5. Rayleigh-Ritz

5. Rayleigh-Ritz-Verfahren
●
●
●
Mit dem Rayleigh-Ritz-Verfahren lassen sich
Näherungen für die Eigenschwingungen und
die Eigenfrequenzen berechnen.
Das Rayleigh-Ritz-Verfahren basiert auf der
schwachen Formulierung des Eigenwertproblems.
Es bildet die Grundlage für die Methode der
Finiten Elemente.
Elastodynamik 2
SS 2007
3. Balkenschwingungen
3.5-1
5. Rayleigh-Ritz-Verfahren
5.1 Rayleigh-Quotient
5.2 Ritz-Verfahren
Elastodynamik 2
SS 2007
3. Balkenschwingungen
3.5-2
5.1 Rayleigh-Quotient
●
Schwache Formulierung der Schwingungsgleichung:
–
Die Eigenschwingungen sind Lösungen der
homogenen schwachen Formulierung:
L
2
2
L
d W d W 
2
∫ EI y dx 2 dx 2 dx −∫  A W W  dx =0
0
0
–
Diese Gleichung muss für alle Funktionen W
gelten, die die wesentlichen Randbedingungen
erfüllen.
Elastodynamik 2
SS 2007
3. Balkenschwingungen
3.5-3
5.1 Rayleigh-Quotient
–
–
Die Eigenfunktionen selbst erfüllen die wesentlichen Randbedingungen.
Für W =W  gilt:
L
∫ EI y
0
Elastodynamik 2
SS 2007
2
d W
2
 
dx
2
L
2
2
dx−∫  A W  dx=0
0
3. Balkenschwingungen
3.5-4
5.1 Rayleigh-Quotient
–
Wenn die Eigenfunktion W  bekannt ist, lässt sich
die zugehörige Eigenkreisfrequenz aus
L
2
∫ EI y
2

=
d W
 
dx
2
∫ AW
2

0
2
dx
L
dx
0
berechnen.
Elastodynamik 2
SS 2007
3. Balkenschwingungen
3.5-5
5.1 Rayleigh-Quotient
●
Rayleigh-Quotient:
–
Der Rayleigh-Quotient ist definiert durch
L
2
∫ EI y
R V =
0
d V
2
dx
2
 
dx
L
∫ AV
2
dx
0
–
Dabei ist V  x  eine beliebige Funktion, die die
wesentlichen Randbedingungen erfüllt.
Elastodynamik 2
SS 2007
3. Balkenschwingungen
3.5-6
5.1 Rayleigh-Quotient
–
–
–
–
Der Rayleigh-Quotient ist eine Abbildung, die einer
Funktion V  x  eine reelle Zahl zuordnet.
Eine solche Abbildung wird als Funktional bezeichnet.
Wie bei diskreten Systemen lässt sich zeigen, dass
der Rayleigh-Quotient ein Minimum hat, wenn als
Funktion die Eigenform der Grundschwingung eingesetzt wird.
Mit dem Rayleigh-Quotienten kann die Eigenkreisfrequenz der Grundschwingung abgeschätzt
werden.
Elastodynamik 2
SS 2007
3. Balkenschwingungen
3.5-7
5.1 Rayleigh-Quotient
●
Beispiel: Balken mit veränderlichem
Querschnitt
ρ, E, A, Iy
ρ, E, αA, βIy
x
L/2
Elastodynamik 2
SS 2007
L/2
3. Balkenschwingungen
3.5-8
5.1 Rayleigh-Quotient
–
Wesentliche Randbedingungen:
dW
W 0=0,
0=0
dx
–
Testfunktion:
2
dV
d V
2
V  x = x 
=2 x ,
=2
2
dx
dx
Elastodynamik 2
SS 2007
3. Balkenschwingungen
3.5-9
5.1 Rayleigh-Quotient
–
Rayleigh-Quotient:
L
2
∫ EI y
0
d V
2
dx
2
 
=4 EI y
Elastodynamik 2
SS 2007
L /2
L
dx =EI y ∫ 4 dx  EI y ∫ 4 dx
0

L/ 2
L
L
 =2 EI y L  1 
2
2

3. Balkenschwingungen
3.5-10
5.1 Rayleigh-Quotient
L
L /2
∫ AV
2
0
4
4
dx= A ∫ x dx   A ∫ x dx
0
5 L/ 2
= A
L
x
5
L /2
5 L
x

5
[ ] [ ] 
0
L /2
5
AL
=
 131  
160
EI y
1
 R V =320
4
 A L 131
Elastodynamik 2
SS 2007
3. Balkenschwingungen
3.5-11
5.1 Rayleigh-Quotient
–
Speziell: Homogener Kragbalken
=1, =1
2
1
   R V =20
–
EI y
AL
4
Exakte Lösung für den homogenen Kragbalken:
EI y
EI y
4 EI y
 =
=1,8751
=12,36
4
4
A
AL
AL
2
1
Elastodynamik 2
SS 2007
4
1
3. Balkenschwingungen
3.5-12
5.2 Ritz-Verfahren
●
Grundlagen:
–
Betrachtet wird das Funktional
L
2
2
1
d W
2
2
 W = ∫ EI y
−

A
W
dx
2
20
dx
–
[  
]
Das Funktional ordnet jeder Funktion W , die die
wesentlichen Randbedingungen erfüllt, eine reelle
Zahl zu.
Elastodynamik 2
SS 2007
3. Balkenschwingungen
3.5-13
5.2 Ritz-Verfahren
–
–
Sei W eine weitere Funktion, die die wesentlichen
Randbedingungen erfüllt, und  eine beliebige
reelle Zahl.
Dann gilt:
L
2
2

1
d
W
d
W
 W  W = ∫ EI y

2
2
20
dx
dx

2

dx
L
2
1

− ∫  A  W  W  dx
20
2
Elastodynamik 2
SS 2007
3. Balkenschwingungen
3.5-14
5.2 Ritz-Verfahren
–
Ableiten nach  führt auf:
L
2
2
2
d
d W
d W d W
=∫ EI y

dx
2
2
2
d 0
dx
dx
dx


L
−
2
∫  A  W  W  W dx
0
L
L

d W d W
2
=∫ EI y
dx−
 A W W dx2    W 
∫
2
2
dx dx
0
0
Elastodynamik 2
SS 2007
2
2
3. Balkenschwingungen
3.5-15
5.2 Ritz-Verfahren
–
Ist speziell W =W  eine Eigenfunktion und 
die zugehörige Eigenkreisfrequenz, so gilt:
d
=2    W 
d
–
–
Für =0 ist die Ableitung Null.
Das Funktional hat also einen Extremwert, wenn als
Funktion eine Eigenfunktion eingesetzt wird.
Elastodynamik 2
SS 2007
3. Balkenschwingungen
3.5-16
5.2 Ritz-Verfahren
●
Ritz-Verfahren:
–
Näherungsansatz:
n
  x =∑ a i i  x 
W
i=1
–
Die Funktionen i  x  müssen die wesentlichen
Randbedingungen erfüllen.
Elastodynamik 2
SS 2007
3. Balkenschwingungen
3.5-17
5.2 Ritz-Verfahren
–
Wird der Ansatz in das Funktional eingesetzt, so
wird das Funktional zu einer Funktion der unbekannten Freiwerte ai :
 = P a1,  , a n 
 W
L
[ 
1
 = ∫ EI y
 W
20
Elastodynamik 2
SS 2007
n
∑ ai
2
d i
2
2

2
−
 A
dx
=P a1,  , a n 
i=1
3. Balkenschwingungen

n
∑ a i i
i=1
2
]
dx
3.5-18
5.2 Ritz-Verfahren
–
Die Bedingung dafür, dass die Funktion P einen
Extremwert annimmt, lautet
∂P
=0, j=1, , n
∂aj
L
∫
0
[ 
EI y
Elastodynamik 2
SS 2007
n
∑ ai
i=1
d 2 i d 2  j
dx
2

2
2
−
 A
dx
j=1, ,n
3. Balkenschwingungen

n
∑ ai i
i=1
 ]
 j dx=0,
3.5-19
5.2 Ritz-Verfahren
–
–
Aus diesen n Gleichungen können die n Koeffizienten ai bestimmt werden.
Abkürzungen:
L
2
k ij =k ji =∫ EI y
0
2
d i d  j
dx
2
dx
2
dx
L
m ij =m ji =∫  A i  j dx
0
Elastodynamik 2
SS 2007
3. Balkenschwingungen
3.5-20
5.2 Ritz-Verfahren
–
Damit lauten die Gleichungen:
[
k 11 ⋯ k 1 n
m1 1 ⋯ m1 n
2
−

 ⋮ ⋱ ⋮
⋮ ⋱ ⋮
k n1 ⋯ k nn
mn 1 ⋯ mn n
] [
a1
0
⋮ =⋮
0
an
] [ ] [ ]
2
 K −
 M  a=0
–
Das ist ein Eigenwertproblem zur Bestimmung von
n Eigenvektoren und Eigenfrequenzen.
Elastodynamik 2
SS 2007
3. Balkenschwingungen
3.5-21
5.2 Ritz-Verfahren
●
Beispiel: Balken mit veränderlichem
Querschnitt
ρ, E, A, Iy
ρ, E, αA, βIy
x
L/2
Elastodynamik 2
SS 2007
L/2
3. Balkenschwingungen
3.5-22
5.2 Ritz-Verfahren
–
Ansatzfunktionen:
2
x
1=
L
2
d 1
x d 1 2

=2 2 ,
= 2
2
dx
L
dx
L
x
2=
L
3
d 2 3 x 2 d 2
x

=
,
=6 3
2
dx
L L
dx
L


Elastodynamik 2
SS 2007
2

3. Balkenschwingungen
3.5-23
5.2 Ritz-Verfahren
–
Elemente der Steifigkeitsmatrix K :
L /2
k 11 = ∫ EI y
0
=4
Elastodynamik 2
SS 2007
L
2
EI y
L
4
2
2
dx  ∫  EI y 2 dx
2
L
L
L/ 2
EI y
L
L
 =2 3  1 
2
2
L
 

2
 

3. Balkenschwingungen
3.5-24
5.2 Ritz-Verfahren
L /2
L
  
[ ] [ ] 
k 12=k 21= ∫ EI y
0
=12
EI y
L
Elastodynamik 2
SS 2007
5
2
x
2
x
6 3 dx ∫  EI y 2 6 3 dx
2
L
L
L
L
L /2
2 L/2
x
2
0
2 L
  


EI y L 2
x
3 2

=6 5
 L
2 L/2
4
L 4
3 EI y
 13  
=
3
2 L
3. Balkenschwingungen
3.5-25
5.2 Ritz-Verfahren
L/2
2
=36
EI y
L
Elastodynamik 2
SS 2007
6
2
x
x
6 3 dx ∫  EI y 6 3 dx
L
L
L /2
 
 
[ ] [ ]  
k 22= ∫ EI y
0
L
3 L/ 2
x
3
0
3 L
3
EI y L
x
7 3

=12 6
 L
3 L/2
8
8
L
3 EI y
 17  
=
3
2 L
3. Balkenschwingungen

3.5-26
5.2 Ritz-Verfahren
–
Elemente der Massenmatrix M :
L/ 2
4
L
4
x
x
m 11= ∫  A
dx ∫   A
dx
L
L
0
L/ 2

A
= 4
L
Elastodynamik 2
SS 2007
5 L /2
x
5

5 L
[ ] [ ]  
0
5
x
A L
31 5

= 4

L
5 L/ 2 5 L 32
32
AL
=
 131  
160
3. Balkenschwingungen

3.5-27
5.2 Ritz-Verfahren
L/2
5
m 12=m 21= ∫  A
A
= 5
L
0
6 L/2
x
6
L
x
x
dx ∫   A
dx
L
L
L /2

6 L
Elastodynamik 2
SS 2007

6
x
A L
63 6

= 5

L
6 L /2 6 L 64
64
AL
 163  
=
384
[ ] [ ]  
0
5
3. Balkenschwingungen

3.5-28
5.2 Ritz-Verfahren
L /2
6
L
6
x
x
m 22= ∫  A
dx ∫   A
dx
L
L
0
L/2

A
= 6
L
Elastodynamik 2
SS 2007
7 L/ 2
x
7

7 L
x
A L
127 7

= 6

L
7 L /2 7 L 128
128
AL
=
 1127  
896
[ ] [ ]  
0
7
3. Balkenschwingungen

3.5-29
5.2 Ritz-Verfahren
–
Eigenwertproblem:
EI y
4  1  3  13  
3
2 L 3  13   3  17  
 [
]
 A L 84  131  35  163  
−

13440 35  163  15  1127  
2
Elastodynamik 2
SS 2007
[
3. Balkenschwingungen
a1 0
=
a2 0
] [ ] [ ]
3.5-30
5.2 Ritz-Verfahren
–
Speziell: Homogener Kragbalken
=1, =1 :
EI y 8 12
70
2  A L 84
−


3
420 70 60
2 L 12 24
 [
]
[
] [ ] [ ]
EI y
1 2
1 2
4
− 
6
− 


4
4
AL 5
AL 6
=0
EI y
EI y
1 2
1 2
6
− 
− 
 12

4
4
AL 6
AL 7
∣
Elastodynamik 2
SS 2007
EI y
a1 0
=
a2 0
∣
3. Balkenschwingungen
3.5-31
5.2 Ritz-Verfahren
12
2
EI y
34 EI y
1
2
4
−


 =0
4 
35  A L
1260
   
 
 
AL
4
4

 −1224
EI y
AL
2
1/ 2
 
 =
Elastodynamik 2
SS 2007
2
4

 15120
EI y
AL
2
EI y
AL
4
=0
2

612±
612
 −15120 
4
3. Balkenschwingungen
3.5-32
5.2 Ritz-Verfahren
–
Ergebnis:
2
1

 =12,48
EI y
AL
4
2
2
, 
 =1211,52
EI y
AL
4
Exakt:
2
1
 =12,36
Elastodynamik 2
SS 2007
EI y
AL
4
2
2
,  =485,52
3. Balkenschwingungen
EI y
AL
4
3.5-33
5.2 Ritz-Verfahren
●
Erweiterung:
–
Das Ritz-Verfahren lässt sich leicht auf den Fall
erweitern, dass der Balken auf einzelnen Federn
gelagert und mit Einzelmassen belegt ist.
xj
xi
ci
Elastodynamik 2
SS 2007
mj
3. Balkenschwingungen
3.5-34
5.2 Ritz-Verfahren
–
Das Funktional muss um die Beiträge der Federn
und Punktmassen erweitert werden:
L
2
2
1
d W
2
2
 W = ∫ EI y
−  A W dx
2
20
dx
nF
[  
2 nM
1

2
 ∑ c k W  x k −
2 k =1
2
Elastodynamik 2
SS 2007
∑ mk W
]
2
 xk 
k =1
3. Balkenschwingungen
3.5-35
5.2 Ritz-Verfahren
–
Elemente der Steifigkeitsmatrix:
L
2
k ij =k ji =∫ EI y
0
2
d i d  j
dx
2
dx
2
dx
nF
∑ c k i  x k  j  x k 
k =1
–
Elemente der Massenmatrix:
L
nM
m ij =m ji =∫  A i  j dx∑ m k i  x k  j  x k 
0
Elastodynamik 2
SS 2007
k =1
3. Balkenschwingungen
3.5-36
5.2 Ritz-Verfahren
●
Beispiel: Kragbalken mit Endmasse
ρ, A, EIy
L
m
x
z
m=  A L
Elastodynamik 2
SS 2007
3. Balkenschwingungen
3.5-37
5.2 Ritz-Verfahren
–
Ansatzfunktionen:
2
x
1 =
L
2
d 1
d 1 2
x

=2 2 ,
= 2
2
dx
L
dx
L
x
2 =
L
3
d 2 3 x 2 d 2
x

=
,
=6 3
2
dx
L L
dx
L



2
1  L=1, 2  L=1
Elastodynamik 2
SS 2007
3. Balkenschwingungen
3.5-38
5.2 Ritz-Verfahren
–
Steifigkeitsmatrix:
–
EI y 4 6
K= 3
L 6 12
Massenmatrix:
[
]
2
1  L
1  L2  L
 A L 42 35
M=
m
2
210 35 30
1  L2  L
2  L
[
]
[
 A L 42210  35210 
 M=
210 35210  30210 
[
Elastodynamik 2
SS 2007
3. Balkenschwingungen
]
]
3.5-39
5.2 Ritz-Verfahren
–
Charakteristische Gleichung:
2
det  K −
 M  =0
EI y
1
4
− 
4
5
AL
EI y
1
6
− 
4
6
AL
∣
Elastodynamik 2
SS 2007
 
 




2
2
EI y
1
2
6
−



4
6
AL
=0
EI y
1
2
12
−



4
7
AL
3. Balkenschwingungen
 
 
∣
3.5-40
5.2 Ritz-Verfahren
12

2
EI y
AL
4
EI y
1
1
1
2
4  12  −12  

7
5
6
   [      ]
[     ]
−
AL
4
1
1
1
 
 − 
5
7
6
12

2
EI y
AL
Elastodynamik 2
SS 2007
4
2
4

 =0
EI y
34
112  4
2
−
4 


 =0
4 
35
1260
AL



3. Balkenschwingungen
3.5-41
5.2 Ritz-Verfahren
4
 112  
 −72  1770  
EI y
AL
2
4

 15120
2
EI y
 
AL
4
=0
EI y
1

36  1770  
 =
4[
112  A L
2
1/ 2
2
2
± 36  1770   −15120  112 

]
EI y
12
 
3  1770  
 =
4[
112   A L
2
± 249620160 44100  ]
2
1/ 2
Elastodynamik 2
SS 2007
3. Balkenschwingungen
3.5-42
5.2 Ritz-Verfahren
–
Das folgende Diagramm zeigt die dimensionslose
Kreisfrequenz
2 A
L
EI y

–
der Grundschwingung in Abhängigkeit vom
Massenverhältnis μ.
Die mit dem Ritz-Verfahren ermittelte Näherungslösung stimmt sehr gut mit der exakten Lösung überein.
Elastodynamik 2
SS 2007
3. Balkenschwingungen
3.5-43
5.2 Ritz-Verfahren
Elastodynamik 2
SS 2007
3. Balkenschwingungen
3.5-44