
Versuchsanordnung siehe Abb. 1.
Aufgabe 1.
Ausmessen stehender Wellen vor verschiedenen Rohrabschlüssen und Bestimmung der Wellenlänge. Mit einer Sonde wird der Abstand x der Druckknoten vom Rohrabschluß bestimmt.
Frequenz etwa 800 Hz.
a.
Schallharter Abschluß
Vor Beginn der Messung wird das Rohr durch Verschieben des Stempels ST auf Resonanz
eingestellt (Sonde SO bis zum Stempel herausziehen, Maximum der Lautstärke einstellen).
Mit der Sonde wird das Schallfeld vom harten Abschluß A her abgetastet und die Position x
jedes Lautstärkeminimums (Druckknoten) genau bestimmt (Mittelwert aus jeweils 3 Einstellungen). Aus dem Mittelwert des Abstandes a von je zwei benachbarten Minima berechnet
man die Wellenlänge λ = 2 a und mit der gegebenen Frequenz die Schallgeschwindigkeit v =
f λ. Ferner wird notiert, ob sich bei x = 0 ein Druckknoten oder ein Druckbauch befindet und
wie groß die Rohrlänge L ist.
b.
Schallharter Abschluß, Messung außerhalb der Resonanz
Um zu zeigen, daß stehende Wellen auch auftreten, wenn das Rohr nicht in Resonanz
schwingt, wird der Stempel um ein paar Zentimeter verschoben, so daß die Lautstärke am
Stempel deutlich absinkt. Nun wird wieder die Lage der Druckknoten ausgemessen (einmalige Einstellung genügt).
c.
Schallweicher Rohrabschluß
Nach Abnehmen der Abschlußkappe werden die in 1a beschriebenen Messungen wiederholt:
Rohr auf Resonanz einstellen;
Lage der Druckknoten bestimmen;
10.97.
12
V 11
Wellenlänge berechnen;
feststellen, ob am offenen Ende ein Druckknoten oder ein Druckbauch liegt.
(Diese Messung, die sehr viel Lärm verursacht, sollte nur einmal durchgeführt werden.)
d.
Reflexionsarmer Abschluß
In das Rohr wird vor die Abschlußklappe eine dicke Schicht lockere Watte gelegt. Beschreiben Sie qualitativ, was Sie hören, wenn Sie die Sonde durch das Rohr führen.
e.
Auswertung
Die Ergebnisse der Messungen 1a bis 1d sind in einer Skizze darzustellen, die das System der
stehenden Wellen vor den verschiedenen Rohrabschlüssen zeigt. Auf den x-Achsen werden
die Druckknoten maßstabgerecht aufgetragen. Der Maßstab der p-Achse ist beliebig.
Zur Berechnung der Schallwellenlänge werden nur die Ergebnisse aus 1a herangezogen, da
die Messungen 1b und 1c wesentlich ungenauer sind.
Abb. 10
10.97.
13
V 11
Aufgabe 2.
Bestimmung der Wellenlänge aus den Eigenschwingungen (Resonanzen) der Luftsäule im
Rohr. Bei einer konstanten Frequenz von etwa 1,6 bis 1,8 kHz werden durch Verschieben des
Stempels die Rohrlängen LR ermittelt, bei denen die Lautstärke im Rohr maximal wird, d.h.,
die Luftsäule in Resonanz schwingt. Die Resonanzen hört man am besten direkt am Stempel
ab, da sich dort bei jeder Rohrlänge ein Druckbauch befindet.
Jede Resonanzlänge wird dreimal eingestellt und der Mittelwert von LR gebildet. Beim dritten
Mal ermittelt man mit Hilfe der Sonde die Zahl n der Druckknoten im Rohr, um festzustellen,
um welche Eigenschwingung es sich handelt.
Die n-te Eigenschwingung hat n Druckknoten, und die zugehörige Resonanzlänge ist nach
Gl. 17
LR = n·λ/2
Es werden drei verschiedene Resonanzlängen eingestellt, jeweils λ berechnet und schließlich
aus dem Mittelwert der λ und der gegebenen Frequenz die Schallgeschwindigkeit v berechnet.
Dieser Wert wird mit dem in Aufgabe 1a ermittelten Wert für v und dem Literaturwert für die
Schallgeschwindigkeit in Luft bei 20° C, v = 344 m s-1, verglichen.
10.97.
14
V 11
Teilversuch 11 b
Kundtsche Staubfiguren
Versuchsanordnung
Abb. 11
Ein etwa 1,50 m langer Metallstab, für den Schallgeschwindigkeit v und E-Modul bestimmt
werden sollen, wird durch Reiben mit einem Tuch in starke Longitudinalschwingungen versetzt. Da er in der Mitte fest ein gespannt ist, schwingt er in seiner Grundschwingung ( λ/2Schwingung), das heißt an seinen beiden Enden ist die Schnelle maximal, in der Mitte Null.
Die Frequenz der Schwingung wird durch die Stablänge L = λ/2 bestimmt. Sie ist nach Gl. 4
(21)
f = vStab/ λStab = vStab/2 L
Ein Stabende ragt in ein Glasrohr und regt die Luftsäule zu Schwingungen an, die am schallhart abgeschlossenen Rohrende reflektiert werden, so daß sich im Rohr eine stehende Luftschallwelle ausbildet. Eine leichte Platte am Stabende dient zur Verbesserung der Abstrahlung und gleichzeitig als zweiter Reflektor. Durch Verändern der Rohrlänge kann man die
Luftsäule auf Resonanz abstimmen.
Da die Luftsäule im Takt der Stabschwingung angeregt wird, ist die Frequenz in Luft und im
Stab gleich, nur die Wellenlängen sind wegen der unterschiedlichen Schallgeschwindigkeiten
verschieden. In Luft gilt
(22)
λLuft = vLuft/f
Setzt man Gl. 21 in Gl. 22 ein und löst nach vStab auf, dann bekommt man für die gesuchte
Schallgeschwindigkeit im Stab
(23)
vStab = 2 L vLuft/ λLuft
Diese Formel enthält die Frequenz nicht mehr! Das war zu Kundts Zeiten sehr wichtig, denn
man konnte Frequenzen noch nicht objektiv messen. (Zur quantitativen Untersuchung der
berühmten Doppler-Verschiebung bei bewegten Schallquellen brauchte Doppler die Hilfe
eines Musikers, der das 'absolute Gehör' besaß).
vLuft wird bei diesem Teilversuch nicht gemessen, sondern berechnet.
vLuft = 331,5 (1+0,002 θ)
θ = Celsiustemperatur.
Um die unbekannte Wellenlänge in Luft messen zu können, muß man die stehende Welle
sichtbar machen. Dazu befindet sich auf dem Boden des Rohres eine dünne Schicht Korkpulver. An Stellen großer Schnelle wird das Pulver bewegt, während es in den Schnelleknoten in
Ruhe bleibt. Der Abstand der deutlich sichtbaren Knoten kann ausgemessen werden. Er beträgt genau eine halbe Wellenlänge.
10.97.
15
V 11
Um eine möglichst kräftige Schwingung im Rohr zu erzeugen, muß das Rohr auf Resonanz
abgestimmt werden. Dabei erhebt sich die Frage, welcher Schwingungszustand an der Platte
am Stabende herrscht. Die Kontinuitätsbedingung verlangt, daß an der Anregungsstelle die
Schnelle im festen Körper und in der Luft gleich groß ist. Wenn das Rohr unendlich lang wäre, könnte die Schnelle diesen sehr kleinen Wert nicht überschreiten. Durch die Reflexion am
schallharten Abschluß wird die Welle jedoch zwischen zwei harten Abschlüssen hin- und
hergeworfen und schaukelt sich bei passender Rohrlänge in den Schnellebäuchen zu hohen
Werten auf. Bei Resonanz wird sich also die Anregungsstelle ganz in der Nähe eines Schnelleknotens befinden. Für die Resonanzlänge gilt also angenähert die Gl. 17
LR ≈ n·λLuft/2
In Festkörpern wird die Schallausbreitung durch elastische Verschiebungen der Volumenelemente bewirkt. Die Schallgeschwindigkeit hängt deshalb von den elastischen Konstanten des
Materials ab. Eine besonders einfache Beziehung ergibt sich für die Fortpflanzungsgeschwindigkeit einer Longitudinalwelle in einem Stab, dessen Querausdehnung klein zur Längsausdehnung ist.
(24)
v Stab =
E
ρ
E = Elastizitätsmodul [N m-2];
ρ = Dichte [kg m-3]
Dann ist der gesuchte E-Modul des Stabes:
(25)
E = vStab2 ρ
Aufgabe
Aus der Staubverteilung im Rohr ist die Wellenlänge in Luft zu bestimmen. Daraus wird
nachnach Gl. 25 der E-Modul des Stabes berechnet und mit dem Literaturwert verglichen.
(Die Dichten der verwendeten Stäbe werden angegeben).
Hinweise zur Erzeugung der Staubfiguren:
Die Schallwellenlänge λ in Luft wird aus dem Abstand der Knoten der Staubfiguren, Abb. 11,
ermittelt. Um gut ausgebildete Staubfiguren zu erzeugen, sind folgende Punkte zu beachten:
1.) Nachmessen ob der Stab genau in der Mitte eingespannt ist.
2.) Das Korkmehl gleichmäßig im Rohr verteilen. Vor jeder Anregung das Rohr etwas um
seine Längsachse drehen (etwa 1/8 Drehung), um den Korkteilchen die Bewegung zu erleichtern.
3.) Der Stab wird durch einen mit Kollophonium (Geigenharz) bestreuten Lappen angeregt.
Langsam und gleichmäßig ziehen.
4.) Zum Abstimmen des Rohres auf Resonanz braucht man meist mehrere Versuche. Wenn
beim ersten Versuch die Staubfigur nicht befriedigend ist, verschiebt man das Rohr um etwa
eine Viertelwellenlänge (etwa 5 - 7 cm) und versucht es noch einmal. Mit den Erfahrungen
aus diesen Versuchen, sollte man beim dritten Mal der Resonanzlänge sehr nahe kommen..
Versuchen Sie wegen der Lärmbelästigung mit möglichst wenigen Anregungen auszukommen!
5.) Wählen Sie einen möglichst gut ausgebildeten Abschnitt der Staubfigur aus und messen
sie zur Erhöhung der Genauigkeit den Abstand möglichst vieler Knoten. Der Abstand zweier
benachbarter Knoten ergibt dann die halbe Wellenlänge der Luftschallwelle.
10.97.
16
V 11
Anhang zu Versuch 11
Ableitung der Schallwellengleichung
Eine Schallwelle kommt dadurch zustande, daß eine örtliche Veränderung des Druckes eine
zeitliche Veränderung der Schnelle bewirkt und ebenso eine örtliche Veränderung der Schnelle eine zeitliche Druckänderung verursacht.
Die erste Beziehung zwischen Druck p und Schnelle u erhalten wir durch das Grundgesetz
der Mechanik, das wir auf eine Luftschicht der kleinen Dicke ∆x und der Fläche A anwenden.
(1)
F =m
d 2x
du
=m
2
dt
dt
Abb. A1
In Abb. A1 links sei der Druck an der linken Begrenzung p, auf der anderen Seite etwas größer. Dann ist der Druckunterschied
∆p = −
dp
∆x
dx
(Wenn p in positiver x-Richtung wächst, dann wirkt die Kraft in negativer x-Richtung, daher
das Minuszeichen.)
Auf die Luftmasse
m = ρ A ∆x wirkt die Kraft F = A ∆p, die ihr eine Beschleunigung
b = du/dt verleiht. Setzt man alle Größen in Gl. 1 ein und dividiert beide Seiten durch A ∆x,
so ergibt sich
(2)
dp
du
= −ρ
dx
dt
Eulersche Gleichung
Die zweite Beziehung zwischen Druck und Schnelle muß die örtliche Änderung der Schnelle
enthalten.
In Abb. A1 rechts hat die Luftschicht wieder das Volumen V = A ∆x. Ihre rechte Stirnfläche
bewege sich mit der Geschwindigkeit
u + (du/dx)·∆x. Nach der sehr kurzen Zeit dt hat
sich die linke Seite um die Strecke u dt und die rechte Seite um [u + (du/dx)· ∆x] dt verschoben. Das Volumen hat sich also um
dV = A (du/dx)· ∆x dt vergrößert.
Die relative Volumenzunahme ist
(3)
dV du
=
dt
V
dx
Um eine Beziehung zwischen Volumenänderung und Druckänderung zu erhalten, müssen wir
auf die Zustandsgleichung der Gase zurückgreifen.
n = Zahl der Mole
(4)
PV=nRT
R = Gaskonstante = 8.32 J mol-1 K-1
P = P0 + p = Gesamtdruck
P0 = Luftdruck
M = molare Masse [kg mol-1] (Molekulargewicht)
T = absolute Temperatur
10.97.
17
V 11
P V wäre konstant, wenn es sich um eine isotherme Zustandsänderung handelte, wenn also
die bei einer Druckerhöhung auftretende Wärme sofort abgeführt werden könnte. Die Druckschwankungen in einer Schallwelle laufen aber so schnell ab, daß kein Wärmeaustausch mit
der Umgebung stattfinden kann. Die Zustandsänderungen verlaufen adiabatisch, und man
muß die Adiabatengleichung anwenden.
(5)
P Vκ = const.
mit κ = cP/cV = 1.4 für Luft
cP = spez. Wärmekapazität bei konstantem Druck
cV = spez. Wärmekapazität bei konstantem Volumen
Differenziert man Gl. 5 nach V, so ergibt sich
(6)
dP
κ⋅P
=−
dV
V
dV
dp
=−
V
κ ⋅ P0
oder
In der rechten Gleichung wurde dP, die Änderung des Gesamtdruckes, durch dp, die Änderung des Schalldruckes ersetzt und ferner im Nenner statt des Gesamtdruckes der fast gleich
große Luftdruck P0 eingesetzt.
Aus (3) und (6) ergibt sich die gesuchte 2. Beziehung zwischen Druck und Schnelle.
(7)
du
1 dp
=−
⋅
κ ⋅ P 0 dt
dx
Differenziert man Gl. 2 nach der Zeit und Gl. 7 nach dem Ort, dann erhält man die Wellengleichung für die Schnelle:
(8)
d 2 u( x , t ) κ ⋅ P 0 d 2 u( x , t )
=
⋅
dt 2
ρ
dx 2
Die Größe
(9)
κ ⋅ P0
ρ
v=
ist die Schallgeschwindigkeit. Sie ist nicht, wie man nach Gl. 9 vermuten könnte, abhängig
vom Luftdruck P0 . Für die Dichte gilt nämlich
ρ=
Masse pro Mol
M
=
V / n Volumen pro Mol
Ferner ist nach (4)
P0 = n R T/V.
Demnach ist
(10)
v=
κ⋅R
M
⋅T
=
κ ⋅ R ⋅ 273
M
⋅ (1 + θ / 273)
θ = Celsiustemperatur
Die Schallgeschwindigkeit ist also unabhängig vom Luftdruck und proportional der Wurzel
aus der absoluten Temperatur.
Zahlenmäßig ergibt sich für Luft
(11)
v = 331.5 (1+0.002 θ) m s-1
v20° = 344 m s-1
d.h. die Temperaturänderung beträgt nur etwa 2°/oo pro Grad.
10.97.