Lista de Exercícios – Critérios de Divisibilidade

Lista de Exercícios – Critérios de
Divisibilidade
Nota: Os exercícios desta aula são referentes ao seguinte vídeo
Matemática Zero 2.0 - Aula 10 - Critérios de Divisibilidade - (parte 1 de 2)
Endereço: https://www.youtube.com/watch?v=1F1Qlke27mE
Gabaritos nas últimas páginas!
E1: Qual o critério de divisibilidade por 2? Verifique se os números abaixo
são divisíveis por 2:
a) 35
b) 43
c) 67890765438
d) 56123487438
E2: Qual o critério de divisibilidade por 3? Verifique se os números abaixo
são divisíveis por 3:
a) 729
b) 816
c) 6632
d) 4584
E3: Qual o critério de divisibilidade por 4? Verifique se os números abaixo
são divisíveis por 4:
a) 22857
b) 56329600
c) 148
d) 25698
E4: Qual o critério de divisibilidade por 5? Verifique se os números abaixo
são divisíveis por 5.
a) 2394239485
b) 29478324723857280 c) 83743284782
E5: Qual o critério de divisibilidade por 6? Verifique se os números abaixo
são divisíveis por 6
a) 245794589
b) 84327847234823743 c) 2148
Página 1 de 10
Lista de Exercícios – Critérios de
Divisibilidade
E6: Qual o critério de divisibilidade por 7? Verifique se os números abaixo
são divisíveis por 7
a) 37625
b) 336
c)214
d) 896
E7: Qual o critério de divisibilidade por 8? Verifique se os números abaixo
são divisíveis por 8.
a) 1328738478528
b) 398934894832 c) 47845784576
E8: Qual o critério de divisibilidade por 9? Verifique se os números abaixo
são divisíveis por 9.
a) 216
b) 185
c) 309
d) 428
E9: Descubra o menor número natural que é divisível simultaneamente por
2, 3, 5 e 7.
E10: Descubra o menor natural que é divisível simultaneamente por 2, 3, 4.
E11: Descubra o último número divisível por 11 menor que 23412.
E12: Calcule o maior número de 4 algarismos simultaneamente divisível
por 3 e por 7.
E13: O número 61125ab é divisível por 9. O valor máximo da soma dos
algarismos a e b será:
a) 11.
b) 12.
c) 13.
d) 14.
e) 15.
E14: Mostre que a soma de dois números ímpares ou a soma de dois
números pares é um número divisível por 2.
E15: Mostre que a soma de três números naturais em sequência é divisível
por 3.
E16: Mostre que o dobro da soma de três números naturais em sequência é
divisível por 6.
Página 2 de 10
Lista de Exercícios – Critérios de
Divisibilidade
E17 (Desafio): Considere os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9.
Com eles é possível montar um número
(cada letra representa
um algarismo distinto) de forma que:
a forma um número divisível por 1;
ab forma um número divisível por 2;
abc forma um número divisível por 3;
abcd forma um número divisível por 4;
...
forma um número divisível por 10.
Descubra o valor de
.
Página 3 de 10
Lista de Exercícios – Critérios de
Divisibilidade
Gabarito:
E1: Para ser divisível por 2, basta ser par (podemos, simplesmente,
observar se o último algarismo é par)
a) 35: não é par (logo, não é divisível por 2).
b) 43: não é par (logo, não é divisível por 2).
c) 67890765438: é par (logo, é divisível por 2).
d) 56123487438: é par (logo, é divisível por 2).
E2: Para ser divisível por 3, a soma dos algarismos deve fornecer um
número que é divisível por 3.
a) 729: 7 + 2 + 9 = 18 (18 é divisível por 3, logo, 729 também é).
b) 816: 8 + 1 + 6 = 15 (como 15 é divisível por 3, então 816 também é).
c) 6632: 6 + 6 + 3 + 2 = 17 (17 não é divisível por 3. Logo, 6623 também
não é).
d) 4584: 4 + 5 + 8 + 4 = 21 (21 é divisível por 3. Logo, 4584 também é).
E3: Basta verificar se os dois algarismos finais formam um número
divisível por 4 (inclusive, 00).
a) 22857: Não é divisível por 4.
b) 56329600: Termina em 00: É divisível por 4.
c) 148: Termina em 48 (que é divisível por 4). Logo, 148 também é.
d) 25698: Não é divisível por 4, pois 98 não é divisível por 4.
E4: Basta verificarmos se o último algarismo é zero ou 5, o que garante a
divisibilidade por 5.
a) 2394239485: É divisível por 5.
b) 29478324723857280: É divisível por 5.
c) 83743284782: Não é divisível por 5.
Página 4 de 10
Lista de Exercícios – Critérios de
Divisibilidade
E5: Para ser divisível por 6, basta ser divisível por 2 e 3 simultaneamente,
ou seja: ser par e ter a soma dos algarismos valendo um número divisível
por 3. Obviamente, se o número não for par (critério de divisibilidade por
2) a verificação do segundo critério é desnecessária. Ganhe tempo!
a) 245794589: É ímpar. Logo, não é divisível por 6.
b) 84327847234823743: É ímpar. Logo, não é divisível por 6.
c) 2148: 2 + 1 + 4 + 8 = 15 (que é um número divisível por 3). É par. Logo,
é divisível por 6.
E6: Verificação um pouco trabalhosa, mas simples: Para ser divisível por 7
basta subtrairmos o dobro do valor do último algarismo do número original
sem este algarismo. Se o resultado obtido é um múltiplo de 7, então o
número original é divisível por 7. Também é possível (em caso de números
muito grandes) repetir o processo até que o número obtido seja facilmente
verificável como um múltiplo de 7 ou não, conforme mostrado no vídeo.
a) 37625:
Dobro do último algarismo: 10
Calculando 3762 – 10: 3752.
Como o número ainda é grande, vamos repetir o processo:
3752: Dobro do último algarismo: 4
Calculando 375 – 4 = 371.
Como o número ainda é grande, vamos repetir o processo mais uma vez:
371: Dobro do último algarismo: 2
Calculando 37 – 2 = 35 (que é um múltiplo de 7).
Logo, 37625 é múltiplo de 7.
Sendo um pouco mais direto com os outros itens, temos:
b) 336: 33 – 12 = 21 (é múltiplo de 7, pois 21 é múltiplo de 7)
c)214: 21 – 8 = 13 (não é múltiplo de 7)
d) 896: 89 – 12 = 77 (é múltiplo de 7, pois 77 vale 7 × 11).
Página 5 de 10
Lista de Exercícios – Critérios de
Divisibilidade
E7: Há dois critérios, mas vamos usar um só, mais simples: vamos
verificar se os 3 últimos algarismos formam um múltiplo de 8. Se
formarem, o número em questão também é múltiplo de 8.
a) 1328738478528: 528 é divisível por 8. Logo, o número em questão
também é.
b) 398934894832: 832 é divisível por 8. Logo, o número em questão
também é.
c) 47845784576: 576 é divisível por 8. Logo, o número em questão
também é.
E8: Se a soma dos algarismos fornece um número divisível por 9, então o
número em questão também é divisível por 9:
a) 216: 2 + 1 + 6 = 9. Logo, 216 é divisível por 9.
b) 185: 1 + 8 + 5 =14. Logo, 185 não é divisível por 9.
c) 309: 3 + 0 + 9 = 12. Logo, 309 não é divisível por 9.
d) 428: 4 + 2 + 8 = 14. Logo, 428 não é divisível por 9.
E9: Para que um número seja simultaneamente divisível por 2, 3, 5 e 7
(todos fatores primos) então basta que esse número tenha pelo menos um
de cada fator mencionado, ou seja, 2 × 3 × 5 × 7 = 210
E10: Problema parecido com o anterior, com um detalhe: 4 não é um fator
primo. Na verdade, 4 = 2 × 2 (contém dois fatores iguais a 2). Isso significa
que todo número divisível por 4 também será divisível por 2. Assim sendo,
basta fazer 3 × 4 = 12. Um outro exemplo para ilustrar melhor: 35 = 7 × 5
isso significa que 35 possui um fator 7 e um fator 5 o que o torna divisível
tanto por 7 quanto por 5. É uma outra forma de se verificar a divisibilidade.
Nota: esse tipo de problema discutido no exercício E10 será melhor
estudado na aula de MMC e MDC.
Página 6 de 10
Lista de Exercícios – Critérios de
Divisibilidade
E11: Basta realizarmos a divisão inteira de 23412 por 11.
Ao fazermos a divisão inteira, percebemos que ao dividirmos 23412 por 11
obtemos 2128. Isso significa que, ao multiplicarmos 2128 por 11
obteremos o maior número possível (menor que 23412) que é múltiplo de
11: 23408.
Uma outra forma de se chegar no mesmo número: Note que o resto da
divisão inteira foi 4. Isso significa que 23412 é 4 unidades maior que o
último múltiplo de 11. Ou seja, 23412 – 4 = 23408.
E12: Parecido com o anterior, mas precisamos pensar um pouquinho: para
que um número seja simultaneamente divisível por 3 e por 7 (ambos fatores
primos) então o tal número precisará ser divisível por 3 × 7 = 21. É uma
situação similar ao que ocorre com os múltiplos de 6: Para que um número
seja divisível por 2 e 3 simultaneamente, ele deve ser divisível por
2 × 3 = 6 (pois 2 e 3 são também fatores primos). O maior número de 4
algarismos vale 9999. Vamos então dividi-lo por 21 para encontrar o maior
múltiplo de 21 de 4 algarismos:
Logo, ao fazermos 9999 – 3 = 9996 (veja a explicação para isso no E11)
encontraremos o maior múltiplo de 21 de 4 algarismos, logo, o maior
múltiplo de 4 algarismos tanto do 3 como também do 7.
Nota: Cuidado!!! O problema pede que o número em questão seja
SIMULTANEAMENTE divisível por 7 e por 3. Esse número é o 9996. É
claro que 9999 é divisível por 3 (e é maior que o número encontrado) mas
ele não é divisível por 7. Atenção nisso!
Página 7 de 10
Lista de Exercícios – Critérios de
Divisibilidade
E13:ALTERNATIVA B.
O valor máximo de a + b (sem observarmos as condições do exercício)
vale 9 + 9 = 18 (ou seja, ocorreria quando os dois valores fossem os
maiores possíveis). No entanto, ao somarmos os algarismos de 61125ab
(exceto a e b) obtemos 15. Logo, o máximo valor da nossa soma (sem
observar
as
condições
do
exercício)
valeria
15 + 18 = 33. Precisamos então obter o máximo múltiplo de 9 menor que
33 (podemos calcular isso de forma idêntica à realizada no exercício E11
ou E12, mas é desnecessário). É fácil concluir então que esse número é o
27 (pois o próximo múltiplo de 9, que vale 36, passaria de 33). Logo, a
soma de todos os algarismos vale 27, e concluímos que a + b =
27 – 15 = 12.
E14: Essa parte exige um pouco mais de conhecimento algébrico. Vamos
lá: um número par pode ser representado genericamente por 2x (ou 2y ou
2z...) Já um número ímpar pode ser representado por 2x + 1 ou também
2x – 1 (este último deve ser evitado para não cairmos em resultados
negativos). Disso, temos:
Dois números pares: 2x e 2y (x ∈ ℕ, y ∈ ℕ)
2
2 2
.
Se x e y são naturais, também é um natural. Temos então um natural
(x + y) multiplicado por 2, o que o torna automaticamente divisível por 2.
Logo, a soma de dois números pares é um número par.
Dois números ímpares:
2
1
2
1
2
e
2
2
(x ∈ ℕ, y ∈ ℕ)
2
1
Como x + y são naturais e 1 também é um natural, temos que x + y + 1 é
um natural. Como temos
então isso equivale a dizer que
temos um natural multiplicado por 2, o que o torna automaticamente
divisível por 2. Logo, a soma de dois números ímpares é um número par.
Página 8 de 10
Lista de Exercícios – Critérios de
Divisibilidade
E15: Sendo x um natural, podemos representar 3 números em sequência
desta maneira: x, x + 1 e x + 2.
Vamos somá-los:
1
1
3
3
2
2
3
1 Note novamente: (x + 1) é um natural. Temos então um natural
multiplicado por 3, o que o torna automaticamente divisível por 3. Logo, a
soma de 3 números naturais em sequência resulta em um número divisível
por 3.
E16: Simples. Vimos, no E15 que a soma de três números naturais em
sequência resulta em
. Multiplicando este resultado por 2 (o
dobro) teremos ⋅ . Ou seja, temos um número
natural (x +1) multiplicado por 6. Devido ao fator 6 (e pelo fato de ser um
natural) tal número é divisível por 6.
Página 9 de 10
Lista de Exercícios – Critérios de
Divisibilidade
E17: O número procurado vale 3816547290
Observando o exercício, podemos concordar com duas posições:
A posição final é o zero (j = 0) pois para que um número seja divisível por 10 ele deve terminar
em zero;
A quinta posição é ocupada pelo 5, afinal para que um número seja divisível por 5 ele deve ser
divisível por 0 ou 5. Como o zero já foi utilizado, resta o 5, portanto e = 5.
Assim sendo, nosso número abcdefghij agora passou a ser abcd5fghi0.
O número abcd deve ser divisível por 4, o que significa que cd é divisível por 4 (pelos critérios
de divisibilidade por 4, lembra?) Assim sendo, cd vale 12, 16, 32, 36, 72, 76, 92 ou 96. Logo, d
vale 2 ou 6.
Como
é divisível por 3, então a soma é divisível por 3. Como
!é
divisível por 6, então ! também é divisível por 3 (e f é par). Como já sabemos que
" 5 e d só pode valer 2 ou 6, então def vale 258 ou 654. Assim sendo, f vale 8 ou 4.
Como abcdefgh é divisível por 8, então fgh forma um número divisível por 8. Assim sendo,
fgh=416, 432, 472, 496, 816, 832, 872, ou 896. Assim sendo, h vale 2 ou 6 (da mesma forma
que d).
Logo, nenhum dos números pares restantes podem valer 2, 6 ou 0 (o zero já havia sido usado no
começo). Assim sendo, b = 4 ou 8. Note que essa escolha afeta o valor de def (se b = 4, então
! $%. Se b = 8 então
!
$&) e também afeta a escolha de h (que vale 2 ou 6).
Usando essa regra e lembrando que não podemos repetir algarismos, concluímos que nosso
número vale a4c258g6i0 ou a8c654g2i0. Faltam ainda os algarismos 1, 3,7, 9. Os números a4c
e a8c são divisíveis por 3. Isso nos dá as seguintes possibilidades para abc: 147, 183, 189, 381,
387, 741, 783, 789, 981, ou 987. E os números fgh, como vistos, 416, 432, 472, 496, 816, 832,
872, ou 896. Como abc e fgh estão relacionados, se abc for 147 ou 741 (supondo que nosso
número comece com a4c) então necessariamente fgh valerá 896). Se o nosso número for a8c
(segunda possibilidade para início da sequência) então, necessariamente, fgh valerá 432 ou 472.
Vamos testar as possibilidades e ver se a divisibilidade por 7 é verificada em algum caso:
1472589 (não se verifica) 7412589 (não se verifica). Logo, resta apenas a segunda
possibilidade: fgh vale 432 ou 472. Logo, os valores possíveis para a8c foram reduzidos
para:183, 189, 381, 387, 783, 789, 981, ou 987.
São relativamente poucas as tentativas agora, que precisam ser verificadas até a sétima casa para
conferir se o resultado obtido é divisível por 7: Para abc valendo 183, fgh não pode valer 432
(devido ao 3) então temos 1836547 (não é divisível por 7). 1896543 (não é divisível por 7)
1896547 (não é divisível por 7). Finalmente, temos 3816547 que é divisível por 7. Logo, i
(único algarismo que restou) vale 9 e temos o número 3816547290 que verifica as condições
exigidas.
Página 10 de 10